37东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--空间几何体的三视图与直观图学生版

1.2《空间几何体的三视图和直观图》导学案【学习目标】通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空I'可图形的不同表示形式；掌握画三视图的基本技能.【重点难点】简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料(如：纸板)制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.【学法指导】主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用.【知识链接】空间图形的模具【学习过程】情境导入1、如何画出上节所学习的儿何体？工程师如何制作工程设计图纸？2._______________________________________________________________ 从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，________________________________________________ ；”对于我们所学儿何体，常用三视图和直观图来画在纸上.—、自主学习1、三视图：观察者从_____________ 观察同一个空间几何体，画出的空间几何体的图形;直观图：观察者站在____________ 观察一个空间几何体，画出的空间几何体的图形.2、中心投影；___________________________________________________________________3、平行投影：___________________________________________________________________正投影：__________________________________________________________________斜投彫：__________________________________________________________________我们可以用平行投影的方法，画出空间几何体的______________ 和___________ .4、_______________________________________________________________________________ 正视图：侧视图：________________________________________________________________________俯视图：________________________________________________________________________几何体的正视图、俯视图、侧视图、统称为几何体的______________________ .5、斜二测画法的步骤：(1)___________________________________________________________________(2)___________________________________________________________________(3)___________________________________________________________________二.典型例题合作探究题型一：平行投影的概念例1.正方体ABCD-ADCQ]中，分别是A f A, C/C 的中点，则下列判断正确的有 _____________________（1） 四边形BFD/E 在底Ifij" ABCD 内的投影是正方形；（2） 四边形BFD]E 在面AQQA 内的投影是菱形；（3） 四边形BFD 】E 在面A I D I DA 内的投影与在面ABB J A J 内的投影是 全等的平行四边形.题型二:常见多面体的三视图的画法 例2.画出下列图形的三视图.题型四：由三视图画出相应的几何体例4.根据下列图屮所给的三视图，试画出该物体的形状.总结：正视图反映了物体上下、左右的位置关系, 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系, 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系, 题型三：简单组合体的三视图例3.画出如图所示的组合体的三视图 即反映了物体的 即反映了物体的 即反映了物体的侧视图例e 耐一测画法画出边长为2厘米的正方形 的直观图.放置的平面图形的直观图侧视图正视图 俯视图题型六：空间几何体的直观图例6.用斜二测画法画出正四棱锥的直观图题型七：平面直观图与原图形的关系例7.己知△ABC 的平面直观图是边长为a 的正三角形，则AABC 的面积是 _________________ ・ 三•课堂检测1. 如果一个空间儿何体的正视图和侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那 么这个几何体为（）A.棱锥B.棱柱C.圆锥D.圆柱2. —图形的投影是一条线段，这个图形不可能是 ________________（1）线段 （2）直线 （3）圆 （4）梯形 （5）长方体3. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为丄。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习空间位置关系-垂直导学案文一、知识梳理1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

2．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

二、题型探究[题型探究1]：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。

[题型探究2]：线面垂直问题例2．（1）（2006北京文，17）如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。

变式2、如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE[题型探究3]：面面垂直问题例3．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA 。

三、方法提升：1、证明线线垂直：如果一条直线l 和一个平面α垂直，那么l 和平面α内的任意一条直线都垂直。

（线面垂直⇒线线垂直）2、线面垂直：方法一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

空间位置关系—平行(学案)B一、知识梳理：（必修2教材第48页-第61页）1、空间的直线与平面的位置关系：:符号表示:证明线面平行的方法:3.直线与平面平行的性质定理:符号表示:证明线线平行的方法::符号表示:证明面面平行的方法:6.两个平面平行的性质定理:符号表示:二、题型探究探究一：直线与平面的位置关系：例1：空间四边形ABCD中,M,N分别是三角形ABC与ACD的重心,求证:MN∥面BCD .例2：已知平面=a，b//，b//，求证：b//a。

探究二：平面与平面的位置关系：例3:(1)如果两条直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行;(2)如果两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面;(3)如果一个平面内的列数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;(4)如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面,则这两个平面平行.其中正确A.(1)(2)B.(2)(4)C.(1)(3)D.(2)(3)例4:已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ,求证:平面AB1D1//平面C1BD三、方法提升1、在直线与平面平行的判定定理中,要注意易忽视的条件“线在面外”，否则可能与平面平行，也可能在平面内；利用判定定理证线面平行，关键是找面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。

2、在平面与平面的判定定理中，“两条相交直线”中的相交两字不能忽略，否则两个平面可能相交；若则两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时候第三个平面需要做出来。

在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．3、用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。

学案：空间几何体的三视图学案学习目标：（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力学习过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

学习重点、难点重点：画出简单组合体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体学习流程1、三视图的定义是什么？从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图称为几何体的正视图（主视图）。

从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图称为几何体的侧视图（左视图）。

从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图称为几何体的俯视图。

2、正视图、主视图、俯视图之间的规律是什么？通过多媒体观察长方体的三视图，并给出三视图之间的投影规律。

虽然在画三视图时取消了投影轴和投影间的连线，但三视图间的投影规律和相对位置关系仍应保持。

三视图的位置关系为：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方。

按照这种位置配置视图时，国家标准规定一律不标注视图的名称。

对应上图还可以看出：主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

由此可得出三视图之间的投影规律为：主、俯视图——长对正；主、左视图——高平齐；俯、左视图——宽相等4、基本几何体的三视图1、球的三视图2、圆柱的三视图3、圆锥的三视图作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。

4、简单组合体的三视图桌面上摆放几个简单组合体，画出它们的三视图画组合体的三视图的步骤：应认清组合体的结构，把组合体分解成几个简单的基本几何体，再按简单几何体画三视图。

5、三视图与几何体之间的相互转化。

图中的三视图表示的几何体是什么？圆台图中的三视图表示的几何体是什么？四棱柱3．三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。

学习资料第一节空间几何体的结构、三视图和直观图授课提示:对应学生用书第119页［基础梳理]1．空间几何体的结构特征（1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且相等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2）旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形全等的圆侧面展开图矩形扇形扇环（1）画法：常用斜二测画法．（2）规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°（或135°），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．简记为：横同竖半，平行性不变．3．三视图（1）几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．（2)三视图的画法①基本要求:长对正,高平齐,宽相等．②画法规则：主左一样高,主俯一样长，左俯一样宽；看到的线画实线,看不到的线画虚线．1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝错误!S原图，S原图＝2错误!S直观图．2．球心到截面的距离d＝错误!（其中R为球的半径，r为截面半径）．［四基自测]1．（基础点:三视图的画法规则)若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，2错误!B．2错误!,2C．4，2D．2，4答案:D2．（易错点：三视图的识别)将正方体(如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图(2）所示的几何体,则该几何体的左视图为()答案：B3。

(基础点：直观图的画法规则）如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.答案：矩形8授课提示：对应学生用书第120页考点一空间几何体的结构特征［例]（1）下列结论正确的是（)A．以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台［解析］∵这条腰必须是垂直于两底的腰，∴A错；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形,∴C错；必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台，D错．故选B.［答案] B(2）下列结论正确的是（)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[解析］A错误．如图（1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥．图(1）B错误．如图（2)，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．图（2）C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．［答案] D(3）给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．［解析]①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD。

第八章 立体几何8.1 空间几何体的结构及其三视图、直观图必备知识预案自诊知识梳理1.空间几何体的结构特征2.空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括 ,分别是从几何体的 方、 方、 方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法①基本要求: , , .②画法规则: 一样高, 一样长, 一样宽;看不到的轮廓线画 线.3.空间几何体的直观图(1)画法:常用 画法.(2)规则①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为 ,z'轴与x'轴 .②原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x 轴和z 轴的线段长度在直观图中 ,平行于y 轴的线段长度在直观图中 .1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)底面与水平面平行放置的圆锥的主视图和左视图为全等的等腰三角形.(3)底面与水平面平行放置的圆台的主视图和左视图为全等的等腰梯形.(4)底面与水平面平行放置的圆柱的主视图和左视图为全等的矩形.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.()(5)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线.()2.一个多边形沿着垂直于它所在的平面的方向平移一段距离,可以形成的几何体是()A.棱锥B.棱柱C.圆柱D.长方体3.(2020河北邢台模拟,理4)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,几何体ABCDEC1的左视图与俯视图如图所示,则该几何体的主视图为()4.(2020北京海淀一模)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为()A.√5B.2√2C.2√3D.√135.利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的个数是.关键能力学案突破考点空间几何体的结构特征【例1】(1)(2020山东日照模拟)下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线(2)以下命题:①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()B.1C.2D.3?解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定.3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.对点训练1(1)下面是关于四棱柱的四个命题:①若有一个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条体对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,真命题的编号是.(2)(2020广东佛山模拟)下列结论正确的是()A.侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B.六条棱长均相等的四面体是正四面体C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.用一个平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫圆台考点平面图形与其直观图的关系【例2】(2020河北衡水中学调研)如图所示,直观图四边形A'B'C'D'是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是.?解题心得1.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段的位置,注意“三变”与“三不变”;平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系是S直观图=√24S原图形.2.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴或y'轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.对点训练2(1)利用斜二测画法画平面内一个△ABC的直观图得到的图形是△A'B'C',那么△A'B'C'的面积与△ABC的面积的比是()A.√24B.√34C.√22D.√32(2)(2020黑龙江哈尔滨三中期末)已知一个水平放置的平面四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形,则原四边形ABCD的面积为()A.2B.√22C.2√2D.4√2考点空间几何体的三视图(多考向探究)考向1由空间几何体的直观图识别三视图【例3】(1)(2020湖北武汉模拟)如图是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥A-BCD的主视图、俯视图是(注:选项中的上图为主视图,下图为俯视图) ()(2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,用过点A,E,C1的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的主视图(也称正视图)是()?2由空间几何体的三视图还原直观图【例4】(1)(2020北京西城一模)某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则()A.2√2∉S,且2√3∉SB.2√2∉S,且2√3∈SC.2√2∈S,且2√3∉SD.2√2∈S,且2√3∈S(2)(2020全国2,理7)右图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在主视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在左视图中对应的点为()B.FC.GD.H?3由三视图的两视图推测另一视图【例5】已知一三棱锥的俯视图与左视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,左视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的主视图可能为()?解题心得1.由几何体的直观图求三视图.注意主视图、左视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示.2.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.3.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,看看给出的部分三视图是否符合.对点训练3(1)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以zOx平面为投影面,则得到的主视图可以为()(2)(2020安徽高三联考)某多面体的三视图如图所示,该多面体的各个面中有若干个三角形,这些三角形的面积之和为()A.16B.12C.8+4√2D.8+4√6(3)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为()A.1B.√2C.2D.1(4)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是()1.要掌握棱柱、棱锥的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.2.旋转体要抓住“旋转”的特点,弄清底面、侧面及其展开图的形状.3.三视图的画法(1)实线、虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线;(2)理解“长对正、高平齐、宽相等”.1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点.2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,易混淆实虚线.易错警示——三视图识图中的易误辨析在直观想象核心素养的形成过程中,辨析三视图识图中的易错、易混点,能够进一步发展学生几何直观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维.【例1】如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是(),容易错选为D,误认为点B在主视图中的位置落在线段AO上,而事实上三棱锥的底面是一个直角三角形,即∠AOB=90°,所以点B在主视图中的位置落在点O上.,其主视图是一个直角三角形,水平的直角边长为3,与其垂直的直角边长为4,点B在主视图中的位置落在点O上,所以选B.反思提升画几何体的三视图,要注意分析几何体中的垂直关系,找线段的投影先找线段的两个端点的投影,两端点的投影的连线即为线段的投影.【例2】某棱锥的三视图如图所示,则该棱锥最长的棱长为()√5 B.2√2 C.3 D.3√2,学生容易把几何体的直观图画成四棱锥.从而把题目做错.仔细观察三视图中的俯视图,四边形内有一虚线,若是四棱锥就不会出现这条虚线了.,该几何体为三棱锥P-ABC.过点P作PO⊥平面ABC,垂足为O点,连接OB,OC,则四边形ABOC为平行四边形.OA⊥OB.则最长棱为PC=√PO2+OA2+AC2=√22+22+123.故选C.反思提升俯视图之所以是四边形,是因为从上往下投影时,三棱锥顶点P的投影O落在了△ABC的外面,棱PC,PB的投影当然为OC,OB了.【例3】将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为()不能正确把握投影方向、角度致误;(2)不能正确确定点、线的投影位置;(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线.AD1,应画为实线,而看不到B1C,应画为虚线.由于AD1与B1C 不平行,投影为相交线,故应选B.反思提升1.因对三视图的原理认识不到位,区分不清选项A和B,而易误选A.2.因对三视图的画法要求不明而误选C或D,在画三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画,被遮住的部分的轮廓线用虚线画.3.解答此类问题时,还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图,在复习时要明确三视图的含义,掌握“长对正、高平齐、宽相等”的要求.第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图、直观图必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)①平行且相等全等②任意多边形有一个公共顶点的三角形③相似(2)①矩形②直角边③圆锥④半圆面或圆面2.(1)主视图、左视图、俯视图正前正左正上(2)①长对正高平齐宽相等②主左主俯左俯虚3.(1)斜二测(2)①45°(或135°)垂直②保持原长度不变变为原来的一半考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2.B一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离后,平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行,且各个顶点在平移过程中形成的线相互平行,各边在平移过程中形成的面均为平行四边形,故形成的几何体为棱柱.故选B.3.A该几何体为图中AED-BC1C,正投影为EDCC1,ABE与EBC1不在同一平面,所以主视图为A选项的图形.故选A.4.C由三视图知,四棱锥底面是直角梯形,EA⊥底面ABCD,EA=AB=BC=2,最长棱是EC,在Rt△ABC中,AC=2√2,在Rt△EAC中,EC=√AC2+AE2=√8+4=2√3,故选D. 5.1由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;④错误,而菱形的直观图也不一定是菱形.关键能力·学案突破例1(1)D(2)A(1)A错误,如图①是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图②,若△ABC不是直角三角形,或△ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.(2)命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题②错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题③错,因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.对点训练1(1)②④(2)B(1)①显然错;②正确,两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面;③错,可以是斜四棱柱;④正确,体对角线两两相等,则其中两条体对角线所在的平行四边形为矩形.故填②④.(2)底面是等边三角形,且各侧面三角形全等,这样的三棱锥才是正三棱锥,所以A错;斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形,所以C错;截面平行于底面时,底面与截面之间的部分才叫圆台,所以D错.例22+√2把直观图还原,原平面图形如图所示,在直角梯形ABCD×(2+√2)×2=2+√2.中,AB=2,BC=√2+1,AD=1,所以面积为12对点训练2 (1)A(2)D(1)将△A'B'C'放入锐角为45°的斜角坐标系x'O'y'内,如图(1)所示,过C'作C'D'⊥A'B',垂足为D',将其还原为真实图形,得到图(2)的△ABC ,其中OA=O'A',AB=A'B',OC=2O'C',在△O'C'D'中,O'C'=C 'D 'sin45°=√2C'D',即C'D'=√22O'C'=√24OC ,∴△ABC 的高等于OC ,由此可得△ABC 的面积S=12AB·OC ,∵直观图中△A'B'C'的面积为S=12AB·√24OC ,∴直观图和真实图形的面积的比值等于√24,故选A .(2)因四边形ABCD 的直观图是面积为2的正方形,所以其边长为√2,所以直观图的底边长为√2,高为4,所以面积为4√2,故选D.例3(1)A (2)A (1)主视图和俯视图中棱AD 和BD 均看不见,故为虚线,易知选A.(2)由题意,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,过点A ,E ,C 1的平面截正方体的直观图如右图,则该几何体的主视图为图中粗线部分.故选A .例4(1)D (2)A (1)如图所示,在边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,四棱锥C 1-ABCD 满足条件.故AB=BC=CD=AD=CC 1=2,BC 1=DC 1=2√2,AC 1=2√3.则集合S={2,2√2,2√3},故2√2∈S ,2√3∈S.故选D .(2)根据三视图,画出多面体立体图形,D 1D 4上的点在主视图中都对应点M ,直线B 3C 4上的点在俯视图中对应的点为N ,所以在主视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是D 4,线段D 3D 4,上的所有点在左视图中都对应E ,则点D 4在左视图中对应的点为E.故选A.例5C 由已知条件得直观图如图所示,主视图是直角三角形,中间的线是看不见的线PA 形成的投影,应为虚线.故选C .对点训练3(1)A (2)D (3)C (4)C (1)如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz 的图像为下图:则它在平面zOx 的投影即主视图为,故选A .(2)由三视图还原几何体,如图所示,该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥.由题可得,S △ABC =12×42=8,又EF=√42+22=2√5,GF=4√2,故S △EFG =12×4√2×√(2√5)2-(2√2)2=4√6,因此三角形的面积之和为8+4√6,故选D.(3)由几何体的三视图转换为几何体的直观图如右:根据三视图中的线段长度,得AB=2√2,BE=AE=DE=2,由勾股定理得CE=√5,从而得AC=√4+(√5)2=3,所以直线AC 和底面的夹角最小,sin ∠ACE=23.(4)若俯视图为选项C,左视图的宽应为俯视图中三角形的高√32,所以俯视图不可能是选项C.。

一、知识梳理1．异面直线,a b 所成的角：（1）定义：过空间上一点P （注意取图形中的特殊点）作1//a a 、1//b b ，则1a 与1b 所成的锐角或直角就叫做异面直线,a b 所成的角范围。

（2）范围：(0,]2π（3）求法： 平移法：向量法：两直线所在的向量的夹角，异面直线所成的角与夹角相等或互补。

2．直线与平面所成的角：（1）定义：若直线是平面的斜线，其求法是：找出直线PA 在平面α内的射影AO ，则锐角PAO ∠就是直线PA 与平面α所成的角。

若//a α或a α⊂，则直线a 与平面α所成的角为0；若a α⊥，则直线a 与平面α所成的角为2π； （2）范围：[0,]2π（3）求法： 定义法； 向量法：①找出射影，求线线角；②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,则|cos ,|||||||n a sin n a n a θ⋅=<>=⋅.3．二面角：（1）、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

（注意二面角的五个条件）（2）、三垂线定理及逆定理法（选学内容）：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

（3）、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

（4）、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

尤其对无棱问题（5）、异面直线距离法：EF2=m2+n2+d2－2mnθcos构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．具体情况要根据题中所成二面角的大小来确定,向量求出的二面角是一个重要的参考值.4．空间的距离（A ）点到平面的距离求法：（1）直接法：过点P 作平面α的垂线，垂足A ，则PA 是点P 到平面α的距离； （2）等体积法：利用三棱锥的体积相等，求点到平面的距离。

§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图考纲考情1.能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型．会用斜二测画法画出它们的直观图．2.了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．主干知识·整合知识点一空间几何体的结构特征1．多面体(1)棱柱的侧棱都________，上下底面是______且______的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面是________且_____的多边形．2．旋转体(1)圆柱可以由______绕其任一边旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由______于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕____________旋转得到．对点快练1．下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2．下图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号)．知识点二空间几何体的三视图1．三视图的名称几何体的三视图包括________、________、________.2．三视图的画法(1)画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的______方、______方、______方观察几何体得到的正投影图．对点快练3．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()4．如图所示，图①②③是图④所示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．知识点三空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为____，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别____________．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度变为__________．对点快练5．用斜二测画法画一个水平放置的水平图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()热点命题·突破热点一空间几何体的结构特征例1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式训练给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3热点二空间几何体的三视图考向1由直观图判断三视图例2如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤考向2由三视图还原直观图例3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 16 B.13 C.12D．1考向3由部分视图确定剩余视图例4已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．总结反思三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.变式训练(1)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD 的正视图与侧视图的面积之比为()A．1 1 B．21C．2 3 D．32(2)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()(3)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．热点三空间几何体的直观图例5如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．变式训练已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．课堂总结1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．2．在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“长对正、高平齐、宽相等”．3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图．提升空间想象能力．——★参考答案★——主干知识·整合知识点一空间几何体的结构特征1．(1)互相平行互相平行全等(2)公共顶点(3)平行于棱锥底面相互平行相似2．(1)矩形(2)一条直角边所在直线(3)平行(4)直径所在直线对点快练1．『答案』B『解析』A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠P AB，∠PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．2．『答案』③⑤『解析』根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱．知识点二空间几何体的三视图1．正视图侧视图俯视图2．(2)正前正左正上对点快练3．『答案』B『解析』由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.4．『答案』侧视图俯视图『解析』根据三视图的概念知图②是侧视图，图③是俯视图．知识点三空间几何体的直观图斜二测1. 45°或135°垂直2. 平行于坐标轴不变原来的一半对点快练5．『答案』A『解析』由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长度为2 2.热点命题·突破热点一空间几何体的结构特征例1『答案』②③④⑤『解析』①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．变式训练 『答案』A『解析』①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．例2 『答案』 B『解析』 正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③. 例3 『答案』 A『解析』 由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A －BCD ，将其放在长方体中如图所示，其中BD ＝CD ＝1，CD ⊥BD ，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝16.故选A .例4 『答案』 ①②③④『解析』 直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为①；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为③；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.变式训练『答案』(1)A (2)C (3)33『解析』(1)根据题意，三棱锥P －BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为11.(2)A ，B ，D 选项满足三视图作法规则，C 不满足三视图作法规则中的宽相等，故C 不可能是该锥体的俯视图．(3)由正视图知，底面三角形是腰长为2，底边为23的等腰三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积V ＝13×(12×23×1)×1＝33.例5 解：根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形，且AB ＝6，CD ＝4保持不变． 由于C ′B ′＝2A ′D ′＝2 2.所以CB ＝4 2. 故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.变式训练 解：如图所示，△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，作C ′D ′∥A ′B ′交y ′轴于点D ′，则D ′到x ′轴的距离为32a ，∵∠D ′A ′B ′＝45°，∴A ′D ′＝62a ， 由斜二测画法的法则知，在△ABC 中，AB ＝A ′B ′＝a ，AB 边上的高是A ′D ′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.。

空间几何体、三视图和直观图导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，并且会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图．自主梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面________，侧棱都________且____________，上底面和下底面是________的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．(3)棱台可由__________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其____________旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕__________________或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其________旋转得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括________、____________、________.4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用________画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝________.(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于__________的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度变为___________________．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度________．5．中心投影与平行投影(1)平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形．自我检测1．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④2．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )3．(2011·金华月考)将正三棱柱截去三个角(如图1所示)，A，B，C分别是△GHI三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )4.(2010·广东)如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝32BB′＝CC′＝AB ，则多面体ABC －A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )5．(2011·山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0探究点一空间几何体的结构例1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式迁移1 下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线探究点二空间几何体的三视图例2 (2009·福建)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )变式迁移2 (2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )探究点三直观图及斜二测画法例3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )变式迁移3 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )A.24a2B．22a2C.22a2D.223a2(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱2．(2011·汕头月考)已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为2a的正三角形，则原△ABC的面积为( )A.2a2B.3 2a2C.62a2D.6a23．有一个正三棱柱，其三视图如图所示：则其体积等于( )A．3 cm3B．1 cm3C.332cm3D．4 cm34．(2011·青岛模拟)如下图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )A.36B.423C.433D.835．(2011·福州质检)某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a等于( )A. 2B. 3 C．1 D．2二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·湖南)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.7．已知正三角形ABC的边长为a，则△ABC的水平放置直观图△A′B′C′的面积为________．8．(2011·宜昌月考)棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)画出下列几何体的三视图．10．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．11．(14分)(2011·石家庄月考)已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图．(2)求出侧视图的面积．学案40 空间几何体、三视图和直观图自主梳理1．(1)平行 平行 长度相等 全等 (2)公共顶点(3)平行于棱锥底面 相似 2.(1)一边所在直线 (2)一条直角边所在直线 (3)垂直于底边的腰所在直线 (4)直径 3.正视图 侧视图 俯视图 4.斜二测 (1)45°(或135°) (2)x′轴、y′轴 (3)不变 原来的一半 (4)不变自我检测1．D [在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]2．D [A ，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，答案选D .] 3．A [∵原几何体是正三棱柱，且AE 在平面EG 中， ∴在侧视图中，AE 应为竖直的．]4．D [由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC ，知BB′⊥平面ABC.又CC′＝32BB′，且△ABC 为正三角形，故正视图应为D 中的图形．]5．A [底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．]课堂活动区例1解题导引解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．③④⑤⑥解析①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面不一定都全等；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的四棱锥C1—ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.变式迁移1 D [A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]例2 解题导引 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系．C [当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.]变式迁移2 D [由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D .]例3 解题导引 本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．A [按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A 符合题意．] 变式迁移3B [根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x 轴上(或与x 轴平行)的线段，其长度保持不变；在y 轴上(或与y 轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面积为S′＝12·22·S＝24S.可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积S ＝a 224＝22a 2.]课后练习区1．C2．D [斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a)2，∴S＝6a 2.]3．D [由给出的三视图可以得知该正三棱柱的高等于正视图和侧视图的高为 3 cm ，若设该正三棱柱的底面边长为a cm ，则有32a ＝2，所以a ＝433，故该正三棱柱的体积为V ＝12·32·⎝ ⎛⎭⎪⎫4332·3＝4 (cm 3)．] 4．C [由三视图知该几何体为一正四棱锥，记为S —ABCD ，如图，其中AB ＝2，△SCD 中CD 上的高为2，即SE ＝2，设S 在底面上的射影为O ，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2，∴SO＝22－12＝3.∴V＝13S ABCD ×SO＝13×4×3＝433.] 5．B [可以把该几何体形象为一长方体AC 1，设AC 1＝a ，则由题意知A 1C 1＝AB 1＝BC 1＝2，设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则x 2＋y 2＝2，y 2＋z 2＝2，z 2＋x 2＝2，三式相加得2(x 2＋y 2＋z 2)＝2a 2＝6.∴a＝ 3.] 6．4解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面是一个直角边长分别是5和6的直角三角形，几何体的高为h ，则该几何体的体积V ＝13·12·5·6·h＝20.∴h＝4.7.616a 2解析 如图A′B′＝AB ＝a ，O′C′＝12OC ＝34a ，过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a ，所以S △A‘B ’‘′＝12A′B′·C′D′＝616a 2. 8.64a 解析如图所示，设正四面体ABCD 内接于球O ，由D 点向底面ABC 作垂线，垂足为H ，连接AH ，OA ，则可求得AH ＝33a ， DH ＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝6a 3， 在Rt △AOH 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2＝R 2，解得R ＝64a. 9．解 图(1)中几何体的三视图如图①、②、③，图(2)中几何体的三视图如图④、⑤、⑥.(6分)(12分)10．解 (1)由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥．(4分) (2)侧视图(如图)(6分)其中AB ＝AC ，AD⊥BC，且BC 长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，AD ＝3a ，所以侧视图的面积为S ＝12×3a×3a ＝32a 2.(12分)11．解 (1)如图．(7分)(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， 侧视图中VA 为42－23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.(14分)。

高中数学《简单几何体的三视图》导学案北师大版必修1、掌握三视图的画法及其画法特征、2、学会画简单几何体的空间图形(长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱及它们的简单的组合体)的三视图、3、能识别柱、锥、台、球的三视图所表示的立体模型、汽车驾驶理论知识在讲解交警手势意义时都会配上图形,如图是交警在指挥交通时出现的一个手势,该手势从两个不同的方向同时拍摄,形成了交警两种不同的照片、问题1:若交警在做这个手势时,你恰好站在交警的正前方,则图中的第一张照片就是你看交警的主(正)视图,第二张图片就是你看交警的左(侧)视图,若此时另外一个人看交警做这个手势,他所观察到的主(正)视图是第二张照片,那么这个人相对交警来说站在交警的右边方向,如果我们俯视交警的这个手势,所观察的图像就是俯视图,三个视图的含义分别是:(1)主(正)视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图;(2)左(侧)视图:光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图;(3)俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图、问题2:三视图分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高)?有何关系?正(主)视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度、问题3:画三视图应遵循的几个原则:(1)正(主)、俯视图长对正;正(主)、侧(左)视图高平齐;俯、侧(左)视图宽相等、(2)在三视图中,需要画出所有的轮廓线,其中,视线所见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线、(3)同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同、(4)清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别是它们的交线位置、问题4:几种常见几何体的三视图:(1)直立放置的圆柱的正(主)视图和侧(左)视图都是矩形,俯视图为圆;(2)直立放置的圆锥的正(主)视图和侧(左)视图都是等腰三角形,俯视图是圆及其圆心;(3)直立放置的圆台的正(主)视图和侧(左)视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆;(4)球的三视图都是圆、棱锥及棱柱的三视图需要根据几何体的形状以及摆放位置确定、1、对几何体的三视图,下列说法正确的是()、A、正视图反映物体的长和宽B、俯视图反映物体的长和高C、侧视图反映物体的高和宽D、正视图反映物体的高和宽2、下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()、A、①②B、①③C、①④D、②④3、下列说法正确的是()、A、任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B、任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C、有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D、正方体的三视图一定是三个全等的正方形4、一个圆柱的三视图中一定没有的图形为()、A、正方形B、长方形C、三角形D、圆三视图概念的理解将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()、组合体的三视图画出下列几何体的三视图、实际生活中的组合体三视图画出图中的三通水管的三视图、将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的侧(左)视图为()、如图,直角梯形ABCD绕底边AD所在的直线EF旋转,在旋转前,非直角的腰的端点A可以在DE上选定、当点A选在射线DE上的不同位置时,形成的几何体的大小、形状不同,分别画出它的三视图,并比较其异同点、下图是一个几何体的直观图,它是由两个长方体和一个三棱柱组合而成,画出它的三视图、1、某几何体的正(主)视图和侧(左)视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()、2、如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()、(1)正方体(2)圆锥(3)三棱台(4)正四棱锥A、(1)(2)B、(1)(3)C、(1)(4)D、(2)(4)3、给出下列说法:①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体是正方体;②如果一个几何体的正(主)视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体;③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体;④如果一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台、其中正确的是、(填入所有正确命题的序号)4、球的三视图都是;长方体的三视图都是;竖直放置的圆锥的正(主)视图、侧(左)视图都是,俯视图是;竖直放置的圆柱的正(主)视图、侧(左)视图都是,俯视图是、 (xx年四川卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体直观图可以是()、考题变式(我来改编):第3课时简单几何体的三视图知识体系梳理问题1:正(主)视图侧(左)视图右边俯视图(1)前面后面(2)左面右面(3)上面下面问题2:高度长度长度宽度问题3:(1)对正平齐相等(2)实线虚线(3)不同问题4:(1)矩形圆(2)等腰三角形圆及其圆心(3)两个同心圆(4)圆基础学习交流1、C 由三视图概念知,C正确、2、D ①正方体的三个视图都相同;②圆锥的两个视图相同;③三棱台的三个视图都不同;④正四棱锥的两个视图相同,故选D、3、C 球的三视图与其摆放位置无关,故选C、4、C 圆柱的主(正)视图、左(侧)视图、俯视图可以出现正方形、长方形、圆、重点难点探究探究一:【解析】侧(左)视图的外轮廓应是矩形,且存在一条左下方至右上方的实对角线,故选D、【答案】 D【小结】这类题目相对而言比较简单,解题的关键是选准视点,弄清轮廓线,能看得见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示、探究二:【解析】几何体的三视图如下图所示:【小结】画组合体的三视图的步骤:画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,看不见的轮廓线和棱用虚线表示、探究三:【解析】从整体上观察该三通水管,可知是由两个圆柱拼接而成的,它的三视图如图所示、【小结】观察组合体的结构特征,首先要分析它是由基本几何体拼接而成,还是由基本几何体挖去或截去一部分而成,然后结合柱、锥、台、球的特征分析构成它的基本几何体的特征、思维拓展应用应用一:D 侧(左)视图中能够看到线段AD1,应画为实线,看不到线段B1C,应画为虚线,而且线段AD1与B1C不平行,投影相交,故选D、应用二:(1)当A点位于如下左图所示的位置时,绕EF旋转一周所得几何体是底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成,其三视图如下右图所示:(2)当A点位于如下左图所示位置时,其旋转所得几何体为圆柱中挖去同底的圆锥,其三视图如图下右所示:应用三:三视图如下图所示:基础智能检测1、D 本题是组合体的三视图问题,由几何体的正(主)视图和侧(左)视图知,原图的下部分为圆柱或直四棱柱,上部分是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它上部分的正(主)视图应为如图所示的矩形、2、D3、③①中还可以是球;②中还可以是横放的圆柱;④还可以是棱台;只有③正确、4、圆矩形等腰三角形有圆心的圆矩形圆全新视角拓展D 由俯视图易知,只有选项D符合题意、故选D、。

空间的角和距离(学案)B一、知识梳理1．异面直线,a b 所成的角：（1）定义：过空间上一点P （注意取图形中的特殊点）作1//a a 、1//b b ，则1a 与1b 所成的锐角或直角就叫做异面直线,a b 所成的角范围。

（2）范围： （3）求法： 平移法： 向量法：两直线所在的向量的夹角，异面直线所成的角与夹角相等或互补。

2．直线与平面所成的角：（1）定义：若直线是平面的斜线，其求法是：找出直线PA 在平面α内的射影AO ，则锐角PAO ∠就是直线PA 与平面α所成的角。

若//a α或a α⊂，则直线a 与平面α所成的角为0；若a α⊥，则直线a 与平面α所成的角为2π； （2）范围：（3）求法：定义法； 向量法：①找出射影，求线线角；②求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面角为θ,则|cos ,|||||||n asin n a n a θ⋅=<>=⋅.3．二面角：（1）、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

（注意二面角的五个条件）（2）、三垂线定理及逆定理法（选学内容）：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

（3）、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

（4）、投影法：利用s 投影面=s 被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

尤其对无棱问题（5）、异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos （6）、向量法：设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量21,n n 的夹角为ϕ，则有πϕθ=+（图1）或 ϕθ=（图2）图1 图2 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．具体情况要根据题中所成二面角的大小来确定,向量求出的二面角是一个重要的参考值.异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．34．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6说明：两条异即为直线到平面离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（3（4面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是平面，其中是平面⑸点A二、题型探究1 图2[题型二] 线面角（1）．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

【学习目标】1．能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体型．用斜二测法画出它们的直观图．2．了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．【课本导读】1．棱柱的结构特征(1)定义：有两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边．(2)性质：①侧棱长相等；②侧面都是平行四边形．2．棱锥的结构特征(1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是这些面围成的几何体叫做棱锥．(2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是，并且顶点在底面内的射影是，这样的棱锥叫做正棱锥．(3)正棱锥的性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的．②棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．3．圆柱、圆锥、圆台的特征：分别以、、为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．其中旋转轴叫做所围成的几何体的；在轴上的这条边叫做这个几何体的；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的．4．棱台、圆台的特征：用平行于底面的平面去截、，截面与底面间的部分叫棱台、圆台．5．几何体的三视图：视图、视图、视图．又称为：视图、视图、视图．6．三视图的画法要求(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成，单位不注明，则按mm 计．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的、、观察几何体画出的轮廊线．画三视图的基本要求是：“正俯一样长、正侧一样高、俯侧一样宽”．(3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则．7．平面图形的直观图画法在斜二测画法中，平行于x轴的线段长度；平行于y轴的线段长度【教材回归】1．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是()A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都有可能3．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．4．若几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.5．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15 C．12 D．10【授人以渔】题型一：空间几何体的结构特征例1判断正误①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③三棱锥的四个面中最多只有三个直角三角形④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．⑤圆锥所有轴截面都是全等的等腰三角形；⑥圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中，面积最大的一个．思考题1以下命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题为________．题型二：几何体的三视图例2(1)画出如图所示几何体的三视图．思考题2 (1)如图所示，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④（2）如图所示，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．题型三：几何体的直观图例3 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( ) A.24a 2 B ．22a 2 C.22a 2 D.223a 2 思考题3 如图所示，直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．题型四：多面体和球例4 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．思考题4 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172 B ．210 C.132 D ．310 自助餐：1．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )3．若已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为()A.32a2 B.34a2 C.62a2 D.6a24．某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a等于()A. 2B. 3 C．1 D．25. 如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，那么球的体积为() A.500π3cm3 B.866π3cm3 C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm3。