2015西城文科数学 期末

北京市西城区2014-2015学年八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2015春•西城区期末）下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，B、是轴对称图形，又是中心对称图形，C、是轴对称图形，不是中心对称图形，D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形．故选B．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．2．（2015春•西城区期末）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．2，2，3 B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，，考点：勾股定理的逆定理．分析：欲判断是否能构成直角三角形，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．解答：解：A、22+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；B、32+42=52，能构成直角三角形，此选项不合题意；C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；D、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，此选项不合题意．故选：A．点评：此题主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．3．（2013•黔西南州）已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（）A．100°B．160°C．80°D．60°考点：平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C=200°，∴∠A=100°，∴∠B=180°﹣∠A=80°．故选C．点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．4．（2015春•西城区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（）A．4 B．C．3D．5考点：矩形的性质．分析：先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4即可．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC，OB=BD=4，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB=4；故选：A．点评：本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．5．（2012•铜仁地区）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k的值是（）A．2 B．﹣2 C．4D．﹣4考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：数形结合．分析：根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积即可解答．解答：解：因为图象在第二象限，所以k＜0，根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|=2×2=4，所以k=﹣4．故选D．点评：本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．6．（2015春•西城区期末）某篮球兴趣小组有15名同学，在一次投篮比赛中，他们的成绩如右面的条形图所示．这15名同学进球数的众数和中位数分别是（）A．10，7 B．7，7 C．9，9 D．9，7考点：众数；条形统计图；中位数．分析：根据众数与中位数的定义分别进行解答即可．解答：解：由条形统计图给出的数据可得：9出现了6次，出现的次数最多，则众数是9；把这组数据从小到达排列，最中间的数是7，则中位数是7．故选D．点评：此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．7．（2014•绵阳）下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形考点：命题与定理．分析：根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．解答：解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．故选：C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．8．（2015春•西城区期末）某小区2014年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2016年屋顶绿化面积要达到2880平方米．若设屋顶绿化面积的年平均增长率为x，则依题意所列方程正确的是（）A．2000（1+x）2=2880 B．2000（1﹣x）2=2880C．2000（1+2x）=2880 D．2000x2=2880考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．解答：解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：2000（1+x）2=2880．故选A．点评：此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1﹣x）2=b（a＞b）．9．（2015春•西城区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（）A．10 B．C．10或D．14考点：勾股定理．专题：分类讨论．分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解答：解：设第三边为x，①当8是斜边，则62+82=x2解得x=10，②当8是直角边，则62+x2=82，解得x=2 ．∴第三边长为10或2．故选C．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．10．（2015春•西城区期末）如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB=90°．连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAB的大小是（）A．75° B．45° C．30°D． 15°考点：点与圆的位置关系；圆周角定理．分析：利用圆周角定理结合点到直线的距离得出C′在半圆的中点时，此时当CD的长度最大，进而得出答案．解答：解：如图所示：∵AB长一定，∴只有C点距离AB距离最大，则CD的长度最大，∴只有C点在C′位置，即C′在半圆的中点时，此时当CD的长度最大，故此时AC′=BC′，∴∠C′AB的大小是45°．故选：B．点评：此题主要考查了圆周角定理以及点到直线的距离，得出C点位置是解题关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）11．（2015春•西城区期末）若x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为﹣11．考点：一元二次方程的解．分析：先把x=2代入方程，可得关于m的一元一次方程，解即可．解答：解：把x=2代入方程，得4+6+m+1=0，解得m=﹣11．故答案是：﹣11．点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入并正确的计算，难度不大．12．（2014•成都）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=32m，则A，B两点间的距离是64m．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．解答：解：∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，∴MN=AB，∴AB=2MN=2×32=64（m）．故答案为：64．点评：本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．13．（2015春•西城区期末）2015年8月22日，世界田径锦标赛将在北京举行，甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在为该运动会积极准备．在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.6秒，甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是0.07，0.03，0.05，0.02．则当天这四位运动员中“110米跨栏”的训练成绩最稳定运动员的是丁．考点：方差．分析：首先根据题意，分别出甲、乙、丙、丁的成绩的方差的大小关系，然后根据方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出当天这四位运动员中“110米跨栏”的训练成绩最稳定运动员的是谁即可．解答：解：因为0.02＜0.03＜0.05＜0.07，所以甲、乙、丙、丁的成绩的方差最小的是丁，所以当天这四位运动员中“110米跨栏”的训练成绩最稳定运动员的是丁．故答案为：丁．点评：此题主要考查了方差的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．14．（2015春•西城区期末）双曲线y=经过点A（2，y1）和点B（3，y2），则y1＞y2．（填“＞”、“＜”或“=”）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：直接利用反比例函数的增减性得出y1，y2的大小关系．解答：解：∵双曲线y=经过点A（2，y1）和点B（3，y2），k=2＞0，∴每个象限内y随x的增大而减小，∴y1＞y2．故答案为：＞．点评：此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．15．（2015春•绿园区期末）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD=10．考点：平行四边形的性质．分析：利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．解答：解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴BO==5，∴BD=2BO=10，故答案为：10．点评：本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．16．（2015春•西城区期末）将一元二次方程x2+8x+3=0化成（x+a）2=b的形式，则a+b的值为17．考点：解一元二次方程-配方法．专题：计算题．分析：方程移项变形后，利用完全平方公式配方得到结果，求出a与b的值，即可求出a+b的值．解答：解：方程x2+8x+3=0，移项得：x2+8x=﹣3，配方得：x2+8x+16=13，即（x+4）2=13，可得a=4，b=13，则a+b=13+4=17．故答案为：17．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17．（2015春•西城区期末）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转30°得到▱AB′C′D′，点B′恰好落在BC边上，则∠DAB′=75°．考点：旋转的性质；平行四边形的性质．分析：根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出答案即可．解答：解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B 是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），∴AB=AB′，∠BAB′=30°，∴∠B=∠AB′B=（180°﹣30°）÷2=75°，∴∠DAB′=75°．故答案为：75．点评：此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=75°是解题关键．18．（2015春•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B在x轴上，OA=1，∠AOC=60°．当菱形OABC开始以每秒转动60度的速度绕点O逆时针旋转时，动点P同时从点O出发，以每秒1个单位的速度沿菱形OABC的边逆时针运动．当运动时间为1秒时，点P的坐标是（0，﹣1）；当运动时间为2015秒时，点P的坐标是（0，0）．考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质．专题：规律型．分析：根据旋转的性质得出每5秒一个循环，利用点P的坐标的规律进行解答即可．解答：解：当运动时间为1秒时，菱形边OA在y的负半轴上，此时点P运动到A点，所以点P的坐标是（0，﹣1）；因为第2秒点P运动到B处，此时点P的坐标为（0，﹣）；第3秒点P运动到C处，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；第4秒点P运动到D处，此时点P的坐标为（﹣，）；第5秒点P运动到O处，此时点P的坐标为（0，0）；第6秒点P运动到A处，此时点P的坐标为（0，﹣1）；所以2015÷5=403，所以点P的坐标为（0，0），故答案为：（0，﹣1）；（0，0）点评：此题考查旋转与坐标，关键是根据旋转的性质得出旋转的规律．三、解答题（本题共20分，第19题10分，其余每小题10分）19．（10分）（2015春•西城区期末）解方程：（1）（x﹣5）2﹣9=0；（2）x2+2x﹣6=0．考点：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．专题：计算题．分析：（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．解答：解：（1）方程整理得：（x﹣5）2=9，开方得：x﹣5=±3，即x﹣5=3，或x﹣5=﹣3，解得：x1=8，x2=2；（2）这里a=1，b=2，c=﹣6，∵△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣6）=28＞0，∴方程有两个不相等的实数根，则x=﹣1±．点评：此题考查了解一元二次方程﹣公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20．（5分）（2015春•西城区期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）连接AF，CE，若∠AFE=∠CFE，求证：四边形AFCE是菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．专题：证明题．分析：（1）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法（AAS），得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而求出四边形AFCE是平行四边形．，再利用菱形的判定方法得出答案．解答：证明：（1）如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠1=∠2，∵AE∥CF，∴∠3=∠4，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（AAS）；（2）∵△AEB≌△CFD，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．∵∠5=∠4，∠3=∠4，∴∠5=∠3．∴AF=AE．∴四边形AFCE是菱形．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定与性质是解题关键．21．（5分）（2015春•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．（1）画出△A1B1C1；（2）BC与B1C1的位置关系是平行，AA1的长为2；（3）若点P（a，b）是△ABC 一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为（﹣a，﹣b）．考点：作图-旋转变换．专题：作图题．分析：（1）画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1即可；（2）利用中心对称的性质得到BC与B1C1的位置关系，利用两点间的距离公式求出AA1的长即可；（3）利用中心对称图形的性质确定出P1的坐标即可．解答：解：（1）根据题意画出△A1B1C1，如图所示；（2）由题意得：BC∥B1C1，AA1==2；（3）利用中心对称图形性质得：点P经过上述变换后的对应点P1的坐标为（﹣a，﹣b）．故答案为：（2）平行，2；（2）（﹣a，﹣b）点评：此题考查了作图﹣旋转变换，熟练掌握中心对称图形的性质是解本题的关键．四、解答题（本题共12分，每小题6分）22．（6分）（2015春•西城区期末）“中国汉字听写大会”是由中央电视台和国家语言文字工作委员会联合主办的节目，希望通过节目的播出，能吸引更多的人关注对汉字文化的学习．某校也开展了一次“汉字听写”比赛，每位参赛学生听写40个汉字．比赛结束后随机抽取部分学生的听写结果，按听写正确的汉字个数x绘制成了以下不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）本次共随机抽取了50名学生进行调查，听写正确的汉字个数x在21≤x＜31范围的人数最多；（2）补全频数分布直方图；（3）各组的组中值如下表所示．若用各组的组中值代表各组每位学生听写正确的汉字个数，求被调查学生听写正确的汉字个数的平均数；听写正确的汉字个数x 组中值1≤x＜11 611≤x＜21 1621≤x＜31 2631≤x＜41 36（4）该校共有1350名学生，如果听写正确的汉字个数不少于21个定为良好，请你估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数．分析：（1）根据31≤x＜41一组的人数是10，所占的百分比是20%即可求得调查的总人数，根据扇形统计图中每个扇形的圆心角的大小即可判断哪个范围的人数最多；（2）根据被百分比的意义即可求得11≤x＜21一组的人数，进而求得21≤x＜31一组的人数，从而补全直方图；（3）利用加权平均数公式即可求解；（4）利用总人数乘以对应的比例即可求解．解答：解：（1）抽取的学生总数是10÷20%=50（人），听写正确的汉字个数21≤x＜31范围内的人数最多，故答案是：50，21≤x＜31；（2）11≤x＜21一组的人数是：50×30%=15（人），21≤x＜31一组的人数是：50﹣5﹣15﹣10=20．；（3）=23（个）．答：被调查学生听写正确的汉字个数的平均数是23个．（4）（人）．答：估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数约为810人．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．23．（6分）（2015春•西城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．考点：根的判别式．分析：（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于或等于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；（2）找出m范围中的正整数解确定出m的值，经检验即可得到满足题意m的值．解答：解：（1）∵一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（2m+2）2﹣4×1×（m2﹣4）=8m+20＞0，∴；（2）∵m为负整数，∴m=﹣1或﹣2，当m=﹣1时，方程x2﹣3=0的根为：，（不是整数，不符合题意，舍去），当m=﹣2时，方程x2﹣2x=0的根为x1=0，x2=2都是整数，符合题意．综上所述m=﹣2．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．五、解答题（本题共14分，每小题7分）24．（7分）（2015春•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣）在直线y=﹣上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y=经过点B．（1）求a的值及双曲线y=的解析式；（2）经过点B的直线与双曲线y=的另一个交点为点C，且△ABC的面积为．①求直线BC的解析式；②过点B作BD∥x轴交直线y=﹣于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可得到﹣a﹣=，解得a=2，则A（2，﹣），再确定点B的坐标为（2，1），然后把B点坐标代入y=中求出m的值即可得到反比例函数的解析式；（2）①设C（t，），根据三角形面积公式得到×（2﹣t）×（1+）=，解得t=﹣1，则点C的坐标为（﹣1，﹣2），再利用待定系数法求直线BC的解析式；②先确定D（﹣1，1），根据直线BC解析式的特征可得直线BC与x轴的夹角为45°，而BD∥x 轴，于是得到∠DBC=45°，根据正方形的判定方法，只有△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，易得此时P（，﹣）；若∠BDP=90°，利用PD∥y轴，易得此时P（﹣1，﹣2）．解答：解：（1）∵点A（a，）在直线y=﹣上，∴﹣a﹣=，解得a=2，则A（2，﹣），∵AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，∴点B的坐标为（2，1）．∵双曲线y=经过点B（2，1），∴m=2×1=2，∴反比例函数的解析式为y=；（2）①设C（t，），∵A（2，﹣），B（2，1），∴×（2﹣t）×（1+）=，解得t=﹣1，∴点C的坐标为（﹣1，﹣2），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（2，1），C（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣1；②当y=1时，﹣=1，解得x=﹣1，则D（﹣1，1），∵直线BCy=x﹣1为直线y=x向下平移1个单位得到，∴直线BC与x轴的夹角为45°，而BD∥x轴，∴∠DBC=45°，当△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，P点的横坐标为，当x=时，y=x﹣1=﹣，此时P（，﹣），若∠BDP=90°，则PD∥y轴，P点的横坐标为﹣1，当x=﹣1时，y=x﹣1=﹣2，此时P（﹣1，﹣2），综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣2）或（，）．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法．25．（7分）（2015春•西城区期末）已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．（1）如图1，当点E在对角线BD上，点F在BC边上时，连接DF，取DF的中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是ME=MC，∠EMC=120°；（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B旋转，使点E在CB的延长线上，（1）中的其他条件不变．①（1）中ME与MC的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论；②求∠EMC的度数．考点：四边形综合题．分析：（1）首先根据∠BEF=90°，可得∠DEF=90°，再根据点M是DF的中点，可得ME=MD，同理，可得MC=MD，据此推得ME=MC即可；然后判断出∠EMF=2∠MDE，∠CMF=2∠MDC，即可判断出∠EMC=∠EMF+∠CMF=2∠BDC，再根据∠DBC=30°，求出∠BDC的度数，即可求出∠EMC的度数是多少．（2）①首先根据全等三角形判定的方法，判断出△FEM≌△DGM，即可判断出EM=GM；然后在Rt△GEC中，CM=EG=EM，据此判断出ME=MC即可．②首先分别延长FE，DB交于点H，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△FEB≌△HEB，即可判断出FE=HE；再根据FM=MD，可得EM∥HD，据此求出∠7的度数是多少；最后根据ME=MC，求出∠EMC的度数是多少即可．解答：解：（1）如图1，，∵∠BEF=90°，∴∠DEF=90°，∵点M是DF的中点，∴ME=MD，∵∠BCD=90°，点M是DF的中点，∴MC=MD，∴ME=MC；∵ME=MD，∴∠MDE=∠MED，∴∠EMF=∠MDE+∠MED=2∠MDE，∵MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∴∠CMF=∠MDC+∠MCD=2∠MDC，∴∠EMC=∠EMF+∠CMF=2（∠MDE+∠MDC）=2∠BDC，又∵∠DBC=30°，∴∠BDC=90°﹣30°=60°，∴∠EMC=2∠BDC=2×60°=120°．（2）①ME=MC仍然成立．证明：如图2，分别延长EM，CD交于点G，，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB=90°．∵∠BEF=90°，∴∠FEB+∠DCB=180°．∵点E在CB的延长线上，∴FE∥DC．∴∠1=∠G．∵M是DF的中点，∴FM=DM．在△FEM和△DGM中，，∴△FEM≌△DGM，∴ME=GM，∴在Rt△GEC中，MC=EG=ME，∴ME=MC．②如图3，分别延长FE，DB交于点H，，∵∠4=∠5，∠4=∠6，∴∠5=∠6．∵点E在直线FH上，∠FEB=90°，∴∠HEB=∠FEB=90°．在△FEB和△HEB中，，∴△FEB≌△HEB．∴FE=HE．∵FM=MD，∴EM∥HD，∴∠7=∠4=30°，∵ME=MC，∴∠7=∠8=30°，∴∠EMC=180°﹣∠7﹣∠8=180°﹣30°﹣30°=120°．故答案为：ME=MC，120．点评：（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用．（2）此题还考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．一、填空题（本题6分）26．（6分）（2015春•西城区期末）若一个三角形的三条边满足：一边等于其他两边的平均数，我们称这个三角形为“平均数三角形”．（1）下列各组数分别是三角形的三条边长：①5，7，5；②3，3，3；③6，8，4；④1，，2．其中能构成“平均数三角形”的是②③；（填写序号）（2）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．若△ABC既是“平均数三角形”，又是直角三角形，则的值为．考点：勾股定理．专题：新定义．分析：（1）根据平均数三角形的定义验证即可得问题答案；（2）由△ABC是“平均数三角形”，可得b=，又是直角三角形由勾股定理可得：a2+b2=c2，进而可求出的值．解答：解：（1）由“平均数三角形”的概念可知②中3=满足条件；③中6=满足条件；其他不符合题意，故答案为：②③（2）∵△ABC是“平均数三角形”，且a＜b＜c，∴b=①，∵△ABC是直角三角形，∴a2+b2=c2②，由①②可知：=，故答案为：．点评：本题考查了勾股定理的运用以及对新定义题目的解答，是中考常见题型，此类题目难度不大，解题的关键是正确理解题目给出的：“新定义”．二、解答题（本题共14分，每小题7分）27．（7分）（2015春•西城区期末）阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x，点A（1，t）在反比例函数（x＞0）的图象上，求点A到直线l的距离．如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D．他发现OC=CD，∠ADB=45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离．请回答：图1中，AD=4，点A到直线l的距离=2．参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x，点M（a，b）是反比例函数（x＞0）的图象上的一个动点，且点M在第一象限，设点M到直线l的距离为d．（1）如图2，若a=1，d=，则k=9；（2）如图3，当k=8时，①若d=，则a=2或4；②在点M运动的过程中，d的最小值为4．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：把x=1代入反比例解析式求出t的值，确定出A的坐标，进而确定出AC的长，把x=1代入y=﹣x求出y的值，确定出CD的长，由AC+CD求出AD的长；利用等腰直角三角形的性质求出点A到直线l的距离即可；（1）根据题意得到三角形BMD为等腰直角三角形，由MB与BD的长求出MD的长，把x=1代入y=﹣x求出CD的长，由MD﹣CD求出MC的长，即可确定出k的值；（2）①把M坐标代入反比例解析式得到ab=8（i）；同理表示出MD=a+b=6（ii），联立即可求出a 与b的值；②把M坐标代入反比例解析式得到ab=8，根据①得到MD=a+b，利用基本不等式求出MD的最小值，即可确定出BM的最小值，即为d的最小值．解答：解：图1中，把x=1代入反比例解析式得：t=3，即A（1，3），即AC=3，把x=1代入y=﹣x得：y=﹣1，即CD=1，∴AD=AC+CD=3+1=4，点A到直线l的距离AB=×4=2；（1）由题意得：△MBD为等腰直角三角形，∴MB=BD=MD=5，即MD=10，把x=1代入y=﹣x得：y=﹣1，即CD=1，∴MC=9，则k=1×9=9；（2）①由k=8，得到ab=8（i），如图2所示，得到BM=BD=AD=3，即AD=6，把x=a代入y=﹣x得：b=﹣a，即MD=MC+CD=b+a=6（ii），联立（i）（ii）得：a=2，b=4或a=4，b=2，则a=2或4；②由题意得：ab=8，∵a+b≥2=4，∴MD的最小值为4，则BM的最小值为4，即d的最小值为4．故答案为：4；2；（1）9；（2）①2或4；②4点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．28．（7分）（2015春•西城区期末）已知：四边形ABCD是正方形，E是AB边上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF．。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(,1)-∞-2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（ ）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为真命题 （C ）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）侧(左)视图正(主)视图 俯视图 22 1 1（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____.开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○111．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5,2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于 2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <.O x y 4-23O 时间(小时)0.5 1.5 2.5 3.5 0.1 0.4a 频率组距16．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的F CADPMB E概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为32，点3(1,)2A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x =+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．6 3x =- 11. 9 12．113．7922 14．4 是注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列， 所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩……………… 2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎨-=-⎩……………… 3分解得118,2a q ==. ……………… 5 分 所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=． ……………… 7分（Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==， 所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分 16116[1()]343n =-<. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos222x x=+ ……………… 4分πsin(2)3x =+， ……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ……………… 8分（Ⅱ）解：由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ……………… 11分 所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………7分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分 （Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略）， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分FC ADPMB E因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDFV SMN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=. …… 14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. ……………… 2分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零， 所以,x y 中至少有一个小于6， ……………… 4分 又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ， 所以15x y +≤，所以15x y +=. ……………… 5分 （Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ……………… 6分 记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛 为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ， 34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ……………… 2分 又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ……………… 3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ……………… 5分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，易得直线1OP ，2OP 的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分 由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(1)250k x kmx m +++-=， ……………… 10分 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--.综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分 求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分 令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞ (0,1)1(1,)+∞()f x '+-0 +()f x↗↘↗所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分 所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分 （Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分 设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-， 所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分 即2031x =-，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分 （Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”. 由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. ……………… 9分 令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ， 因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ……………… 11分 而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一 根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有 且仅有一个交点. ……………… 13分。

北京市西城区2015年高三二模试卷数 学（文科） 2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =I （ ） （A ）(1,3)-（B ）(1,3]（C ）[1,3)（D ）[1,3]-3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则 下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈， 则输出的s 属于（ ） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3}（D ）{1,3,9}2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8 （D ）8-5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（）（A）（B）（C）（D）6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系2464y x=+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（）（A）3（B）4（C）5（D）67. “3m>”是“曲线22(2)1mx m y--=为双曲线”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8. 在长方体1111ABCD A B C D-中，11AB BC AA===，点P为对角线1AC上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q可以重合），则1B P PQ+的最小值为（）（A（B（C）32（D）2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数10i3i=+____. 10. 抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的 方程是____.11．设函数,11,1()2,.x x f x xx -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤ 则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____. 12．在ABC ∆中, 角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若a =，3b =，2c =， 则A =____；ABC ∆的面积为____.13. 若,x y 满足,2,1,y x y x x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤若z x my =+的最大值为53，则实数m =____.14. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论： ○1π()3f =；○2 函数()f x 在区间π(,π)2上为减函数；○3 任意π[0,]2x ∈，都有()(π)4f x f x +-=.其中所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分） 已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间. 16．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a . 当3n ≥时，比较1nb +与121n b b b ++++L 的大小．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率； （Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论） （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L ，其中x 为1x ，2x ，…，n x 的平均数）19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =.（Ⅰ）若椭圆E 3E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.20．（本小题满分13分）已知函数21()1x f x ax -=+，其中a ∈R .（Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对任意的x ，都有()m f x m -≤≤成立； （Ⅲ）当2a =时，是否存在实数k ，使得关于x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解？当12a =-时的情形又如何？(只需写出结论)。

西城区 2015—2016 学年第二学期初一期末数学试卷一、选择题（本题共29 分，第 1~9 题每题 3 分，第 10 题 2 分）1.9 的算术平方根是（）.A.3B. 3C.3D.±32.已知 a b ，以下不等式中，不正确的选项是（） .．A.a4 b 4B. a 8 b 8C.5a 5bD.6a6b3.以下计算，正确的选项是（） .A.x3x 4x12B.( x3 ) 3x6C.(3 x) 29x2D.2x2x x4.若x1,是对于x和y的二元一次方程ax y 1的解，则a的值等于（）. y25.以下邮票中的多边形中，内角和等于540°的是（）.6. 如图，在数轴上，与表示 2 的点最靠近的点是（）.A.点AB.点BC.点CD.点D7.以下命题中，不．正确的选项是（）.A. 两条直线订交形成的对顶角必定相等B.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角必定相等C.三角形的第三边必定大于另两边之差并且小于另两边之和D. 三角形一边上的高的长度必定不大于这条边上的中线的长度8.如图，在△ ABC中，点 D， E， F 分别是三条边上的点， EF∥ AC，DF∥ AB，若∠ B=45°，∠ C=60°，则∠ EFD=（）.°°°°9. 若点P(3m, m 1) 在第二象限，则m的取值范围是（） .A.m3B.m1C.m1D.1m310. 对随意两个实数a (若 a b),b (若 a b),a， b 定义两种运算： a b = a b =并且b ( 若a b), a (若 a b),定义运算次序仍旧是先做括号内的，比如( 2) 3=3，( 2)3= 2，( 2) 3 2=2.那么( 5 2)327等于（）.A.5B. 3C. 6D.35二、填空题（本题共25 分，第 13 题 2 分，第 12、 17 题各 4 分，其他每题 3 分）11.平面上直线 a，b 分别经过线段 OK的两个端点，所形成的角的度数以下图，则直线 a， b 订交所成的锐角等于______°.12.2762 3 8 =_________（书写每项化简过程）=____.13.右图中是德国现代建筑师丹尼尔·里伯斯金设计的“时间迷宫”挂钟，它直观地表达出了设计师对时间的理解：时间是迷宫一般的存在——“若干抽象的连结和颇具玩味的互动”. 在挂钟所在平面内，经过丈量、绘图等操作方式判断：AB， CD所在直线．．．．的地点关系是________（填“订交”或“平行”），图中 1 与2的大小关系是1 2 .（填“＞”或“＝”或“＜”）14.写出一个解集为x>1的一元一次不等式：.15.如图是建筑大师梁思成先生所做的“清代北平西山碧云寺金刚宝座塔”手绘建筑图 .1925 年孙中山先生在北京病逝后，他的衣帽被封存于此塔内，所以也被称为“孙中山先生衣冠冢”. 在图中右边俯视图的表示图中成立以下图的平面直角坐标系，此中的小正方形网格的宽度为1，那么图中塔的外头左上角处点 C的坐标是______.16.如图，直线 AB∥ CD， E为直线 AB上一点， EH， EM分别交直线 CD于点 F， M， EH均分∠ AEM， MN⊥ AB，垂足为点 N，∠ CFH＝α.（ 1）MN ME （填“>”或“=” 或“ <”），原因是；（ 2）∠EMN=（用含α的式子表示）.17. 如图，在平面直角坐标系xOy中， A(1,0) ，B( 3, 3)，若 BC∥ OA，且 BC OA，=4（ 1）点C的坐标为；（ 2）△ABC的面积等于 =.18.下面横排有 15 个方格，每个方格中都只有一个数字，且任何相邻三个数字之和都是16.．．（ 1）以上方格中=，n =；（2 分）m（2）利用你在解决（ 1）时发现的规律，设计一个在本题背景下有关的拓展问题，或给出设计思路（能够增添条件，不用解答） . （ 1 分）你所设计的问题（或设计思路）是：三、解答题（本题共46 分）19.（本题 6 分）（ 1）解不等式2x 5≤x 31；（2）求（1）中不等式的正整数解.46解：20.（本题 6 分）小华同学在学习整式乘法时发现，假如合理地使用乘法公式能够简化运算，于是以下计算题她是这样做的：小禹看到小华的做法后，对她说：“你做错了，在第一步运用公式时出现了错误，你好好查一下 . ”小华认真检查后自己找到了以下一处错误：小禹看到小华的改错后说：“你还有错没有改出来. ”（ 1）你以为小禹说的对吗（对，不对）（ 2）假如小禹说的对，那小华还有哪些错误没有改出来请你帮助小华把第一步中的其他错误圈画出来并更正，再达成本题的解答过程.．．．．．．．．．．解：21.（本题 6 分）依语句绘图并回答以下问题：已知：如图，△ABC.（1）请用符号或文字语言描绘线段．．CD的特点；（2）画△ABC的边BC上的高AM；（ 3）画BCD 的对顶角ECF ，使点 E在 BC的延伸线上， CE=BC，点 F 在 DC的延伸线上，CF=DC，连结 EF，猜想线段EF所在直线与DB所在直线的地点关系；（ 4）连结AE，过点F画射线FN，使FN∥AE，且FN与线段AB的交点为点N，猜想线段 FN与 AE的数目关系.解：（1）线段CD的特点是.．．（ 2）绘图 .（3）绘图，线段EF所在直线与DB所在直线的地点关系是EF DB.（4）绘图，线段FN与 AE的数目关系是FN AE.22.请从以下两题、中任选一题做答，题 4 分（此时卷面满分100 分），题 6 分（卷面总分不超出100 分）.．．．．解方程组2x 6 3y, x+y 2.（ 1）阅读以下内容：已知实数 x， y 知足 x y 2 ，且3x2 y7k 2,求 k 的值.2 x3y6,三位同学分别提出了以下三种不一样的解题思路：甲同学：先解对于x， y 的方程组3x 2 y 7k 2,再求 k 的值.2 x3 y6,乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k 的值.x y2,丙同学：先解方程组3y 再求 k 的值.2 x6,（2）你最赏识（1）中的哪一种思路先依据你所选的思路解答本题（ 5 分），再对你选择的思路进行简要评论（1 分）.．．．．（评论参照建议：鉴于察看到题目的什么特点设计的相应思路，怎样操作才能实现这些思路、运算的简短性，以及你依此能够总结什么解题策略等等）请先在以下相应方框内打勾，再解答相应题目.我选择□；□（□甲，□乙，□丙）同学的思路.解：23.（本题 6 分）解决以下问题：甲、乙两所学校的同学一同去北京农业职业学院参加学农教育实践活动，活动结束时，两校各派出一些志愿者辅助老师部署闭营成就展现会活动现场 . 老师先派了 9 名甲校志愿者搬运物件，发现此时剩下的甲校志愿者是乙校志愿者的一半，依据需要又派了 14 名乙校志愿者也去搬运，这时剩下的甲校志愿者比剩下的乙校志愿者少 7 人. 问：甲、乙两所学校各有志愿者多少人解：24.（本题 6 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，几段1圆弧（占圆周的1的圆弧）首尾连结围44成的关闭地区形如“宝瓶”，此中圆弧连结点都在正方形网格的格点处，点 A 的坐标是A(0,6) ，点 C的坐标是 C( 6,0) .（ 1）点B的坐标为，点 E 的坐标为；（ 2）当点B向右平移个单位长度时，能与点E重合，假如圆弧?? BCD 也依此规则平移，那么BCD上点 P( x, y)的对应点 P 的坐标为（用含 x， y 的式子表示），在图中画出点P的地点和平移路径（线段 PP ）；（3）联合绘图过程说明求“宝瓶”所覆盖地区面积的思路 .解：25.（本题 6 分）在学习“相交线与平行线”一章时，课本中有一道对于潜望镜的拓广研究题，老师提议班上同学分组展开有关的实践活动. 小钰所在组上网查阅资料，制作了有关PPT介绍给同学（图1、图 2）；小宁所在组制作了以下图的潜望镜模型并且察当作功（图3） .大家联合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理.（ 1）图 4 中，AB，CD代表镜子摆放的地点，着手制作模型时，应当保证AB与 CD 平行，入射光芒与反射光芒知足1= 2 ，3= 4 ，这样走开潜望镜的光芒MN就与进入潜望镜的光芒EF平行，即 MN∥ EF.请达成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标明原因）.∵ AB∥ CD（已知），∴2=（）.∵1= 2，3= 4 （已知），∴1= 234（）.（ 2）在以后的实践活动总结中，老师进一步部署了一个任务：利用图 5 中的原理能够制作一个新的装置进行察看，那么在图 5 中方框地点察看到的物体“影像”的表示图为.A. B. C. D.26.（本题 6 分）如图，△ ABC中， D， E，F 三点分别在 AB，AC， BC三边上，过点 D的直线与线段EF的交点为点 H，1+ 2=180，3= C.（1）求证：DE∥BC；（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的地点不变，点F在边BC上运动使得∠ DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点 F 重合，记立，∠ DEF应知足何条件（能够是便于画出正确地点的条件）并依据它画出切合题意的图形.C，研究：要使∠ 1=∠BFH成. 直接写出你研究获得的结果，（ 1）证明：（ 2）要使∠ 1=∠BFH成立，∠DEF应知足.北京市西城区 2015-2016 学年度第二学期期末试卷七年级数学附带题试卷满分： 20 分一、填空题（本题6 分）1. 参加学校科普知识比赛决赛的 5 名同学 A ， B ， C ， D ， E 在赛后知道了自己的成绩，想赶快得悉比赛的名次，大家相互探询后获得了以下信息： （分别以相应字母来对应他们自己的成绩）信息序号文字信息 数学表达式1 C 和 D 的得分之和是 E 得分的2 倍2B 的得分高于 DB>D3 A 和 B 的得分之和等于 C 和 D 的总分 4D 的得分高于 E（ 1）请参照表中第二条则字信息的翻译方式，在表中写出其他三条则字信息的数学表达式；（ 2）5 位同学的比赛名次挨次是. （模仿第二条信息的数学表达式用“＞”连结）二、解答题（本题共14 分，每题 7 分）2. （ 1）阅读以下资料并填空：4x 3 y 54, 我们能够将x ， y 的系数和相应的常数项排成一个数表对于二元一次方程组3y36, x4354x a, 1 0 a ，求得的一次方程组的解y 用数表可表示为. 用数表能够简化表达解一次1336b0 1 b方程组的过程以下，请补全此中的空白：x,进而获得该方程组的解为y.2x 3 y 6,（ 2）模仿（ 1）中数表的书写格式写出解方程组的过程．x+ y2A， B 分别为x轴正半轴和y 轴正半轴上的两3．（ 1）如图，在平面直角坐标系xOy中，点x 轴上的一个动点（与点O， A 不重合），分别作∠OBC和∠ ACB 个定点，点C为C所在的的角均分线，两角均分线所在直线交于点E，直接回答∠BEC的度数及点相应地点．（ 2）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ FGH的一个极点 F 在 y 轴的负半轴上，射线FO 均分∠ GFH，过点 H的直线 MN交 x 轴于点 M，知足∠ MHF=∠ GHN，过点 H作HP⊥ MN交 x 轴于点 P，请研究∠ MPH与∠ G的数目关系，并写出简要证明思路．解：∠ MPH与∠ G的数目关系为．简要证明思路：北京市西城区 2015-2016 学年度第二学期期末试卷七年级数学参照答案及评分标准一、（本共29分，第 1~9 每小 3 分，第10 2分）号12345678910答案B D C A B D B B A A 二、填空（本共25分，第 13 2 分，第 12、 17各 4 分，其他每小 3 分）11121314号答30（各 1分）答案不独一，76(2)案订交（ 1 分），＞（ 1 分）1（1分）如 2x＞2 15161718号答( 2,5)（）＜，垂段最短（1）(1, 3)或( 7, 3)（）（分），11 6 1案（各 1 分）；（各 1 分）；6（1分）；（ 2）（1 分）（ 2）6（ 2 分）（ 2）略（ 1 分）2α 90°三、解答（本共46 分）19.（本 6 分）解：（ 1）去分母，得3(2x 5)≤2( x 3) 12 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分去括号，得6x 15≤2 x 6 12 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分移，归并，得4x≤9 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分系数化 1，得x≤9.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分4所以此不等式的解集x≤9. 4（ 2）因（ 1）中不等式的解集x≤9，所以它的正整数解1， 2. ⋯⋯⋯⋯⋯6分420．（本 6 分）解：（ 1）；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2 x 3y)2( x 2 y)( x 2 y)= 4x212xy9 y2x2 4 y2= 3x212 xy 13 y2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分卷明：两圈画和改各 1 分，果 1 分．21．（本 6 分）解：1．（ 1）CD⊥BC，垂足点C，与 AB的交点点D.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（ 2）画 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分1（3）画 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分EF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（4）画 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分FN =AE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分22.（ 4分， 6分）2x63y,①x+y 2.解：由②得 x 2 y. ③ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分将③代入①得2(2 y ) 6 3 y.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分解得y 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分将 y 2 代入③ ，得x0.∴ 原方程的解x0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分y 2.3x 2 y7k2,①解：甲同学：3 y 6.2 x② 3－①2，得y 2214k③⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分2.5把③代入②得x 21k18⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分3 5. ④把③、④代入 x y 2 ，得21k18 22 14k 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分55解得 k 6分 5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯73x2y7k 2, ①乙同学：3y 6.2x① +②，得5x 5 y 7k 4 .③ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分将 x y 2 整体代入③，得7k410 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分解得k 6分 5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7x y2,x0,分丙同学：先解3 y 6.得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 42x y 2.再将 x， y 的代入 3x 2 y7k2，解得 k 65分. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7价参照：甲同学是直接依据方程的解的观点先解方程，获得用含k 的式子表示，y的表达x式，再代入 x y 2 获得对于 k 的方程，没有更多的察和思虑，解法比繁，算量大；乙同学察到了方程中未知数x， y 的系数，以及与 x y 2 中的系数的特别关系，利用整体代入化算，并且不用求出x， y 的就能解决，思路比灵巧，算量小；丙同学将三个方程做一个整体，当作对于x， y， k 的三元一次方程，并且先解此中只含有两个未知数x， y 的二元一次方程，相算量小，但不如乙同学的、灵巧.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分23.（本 6 分）解：甲校有志愿者x 人，乙校有志愿者y 人.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分x9y,依据意，得2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分x9( y 14)7.解方程，得x30,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分y 42.答：甲校有志愿者30 人，乙校有志愿者42 人.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分24. （本 6 分）解：（ 1）B(3,3) ， E(3,3) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（ 2） 6，( x 6, y) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分画 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分?（ 3）将弧BCD及段BD成的地区向右平移 6个位??度，将 AB 和 AE 以及段 BE成的地区向下平移6 个位度，“宝瓶”所覆盖地区面与正方形BDFE面相等，求正方形BDFE面即可.（面36）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2卷明：不回答“面36”不扣分；其他思路相分 .25. （本 6分）解：（ 1）∵ AB∥ CD（已知），∴ ∠ 2=∠ 3（两直平行，内角相等） .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵ ∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4（已知），∴ ∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4（等量代） . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∵ A，F， B三点共， C， M， D三点共，∴ ∠ 5=180° - ∠1- ∠ 2.∠ 6=180° - ∠3- ∠ 4.∴ ∠5=∠ 6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分6分（ 2）C. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴ MN∥ EF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分26. （本 6分）（ 1）明：如 3.∵ ∠1是△ DEH的外角，∴ ∠1=∠3+∠4.又∵∠3=∠C，∠ 1+∠2=180，∴ ∠ C+∠4+∠2=180.∵ ∠ DEC=∠4+∠2，∴ ∠ DEC+∠ C =180.∴ DE∥ BC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（ 2）DEF90，或许点 F 运到∠DEC的角均分与BC的交点地点（即EF2均分∠ DEC）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分画 4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分34北京市西城区 2015-2016 学年度第二学期期末试卷七年级数学附带题参照答案及评分标准一、填空（本 6 分）1.解：（ 1）信息序号文字信息数学表达式1C和 D的得分之和是E得分的2倍C D2E2B的得分高于 D B>D3A和 B 的得分之和等于C和 D的分A B C D4的得分高于E D ED⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（ 2）B D E C A .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分卷明：写 B D E 得第4分， C，A的名次酌情分.二、解答（本共14 分，每7 分）下行-上行2.解：（1）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分1 0 6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分0110⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）x 0,所以方程的解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分y 2.3.解：（ 1）如 1，当点C在x半上或x正半上点A右，∠BEC=135 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分当点 C 在段 OA上（且与点O， A 不重合），∠ BEC=45y y y. ⋯⋯⋯⋯B B BE11E1⋯⋯4 分（ 2 ）C O1A x O1AC x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分要明思路：如2，射FO与y的交点点Q．O1C AE1 x MPH G 2．⋯⋯⋯⋯由∠ MHF=∠ GHN， HP⊥ MN可得1 2 ，再由射 FO均分∠ GFH，可知3 4 ，点Q是△FGH的两条角均分的交点，可得1(180G) 901FQH 1801 3 180G ．⋯⋯⋯22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又由∠ FQH是△ OPQ的外角可得FQH 90MPH ．可得 MPH 1G ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分2阅卷说明：其他证明思路相应给分．图 2。

北京市西城区2015—2016学年下学期高二年级期末考试数学试卷(文科）试卷满分:150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1。

已知集合A=｛x ∈1x 0<<R ｝,B=｛x ∈0)1x 2(x >-⋅R }，则A B=A. ｛x ∈21x 0<<R ｝ B 。

｛x ∈1x 21<<R }C. ｛x ∈1x 0<<R }D. ｛x ∈0x ≠R }2。

已知｛a n ｝是公差为—2的等差数列，如果a 1和a 5的等差中项为—1，那么a 2=A 。

-3 B. -2 C. l D 。

3 3。

下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是A 。

y=-x 2B 。

y=log 21x C 。

y=（21）xD 。

y=x-x14。

函数y=x 21的图象大致是A B C D5. 若a 〉b 〉0,c 〈d<0,则一定有A。

ad〉bc B。

ad〈bc C. ac>bd D。

ac〈bd的是6. 设{a n}是等比数列。

下列结论中不正确．．．A。

若a1a2>0，则a2a3〉0 B. 若a1+a3<0，则a5<0C. 若a1a2<0，则a1a5<0 D。

若0〈a1<a2，则a1+a3>2a2 7。

函数f(x)=1+cx2，其中c为常数。

那么“c=0”是“f(x）为奇x函数”的A。

充分而不必要条件B。

必要而不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件8. 已知函数f（x)的定义域为R.若∃常数c>0,对∀x∈R,都有f（x）+c≥f（x+c)，则称函数f（x）具有性质P。

给定下列三个函数：①f（x)=1x+1；②f（x)=x2; ③f（x）=2x。

2其中,具有性质P的函数的序号是A。

① B. ② C. ③ D. ①③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上。

2014-2015学年第一学期期末考试高三数学（文科）试卷一．选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若集合 A= ｛x | |x|1≤, x R ∈｝, B= ｛y| y=x 2 ,x R ∈｝, 则AB = ( )A. ｛x | 11x -≤≤｝；B. ｛x | 0x ≥｝；C. ｛x | 01x ≤≤｝ ;D. Φ 2. 若复数1z i =+, i 为虚数单位，则 ()1z z +=（ ） A. 3i - ； B. 33i + ; C. 3 ; D. 13i +3. “ m=1/2 ”是 “直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直 ”的 （ ）A.充分必要条件；B. 充分不必要条件；C. 必要不充分条件；D. 既不充分也不必要条件。

4. 1tan151tan15Oo+- 的值是（ ）A.2 B. C. 2 D. 5. 设｛a n ｝是公比大于1的等比数列，若a 2011 与a 2012 是方程 24830x x -+=的两根，则a 2013 + a 2014 的值是 （ ）A. 2 ;B. 9 ;C. 18 ;D. 20 ; 6. 已知函数 ()21log 11xf x x x-=-+++，则1120142014f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A. 0 ；B. -2 ；C. 2 ；D. 22013log 20157. 已知点P 在曲线 41x y e =+ 上，α 为曲线在点P 处切线的倾斜角，则角α的取值范围是 （ ） A. 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭; B. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ; C. 3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ; D. 3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 直线 y x m =+（m 为参数）被椭圆 2214x y +=截得的弦的长度最大值是（ ） A. 2 ; B.; C.; D.； 9. 沿对角线AC 将正方形A B C D 折成直二面角后，A B 与C D 所在的直线所成的角等于（ ）A. 90° ;B. 60° ;C. 45° ;D. 30°10. 已知O 是 △ABC 所在平面内的一点，角A 、B 、C 所对应的边长分别为a, b, c, 若aOA bOB cOC O ++= , 则O 是 △ABC 的（ ）A. 内心 ；B. 外心 ；C. 重心 ；D. 垂心 。

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-3．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A 为锐角，2a b =，3sin 4B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C ）3sin 3A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件2．设命题p ：2log 0,2xx x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2xx x ∀>< （B ）2log 0,2xx x ∃>≤ （C ）2log 0,2xx x ∃><（D ）2log 0,2xx x ∃>≥a =2，x =3开始 x y a =x =x +1103y x >+ 输出x 结束否是（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ） （A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）458. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（ ） （A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.7． 设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（ ）（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤（D ）2||d AB <A BE CD GH F侧(左)视图正(主)视图 22 11111．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C 的一条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-． （Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围． 17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）18．（本小题满分13分）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1） 投资股市：投资结果 获利不赔不赚亏损概 率12 18 38（2） 购买基金：投资结果 获利不赔不赚亏损概 率p13q（Ⅰ）当12p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.B CA 1 D 1DA B 1C 1E F（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．22 10．2π311. 22 12．221416x y -=513．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =- ……………… 3分sin 2x =， ……………… 5分所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分 （Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤，解得ππππ44k x k -+≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分 当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增， 所以函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+， 所以 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分所以 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分 得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分 验证知1n =时，1a 符合上式，所以43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分 因为 55T S <，所以 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分 又因为10b ≠，所以1b 的取值范围是45(,0)(0,)31-∞． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，A 1 D 1B 1C 1F所以平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以 1A F ∥CE . …………………3分 又 1A F ⊄平面1B CE ，CE ⊂平面1B CE ，所以 1A F ∥平面1B CE . …………………6分 （Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =， 所以 222112AC =+=，222112CD =+=. 所以 222AC CD AD +=，所以 90ACD ∠=，即AC CD ⊥. …………………7分 因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ， 所以 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，所以 1C C AC ⊥. …………………9分 又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CDC C C =，所以 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范围是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种 且三种投资结果相互独立，所以 p +13+q =1. ……………… 2分又因为 12p =， 所以 q =61． ……………… 3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得 38q <， ……………… 4分 因为 p +13+q =1，所以 2338q p =-<，解得 724p >. ……………… 7分 又因为 113p q ++=，0q ≥， 所以 23p ≤. 所以72243p ≤<. ……………… 8分 （Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种， 它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x . …………… 11分 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,23b =,222c a b =-=, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅,所以2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分 即 212y y -=.所以 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， ……………… 11分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ， 即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ， 解得 25±=k . ……………… 13分所以直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分 理由如下：由条件知2()f x x =-， 由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分 所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………4分由②，得 1(21)a s s =-，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，x1(,1)21 (1,)+∞()F x ' +0 -()F x↗↘…………………8分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分 （Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …………………13分。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学 2016.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有若向量 (=a二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，ABCD则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域； （Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP xAB y AC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ACPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð_____．2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2,1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系ekx by +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2xxf >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2016.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.D ；6.D ；7.A ；8.A ；9.C ； 10.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.2-； 12. 1()2-b a ； 13. 43-； 14.3π； 15. 85π； 16. 32. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为2απ∈π(,)，且3sin 5α=，所以4cos 5α==-. ………………3分所以sin 3tan cos 4ααα==-. ………………5分所以tan 1tan()741tan αααπ--==-+. ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，24sin 22sin cos 25ααα==-， ………………9分2321cos 22cos 25αα+==. ………………11分所以244sin2cos 1255321cos 2825ααα-+-==-+. ………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意()2sin(2)3f x x π=+，因为02x π≤≤，所以02x ≤≤π.所以42333x πππ≤+≤. ………………3分所以sin(2)13x π≤+≤. ………………6分 所以2)(3≤≤-x f ，函数)(x f的值域为[. ………………8分 （Ⅱ）由已知(,)12B A π，13(,)12C A π，(,0)3D π, ………………11分所以(,)4DB A π=-，3(,)4DC A π=.因为CD BD ⊥，所以⊥，223016DB DC A -π⋅=+=，解得A =又0A >，所以A =. ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- ………………2分213122AB AC AB =⋅-=--=-.………………4分（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，1(2C -. ………………5分 设(cos ,sin )P θθ， [0,]3θ2π∈， (6)分由AP xAB y AC =+，得1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-. 所以cos,sin 2y x y θθ=-=.所以cos x θθ=+，y θ=，………………8分 2211cos sin sin 2cos 233333xy θθθθθ=+=+- 2112cos 2)3223θθ=-+………………10分21sin(2)363θπ=-+. ………………11分 因为2[0,]3θπ∈，2[,]666θππ7π-∈-.所以，当262θππ-=，即3θπ=时，xy 的最大值为1. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01}x x <≤；2. 1,62； 3. 1-； 4. {2}a a <； 5. 0.4. 注：2题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）因为26()1x f x x =+，所以26()1xf x x --=+ ()f x =-. ………………4分 所以()f x 为奇函数. ………………6分（Ⅱ）由不等式(2)2xxf >，得262221xx x⋅>+. ………………8分 整理得225x<， ………………9分所以22log 5x <，即21log 52x <. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）当1a =时，2()2f x x x =-. 二次函数图象的对称轴为1x =，开口向上.所以在区间[0,2]上，当1x =时，()f x 的最小值为1-. ………………1分 当0x =或2x =时，()f x 的最大值为0. ………………2分 所以()f x 在区间[0,2]上的值域为[1,0]-. ………………3分 （Ⅱ）注意到2()2f x x ax =-的零点是0和2a ，且抛物线开口向上.当0a ≤时，在区间[0,2]上2()()2g x f x x ax ==-，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………4分当01a <<时，需比较(2)g 与()g a 的大小，22()(2)(44)44g a g a a a a -=--=+-，所以，当02a <<时，()(2)0g a g -<；当21a -≤<时，()(2)0g a g ->.所以，当02a <<时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………5分当21a ≤<时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………6分 当12a ≤≤时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………7分 当2a >时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………8分所以，()g x的最大值244,2,(),22,44, 2.a a t a a a a a ⎧-<⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎩………………9分所以，当2a =时，()t a的最小值为12-………………10分 8.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由已知114x =，212x =. 所以 121212max{max{,},max{,1}}d x x x x x x =---1111111max{max{,},max{,}}max{,}4442422===. ………………4分（Ⅱ）取113x =，23x 2=，此时试验的预计误差为31. ………………5分以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计. 证明：分两种情形讨论1x 点的位置. ① 当311<x 时，如图所示， 如果 21233x ≤<，那么 2113d x ≥->； 如果2213x ≤≤，那么 2113d x x ≥->. ………………7分 ② 当311>x ，113d x ≥>.综上，当113x ≠时，13d >. ………………8分 (同理可得当223x ≠时，13d >) 即113x =，23x 2=时，试验的预计误差最小. （Ⅲ）当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值分别为14和15. ………………10分注：用通俗语言叙述证明过程也给分.11x 2x 31。

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学 2015.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （ ） （A ）(0,18)（B ）(12,12)（C ）(8,14)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）35（B ）34（C ）34-（D ）45-4．已知函数sin y x =和cos y x =在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)25．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +=（ ） （A ）2AD（B ）2DA（C ）2BD（D ）2DB6．下列函数中，偶函数是（ ） （A ）()sin()f x x =π+ （B ）()tan()f x x =π- （C ）()sin()2f x x π=+ （D ）()cos()2f x x π=-7．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数cos y x =的图象（ ） （A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位（C ）向左平移π6个单位 （D ）向右平移π6个单位8．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（ ）（A ）4（B ）2（C （D ）19．函数2sin y x =的最小正周期为（ ） （A ）2π（B ）π（C ）π2（D ）π410．已知向量(1,sin )θ=a ，(cos θ=b ，其中R θ∈，则||-a b 的最大值是（ ） （A ）4（B ）3（C ）2（D ）1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若(0,)∈πα，且α与角53π-终边相同，则=α_____． 12．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 13．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 14． 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()(sin cos )f x x x =+的最大值是_____．16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 函数()f x 的图象与2()cos(2)3g x x π=-的图象重合； ② 函数()f x 的图象关于点(,0)12π对称； ③ 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，且(,)2π∈πα． （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(2=-b ，其中α是锐角． （Ⅰ）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （Ⅱ）当|2||2|+=-a b a b 时，求角α．19．（本小题满分12分）已知函数()sin 21f x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若对于任意ππ[,]42x ∈，都有()2f x m -<成立，求实数m 的取值范围．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．函数1lg y x=的定义域是_____． 2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____． 3．662log 2log 9+=_____． 4．函数21,0,()4,0,x x f x x x ->⎧=⎨-<⎩的零点是_____．5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若(21)()f m f m ->，则实数m 的取值范围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}M x a x a =<<+． （Ⅰ）求集合U P ð；（Ⅱ）若U P M ⊆ð，求实数a 的取值范围．7．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R . （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．8．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.C ；3.D ；4. D ；5. A ；6. C ；7. C ；8.B ；9. B ； 10.B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.3π； 12. 12-； 13. 1213-； 14.32； 15. 2； 16. ① ② ③.注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=. 【10分】 所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由向量(cos sin )αα=，a，1(22=-b ， 得1(cos ,sin )22+=-+ααa b ，1(cos ,sin )22-=+-ααa b ， 【 1分】 由π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 2分】因为222213()()||||(sin cos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 5分】 所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 6分】 （Ⅱ）解：将|2||2|+=-a b a b 两边平方，化简得223(||||)80-+⋅=a b a b . 【 8分】 由||||1==a b ， 得 0⋅=a b ， 【 9分】所以 1cos 022αα-+=，所以 tan =α. 【11分】 注意到 π(0,)2∈α， 所以 π6α=. 【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()sin 21f x x x =+π12sin(2)3x =+-． 【 2分】因为函数sin y x =的单调递减区间为π3π[2π,2π]()22k k k ++∈Z ． 由 ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+()k ∈Z ， 【 4分】 得 5π11πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ． 所以()f x 的单调递减区间为5π11π[π,π]1212k k ++()k ∈Z ． 【 6分】 （Ⅱ）解： 因为 ππ[,]42x ∈， 所以 ππ2π2633x -≤≤，由（Ⅰ）得 π212sin(2)33x +-≤≤，所以 ()f x 的值域是[23]，． 【 8分】 ()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ[,]42x ∈． 【10分】所以 max ()2m f x >-，且 min ()2m f x <+，所以 14m <<， 即m 的取值范围是(1,4)． 【12分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01x x ∈<<R ，或1}x >；2. 12； 3. 2； 4. 2-，1； 5. 1(,1)3.注：4题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}U P x x x =-<ð， 【 2分】 即集合{|02}U P x x =<<ð. 【 4分】 （Ⅱ）解：因为 U P M ⊆ð，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩ 【 6分】解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩ 【 8分】所以 [2,0]a ∈-. 【10分】 注：第（Ⅱ）小问没有等号扣1分. 7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】 由212a-=，得0a =. 【 4分】 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=.① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->，解得32log ()2ax b>-. 【 8分】 ② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xab-<， 解得32log ()2ax b<-. 【10分】。

北京市西城区2014— 2015学年度第二学期期末试卷八年级数学 2015.7试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）．A B C D 2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能．．构成直角三角形的是（ ）．A ．2，2，3B ．3，4，5C ．5，12，13D ．13．已知□ABCD 中，∠A +∠C =200°，则∠B 的度数是（ ）． A ．100° B ．160° C ．80°D ．60°4．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．若∠AOB =60°，BD =8，则AB 的长 为（ ）．A ．4B ．C ．3D ．55. 如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数ky x=（0x <）的 图象经过点A ，则k 的值为（ ）．A ．2B ．2-C ．4D ．4-6．某篮球兴趣小组有15名同学，在一次投篮比赛中，他们的成绩如右面的条形图所示．这15名 同学进球数的众数和中位数分别是（ ）．A ．10，7B ．7，7C ．9，9D ．9，7 7．下列命题中正确的是（ ）． A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形8．某小区2014年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2016年屋顶绿化面积要达到2880 平方米．若设屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意所列方程正确的是（ ）．A ．22000(1)2880x +=B ．22000(1)2880x -=C ．2000(12)2880x +=D ．220002880x = 9．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为（ ）．A ．10B ．C ．10或D ．10 10．如图，以线段AB 为边分别作直角三角形ABC 和等边三角形ABD ，其中∠ACB =90°．连接CD ，当CD 的长度最大时，此时∠CAB 的 大小是（ ）．A ．75°B ．45°C ．30°D ．15°二、填空题（本题共24分，每小题3分）11．若2x =是关于x 的一元二次方程0132=+++m x x 的一个解，则m 的值为 ．12．如图，为估计池塘岸边A ，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点O ，分别取OA ，OB 的中点M ，N ，测得MN =32m ， 则A ，B 两点间的距离是 m ．13．2015年8月22日，世界田径锦标赛将在北京举行，甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在为该运动会积极准备．在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.6秒，甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是0.07，0.03，0.05，0.02．则当天这四位运动员中“110米跨栏”的训练成绩最稳定运动员的是 ．14．双曲线xy 2=经过点A (2，y 1)和点B (3，y 2)，则y 1 y 2．（填“＞”、“＜”或“＝”）15. 如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC ． 若AB =4，AC =6，则BD 的长为 ．16．将一元二次方程2830x x ++=化成2()x a b +=的形式，则a b+的值为．17．如图，将□ABCD绕点A逆时针旋转30°得到□AB′C′D′，点B′恰好落在BC边上，则∠DAB′= °．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B在x轴上，OA=1，∠AOC=60°．当菱形OABC开始以每秒转动60度的速度绕点O逆时针旋转时，动点P同时从点O出发，以每秒1个单位的速度沿菱形OABC的边逆时针运动．当运动时间为1点P的坐标是；当运动时间为2015秒时，点P的坐标是．三、解答题（本题共20分，第19题10分，其余每小题5分）19．解方程：（1）2x--=；（2）2260(5)90+-=．x x解：解：20．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE ∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．（1）求证：△AEB≌△CFD ；（2）连接AF，CE，若∠AFE=∠CFE，求证：四边形AFCE是菱形．证明：（1）（2）21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2-，1-），B（4-，1），C（3-，3）．△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．（1）画出△A1B1C1；（2）BC与B1C1的位置关系是_______________，AA1的长为_____________；（3）若点P（a，b）是△ABC 一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为_________________．四、解答题（本题共12分，每小题6分）22．“中国汉字听写大会”是由中央电视台和国家语言文字工作委员会联合主办的节目，希望通过节目的播出，能吸引更多的人关注对汉字文化的学习．某校也开展了一次“汉字听写”比赛，每位参赛学生听写40个汉字．比赛结束后随机抽取部分学生的听写结果，按听写正确的汉字个数x 绘制成了以下不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）本次共随机抽取了___________名学生进行调查，听写正确的汉字个数x 在______________范围的人数最多； （2）补全频数分布直方图；（3）各组的组中值如下表所示．若用各组的组中值代表各组每位学生听写正确的汉字个数，求被调查学生听写正确的汉字个数的平均数；（4）该校共有1350名学生，如果听写正确的汉字个数不少于21个定为良好，请你估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数． 解：（3）（4）23．已知关于x 的一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m 的值．解：（1）（2）五、解答题（本题共14分，每小题7分）24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，72-）在直线3122y x=--上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线myx=经过点B．（1）求a的值及双曲线myx=的解析式；（2）经过点B的直线与双曲线myx=的另一个交点为点C，且△ABC的面积为274．①求直线BC的解析式；②过点B作BD∥x轴交直线3122y x=--于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．解：（1）（2）①②点P的坐标为___________________________．25．已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．（1）如图1，当点E在对角线BD上，点F在BC边上时，连接DF，取DF的中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是，∠EMC=________°；（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B旋转，使点E在CB的延长线上，（1）中的其他条件不变．①（1）中ME与MC的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论；②求∠EMC的度数．图1 图2解：（2）①②北京市西城区2014— 2015学年度第二学期期末试卷八年级数学附加题2015.7试卷满分：20分一、填空题（本题6分）1．若一个三角形的三条边满足：一边等于其他两边的平均数，我们称这个三角形为“平均数三角形”．（1）下列各组数分别是三角形的三条边长：①5，7，5； ②3，3，3； ③6，8，4； ④1，2．其中能构成“平均数三角形”的是 ；（填写序号） （2）已知△ABC 的三条边长分别为a ，b ，c ，且a＜b＜c ．若△ABC 既是 “平均数三角形”，又是直角三角形，则ab的值为___________． 二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y x =-，点A （1，t ）在反比例函数3y x=（0x >）的图象上，求点A 到直线l 的距离．如图1，他过点A 作AB ⊥l 于点B ，AD ∥y 轴分别交x 轴于点C ，交直线l 于点D ．他发现OC =CD ，∠ADB =45°，可求出AD 的长，再利用Rt △ABD 求出AB 的长，即为点A 到直线l 的距离． 请回答：图1中，AD = ，点A 到直线l 的距离= ． 参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y x =-，点M （a ，b ）是反比例函数k y x=（0x >）的图象上的一个动点，且点M 在第一象限，设点M 到直线l 的距离为d ． （1）如图2，若a =1，d=k = ； （2）如图3，当k =8时，①若d=，则a = ；②在点M 运动的过程中，d 的最小值为 ．（1）如图1，求证：DE =DF ；（2）若点D 关于直线EF 的对称点为H ，连接CH ，过点H 作PH ⊥CH 交直线AB 于点P ．①在图2中依题意补全图形； ②求证：E 为AP 的中点；（3）如图3，连接AC 交EF 于点M ，求2AMAB AE的值．（1）证明：（2）②证明：（3）解：北京市西城区2014— 2015学年度第二学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准 2015.7一、选择题（本题共30分，每小题3分）图2图3三、解答题（本题共20分，第19题10分，其余每小题5分）19．（1）解：2(5)9x -=． ………………………………………………………………1分得53x -=±． …………………………………………………………………3分即53x -=，或53x -=-．解得18x =，22x =． …………………………………………………………5分（2）解：1a =，2b =，6c =-． ………………………………………………………1分224241(6)28b ac ∆=-=-⨯⨯-=． …………………………………………2分方程有两个不相等的实数根x = …………………………3分 1==-±． 即11x =-+，21x =--． ……………………………………………5分20．证明：（1）如图1．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=DC ．………………1分∴∠1=∠2．∵AE ∥CF ，∴∠3=∠4． ………………………2分在△AEB 和△CFD 中，34,12,,AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB ≌△CFD ． ………………………………………………………3分（2）如图2．∵△AEB ≌△CFD ，∴AE =CF ．∵AE ∥CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． ∵∠5=∠4，∠3=∠4，∴∠5=∠3．图1∴AF =AE ．∴四边形AFCE 是菱形． …………………………………………………5分21．解：（1）如图3；…………………………………2分（2）BC ∥B 1C 1，；……………………4分（3）（a -，b -）．…………………………5分四、解答题（本题共12分，每小题6分）22．解：（1）50，21≤x <31；…………………………2分（2）如图4； ………………………………4分（3）6516152620361050x ⨯+⨯+⨯+⨯= =23（个）． ………………………5分（4）2010135081050+⨯=（人）．…………………………………………………6分 答：估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数约为810人．23．解：（1）∵一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根， ∴2224(22)41(4)b ac m m ∆=-=+-⨯⨯- ………………………………1分 8200m =+> ……………………………………………………………2分∴52m >-．……………………………………………………………………3分 （2）∵m 为负整数，∴1m =-或2-． ……………………………………………………………4分 当1m =-时，方程230x -=的根为1x =2x =舍去． …………………………………………………………………………5分当2m =-时，方程220x x -=的根为10x =，22x =都是整数，符合题意．综上所述 2m =-． …………………………………………………………6分24．解：（1）∵点A （a ，72-）在直线3122y x =--上， ∴731222a -=--． ∴2a =． …………………………………………………………………… 1分∵AB ∥y 轴，且点B 的纵坐标为1，∴点B 的坐标为（2，1）．∵双曲线m y x=经过点B （2，1）， ∴12m =，即2m =． ∴反比例函数的解析式为2y x=． ………………………………………… 2分 （2）①过点C 作CE ⊥AB 于点E ，如图5．∴117[1()]222ABC S AB CE CE ∆=⋅=⨯--⨯ ∴CE =3． ∴点C 的横坐标为1-．∵点C 在双曲线2y x=上， ∴点C 的坐标为（1-，2-）． 设直线BC 的解析式为y kx b =+，则 12,2.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ ∴直线BC 的解析式为1y x =-． …………………………… 5分②（1-，2-）或（12，12-）． …………………………………………… 7分25．解：（1）ME =MC ，120； ……………………………………………………………… 2分（2）①ME =MC 仍然成立．证明：分别延长EM ，CD 交于点G ，如图6． ………………………… 3分∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DCB =90°．∵∠BEF =90°，∴∠FEB +∠DCB =180°．∵点E 在CB 的延长线上，∴FE ∥DC ．∴∠1=∠G ．∵M 是DF 的中点，∴FM=DM．在△FEM和△DGM中，∠1=∠G，∠2=∠3，FM=DM，∴△FEM≌△DGM．………………………………………………4分∴EM=GM．∴在Rt△GEC中，CM=12EG=EM．即ME=MC．………………………………………………………5分②分别延长FE，DB交于点H，如图7．∵∠4=∠5，∠4=∠6，∴∠5=∠6．∵点E在直线FH上，∠FEB=90°，∴∠HEB=∠FEB=90°．在△FEB和△HEB中，∠FEB=∠HEB，EB=EB，∠5=∠6，∴△FEB≌△HEB．∴FE=HE．∵FM=MD，∴EM∥HD．………………………………………………………………6分∴∠7=∠4=30°．∵ME=MC，∴∠7=∠8=30°．∴∠EMC=180°—∠7—∠8=180°—30°—30°=120°．…………………7分北京市西城区2014— 2015学年度第二学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准2015.7一、填空题（本题6分）1．（1）②，③；……………………………………………………………………………4分（2）34．…………………………………………………………………………………6分二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．解：4，2分解决问题：（1）9； ………………………………………………………………… 4分（2）① 2或4；…………………………………………………………6分② 4．……………………………………………………………… 7分3．（1）证明：如图1．∵四边形ABCD 是正方形，∴DA =DC ，∠DAE =∠ADC =∠DCB =90°．∴∠DCF =180°—90°=90°．∴∠DAE =∠DCF ．∵DF ⊥DE ，∴∠EDF =90°． ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3． …………………………………………………… 1分在△DAE 和△DCF 中，∠DAE =∠DCF ，DA =DC ，∠1=∠3，∴△DAE ≌△DCF ．∴DE =DF ． ………………………… 2分（2）①所画图形如图2所示．………………… 3分②证明：连接HE ，HF ，如图3．∵点H 与点D 关于直线EF 对称，∴EH =ED ，FH =FD ．∵DE =DF ，∴EH = FH =ED =FD ．∴四边形DEHF 是菱形．∵∠EDF =90°，∴四边形DEHF 是正方形． …………………………………………… 4分∴∠DEH =∠EHF =∠HFD =90°．∴∠1+∠2=90°，∠3+∠DFC =90°．∵△DAE ≌△DCF ，∴∠1=∠DFC ，AE =CF ．∴∠2=∠3．∵PH ⊥CH ，∴∠PHC =90°．∵∠4+∠5=90°，∠5+∠6=90°，∴∠4=∠6．在△HPE 和△HCF 中，∠2=∠3，EH =FH ，∠4=∠6， ∴△HPE ≌△HCF ．∴PE =CF ．∴AE =PE ．∴点E 是AP 的中点． ………………………………………………… 5分图3（3）解：过点F 作GF ⊥CF 交AC 的延长线于点G ，如图4．则∠GFC =90°．∵正方形ABCD 中，∠B =90°，∴∠GFC =∠B ．∴AB ∥GF ．∴∠1=∠G ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，∠1=∠2=12⨯90°=45°． ∴∠3=∠2=∠1=∠G =45°． ∴FC =FG ．∵△DAE ≌△DCF ，∴AE =CF ．∴AE =FG ．在△AEM 和△GFM 中，∠AME =∠GMF ，∠1=∠G ，AE =GF ，∴△AEM ≌△GFM ．∴AM =GM ．∴AG =2AM ． ………………………………………………………………… 6分 在Rt △ABC 中，AC ==．同理，在Rt △CFG 中，CG ．∴))AG AC CG AB CF AB AE =+==+=+．∴2)AM AB AE =+．∴2AM AB AE=+．…………………………………………………………… 7分。

北京市西城区（南片)普通中学2014 - 2015学年度第二学期高二数学(文科）期末综合测试题 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

1．设集合{,}A a b =,则满足{,,}A B a b c =的不同集合B 共有( )（A ）1 个（B ）2个（C ）3个 (D ）4个2．“0a b >>"是“11ab<"的( ) （A ）充分但不必要条件 (B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不是充分条件也不是必要条件3．已知函数10xy =的反函数为()y f x =,那么1()100f =（ ）(A ）2(B ）2-（C)1(D ）1-4．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且50S>,那么下列结论中一定正确的是（ ） （A)30a<（B ）30S<(C ）30a>（D ）30S>5．设c ∈R ,函数2()2f x x x c =-+．关于函数()f x 的下述四个命题中，真命题为( ) (A)(0)(2)f f > （B ）(0)(2)f f < （C ）()1f x c ≥-（D)()1f x c ≤-6．已知数列{}na 的前n 项和3(2)2nn Sa =-,1,2,3,n =，那么na =（ )（A ）33n-（B ）23n⋅（C)123n -⋅（D ）133n +-7．函数21()log f x x x=-+的零点所在的区间是（ ） （A)1(0,)2(B)1(,1)2（C ）3(1,)2(D)3(,2)28．设集合A ⊆R ，如果实数0x 满足：对0r ∀>，总x A ∃∈,使得00||x x r <-<，则称0x 为集合A 的聚点．给定下列四个集合：①Z； ② {|0}x x ∈≠R ; ③{|1nn n ∈+Z ，0}n ≥； ④1{|n n∈Z ，0}n ≠． 上述四个集合中,以0为聚点的集合是（ ) （A)①、③（B)②、③ （C ）①、④ （D)②、④二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．已知函数21,0,()2,0,x x f x x x -<⎧=⎨->⎩那么(1)(1)f f -+=_________.10．若幂函数y x α=的图象经过点1(2,)4,则α=_________.11．已知等差数列{}na 的公差是2,其前4项和是20-,则2a =_________。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(,1)-∞-2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（ ）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为真命题 （C ）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ ） （A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图 俯视图6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____.11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5, 2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时. ○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．O 时间(小时) 0.5 1.5 2.5 3.515．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <.16．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.18．（本小题满分13分）F CADPMB E甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x ，点A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x=+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．6 3x =- 11. 9 12．1 13．7914．4 是注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列， 所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩……………… 2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎨-=-⎩……………… 3分解得118,2a q ==. ……………… 5 分 所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=． ……………… 7分（Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==， 所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分 16116[1()]343n =-<. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =+-1sin 22x x=+ ……………… 4分πsin(2)3x =+， ……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ……………… 8分（Ⅱ）解：由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ……………… 11分 所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………7分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分 （Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略）， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分 因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDFV SMN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=. …… 14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. ……………… 2分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零， 所以,x y 中至少有一个小于6， ……………… 4分 又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ， 所以15x y +≤，所以15x y +=. ……………… 5分 （Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ……………… 6分 记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛 为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，FC ADPMB E34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分 而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ……………… 2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ……………… 3分解得2a =，1b =，c ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ……………… 5分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，易得直线1OP ，2OP 的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分 由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ……………… 10分 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅===222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--.综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分 求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分 令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分 所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分 （Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分 设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-， 所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分 即2031x =-，此方程显然无解， 所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分 （Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x+=-的根的个数”.由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. ……………… 9分 令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ……………… 11分 而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一 根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有 且仅有一个交点. ……………… 13分。

北京市西城区一般中学2015—2016 学年度第二学期高二数学（文科）期末综合模拟测试卷满分 150 分时间：120分钟一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合要求的.1. 设会合U{1,2,3,4,5} ， A{1,2,3} ， B{2,5} ，则A ()( ) D C U BA．{2}B．{2,3}C．{3}D．{1,3}2. 以下函数中，既是偶函数，又在(0 ,1) 上为减函数的是( ) C1B．y log3 x C．y cos x D．y x A．y x23．以下命题中正确的选项是（） DA．x Z ，x41B．x Q ，x23C．x R ，x22x 1 0D．x N ，x 04．“ab 0”是“a0”的（） B bA．充足非必需条件B．必需非充足条件C．充要条件D．既不是充足条件也不是必需条件5. 如图，P、Q是单位圆上两个点，圆心O 为坐标原点，yQ3 1)，则Q 点的横坐标为( ) A PPOQ 90 ，且P(,x 22O11B．3A．22C ．2D12．36. 函数 f (x)e x 1 （此中 e 为自然对数的底数）的零点所在的区间是( ) B1 1 x 1 33 A ．B ．C ．D ． ( ( ,)( ,1) (1, ), 2)4 22227. 已知函数f ( ) sin(2 x) ，以下判断错误的 是( )Dx 3．．．A ．函数 f ( x) 的最小正周期为B ．直线 x是函数 f ( x) 图象的对称轴12C ．函数 f ( x) 的图象对于点 (,0)对称6D ．函数 f ( x) 在区间 (,5) 上单一递加12 128. 已知函数 f ( x)sin x ，若当 x [ 7 , ] 时， mf ( x) n 恒建立，则 n m 的最6 3小值是 ( ) CA ． 2B ．3 1C ．3 D ．3 1222二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分 . 把答案填在题中横线上 .9.函 数 y f ( x) 是 函 数 y 2x 的 反 函 数 ， 则 f ( x) 0 的 解 集 是_____________. { x 0 x 1}10.计算 lg1lg 25 的值为 _________. 2411.已知 sin(3) 1 ，则 cos 2__________.723912. 已知 f ( x)2x 1,x 0, 3 log 2 ( x1) , x若 f (x)，则 x 的值是 _________. 20,413.函数 ysin x 3cos x 的最大值为 _________；若其图象向右平移个单位（0）后所得图象对于y 轴对称，则的最小值为 ___________． 2 ，614. 已知f ( x)是定义在R上且以 2 为周期的偶函数，当 0 x1时，f ( x) x2.那么，当 1 x 2 时， f ( x) ____________；若直线 y x a与曲线 y f ( x) 恰有两个公共点，则实数 a 的值是____________.( x 2)2； a 2k 或 a 2k 1(k Z) 4三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) x2(a1)x 1在区间(1,1) 上是减函数. 2（1）务实数a的取值范围；（2）若f ( x)的最小值为3，求曲线 y f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程.16.（本小题满分 13 分）已知 tan 4. 3（1）求tan()的值；cos2sin 2的值 .（ 2）求cos24117.（本小题满分 13 分）已知函数 f (x)x33x2 a .（1）求f ( x)的单一区间；（2）若f ( x)在区间[1, 3]上的最大值为10，求它在该区间上的最小值.18.（本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b、 c ，且b cosC(2 a c)cos B 0.（1）求角B的度数；（2）若b 3，求ABC面积的最大值 .19.（本小题满分 14 分）如下图，已知AB BC ， OA // BC ，且 AB BC 2OA 4 ，曲线段 OC 是以点 O为极点且对称轴与AB 平行的抛物线的一段.B N C 设 P 是曲线段 OC 上随意一点，点 M 在 AB 上，点 N 在 BC 上，PMBN 是矩形，问点P 在曲线段 OC 上什么地点的时候才能使矩形M P PMBN 的面积最大？并求出最大面积.A O20.（本小题满分 14 分）已知函数 f (x)ax ln x .（此中 a 0 ，e为自然对数的底数）（） f (x) 在 (0 , e] 上的最大值为 3 ，求a 的值；1（ 2）若定义在区间 D 上的函数 y g(x) 对于区间 D 上的随意两个值x1、 x2总有不等式1[ g( x1 ) g( x2 )]g(x1x2 ) 建立，则称函数y g( x) 为区间 D 上的“凹函数”. 22试证明：当 a1为“凹函数” .1 时， g (x) f (x)x参照答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分.1.D ;2. C;3.D ;4.B;5.A;6.B;7.D;8.C.二、填空题：本大题共 6 小题，每题5 分，共 30 分. （一题两空的试题两空挨次为2 分、3 分）9.{ x 0x 1};10.2 ;11.7 12.2 ;;913. 2 ，; 14.( x 2)2；a2k 或 a 2k1( k Z ) .64三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . （若有其余方法，仿此给分）15. （本小题满分 12 分）解：（1）函数为二次函数，在区间 (1,1)上是减函数，因此a11，即22a1.,,,,, 4 分（ 2）函数 yf ( x) 的最小值为3，因此4(a 1)2 3，解得 a3 或 a5 ，4注意到 a 1 ，因此 a3.,,,,,6 分此时 f ( x)x 24x 1， f ( x)2x 4， ,,,,,8 分因此曲线在 (1, f (1)) 处切线的斜率为 f (1) 24 2 ，,,,,,10 分因此，所求切线的方程为2x y 0 .,,,,,12 分16. （本小题满分 13 分）解：（ 1） tan() tan 11 . ,,,,,5 分4 1 tan 7（ 2） cos2sin 2cos 22sin cos ,,,,,10 分1 cos 22cos 21tan,,,,,12 分21 45 ,,,,,13 分2 3617. （本小题满分 13 分）解：（ 1）由已知， f ( x)3x 2 6x ，,,,,,,2 分解22f (x)3x6 x 0 ， 得 0 x 2， 解 f ( x)3x， 得 x 2 或6x 0x 0 ， ,,,,,5 分因此，函数 f (x) 的单一递加区间为 (0,2)，函数 f ( x) 的单一递减区间为( ,0)和(2,) .,,,,, 7 分（ 2）由（ 1）知函数 f ( x) 在 (0 , 2) 上单一递加，在 (2 , ) 上单一递减，因此在区间 [1, 3] 上 f ( x) 的最大值是 f (2) ， ,,,,,9 分因此 f (2) 10 ，解得 a 6 .,,,,,11 分故 f ( x) x 3 3x 2 6 ，计算 f (1)8 ， f (3)6 ，因此 f ( x) 在区间 [1, 3] 上的最小值为 6 . ,,,,,13 分18. （本小题满分 14 分）解：（ 1）由于 b cosC (2 a c)cos B0 ，由正弦定理 sin B cosC(2sin A sin C )cos B0 ,,,,,, 2 分因此 sin B cosC sin C cos B2sin A cos B 0， sin( B C )2sin Acos B 0 ，2sin A cosB sin A0，,,,,, 4 分由于 0A180 ，因此 sin A0 ，因此 cos B 1，2又 0B180 ，因此 B120 .,,,,, 6 分（ 2）由余弦定理b2a2c22ac cos B ，即 32a2c22ac(1)a2c2ac ，,,,,,8 分2又 a2c2ac2ac ac3ac ，所以 ac 3 ，当且仅当a c 时等号成立，即当 a c 3 时， ac 的最大值为3 .,,,,,12 分S ABC 1ac sin B3ac33, 244因此 S ABC的最大值为33 .,,,,,14 分419.（本小题满分 13 分）解：以 O 为原点， AO 所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系.依题意，C (2, 4) ，,,,,, 2 分设曲线段所对应的抛物线方程为y ax2，由于 P 在曲线段 OC 上，因此 4 a22， a 1 ，,,,,, 4 分y抛物线段方程为y x2 (0 x2) ，B NC 设 P( x, x2 ) (0x2) 是曲线段上随意一点，则M PPM x 2 ， PN 4 x2，xA O因此 S PMBN(2 x)(4 x 2 ) 8 4x 2x 2x 3 (0 x2) ， ,,,,8 分S3x 2 4x4(3x 2)( x 2) ，,,,,,10 分当 2 x2 0 ；当 x2 0 ，时， S时， S33因此，在区间 [0 ,2) 上，S 是 x 的增函数，在区间 ( 2, 2) 上，S 是 x 的减函数，,,,,,3 312 分因此，当 x2获得最大值，此时PN32 ,,,,,13 分时， S ，39即点 P 在曲线段OC 上，到 BC 的距离为32时，矩形 PMBN 面积的最大值为256 .9,,,,,14 分2720. （本小题满分 14 分）解：（ 1）由已知， x (0 ,) ， f ( x) a1ax 11 分 xx ， ,,,,,当 a0 时，解 f (x)ax 10 得 0 x1，解 f (x)0 得 x1xa ，a因此函数 f ( x) 在 (0 ,1) 上是增函数，在 (1 , ) 上是减函数 . ,,,,, 3 分aa当 1 1 0 时，函数 f ( x) 在 (0 , e] 上的最大值为 f (e)ae 1 ，e ，即aae解 ae 13 得 a4 1,,,,, 5 分e，不切合题意；1 1 e11当时，函数 f ( x) 在 (0 , e] 上的最大值为 f (1e ，即 ae )ln( ) ，a1 )aa解 1ln( 3 得 ae 2 ，切合题意 .a综上， a e 2 . ,,,,,7 分（ 2）当 a 1时，由（ 1）知 f ( x) 在 (0 ,) 上的最大值为 f (1) 1，即 f ( x)0恒建立.因此 g ( x)11 1 x ln x ， x(0 ,) . ,,,,,9 分f ( x)f (x)xxx设 x 1, x 2 (0 , ) ，计算1 1 1 x 1 ln x 11 x2 ln x 2 )x 1 x 2 x 1 x 2ln x 1x 2 ，2[ g( x 1 ) g( x 2 )](x 22x 1 x 222 x 1g(x1x2 )2x1 x2lnx1x2 ，2x1 x222由于 x1x2x1x2，因此 ln x1x2ln x1x2，ln x1 x2ln x1 x2，,,,,,11222分2x1x24x1x2 (x1x2 ) 2( x1 x2 ) 2 x1 x22x1 x22x1x2 ( x1x2 )2x1x2 (x10 ，x2 )因此2x1x2，,,,,,13 分x1x22x1x2所以1[ g( x1 ) g ( x2 )] g(x1x2 ) ，即当 a 1 时， g( x) f ( x)1为“凹函22x数” .,,,,14 分。

2015西城区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）圆x2+y2+2y=1的圆心为（）A．（0，1） B．（0，﹣1）C．（0，2） D．（0，﹣2）2．（4分）椭圆x2+=1的离心率为（）A． B． C．D．3．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n?α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（4分）命题“?a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）A．?a，b∈R，如果a2=ab，则a=b B．?a，b∈R，如果a2=ab，则a≠bC．?a，b∈R，如果a2≠ab，则a≠b D．?a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab6．（4分）圆x2+y2=2与圆x2+y2+4y+3=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交7．（4分）“四边形ABCD为菱形”是“四边形ABCD中AC=BD”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0相互垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．C．1 D．或19．（4分）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）A．10cm B．7.2cm C．3.6cm D．2.4cm10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱AB的中点，M为面BCC1B1上的点．一质点从点P射向点M，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点D1．则线段PM 与线段MD1的长度和为（）A．B．4 C．D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11．（5分）抛物线y2=4x的准线方程是．12．（5分）命题“?x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是．13．（5分）如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为．14．（5分）圆心在直线y=x上，且与x轴相切于点（2，0）的圆的方程为．15．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣=1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为．16．（5分）“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度．降水量以mm为单位．为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥．雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为mm．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（13分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，∠AEB=90°，F为CE上的点．（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE⊥BF．18．（13分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（4，0），C（3，1）．（Ⅰ）求△ABC中AC边上的高线所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC外接圆的方程．19．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，E为AC中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1E；（Ⅱ）求证：平面BC1E⊥平面ACC1A1．20．（13分）如图，A，B是椭圆W：+y2=1的两个顶点，过点A的直线与椭圆W交于另一点C．（Ⅰ）当AC的斜率为时，求线段AC的长；（Ⅱ）设D是AC的中点，且以AB为直径的圆恰过点D．求直线AC的斜率．21．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=BC=3，CD=3，E为PB中点．（Ⅰ）求三棱锥P﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：CE⊥平面PBD；（Ⅲ）设M是线段CD上一点，且满足DM=2MC，试在线段PB上确定一点N，使得MN∥平面PAD，并求出BN的长．22．（14分）已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】由题意可得：圆的方程为：x2+y2+2y=1，所以圆的标准方程为：x2+（y+1）2=2，所以圆的圆心为（0，﹣1）．故选：B．2.【解答】由椭圆x2+=1，可得a2=4，b2=1，则c2=a2﹣b2=4﹣1=3，∵a＞0，c＞0，∴，则椭圆x2+=1的离心率为e=．故选：B．3．【解答】双曲线﹣y2=1的a=，b=1，由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，则所求渐近线方程为y=±x．故选D．4．【解答】对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥n，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；对于C，若m⊥α，n?α，根据线面垂直的性质可得m⊥n；故C正确；对于D，若m∥α，m⊥n，则n⊥α或者n?α；故D错误；故选C．5．【解答】“?a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题是?a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab．故选：D．6．【解答】圆x2+y2=2的圆心（0，0），半径为R=；圆x2+y2+4y+3=0化为标准方程得：x2+（y+2）2=1，故圆心坐标（0，﹣2），半径为r=1，∵圆心之间的距离d=2，R+r=1+＞2，R﹣r=，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：D．7．【解答】由“四边形ABCD为菱形”推不出“四边形ABCD中AC=BD”，不是充分条件，由“四边形ABCD中AC=BD”推不出“四边形ABCD为菱形”，不是必要条件，故选：D．8．【解答】当a=1时，直线l1：x+2y+6=0，直线l2：x+a2﹣1=0，显然两直线不垂直．当a≠1时，由斜率之积等于﹣1可得=﹣1，解得a=．故选B．9．【解答】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．因此，灯泡与反光镜的顶点的距离为 3.6cm．故选：C．10．【解答】根据几何体的性质，结合光的反射原理得出P关于B的对称点N，∴MP=NP，即连接DN，D1N，根据正方体的性质，得出Rt△D1DN，∵边长为2，∴AN=3，AD=2，即DN=，∵DD1=2，∴D1N==．故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11．【解答】∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=﹣1．故答案为x=﹣1．12．【解答】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是：?x∈R，使x2﹣2x≥0．故答案为：?x∈R，使x2﹣2x≥0．13．【解答】由三视图知几何体的底面是底边、高均为2的平行四边形，四棱锥的高为2．∴几何体的体积V=×22×2=．故答案为：．14．【解答】∵圆心在直线y=x上故可设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2=r2又∵与x轴相切于点（2，0）故a=2，r=2∴所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．15．【解答】双曲线C：x2﹣=1的a=1，b=2，c==，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则F到渐近线的距离为d==2，故答案为：2．16．【解答】设圆锥形液面的底面半径为r，则圆锥容器的底面半径为2R，圆锥形液面的体积V==4πｒ2，设降水量为x，2，则πｒ2x=4πｒ解得：x=4，故答案为：4三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC又因为BC?平面BCEAD?平面BCE所以AD∥平面BCE（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面ABEAD∥BCBC⊥平面ABEAE⊥BC因为∠AEB=90°所以：AE⊥BE所以：AE⊥平面BCEBF?平面BCE所以：AE⊥BF18．【解答】（Ⅰ）∵A（0，0），C（3，1），∴直线AC的斜率为，又AC边上的高所在的直线经过点B（4，0），且与AC垂直，∴所求直线斜率为﹣3，所求方程为y﹣0=﹣3（x﹣4），即3x+y﹣12=0；（Ⅱ）设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵点A（0，0），B（4，0），C（3，1）在圆M上，则，解得D=﹣4，E=2，F=0．∴△ABC外接圆的方程为x2+y2﹣4x+2y=0．19．【解答】（Ⅰ）证明：连结CB1，与BC1交于点F，连结EF．…（1分）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以四边形BCC1B1是矩形，点F是B1C中点．…（3分）又E为AC中点，所以EF∥AB1．…（5分）因为EF?平面BC1E，AB1?平面BC1E，所以AB1∥平面BC1E．…（7分）（Ⅱ）证明：因为AB=BC，E为AC中点，所以BE⊥AC．…（9分）又因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，从而CC1⊥BE．…（11分）所以BE⊥平面ACC1A1．…（12分）因为BE?平面BC1E，…（13分）所以平面BC1E⊥平面ACC1A1．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）由已知A（0，﹣1），直线AC的方程为．…（1分）由得2x2﹣3x=0，…（2分）解得或x=0（舍），…（3分）所以点C的坐标为，…（4分）所以．…（5分）（Ⅱ）依题意，设直线AC的方程为y=kx﹣1，k≠0．由得（3k2+1）x2﹣6kx=0，…（7分）解得或x=0（舍），…（8分）所以点C的横坐标为，设点D的坐标为（x0，y0），则，…（9分），…（10分）因为以AB为直径的圆恰过点D，所以|OD|=1，即．…（11分）整理得，…（12分）所以．…（13分）21．【解答】（Ⅰ）解：由已知PD=PC=3，可知，△PCD是等腰直角三角形，∠CPD=90°．∵平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD．三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC⊥平面PCD，∴BC⊥PD．∵∠CPD=90°，即PD⊥PC，∴PD⊥平面PBC．∵CE?平面PBC，∴PD⊥CE．∵PC=BC，E为PB中点，∴CE⊥PB，∵PD∩PB=P，∴CE⊥平面PBD．（Ⅲ）解：在面PCD上，过M作MF∥PD交PC于F．在面PBC上，过F作FN∥BC交PB于N，连接MN．∵MF∥PD，MF?平面PAD，PD?平面PAD，∴MF∥平面PAD．∵FN∥BC∥AD，FN?平面PAD，AD?平面PAD，∴FN∥平面PAD．∴平面MNF∥平面PAD．从而，MN∥平面PAD．由所作可知，△CMF为等腰直角三角形，，∴CF=1，PF=2．△PNF，△PBC均为等腰直角三角形，∴，．∴N为线段PB上靠近点B的三等分点，且．22．【解答】（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），依题意，设直线AB方程为y=k（x﹣1），其中k≠0．将代入直线方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以y A y B=﹣4，即A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．设AB中点坐标为（x0，y0），则，，所以弦AB的垂直平分线方程为，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，当，即时，|AB|的最大值为6．当时，；当时，．均符合题意．所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6．。

北京市西城区2014－2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（文科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 设集合，则＝（）A. B. C. D. 2. 在实数范围内，下列不等关系不恒成立的是（） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增函数的是（） A. B. C. D. 4. 命题“存在实数x，使得”的否定是（） A. 不存在实数x，使 B. 存在实数x，使 C. 对任意实数x，都有 D. 对任意实数x，都有 5. 已知是等差数列，，则公差等于（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知为不相等的两个正数，且，则函数和的图象之间的关系是（）A. 关于原点对称B. 关于y轴对称C. 关于x轴对称D. 关于直线对称7. 已知是实数，则“且”是“且”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 过曲线C：上一点作曲线C的切线，若切线的斜率为－4，则等于（） A. 2 B. C. 4 D. 9. 已知函数在R上满足：对任意，都有，则实数a的取值范围是（） A.B. C. D. 10. 已知函数，给出下列结论：①是的单调递减区间；②当时，直线与的图象有两个不同交点；③函数的图象与的图象没有公共点。

其中正确的序号是（）A. ①②③B. ①③C. ①② D. ②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

11. 若，则的最小值为___________。

12. ＝___________。

13. 不等式的解集为___________。

14. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，＝，则＝___________；＝___________。

15. 函数的极值是___________。

北京市西城区2014— 2015学年度第一学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共15分，第19题4分，第20题5分，第21题6分）19．解：原式= …………………………………………………………3分 =． ………………………………………………………………………4分20．证明：∵点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AB =CD ，∴AB +BC=CD +BC ．即AC=DB ． ……………………………………………………………1分 ∵AE ∥FD ，∴∠A=∠D ． ……………………………………………………2分 在△AEC 和△DFB 中,,,E F A D AC DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△DFB ． ………………………………4分∴EC =FB ． ………………………………5分21．解：m m m m --⋅--+342)252( (2)(2)52423m m m m m+---=⋅-- ………1分m m m m --⋅--=3)2(2292 …………2分 mm m m m --⋅--+=3)2(22)3)(3( ……3分 )3(2+-=m …………4分 62--=m ． ……5分当34m =时，原式=3264-⨯-=152-． ……………………… 6分 四、解答题（本题共16分，第23题6分，其余每小题5分）22．解：去分母得 4)2(22-=++x x x ． ………2 整理得 42222-=++x x x ． …3分 解得 3-=x ． ……4分 经检验3-=x 是原分式方程的解． ……5分 ∴原分式方程的解为3-=x ．23．解：（1）∵直线23=-y x 经过点B （a ，2），∴223a =-． 解得 3a =-． … 1分∵直线=+y kx b 经过点A （2-，4）和点B （3-，2）， ∴42,23.=-+⎧⎨=-+⎩k b k b ……… 2分解得2,8.=⎧⎨=⎩k b ∴直线=+y kx b 的解析式为28=+y x ． ………………… 3分（2）当0=y 时，280+=x ，解得4=-x ．∴点C 的坐标为（4-，0）． …… 4分 设平移后的直线的解析式为23y x m =--．∵平移后的直线经过点C （4-，0），∴ 20(4)3m =-⨯--．解得83m =． … 5分 （3） 3<-x ．……………………… 6分24．解：（1）①如图1，点C 即为所求… 1分②如图1，点D 即为所求； 3分（2）AD ，CD ． ………………………………… 5分五、解答题（本题共14分，每小题7分） 图125．解：（1）∵CA ⊥x 轴于点A ，且点A 的坐标为（4-，0），∴点C 的横坐标为4-．∵点C 在直线1=-+y x 上，∴点C 的坐标为（4-，5）． ………… 1分（2）∵点D 是OA 的中点，∴点D 的坐标为（2-，0）．作点D 关于y 轴的对称点'D ，则'D 的坐标为（2，0）． …………… 2分 连接'CD 交y 轴于点E ，此时EC +ED 的值取到最小．设直线'CD 的解析式为=+y kx b ，则 54,02.=-+⎧⎨=+⎩k b k b解得5,65.3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k b∴直线'CD 的解析式为5563=-+y x ． ……… 3分 当0=x 时，53=y ．∴点E 的坐标为（0，53）． ………… 4分 （3）（4，0）或（1，0）或（9-，0）． …………………………………… 7分26．解：（1）54，99； …………………………………………………………………… 2分（2）①证明：在CB 上截取CF ，使CF =CA ，连接∵CD 平分∠ACB ，∴∠1=∠2．在△ACE 和△FCE 中，AC =FC ，∠1=∠2，EC =EC ，∴△ACE ≌△FCE ． ……………………………………………… 3分 ∴∠3=∠4，AE =FE ．∵∠4=∠5+∠6，∴∠3=∠5+∠6．∵∠3=2∠6，∴∠5=∠6． ……………………………………………………… 4分 ∴FB =FE ．∴AE =FB ．∴AE ＋AC = FB ＋FC = BC ． ……………………………………… 5分②解：连接AF ．（如图3）∵∠1=∠2=30°，∴∠ACF =∠1+∠2=60°．∵AC =FC ，∴△ACF 是等边三角形．∴AF =AC ，∠FAC =60°．图2∵AC =BE ， ∴BE =AF ． 在△BFE 和△AEF 中， BF =AE ， FE =EF ， BE =AF ， ∴△BFE ≌△AEF ．……………………………… 6分∴∠6=∠7．∵∠7+∠3=60°，∴∠6+∠3=60°．∵∠3=2∠6，∴∠6+2∠6=60°．∴∠6=20°．即∠EBC =20°． ……………… 7分图3。