九年级数学上册 第4章 锐角三角函数 与俯角、仰角有关的应用问题学案 (新版)湘教版

【点拨】如图，过点 A 作 AE⊥BD，交 BD 于点 E， 在 Rt△ABE 中，AE＝CD＝30 米，∠BAE＝30°， ∴BE＝30×tan30°＝10 3米， ∴AC＝ED＝BD－BE＝(36－10 3)米． ∴甲楼高度为(36－10 3)米．
【答案】D
11．有一棵较高的树(如图)，无法直接量出它的高度，可以先用 测角器在离树底部不远处的地面上找一点 B，使此时测得树 顶 A 的仰角为 60°，再用皮尺测得 BC 之间 的距离为 a，请你求出这棵树的高度． 解：∵BC⊥AC，BC＝a，∠ABC＝60°， ∴tan ∠ABC＝ABCC，∴AC＝BC·tan 60°＝ 3a. 答：这棵树的高度为 3a.
5．如图是数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度
的示意图，在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角∠ADE 为 55°，D
距旗杆的距离 DE 为 6 m，测角仪 CD 的高度为 1 m，设旗杆
AB 的高度为 x m，则下列关系式正确的是( )
A．tan 55°＝x－6 1 C．sin 55°＝x－6 1
C．500 3 m
D．1 000 3 m
3．【中考·长春】如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修
一条隧道(点 A，B 在同一水平面上)．为了测量 A，B 两地之
间的距离，一架直升机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C
处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距离
tan 37°≈0.75， 2≈1.41)
解：在 Rt△ABC 中，tan A＝BACC， 则 BC＝AC·tan A≈121×0.75＝90.75(m)， 在 Rt△ECD 中，∠EDC＝45°，∴∠CED＝∠EDC＝45°. ∵AD＝23.5 m，∴CD＝AC－AD＝121－23.5＝97.5(m)， ∴EC＝CD＝97.5 m，∴BE＝EC－BC≈97.5－90.75＝6.75≈6.8(m)， 答：塔冠 BE 的高度约为 6.8 m.

4.4 解直角三角形的应用第1课时仰角、俯角问题1.巩固解直角三角形相关知识.2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题.（重点，难点）一、情境导入秋千是我们生活中常见的娱乐器材，如图所示是秋千的简图，秋千拉绳（OA）的长为3m，静止时秋千踏板（B，大小忽略不计）距离地面的距离（BE）为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大的摆角（摆角是指秋千拉绳与铅垂线的夹角∠AOB或∠COB）约为52°.你能否通过所学知识求出秋千踏板与地面最大距离约为多少？二、合作探究探究点一：仰角、俯角问题【类型一】仰角问题如图所示，为了测量山高AC，在水平面点B处测得山顶A的仰角是（）A.∠AB.∠ABCC.∠ABDD.以上都不对解析：B.方法总结：解此类问题，要弄清仰角的概念，即视线与水平线的夹角.【类型二】俯角问题如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是Ｗ.解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B ＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，∴BC＝ABtan C＝1000tan30°＝10003（m），故填10003m.方法总结：解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形.探究点二：有关张角、夹角问题【类型一】张角问题如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离（CE 的长度）为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是（）A.（82＋83）mB.（8＋83）mC.（82＋833）m D.（8＋833）m 解析：由题意可知，在Rt△BCE中，CE ＝8m，∠ECB＝45°，∴BE＝CE·tan∠ECB ＝8×tan45°＝8（m）.∴AE＝EC·tan∠ACE ＝8×tan30°＝833（m），∴AB＝AE＋BE＝（8＋833）m.故选D.方法总结：解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形.【类型二】夹角问题如图所示，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值为Ｗ.解析：在Rt△COD中，∠C＝30°，∠D ＝60°，∵CD∥AB，∴∠α＝∠D＝60°，∴cos α＝12.故填12.方法总结：本题考查的有关夹角的问题，解题时要灵活运用题目中的已知条件.三、板书设计解直角三角形的应用⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧仰角问题俯角问题本次教学过程中涉及实际应用问题，在合作探究环节可引导学生探究几个具有代表性的数学模型，从这些数学模型中总结规律并积累解题技巧，培养学生的创新意识和逻辑思维能力.第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

图25.3.424.4.2 仰角与俯角一．教学目标知识技能：1.了解仰角俯角的概念；2.能根据直角三角形的知识解决与仰角俯角有关的实际问题。

过程方法：能够借助辅助线解决实际问题，初步掌握数形结合、抽象归纳的思想方法。

情感态度：感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义认识仰角、俯角,二．教学重难点：重点：解直角三角形在实际中的应用。

难点：将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决三．教学方式：多媒体教学四．教学过程【活动1】解决自学任务单存在的问题问题1.导学138页第1题：还是有30%的学生不认识仰角，俯角。

问题2.导学139页第2题：找不准仰角，计算有误。

老师教给学生计算技巧。

【活动2】利用所学知识解决问题 (见PPt)1.如图，BCA=DEB=90FB//AC // DE ，从A看B的仰角是______；从B看A的俯角是 .从B看D的俯角是；从D看B的仰角是；2.在升旗仪式上，一位同学站在离旗杆24米处，行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30度，若两眼离地面1.5米，则旗杆的高度是——（结果用根号表示）3.河的对岸有水塔AB, 今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进 20米到D处，又测得塔顶A的仰角为60°.求塔高AB.【活动3】变式训练1.如图,在河岸上一点A观测河对岸边的一小树C,测得AC与河岸边的夹角为45０,沿河岸边向前走200米到达B点,又观测河对岸边的小树C,测得BC与河岸边的夹角为30０,问这位同学能否计算出河宽?若不能,请说明理由;若能,请你计算出河宽.在山脚C处测得山顶A的仰角为450。

问题如下：变式：沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB【活动4】合作交流，运用新知1.在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。

问题如下：1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。

与俯角、仰角有关的应用问题【学习目标】1．了解仰角、俯角的概念．2．会利用解直角三角形解决与视角有关的实际问题，逐步培养分析问题、解决问题的能力．3．经历利用解直角三角形解决实际问题的过程，体验数学来源于生活，服务于生活． 【学习重点】利用解直角三角形解决与视角有关的实际问题．【学习难点】根据实际问题建立直角三角形模型。

情景导入 生成问题回顾：(课前抽测)如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的马路，经测得有一水塔(图中点A 处)在她家南偏东30°方向600m 处．她从家里出发朝东走到点B 处时，水塔正好位于她的正南方向．小雅走了多远？解：在Rt △ABO 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AO ＝600m.则sin A ＝OB AO ，所以OB ＝AO ·sin A ＝600×sin 30°＝600×12＝300(m)． 做例1时思考以下几个问题：①怎样将实际问题转化为数学模型？②大树折断部分是直角三角形的哪条边？③大树折断之前的高就是直角三角形的哪两条边的和？自学互研 生成能力知识模块一 建立直角三角形模型【例1】一棵大树在一次强台风中于高地面5m 处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为多少？解：设大树的根部为点A ，折断处为点B ，倒下后树梢与地面接触处为点C.则在△ABC 中有∠A ＝90°，∠C ＝30°，A B ＝5m ，∵sin C ＝AB BC ，∴BC ＝AB sin C ＝5sin 30°＝5÷12＝10m ，∴大树的高为AB ＋BC ＝5＋10＝15(m )．答：这棵大树在折断前的高度为15m .【例2】如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB ，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD ，小张在小道上测得如下数据：AB ＝80.0米，∠PAB ＝38.5°，∠PBA ＝26.5°.请帮助小张求出小桥PD 的长并确定小桥在小道上的位置．(以A 、B 为参照点，结果精确到0.1米)(参考数据：sin 38.5°≈0.62，cos 38.5°≈0.78，tan 38.5°≈0.80，sin 26.5°≈0.45，tan 26.5°≈0.50)解：设PD ＝x 米，∵PD ⊥AB ，∴∠ADP ＝∠BDP ＝90°，在Rt △PAD 中，tan ∠PAD ＝x AD，∴AD ＝x tan 38.5°≈x 0.80＝54x ，在Rt △PBD 中，tan ∠PBD ＝x DB ，∴DB ＝x tan 26.5°≈x 0.50＝2x.又∵AB ＝80.0米，∴54x ＋2x ＝80.0，解得x≈24.6，即PD≈24.6米，∴DB ＝2x ＝49.2米．答：小桥PD 的长度约为24.6米，位于AB 之间距B 点约49.2米．知识模块二 仰角、俯角的概念及应用阅读教材P 125“动脑筋”，完成下面的内容：如下图，视线与水平线所成的角∠1叫作仰角；∠2叫作俯角．阅读教材P 125“做一做”～P 126例1，完成下面的例题：【例3】如图，在离树BC 12米的A 处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD 高为1.5米，求树高BC.(计算结果可保留根号)解：过点D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形DECA 是矩形，∴DE ＝AC ＝12米，CE ＝AD ＝1.5米．在直角△BED 中，∠BDE ＝30°，tan 30°＝BE DE，∴BE ＝DE·tan 30°＝43米．∴BC ＝BE ＋CE ＝⎝⎛⎭⎪⎫43＋32米．即树高为(43＋32)米． 交流展示 生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一 建立直角三角形模型知识模块二 仰角、俯角的概念及应用检测反馈 达成目标1．从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部点D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是( A )A ．(6＋63)米B ．(6＋33)米C ．(6＋23)米D ．12米,(第1题图)) ,(第2题图))2．如图，河流两岸a 、b 互相平行，点A 、B 是河岸a 上的两座建筑物，点C 、D 是河岸b 上的两点，A 、B 的距离约为200米．某人在河岸b 上的点P 处测得∠APC＝75°，∠BPD ＝30°，则河流的宽度约为__100__米．3．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航，如图①.在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A 测得高华峰顶点F 的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B 点后测得F 点俯角为45°，如图②.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米．(结果保留整数，参考数值：3≈1.732，2≈1.414)解：设CF ＝x ，在Rt △ACF 和Rt △BCF 中，∵∠BAF ＝30°，∠CBF ＝45°，∴BC ＝CF ＝x ，CF AC＝tan 30°，即AC ＝3x. ∵AC －BC ＝1200， ∴3x －x ＝1200，解得x ＝600(3＋1)，则DF ＝h －x ＝2001－600(3＋1)≈362(米)．答：钓鱼岛的最高海拔高度约为362米。