22.1(1) 多边形及内角和

22.1 多边形的内角和教学目标：1.理解多边形及其有关概念，掌握多边形内角和定理，并会运用定理解决简单的计算问题；2. 经历多边形及其有关概念的形成过程，体验类比思想；经历多边形内角和的探索过程，体验化归思想。

3.体会多边形内角和计算公式中所蕴含的函数思想。

教学重难点：重点：多边形内角和定理的探索、归纳及运用定理进行简单计算．难点：多边形内角和定理的探索过程。

教学过程：【环节一】复习引入回忆三角形的概念：由平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做三角形．意图：通过类比三角形的概念，引出多边形的概念。

【环节二】新课学习（一）多边形的有关概念1．多边形的概念问：那四边形、五边形、……、多边形的概念呢？由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形。

组成多边形的线段最少有3条，所以三角形是最简单的多边形。

由n条线段组成的多边形就称为n边形，如三角形、四边形、五边形……等等。

2.师生例举生活中的多边形。

设计意图：通过例举生活中的多边形，提高学习多边形的积极性。

3.多边形的相关概念多边形的边、顶点、内角、对角线组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点；多边形的各顶点通常用大写的英文字母表示；多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角；联结多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。

凸多边形和凹多边形的定义。

对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形。

DCBA备注：本章所讨论的多边形都是凸多边形。

(二)合作交流，探索多边形内角和定理思考：我们已经知道三角形的内角和为180°，那么四边形的内角和等于多少度？五边形呢？六边形呢？n边形的内角和等于多少度吗？设计意图：通过复习三角形内角和为180°，引出课题并板书课题。

（引导学生把求多边形内角和的问题转化成三角形内角和的问题。

多边形的内角和多边形是由多个直线段组成的平面图形，它具有许多有趣的性质和定理。

其中一个重要的性质是多边形的内角和，也称为内角和定理。

本文将详细介绍多边形内角和的概念、计算方法以及相关的定理和证明。

一、多边形的内角和定义多边形是由若干个边和角组成的封闭图形。

在多边形中，每个角都有一个对应的内角，定义为由两个相邻边所构成的夹角。

一般来说，多边形的内角和是指该多边形内部所有内角的总和。

二、多边形内角和计算方法要计算多边形的内角和，首先需要知道多边形的边数（即多边形的边数）。

假设多边形有n条边，则该多边形的内角和可以计算如下：内角和 = (n - 2) × 180度这是因为在一个平面中，任意多边形的内角和都等于 (n-2) × 180度。

例如，三角形的内角和是 180度，四边形（矩形、正方形等）的内角和是 360度，五边形的内角和是 540度。

三、多边形内角和定理多边形的内角和定理是一个重要而有趣的定理，它指出：任意一个n边形（n > 2），其内角和等于 (n-2) × 180度。

该定理的证明需要使用数学归纳法，下面给出一个简单的证明过程。

证明：对于n个三角形的情况，由于三角形的内角和是180度，根据上面的计算方法，(n-2) × 180度等于180度，因此结论成立。

假设对于n=k的多边形，结论也成立。

即 (k-2) × 180度 = (k-2) ×180度。

现在考虑一个k+1边形，我们可以通过增加一条边把它分为两个多边形，一个是n边形，另一个是三角形。

假设n边形的内角和为(n-2) × 180度，三角形的内角和为180度。

则整个k+1边形的内角和为 (n-2) × 180度 + 180度 = (n-1) × 180度，由于n=k+1，所以结论对于n=k+1的情况也成立。

综上所述，多边形的内角和定理得证。

四、应用实例下面通过一个实例来应用多边形的内角和定理。

评赵关丽老师《多边形内角和》的课赵老师的课：（1）注重了学生探索能力的培养，在多边形内角和公式的领导中体现明显，教学效果也突出；（2）注重及时总结梳理知识，把新旧知识有机地联系在一起，使学生能掌握到立体的知识体系，从而更好地帮助学生理解和应用知识；（3）注重对学生进行数学思考方法的渗透，一堂简单的概念课，却能贯穿起分类，类比，方程，函数等重要的数学思想，对提高学生的数学素养很有好处。

（4）由于时间原因，拓展题的讲解还需要再详细一些。

——徐文慧赵关丽老师都能贴近学生生活实际或已有知识的学习实际创设数学情境，恰当地灵活引导学生发现问题、提出问题，并用学生提出的问题激活课堂教学，指导学生解决主要问题后又带着一些问题走出课堂思考；在解决问题的过程中，学生参与面较宽，教师充满热爱学生的激情，启发学生猜想、探究，分析解决问题的思路，关注引导学生在探究中学习，在学习中探究。

并在师生互动的学习活动中进行情感交流，课堂较为和谐；从情境中提出问题与解决问题，促使学生在学习中体验“数学化”（从“生活”到“符号”的转化过程）与“再创造”的过程。

——杨晓辉赵关丽老师认真准备、精心设计了贴近学生生活实际的数学情境：“由房顶的多边形”引入多边形的概念，引导学生提出问题，分析问题，利用多媒体教学设备，在师生互动的教学活动过程中，得到“多角形内角和”的结论。

从猜想的提出到问题的解决，不断引导学生在提出问题与解决问题的过程中，去探究、了解和认识知识点。

赵关丽重视教学与学生实际出发进行教学设计，重视贴近学生学习实际创设情境，在课堂教学中重视紧扣情境引导学生提出问题与解决问题。

由于问题的引入顺其自然、合情合理，这样学生的头脑在教师引导下动起来了，并积极主动地进行理性思维。

要培养具有创新意识和创新能力的学生，首先要有创造型的教师。

现代教育心理学认为，创造型的教师必须注重启发儿童的思维，鼓励他们自己去发现问题和提出问题，对问题的解决方案提出假设并亲自实践；创造型的教师应对儿童的提问表现出极大的兴趣并认真加以对待；对学生自发提出的问题，创造型的教师不是急于给出解答而是鼓励学生自主思考、合作交流并让他们自行寻求可能的解决办法。

多边形的内角和计算公式多边形是几何学中的重要概念，它由若干条线段组成，每两条线段之间的交点被称为顶点。

多边形的内角和计算公式是为了求解多边形内部所有角度之和的公式。

在本文中，我们将介绍多边形的内角和计算公式，以及一些相关的示例和应用。

一、多边形的内角和公式对于n边形（n≥3），其内角和S可以通过下面的公式进行计算：S = (n - 2) × 180°其中，n代表多边形的边数。

这个公式可以简单地解释为：对于一个n边形，可以将其划分为n-2个三角形，而每个三角形的内角和是180°，因此总的内角和就是(n-2)×180°。

二、示例为了更好地理解多边形的内角和计算公式，我们来看几个具体的示例。

1. 三角形三角形是最简单的多边形，由三条线段组成。

根据公式，三角形的内角和为：S = (3 - 2) × 180° = 180°这也证实了三角形内角和等于180°的事实。

四边形是由四条线段组成的多边形。

以矩形为例，根据公式，四边形的内角和为：S = (4 - 2) × 180° = 360°这意味着矩形的内角和等于360°，也即四个内角的和为360°。

3. 五边形（正五边形）五边形是由五条线段组成的多边形。

以正五边形为例，根据公式，五边形的内角和为：S = (5 - 2) × 180° = 540°这表明正五边形的内角和等于540°，也即五个内角的和为540°。

三、应用多边形的内角和计算公式在几何学中有广泛的应用，特别是在图形的角度测量和计算中。

以下是一些应用的示例：1. 角度测量通过知道多边形的边数和一个内角的大小，可以使用内角和公式计算出其他内角的大小。

这对于角度测量和绘图非常有用。

2. 多边形的判定根据多边形的内角和计算公式，可以判定给定的角度能否构成一个多边形。

多边形的内角和计算多边形是几何学中常见的概念，它由若干个直线段组成的封闭图形。

每个多边形都由一系列的顶点和边组成，而多边形的内角和是一个重要的属性。

在数学中，内角和也称为内角和定理，它表示了一个多边形内部的所有角的和。

对于任意的n边形（其中n大于等于3），内角和可通过以下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180度通过这个公式，我们可以计算出任意多边形的内角和，只需知道多边形的边数n即可。

接下来，我们将以一些具体的多边形为例，来计算它们的内角和。

以三角形为例，三角形是最简单的多边形，它由三个顶点和三条边组成。

根据内角和公式，三角形的内角和为：内角和 = (3 - 2) × 180度 = 180度因此，三角形的内角和为180度，这是由于三角形的三个内角的角度之和总是等于180度。

接下来，让我们考虑一个四边形，四边形是由四个顶点和四条边组成的多边形。

根据内角和公式，四边形的内角和为：内角和 = (4 - 2) × 180度 = 360度同样地，四边形的内角和为360度，这就是说四边形的四个内角的角度之和总是等于360度。

接下来，我们考虑一个五边形，五边形是由五个顶点和五条边组成的多边形。

根据内角和公式，五边形的内角和为：内角和 = (5 - 2) × 180度 = 540度同样地，五边形的内角和为540度，这就是说五边形的五个内角的角度之和总是等于540度。

通过以上的例子可以看出，不论多边形的边数是多少，其内角和都可以通过内角和公式来计算。

这个公式的推导基于几何学的原理，可以得出多边形内角和的普适性。

总结起来，多边形的内角和计算是数学中一个基础且重要的内容。

通过内角和的计算，我们可以更加深入地了解多边形的性质和特点。

对于几何学和相关学科的学习和研究都起到了积极的推动作用。

通过以上的讨论，我们详细介绍了多边形的内角和的计算方法，并以三角形、四边形和五边形为例进行了具体的计算。

数学八年级下 第二十二章 四边形22.1 多边形（1）一、选择题1．四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是 （ ）A ．80°B ．90°C ．170°D ．20°2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．63．内角和等于外角和2倍的多边形是 （ ）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形4．凸n 边形的内角中，锐角的个数最多有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角 （• ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6、各内角相等的n 边形的一个外角等于 （ ）A 、n n )2(1800-B 、n 0180C 、nn )2(3600- D 、n 0360 7、n 边形所有的对角线条数是 （ ）A 、2)1(-n nB 、2)2(-n nC 、22nD 、2)3(-n n 8、如果正n 边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么n 的值是 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、7二、填空题9. 五边形的内角和等于_______度．10．六边形的内角和等于_______度．11．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．12．如图，你能数出 个不同的四边形。

第12题13、如图所示，∠1=∠C+________，∠2=∠B+___________。

∠A+∠B +∠C +∠D+∠E= ________+∠1+∠2=________度。

14、一个多边形的每一个外角等于300，则这个多边形为___________ 边形。

15、当多边形边数增加一条边时，其内角和增加___________度 。

16、若正多边形的一个外角等于其一个内角的52，则这个多边形的内角和是___________ 。

多边形的内角和多边形是几何学中非常重要的概念之一，它是由一系列连续的线段组成的封闭图形。

不论多边形的边数是多少，它都有一些共同的性质和特征。

其中之一就是多边形的内角和，也称为内角总和。

内角和指的是多边形内部的所有角度之和。

对于任意n边形来说，它的内角和可以通过以下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180°例如，三角形是一个三边形，它的内角和可以通过将n代入公式中计算得到：内角和 = (3 - 2) × 180° = 1 × 180° = 180°同样地，四边形（也称为矩形或方形）具有四个内角，内角和可以通过将n代入公式中计算得到：内角和 = (4 - 2) × 180° = 2 × 180° = 360°接下来，让我们来看一些常见多边形的内角和。

1. 三角形：三角形是最简单的多边形之一，它有三个内角。

根据公式，三角形的内角和为180°。

2. 正方形：正方形是一个具有四个相等边和四个直角的四边形。

根据公式，正方形的内角和为360°。

3. 五边形：五边形是一个具有五个边的多边形。

根据公式，五边形的内角和为(5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°。

4. 六边形：六边形是一个具有六个边的多边形。

根据公式，六边形的内角和为(6 - 2) × 180° = 4 × 180° = 720°。

从以上几个例子可以看出，随着边数增加，多边形的内角和也呈增加的趋势。

这是因为每增加一个边，都会增加一个内角，从而增加了内角和的总量。

然而，需要注意的是，多边形的内角和并不是可以任意增加的。

根据欧几里得几何学的一个基本定理，如果我们保持多边形的边长不变，那么内角和的总和将始终保持不变。

多边形的内角和公式和外角和公式有许多小伙伴想了解多边形的内角和公式外角和公式是什么，快来和小编一起看看吧。

下面是由小编为大家整理的“多边形的内角和公式和外角和公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。

多边形的内角和公式和外角和公式多边形所有外角的和叫做多边形的外角和。

任意凸多边形的外角和都为360°。

多边形内角和公式为(n-2)×180°。

与多边形的内角相对应的是外角，多边形的外角就是将其中一条边延长并与另一条边相夹的那个角。

任意凸多边形的外角和都为360°。

多边形所有外角的和叫做多边形的外角和。

证明：根据多边形的内角和公式求外角和为360。

n边形内角之和为(n-2)*180,设n边形的内角为∠1、∠2、∠3、...、∠n,对应的外角度数为：180-∠1、180°-∠2、180°-∠3、...、180°-∠n，外角之和为：(180-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+...+(180°-∠n)=n*180°-(∠1+∠2+∠3+...+∠n)=n*180°-(n-2)*180°=360°。

拓展阅读：多边形的对角线与边数的关系设多边形的边数为n，则顶点数也为n，n个顶点中任意两点连线的条数=组合C(n，2)=n(n-1)/2，其中每专相邻的两个顶属点的连线不是对角线，其数量为n。

因此n边形的对角线条数=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2。

对角线，几何学名词，定义为连接多边形两个不相邻顶点的线段，或者连接多面体任意两个不在同一面上的顶点的线段。

另外在代数学中，n阶行列式，从左上至右下的数归为主对角线，从左下至右上的数归为副对角线。

利用对角线判定特殊的四边形结论：1.对角线互相平分的四边形是平行四边形;2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形;3.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形;4.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形;5.对角线相等的梯形是等腰梯形。

22.1 多边形一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点：(3)2n n -(2)180n n-g °凸多边形凹多边形(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．题型1：多边形的概念1．如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．【解析】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，\属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，故选：A ．【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．2．对于正多边形，下列说法正确的是（ ）A ．正多边形的边都相等，内角都相等；B ．各边相等的多边形是正多边形；C ．各角相等的多边形是正多边形；D ．由正多边形构成的多边形是正多边形；【答案】A【分析】A. 由正多边形的性质可得B. 举反例判断即可C. 举反例判断即可D. 举反例判断即可【解析】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确B. 菱形不是正方形，错误C. 矩形不是正方形，错误360n°D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误故选：A．【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键．3．下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（）A．1，1，1，3B．2，2，2，3C．1，3，2，6D．2，2，2，7【答案】B【分析】根据四边形的定义“由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫四边形”进行分析判断即可．++=，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意；【解析】解：A.因为1113++>，所以能组成四边形，故本选项符合题意；B.因为2223++=，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意；C.因为1326++<，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意．D.因为2227故选：B．【点睛】本题主要考查了四边形的定义，熟练掌握四边形的定义是解题关键．4．下列说法中，正确说法有①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；③各条边都相等的多边形是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【分析】根据多边形的定义、多边形的外角和内角定义、正多边形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】解：①中缺少“在平面内”这一前提，故错误．②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形的内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误．③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．【点睛】本题考查了多边形的定义、多边形的外角和内角定义、正多边形的定义，熟记这些定义是解题的关键．5．关于正多边形的概念，下列说法正确的是（ ）A ．各边相等的多边形是正多边形B ．各角相等的多边形是正多边形C ．各边相等或各角相等的多边形是正多边形D ．各边相等且各角相等的多边形是正多边形【答案】D【分析】根据正多边形的定义判定即可．【解析】解：A ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；B ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；C ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；D ．各边相等且各角相等的多边形是正多边形，正确，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了正多边形的定义、熟记各边相等、各角也相等的多边形是正多边形是解决问题的关键．题型2：多边形的内角和6．若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）A ．十边形B ．九边形C ．八边形D ．七边形【答案】C【分析】根据多边形的内角和()2180n =-×°，列方程可求解．【解析】解：设所求多边形边数为n ，∴()21801080n -°=×°，解得8n =．∴这个多边形是八边形．故选：C ．【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．7．如图，在六边形ABCDEF 中，若1285Ð+Ð=°，则3456Ð+Ð+Ð+Ð的值为（ ）A ．180°B ．245°C ．275°D ．300°【答案】C 【分析】根据多边形外角和360°求解即可．【解析】解：123456360Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，1285Ð+Ð=°()345636012275\Ð+Ð+Ð+Ð=°-Ð+Ð=°，故选：C【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和360°是解题的关键．8．有两个多边形，它们的边数之比为1:2，内角和之比为3:8，则这两个多边形的边数之和为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．219．如图，六边形ABCDEF 中，CD AF ∥，D A Ð=Ð，AB BC ^，120C Ð=°，80E Ð=°，则F Ð的度数为（ ）A ．120°B ．125°C ．130°D ．140°【答案】C 【分析】延长CB 与FA 的延长线交于点G ，根据两直线平行，同旁内角互补求出G Ð，根据垂直的定义可得90ABG Ð=° ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出BAF Ð，即D Ð的度数，再根据五边形的内角和公式列方程求解即可．【解析】解：如解图，延长CB 交FA 的延长线于点G ，∵CD AF ∥，120C Ð=°，180********G C \Ð=°-Ð=°-°=°AB BC ^Q ，90ABG \Ð=°，6090150D BAF G ABG \Ð=Ð=Ð+Ð=°+°=°，∵80E Ð=°，根据多边形内角和可知(62)180720BAF ABC C D E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=-°=°g ，1509012015080720F \°+°+°+°+°+Ð=°，130F \Ð=°．故选C ．【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和，平行线的性质，熟记公式并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．10．如图，在四边形ABCD 中，60D Ð=°，若沿图中虚线剪去D Ð，则12Ð+Ð=_________．【答案】240°##240度【分析】根据多边形的内角和公式180(2)n °-，n 是多边形的边数，即可求解．【解析】解：四边形ABCD 的内角和为180(2)180(42)360n °-=°´-=°，即360A B C D Ð+Ð+Ð+Ð=°，60D Ð=°，∴36036060300A B C D Ð+Ð+Ð=°-Ð=°-°=°，∵剪去D Ð后变成五边形，∴五边形的内角和为180(2)180(52)540n °-=°´-=°，即12540A B C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴12540()540300240A B C Ð+Ð=°-Ð+Ð+Ð=°-°=°，故答案为：240°．【点睛】本题主要考查多边形内角和定理，掌握多边形内角定理的运用是解题的关键．11．在计算某n 边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为2021°，这个角的大小是_____________．【答案】139°##139度【分析】n 边形的内角和是()2180n -×°，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数．【解析】解：∵20211801141°¸°=°L ，∴少加的内角是：18041139°-°=°．故答案为：139°．【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．题型3：多边形的外角和12．已知一个正多边形的每一个外角都是45°，则这个正多边形的边数是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1213．如图，正十边形与正方形共边AB，延长正方形的一边AC与正十边形的一边ED，两线交于点F，设Ð=°，则x的值为（）．AFD xA．15B．18C．21D．24【点睛】本题考查正多边形的外角、三角形的外角性质、直角三角形的性质，熟知正多边形的外角计算公式是解答的关键．题型4：多边形的内角和与外角和综合14．一个多边形内角和与它的外角和的比为72：，则这个多边形的边数为（）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A 【分析】根据多边形的内角和公式(2)180n -×°，外角和等于360°，列式求解即可．【解析】解：设多边形的边数是n ，则(2)180:3607:2n -×°°=，整理得27n -=，解得9n =．故选A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理并列出比例式是解题的关键．15．一个n 边形的内角和是外角和的3倍，则n 为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】B【分析】n 边形的内角和公式为180(2)n °-，n 边形的外角和为360°，由此即可求解．【解析】解：根据题意得，180(2)3603n °-=°´，∴8n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，外角和定理，掌握内角和的计算公式，外角和等于360°是解题的关键．16．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3:2，则这个正多边形是（ ）A ．正五边形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形【答案】A【分析】设这个外角是2x °，则内角是3x °，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．【解析】∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3:2，∴设这个外角是2x °，则内角是3x °，根据题意得：23180x x +°＝，解得：36x =°，360(362)5°¸°´＝（边），故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．题型5：多边形的对角线问题17．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形【答案】C【分析】根据n 边形从一个顶点出发可引出()3n -条对角线，可组成()2n -个三角形，依此可求出n 的值，得到答案．【解析】解：设这个多边形是n 边形，由题意得：25n -=，解得：7n =，即这个多边形是七边形，故选C ．【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n 的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n ．18．一个多边形从一个顶点最多能引出四条对角线，这个多边形是（ ）A ．四角形B ．五边形C ．六边形D ．七边形【答案】D【分析】根据从n 边形的一个顶点可以作对角线的条数公式()3n -求出边数即可得解．【解析】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引4条对角线，设多边形边数为n ，∴34n -=，解得7n =．故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出()3n -条对角线是解题的关键．19．若正多边形的一个外角为30°，则它的对角线条数为（ ）．A ．9条B ．48条C ．54条D ．35条20．正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（ ）A．正方形B．正八边形C．正十二边形D．正四边形和正十二边形【答案】D【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满，反之，则说明不能铺满．【解析】解：A．正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90120360m n°+°=°，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意；B．正八边形的每个内角是135°，正六边形的每个内角是120°，135120360m n°+°=°，n取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意；C．正十二形的每个内角是150°，正六边形的每个内角是120°，150120360m n°+°=°，n取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意；D．正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，正十二形的每个内角是150°，90120150360°+°+°=°，故能铺满，D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），解题的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．21．下列正多边形的地板瓷砖中，使用两种不能密铺地面的是（）A．正五边形和正十边形B．正三角形和正方形C．正八边形和正方形D．正十二边形和正三角形【答案】A【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【解析】解：A 、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．B 、正三角形、正方形内角分别为60°、90°，由于603902360´+´=，故能铺满；C 、正八边形和正方形内角分别为135°、90°，由于135290360´+=，故能铺满；D 、正十二边形和三角形内角分别为150°、60°，由于150260360´+=，故能铺满；故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的密铺，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．题型7：复杂的多边形内角和问题22．如图，A B C D E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð等于（ ）A ．240°B ．300°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】连接BD ，根据四边形内角和可得360A ABO OBD BDO CDO C Ð+Ð++Ð+Ð+Ð=°，再由“8”字三角形可得OBD ODBEF Ð+Ð=Ð+Ð，进而可得答案．【解析】解：连接BD ，如图，∵360A ABO OBD BDO CDO C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，OBD ODB E F Ð+Ð=Ð+Ð，∴360A ABO E F CDO C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．23．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若130ABC Ð=°，则A C D E Ð+Ð+Ð+Ð=_______．【答案】310°【分析】如图，连接BE ，利用三角形，四边形内角和定理、周角的定义求解即可．【解析】解：如图，连接BE ，由三角形与四边形的内角和定理可得：180ABE AEB A Ð+Ð+Ð=°，360BED D C EBC Ð+Ð+Ð+Ð=°，∵130ABC Ð=°，∴360130230ABE CBE Ð+Ð=°-°=°，∴180360230310A C D AED Ð+Ð+Ð+Ð=°+°-°=°．故答案为：310°．【点睛】本题考查三角形内角和定理、四边形的内角和定理，周角的定义的理解与运用能力．三角形内角和等于180°．作出适当的辅助线获取角之间的关系是解本题的关键．24．（1）如图1，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F =__________．（2）如图2，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F +∠G =___________．【答案】 360°540°【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得；（2）根据四边形内角和可求得1360A D F Ð+Ð+Ð+Ð=°， 2360B E G Ð+Ð+Ð+Ð=°，再利用三角形内角关系可得 12180C Ð=Ð+Ð-°，进而可求得．【解析】解：（1）∵在ACE V 中，180A C E Ð+Ð+Ð=°，在BDF V 中，180B D F Ð+Ð+Ð=°，∴360A B C D E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，故答案为360°；（2）如图，∵1360A D F Ð+Ð+Ð+Ð=°， 2360B E G Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴12720A B D E F G Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°．∵()()1801801180212180C Ð=°-°-Ð-°-Ð=Ð+Ð-°，∴720180540A B C D E F G Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°-°=°．故答案为540°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．25．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I +∠K 的度数为__．【答案】1080°【分析】连KF ，GI ，根据n 边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK 的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠K ＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H ＝180°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠K ＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H ＝900°＋180°，即可得到∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＋∠K 的度数．【解析】解：连KF ，GI ，如图，∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．故答案为：1080°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð为m度，如图2六边形的内角和26．如图1六边形的内角和123456-=________．123456Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð为n度，则m n【答案】0【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.【解析】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，m=Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=180°×2+360°=720°∴123456如图2所示，将原六边形分成了四个三角形n=Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=180°×4=720°∴123456∴m-n=0故答案为0.【点睛】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.27．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360o，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720o，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080o…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（）A．1440B．1800C．2880D．3600【答案】C【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．【解析】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；…∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．一、单选题1．下列说法中，正确的有（）①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形；②三角形是边数最少的多边形；③n边形有n条边、n个顶点.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】根据多边形的定义判断即可．【解析】由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，①不正确；易知②③正确，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的定义，掌握知识点是解题关键．2．正多边形的每一个内角都是135°，那么这个正多边形是（）A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形【答案】D【分析】根据题意，计算出多边形的外角的度数，再根据外角和除以外角度数得边数即可．【解析】解：因为正多边形的每一个内角都是135°，°-°=°，所以正多边形的每一个外角都是18013545°¸°=，所以这个正多边形的边数是360458即：这个正多边形是正八边形，故选：D．【点睛】本题考查了多边形外角和是360°这一知识点；根据题意求出，每个外角的度数是解决本题的关键．3．一个多边形的内角和是外角的2倍，则这个多边形共有（）对角线A．0条B．2条C．5条D．9条4．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）A ．正方形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形【答案】C【分析】设这个外角是x °，则内角是3x °，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．【解析】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，∴设这个外角是x °，则内角是3x °，根据题意得：x +3x ＝180°，解得：x ＝45°，360°÷45°＝8（边），故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．5．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（ ）．A ．160°B ．140°C ．200°D ．20°【答案】A【分析】设多边形的边数是n ，没加的内角为x ，根据多边形的内角和公式()2180n -×°，进行计算即可得解．【解析】解：设多边形的边数是n ，没加的内角为x ，根据题意得：()21802000n x -×°=°+，∵200018011...20°¸°=°，∴14n =，160x =°．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式可得多边形的内角和是180°整数倍是解题的关键．6．如图，将三角形纸片ABC 沿DE =折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，测量得150,2152а=°=Ð，则A Ð为（ ）A ．40°B ．22°C ．30°D ．52°【答案】B 【分析】利用四边形的内角和定理求出B C Ð+Ð，再利用三角形的内角和定理可得结果．【解析】解：∵150,2152а=°=Ð，∴3601236050152158B C а+Ð=-=°°°Ð-Ð--=°，∴180()18015822A B C Ð=°-Ð+Ð=°-°=°．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出B C Ð+Ð的度数．7．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】一个n 边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n 边形或()1n +边形或1n -边形．【解析】解：∵当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，∴这张纸原来的形状可能是四边形或五边形或三角形，不可能是六边形；即原多边形纸片的边数为:453、、．故选D ．【点睛】本题考查了多边形剪去一个角的的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．8．已知m 边形没有对角线，n 边形的内、外角和相等，k 边形共有k 条对角线，则m n k +-的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据多边形的对角线条数及多边形内角和、外角和可进行求解．【解析】解：由m 边形没有对角线可知3m =，9．如图，1234567Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=（ ）A ．480°B ．540oC ．500oD ．600o 【答案】B 【分析】由四边形的内角和得，2358360Ð+Ð+Ð+Ð=°，67910360Ð+Ð+Ð+Ð=°，再根据89180°Ð+Ð=，1014Ð=Ð+Ð，代入整理即可．【解析】解：如图，由四边形的内角和得，2358360Ð+Ð+Ð+Ð=°，67910360Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴235867910720а+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=，∵89180°Ð+Ð=，1014Ð=Ð+Ð，∴1234567720180540°Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+°-=°Ð=，故选：B ．【点睛】本题考查多边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和与三角形外角的性质是解题关键．10．如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶点出发，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，……，依此规律，从n 边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为（ ）A ．nB ．2n -C ．3n -D ．23n -【答案】C 【分析】根据题意可得从n 边型的同一个顶点出发，可以引3n -条对角线．【解析】解：∵从一个四边形的同一个顶点出发可以引出431-=条对角线；从五边形的同一个顶点出发，可以引出532-=条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出633-=条对角线，∴从n 边型的同一个顶点出发，可以引3n -条对角线，故选：C ．【点睛】本题主要考查了图形类的规律题，解题的关键在于能够根据题意得到规律求解．二、填空题11．若正多边形的一个外角为45°，则此正多边形为正__边形．12．若某个多边形从一个顶点出发的对角线最多可画5条，则这个多边形的边数是________．【答案】8【分析】根据n 边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为3n -，求出多边形的边数即可．【解析】解：∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画5条，∴多边形的边数为：538+=．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握n边形从一个顶点出发n-．的对角线最多可画的条数为3Ð＝___．13．如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．1230Ð=Ð= ，则3【答案】42°##42度14．多边形的边数每增加1，它的内角和就增加_________，外角和_________．【答案】 180° 不变【分析】多边形的内角和定理：n边形的内角和是(n-2)·180°(n≥3，且n为正数)；所以当边数加1，内角和增加180°，任何多边形的外角和都是360°.【解析】根据多边形的内角和定理，多边形的边数每增加1，它的内角和就增加180°；任何多边形的外角和都是360°，所以外角和不变.故答案为180°；不变.15．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，则∠BOD的度数是_____度．【答案】40．【分析】在DO延长线上找一点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠BOM＝140°，再根据邻补角互补即可得出结论．【解析】解：在DO延长线上找一点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠BOM＝360°﹣220°＝140°．∵∠BOD+∠BOM＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠BOM＝180°﹣140°＝40°．故答案为：40【点睛】本题考查多边形的角度计算,关键在于熟记外角和360°.16．商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有__（2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有__．\使用其中两种地砖镶满地面，那么有：正三角形和正六边形，正方形和正三角形，正方形和正八边形，一共3种方案；故答案为：（1）①②③；（2）①和②；①和③；②和④．【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．17．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【解析】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，()()()n\-´°+´°+-´°´+-´°=°+°´，52180318042180521803603609n=．解得6故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=_________o；18．（1）如图1所示，A B C D E FÐ+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð；图2称为二环四边形，它（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为A B C D E FÐ+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð，则二环四边形的内角和为__________o；二环五边形的内角和为A B C D E F G H的内角和为__________o；二环n边形的内角和为_________o．【答案】 360° 720° 1080° ()3602n - 【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得E F ADE FAD Ð+Ð=Ð+Ð，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案；（2）连接AE ，FE 交AH 于点M ，根据三角形内角和和对顶角的知识，得180MAE MEA F G H Ð+Ð=Ð+Ð+Ð-°；结合五边形内角和性质，得720BAM B C D MED F G H Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°；结合（1）的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【解析】（1）如图所示，连接AD ，AF 交DE 于点M∵AMD EMF Ð=Ð，180AMD FAD ADE Ð+Ð+Ð=°，180E F EMF Ð+Ð+Ð=°E F ADE FAD\Ð+Ð=Ð+Ð∴BAF B C CDE E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+ÐBAD ADC B C =Ð+Ð+Ð+Ð360= ；故答案为：360°（2）如图，连接AE ，FE 交AH 于点M。

多边形及其内角和知识点总结一、知识点1、多边形的定义：由在同一平面内，不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2、多边形的分类：根据边数的不同，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形、六边形等等。

3、多边形的内角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点相连所形成的角称为该多边形的内角。

4、多边形的内角和公式：n边形的内角和为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。

5、多边形的外角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点之间的夹角称为该多边形的外角。

6、多边形的外角和公式：多边形的外角和为360°，与多边形的边数无关。

7、勾股定理：在直角三角形中，勾股定理指出两个直角边的平方和等于斜边的平方。

二、重难点精析1、多边形的定义和分类是基础知识，需要理解并掌握不同类型多边形的特点。

2、多边形的内角和公式是重点，需要牢记并能够熟练运用该公式进行计算。

同时，也需要理解该公式的推导过程。

3、多边形的外角和公式是重点，需要理解并掌握该公式的应用。

同时，也需要掌握通过多边形的内角和公式和外角和公式之间的联系，进行计算和推导。

4、勾股定理是重点，需要理解并掌握其应用，特别是在解决与直角三角形相关的问题时。

5、对于一些复杂的多边形问题，需要掌握分解和组合的思想，将复杂的多边形分解为简单的三角形或四边形，从而解决问题。

6、在解决与角度制相关的问题时，需要注意角度制的计算方法和单位转换。

7、在解决与对称性相关的问题时，需要结合多边形的定义和性质进行思考和分析。

总之，对于八年级数学中的多边形及其内角和知识点，学生需要牢固掌握基础知识，理解公式的推导过程，熟练运用公式进行计算和推导，同时还需要灵活运用各种解题技巧和方法，才能够真正掌握该部分知识点的核心内容。

22.1 多边形（1）[多边形的内角和与对角线]第一组22-11、下列说法错误的是（）A、n边形共有n个顶点B、n边形共有n条边C、n边形共有n个内点D、n边形共有n条对角线2、下列说法错误的是（）A、四边形的内角和等于360度B、八边形的内角和等于1080度C、十边形的内角和等于1800度D、n边形的内角和等于(n-2)·180度3、下列角度不是多边形内角和的是（）A、900度B、720度C、1880度D、1260度4、一个多边形的对角线共有14条，那么这个多边形是（）A、四边形B、五边形C、六边形D、七边形5、六边形的内角和是度6、一个多边形的内角和是360度，那么这个多边形是边形。

7、五边形从一个顶点出发的对角线共有条。

8、五边形共有条对角线。

9、一个多边形从一个顶点出发共有4条对角线，那么这个多边形是边形。

10、一个多边形的内角和是1080度，那么这个多边形从一个顶点出嫁的对角线共有条。

11、（1）一个多边形的内角和是四边形内角和的两倍，它是几边形？（2）一个多边形的内角和比五边形的内角和大360度，它是几边形？（3）正八边形的每一个内角相等，求它的每一个内角的度数。

12、（1）在图中分别画出五边形从一个顶点出发的所有对角线，以及五边形的所有对角线；（2）八边形从一个顶点出发共有几条对角线？（3）八边形共有几条对角线？（4）一个n边形从一个顶点出发共有几条对角线？（5）一个n边形共有几条对角线？13、（1）一个多边形的内角和是否可能是3000度？为什么？（2）一个多边形的内角和是否可能是2520度？为什么？（3）n边形的内角和比(n-1)边形的内角和大多少度？（4）如果设n边形的内角和为f(n)，那么f(n)是n的什么函数？14、（1）一个n边形的边数增加3，它的内角和增加了几度？（2）一个n边形的边数增加一倍，它的内角和增加了几度？（用n的代数式表示）15、（1）五边形的三个内角分别是100度、120度、130度，另外两个内角相差10度，求另外两个内角度数；（2）某四边形中，四个内角的度数之比为1：2：3：4，求它的四个内角度数；（3）四边形ABCD中，∠A+∠C=180º，∠A：∠B：∠C=1：3：5，求∠D的度数。

22.1（1）多边形的内角和建平实验中学梅隽婕我从教材目标设计及依据、教学方法与教材处理、任务单设计、教学流程和教学后记等几方面进行说明：一、教学目标设计及依据1、教学目标设计：1）理解多边形及其有关概念，掌握多边形内角和定理．2）能运用多边形内角和定理解决简单的计算问题．3）经历多边形及其有关概念的形成过程，体验类比思想．4）经历多边形内角和的探索过程，体验从特殊到一般和化归的数学思想，以及归纳推理的方法．5）通过课前自主探索、课堂交流，进一步提高求知欲望和探索精神，养成良好的数学思维品质．2、目标制定依据：1）学生分析：学生在七年级已经学过三角形的有关概念以及三角形的内角和公式，在这一基础上再学习多边形的有关概念以及多边形的内角和公式，学生有了自主探究的可行性。

2）教材分析：本节课使用的是上海市二期课改新教材数学八年级第二学期第三章《四边形》第一节《多边形》中第一节课：多边形的内角和。

本课内容是三角形有关知识的扩展，由于学生对三角形的认知比较充分，所以在学习过程中，通过课前自主学习、自主探究、分享讨论、质疑解惑和概括总结的方式来解决问题，向学生渗透“转化”的数学思想，把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，把未知的知识转化成已知的知识，这节课无论在知识上还是对学生能力的培养上都起着重要的作用。

二、教学方法与教材处理根据二期课改的精神，教师在教学中应充分关注学生的主动参与和主动发展，提供给学生自行获取数学知识的时间和空间。

本课内容是三角形有关知识的扩展，由于学生对三角形的认知比较充分，因此本节课我尝试根据学生的实际情况，采用课前任务单，概念部分完全类比三角形的有关概念得出，定理部分让学生自主学习和探究，并在课堂上分享讨论、质疑解惑、概括总结，培养学生积极思考、探索的精神，以及合作、交流的能力。

这一过程既有一定的开放性，同时又渗透了一定的数学思想。

对于教材的处理，在探究定理的过程中，对教材上的表格重新设计了一下，多了一块对角线条数的内容，使学生在探究内角和定理的同时，把对角线问题也一起解决了。

多边形内角和计算与应用多边形是指由多个直线段首尾相连而成的图形，其中的直线段被称为边，连接边的点被称为顶点。

根据多边形的顶点数量可以分为三角形、四边形、五边形等等。

在研究多边形性质时，我们经常需要计算多边形的内角和，以及将其应用于实际问题中。

一、多边形内角和计算对于任意n边形来说，其内角和可以通过以下公式进行计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n代表多边形的边数。

通过这个公式，我们可以方便地得出任意多边形的内角和。

以三角形为例，根据公式计算可得：内角和 = (3 - 2) × 180° = 180°因此，三角形的内角和始终为180°。

同样地，对于四边形来说：内角和 = (4 - 2) × 180° = 360°对于五边形来说：内角和 = (5 - 2) × 180° = 540°由此可见，随着边数的增加，多边形的内角和也在增加。

二、多边形内角和的应用多边形的内角和在几何学中具有广泛的应用。

以下列举了一些常见的应用场景。

1. 判断多边形类型通过计算多边形的内角和，我们可以判断多边形的类型。

例如，如果内角和为180°，则该多边形为三角形；如果内角和为360°，则为四边形；以此类推。

这种方法可以用于识别不规则多边形，并辅助我们进行几何形状的分类和命名。

2. 求解缺失的角度在解决几何问题时，有时候我们已知部分角度，需要求解其他缺失的角度。

通过利用多边形的内角和公式，我们可以计算出缺失的角度值。

例如，已知一个五边形中4个角度的数值，我们可以通过四个已知角度的和与五边形的内角和相减，得到缺失角度的数值。

3. 查找多边形的对角线数量对角线是将多边形两个非相邻顶点连接起来的线段。

多边形中的对角线数量可以通过以下公式计算：对角线数量 = (n × (n - 3)) / 2其中，n代表多边形的边数。

多边形及其内角和（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，这个多边形的边数为( )A ．5B ．6C ．7D ．82．一个多边形的内角和超过640°，则此多边形边数的最小值是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．83．如果一个多边形的每一个外角都是锐角，那么这个多边形的边数一定不小于 ( )A ．3B ．4C ．5D ．64．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）A ． 27B ． 35C ． 44D ． 545．利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a 块正三角形和b 块正六边形的地砖(ab ≠0)，同a+b 的值为 ( )A ．3或4B ．4或5C ．5或6D ．46．如图所示，已知长方形ABCD ，一条直线将该长方形ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M 和N ，则M+N 不可能是 ( )A ．360°B ．540°C ．720°D ．630°7．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是 ( )A ．∠1与∠2B ．∠2与∠3C ．∠1与∠3D ．三个内角都相等8.从一个n 边形中除去一个角后，其余)1( n 个内角和是2580°，则原多边形的边数是（ ）.A.15B.17C.19D.13二、填空题9.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有 个.10.如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是 .11．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．12．将一块正六边形硬纸片(如图(1))，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图(2))，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图(1)中的四边形∠的度数是________．AGA H'，那么GA H'13. 将一个宽度相等且足够长的纸条打一个结，如图(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝________．14. 用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各板完全吻合，如果其中两块木板的边数都是5，则第三块木板的边数是________．15.小勇制造了一个简单的机器人，小勇遥控它每前行1m就向左转30°，再向前行1m又向左转30°，问它需要走 m才能走回原地.三、解答题16.(1)以AB＝20 mm，BC＝30 mm，CD＝18 mm，DA＝21 mm为边画四边形ABCD；(2)所画的四边形ABCD唯一吗？为什么？(3)添加什么条件，四边形ABCD的形状就唯一确定?17.一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570°，求这一内角的度数．18. 附加题：探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC 是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题：已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O 它们所夹的锐角为a ．如图：正五边形α= ； 正六边形α= ； 正八边α= ； 当正多边形的边数是n 时，α= ．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；2. 【答案】B ；【解析】(提示：假设内角和是640°的多边形的边数为n ，则有(n-2)·180＝640，解得559n =，因为多边形的内角和越大，其边数也越大，故当多边形的内角和超过640°时，其边数559n >，因为n 是正整数，所以其最小值是6．) 3. 【答案】C ；【解析】(提示：因为每个外角都是锐角，即小于90°，设边数为n ，则这些锐角的和一定小于n ×90°，而外角和为360°，所以360°＜n ×90°，即n 不小于5．)4. 【答案】C ；【解析】解：设这个内角度数为x ，边数为n ，∴（n ﹣2）×180°﹣x=1510，180n=1870+x ，∵n 为正整数，∴n=11， ∴=44，故选：C ．5. 【答案】B ；【解析】(提示：根据正多边形镶嵌的条件，在每个顶点处各正多边形的内角之和为360°，得60°·a+120°·b ＝360°，即a+2b ＝6，即a ＝6-2b ，因ab ≠0，且a ，b 均为正整数，所以当b ＝1或2，b ＝1时，a ＝4，a+b ＝5；当b ＝2时，a ＝2，a+b ＝4，故选B ．)6. 【答案】D ；7. 【答案】B ；8. 【答案】B ；【解析】解：设除去的内角为α，则α+=⋅- 2580180)2(n ，即21802580++= αn ， 又∵n 为整数，∴120=α，1721801202580=++=n .二、填空题9. 【答案】3个.10.【答案】36°；【解析】将五角星的五个角转移到一个三角形中，由三角形内角和定理以及五角星的各个角都相等，即可求出各个角的度数.11.【答案】9；【解析】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，360°÷40°=9．故答案为：9．12．【答案】60°；13.【答案】36°；14.【答案】10；15.【答案】12【解析】机器人走过了一个外角为30°的正多边形，由任意多边形的外角和均为360°，所以有36030=⋅n ，得12=n ，所以它需要走12m 才能走回原地.三、解答题16.【解析】解：(1)略 (2)不唯一，四边形具有不稳定性 (3)添加一个角的度数．17.【解析】解：设这一内角为x °，多边形的边数为n ，则2570°+x °＝(n-2)·180°， 257050214180180x x n ++-==+，因为n 是正整数，所以x 必须等于130． ∴ 这一内角度数为130°；18.【解析】解：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°， ∴∠BEA=∠ACB==36°，∴∠CAE=108°﹣36°=72°，∴α5=180°﹣∠EAO﹣∠AOE=72°；同理：α6=60°，α8=45°，当正多边形的边数是n 时，α=．。