高三数学 专项精析精炼 考点23 等差数列及其前n项和

二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥．例如：数列{}n a 满足12n n a a +=+，则数列{}n a 是公差为2的等差数列． 注：0d >时，为递增数列；0d <时，为递减数列；0d =时，为常数列． 2．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项． 此时2a b A +=3．等差数列的通项公式等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．4．等差数列的性质（1）等差数列{}n a 的第m 项为m a ，则()n m a a n m d =+-．★ 例如：8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=L ．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=．★ 例如：1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=，12132n n n a a a a a a --+=+=+=L ． （3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,L 组成公差为md 的等差数列． 例如：135721,,,,,,n a a a a a -L L 组成公差为2d 的等差数列；51015205,,,,,,n a a a a a L L 组成公差为5d 的等差数列．（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n ka b +也是等差数列，公差为kd ． （5）{}n a ,{}n b 都是等差数列，则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列．5．判断一个数列是等差数列的方法 （1）定义法：1n n a a d +-=（常数）．（2）等差中项法：122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a ．★ （3）通项公式法：=n a kn b +（公差为k ）．（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（不含常数项的二次函数）．★三、等差数列的前n 项和1．等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到）★ 21()22n d dS n a n =+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）2．和的有关性质等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么： （1）{}n S n也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T （21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --L 是等差数列，公差为2k d ．★ （4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶．3．和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．例15等差数列{}na中，120S=，且1015S S=，求当n取何值时，nS有最大值，并求出这个最大值．解析：由二次函数对称性，及1015S S=，可知对称轴为101512.52+=距离12.5最近的整数为12和13，即当12n=或13时，nS有最大值即1213S S=，所以13a=，1131313()1302a aS+==．答案：1213130S S==例16等差数列{}na中，17a=，公差为d，前n项和为nS，当且仅当8n=时，nS取得最大值，则d的取值范围为______．解析：由题意可知89770780a da d=+>⎧⎨=+<⎩，解得718d-<<-．答案：7(1,)8--数学浪子整理制作，侵权必究。

等差数列及其前n项和等差数列是数学中的一种重要概念，是指数列中相邻两项之间的差保持不变。

本文将介绍等差数列的定义、性质以及如何求解其前n项和。

一、等差数列的定义与表示等差数列的定义：如果一个数列满足从第二项开始，每一项与前一项的差相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列可以用以下形式来表示：a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差（每一项与前一项的差）。

二、等差数列的性质1. 公差为d的等差数列可以用通项公式来表示：第n项的值为an =a + (n-1)d。

2. 等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算得到：Sn = (n/2)(a + an) = (n/2)(2a + (n-1)d)。

3. 等差数列的对称性：等差数列以首项和末项的平均值为中心对称。

4. 等差数列的性质应用：等差数列可以应用于各种实际问题，如金融领域的利息计算、物理领域的速度计算等等。

三、求解等差数列的前n项和当我们需要求解等差数列的前n项和时，可以利用等差数列的性质中的公式进行计算。

以下是具体步骤：1. 确定等差数列的首项a和公差d。

2. 根据公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，将n、a和d代入公式中，计算出Sn的值。

举例来说，如果我们要求解首项为3，公差为4的等差数列的前10项和，可以按照以下步骤进行计算：1. 首项a = 3，公差d = 4。

2. 将n = 10，a = 3，d = 4代入公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)中：Sn = (10/2)(2(3) + (10-1)(4))= 5(6 + 9(4))= 5(6 + 36)= 5(42)= 210。

因此，首项为3，公差为4的等差数列的前10项和为210。

四、等差数列的应用举例1. 利息计算：假设某人每年从银行中取出定期存款的利息，如果每年的利率相同，那么每年取出的利息构成一个等差数列。

可以利用等差数列的公式计算出多年来累计的利息。

等差数列前n项和知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，由一系列等差数构成。

其中，等差数是按照一定的公差递增或递减的数，如1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。

在求等差数列前n项和时，我们需要掌握一些重要的知识点。

本文将对等差数列前n项和的计算方法进行归纳总结。

一、等差数列的概念与通项公式：等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。

通常用字母a，d表示等差数列的首项和公差，其通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

二、求等差数列前n项和的方法：1. 公式法：根据等差数列通项公式，我们可以得到第n项的具体表达式，然后将每一项累加起来即可得到前n项和。

这种方法适用于数列项数较多的情况。

2. 列表法：列举等差数列的前n项，然后将各项相加求和，即可得到等差数列前n项和。

这种方法适用于数列项数较少的情况。

三、等差数列前n项和的公式推导：要推导等差数列前n项和的公式，我们可以利用等差数列的通项公式和数列项数的特点进行推导。

考虑一个等差数列的前n项和Sn，其首项为a1，末项为an，公差为d。

根据等差数列的通项公式，我们可以列出如下两个等式：a1 = a1an = a1 + (n-1)d将这两个等式相加得：a1 + an = 2a1 + (n-1)d根据等差数列的性质，可以知道数列中的任意两项和都等于首项和末项的和，且这个和一共出现n次。

因此，将上述等式乘以n/2，得到：n(a1 + an) = n(2a1 + (n-1)d)化简后：2a1n + (n-1)dn = n(a1 + an)移项得：2a1n + dn^2 - dn - an = 0根据求根公式，可以求解出an的表达式为：an = a1 + (n-1)d将其代入上述等式，可以得到等差数列前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(2a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2四、等差数列前n项和的应用：等差数列前n项和的计算公式在数学和物理等领域有广泛的应用。

第02讲等差数列及其前n项和（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-12分【备考策略】1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n 项和的关系5.熟练掌握等差数列通项公式与前n 项和的性质【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n 项和。

需综合复习知识讲解1.等差数列的定义从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用d 表示2.数学表达式da a n n =-+13.通项公式()d n a a n 11-+=，()+∈N n ，()d m n a a m n -+=，()+∈N n 4.等差数列通项公式与函数关系()d n a a n 11-+=()d a dn a n -+=⇒1令d K =，d a B -=1，B Kn a n +=⇒⇒等差数列{}n a 为一次函数5.等差中项若A ，B ，C 三个数成等差数列，则C A B +=2，其中B 叫做A ，C 的等差中项6.等差数列通项公式的性质（1）若q p n m +=+q p n m a a a a +=+⇔，或p n m 2=+p n m a a a 2=+⇔（2）若{}n a ，{}n b 为等差数列，则{}n n b a ±，{}n n kb ma ±仍为等差数列7.等差数列前n 项和()21n n a a n S +=或()211dn n na S n -+=8.等差数列前n 项和与函数关系()211d n n na S n -+=221dn dn na S n -+=⇒n d a n d S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⇒2212令2d A =，21d a B -=，Bn An S n +=⇒2⇒等差数列{}n a 前n 项和公式是无常数项的二次函数9.等差数列前n 项和的性质（1）k S ，k k S S -2，k k S S 23-……仍成等差数列（2）⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列推导过程：B An n Bn An n S n +=+=2（一次函数）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⇒n S n 为等差数列（3）mnd S S S n m n m ++=+（4）()nn a n S 1212-=-10.证明数列为等差数列的方法（1）c a a n n =-+1（c 为常数）{}n a ⇒为等差数列（2）通项公式：B Kn a n +=（一次函数），前n 项和：Bn An S n +=2（无常数项的二次函数）（3）若C A B +=2，则A ，B ，C 三个数成等差数列考点一、等差数列项、公差及通项公式的求解1．（山东·高考真题）{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（）A ．667B ．668C ．669D ．6702．（海南·高考真题）已知{}n a 是等差数列466a a +=，其前5项和510S =．则其公差d =．3．（重庆·高考真题）在数列{}n a 中，若11a =，12n n a a +=+，则该数列的通项n a =.4．（北京·高考真题）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为．1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知{}n a 为等差数列，211032,4a a a a =-+=+，则5a =（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，且满足1002023a =，2023100a =，则2123a 的值为（）A ．2033B ．2123C ．123D ．03．（2022·四川成都·统考三模）在等差数列{}n a 中，已知33a =，1710a a +=，则数列{}n a 的公差为（）A ．1-B ．0C ．1D ．24．（2022·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知{}n a 为等差数列，首项12a =，公差3d =，若228n n a a ++=，则n =（）A ．1B ．2C ．3D ．4考点二、等差中项的应用1．（2023·辽宁大连模拟预测）等差数列x ，33x +，66x +，⋅⋅⋅的第四项等于（）A ．0B ．9C ．12D ．181．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 中，5a 与11a 的等差中项为8，且22a =，则12a =（）A ．6B ．9C ．12D ．18考点三、等差数列的性质1．（北京·高考真题）在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 等于（）A ．4B ．5C ．6D ．72．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3912a a +=，则11S =（）A ．66B ．72C ．132D ．1443．（江西·高考真题）设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝．4．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，410S =，945S =，则7a =（）A ．5B ．6C ．7D ．81．（全国·高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++=.2．（江西·高考真题）已知等差数列{}n a ，若1231221a a a a ++++= ，则25811a a a a +++=.3．（2023·全国·校联考二模）等差数列{}n a 中，24101240a a a a +++=.则前13项和13S =（）A ．133B ．130C ．125D ．1204．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列{}n a 中，若12345120a a a a a ++++=，则692a a -=.考点四、等差数列前项和的求解1．（2023·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A ．25B ．22C ．20D ．152．（2020·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =．3．（2020·海南·高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为．4．（2021·全国·统考高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．5．（2023·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n T ．1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）在公差不为零的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若()73537k S a a a =++，则k =．2．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且214a =，555S =，数列{}31n a -的前10项的和为.3．（2023·湖南·校联考二模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，14818S S +=，2100a a +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求1001k k a =∑的值．4．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知在等差数列{}n a 中，14724a a a ++=-，25815a a a ++=-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n T 是数列{}n a 的前n 项和，求30T .5．（2023·云南昭通·统考模拟预测）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若5950S a +=，457a a a =.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a <的n 的最大值.考点五、等差数列前项和的性质1．（全国·高考真题）已知等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（）A ．130B ．170C ．210D ．2602．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3918,3S S ==，则6S =（）A ．9B ．212C ．12D ．2723．（2023·辽宁大连·校联考二模）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612S S =（）A ．310B ．13C ．18D ．194．（2022·青海海东·校考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，11010S =，则120S =（）A ．－10B ．－20C ．－120D ．－1105．（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3542n n S n T n +=-，则88a b =（）A ．2528B ．3539C ．5558D ．25296．（2022·全国·模拟预测）设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（）A ．3552B ．3150C ．3148D ．35461．（辽宁·高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（）A ．63B ．36C ．45D ．272．（陕西·高考真题）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242,10,S S ==则6S 等于A ．12B ．18C ．24D ．423．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若()23n n n S nT +=，则56a b =（）A ．925B ．13C ．921D ．11254．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且1n n S nT n =+，那么87a b 的值为（）A ．1312B ．1413C ．1514D ．16155．（2022·江西·临川一中校联考模拟预测）已知数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，且其前n 项和分别为n S 和n T ，若3125n n S n T n +=+，则55a b =（）A ．1615B ．2823C ．1011D ．3427考点六、等差数列通项公式与前项和的关系1．（全国·高考真题）设等差数列{}n a 的公差是d ，如果它的前n 项和2n S n =-，那么（）A ．21n a n =-，2d =-B ．21n a n =-，2d =C ．21n a n =-+，2d =-D ．21n a n =-+，2d =2．（2023·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n n a S a 为等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若m 为正整数，记集合{}2n m a m >的元素个数为{}n b ，求数列{}n b 的前50项和.1．（2023·四川达州·统考二模）已知n S 是数列{}n a 前n 项和，21544n S n n =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22n an b =，记n T ，n T '分别为数列{}n b 的前n 项和与前n 项积，求n n T T '+．2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n n S na =，23a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若16n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．3．（湖南·高考真题）已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．考点七、等差数列通项公式与前项和的最值1．（福建·高考真题）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于()A ．6B ．7C ．8D ．92．（2023·陕西西安·校联考一模）设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若197140,0S a a >+<，则当n S 取得最大值时，n ＝（）A ．8B ．9C ．10D ．113．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若100S <，110S >，则下列四个命题正确个数为（）①5S 为n S 的最小值②60a >③10a <，0d >④6S 为n S 的最小值A ．1B ．2C ．3D ．44．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列{}n a 中，已知10a >，且817S S =，则当n S 取最大值时，n =（）A ．10B ．11C ．12或13D ．135．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知首项为1-的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且7889,S S S S ><，则（）A ．1187d <<B ．105S S >C ．()8min n S S =D ．150S >6．（全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．1．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列{}n a 的公差为d ，共前n 项和为n S ，已知160S >，170S <，则下列结论不正确的是（）.A ．10a >，0d <B ．8S 与9S 均为n S 的最大值C ．890a a +>D ．90a <2．（2023·云南·校联考三模）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若160S >，790a a +<，则当n S 取最小值时，n 的值为.3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若120S <，570a a +>，则当n S 取最大值时，n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2023·河南·统考模拟预测）设数列{}n a 为正项等差数列，且其前n 项和为n S ，若20232023S =，则下列判断错误的是（）A ．10121a =B ．10131a ≥C ．20222022S >D ．20242024S ≥5．（全国·高考真题）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值考点八、等差数列的证明1．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知{}n a 是各项均为正数的数列，n S为的前n 项，n S ，2n a -成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)已知()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1122n n n S a -=-．(1)证明：12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项积．3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列{}n a满足1n a =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若对任意N n +∈，且当2n ≥时，总有12311114111n S S S S λ+++⋅⋅⋅+<---恒成立，求实数λ的取值范围.4．（2023·云南曲靖·校考三模）已知数列{}n a 满足1111,20n n n n a a a a a ++=+-=.记1n nb a =.(1)证明：数列{}n b 为等差数列；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求数列{}(1)nn S -的前20项的和.1．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知数列{}n a 的首项11a =，且满足1323nn n a a -+-=⨯.(1)求证：数列{}3nn a ⋅是等差数列；(2)若数列{}n b 满足19nn n n b a a +=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S .2．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列{}n a 满足111,12nn n a a a a +==+．(1)证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并{}n a 的通项公式；(2)设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．3．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且满足n n n n S T S T +=⋅()*N n ∈．(1)求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)记21n nb n S =，求数列{}n b 的前2023项的和M ．4．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项的积记为n T ，且满足11n n na T a -=(1)证明：数列{}n T 为等差数列;(2)若11,1,n n n n T n b n T T-+⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T.【基础过关】一、单选题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()21n n n S a a =+，则2023a =（）A ．2022B ．2023C ．2024D ．20252．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列{}n a 满足246πa a a ++=，则()17cos a a +=（）A ．12-B ．12CD3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3531,8S a a a =-=，则7a =（）A ．30B ．28C ．26D ．134．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5242,26.a S S ==若100n S ≤，则n 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．105．（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和是376,1,3n S a S a ==，则3S =（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-二、填空题6．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d >，且满足3521a a -=，2440a a ⋅=，则数列{}n a 的通项公式n a =．7．（2023·甘肃·三模）已知数列{}n a 满足113a =，11n n n a a a +=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前8项和为.三、解答题8．（2023·山西阳泉·统考三模）已知数列{}n a 满足13a =，1121n n n a a a ++-=．(1)记11n n b a =-求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．9．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a <，2234n n n a a S -=-．(1)求1a ，2a ；(2)求数列{}n a 的通项公式．10．（2023·辽宁丹东·统考二模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知15a =，1(1)12n n n n na S ++=-+．(1)求{an }的通项公式；(2)证明：20n S ≤．【能力提升】一、单选题1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，且1411,2==-a a ，则2023a =（）A ．20212023B ．20212023-C ．20192021D ．20192021-2．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足113a =，()11nn n n a a a n++=+，()11212n a a a a a a m m +++<∈R 恒成立，则m 的最小值为（）A ．3B ．2C ．1D ．23二、多选题3．（2023·辽宁大连·大连八中校考三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠．若6n S S ≤，则（）A ．10a >B ．0d <C ．60a =D ．130S ≤4．（2023·山东淄博·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足2211n n n a S a =+对N*n ∈成立，则下列结论正确的是（）A ．11a =±B ．{}n a 一定是递减数列C ．数列{}2n S 是等差数列D．2023a =三、填空题5．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知等差数列{}n a 的首项为()10a a a =>，公差1d =，等比数列{}n b 满足17b a =，71b a =，则33a b -的取值范围为.四、解答题6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()1n n S a n n =-+.(1)求数列{n a }的通项公式；(2)数列{n b }满足()*1N ,22nn n a b b n n --=∈≥且111a b -=，1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明:12n T ≤<.7．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为()1,23n n n S S n a =+，且11a =.(1)求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是等差数列；(2)求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .8．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，满足1n a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2πcos3n n n b a =，求数列{}n b 的前31n +项和31n T +.9．（2023·天津红桥·统考一模）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记2*(1),N n n n c a n =-∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ；(3)记*211,N n n n n na d n a ab ++-=∈，求数列{}n d 的前n 项和n T .10．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正项数列{n a }中，11a =，n S 是其前n项和，且满足)211n S S +=(1)求数列{n a }的通项公式：(2)已知数列{n b }满足()1111n n n n n a b a a +++=-，设数列{n b }的前n 项和为n T ，求n T 的最小值.【真题感知】一、单选题1．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位:cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =A ．64B ．96C ．128D ．1602．（2021·北京·统考高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A ．9B ．10C ．11D ．123．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.94．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块二、填空题5．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =．三、解答题6．（2021·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列{}n S 是等差数列，证明：{}n a 是等差数列.7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.8．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．9．（2023·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当5n >时，n n T S >．10．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．。

等差数列及其前n 项和【考点梳理】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －d 2＝n a 1＋a n2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 【考点突破】考点一、等差数列的基本运算【例1】(1)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A ．172B ．192C ．10D ．12(2)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8[答案] (1) B (2) C [解析] (1)∵公差为1， ∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，①6a 1＋15d ＝48，② 解得d ＝4. 【类题通法】1．等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法． 【对点训练】1．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10C ．52D ．54[答案] C[解析] 由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×（10－1）2×12＝52.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. [答案] 30[解析] 法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，即S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.考点二、等差数列的判定与证明【例2】若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.[解析] (1)当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【类题通法】等差数列的证明方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 【对点训练】已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n . [解析] (1)因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52， 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.考点三、等差数列的性质及应用【例3】(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 9＝16，则S 11＝( ) A ．88B ．48C ．96D ．176(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 [答案] (1) A (2) B [解析] (1)依题意得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 3＋a 9）2＝11×162＝88.(2)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列. 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45. 【类题通法】等差数列的常用性质和结论(1)在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a k.(2)在等差数列{a n}中，数列S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列.【对点训练】1．在等差数列{a n}中，a3＋a9＝27－a6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S11＝( ) A．18 B．99C．198 D．297[答案] B[解析] 因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝10，S10＝30，则S15＝( )A．60 B．70C．90 D．40[答案] A[解析] 因为数列{a n}为等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差数列，设S15＝x，则10，20，x－30成等差数列，所以2×20＝10＋(x－30)，所以x＝60，即S15＝60.考点四、等差数列的性质及应用【例4】等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n最大时，n的值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8[答案] C[解析] 法一由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时S n最大.法二由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故S n＝13n－n(n －1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时S n最大.【类题通法】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【对点训练】已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________. [答案] 110[解析] 因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.。

温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。

考点23 等差数列及其前n 项和一、选择题1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ7）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ）A.3B.4C.5D. 6【解题指南】利用1--=n n n S S a ，求出m a 及1+m a 的值，从而确定等差数列}{n a 的公差，再利用前n 项和公式求出m 的值.【解析】选C.由已知得，21=-=-m m m S S a ,311=-=++m m m S S a ，因为数列}{n a 为等差数列，所以11=-=+m m a a d ，又因为02)(1=+=m m a a m S ，所以0)2(1=+a m ，因为0≠m ，所以21-=a ，又2)1(1=-+=d m a a m ，解得5=m .2.（2013·安徽高考文科·Ｔ7）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，837=4,2S a a =-，则a 9=（ ）A.-6B.-4C.-2D.2【解题指南】利用等差数列的前n 项和公式及通项公式求出首项及公差。

【解析】选A 。

由83117187=484(2),2622S a a d a d a a d 由´?=?=-?=-，联立解得1102a d ==-，，所以91810166a a d =+=-=-。

3. （2013·辽宁高考文科·Ｔ4）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ4）相同 下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列；2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（ ）12342314.,.,.,.,A p p B p p C p p D p p【解题指南】借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列 【解析】选D. 递由1(1)n n n a na ++-11(1)()[(1)]n a nd n a n d =++-+-12a nd =+，仅由0d >是无法判断 12a nd +的正负的，因而不能判定 1(1),n n n a na ++的大小关系递显然，当n a n =时，1,n a n =数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列，不是递增数列，是数列的第1n +项减去数列的第1[3(1)](3)n n a n d a nd +++-+1()[3(1)n n a a n +=-++二、填空题4. （2013·重庆高考文科·Ｔ12）若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ．【解题指南】可根据等差数列的性质直接求解.【解析】因为2、a 、b 、c 、9成等差数列，所以公差47429=-=d ,272==-d a c . 【答案】725．（2013·上海高考文科·T2）在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= .【解析】 1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a 【答案】 156. （2013·广东高考理科·Ｔ12）在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=___ 【解题指南】本题考查等差数列的基本运算,可利用通项公式和整体代换的思想求解.【解析】设公差为d ，则3812910a a a d +=+=，571134182(29)20a a a d a d +=+=+=. 【答案】20.7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则n S n 的最小值为 .【解题指南】求得S n 的表达式,然后表示出nS n ,将其看作关于n 的函数,借助导数求得最小值.【解析】由题意知:111091002151415252d a d a ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩解得d=23,a 1=-3,所以()212103,233n n n n nS n --=-+⨯= 即nS n =3210,3n n -,令f(n)= 3210,3n n -,则有()220,3n f n n '=-令f'(n)>0,得203n >,令f'(n)<0,得200,3n <<又因为n 为正整数,所以当n=7时, ()32103n n f n -=取得最小值,即nS n 的最小值为-49.【答案】-498.（2013·安徽高考理科·Ｔ14））如图，互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等。

2022届高考数学总复习：等差数列及其前n 项和1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( ) A ．55 B.11 C ．50D ．60解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 020的值为( )A ．2 026 B.4 036 C ．5 044D ．3 020解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a m＝a 1＋(m －1)d ＝4，S m＝ma 1＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2－S m＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋(m ＋m ＋1)d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 020＝2×2 020－6＝4 036.故选B.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( ) A ．a 7＝0 B.|a 7|＝|a 8| C ．|a 7|>|a 8|D ．|a 7|<|a 8|解析：选D ∵公差d >0，∴S 9>S 8，又∵(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，∴S 8<S 5<S 9，∴a 6＋a 7＋a 8<0，a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7<0，a 7＋a 8>0，|a 7|<|a 8|，故选D.5．(多选)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( ) A ．a 1＋a 3＝0 B.a 3＋a 5＝0 C ．S 3＝S 4D ．S 4＝S 5解析：选BC 由S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝a 4，得a 4＝0，所以a 3＋a 5＝2a 4＝0，S 3＝S 4，故选B 、C.6．(多选)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17 B.a 10＝18 C ．S 9＝81D ．S 10＝91解析：选BD ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B 、D. 7．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：68．(一题两空)若数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，则a 3＝________，通项公式a n ＝________.解析：数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝a n ＋1－a n ＝3的等差数列， 所以a 3＝a 1＋2d ＝3＋6＝9， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n . 答案：9 3n9．(一题两空)等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则a n ＝________，S 10＝________.解析：设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2，∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11，S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0.答案：2n －11 010．等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n .若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝________.解析：因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.答案：4n ＋211．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：(1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ， S n ＝n (n －9)d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．12．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1， 即(a n －1)2＝a 2n －1， 因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3， 所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.13．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，给出下列五个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12>0；④数列{S n }中的最大项为S 11；⑤|a 6|>|a 7|，其中正确命题的个数为( )A ．2 B.3 C ．4D ．5解析：选C 因为S 7－S 6<0，S 6－S 5>0，所以d ＝a 7－a 6<0，①正确；S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，②正确；S 7－S 5＝a 6＋a 7>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，③正确；因为a 6>0，a 7<0，所以数列{S n }的最大项为S 6，④不正确；因为a 6＋a 7>0⇒a 6>－a 7，即|a 6|>|a 7|，⑤正确．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，则a 20的值为________，S 21的值为________．解析：将n ＝1代入a n ＋a n ＋1＝2n ＋1中得a 2＝3－1＝2. 由a n ＋a n ＋1＝2n ＋1 ①，得a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3 ②.②－①，得a n ＋2－a n ＝2，所以数列{a n }的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列， 则a 21＝1＋10×2＝21，a 20＝2＋9×2＝20，所以S 21＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 21)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝(1＋21)×112＋(2＋20)×102＝231.答案：20 23115．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2. (1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4， 所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d ＜0， 由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝n (a 1＋11－n )2＝－12n 2＋212n ，当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－a 13－…－a n ＝－S n ＋2S 11＝－n (a 1＋11－n )2＋2×11(a 1＋a 11)2＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.16．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a n n ，若{d n }是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{d n }是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．解：由题意得2＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a nn ，所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1 ＝2n －2(n ≥2，n ∈N ＋)，两式相减得a n ＝22n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．当n ＝1时，a 1＝2，符合上式， 所以a n ＝22n －1(n ∈N ＋)．又由题意得3＝b 1＋3b 2＋…＋3n －1b nn ，所以b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n ＝3n ，所以b 1＋3b 2＋…＋3n －2b n －1＝3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)， 两式相减得b n ＝32－n (n ≥2，n ∈N ＋)． 当n ＝1时，b 1＝3，符合上式， 所以b n ＝32－n (n ∈N ＋)． 所以c n ＝(2－k )n ＋2k －1.因为对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧c 6≥0，c 7≤0，解得135≤k ≤114.。

等差数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项.2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．二、常用结论已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .考点一 等差数列的基本运算[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9D ．10[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝ －10.(2)因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，d ＝(22－4a 2)2＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.[答案] (1)B (2)D[解题技法] 等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．[提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．[题组训练]1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故选B. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( ) A ．420 B ．340 C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340，选D.3．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．30解析：选C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为a 5＋a 10＝12， 所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24.考点二 等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．[解] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[题组训练]1．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{an }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49. 2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝2－1a n .∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1，∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三 等差数列的性质及应用考法(一) 等差数列项的性质[典例] (1)已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25(2)(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6[解析] (1)因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4， 所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.选B.(2)由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2，故选A.[答案] (1)B (2)A考法(二) 等差数列前n 项和的性质[典例] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27[解析] 由{a n }是等差数列， 得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B. [答案] B考法(三) 等差数列前n 项和的最值[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值． [答案] A[解题技法]1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[题组训练]1．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( )A ．－12B ．－13C ．12D ．13解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18[课时跟踪检测]A 级1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110D ．130解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S 10＝10×2＋10×92×2＝110.故选C.2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )A ．30B ．29C ．28D ．27解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列． 令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285，又n ∈N *，∴n ≤5.∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.4．(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( )A ．20B ．40C ．60D ．80解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4. ∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n .若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( )A ．4n ＋2B ．4nC ．2n ＋1D ．2n解析：选A 因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.7．已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________.解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝514(15n －n 2)．答案：514(15n －n 2)8．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：69．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.答案：S 510．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：1011．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7.(2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4，∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.B 级1．设a n ＝(n ＋1)2，b n ＝n 2－n (n ∈N *)，则下列命题中不正确的是( )A ．{a n ＋1－a n }是等差数列B ．{b n ＋1－b n }是等差数列C ．{a n －b n }是等差数列D ．{a n ＋b n }是等差数列 解析：选D 对于A ，因为a n ＝(n ＋1)2， 所以a n ＋1－a n ＝(n ＋2)2－(n ＋1)2＝2n ＋3， 设c n ＝2n ＋3，所以c n ＋1－c n ＝2.所以{a n ＋1－a n }是等差数列，故A 正确； 对于B ，因为b n ＝n 2－n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝2n ， 设c n ＝2n ，所以c n ＋1－c n ＝2，所以{b n ＋1－b n }是等差数列，故B 正确； 对于C ，因为a n ＝(n ＋1)2，b n ＝n 2－n (n ∈N *)， 所以a n －b n ＝(n ＋1)2－(n 2－n )＝3n ＋1， 设c n ＝3n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝3， 所以{a n －b n }是等差数列，故C 正确； 对于D ，a n ＋b n ＝2n 2＋n ＋1，设c n ＝a n ＋b n ，c n ＋1－c n 不是常数，故D 错误．2．(2019·武汉调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36， ∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值； 当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值． 综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案：－123．(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列． 解：(1)∵a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根， ∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4，∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n . (2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n －12＝2n ， ∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2. ∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．。

等差数列1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差. 2. 等差中项：由三个数b A a ，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列. 这时，A 叫做b a 与的等差中项. 3. 等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+5等差数列的性质：（1）通项公式的推广：()d m n a a m n -+= ()*N m n ∈，. （2）若{}n a 为等差数列，且n m l k +=+ ()*N m n l k ∈，，，，则n m l k a a a a +=+.（3）若{}n a 为等差数列，公差为d ，则{}n a 2也是等差数列，公差为d 2. （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n qb pa +是等差数列.(5）若{}n a 为等差数列，则()*2N m k a a a m k m k k ∈⋅⋅⋅++，，，，组成公差为md 的等差数列（6）232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 例题讲解题组一 关于基本量的计算问题(基本元法是常用方法，，1．已知等差数列{a n }中，a １＝１，d=1，则该数列前9项和S 9等于（ ） A.55 B.45 C.35 D.252．记等差数列的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差=d ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．73．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知32=a ，116=a ，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．694．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若6320a a -=，则8S 等于________．题组二 等差数列性质的应用5 已知27813696______a a a a a a +++=+=，练习 在等差数列}{n a 中，已知8276543,450a a a a a a a +=++++求 6 在等差数列}{n a 中1530820a a ==，，则60a = 练习. 一个等差数列中，===352515,66,33a a a 则（ ） A.99 B.49.5 C.48 D.49 7 已知等差数列{}n a , 若23101136a a a a +++=，求112a a +及12S练习 1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若147=S ，则53a a +的值为( ) A ．2 B ．4 C ．7 D ．82. 已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195C ．180D ．1208 若m S ，2m S ，3m S 分别是前m 项，2m 项，3m 项的和，且m S =30，2m S =90，则3m S =题组三 等差数列的判定和证明9、已知数列{}n a 是等差数列,34n n b a =+，证明数列{}n b 是等差数列.变式 1已知各项均为正数的数列{}n a 满足1nn a a -=2*2)n n N ≥∈（，， 判断数列{lg n a }是否是等差数列。

考点23 等差数列及其前n 项和一、选择题1.（2012·辽宁高考理科·Ｔ6）在等差数列{n a }中，已知4a +8a =16，则该数列前11项和11S =（ ）(A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【解题指南】利用等差数列的性质：,,,,m n p qm n p q N m n p q a a a a ∈+=+⇒+=+，利用公式12nn a a S n +=求和.【解析】选B.由于{}n a 为等差数列，所以1114816a a a a +=+=，所以11111==8822+⨯=a a S 11（）1116. 2.（2012·辽宁高考文科·Ｔ4）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10 =（ ）(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【解题指南】利用等差数列的性质：,,,,m n p qm n p q N m n p q a a a a ∈+=+⇒+=+.【解析】选B. 由于{}n a 为等差数列，所以2104816a a a a +=+=.3.（2012·浙江高考理科·Ｔ7）设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛n a ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是（ ） (A)若d ＜0，则数列﹛n S ﹜有最大项 (B)若数列﹛n S ﹜有最大项，则d ＜0(C)若数列﹛n S ﹜是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S >(D)若对任意*n N ∈,均有n S ＞0,则数列﹛n S ﹜是递增数列 【解题指南】考查等差数列的前n 项的增减性、要全面考虑问题.【解析】选C. 若数列﹛n a ﹜为递增数列,但数列的前若干项可能为负数，则存在*n N ∈，n S ＜0．故选项Ｃ错误．4.（2012·福建高考理科·Ｔ2）等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解题指南】结合等差数列的中项公式及等差数列的定义求公差. 【解析】选B ．153210a a a +==，35a =，所以432d a a =-=. 5.（2012·福建高考文科·Ｔ11）数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于（ ）(A)1 006 (B)2 012 (C)503 (D)0 【解析】选A.cos2n n a n π=，所以1cos 02a π==，22cos 2a π==-，333cos 02a π==，44cos 24a π==,…可见，前2 012项的所有奇数项为0，1 006个偶数项依次为2,4,6,8,-- ，发现依次相邻两项的和为2，所以S 2 012=1 006．二、填空题6.（2012·江西高考理科·Ｔ12）设数列{}{},n n a b都是等差数列.若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=________【解题指南】根据等差数列的性质，整体得到113355,,a b a b a b +++三者所满足的关系，求得55a b +的值.【解析】{}{},n n a b均是等差数列，根据等差数列的性质，1532a a a +=，1532b b b +=，即5312a a a =-，()()55331122217a b a b a b ∴+=+-+=⨯-＝35.【答案】357.（2012·广东高考理科·Ｔ11）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = .【解析】设等差数列公差为d ，则由2324,a a =- 24+=(+)-,d d 得121242=,d d ∴∴=±，由于该数列为递增数列，2-d ∴=2，【答案】21-n8.（2012·福建高考理科·Ｔ14）数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+，前n 项和为n s ，则s 2 012=_______．【解题指南】对于特殊角的三角函数值要熟识，进而列举数列的前几项，发现规律，然后求和． 【解析】cos12n n a n π=+，所以1cos 112a π=+=，22cos 121a π=+=-+，333cos 112a π=+=，44cos 2141a π=+=+，可见，前 2 012项的所有奇数项为1，10S =奇 1 006，1 006个偶数项依次为21,41,61,81,-++-++ ，发现依次相邻两项的和为4，所以所以【答案】3 0189.（2012·北京高考文科·Ｔ10）与（2012·北京高考理科·Ｔ10）相同已知{n a }为等差数列，n S 为其前n 项和，若1a =12，2S =3a ，则2a =_______，n S_______．【解题指南】利用等差数列的基本量及性质进行求解． 【解析】231233211,,2S a a a a d a a a =∴+=∴=-==，211a a d ∴=+=，2n n n S 44=+．【答案】1 2n n44+。

等差数列的前n项和等差数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之差都相等。

求等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。

本文将着重介绍等差数列的概念、求解前n项和的公式以及实际应用。

一、等差数列的概念等差数列又称为等差数列，是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。

通常用字母a表示首项，字母d表示公差，n表示项数。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。

举个例子，如果一个等差数列的首项为1，公差为2，那么该数列的前几项分别为1, 3, 5, 7, 9...二、等差数列前n项和的求解求解等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。

对于首项为a、公差为d的等差数列，前n项和Sn可以通过以下公式来计算：Sn = (n/2)(a + an) = (n/2)(2a + (n-1)d)其中Sn表示前n项和，n表示项数，a表示首项，d表示公差。

例如，求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和，可以使用上述公式进行计算：Sn = (3/2)(1 + 5) = 3*(6/2) = 9因此，等差数列1, 3, 5的前3项和为9。

三、等差数列前n项和的实际应用等差数列的前n项和在实际应用中有着广泛的用途。

以下是几个常见的应用场景：1. 金融投资：在金融投资中，等差数列的前n项和可以用来计算投资利息或回报。

假设每年的回报率为r%，首次投资金额为a元，那么第n年的总金额为Sn = a*(1+r)^n。

其中，(1+r)^n是一个公差为r的等比数列，可以将其转换为等差数列，并使用前n项和公式进行计算。

2. 资源分配：在资源分配问题中，等差数列的前n项和可以用来计算每个参与者的分配数量。

假设有n个参与者，资源总量为Sn，按比例进行分配，那么每个参与者的分配数量为an = Sn*(a1/a)。

其中a1为首项，a为总和。

3. 时间管理：在时间管理中，等差数列的前n项和可以用来计算每个任务的时间分配。