化归中的数形结合思想

数学常用的数学思想方法主要有：用字母表示数的思想,数形结合的思想,转化思想(化归思想)，分类思想，类比思想，函数的思想，方程的思想，无逼近思想等等。

1.用字母表示数的思想：这是基本的数学思想之一 .在代数第一册第二章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。

2.数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。

“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。

3.转化思想：在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。

转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。

4.分类思想：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。

5.类比：类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义.它能触类旁通，启发思考，不仅是解决日常生活中大量问题的基础，而且是进行科学研究和发明创造的有力工具.6.函数的思想：辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。

7.方程：是初中代数的主要内容.初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，在初中阶段就要形成方程的思想.所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，扩展资料：函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

关注《圆锥曲线与方程》中的“化归”与“数形结合”思想“化归”就是转化和归结的意思，在学习《圆锥曲线与方程》的过程中我们要时刻注意化繁为简、化生为熟。

例如，用一个平面去截圆锥，这个平面与圆锥的交线是一个椭圆。

在圆锥内做大小两个球分别与圆锥和截面相切，求证：截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点。

怎么证明它呢？ 在截面椭圆上任取一点A ，连结圆锥顶点与A ，分别与两球和圆锥的切点圆于B 、C 。

设大、小两球与截面的切点分别为E 、F ，易知|AF|=|AB|、|AE|=|AC|，∴|AE|+|AF|=|AB|+|AC|=|BC|为定值，即E 、F 恰为椭圆的两个焦点。

这里在证明时就是将问题化归为了利用椭圆的定义：在平面内动点P 到两个定点F 1、F 2的距离之和为定值（>F 1F 2），则动点P 的轨迹就是椭圆。

至于“数形结合”思想的应用，则比比皆是。

本身解析几何中的“解析法”就是在建立坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数方法来研究几何问题的。

“数”与“形”的有机结合，贯穿了整个《圆锥曲线与方程》学习的始终。

例1．设P 为双曲线191622=-y x 右支上异于顶点的任一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，则⊿PF 1F 2的内心M 的轨迹方程是A )0(4≠=y xB )0(3≠=y xC )0(5≠=y xD )0(516≠=y x 分析：设三角形PF 1F 2的内切圆与F 1F 2、PF 1、PF 2分别切于D 、E 、F ，易得8=|PF 1|-|PF 2|=|DF 1|-|DF 2|，设D(x,0)，则x-(-5)-(5-x)=8,x=4,故选（A ）。

点评 例2．F 是椭圆 )0(122>>=+b a b y a x 的左焦点，过F 且倾斜角为600的直线交椭圆与A 、B 两点，若AF=2BF ，则椭圆的离 心率e=___________。

分析：直接计算，若设出直线AB 方程，代入椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 进行消元，利用条件AF=2BF 将是一件非常烦琐的事情。

数学化归思想在中学数学中的应用案例数学思想方法反映着数学观念、原理及规律的联系和本质，是培养学生学习能力的桥梁。

在数学中，我们通常采用化归思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

化归思想，是解决数学问题的一种重要思想，它贯穿于整个数学。

对初中学生来说，能熟练、灵活运用这一方法，可减轻不少负担，更会因此而爱上数学。

因此，化归思想为提升学生解决问题的能力，培养学生的数学素养发挥着重要的作用。

一、化归思想的特性（一）设计化归目标，确保化归实效化归作为一种思想方法，包含了化归的目标以及化归的方法和途径三个要素。

因此，化归思想方法的实施应有明确的对象，要设计好目标，选择好方法。

而设计目标是问题的关键。

设计化归目标时，要把要解决的问题化归为规律问题，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。

（二）力求等价性，确保逻辑正确化归包括等价化归和非等价化归。

中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

（三）注重多样性，研究转化方案在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。

因此研究设计合理、简单便捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都生搬硬套的方法，以免造成繁难不堪。

二、化归思想在数学教学中的应用案例（一）把新问题转化为旧问题把新的问题转化为熟悉的问题，运用学生熟悉的知识、经验和问题来解决。

同样，能将待解决的新问题化归为一个比较熟悉的问题，就可以将已知的知识和经验用于面临的新问题，以此激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，那么就更有利于问题的解决。

例如，教材中解二元一次方程是通过降次化归成一元一次方程；解二元一次方程组或三元一次方程组是通过消元化归成一元一次方程或二元一次方程组；解分式方程是化归成整式方程；异分母分数的加减法，通过通分转化成同分母分数的加减法；多边形的内角和问题转化为三角形的内角和来解决；梯形的中位线问题转化为三角形的中位线来解决。

小学数学中常用的数学思想方法有数形结合思想方法、对应思想方法、符号化思想方法、化归思想方法等。

下面我就如何向学生渗透这些数学思想方法分别举例说明。

1数形结合的数学思想方法。

数和形是数学研究的两个主要对象，两者既有区别，又有联系，互相促进。

所谓数形结合的思想方法就是通过具体事实的形象思维过渡到抽象思维的方法。

数形的结合是双向的，一方面，抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方面，复杂的形体可以用简单的数量关系表示。

用图解法分析问题就是运用这种方法。

我从二年级开始就教学生画线段图分析应用题的数量关系。

例如滩沟小学秋季种树53棵，比春季多种8棵。

春季种树多少棵？”先让学生找到关健句，弄清谁与谁比，谁多谁少，画出线段图：这样做学生比较容易找到数量关系，列出正确版式，同时有克服见“多”就“加”，见“少”就“减”的思维定势。

2对应的思想方法。

对应是人们对两上集合元素之间的联系的一种思想方法。

为此在教学中，我充分发挥教材优势，结合教学内容逐步渗透“对应”的数学思想方法。

数学素质教育的目的，就是要通过数学学习，使学生具有一定的数学意识，会合乎逻辑地思考、推理和判断，从而使分析问题和解决问题的能力得以提高，创新意识，创新能力得到培养，创新思维品质得到优化，严谨求实，知难而进的精神品质得到发展。

为此，教师在分析教材时，不仅要弄清重点，难点，而且还要深入挖掘章节知识及例题，习题中蕴含的数学思想方法。

使学生初步接触一一对应的思想，初步感知两个集合的各元素之间能一一对应，它们的数量就是“同样多”。

3符号化数学思想方法。

数学的一个突出特点是符号加逻辑。

而符号化思想是数学信息的载体，能大大简化运算或推理过程，加快思维的速度，提高学习效率。

因此在教学中，要尽量把实际问题用数学符号来表达，还要充分把握每个数学符号所蕴含的丰富内涵和实际意义。

例如“=”右边开口张大；左边积木数减少，“=”左边的开口缩小，边说边用左手的食指、中指摆成一个小于号，使学生认识小于号。

化归中的数形结合思想一、从数到形,以形论数初等代数研究的是数字和文字的代数运算(加法、减法、乘法、除法、乘方、开方)的理论和方法,因此,具有高度的计算性。

所以,无论是概念,还是法则、定律,都是很抽象的,有时运算会是很烦琐。

在思考和解决数学问题时,对于某些从表面上看来与图形不相关的概念和问题,有时可从某种特定的角度,画一个图形、图象或者示意图,对所讨论的问题给予几何直观地描述,往往会对问题的求解提供许多有益的启示。

借助图形常常可以把问题中的数量关系揭示得直观形象,“图”可以帮助思考,把抽象的东西变得直观,从而使对概念的理解,使解题思路变得简单明了,巧妙快捷。

二、从形到数,以数论形中学数学的几何内容是图文并茂的内容,它把逻辑思维和形象思维有机地结合起来,几何直观对于人们学习抽象的数学起到了十分重要的作用。

但是,在研究问题时,经常需要通过分析图形中的有关数量关系,探讨图形的结构和性质。

通过建立坐标系,化几何问题为代数问题,这种方法有规范的步骤,较容易掌握,某些几何问题,利用解析几何方法解决较为简捷。

这种方法就是“从形到数,以数论形”的方法。

三、数形结合,互相转化,互相补充从数到形、以形论数和从形到数、以数论形是数形结合的两个重要方面。

在思考和解决问题的过程中,上述两个方面往往不能截然分开。

尤其是一些较为复杂的问题,需要两个方面的互相转化,相互利用。

问题的某些数量特征往往能给人们有关构建图形的提示;反过来,利用图形的结构特征又能够帮助人们找到解决问题的思路。

在思考和解决数学问题时,不仅要学会用“形”的结构和特征去理解“数”的特征,也要学会用“数”的特征去理解“形”的结构和特征。

而不是只强调一个方面,而忽视另一个方面。

参考文献:1.G·波利亚(美).《数学发现》.台湾九章出版社,19952.沈文选,胡清桃.《数学思想领悟》.哈尔滨工业大学出版社,20083.钱佩玲.《数学思想方法与中学数学》.北京师范大学出版社,2008作者单位:高安市石脑二中。

TIANJIN EDUCATION在普通高中数学课程标准修订（2017版）中指出：数学抽象是通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。

本文主要从“二元一次不等式（组）与平面区域”这节课的教学设计上，阐述如何让学生通过数量关系与空间形式的抽象，提升他们的数学抽象核心素养。

“二元一次不等式（组）与平面区域”是人教A 版《普通高中课程标准实验教科书•数学5（必修）》第三章不等式的第3节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题，第1课时内容，其相关概念是将一元一次不等式抽象出几何背景，再以几何直观推理的方法解决二元一次不等式的解集问题，它是线性规划问题的基础和前提，为后面寻求线性规划“最优解”奠定了基础。

一、教学设计及课堂实录（一）创设情景，引入新知数学源于生活又服务于生活，让学生从生活中的具体实例入手，由文字语言转化到符号语言，建立起二元一次不等式的概念，使学生经历、体验从实际问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程，让学生从已知到对未知的冲突，从而引出本节课要研究的对象。

例：某高中食堂主要以面食和米食为主，面食和米食中的蛋白质和淀粉含量如下表所示。

学校要求食堂给学生配置成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和12个单位的淀粉，请问食堂应该如何调配面食和米食分量呢？设每份盒饭中面食为x 百克，米食为y 百克。

学生：ìíîïïïï6x +2y ≥84x +8y ≥12x ≥0y ≥0=ìíîïïïï3x +y ≥4x +2y ≥3x ≥0y ≥0（得出二元一次不等式（组）的概念）教师：如何求二元一次不等式（组）的解（集）？如果将有序实数对看做点坐标，那么二元一次不等式（组）的解（集）又表示什么图形？（二）类比旧知，由数抽象出形二元一次不等式表示什么样的平面区域？这是一个比较抽象的问题，学生需要通过已经学习过的、熟悉的知识进行类比、对接。

化归中的数形结合思想作者：王典辉来源：《新课程·教研版》2010年第03期“化归”是转化和归结,它是人们在解决数学问题时,常常将待解决的问题A,通过某种转化手段,归结为另一个问题B,而问题B是相对较易解决或已有固定解决模式的问题。

且通过对问题B的解决可得到原问题A的解决。

而数形结合就是通过实现数量关系与图形性质的相互转化,使抽象思维和形象思维相互作用,将抽象的数量关系和直观的图形结合起来思考研究数学问题。

数形结合是一种极具数学特点的信息转换,一方面用数量的抽象性质来说明形象的事实;另一方面又用图象的性质说明数量的抽象性质。

因此,数形结合是一类极为重要的转化,其着眼点放在代数与几何的沟通上。

一、从数到形,以形论数初等代数研究的是数字和文字的代数运算(加法、减法、乘法、除法、乘方、开方)的理论和方法,因此,具有高度的计算性。

所以,无论是概念,还是法则、定律,都是很抽象的,有时运算会是很烦琐。

在思考和解决数学问题时,对于某些从表面上看来与图形不相关的概念和问题,有时可从某种特定的角度,画一个图形、图象或者示意图,对所讨论的问题给予几何直观地描述,往往会对问题的求解提供许多有益的启示。

借助图形常常可以把问题中的数量关系揭示得直观形象,“图”可以帮助思考,把抽象的东西变得直观,从而使对概念的理解,使解题思路变得简单明了,巧妙快捷。

二、从形到数,以数论形中学数学的几何内容是图文并茂的内容,它把逻辑思维和形象思维有机地结合起来,几何直观对于人们学习抽象的数学起到了十分重要的作用。

但是,在研究问题时,经常需要通过分析图形中的有关数量关系,探讨图形的结构和性质。

通过建立坐标系,化几何问题为代数问题,这种方法有规范的步骤,较容易掌握,某些几何问题,利用解析几何方法解决较为简捷。

这种方法就是“从形到数,以数论形”的方法。

三、数形结合,互相转化,互相补充从数到形、以形论数和从形到数、以数论形是数形结合的两个重要方面。

分类讨论、方程函数、转化、数形结合——四大解题思想一、分类谈论初中数学中的分类讨论思想，是指把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想。

分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件分类讨论的原则是不重复、不遗漏。

讨论的方法是逐类进行，还必须注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整二、方程函数思想方程思想是从数学问题的数量关系出发，将问题中的条件转化为各种数学模型。

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，求解函数解析式和灵活运用函数的性质特点是把握函数思想的关键。

同时，函数与方程密切相关，通过实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的函.数和方程思想可以使数学问题变得简捷、清晰，可以化紧为简、化难为易.三、转化思想转化与化归思想是指把待解决的问题通过转化归结为在已有范围内可解的问题的一种思维方式。

应用转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能地等价转化。

常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。

转化化归思想是解决数学问题的根本思想之一，解题的过程实际上就是转化的过程。

四、数形结合中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称为数形结合或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题更直观、生动，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简便.。

教学篇•方法展示化归思想在初中数学教学中的应用策略郑雪梅（淮安市清江中学，江苏淮安）在初中数学学习中，化归思想的运用十分普遍。

它不仅是最基本的数学解题技巧，也是学生深入学习数学知识的根本途径。

依托化归思想，学生更容易在实际解题中找寻解决问题的突破口，正确解答问题，从而提升数学能力。

一、化归思想的作用1.提升学生的数学素质众所周知，化归思想是解决数学问题的重要方法，也是提升学生数学能力的有效策略。

运用化归思想，学生在实际学习中，可以实现真正意义上的化繁为简、化难为易。

通过找寻解题思路，不断突破解题瓶颈。

经过长期的化归思想熏陶，学生不仅能提高学习效率，还能降低学习数学的压力和负担，从根本上发展自身数学综合素质。

2.升华学生的数学思维简单地说，化归思想是一种实用性强的基础能力思维。

它旨在将陌生的数学题熟悉化，将复杂的数学题简单化。

只要学生掌握相关的方式方法，就能高效地解决数学难题，从而在提升自身解题能力的同时，提高数学综合素养。

经过长期的化归思想训练，学生的数学思维方向会得到拓宽，数学能力也会得到快速提升。

二、化归思想在数学教学中的具体应用1.化归思想在代数问题中的应用为了提高学生的数学能力，教师需要从代数知识体系中，引导学生学习化归思想，从而使学生更加快速地找寻解题切入点，进而逐步完成习题解答。

首先，教师可以运用化归思想，引导学生思考方程组问题。

通过陌生知识熟悉化原则，帮助学生找寻解题方向。

以习题“已知3x-2y=6，2x+3y=5，求解x和y。

”为例。

将两个二元一次方程，用y表达出来得，y=3x-62，y=（5-2x）3，继而可得3（3x-6)=2（5-2x），从而可知x=2813，y=313。

其次，教师还可以运用化归思想，引导学生思考应用题，从而使学生深入理解数学的内涵。

以应用题“一个笼子中只有鸭子和兔子两种动物，且这两种动物一共30只，有80只脚，请问鸭子和兔子各有多少只？”为例。

通过分析该应用题可知，这是一道常识性的数学题。

化归与转化的数学思想解题举例化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。

事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。

下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。

化归与转化常遵循以下几个原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。

(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

一、正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。

如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。

例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为 。

分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解略解：他四次射击未中1次的概率P 1=44C 0.14=0.14∴他至少射击击中目标1次的概率为1－P 1=1－0.14=0.9999例2：求常数m 的范围，使曲线y =x 2的所有弦都不能被直线y =m (x －3)垂直平分. 分析：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y = x 2存在关于直线y =m (x －3)对称的两点，求m 的范围。

数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。

而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。

可以说，函数的研究离不开方程。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

“化归思想”在小学数学教学中的应用化归思想是数学教学过程中不可或缺的一种数学思想，“化归思想”简单地说，就是：变复杂为简单，变难为易，由繁化简。

通俗地说化归思想包含了转化和归结两种含义，它在计算、几何、解决实际问题中有着不可替代的作用。

关键词：化归思想、转化、归结在数学教学中应用到的数学思想方法有很多，主要有化归思想、类比思想、数形结合思想、归纳推理等思想。

今天就化归思想在小学数学中的应用，谈谈自己的一些想法。

一、“化归”的含义何为“化归”？我个人认为“化归”有“转化”和“归结”两种含义，它并不是直接寻找出问题的答案，而是通过寻找一些熟悉的结果，运用一些手段和方法将面临的问题转化为某一个规范的问题，从而运用已学过的知识、理论、技术、方法使所求的问题得到解决。

简单的说：“化归”就是将一个问题由难变易，由繁化简，由复杂化转化为简单化的过程。

化归思想不仅仅是一种重要的解题思想，也是在教学过程中的一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式，化归思想在小学数学的解题过程中几乎无处不在，它的基本功能是化生疏为熟悉，把复杂的内容简单化，把抽象的事物直观化，把含糊的内容明朗化，通过研究我们知识，实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、代入法以及化动为静等转化的思想。

二、化归思想在小学数学教学中的应用1、化归思想在简单计算中的体现例1：计算25×17+25×83如果直接让学生用乘法的分配律公式来进行计算，可能有一部分学生不能理解这样计算的原因，我们就可以采用“化归”的思想把25看作一个物体，即看到了相同的数25，想到大家都喜欢吃的大西瓜，以物体西瓜代替数字25,25就是化归的对象，西瓜是实施化归的手段和途径，于是25×17+25×83就可以转化为17个西瓜与83个西瓜的和的问题，这道题就很容易理解了。

25×17+25×83=25×（17+83）=25×100=2500 问题得到了解决例2：解方程5x-2x=6未知数x是化归的对象，我们可以把x看作是香蕉，则香蕉就是实施化归的方法和途径，于是就可以把方程5x-2x=6转化为5个香蕉-2个香蕉=6的问题。

一、用字母表示数的思想，这是基本的数学思想之一在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。

例如：设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b）(2)甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2b二、数形结合的思想“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。

实中数学教材中下列内容体现了这种思想。

1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。

2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。

3、函数式与图像之间的关系。

4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。

5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。

6、“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。

7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。

实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。

实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。

三、转化思想在整个初中数学中，转化（化归）思想一直贯穿其中。

转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，它是数学基本思想方法之一。

下列内容体现了这种思想：1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。

2、解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题。

3、“圆”这一章中，证明圆周角定理进所做的分析：证明弦切角定理的思路：求两圆的切线长的问题。

这些转化都是通过辅助线来完成的。

4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。

四、分类思想集合的分类，有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的。

⾼中数学四⼤思想⾼中数学四⼤思想1.数形结合思想数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与⼏何图形的直观描述相结合，使代数问题、⼏何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

实质：将抽象的数学语⾔与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。

抽象问题具体化，复杂问题简单化。

应⽤数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）⽅程（多指⼆元⽅程）及⽅程的曲线.以形助数常⽤的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析⼏何⽅法.以数助形常⽤有：借助于⼏何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与⼏何定理的结合.2.分类讨论思想分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.原则：化整为零，各个击破。

⽆重复、⽆遗漏、最简。

步骤：1）明确讨论对象，确定对象范围；2）确定分类标准，进⾏合理分类，做到不重不漏；3）逐类讨论，获得阶段性结果；4）归纳总结，得出结论。

常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.3.函数与⽅程思想函数思想，即将所研究的问题借助建⽴函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解⽅程以及讨论参数的取值范围等问题；⽅程思想，即将问题中的数量关系运⽤数学语⾔转化为⽅程模型加以解决.运⽤函数与⽅程的思想时，要注意函数，⽅程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：（1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。

（2）密切注意⼀元⼆次函数、⼀元⼆次⽅程、⼀元⼆次不等式等问题；掌握⼆次函数基本性质，⼆次⽅程实根分布条件，⼆次不等式的转化策略。

4.转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采⽤某种⽅式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进⽽达到解决问题的思想。

辛苦编写的 化归转化策略在解决某些数学问题时，我们常采用转化手段，将待解决的问题归结为相对容易解决或已有固定解决程式的另一问题，通过对这一问题的解决，得到原问题的解答。

这种处理问题的方法就是化归。

化归转化策略涉及三个基本要素，即化归的对象、目标和方法。

化归的对象就是我们所面临的数学问题，化归的目标就是某一已知数学模型，化归的方法就是数学思想方法。

而选择恰当的转化手段进行正确有效的化归是解决问题的关键。

这里介绍几种常用的化归策略（一）寻找恰当的映射实现化归数学知识的内在联系有许多是映射。

利用映射，可将待解决的问题转化为另一问题。

而变量替换、换元、增量替换、等代换都是特殊的映射例1. 已知x 、y 、z 为实数，且8=+y x ，2z =16-xy ，求z y x 32++的值. 分析：方法1 均值换元法取x 与y 的和8的平均值4作为标准量，进行增量代换设t x +=4，t y -=4，则2z =))((21644t t t -=--+，即2z 2t +=0 故 0==t z ,12084324=++=++∴==∴z y x y x方法2 变量代换把已知条件8=+y x ，2z =16-xy变形为8=+y x ，162+=z xy 根据韦达定理可知：x 、y 是关于t 一元二次方程016822=++-z t t 的两个根。

)(041646422≤-=+-=∆z z ∴ 方程有实根0≥∆∴ 则042=-t ，40==∴=y x z 从而1208432=++=++z y x利用代换法解题，关键在于根据问题的结构特征，适当选取能够以简驭繁、化难为易的变换，实现问题的转化。

因此，要注意分析问题的结构特征，对已知条件适当变形，同时要善于发现题目中的特殊结构，挖掘题目中隐含的特殊关系，利用这些特殊条件进行代换（二）、转换语义实现化归数学中，每一种数学语义（概念、关系等），一般都有一种确定的数学符号（式）表示，但不同的数学语义可能是由同一种数学符号（式）表示的。

数学思想方法在教学中的渗透数学思想方法代表的是数学思想和数学方法。

数学思想是在长期实践中形成的对数学的理性认识，是解决数学问题的根本策略；数学方法是解决问题的手段和工具。

数学思想方法体现的是数学的灵魂。

只有明确和掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学。

因而数学思想方法也是学生必须具备的基本素质之一。

一、数学中的主要思想方法1.数学中的主要思想：函数与方程思想，分类讨论思想，整体思想，数形结合思想，化归思想。

（1）函数与方程思想。

就是从函数出发，将一些不属于函数的问题转化为函数问题，并借助于对函数问题的研究，使问题得以顺利解决。

通常是按以下思路进行的：将实际问题化为函数问题，建立函数模型，研究建立起来的函数模型，得出结论。

（2）分类讨论思想。

就是从数学对象的本质属性出发，将数学对象分为不同情况进行讨论的思想方法，它能充分体现数学对象的内在规律。

（3）整体思想。

整体思想在数学教材中体现突出，例如；（x+y）2+ 2（x+y）-3=0，求x+y。

令z=x+y，则方程变为：z2+2z-3=0，将x+y看成一个整体，就充分体现了整体思想。

（4）数形结合思想。

数形结合思想是指把代数知识里的“数”与几何知识里的“形”有效结合起来进行思考，其根本是将数学语言与图形结合起来考虑问题，从而使题目由抽象变为直观，或由直观变为抽象，在解题的方法上相互转换，使“数”与“形”相互交融。

（5）化归思想。

化归思想在数学中随处可见。

所谓化归思想，就是转化和归结的总称，是指把待解决的问题或复杂的问题通过转化，归结到已经解决的问题或者简单的问题中去。

化归的一般原则是：①化归目标简单化原则；②和谐统一性原则；③具体化原则；④标准形式化原则二、数学中的基本数学方法1.数学中的几种常用求解方法：换元法、参数法、归纳法、极坐标法、消元法、待定系数法等；2.数学中的几种重要推理方法：综合法与分析法、反证法与同一法、完全归纳法与数学归纳法、演绎法；3.数学中的几种重要科学思维方法：概括与抽象、直觉与顿悟、比较与分类、观察与尝试、特殊与一般、分析与综合、归纳与类比等。

数学思想有哪些数学思想包括：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、整体思想、化归思想、隐含条件思想、类比思想、建模思想等。

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

1、函数方程思想：指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题。

例如：等差、等比数列中，前n项和的公式，都可以看成n的函数。

2、数形结合思想：利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。

例如：求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值。

3、分类讨论思想：问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。

例如：解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。

4、方程思想：一个问题可能与某个等式建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

例如：证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

5、整体思想：从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征。

例如：叠加叠乘处理、整体运算、几何中的补形等都是整体思想。

6、化归思想：在于将未知的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。

例如：三角函数，几何变换。

7、隐含条件思想：没有明文表述出来或者是没有明文表述，但是该条件是真理。

例如：一个等腰三角形，一条过顶点的线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。

8、类比思想：把两个不同的数学对象进行比较，发现它们在某些方面有相同或类似之处，就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

9、建模思想：为了更具科学性可重复性地描述一个实际现象，采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象。

化归思想的应用化归思想是中学数学最基本的思想方法之一,数学中很多问题的解决都离不开化归:数形结合思想体现了数于形的相互转化,函数方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。

化归思想也是高考的重要考查对象，数学中的各种变换多离不开化归，化归是数学思想方法的灵魂。

那么，如何在解题中应用化归思想？一、特殊和一般转化例1 设n x x x ,,,21 都是正数，求证：32112322221x x x x x x x x x n +++≥+++ 。

解析：本题是一多元不等式，从整体上考虑一时难以入手，现行教材只学过均值不等式；对于三个以上的式子不等式关系未作介绍，能否从学过的不等式入手呢？事实上：122212x x x x ≥+，233222x x x x ≥+，……，n n x x x x 2112≥+，各式相加即得 n n n x x x x x x x x x x x x 222)()(212112322221+++≥+++++++ 即321123222x x x x x x x x x n +++≥+++ 二、正与反的互化例2、已知抛物线342++=ax x y ，22)1(a x a x y +-+=，a ax x y 222-+=中至少有一条与x 轴相交，求实数a 的取值范围。

解：由⎪⎩⎪⎨⎧<+=∆<--=∆<--=∆08)2(04)1(0)43(4)4(2322221a a a a a a 解得123-<<-a ，再求它的补集，则a 的取值范围是：23-≤a 或1-≥a 三、变量与常量的转化例3、对于满足2≤p 的所有实数p ，求使不等式p x px x +>++21恒成立的x 取值范围。

解：原不等式化为0)1()1(2>++-x p x ，令2)1()1()(++-=x p x p f ，它是关于p 的一次函数，定义域为]2,2[-。