数学中数形结合思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想

数学思想方法简介简介数学思想是数学的灵魂，是数学方法与技能实质的体现，对解题思路的产生具有指导意义。

因此，深刻理解数学思想、学会运用数学思想来分析、解决问题对提高解题能力将有很大帮助。

高考题型中考查的有数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、转化和化归的思想。

数形结合思想数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且节法简捷。

数形结合的重点是研究“以形助数”。

运用数形结合思想，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化解题过程，这在解选择题、填空题中更显其优越性。

函数思想函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图像、性质等对问题加以研究，使问题获得解决。

方程思想方程的思想是指将问题转化为对方程（组）的认识，通过解方程（组）或对方程的讨论使问题得以解决。

函数与方程二者密不可分，如函数y=f（x)也可看作方程，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义等。

函数与方程思想体现了动与静、变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一。

分类讨论思想解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分为几个能用不同形式去解决的问题将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论思想。

分类的标准是根据题目中的条件而定，没有确定的分类标准。

转化思想把复杂问题转化为较简单问题，把未知问题转化为已知问题，把生疏的问题转化为教熟悉的问题，将抽象问题转化成较具体的问题，在解决有关含参数不等式问题时，这种转化思想的应用是十分重要的。

1.数形结合若x x m log 2<在)21,0(∈x 内恒成立，求实数m 的取值范围。

（答案：1161<≤m ）2.方程组思想2.1若函数)(x f 满足12)1()(-=-+x x f x xf ，求)(x f 的解析式 （答案：1252)(22+-+-=x x x x x f ）2.2若[]).1(2)(log ,)(log ,)(222≠==+-=a a f b a f b x x x f 且⑴求)(log 2x f 的最小值及对应的x 值；⑵x 取何值时，[]?)1()(log )1()(log 22f x f f x f <>且3.分类讨论思想 解不等式)(12)1(R a x x a ∈>--（答案：212,01122,10<<--<=--<<<<x a a a a a a x a 则若，则原不等式无解若则若） 3.1（2007广东）已知a 是实数，函数,322)(2a x ax x f --+=如果函数)(x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围4.转化思想4.1若不等式,342-+>+p x px x 对于一切40≤≤p 均成立，则实数x 的取值范围为(答案：x>3或x<-1)4.2已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且;225,5153==S a 数列{}n b 是等比数列，.128,52323=+=b b a a b⑴求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前8项的和8T ⑵求使得4171>-n a 成立的正整数n。

初中数学思想方法有哪些
初中数学思想方法从接受的难易程度可分为三个层次：
一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；
二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；
三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想及化归与转化的思想。

例如：
1、数形结合思想。

数形结合思想就是根据数学题目所给的条件和结论之间的内在关系，即分析其代数的意义，又分析其几何的意义，把题目所展示出的数量关系与图形(画图)相结合起来，利用这样的结合，找到解题的思路，使问题得到解决。

2、分类讨论思想。

在数学中，有时候根据题目所给出的条件，可能存在各种不同的情况，这时候就需要通过分类讨论，将所有可能出现的情况整合在一起，得出最后的结果，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，也是一种重要的解题策略。

3、换元法。

在解决题目的过程过程中，将一个或者某个字母的式子看成一个整体，用一个新的字母来表示，达到简化式子的目的。

换元法可以把一个比较复杂的式子化简，把问题归结为比原来更基本的问题，达到化繁为简、化难为易的效果。

4、配方法。

将一个式子设法构成平方式，然后再进行所需要的转化。

当在求二次函数最值问题、解决实际问题最省钱、盈利最大化等问题时，经常要用到此方法。

5、待定系数法法。

当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，就需要求出式子中待定的字母的值；为此，需要把已知的条件代入到这个待定的式子中，往往会得到含待定字母的方程或者方程组，然后解这个方程或者方程组就可以使问题得到解决。

高中数学思想方法高中数学思想方法高中数学思想方法1第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的.分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点高中数学思想方法2近年来，高考命题方向很明显地朝着对知识网络交汇点、数学思想方法及对数学能力的考查发展，考生在复习的过程中，应对所学知识进行及时的梳理，这里既包含对基础知识的整理，也包括对数学思想方法的总结。

数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。

而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。

可以说，函数的研究离不开方程。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

初中数学思想方法数学思想方法是解决数学问题的灵魂，也是把数学知识转化为数学能力的桥梁。

初中数学中常用的思想方法有：整体思想、分类讨论思想、函数思想、方程思想、转化思想、类比思想、分类讨论思想等。

1、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在等，找出解决问题的途径。

2、分类讨论思想当一个问题因为某种量或条件的改变，而引起演变结果的改变时，我们就需要对问题从各种不同的角度或分类讨论加以解决。

3、函数思想用运动变化的观点去分析和研究具体问题中的数量关系，用函数的形式，把这种数量关系用函数表示出来。

4、方程思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组，然后利用方程的理论和方法，使问题得到解决。

5、转化思想转化思想是将要解决的问题转化成一个或几个已经解决的简单问题。

6、类比思想类比是根据两个具有相同或相似性质的事物之间进行比较，从而找到另外一些具有相同或相似性质的事物。

7、分类讨论思想分类讨论是根据所研究对象的差异，将其划分成不同的种类，分别加以研究，从而分解矛盾，化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，然后再一一加以解决。

分类依赖于标准的确定，不同的标准会有不同的分类方式。

总之数学思想方法是分析解决数学问题的灵魂，也是数学知识的精髓，是把数学知识转化为数学能力的桥梁。

一、引言在现今的初中数学教学中，培养学生的数学思想方法已经成为了一个重要的目标。

《初中数学思想方法导引》这本书，以其独特的视角和深入的剖析，成为了初中数学教师的重要参考书籍。

本书主要介绍了初中数学中的各类思想方法，如方程思想、函数思想、化归思想等，对于提高学生的数学素养，增强他们的解题能力，具有极大的指导意义。

二、数学思想方法的重要性数学思想方法是一种对数学规律和数学本质的深刻认识和理解，是对数学知识进行高度概括和抽象的结果。

在初中数学教学中，培养学生的数学思想方法不仅可以提高学生的数学成绩，更重要的是可以培养他们的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力。

第2讲 解题有道——四大数学思想思想概述 高考数学以能力立意,一是考查数学的基础知识、基本技能；二是考查基本数学思想方法,考查数学思维的深度、广度和宽度.数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题,是数学意识、数学技能的升华和提高,中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.类型一 函数与方程思想(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.【例1】 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y ＝kx(k ＞0)与AB 相交于点D,与椭圆相交于E,F 两点. (1)若ED →＝6DF →,求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1,直线AB,EF 的方程分别为x ＋2y ＝2,y ＝kx(k＞0).如图,设D(x 0,kx 0),E(x 1,kx 1),F(x 2,kx 2),其中x 1＜x 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1消y 得(1＋4k 2)x 2＝4, 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0), 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2,得x 0＝21＋2k. 所以21＋2k ＝1071＋4k 2,化简得24k 2－25k ＋6＝0, 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2）, h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）. 又AB ＝22＋12＝5, 所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12·AB·(h 1＋h 2) ＝12×5×4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k2＝21＋41k＋4k ≤22, 当且仅当1k ＝4k(k ＞0),即k ＝12时,上式取等号.所以S 的最大值为22,即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.【训练1】 函数f(x)的定义域为R,f(－1)＝2,对任意x∈R ,f′(x)＞2,则f(x)＞2x ＋4的解集为________. 解析 f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0,构造函数F(x)＝f(x)－2x,得F(x)在R 上是增函数. 又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4,f(x)＞2x ＋4, 即F(x)＞4＝F(－1),所以x ＞－1. 答案 (－1,＋∞)【例2】 已知数列{a n }是一个等差数列,且a 2＝1,a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值. 解 (1)设{a n }的公差为d,由已知条件,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3,d ＝－2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.(2)S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4.所以n ＝2时,S n 取到最大值4.探究提高 运用方程思想解决问题,要善于使用已知方程,还要根据题意列方程、解方程. 【训练2】 直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切,则实数m ＝________. 解析 圆的方程为(x －1)2＋y 2＝3,由题意知圆心(1,0)到直线的距离等于半径,即|3＋m|3＋1＝3,∴|3＋m|＝23∴m＝3或m ＝－3 3. 答案 －33或 3 类型二 数形结合思想数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.【例3】 (1)已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x －1)；②当x∈[－1,1]时,f(x)＝x 2,则方程f(x)＝lg x 解的个数是________.(2)若不等式|x －2a|≥12x ＋a －1对x∈R 恒成立,则a 的取值范围是________.解析 (1)由题意可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数.令y 1＝f(x),y 2＝lg x,画出两函数图象, 则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点,故方程f(x)＝lg x 解的个数是9.(2)作出y ＝|x －2a|和y ＝12x ＋a －1的简图,依题意知应有2a≤2－2a,故a≤12.答案 (1)9 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 探究提高 (1)用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(或需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.(2)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.【训练3】 (1)若函数f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点,则实数b 的取值范围是________. (2)若不等式9－x 2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a,b],且b －a ＝2,则k ＝________. 解析 (1)由f(x)＝|2x －2|－b 有两个零点, 可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根,从而可得函数y ＝|2x－2|的图象与函数y ＝b 的图象有两个交点,如图所示.结合函数的图象,可得0＜b ＜2,故填(0,2).(2)如图,分别作出直线y ＝k(x ＋2)－2与半圆y ＝9－x 2.由题意,知直线在半圆的上方时,x 的取值范围为[a,b],由b －a ＝2,可知b ＝3,a ＝1,所以直线y ＝k(x ＋2)－2过点(1,22),则k ＝ 2. 答案 (1)(0,2) (2) 2 类型三 分类讨论思考分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集,并集为全集).做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅的讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a,一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a≠0的讨论,对称轴位置的讨论,判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q≠1的讨论. (4)三角函数：角所在的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解含参数不等式时的讨论,基本不等式取等号时条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点、线、面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线方程中斜率k 分存在和不存在,直线在坐标轴上的截距相等时分截距b ＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等. 【例4】 已知函数f(x)＝ln x ＋a(1－x). (1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a －2时,求a 的取值范围. 解 (1)f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝1x－a.若a≤0,则f′(x)＞0,所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增.若a ＞0,则当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时,f′(x)＞0； 当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时,f′(x)＜0,所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f(x)在(0,＋∞)上单调递增；当a ＞0时,f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,＋∞)上无最大值；当a ＞0时,f(x)在x ＝1a 处取得最大值,最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于－ln a ＋a －1＞2a －2,即ln a ＋a －1＜0.令g(a)＝ln a ＋a －1,则g(a)在(0,＋∞)上单调递增, g(1)＝0.于是,当0＜a ＜1时,g(a)＜0；当a ＞1时,g(a)＞0. 因此,a 的取值范围是(0,1).探究提高 由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.【训练4】 已知实数a≠0,函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a),则a 的值为________.解析 当a>0时,1－a<1,1＋a>1, 这时f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a, f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a ＝－1－3a, 解得a ＝－32,不合题意,舍去；当a<0时,1－a>1,1＋a<1,这时f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－1－a, f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝2＋3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a ＝2＋3a,解得a ＝－34.综上可知,a 的值为－34.答案 －34类型四 转化与化归思想转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径. (8)类比法：运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定. (9)参数法：引进参数,使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决,体现了正难则反的原则.【例5】 (1)已知f(x)＝33x ＋3,则f(－2 019)＋f(－2 018)＋f(－2 017)＋f(－2 016)＋f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋ f(2 019)＋f(2 020)＝________.解析 ∵f(x)＋f(1－x)＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x＝3x＋33x ＋3＝1, ∴f(0)＋f(1)＝1,f(－2 015)＋f(2 016)＝1,…,f(－2 019)＋f(2 020)＝1,∴f(－2 019)＋f(－2 018)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 020)＝[f(－2 019)＋f(2 020)]＋[f(－2 018)＋f(2 019)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＝2 020. 答案 2 020探究提高 一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.(2)若对于任意t∈[1,2],函数g(x)＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是________.解析 g′(x)＝3x 2＋(m ＋4)x －2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0,即m ＋4≥2x －3x 在x∈(t ,3)上恒成立,∴m＋4≥2t－3t 恒成立,又t∈[1,2],则m ＋4≥－1,即m≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x∈(t ,3)上恒成立,则m ＋4≤23－9,即m≤－373.∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高 1.一般地,题目若出现多种成立的情形,且不成立的情形相对很少,则从反面考虑较简单,因此,补集法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中. 2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,将未知的问题转化为已知的问题,以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,应想到问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获得解决.【训练5】 对任意的|m|≤2,函数f(x)＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负,则x 的取值范围为________.解析 对任意的|m|≤2,有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立,即|m|≤2时,(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立.设g(m)＝(x 2－1)m －2x ＋1,则原问题转化为g(m)＜0恒成立(m∈[－2,2]).所以⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0. 解得7－12＜x ＜3＋12, 即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋121.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想.2.由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等.3.换元法是一种变量代换,也是一种特殊的转化与化归方法,是用一种变数形式去取代另一种变数形式,是将生疏(或复杂)的式子(或数),用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体,使运算或推理可以顺利进行.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形、以形想数,做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合.。

数学中的四大思想
1.函数与方程的思想
用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想;函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括;是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础;运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程;得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去.
2．数形结合思想
在中学数学里;我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开;也就是说;代数问题可以几何化;几何问题也可以代数化;“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.
3．分类讨论思想
在数学中;我们常常需要根据研究对象性质的差异.分各种不同情况予以考察;这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ;引起分类讨论的因素较多;归纳起来主要有以下几个方面：1由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；2由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；3由于图形的不确定性引起的讨论；4由于题目含有字母而引起的讨论.
分类讨论的解题步骤一般是：1确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；2合理分类;统一标准;做到既无遗漏又无重复；3逐步讨论;分级进行；4归纳总结作出整个题目的结论.
4.等价转化思想
等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论;或通过适当的代换转化问题的形式;或利用互为逆否命题的等价关系来实现.
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化.。

数学解题方法与数学思想数学解题方法与数学思想中学数学中常见的数学思想有：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想。

这典型的四类数学思想对初中数学问题的解决有着重要的思维指导作用。

1. 函数与方程的思想：函数与方程的思想是中学数学最差不多的思想。

所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。

而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

2. 数形结合的思想：数与形在一定的条件下能够转化。

如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，能够借助几何特点去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往能够通过数量的结构特点用代数的方法去解决。

因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

3. 分类讨论的思想分类讨论的思想之因此重要，缘故一是因为它的逻辑性较强，缘故二是因为它的知识点的涵盖比较广，缘故三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。

缘故四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。

解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。

常见的类型：类型1 ：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数依旧负数的问题；类型 3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。

类型 5 ：由某些字母系数对方程的阻碍造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的阻碍，二次项系数对图象开口方向的阻碍，一次项系数对顶点坐标的阻碍，常数项对截距的阻碍等。

如分类讨论的案例：在一张长为9 厘米，宽为8 厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5 厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请运算剪下的等腰三角形的面积？分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。

数学思想方法在教学中的渗透数学思想方法代表的是数学思想和数学方法。

数学思想是在长期实践中形成的对数学的理性认识，是解决数学问题的根本策略；数学方法是解决问题的手段和工具。

数学思想方法体现的是数学的灵魂。

只有明确和掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学。

因而数学思想方法也是学生必须具备的基本素质之一。

一、数学中的主要思想方法1.数学中的主要思想：函数与方程思想，分类讨论思想，整体思想，数形结合思想，化归思想。

（1）函数与方程思想。

就是从函数出发，将一些不属于函数的问题转化为函数问题，并借助于对函数问题的研究，使问题得以顺利解决。

通常是按以下思路进行的：将实际问题化为函数问题，建立函数模型，研究建立起来的函数模型，得出结论。

（2）分类讨论思想。

就是从数学对象的本质属性出发，将数学对象分为不同情况进行讨论的思想方法，它能充分体现数学对象的内在规律。

（3）整体思想。

整体思想在数学教材中体现突出，例如；（x+y）2+ 2（x+y）-3=0，求x+y。

令z=x+y，则方程变为：z2+2z-3=0，将x+y看成一个整体，就充分体现了整体思想。

（4）数形结合思想。

数形结合思想是指把代数知识里的“数”与几何知识里的“形”有效结合起来进行思考，其根本是将数学语言与图形结合起来考虑问题，从而使题目由抽象变为直观，或由直观变为抽象，在解题的方法上相互转换，使“数”与“形”相互交融。

（5）化归思想。

化归思想在数学中随处可见。

所谓化归思想，就是转化和归结的总称，是指把待解决的问题或复杂的问题通过转化，归结到已经解决的问题或者简单的问题中去。

化归的一般原则是：①化归目标简单化原则；②和谐统一性原则；③具体化原则；④标准形式化原则二、数学中的基本数学方法1.数学中的几种常用求解方法：换元法、参数法、归纳法、极坐标法、消元法、待定系数法等；2.数学中的几种重要推理方法：综合法与分析法、反证法与同一法、完全归纳法与数学归纳法、演绎法；3.数学中的几种重要科学思维方法：概括与抽象、直觉与顿悟、比较与分类、观察与尝试、特殊与一般、分析与综合、归纳与类比等。

数学思想有哪些数学思想包括：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、整体思想、化归思想、隐含条件思想、类比思想、建模思想等。

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

1、函数方程思想：指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题。

例如：等差、等比数列中，前n项和的公式，都可以看成n的函数。

2、数形结合思想：利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。

例如：求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值。

3、分类讨论思想：问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。

例如：解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。

4、方程思想：一个问题可能与某个等式建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

例如：证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

5、整体思想：从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征。

例如：叠加叠乘处理、整体运算、几何中的补形等都是整体思想。

6、化归思想：在于将未知的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。

例如：三角函数，几何变换。

7、隐含条件思想：没有明文表述出来或者是没有明文表述，但是该条件是真理。

例如：一个等腰三角形，一条过顶点的线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。

8、类比思想：把两个不同的数学对象进行比较，发现它们在某些方面有相同或类似之处，就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

9、建模思想：为了更具科学性可重复性地描述一个实际现象，采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象。

初中数学思想方法有那些初中数学中蕴含的数学思想很多,其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．1 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题,通过演绎、归纳等转化手段,归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题,从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言,代数式中加法与减法的转化,乘法与除法的转化,用换元法解方程,在几何中添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形的问题,将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中,转化思想运用的最为广泛．2 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而,在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式,初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言“数” 与直观的图象“ 形“ 结合起来,数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系,以“形”直观地表达“数”,以“数”精确地研究“形”,实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化．“数无形时不直观,形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想,在初中数学中有着广泛应用．譬如,在初中数学中,通过数轴将数与点对应,通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如,用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念,学习有理数大小比较的法则,研究函数的性质等,从形象思维过渡到抽象思维,从而显着降低了学习难度．3 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的,它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律,有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如,初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块,并分别采用不同方法进行研究,就是分类思想的体现．具体而言,实数的分类,方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等,都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用,从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．4 函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应,即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来,然后用函数的性质进行研究,从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示,那么就可以将函数解析式看作方程,并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决,这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致,因而往往将其并称为函数与方程思想,并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外,初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法： 1 几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；2 几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；3 几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．。

初中数学解题常用的数学思想方法数学学习分为好多个环节，比如预习、上课、作业、复习、考试等等，而上课的部分是非常关键的环节。

小编整理了初中数学解题常用的数学思想方法，欢迎参考借鉴。

初中数学解题常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。

数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。

在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。

如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。

3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查;这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。

为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。

5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。

配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。

6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。

换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。

7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然;则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。

初中数学八大思想一、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式⼦或图形看成⼦个整体，把握它们之间的关联，进⼦有⼦的的、有意识的整体处理。

二、方程思想⼦程思想是指在确定变量后，找到它们之间的关系，将实际问题转化成⼦程或不等式，通过建⼦⼦程模型来解决实际问题，它可以让我们更加直观，清晰明了地了解题目。

三、函数思想函数的思想是⼦运动和变化的眼光，分析和研究数学中的数量关系，从⼦建⼦函数模型，如⼦次函数、反⼦例函数、⼦次函数等，解决实际问题。

比如当路程一定时，时间和速度成反比例关系；抛出的球时间和高度成二次函数关系，在解决一些问题时，借助函数图像，可以帮助我们快速地解决问题四、分类讨论思想分类讨论就是把研究对象按同⼦分类标准分成⼦个部分或⼦种情况，然后逐个解决，最后予以总结做出结论的思想⼦法，其实质是化整为零，各个击破，化⼦难为⼦难的策略，许多大题就会运用到这种思想比如这道题五、转换思想转化思想是指把我们遇到的问题由陌生知识转化为已学知识，化繁为简，化未知为已知，从而解决实际问题。

六、类比思想把两个（或两类）不同的数学对象进行对比，如果发现它们有共同特质，可以根据其中一个数学对象的特征来推出另一个对象的特征。

例如通过研究正比例函数的图象、性质及应用，类比研究反比例函数的图象、性质及应用。

七、分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后整合结论得到完整解答。

分类时要做到不重不漏。

八、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学符号语言与直观图形结合起来。

可以“以形助数”，也可以“以数辅形”。

使代数问题和几何问题互化，达到精确和直观的统一。

九、方程与函数思想方程与函数是两种数学模型。

实际中的很多问题都可以用这两种模型加以解决。

十、转化与化归思想这是将待解决的问题通过变换使之转化为已解决的或更简单的问题，从而使问题得到解决。