等差数列及其前n项和练习题

第1讲 等差数列及其前n 项和

一、填空题

1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3

9＝1，则公差为________． 3．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 5．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12

＋a 13＝________.

6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．

7．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n

－1(n ∈N *

)，且⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列，

则λ的值是________．

8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.

10．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________. 二、解答题

11．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .

(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；

(2)设b n ＝S n

n ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．

12．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.

13．在等差数列{a n}中，公差d＞0，前n项和为S n，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)令b n＝

S n

n＋c

(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{b n}也为等差数列？

若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．

第2讲 等比数列及其前n 项和

一、填空题

1．设数列{a 2n }前n 项和为S n ，a 1＝t ，a 2＝t 2

，S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，则{a n }

是________数列，通项a n ＝________.

解析 由S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，得S n ＋2－S n ＋1＝t (S n ＋1－S n )，所以a n ＋2＝ta n ＋1，所以a n ＋2a n ＋1＝t ，又a 2

a 1＝t ，

所以{a n }成等比数列，且a n ＝t ·t n －1＝t n . 答案 等比 t n

2．等比数列{a n }的前n 项和为S n,8a 2＋a 5＝0，则S 6

S 3

＝________.

解 ∵8a 2＋a 5＝8a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (8＋q 3)＝0 ∴q ＝－2

∴S 6S 3＝1－q 6

1－q

3＝1＋q 3＝－7. 答案 －7

3．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝2，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________.

解析 由a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得q n －1＋q n ＝6q n －2，所以q 2＋q ＝6.又q ＞0，所以q ＝2，a 1＝1. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.

答案 15

4．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－1

5，则实数t 的值为________．

解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝4

5t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数

列知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

15t －15×4t ，显然t ≠0，所以t ＝5.

答案 5

5．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n

＋1

·a n ＋2≥18的最大正整数n 的值为________．

解析 由等比数列的性质，得4＝a 2·a 4＝a 23(a 3＞0)，所以a 3＝2，所以a 1＋a 2

＝14－a 3＝12，于是由⎩⎪⎨⎪⎧

a 1q 2＝2，a 1()

1＋q ＝12，

解得⎩⎨⎧

a 1＝8，

q ＝1

2，

所以a n ＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －4. 于是由

a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a 3n ＋1＝⎝

⎛

⎭⎪⎫123(n －3)＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫18n －3≥18，得n －3≤1，即n ≤4. 答案 4

6．在等比数列{a n }中，a n >0，若a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________． 解析 由已知a 1a 2·…·a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，所以a 4a 5＝2，又a 4＋a 5≥2a 4a 5＝22(当且仅当a 4＝a 5＝2时取等号)．所以a 4＋a 5的最小值为2 2. 答案 2 2

7．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，则a 13

a 10

＝________.

解析 ∵{a n }是递增的等比数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2， 又∵a 2＋a 8＝3，

∴a 2，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 2＝1，a 8＝2， ∴q 6

＝a 8a 2＝2，∴q 3

＝2，∴a 13a 10

＝q 3＝ 2.

答案 2

8．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值为________．