多面体欧拉定理的发现(1)教学设计

多面体欧拉公式的发现”教学设计“多面体欧拉公式的发现”教学设计一、研究性课题：多面体欧拉公式的发现二、教学目标：1、使学生经历欧拉公式的发现与证明的历程，体验公式发现与证明过程中体现的数学思维方法，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。

2、培养学生实验、观察、归纳及大胆猜想的能力和主动参与探究的学习意识，激发学生学习数学的兴趣，培养学生善于发现、勇于探索的创新精神。

3、学会用计算机进行学习，能访问Internet，成功收集Internet上的相关资料，学会数学主题阅读；对所收集的资料进行分析整理、归纳，并制作电子讲稿或网页来与他人交流共享。

4、能与他人合作，加强协作学习的能力与团队意识、合作精神。

三、教材分析欧拉公式是高中二年级立体几何第9.10节中的研究性课题。

欧拉公式的探讨使学生更深刻理解多面体的性质。

本节内容是大学拓扑学领域内的知识，欧拉示性数刻划了多面体的不变性质。

同时本节内容的学习，对化学学科中分子结构的研究具有重要作用。

因此它具有承上启下、逐类旁通的作用，是不可多得的研究性学习课题之一。

四．教学设计原则：本设计以建构主义理论为指导，充分利用信息技术手段，进行基于资源、基于问题、基于研究、基于活动等方面的教与学，使学生在意义丰富的情景中主动建构知识。

本设计遵循《普通高中数学课程标准》的要求，注重信息技术与数学课程的整合。

本设计的基本原则是：①以学生为中心，设计让学生主动参与学习活动，自主探索，教师是学习的促进者，引导、帮助、监控和评价学生的学习过程。

②改变教师是唯一的“信息源”，充分利用各种信息资源、人力资源来支持学生。

③以“任务驱动”与“问题解决”作为学和研究活动的主体。

④强调“协作学习”。

五、教学时间：一周（两课时及一些课余时间）六、必备技能：Windows 98的操作、上网查阅资料的技能，PorwerPoint演示文稿的制作能力。

七、教学过程：1、准备工作分好若干小组，要求每个小组用纸和细棍（或火柴）等材料制作五种正多面体和一些棱柱、棱锥、棱台的模型。

研究性课题：多面体欧拉公式的发现一、教学目标1、认知目标：了解简单多面体有关概念，探索多面体的欧拉公式。

2、能力目标：培养学生观察、归纳的能力3、情感目标：让学生学会合作、交流，体会学习和研究数学的方法。

4、创新素质：激发学生对体验式学习的兴趣，增强创新意识。

二、教材分析与处理1、重点: 探索公式，体验数学公式的发现过程。

2、难点: 欧拉公式的发现过程。

3、德育点: 实践出真知，激发学生对数学、对科学的热爱。

4、空白点: 课前让学生做模型，寻找有关欧拉事迹资料，课后反思小结，让学生回忆公式的探索过程。

5、创新点: 课前让学生做模型，课堂上让学生体验公式的发现过程。

三、教学内容9.9 多面体欧拉公式的发现简单多面体欧拉公式教学具选择：多媒体课件、自制多面体实物模型四、教学过程学生课前做多面体模型，寻找资料。

三人一组（创新点，合作学习）。

1、创设情境，提出目标，提供信息和条件（1）多媒体演示多面体实物，如金字塔、三棱镜，最后定格在图形C60上。

（创新点，学习背景化）（2）提供信息条件。

师：每个多面体由若干个顶点、棱和面构成，它们之间有没有关系？是什么样的规律？板书课题（创新点，利用设疑导课技术切入课题）（3）一名同学介绍欧拉的有关资料，其它同学进行补充（实施德育点，略停几秒钟，让学生回味，采用留白技术，以增加学生对数学史的了解）。

以下环节通过教师引导—提示—设疑；学生观察—归纳—猜想—再观察，借以突破难点，掌握重点。

2、学生研究探索师：数学家的探索过程是什么样的？（1）各组展示模型，初步观察、研究，填表见板书（一人记录、一人观察、一人检查）。

教师巡视，提示把结果记准确。

（2）用表格的形式展示实验结果。

（3）小组分析讨论，写出发现的规律。

（4）引导学生发表不同意见：有的图形不符合规律。

（5）把不符合规律的图形集中展示，观察讨论它们的共同点，捕捉学生思维的闪光点，并渗透拓扑变换思想。

师：大家想知道欧拉是怎样研究多面体的吗？观念上创新，把多面体的表面看成用橡皮薄膜制的，方法上创新，向它的内部充气，那么它就会连续（不破裂）变形，把平面变成曲面。

多面体欧拉定理的发现（1）一、课题：多面体欧拉定理的发现（1） 二、教学目标：1．了解简单多面体的概念；2．掌握欧拉定理．三、教学重、难点：欧拉定义及其证明． 四、教学过程：（一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。

1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝． （二）新课讲解： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么 它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图： 象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面 体，叫做简单多面体．说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．2．填表：将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表：正多面体 顶点数V面数F 棱数E 正四面体 44 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体122030发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：2F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立． 3．欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：2V F E +-=．（欧拉公式） 4．定理的证明：（方法一）以四面体ABCD 为例来说明：将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形， 四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数1F 变形 后都没有变。

因此，要研究V 、E 和F 的关系， 只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可．ABCDEA 'B 'C 'D 'E '对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。

例如去掉BC ，就减少一个面ABC ． 同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ． 由于1F E -、V 的值都不变，因此1V F E +- 的值也不变．（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少 一个顶点。

【课题】研究性课题：多面体欧拉公式的发现（1）【教学目标】1、能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2、能通过进一步观察验证所得的规律.3、能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4、能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.【教学重点】欧拉公式的发现.【教学难点】从中体会和学习数学大师研究数学的方法.【教学过程】一、复习引入欧拉是瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支。

比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等。

其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，这就是我们今天要学习的欧拉定理。

二、讲解新课（一）简单多面体1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。

（二）五种正多面体的顶点数、面数及棱数：发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关系式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：2V F E +-=证明1：以四面体ABCD 为例来说明：将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数()111F F F =-变形后都没有变。

因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。

多面体欧拉定理的发现(1)【教学目的】1．理解简单多面体的定义2．理解并熟记欧拉公式3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理【教学思路】正多面体5种→认识欧拉→拓扑变形→简单多面体概念→研究正多面体V、F、E的关系→欧拉定理→证明→欧拉定理的意义【教学过程】1.(1) 什么叫正多面体？特征？正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。

(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。

为什么只有5种正多面体？著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。

2. 介绍数学家欧拉欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。

他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。

他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。

在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。

3.发现关系：V+F-E=2。

是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。

4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。

像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。

5. 欧拉定理定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系V+F-E=2公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律6. 定理的证明分析：以四面体ABCD 为例。

将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。

§38 研究性课题：多面体欧拉公式的发现（1）一、素质教育目标(一)知识教学点1．简单多面体的V、E、F关系的发现．2．欧拉公式的猜想五种。

3．欧拉公式的证明。

(二)能力训练点1．能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律。

2．能通过进一步观察验证所得的规律。

3．能从拓朴的角度认识简单多面体的本质。

4．能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想。

5．了解欧拉公式的一种证明思路。

(三)德育渗透点1．通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学磊师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求。

2．培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：欧拉公式的发现．2．解决方法：遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程三、课时安排：2课时。

这是本内容的第1课时。

四、教与学过程设计(一)课题导入瑞士著名数学家欧拉，是数学史上的最多产的数学家，他毕和从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支。

比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化: f(x)---函数； e---自然对数的底数； a,b,c---△ABC的三边等．数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等。

其中欧拉公式e iπ+1=0 ,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V-E+F=2(V、E、F分别表示多面体的顶点、棱和面数。

今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，热烈讨论积极交流。

(二)讲授新课1．填表、观察、找规律（1）填表：先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数V、面数F及棱数E，填入表1（P56）；（2）观察：继续观察表1的各组数据，试找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何？（3）分析：（学生讨论）问题1：表1中多面体的面数F都随顶点数V的增大而增大吗？试举例说明。

“多面体欧拉定理的发现”教学活动设计作者：王怀昌来源：《信息技术教育》2006年第09期背景材料介绍背景：北京时间6月9日22点30分，2006年德国世界杯的开幕式在慕尼黑的安联体育场拉开序幕，随着德国总统克勒宣布大赛开幕，万众瞩目的世界杯大赛正式开始。

首场揭幕战6月10日零点，德国VS哥斯达黎加，比赛地点是慕尼黑。

问题提出足球虽然是球体，但实际是由正五边形、正六边形橡胶粘合成的多面体加工而成。

试问：正五边形、正六边形橡皮各有多少块呢？观察每个小组发一个足球，让学生进行观察。

各个小组仔细观察足球的构造，回答上述问题。

结论：(1)每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮。

(2)每两个相邻的多边形恰有一条公共的边。

(3)每个顶点处都有三块橡皮，而且都遵循一个正五边形、两个正六边形。

(4)共32个面，更进一步可以得到60个顶点，90条棱……思考仅有上面1～3的信息，能不能求出来足球共有多少个面？这个问题，希望通过本节课的学习之后，你能够进行回答。

打开互动程序——多面体/check.do?func=1&moduleID=87。

多面体欧拉公式的发现实验探索，归纳猜想运行“多面体”互动程序（/check.do?func=1&moduleID=87），通过拖动鼠标可以旋转多面体，以便从不同角度观察多面体，通过三维模型直观性更强。

如图1所示。

学生分小组进行观察、讨论、总结，然后表述各自的观点，最后共同总结出下述的结论。

发现规律以小组为单位对上面的表格进行讨论，研究各个数值的关系。

结果：V+F-E=2。

引申问题图２图３图２是带洞的多面体，图３是两个顶部相连的四面体，这时前面的结论还成立吗？引导学生讨论，引出前面结论的限制条件。

教师说明：上面的反例都不能被看成是“真正的”多面体，因为一个真正的多面体应当是无空穴的、无重叠的。

归纳简单多面体的定义：连续变形中表面能变为一个球面的多面体，叫做简单多面体。

欧拉公式：对任何简单的多面体，V+F-E=2成立。

课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(一)教学目的：1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力教学重点：欧拉公式的发现过程教学难点：欧拉定义及其证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣教学过程：一、复习引入：1欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝（详细资料附后）2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等二、讲解新课：1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：⑹发现：它们的顶点数V、面数F及棱数E有共同的关系式：2V F E+-=．上述关系式对简单多面体都成立3.欧拉公式的探究1．请查出图⑹的顶点数V、面数F、和棱数E，并计算V＋F－E＝6+6-10=22．查出图⑺中的顶点数V、面数F、和棱数E，并验证上面公式是否还成立？3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。

《多面体欧拉公式的发现》教学设计黄石三中吴娅内容提要本文是高二下学期研究性课题《多面体欧拉公式的发现》的教学设计。

我设计的指导思想是“新课程标准”、“人本主义心理学”、“学科网群资源的运用”和“问题探究教学模式”。

在此思想指导下，整个教学设计体现了以学生为主体，关注学生的全面发展和长期发展。

欧拉公式的发现、验证及证明都由学生自己完成，要求学生用“自己”的头脑“亲自”获取知识，教师仅仅是教学活动中的组织者、参与者与合作者。

同时，学生研究的过程也是体验数学大师如何运用数学思想方法的过程，为以后从事研究活动奠定基础。

作为一种现代化的教学手段，本次课多媒体教学有着神奇而独特的作用。

它可以运用图象、声音、颜色、技巧等多种方法把知识展现给学生，既具有直观、形象、生动的特点，又能调动学生的多种感官同时参与学习，便于学生理解知识，并能留下深刻印象，把教学内容制成动画，让学生亲自动手，使他们喜闻乐见，激发了学习兴趣。

正文：一、教学目标（一）认知目标简单多面体的顶点数、面数、棱数关系的发现，欧拉公式的猜想、证明及其应用。

（二）能力目标1．使学生能通过观察、验证具体多面体的顶点数、面数、棱数，从中寻找规律，归纳得出关于欧拉公式的猜想。

2．使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质。

3．使学生了解欧拉公式的证明思路。

4．培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力。

（三）情感目标1．通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神，激发学生对科学的热爱和对理想的追求。

2．通过多媒体展示获取知识的现象和过程，激发学生的求知欲望和探究精神。

3．让学生学会交流与合作，形成合作与分享的意识。

教学目标一览表二、课型：课题研究课三、教学重难点重点是欧拉公式的发现，难点是使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法。

四、教材分析本节课“多面体欧拉公式的发现”采用了“研究性课题”的学习形式，其目的在于体现新大纲的特点。

《多面体欧拉定理的发现》教学设计长沙市周南中学任元奇新课程倡导教师对学生最重要的价值引导就是“会做数学”比“会说数学”更重要，课堂始终以“做数学”为主旋律，教师不断地创设有意义的问题情境或教学活动，激励学生在解决问题中学习。

与传统数学相比，现代数学的巨大变化还表现在，通过观察作出猜想、建立模型、然后进行修改调整，成为现代数学家以及应用数学家、工程技术人员的基本思维。

那么，当今的数学课堂教学应尽可能让学生参与实验、合情推理、模型模拟、矫正与调控、逐步优化等一系列科学活动过程。

基于上述理解，笔者在“多面体欧拉定理的发现”教学中，设计了以下几个环节，愿与大家探讨。

一、教学过程设计〖1〗问题情境在平面多边形中，多边形的边数b，顶点数d之间有关系b=d；若进一步考虑多边形在空间的类似：多面体；我们需揭示哪些元素的关系呢？注：此环节意在让学生体验从二维到三维的类比推广，把问题引向未研究过的更广阔的领域，引伸出不平凡的、有价值的命题。

〖2〗尝试猜想师生简要交流从特殊到一般的探究“规律”的方案后，开展以下的系列活动：活动一：学生分组探索规律通过学生画具体的多面体，数多面体的顶点数V、面数F、棱数E，列出表格，寻找变化“规律”。

活动二：师生交流、整理归纳在汇总的各个方案中，教师宜从一些不成立的猜想着手，引导学生找出问题所在，在逐步矫正中，培养学生“合理”的猜想。

我在各组的反馈的材料中，先选择了其中一组，这一组同学对四面体、三棱锥和长方体（如图）的情况进行了如下统计：四面体：F=4，V=4，E=6；三棱柱：F=5，V=6，E=9；平行六面体：F=6，V=8，E=12。

则猜想得出：面数增加，顶点数和棱数也增加。

当这一问题呈现在学生面前时，另一组的同学马上进行了纠正，出示以下图表：(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)增加，顶点数反而减少，而棱数未变。

并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱却减少，也是它的反例，同时指出：V与E同增减的结论也不对；根据这两组同学的交流，此时教师应适当进行引导，为此，我设置了以下针对性的问题：问题1：你能从增减性的角度揭示三个元素的关系吗？经过思考后，有同学发表了自己的看法：对比立方体与八面体时，发现E未变，但F 与V的数值互换，即：立方体：F=6，V=8，E=12 正八面体：F=8，V=6，E=12。

一、课题：多面体欧拉定理的发现三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：（一）复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．（二）新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 （1）令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱。

由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 （2）由（1）（2）得：，代入欧拉公式：．∴ （3），∵又，，但，不能同时大于，（若，，则有，即这是不可能的）∴，中至少有一个等于．令，则，∴，∴，∴．同样若可得．例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家。

是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体。

这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目． 解：设分子中有五边形个，六边形个。

分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯= （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得 （2），由（1）（2）得：， ∴分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数．解：由题意设每一个面的边数为,则，∴，∵，∴,将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,则，得,即（1）,∵，∴,又，∴的可能取值为，,,当或时（1）中无整数解；当,由（1）得,∴, ∴，综上可知:，，.五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页 习题9．10第2，3题．一、课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料：走近欧拉欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。

《多面体欧拉公式的发现》教学设计广西柳城县实验中学梁卷明设计指导思想：本课内容是高二下学期研究性课题《多面体欧拉公式的发现》的教学设计片段。

我设计的指导思想是以“新课程标准”、“人本主义心理学”和“问题探究教学模式”。

在此思想指导下，整个教学设计体现了以学生为主体，关注学生的全面发展和长期发展。

欧拉公式的发现、验证及证明都由学生自己去思考，要求学生在研究的过程也是体验数学大师数学思想方法的过程，为以后从事研究活动奠定基础。

作为一种现代化的教学手段，本次课利用玲珑3D几何画板引导学生探究欧拉定理，激发学习兴趣。

教学过程：1.介绍数学家欧拉：数学家欧拉：瑞士著名的数学家欧拉,16岁获硕士学位，是数学史上的最多产的数学家,他毕生从事数学研究,他的论著几乎涉及18世纪所以的数学分支.比如在初等数学中，欧拉首先把符号正规化，如 f(x)表示函数，i表示虚数单位，e表示自然对数的底，a.b.c表示三角形的三边等。

数学中有欧拉公式,欧拉方程.欧拉常数,欧拉方法.欧拉猜想等.欧拉晚年不幸双目失明，在失明后的17年里，他还口述了几本书和约400篇论文．正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。

2.提出问题：本节课我们研究多面体的顶点数、面数、棱数三者有什么关系？3.引导学生探究欧拉公式：（1）打开玲珑3D几何画板，画一个任意四面体，提问学生：四面体的顶点数、面数、棱数各是多少？并填入表格的相应位置：（2）利用玲珑3D几何画板切割所画的任意四面体的一个顶点，即得五面体，引导学生探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（3）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意五面体的一个顶点，即得六面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（4）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意六面体的一个顶点，即得七面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（5）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意七面体的一个顶点，即得八面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？由（2）、（3）、（4）、（5）引导学生发现：增加的顶点数+增加的面数=增加的棱数；再结合(1)可猜想：V+F-E=2 ，（6）让学生自主探究，验证猜想；（7）得出：欧拉公式：多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2 。