第七章 微分方程

高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。

微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。

微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。

2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。

例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。

3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。

一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。

4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。

如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。

以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。

第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为dy y g dx x f )()(=形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为)(x y dx dy ϕ=的形式，用u xy =替换法；一种较特殊的方程c b a y x c by ax dx dy 111++++=（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类微分方程1.01==c c 时，(1111x y x y x y b a yx by ax dx dy b a b a ϕ=++=++=属于第二类微分方程；2.01≠⋅c c 时，首先考虑b a ba 11=（&）成不成立；（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重新构造分子、分母，来使得新形成的常数都为零，为了计算简便，引入的新参数必须与x、y 齐次,故设m X x +=、n Y y +=，这样就确保了dX dx =、dY dy =，故c b a b a c b a n m Y X cbn am bY aX y x c by ax dx dy dX dY 11111111++++++++=++++==，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像 1.一样，常数都为零，即0111=++=++c b a n m c bn am （A ），因为（&）不成立，所以011≠-ab a b ，故可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=b ba c cb b a a ac a b m a b c n 11111111，则此时就有)(1111111X Y X Y X Y ba Y X bY aX y x c by ax dx dy dX dYb a b ac b a ϕ=++=++=++++==，属于第二类微分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（A ）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设λ==b a b a 11，c b a b a c b a y x c y x y x c by ax dx dy 11111111)(++++=++++=λ，再令y x u b a 11+=，此时⇒=+++=⇒++=-=)(1111111u g u c u dx du u c u dx du dx dy a c b c b a λλduu g dx x f )()(=（1)(=x f ），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.),(y x f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含y 型]，用p y ='替换法；2.),(y y f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含x 型]，用p y ='替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为)()(x Q y x p dxdy =+的形式，用背公式或者常数变易法；公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y =e e dx x p dx x p dxx Q C ⎰⎰+⎰)()()(【背诵口诀：C+Q(X)积分含e 的P(x)积分方，再除以e 的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C 为u ，求出y '；第三步：将第二步得到的⎩⎨⎧='=y y 代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个参数u ，一个关系式足矣），消掉y '、y 后（第一、二步都是为这个消掉y '、y 做准备），解得u '，再利用积分求得u ；第四步：将u 代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程y n x Q y x p dxdy )()(=+（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dx x p x Q ydy y x Q y x p dx dy )]()([)()(-=⇒=+，属于第一类微分方程；2.当n=0时，)()(x Q y x p dx dy =+，属于第四类微分方程；3.当n 1,0≠时，方程变形得)()(1x Q x p dx dy y y n n =+--，令C z dy dz dxdz dx dy y y n y n n n n +=⇒=⇒=-----1)1()1(，取y n z -=1，则有)1(n dx dz dx dy y n -=-代入y n x Q y x p dx dy )()(=+后变形得)()1()()1(x Q n z x p n dx dz -=-+，令)()()1(2x x p n p =-，)()()1(2x x Q n Q =-)()(22x z x dx dz Q p =+⇒，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为)()()(x f y x Q y x p y =+'+''的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y 等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n 阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u u 21,，求出y '、y ''；第三步：将第二步得到的⎪⎩⎪⎨⎧=''='=y y y 代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式①（两个引入参数u u 21,，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u u 21,，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y ''中出现u u ''''21,，而又因为u u 21,均不为常数，故在y '定会出现u u ''21,，而要划线部分同时成立，则必须在y '中将u u ''21,抵消掉，而y u y u y u y u y '''+'++='22112211，故令02211='+'y u y u ②，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的①式，所以将②式在第二步中就运用，这样得到的①式为)(2211x f y u y u =''+''②，联立①②就可解得u u ''21,），再利用积分求得u u 21,；第四步：将u u 21,代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。

第七章 微分方程§7．1微分方程的基本概念1. 填空(1) 微分方程356()40x y y y x '''++=的阶数是 二阶 ; (2) 微分方程2(76)()y x y dx x y dy e -+-=的阶数是 一阶; (3) 微分方程2sin d d ρρθθ+=的阶数是一阶;(4) 微分方程212(),x y C C x e =+则当120,1C C ==时,00|0,|1;x x y y =='==(5) 已知曲线上点(,)p x y 处的法线与x 轴的交点为Q,且线段PQ 被y 轴平分.则曲线所满足的微分方程是20yy x '+=2. 验证(3)x y x c e =+是微分方程20y y y '''-+=的解,它是否是该微分方程式的通解?为什么?证: 3(3),6(3)x x x x y e x c e y e x c e '''=++=++ 则有26(3)2[3(3)](3)0x x x x x y y y e x c e e x c e x c e '''-+=++-++++=则(3)x y x c e =+是微分方程的解,但只含有一个任意常数,所以它不是通解.3. 设212()x y C C x e =+(1) 验证y 是微分方程440y y y '''-+=的通解. 解22222122122(),44()x x x x y C e C C x e y C e C C x e '''=++=++,因为22222212212124444()48()4()0x x x x x y y y C e C C x e C e C C x e C C x e '''-+=++--+++=所以212()x y C C x e =+是微分方程的解,且含有两个相互独立的任意常数,因而是微分方程的通解.(2) 求参数方程12,C C 使得它满足初始条件(0)0,(0)1y y '== 解:由(0)0,(0)1y y '==得0111002120(0)0,12 1.C e C C C e C e C =+=⇒==+⇒=§7．2可分离变量微分方程1. 求下列可分离变量微分方程的解 (1)()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++= 解:(1)(1)0,(1)(1),11y x xyyxyxxyy x e dy e dxe e dx e e dy e e dy e e dx e e --++=+=--=-+ 1(1)(1),,ln 1ln 1ln 1111y x y x y xy x y x e dy e dx d e d e e e C e e e e --+==--=-++-+-+⎰⎰⎰⎰111101011(1)(1),(1)(1),1010y y xyx yx y x x e e e e C e e C e e C e e ⎧⎧->-<+-=⇒+-=⇒+-=⎨⎨+>+<⎩⎩111010(1)(1),(1)(1),1010y y x yx y xx e e e e C e e C e e ⎧⎧-<->⇒+-=-⇒+-=-⎨⎨+>+<⎩⎩则通解为(1)(1)x y e e C +-=. (2)cos s sin sin 0xco ydx x ydy +=11sin cos cos sin ,ln cos n sin ln cos sin cos sin cos sin y x d y d xdy dx dx y l x C y C x y x y x =-=⇒=+⇒=⎰⎰⎰⎰1cos sin cos sin y C x y C x ⇒=±⇒=所以通解为arccos(sin )y C x =2. 求下列可分离变量微分方程满足所给初始条件下的特解 (1)20,| 1.y x x y e y -='==解:220221111111,,,|1,,2222y y x y x x x y x e dy dx y e e c y c e e e e e e e ----='==⇒=+=⇒=-=+-⎰⎰所以特解为2111ln()22x y e e-=--+(2)2sin ln ,|x y x y y y e π='==解:111,ln ln ln csc ln ln csc ln (csc )ln sin dy dxy x ctgx C y C x ctgx y C x ctgx y y x==-+⇒=-⇒=±-⎰⎰ ln (csc )y C x ctgx ⇒=-2|1,x y e C π==⇒= 则1cos ln csc tan sin 2x xy x ctgx x -⇒=-==,所以特解为 tancsc 2xx ctgxy ee-==(3)sin (12)cos 0,(0)4x ydx e ydy y π-++==解cos cos sin sin (2),,,sin sin sin sin 121222x x x x x xydy dx ydy dx d y e dx d y d e y y y y e e e e -----+===-=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1111ln sin ln(2)ln ln (2)sin sin 22x x x x C Cy e C C e y y e e -±=-++=+⇒=⇒=++(0)sin443C y C y ππ=⇒=⇒==则特解为y =3. 质量为1g 的质点受外力作用作直线运动,外力和时间成正比,和质量运动的速度成反比,在10t s =时速度等于50/,cm s 外力为42/,g cm s ⋅问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?解:1010,|50,|420,20,120,20t t t dvF k v F k mvv t m v t vdv tdt v dt=='===⇒=∴==⇒==⎰⎰22210110,|50250,20500,2t v t c v c v t ==+=⇒==+ 所求特解为v60|269.3(/)t v cm s =≈4. 一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分,求这曲线方程. 解:1112tan ,ln ln ln 2y y dy dxy y x C xy C xy C xy C x xy x α'==-=-=-⇒=-+⇒=⇒=±⇒=⎰⎰又因(2)3y =知C=6,则所求的曲线方程为6xy =§7．3齐次方程1. 求下列齐次方程的通解.(1) 22()0x y dx xydy +-=解:2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,令2'111,,,,,yu u y ux y u xu xu u udu dx xu ux+''===+=-==22221111ln ln ln ln 2u x C C x u C x =+=⇒= 通解为222ln()y x Cx =(2) 3(l n l n )dyx y y x dx=- 解:3ln ,dy y ydx x x=令ln 1(3ln 1),3ln ,,,,.(3ln 1)3ln 133ln 1y du dx d u dx d u dxu xu u u u x u u x u x u x-'==-===---⎰⎰ 33333111ln 3ln 1ln()3ln 1ln(1)3y u C x u C x Cx Cx x -=⇒-=±=⇒=+ 所以通解为313Cx y xe+= (3) (2s i n 3c o s )3c o s 0y yy x y d x x d y x xx+-=解:2sin3cos 2sin 3cos 3,,,,3cos 2tan 3cos y y x y dyy u u udx x x u y ux u x u du y dxx u x ux x++'===+==令 3221133ln sin ln ln sin 2tan 2dx du u x C u C x Cx x u =⇒=+⇒=±=⎰⎰ 再将yu x=代入原方和得通解为 32sin yCx x= 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件下的通解. (1)1,|2x x yy y y x='=+= 解:令yu x=,2211111,,ln ln ,|2222x du y xu u u x C x C y C u dx xx =⎛⎫'===+⇒=+=⇒= ⎪⎝⎭所以通解为222(ln 2)y x x =+(2)22221(2)(2)0,|1x x xy y dx y xy x dy y =+-++-==解:222222212221y y dy x xy y x x dx y xy x y y x x ⎛⎫-- ⎪+-⎝⎭=-=+-⎛⎫+- ⎪⎝⎭,令y u x =,2222112,1211u u dx u xu u du x u u u u --⎛⎫'+==- ⎪++-+⎝⎭ 1112211ln ln ln ln11u u x C C x C x Cx u u +++==⇒=±=++,从而有 221(),|11x x y C x y y C =+=+=⇒=因此特解为22x y x y +=+§7．3一阶线性微分方程1. 求下列一阶线性微分方程的通解. (1) x y y e -'==解: ()dx dxx x x x x x y e e e dx C e e e dx C e dx C e x C ------⎡⎤⎰⎰⎡⎤⎡⎤=+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (2) ln (2ln )0y ydx x y dy +-=解:21ln dx x dy y y y+= 2222ln ln 2ln ln 2ln ln ln ln ln ln 111dy dy d y d y y y y y y y y yx e e dy C e e dy C e e dy C y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =22ln(ln )ln(ln )222211(ln )(ln )(ln )(ln )ln y y e e dy C y y dy C y y d y C y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =2221(ln )(ln )ln ln 3(ln )Cy y d y C y y -⎡⎤+=+⎣⎦⎰. 2..求下列一阶线性微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)sin ,|1x dy y x y dx x xπ=+== 解: 111ln ln ln ln sin sin sin dx dx x x x xx x x x x y e e dx C e e dx C e e dx C x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ =11sin 1sin (cos )x x xdx C x xdx C x C x x --⎡⎤⎡⎤+=+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ |11x y C ππ==⇒=-则特解为1(cos 1)y x xπ=-+-(2) ln (ln )0,|1x e x xdy y x dx y =+-==解:1ln dy y dx x x x+= 1111ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 111dx dx d x d x x x x x x x x xy e e dx C e e dx C e e dx C x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 1ln(ln )ln ln 21111[ln ln ][(ln )]ln ln 2x x e e dx C xd x C x C x xx -⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰1|12x e y C ==⇒=,因而特解为21[(ln )1]2ln y x x=+. 2. 求一曲线的方程,这曲线通过原点,且在点(,)x y 处的切线斜率等于2.x y + 解:依题意知2,2y x y y y x ''=+-=1222()2dx dx x x x x x x x y e xe dx C e xe dx C e xe d x C e xde C ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ =2(2(()2()x x x x x x x x xe xe e dx C e xe e d x C e xe e C ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤--+=-+-+=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 022,|02x x x Ce y C ==--+=⇒=则微分方程的特为2(1)x y e x =--3. 设有一质量为m 的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正比(比例系数为1k )的力作用于它,此处还受一与速度成正比(比例系数为2k )的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系. 解:2112,k kmv k t k v v v t m m''=-+=2222221112k k k k k k dt dt t t t t m m m m m mk k k m v e te dt C e te dt C e tde C m m m k ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 222211222(()k k k k t t t t mm m mk k m ete e dt C t Cek k k --⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 111022222|0.t mk k mk v C v t k k k ==⇒=∴=- §7．5可降阶的高阶微分方程1. 求微分方程的通解. (1)x y xe x '''=+解:()2112x x x x x y xe x dx xe dx xdx xde xdx xe e x C '''=+=+=+=-++⎰⎰⎰⎰⎰2311211226x x x x y xe e x C dx xe e x C x C ⎛⎫'''=-++=-+++ ⎪⎝⎭⎰3421212311(2)(3)624x x x y xe e x C x C dx x e x C x C x C '=-+++=-++++⎰(2) ()21y y '''=+解:令21112,,1,,arctan ,tan(),tan()1dp dyp y y p p pdx p x C P x C x C dx p '''''===+==+=+=++ 1112tan()()ln cos()y x C d x C x C C =++=-++⎰2. 求下列微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)2002,|1,|1x x x y y e y y ==''''+===解:令2222222241111,,2,[][][]4dx dx x x x x x x x p y y p p p e p e e e dx C e e e dx C e e C ---⎰⎰'''''==+==+=+=+⎰⎰222222112131313,(0)1,()444488x x x x x x y e C e y C y e e dx e e C ---''=+=⇒==+=-+⎰ 25(0)1,4y C =⇒= 因而特解为22135.884x x y e e -=-+ (2) 2111,|0,| 1.x x x y xy y y ==''''+===解:令1121122211111,,1,,[][]dx dx xx p y y p x p xp p p p e e dx C xdx C x x x xx -⎰⎰''''''==+=+==+=+⎰⎰=21112111ln 1ln 11[][ln ],(1)11,,(ln )2x x dx C x C y C y y dx dx x C x x x x x x x ''+=+=⇒==+=+=+⎰⎰⎰ 2(1)00y C =⇒= ,则特解为21(ln )ln 2y x x =+ §7．6高阶线性微分方程1. 验证21xye =及22x yxe =都是方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解,写出该方程的通解.证:2222222221114(42)246420x x x x x y xy x y e x e x e x e e '''-+-=+-+-= 222332224(42)[644842]0x y xy x y x x x x x x e '''-+-=+--+-= 121y y x=≠常数,则通解为 2221212()x x xy C e C xe C C x e =+=+2. 验证51y x =21y x =是方程2350x y xy y '''--=的解,23ln 9x y x -=是微分方程2235ln x y xy y x x '''--=的解,写出微分方程2235ln x y xy y x x '''--=的通解.证:251113(20155)0x y xy xy x '''--=--=, 2212213(235)0x y xy xy x'''--=+-=, 22222223332653ln ln ln ln 93939x x x x y xy xy x x x x x x x '''--=--+++=61yx y=≠ 常数,则微分方程的通解为 2511223121ln .9x y C y C y y C x C x x =++=+-3. 验证12121()(,2x x xe y C e C e C C x -=++是任意常数)是方程2x xy y xy e ''+-=的通解. 解:*12111,,2x x x ye y e y e x x -===,因为 1112222222222222222(11)0,2(11)0x x xy y xy e xy y xy e x x x x x x x x-''''+-=-++--=+-=+++--= ()()***212112(),22x x x x y x y y xy xe e e e y '''+-=-+==≠ 常数,所以通解为121()2x x xe y C e C e x -=++§7．7常系数齐次线性微分方程3. 求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解. (1)212120,1204,3y y y r r r r '''+-=+-=⇒=-= 所以通解为4312x x y C e C e -=+. (2)212690,6903y y y r r r r '''++=++=⇒==-所以通解为312()x y C C x e =+. (3)21,26100,61003y y y r r r i '''++=++=⇒=-±所以通解为312(cos sin )x y e C x C x -=+4. 求下列二阶常系数齐次线性微分方程满足所给初始条件下的特解. (1)320,(0)0,(0)1y y y y y ''''++===.解: 211,3202,1r r r r ++=⇒=-=-,则通解为22121212,2,(0)0,(0)11,1x x x x y C e C e y C e C e y y C C ----''=+=--==⇒==-则通解为2x x y e e --=-.(2) 250,(0)2,(0)5y y y y '''+===解:21,22505r r i +=⇒=±则通解为12cos5sin 5y C x C x =+12125sin 55cos5,(0)2,(0)52,1y C x C x y y C C ''=-+==⇒==则特解为2cos5sin 5y x x =+§7．8常系数非齐次线性微分方程5. 求下列二阶非齐次微分方程的通解 (1)228(1)x y y y x e -'''--=+解:24212122804,2,x x r r r r Y C e C e ---=⇒==-∴=+ 面1,2m λ==-为特征单根()()'''*2*222*2222(),(2)2(),24(2)4()x x x x x xy x ax b e y ax b e ax bx e y ae ax b e ax bx e ------∴=+=+-+=-+++()()***21728(1),1236x y y y x e a b -'''--=+⇒=-=-则特解为*217()1236x y x x e -=-+,因而微分方程的通解为:4212x x y C e C e -=+217()1236x x x e --+(2) 25sin 2x y y y e x '''-+=解:21,2250,121,2,0r r r i m αβ-+==±⇒===而12i +是特征方程的根,因而令*(cos 2sin 2)x y xe A x B x =+代入原方程求出1,04A B =-=,*1cos 24x y xe x =-所以微分方程的通解为121(cos 2sin 2)cos 24x x y C x C x e xe x =+-6. 求微分方程43y y '''-=满足初始条件(0)0,(0)1y y '==的特解解:212400,4r r r r -=⇒==对应齐次微分方程的通解为412,0x y C C e λ=+= 为特征单根,则*y ax =代入原方程得*33,44a y x =-∴=-,微分方程的通解为:41234x y C C e x =+-,由(0)0,(0)1y y '==知1297,,1616C C ==故特解为497316164x y e x =+- 7. 设函数()f x 连续,且满足0()()(),xx f x e t x f t dt =+-⎰求()f x .] 解:()()(),()()()()(),()()xxxxx x x x f x e tf t dt x f t dt f x e xf x f t dt xf x e f t dt f x e f x '''=+-=+--=-=-⎰⎰⎰⎰ ()()x f x f x e ''⇒+=,而21,210,r r i +=⇒=±对应齐次微分方程的通解为:12cos sin Y C x C x =+而0,1m λ==不是特征根,令*x y Ae =代入原方程求得12A =,则通解为 121cos sin 2x y C x C x e =++1211(0)1,(0)1,22f f C C '==⇒== ,则特解为1()[cos sin ]2x f x x x e =++。

第7章 微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程(未知函数为一元函数)，偏微分方程（未知函数为多元函数），微分方程的阶数（填空题）.齐次方程 ：()dy y dxx ϕ=或者()dxxdy yϕ=（计算） 一阶线性微分方程：()()y P x y Q x '+=或者()()x P y x Q y '+=通解公式()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 或者用常数变异法求解.（计算或者填空） 线性相关，线性无关（选择） 可降解（不显含x 或y ）的（计算）齐次常系数线性微分方程：特征根法（填空）非齐次常系数线性微分方程：特接用待定系数法. (计算) 微分方程解的结构定理（选择或填空）． 换元法也是求解微分方程的重要方法之一. 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以)0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x y y d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln ln y x C =-+， 所以exy C -= （C 为任意常数）三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为001,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即 p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0， 特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为(c o s s i n y x a xb x *=+，代入原方程，可得1,02a b =-= 所以1cos 2y x x *=-，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()c o s ()s i nxnh f x P x x P xx αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =． 例5 求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。