(完整)高三数学填空题专项练习

上海高三数学练习题一、选择题1. 设函数f(x) = 2x^2 - 3x + 4，下列说法正确的是：A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)是奇函数C. 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数D. 函数f(x)是单调递增函数2. 已知函数f(x) = |x|，则f(-2)的取值为：A. -2B. 2C. 0D. -43. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，下列说法正确的是：A. 函数f(x)的零点是x = 1和x = 2B. 函数f(x)的零点是x = -1和x = 2C. 函数f(x)的零点是x = -2和x = 1D. 函数f(x)的零点是x = -2和x = -14. 已知直角三角形的斜边长为5，其中一个直角边长为3，则另一个直角边的长为：A. 4B. 2C. 1D. 35. 已知直角三角形的斜边长为10，其中一个直角边长为6，则另一个直角边的长为：A. 8B. 4C. 2D. 6二、填空题1. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求f(2)的值：2. 已知函数f(x) = |x + 1|，求f(-3)的值：3. 已知函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - x，求f(0)的值：4. 已知函数f(x) = |x - 2|，求f(4)的值：5. 设直角三角形的斜边长为13，其中一个直角边长为5，求另一个直角边的长：三、解答题1. 解方程：2x + 3 = 72. 解方程组：{ 2x - y = 5{ x + y = 13. 已知函数f(x) = (x - 3)^2 + 4，求f(x)的极值点。

4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x，求f(x)的单调递增区间。

5. 已知函数f(x) = |x - 2|，求f(x)的零点。

四、应用题1. 小明去超市买水果，他买了苹果和橙子两种水果。

苹果每斤5元，橙子每斤3元。

小明买了苹果和橙子共计8斤，总共花了36元。

求小明买了多少斤苹果和多少斤橙子。

1．O是锐角△ABC所在平面内的一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的心．2.对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值l做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则﹣﹣的上确界为．3．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xoy中，动点P的轨迹方程是．4．设函数f（x）=a1+a2x+a3x2+…+a n x n﹣1，f（0）=，数列{a n}满足f（1）=n2•a n，则数列{a n}的通项=．5．函数f（x）是奇函数，且在[﹣1，1]是单调增函数，又f（﹣1）=﹣1，则满足f（x）≤t2+2at+1对所有的x∈[﹣1，1]及a∈[﹣1，1]都成立的t的范围是．6．已知O为坐标原点，，，=（0，a），，记、、中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是．7．已知三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列，则公比为．8．（5分）已知5×5数字方阵：中，，则=．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈，则满足f（x0）＞f（）的x0的取值范围为．10．（5分）甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有公里．11．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x ﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=．12．（5分）设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点M，使=0，O为坐标原点，且|MF1|=|MF2|，则该双曲线的离心率为．13．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．14．（5分）设⊙O为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足=•+（P与A不重合）．Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC．有下列命题：①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；②若QA=QP，则；③若QA＞QP，∠BAC=90°，则；④若QA＞QP，则P在△ABC内部的概率为（S△ABC，S⊙O分别表示△ABC与⊙O的面积）．其中不正确的命题有（写出所有不正确命题的序号）．参考答案解：∵=∴=+）++﹣=a=时取等号．﹣的上确界是﹣]=x，x=，=××…××，=××…××，，．解：∵，，），M22，∴2∴∴，在公里，时，函数取极大值≤4，共线，∴=0|=a=e==+1解：∵+∴+=== =解：∵=•+∴﹣=•），∴|c•cos的中点，∴∴，故②。

2023届新高考数学复习：专项（唯一零点求值问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2D ．2-2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x --=+-+有唯一零点，则=a （ ）A ．πeB ．4πeC D ．13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2-B ．12-C ．1-D ．12-或1-5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()11123e 22x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a （ ）A ．13-B ．12-C ．-3D ．-26．（2023ꞏ全国ꞏ高三阶段练习）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．17．（2023春ꞏ云南曲靖ꞏ高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．12 D ．188．（2023春ꞏ山西ꞏ高三统考）已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()e +=+x g x h x x ，若函数()()12e 12λλ-=+--x f x g x 有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．210．（2023春ꞏ辽宁ꞏ高三校联考期末）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，若函数()()2022220226x f x h x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12B ．1或12-C ．12-或13D ．2-或111．（2023春ꞏ福建泉州ꞏ高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点，则=a （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．112．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则=a （ ）A ．0B ．12-C ．1D ．213．（2023春ꞏ重庆九龙坡ꞏ高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．314．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则=a （ ） A ．1B ．13-C ．13D ．1215．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数33()|3|x x f x x e e m --=-+++有唯一零点，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．－2C ．2D ．－116．（2023春ꞏ广西ꞏ高三校联考阶段练习）已知关于x 的函数()22214f x bx bx x b b =-+-++-有唯一零点x a =，则a b +=（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．417．（2023春ꞏ广东广州ꞏ高三广州六中校考）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12 B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1二、填空题18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数()()232xf x m x m x R =-+-∈有唯一零点，则实数m 的值为_________.19．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数||2()2||2()x f x a x a x R =-+-∈有唯一零点，则实数a 的值为__________.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______. 21．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a ________ 三、双空题22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2x f x g x x +=-，则(0)f 的值为________：若函数2022()2(2021)2x h x f x λλ-|=---∣有唯一零点，则实数λ的值为________.23．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三校考期末）已知函数g (x )，h (x )分别是定义在R 的偶函数和奇函数，且满足()()sin ,x g x h x e x x +=+-则函数g (x )的解析式为_________；若函数|2021|2()3(2021)2x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为_________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】D【答案解析】设()(2)e e x xg x f x x a -=-=+++，定义域为R,∴()e e e e ()x x x xg x x a x a g x ---=-+++=+++=，故函数()g x 为偶函数，则函数(2)f x -的图象关于y 轴对称， 故函数()f x 的图象关于直线2x =-对称， ∵()f x 有唯一零点， ∴(2)0f -=，即2a =-． 故选：D ．2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x --=+-+有唯一零点，则=a （ ）A ．πeB ．4πeC D ．1【答案】C【答案解析】令()()ππ44sin cos 0x x f x e ea x x --=+-+=，则π44ππs in 4x x eex --⎛++=⎫ ⎪⎝⎭，记π4x t -=，则πsin cos 2t t e e t t -⎛⎫++= ⎪⎝⎭=，令(),t t e t g e -=+则()(),()t t g t t e e t g g -=-∴=-+，所以()g t 是偶函数，图象关于y 轴对称，因为()f x 只有唯一的零点，所以零点只能是0,t =2,a =∴=故选：C3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12 B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【答案】A【答案解析】已知()()sin xg x h e x x x ++=-，①且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()sin xx g x e x x h -+---=++，得：()()sin xe x x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=，由于2020x -关于2020x =对称， 则20203x -关于2020x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2020g x -关于2020x =对称， 由于()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则必有()20200f =，()01g =，即：()()0223021202020f g λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12. 故选：A.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2- B ．12-C ．1-D ．12-或1-【答案】A【答案解析】函数()()222212e222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点， 设2x t -=，则函数()212e 222t tt y a a -=-+-有唯一零点，则()212e 222t tt a a --+=设()()()()()112e 222e 2222t t t tt t g t a g t a g t ---=-+-=-+= ，，∴()g t 为偶函数，∵函数()f t 有唯一零点， ∴()y g t =与2y a =有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，22a a ，∴-= 解得2a =- 或1a =（舍去），故选A ．5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()11123e 22x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a （ ）A ．13-B ．12-C ．-3D ．-2【答案】C【答案解析】注意到直线1x =是13e x y -=和1122x x y --=+的对称轴，故1x =是函数()f x 的对称轴，若函数有唯一零点，零点必在1x =处取得，所以 ()21320f a a =--=，又0a <,解得3a =-.选C.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三阶段练习）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【答案解析】因为()221111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-，设1t x =-，则()()()21t t f x g t t a e e -==++-，因为()()g t g t =-，所以函数()g t 为偶函数，若函数()f x 有唯一零点，则函数()g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t 时，()0g t =才满足题意，即1x =是函数()f x 的唯一零点，所以210a -=，解得12a =.故选：C. 7．（2023春ꞏ云南曲靖ꞏ高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．12 D ．18【答案】D【答案解析】()f x 有零点，则211222112224x x m x x x --+⎛⎫⎛⎫+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则上式可化为()21224t t m t -+=-+， 因为220t t -+>恒成立，所以24122t tt m --+=+，令()21422tt t h t --+=+，则()()()2211222244t t t tt t h t h t ----+-+-===++， 故()h t 为偶函数，因为()f x 有唯一零点，所以函数()h t 的图象与=y m 有唯一交点， 结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故()001102842m h -===+. 故选：D8．（2023春ꞏ山西ꞏ高三统考）已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C【答案解析】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ， ()f x \为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x \的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x \的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+， 又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， 12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C.9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()e +=+x g x h x x ，若函数()()12e 12λλ-=+--x f x g x 有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【答案解析】由题设，()()()()()()e e xxg x h x x g x h x x g x h x -⎧+=+⎪⎨-+-=-=-⎪⎩，可得：()e e 2x xg x -+=，由()()12e12λλ-=+--x f x g x ，易知：()f x 关于1x =对称.当1x ≥时，1112()e (e e )22x x x f x λλ---=++-，则111()e (e e )02x x x f x λ---'=+->，所以()f x 单调递增，故1x <时()f x 单调递减，且当x 趋向于正负无穷大时()f x 都趋向于正无穷大， 所以()f x 仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即()10f =，解得1λ=. 故选：C10．（2023春ꞏ辽宁ꞏ高三校联考期末）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，若函数()()2022220226x f x h x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12 B ．1或12-C ．12-或13D ．2-或1【答案】C【答案解析】由题意，函数()g x ，()h x 分别是奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，可得()()()()()()33x x g x h x e x x g x h x g x h x e x x -⎧+=+-⎪⎨-+-=-+=-+⎪⎩，解得()2x xe e h x -+=， 则()()2x xe e h x h x -+-==，所以()h x 为偶函数，又由函数()()2022220226x f x h x λλ-=---关于直线2022x =对称，且函数()f x 有唯一零点，可得()20220f =，即00022602e e λλ+⨯-=-， 即2160λλ--=，解得13λ=或12λ=-.故选：C.11．（2023春ꞏ福建泉州ꞏ高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点，则=a （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【答案解析】因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭， 令1x t -=，则()()()()sin 1cos 22t t t tg t t a e e t a e e ππ--⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点， 所以()()cos 2t tg t t a e e π-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，根据偶函数的对称性，则()0120g a =+=， 解得12a =-，故选：B12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则=a （ ）A ．0B ．12-C ．1D ．2【答案】C【答案解析】函数()f x 的定义域为()1,a -，则1a >-，()1121f x x x x a'=--+-， 则()()()2211201f x x x a ''=++>+-，所以，函数()f x '在()1,a -上为增函数，当1x +→-时，()f x '→-∞，当x a -→时，()f x '→+∞， 则存在()01,x a ∈-，使得()000011201f x x x x a '=--=+-，则0001121x a x x =--+， 当01x x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 当0x x a <<时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，()()()()20000min ln 1ln f x f x x x a x ∴==-+--，由于函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则()()()()20000min ln 1ln 0f x f x x x a x ==-+--=，由0000112011x a x x x ⎧=->⎪-+⎨⎪>-⎩，解得01x -<<所以，()()()2220000000200002111ln 1ln ln 1ln 2ln 0111x x x x x x x a x x x x ⎡⎤⎛⎫-++=-++-=+-=⎢⎥ ⎪-+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()()2212ln 11x x x x x ϕ⎡⎤=+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，其中112x --<<， ()()()()()()()()()2432322212222482422122221122111x x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎡⎤++++++'=+⋅-=+=⎢⎥--+-++-++⎢⎥⎣⎦()()()()222241222211x x x xx x ++-=+-+，112x -<<，则22210x x +-<，10x +>，220x ->，则()0x ϕ'<，所以，函数()x ϕ在11,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，且()00ϕ=，00x ∴=， 从而可得11a=，解得1a =. 故选：C.13．（2023春ꞏ重庆九龙坡ꞏ高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．12 B ．13C ．2D ．3【答案】A【答案解析】由已知条件可知()()()()()()xxg x h x e xg x h x e x g x h x -⎧+=+⎪⎨-+-=-=-⎪⎩由函数奇偶性易知()2x x e e g x -+=令()()226xx g x ψλλ=+-，()x ψ为偶函数.当0x ≥时，()'2202x xxe e x ln ψλ--=+>，()x ψ单调递增，当0x <时，()x ψ单调递减，()x ψ仅有一个极小值点()0,f x ()x ψ图象右移一个单位，所以仅在1处有极小值，则函数只有1一个零点，即()10f =， 解得12λ=，故选：A14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则=a （ ） A ．1B ．13-C ．13D ．12 【答案】D【答案解析】因为21(1)()(1)(e e )cos(1)2x x f x x a x ---=-+++--，令1x t -= 则2()(e e )cos 2t t g t t a t -=+++-，因为函数()2112(1(s ))co 1x x x x a e e f x x --+=-+++--有唯一零点， 所以()g t 也有唯一零点，且()g t 为偶函数，图象关于y 轴对称，由偶函数对称性得(0)0g =，所以2120a +-=，解得12a =， 故选：D.15．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数33()|3|x x f x x e e m --=-+++有唯一零点，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．－2C ．2D ．－1【答案】B【答案解析】设()(3)||x x g x f x x e e m -=+=+++，∴()||||()x x x x g x x e e m x e e m g x ---=-+++=+++=故函数()g x 为偶函数，则函数(3)f x +的图像关于y 轴对称，故函数()f x 的图像关于直线3x =对称， ∵()f x 有唯一零点∴(3)0f =，即2m =-，经检验，33()|3|2x x f x x e e --=-++-仅有1个零点3x =.故选：B.16．（2023春ꞏ广西ꞏ高三校联考阶段练习）已知关于x 的函数()22214f x bx bx x b b =-+-++-有唯一零点x a =，则a b +=（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．4【答案】B 【答案解析】22()(1)14f x b x x b =-+-+-，令1t x =-， 则有22()4g t bt t b =++-是偶函数，若只有唯一零点，则必过原点，即(0)0g =，从而2b =±.当2b =-时，有3个零点，舍去.故2b =，此时10t a =-=，则1a =，故3a b +=.故选：B17．（2023春ꞏ广东广州ꞏ高三广州六中校考）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ） A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【答案】A【答案解析】已知()()sin x g x h e x x x ++=-，① 且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()sin x x g x e x x h -+---=++，得：()()sin x e x x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=， 由于2021x -关于2021x =对称， 则20213x -关于2021x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2021g x -关于2021x =对称，由于()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则必有()20210f =，()01g =，即：()()0223022021120g f λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12.故选：A.二、填空题18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数()()232x f x m x m x R =-+-∈有唯一零点，则实数m 的值为_________.【答案】1±【答案解析】()2,32()x x R f x m x m f x -∈-=--+-=()f x ∴是偶函数 根据偶函数的性质，可得(0)0f =，02320m +-=，解得1m =±当1m =时，此时()31xf x x =--，有唯一零点； 当1m =-时，此时()31xf x x =+-，也有唯一零点； 故1m =±时有唯一零点.故答案为：1±19．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数||2()2||2()x f x a x a x R =-+-∈有唯一零点，则实数a 的值为__________.【答案】1-【答案解析】因为x R ∈，又||2()2||2()x f x a x a f x --=--+-=，所以函数为偶函数.因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得(0)0f =，所以02220a +-=，解得1a =±.当1a =，此时||()2||1x f x x =--，知1(2)02f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()f x 有零点(1x =)，不符合题意： 当1a =-，此时||()2||1x f x x =+-在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=，根据偶函数对称性，符合题意；所以1a =-.故答案为：1-20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______.【答案】16ln 224--【答案解析】由题意，函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，即方程228ln 14x x x m --=有唯一实数解，令2()28ln 14h x x x x =--，则82(4)(21)()414,0x x h x x x x x-+'=--=>， 当>4x 时，()0h x '>，当04x <<时，()0h x '<，所以()h x 在(4,)+∞上单调递增，在(0,4)上单调递减，则函数()h x 在4x =处取得最小值，最小值为(4)16ln 224h =--，要使得函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则16ln 224m =--.故答案为：16ln 224--．21．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a ________ 【答案】12【答案解析】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++ 设1t x =-，则()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ，()()()()21t t f t t a e e f t --=--++= 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称要使()f x 有唯一零点，则只能()10f =，即()2001210a e e -⨯++= 解得12a =， 故答案为：12.三、双空题22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2x f x g x x +=-，则(0)f 的值为________：若函数2022()2(2021)2x h x f x λλ-|=---∣有唯一零点，则实数λ的值为________.【答案】 1 1-或12【答案解析】因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以有(0)0g =，因为()()2x f x g x x +=-，所以(0)(0)1f g +=，所以(0)1f =，令||2()2()2x F x f x λλ=--，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以||2||2()2()22()2()x x F x f x f x f x λλλλ--=---=--=，所以()F x 是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以|2021|2()2(2021)2(2021)x h x f x F x λλ-=---=-，所以()h x 的图象关于2021x =对称，因为()h x 有唯一零点，所以(2021)0h =，即21(0)20f λλ--=，即2120λλ--=，解得1λ=-或12．故答案为：1，1-或12． 23．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三校考期末）已知函数g (x )，h (x )分别是定义在R 的偶函数和奇函数，且满足()()sin ,x g x h x e x x +=+-则函数g (x )的答案解析式为_________；若函数|2021|2()3(2021)2x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为_________.【答案】 ()12x x e e -+ 12或1-【答案解析】∵()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，∴()()g x g x -=，()()h x h x -=-又∵()()sin x g x h x e x x +=+-①，∴()()()()e sin x g x h x g x h x x x --+-=-=-+②①+②：2()e e x x g x -=+，∴()1()e e 2x x g x -=+, 又∵()()2021202112(2022021)21()3202123e 22x x x x f x g x e λλλλ----⎡⎤=---=-⋅+-⎣⎦， 又∵()f x 有唯一零点，等价于()213202x x x e e λλ--⋅+-=有唯一解， 设()21()322x x x t x e e λλ-=-+-， ∵()t x 为偶函数，∴当且仅当0x =时为唯一零点，∴2120λλ--=，解得12λ=或1λ=-. 故答案为：()12x x e e -+；12或1-。

高三数学填空题练习试题答案及解析1.函数的定义域为_____________．【答案】(0，1]【解析】有，可得0<x≤1【考点】函数的定义域2.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋e x(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为________．【答案】ln 6－【解析】由f(x)是奇函数得f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6)－e－ln 6＝ln 6－.3.函数的最大值为 .【答案】【解析】函数的定义域为，设，，则，所以，当时，.【考点】函数最值.4.若x，y满足约束条件，则的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，即将直线经过可行域，尽可能向上移动到点时，．【考点】线性规划.5.如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，，则的周长的取值范围是_______________.【答案】.【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点，作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.6.设，向量且，则．【答案】【解析】因为a⊥c,b∥c，所以有2x-4=0且2y+4=0，解得x=2,y=-2，即，所以，则．7.甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为________．【答案】0.036【解析】设甲市下雨为事件A，乙市下雨为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.2×0.18＝0.036.8.某程序框图如右图所示，则输出的结果S为．【答案】【解析】第一次运行,，不满足；第二次运行，，不满足；第三次运行，，满足，输出S为.【考点】算法与程序框图9.设x>0,y>0,a=x+y,b=·,则a与b的大小关系是.【答案】b<a【解析】当sin θ=0时,cos2θ=1,∴b=x<x+y=a即b<a,当cos θ=0时,sin2θ=1,b=y<x+y=a,即b<a,当sin θ≠0且cos θ≠0时,∵x>0,y>0,∴x<x+y,y<x+y,∴<,<,∴b=·<·==x+y=a.综上b<a.10.已知G是△ABC的重心,O是空间与G不重合的任一点,若++=λ,则λ=.【答案】3【解析】因为+=,+=,+=,且++=0,所以++=3.11.设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则+的最小值是.【答案】2【解析】由已知得lga+lgb=0,即ab=1,于是+==a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故+的最小值是2.12.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为________．【答案】【解析】y′＝2x－，令y′＝1，得方程2x2－x－1＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，故与直线y＝x－2平行且与曲线y＝x2－ln x相切的直线的切点坐标为(1，1)，该点到直线y＝x－2的距离d ＝即为所求13.若函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．【答案】(0,1)∪(2,3)【解析】对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.14.在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .【答案】【解析】因为抛物线的焦点为所以又所以而双曲线的渐近线方程为即.解答本题需注意双曲线的焦点位置.【考点】双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点.15.已知定义在上的偶函数满足:,且当时,单调递减,给出以下四个命题:①;②为函数图像的一条对称轴;③函数在单调递增;④若关于的方程在上的两根,则.以上命题中所有正确的命题的序号为_______________.【答案】①②④【解析】∵，∴当时，，∴，又∵函数是偶函数，∴，∴①正确；∵，，∴，∴，又是函数图像的对称轴，∴是函数图像的对称轴，∴②正确；∵函数的周期是4，∴在上的单调性与上的单调性相同，∴在上为减函数，∴③错误；∵是函数图像的对称轴，∴方程的两根关于对称，∴，∴④正确.【考点】1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.函数的对称性；4.函数的单调性.16.已知点，过点的直线总与线段有公共点，则直线的斜率取值范围为______（用区间表示）.【答案】【解析】如图，，根据斜率的定义可知，当直线逆时针转时，斜率增大，当直线顺时针转时，斜率减小，故直线的斜率取值范围为.【考点】直线斜率的计算、直线斜率的定义.17.函数的最小正周期为 .【答案】【解析】因为，，所以，函数的最小正周期为.【考点】三角函数的和差倍半公式，三角函数的性质.18.设与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为 .【答案】3【解析】由题意，抛物线的准线，它和不等式共同围成的三角形区域为，目标函数为，作出可行域如下图，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大，点的坐标为，此时，故答案为：3．【考点】简单线性规划．19.曲线与直线所围成的平面图形的面积为.【答案】【解析】画出图形可知，所求面积,而,，，故.【考点】定积分求面积.20.在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为 .【答案】12【解析】设正项等比数列首项为，公比为，由题意可得解得，，故其通项公式为.记，由，即化简得，，因此只须即，解得由于为正整数，因此最大为的整数部分，也就是12．故答案为12.【考点】等比数列的求和公式，一元二次不等式的解法.21.在中，分别是的对边，已知，若，则的面积等于 .【答案】【解析】因为，所以，，∴.由余弦定理得，∴.∴.【考点】1.余弦定理；2.三角形面积公式；3.平方关系.22.在处有极大值，则常数的值为________.【答案】6【解析】由题意知在处导数为零且时，，而，所以，解得，而当时，，不合题意，所以.【考点】利用导数求函数的极值、利用导数判断函数单调性.23.在展开式中的系数为,则实数的值为 .【答案】【解析】通项公式：，所以展开式中的系数为，解得：.【考点】1.二项式通项；2.二项式系数.24.设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________【答案】【解析】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．【考点】考查椭圆的定义及运算，属容易题。

俯视图侧视图正视图4图1乙甲7518736247954368534321高三数学基础训练一班级：姓名：座号：成绩：一．选择题：1．复数i1i,321-=+=zz，则21zzz⋅=在复平面内的对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在等比数列｛an｝中，已知,11=a84=a，则=5a( )A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－323．已知向量a =（x，1），b =（3，6），a⊥b ，则实数x的值为( )A．12B．2-C．2D．21-4．经过圆:C22(1)(2)4x y++-=的圆心且斜率为1的直线方程为( )A．30x y-+=B．30x y--=C．10x y+-=D．30x y++=5．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0>x时，()2xf x=，( ) 则(2)f-=( )A．14B．4-C．41-D．46．图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )A．62 B．63 C．64 D．657．下列函数中最小正周期不为π的是( )A．xxxf cossin)(⋅= B．g（x）=tan（2π+x）C．xxxf22cossin)(-=D．xxx cossin)(+=ϕ8．命题“,11a b a b>->-若则”的否命题是( )A．,11a b a b>-≤-若则B．若ba≥，则11-<-baC．,11a b a b≤-≤-若则D．,11a b a b<-<-若则9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 ( ) A ．6B ．24C ．123D ．3210．已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 ( ) A ．()()+∞-∞-,11,YB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222,Y C ．()()+∞-∞-,,2222YD ．()()+∞-∞-,,22Y二．填空题:11．函数22()log (1)f x x =-的定义域为 ．12．如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 ．13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为_______．14．已知c x x x x f +--=221)(23，若]2,1[-∈x 时，2)(c x f <恒成立，则实数c 的取值范围______ 三．解答题:已知()sin f x x x =+∈x (R )． （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．高三数学基础训练二班级： 姓名： 座号： 成绩：一．选择题：1．在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S9等于 ( )A ．18B ．27C ．36D ．92．函数()()sin cos sin f x x x x =-的最小正周期为 ( )A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 3．已知命题p: {}4A x x a =-p ,命题q :()(){}230B x x x =--f ,且⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数 a 的取值范围是： ( )A ．(-1,6)B ．[-1,6]C ．(,1)(6,)-∞-⋃+∞D ．(,1][6,)-∞-⋃+∞ 4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。

高三数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(1)的值为（）。

A. 1B. 5C. 1D. 52. 若|a| = 5，则a的值为（）。

A. 5 或 5B. 0C. 5D. 53. 下列函数中，奇函数是（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 1/x4. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，a3 = 3，则公差d为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）。

A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上二、填空题1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则第7项的值为______。

2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 1)，则2a 3b = ______。

3. 不等式2x 3 > x + 1的解集为______。

4. 二项式展开式(a + b)^10中，含a^3b^7的项的系数为______。

5. 在三角形ABC中，a = 5, b = 8, sinA = 3/5，则三角形ABC的面积为______。

三、解答题1. 讨论函数f(x) = x^3 3x在区间(∞, +∞)上的单调性。

2. 设函数f(x) = (1/2)^x 2^x，求f(x)的单调递减区间。

3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的通项公式。

4. 在△ABC中，a = 10, b = 15, C = 120°，求sinA和cosA的值。

5. 解三角形ABC，已知a = 8, b = 10, sinB = 3/5。

6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 1在区间[1, 3]上的最小值为3，求实数a的值。

7. 设函数f(x) = x^2 2x + c，讨论函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

高三数学综合测试题一、选择题1、设会合U =1,2,3,4， M = x U x25x+ p = 0 ，若 C U M = 2,3，则实数 p 的值为 (B)A ．4B．4C．6 D ．62．条件p : x1, y1, 条件 q : x y2, xy1，则条件p是条件q的A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件B.{ 1,0,1,2}C.{ 1,0,2,3}D.{ 0,1,2,3}3. 设函数f (x) 1 e x的图象与x轴订交于点P,则曲线在点P的切线方程为( C )（ A ）y x1（B ）y x 1（C）y x（D ）y x114．设 a= 2，b= 2， c=lg0.7 ，则 (C)A ． c＜ b＜ a B． b＜ a＜ cC．c＜ a＜ b D．a＜ b＜ c5．函数 f (x)=e x- x- 2 的零点所在的区间为( C)A．(-1，0)B． (0， 1)C．(1， 2)D．(2， 3)6 、设函数f (x)( 1 )x7, x0，则实数 a 的取值范围是2，若 f (a) 1x , x0（C）A 、(,3)B、(1,)C、(3,1) D 、(,3) U (1,)7 f ( x)log a x,f (| x |1)的图象大概是(D)．已知对数函数是增函数则函数8．函数 y＝log a(x＋ 1)＋ x2－ 2(0＜a＜ 1)的零点的个数为 ()A ． 0B． 1C．2D．没法确立新课标第一网分析：选 C.令 log a(x＋ 1)＋ x2－ 2＝ 0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考察图象1a22的交点个数y ＝ log(x＋ 1)与 y＝－ x ＋ 29．若函数 f (x)= - x3+bx 在区间 (0，1)上单一递加，且方程 f (x)=0 的根都在区间 [ - 2，2]上，则实数 b 的取值范围为(D)A．[0，4]B．3，C．[2，4]D．[3， 4]10．已知定义在R 上的奇函数 f ( x) 是，0 上的增函数，且 f (1)= 2， f ( - 2)= - 4，设P={ x|f (x+t)- 4<0} ，Q={ x|f (x)<- 2} ．若“ x∈P”是“ x∈ Q”的充足不用要条件，则实数t 的取值范围是（B）A ． t≤ - 1B． t>3C． t≥ 3 D ． t>- 1二、填空题11．命题“若x21，则1x 1 ”的逆否命题为________________ 4n n 212．已知偶函数 f (x)= x2(n∈ Z) 在(0 ，+∞ )上是增函数，则 n=2．13、已知函数f ( x)x3mx2(m 6) x 1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是 __、m 6 或 m3_____________14．若不等式 1 一 log a( 10a x ) ＜0有解，则实数a 的范围是；15．已知函数 f ( x)定义域为 [-1, 5], 部分对应值如表x-1045f ( x)1221f ( x) 的导函数 f ( x) 的图象如下图,以下对于函数 f (x) 的命题①函数 f ( x) 的值域为[1,2];②函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数;③假如当 x[1, t] 时,f (x) 的最大值是2,那么 t 的最大值为4;④当 1 a 2时 ,函数 y f (x) a 有4个零点.此中真命题是②(只须填上序号 ).yy f(x)-1012345x16题三、解答题16．已知命题：“x x |1x1，使等式 x2x m 0 建立”是真命题，（1）务实数 m 的取值会合 M ；（2）设不等式( x a)( x a2)0 的解集为N，若x∈N是x∈M的必需条件，求 a 的取 范 ．答案 :(1)Mm1m 2 4(2) a9a1或 4417．（本 分12 分）已知二次函数 y= f (x)的 象 点 (1， - 4)，且不等式 f (x)<0 的解集是(0， 5)．（Ⅰ）求函数f (x)的分析式；（Ⅱ）g(x)=x 3- (4k- 10)x+5 ，若函数h(x)=2 f (x)+ g(x)在 [ - 4，- 2]上 增，在 [- 2，0]上 减，求y=h(x)在[ - 3， 1]上的最大 和最小 ．17． 解：（Ⅰ）由已知y= f (x) 是二次函数，且 f (x)<0 的解集是 (0，5) ， 可得 f (x)=0 的两根 0， 5，于是 二次函数f (x)=ax(x- 5)，代入点 (1，- 4)，得 - 4=a ×1×(1- 5) ，解得 a=1，∴ f (x)=x(x- 5) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ） h(x)=2f (x)+g(x)=2 x(x- 5)+ x 3- (4k- 10)x+5= x 3 +2x 2- 4kx+5，于是 h (x) 3x 2 4 x 4k ，∵ h(x)在 [ - 4， - 2] 上 增，在 [- 2， 0]上 减， ∴ x=- 2 是h(x)的极大 点，∴ h ( 2) 3( 2)24 ( 2) 4k 0 ，解得 k=1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴ h(x)=x 3+2x 2- 4x+5 ， 而得 h ( x) 3x 2 4x4 ．令 h ( x) 3x 24x 4 3(x2)( x 2)0 ， 得 x 12，x 22 ．33由下表：x(-3，-2)- 2 (-2， 2)2 (2，1)333h (x)+ 0- 0+ h(x)↗极大↘极小↗可知： h(- 2)=( - 2)3+2×(- 2)2- 4×(- 2)+5=13 ， h(1)=1 3+2×12 - 4×1+5=4，3 22 23 2 2 2 95 ， h( - 3)=( - 3) +2×(- 3) - 4×(- 3)+5=8 ，h()=()+2×( ) - 4× +5=3 33327∴ h(x)的最大 13，最小95．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2718、（本 分12 分）x 1 0,a 1)已知函数 f ( x) log a(ax1（1）求 f ( x ) 的定 域，判断 f ( x ) 的奇偶性并 明；（2） 于 x [2,4] ， f ( x ) log am恒建立，求 m 的取 范 。

高三数学练习题及答案解析一、选择题1. 三角形ABC中，∠BAC = 60°，AD是BC的垂线，AD = 6 cm，则BC =A. 6 cmB. 12 cmC. 6√3 cmD. 12√3 cm答案：B解析：由正弦定理，得 BC = AD / sin∠BAC = 6 / sin60° = 6 / (√3 / 2) = 12 cm。

2. 已知直线L的斜率为2/3，直线L与x轴的交点为(-3, 0)，则直线L的方程为A. y = 2/3x + 2B. y = 2/3x - 2C. y = -2/3x + 2D. y = -2/3x - 2答案：C解析：已知直线L与x轴的交点为(-3, 0)，可得出直线L的截距为2。

由斜率为2/3，可得直线L的方程为 y = -2/3x + 2。

3. 设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x + 1，则f'(1) =A. 0B. -2C. -4D. 10答案：C解析：求导得 f'(x) = 6x^2 - 6x + 2，因此 f'(1) = 6 - 6 + 2 = -4。

二、填空题1. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {2, 4, 6, 8}，则A ∩ B =_______。

答案：{2, 4}解析：A ∩ B 表示集合A与B的交集，即两个集合中共有的元素。

因此A ∩ B = {2, 4}。

2. 若函数f(x) = log2(3x - 1)，则f(-1)的值为______。

答案：undefined解析：当 x = -1 时，函数f(x)中的3x - 1 = 3(-1) - 1 = -4，log2(-4) 是无意义的，因此 f(-1) 的值为 undefined。

三、解答题1. 计算下列方程的解：2x + 5 = 3x - 1。

解答：将方程中的3x移到等号左边，2x移到等号右边，得到 x - 2x = -1 - 5，即 -x = -6。

三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A.6556 B.－6556 C.－6516 D. 6516 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34. 函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2 B.22 C.4 D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒）12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒） 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5三基小题训练二1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量 OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( ) A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ）A.（3，0）B.（2，0）C.（1，0）D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ）A.（a ，－b ）B.（－a ，b ）C.（b ，－a ）D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠TEF DO C B A8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m ⊂β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ;(2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.210．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132- 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________. 14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。

高三数学多空题、答案不唯一型填空题专项练(二)1.直线l ：(2a －1)x ＋(a －3)y ＋4－3a ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________；此时a ＝________. 答案 27 43解析 ∵直线l ：(2a －1)x ＋(a －3)y ＋4－3a ＝0恒过定点(1，1)，且点(1，1)在圆内，∴当圆心与点(1，1)的连线与直线AB 垂直时，弦长|AB |最小. ∵圆心(2，0)与点(1，1)间的距离为（2－1）2＋（0－1）2＝2，圆的半径为3，∴弦长|AB |的最小值为29－2＝27.∵圆心(2，0)与点(1，1)连线的斜率为1－01－2＝－1，∴此时直线l 的斜率为1，则－2a －1a －3＝1，解得a ＝43.2.已知ω>0，φ>0，函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋1的图象向右平移φ个单位长度得到函数g (x )的图象.若g (x )与h (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的极值点完全相同，则ω＝________，φ的最小值为________. 答案 3 π3解析 函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋1的图象向右平移φ个单位长度得到函数g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3φ＋π3＋1的图象，若g (x )与h (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3的极值点完全相同，则2π3＝2π|ω|，∴ω＝3(负值已舍去).当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3φ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2π3时，则－3φ＋π3＝－2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3－2k π3，k ∈Z .又φ>0，∴φmin ＝π3.当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3φ＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2π3时，则3x －3φ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋2π3＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－23k π，k ∈Z .又φ>0，∴φmin ＝2π3.综上可得φ的最小值为π3.3. 2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面直角坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线Z ：x 2＝4y 的焦点为F ，圆F ：x 2＋(y －1)2＝4与抛物线Z 在第一象限的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，直线l ：x ＝t (0<t <m )与抛物线Z 的交点为A ，直线l 与圆F 在第一象限的交点为B ，则m ＝________；△FAB 周长的取值范围为________. 答案 2 (4，6)解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x 2＋（y －1）2＝4，x >0，y >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴m ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＝4y ，解得⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 24，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＋（y －1）2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋4－t 2，∴B (t ，1＋4－t 2).设点A 在抛物线准线上的射影为点C ，则由抛物线的定义，得|AF |＝|AC |，∴△FAB 的周长＝|FA |＋|FB |＋|AB |＝|AC |＋|AB |＋|BF |＝|BC |＋2＝4－t 2＋4.∵t ∈(0，2)，∴4－t 2＋4∈(4，6)，即△FAB 周长的取值范围为(4，6).4.四棱锥P-ABCD 各顶点都在球心为O 的球面上，且PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA ＝AB ＝2，AD ＝4，则球O 的体积是________；设E ，F 分别是PB ，BC 的中点，则平面AEF 被球O 所截得的截面圆面积为________. 答案 86π14π3解析 由题意知球心O 为PC 的中点，∴球O 的直径2R ＝22＋22＋42＝26，∴R ＝6，∴V 球＝43π×(6)3＝86π.设球心O 到平面AEF 的距离为d ，截面圆半径为r ，由题设知球心O 到平面AEF 的距离等于点B 到平面AEF 的距离，如图，连接OA ，OE ，OF ，由等体积法得，V O-AEF ＝V E-ABF ，易知AE ＝2，AF ＝22，EF ＝6，则AE 2＋EF 2＝AF 2，∴AE ⊥EF ，∴13×12×2×6·d ＝13×12×2×2×1，得d ＝233，∴r 2＝R 2－d 2＝6－43＝143，故截面圆面积为πr 2＝14π3. 5.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足CM →＝2CA →＋3CB →，则MA →·MB →＝________，CM →与CB →所成角的余弦值为________. 答案 4841919解析 法一 ∵CM →＝2CA →＋3CB →，∴CM→－CB →＝2(CA →＋CB →). 取AB 的中点N ，连接CN (图略)， 可得BM→＝4CN →且|CN →|＝ 3. ∵△ABC 是等边三角形，∴CN ⊥AB ，即CN →·AB →＝0，∴MA →·MB →＝(MB →＋BA →)·MB →＝MB →2＋BA →·MB → ＝16CN →2＋AB →·4CN →＝16CN →2＝48. CM→＝CB →＋BM →＝CB →＋4CN →，CN →·CB →＝|CN →|·|CB →|cos 30°＝3×2×32＝3. 设CM→与CB →所成的角为θ，则 cos θ＝CM →·CB→|CM →|·|CB →|＝（CB →＋4CN →）·CB →|CB →＋4CN →|·|CB →|＝CB →2＋4CN →·CB→CB →2＋16CN →2＋8CN →·CB →·|CB →|＝4＋124＋48＋24×2＝41919.法二 建立以点B 为坐标原点，以边BC 所在直线为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴的平面直角坐标系(图略)，则A (1，3)，B (0，0)，C (2，0)， ∴CA→＝(－1，3)，CB →＝(－2，0).∴CM→＝2CA →＋3CB →＝2(－1，3)＋3(－2，0)＝(－8，23)， ∴点M 的坐标为(－6，23)， ∴MA→＝(7，－3)，MB →＝(6，－23)， ∴MA →·MB →＝42＋6＝48. 设CM→与CB →所成的角为θ， 则cos θ＝CM →·CB→|CM →||CB →|＝1664＋12×2＝41919.6.已知直线l ：x ＋2y －5＝0，定点A (1，2)，动点P 到定点A 的距离与到直线l 的距离相等，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，Q 是动点P 轨迹上一点，则点P 的轨迹方程为________；若|FQ |的最小值恰为双曲线C 的虚半轴长，则双曲线C 的离心率为________. 答案 y ＝2x5解析 由已知得点A 在直线l 上，因而动点P 的轨迹为过点A 且与直线l 垂直的直线，则由点斜式，得点P 的轨迹方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .|FQ |的最小值即点F 到直线y ＝2x 的距离，且|FQ |min ＝b .则y ＝2x 为双曲线C 的一条渐近线，从而ba ＝2，所以离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 7.某校学生去工厂进行劳动实践，加工制作某种零件.如图，将边长为10 2 cm 的正方形铁皮剪掉阴影部分四个全等的等腰三角形，然后将△P 1AB ，△P 2BC ，△P 3CD ，△P 4DA 分别沿AB ，BC ，CD ，DA 翻折，使得P 1，P 2，P 3，P 4重合并记为点P ，制成正四棱锥P-ABCD 形状的零件.当该四棱锥体积最大时，AB ＝________ cm ；此时该四棱锥外接球的表面积S ＝________ cm 2.答案 8676π5解析 取P 1P 2的中点E ，连接BE ，BD ，设AB ＝x ，则DB ＝2x ，BE ＝102－2x 2，P 1B 2＝(52)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫102－2x 22＝100－10x ＋12x 2. 则PB 2＝100－10x ＋12x 2.连接AC ，BD ，设AC ∩BD ＝F ，连接PF ，则PF ⊥平面ABCD ， PF 2＝PB 2－BF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100－10x ＋12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x 2＝100－10x ，∴V P-ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PF ＝13x 2·100－10x ＝13x 4·（100－10x ）. 设f (x )＝x 4·(100－10x )(0<x <10)，则f ′(x )＝4x 3·(100－10x )＋x 4·(－10)＝50x 3(8－x )， 当x ∈(0，8)时，f ′(x )>0，当x ∈(8，10)时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0，8)上单调递增，在(8，10)上单调递减，∴当x ＝8 cm 时，四棱锥P-ABCD 的体积最大，此时AB ＝8 cm ，PF ＝2 5 cm.设四棱锥外接球的球心为O，则O在直线PF上，设半径为R，连接AO，则根据OA2＝OF2＋AF2得R2＝(R－25)2＋(42)2，∴R＝135，∴S＝676π5(cm2).8.如图，正三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长均为2，O是BC的中点，P是平面BB′C′C内一点，且PA＝2，则点P的轨迹长度为________；当PC′的长最小时，三棱锥O-PAA′的体积为________.答案π15 15解析因为三棱柱ABC-A′B′C′是正三棱柱，O是BC的中点，所以OA⊥平面BB′C′C，又OP⊂平面BB′C′C，所以OA⊥OP.因为PA＝2，OA＝3，所以OP＝1，故点P的轨迹是在平面BB′C′C内，以O 为圆心，1为半径的半圆，其长度为π.在平面BB′C′C内，当PC′的长最小时，O，P，C′三点共线.过点O作OO′⊥B′C′于点O′，连接O′A′，易知O，A，A′，O′四点共面.过P作PQ⊥OO′于点Q，又OA⊥平面BB′C′C，PQ⊂平面BB′C′C所以PQ⊥OA，则PQ⊥平面OAA′O′，即PQ是三棱锥P-OAA′的高.连接OC ′，因为PQ ∥O ′C ′，所以PQ O ′C ′＝OPOC ′，又OC ′＝5，OP ＝1，O ′C ′＝1，所以PQ ＝55，所以V O-PAA ′＝V P-OAA ′＝13·S △OAA ′·PQ ＝13×12×2×3×55＝1515. 9.已知直线l 与抛物线C ：y 2＝8x 相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 并延长交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为________；若|TF |＝5，则|PQ |的值为________. 答案 16 252解析 抛物线的焦点为F (2，0)，设直线PQ 的方程为x ＝ny ＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋2，y 2＝8x消去x 并化简得y 2－8ny －16＝0，Δ＝64n 2＋64>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8n ，y 1y 2＝－16. 设抛物线在P 点处的切线方程为x ＝my ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝8x消去x 并化简得y 2－8my －8t ＝0，由Δ1＝64m 2＋32t ＝0，得t ＝－2m 2， 故y 2－8my ＋16m 2＝0，即(y －4m )2＝0， 所以y 1＝4m ，t ＝－y 218，所以抛物线在P 点处的切线方程为x ＝y 14y －y 218.同理求得抛物线在Q 点处的切线方程为x ＝y 24y －y 228. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 14y －y 218，x ＝y 24y －y 228，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y 28，y ＝y 1＋y 22，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4n ，也即两条切线的交点(－2，4n )在抛物线的准线x ＝－2上，故T (－2，4n ). 点T 到直线PQ ：x －ny －2＝0的距离 d ＝|－4n 2－4|n 2＋1＝4n 2＋1，|PQ|＝x1＋p2＋x2＋p2＝ny1＋4＋ny2＋4＝n(y1＋y2)＋8＝8n2＋8，所以S△PTQ＝12·|PQ|·d＝16(n2＋1)32，当n＝0时，△PTQ的面积取得最小值，为16.当|TF|＝5时，由两点间的距离公式得|TF|＝（－2－2）2＋（4n－0）2＝16n2＋16＝5，则16n2＋16＝25，所以|PQ|＝8n2＋8＝252.10.在三棱锥P-ABC中，PA＝BC＝5，PB＝AC＝13，PC＝AB＝10，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为________，三棱锥P-ABC的体积为________.答案45 2解析法一根据题意可将三棱锥P-ABC补形为长、宽、高分别为2，1，3的长方体PMAE-NCDB，如图所示.连接面对角线DE交AB于点R，则PC∥DE，易知∠ARE为锐角，所以∠ARE为异面直线PC与AB所成的角.在△ARE中，cos∠ARE＝RA2＋RE2－AE22RA·RE＝⎝⎛⎭⎪⎫1022＋⎝⎛⎭⎪⎫1022－122×102×102＝45，故异面直线PC与AB所成角的余弦值为45.V P-ABC＝V长方体－V A-CDB－V A-PEB－V A-PMC－V P-NCB＝3×2×1－4×13×12×2×1×3＝2.法二 根据题意可将三棱锥P-ABC 补形为长、宽、高分别为2，1，3的长方体PMAE-NCDB ，如图所示，以N 为坐标原点，NC ，NB ，NP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1，2，3)，B (0，2，0)，C (1，0，0)，P (0，0，3)， 所以AB→＝(－1，0，－3)，PC →＝(1，0，－3)， 所以cos 〈AB →，PC →〉＝AB →·PC →|AB →|·|PC →|＝－1×1＋（－3）×（－3）10×10＝45，故异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为45.V P-ABC ＝V 长 方体－V A-CDB －V A-PEB －V A-PMC －V P-NCB ＝3×2×1－4×13×12×2×1×3＝2.11.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝DB ＝10 cm ，AC ＝15 cm ，则点A 到平面BCD 的距离为________ cm ，该“鞠”的表面积为________ cm 2.答案 152 700π3解析 由已知得△ABD ，△CBD 均为等边三角形.如图，设球心为O ，△BCD 的中心为O ′，取BD 的中点F ，连接AF ，CF ，OO ′，OB ，O ′B ，AO ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD ，得BD ⊥平面AFC ，且可求得AF ＝CF ＝5 3 cm.而AC ＝15 cm ，所以∠AFC ＝120°.在平面AFC 中过点A 作CF 的垂线，与CF 的延长线交于点E ，由BD ⊥平面AFC ，得BD ⊥AE ，又BD ∩CE ＝F ，BD ，CE ⊂平面BCD ，故AE ⊥平面BCD . 过点O 作OG ⊥AE 于点G ，则四边形O ′EGO 是矩形，则O ′B ＝BC sin 60°×23＝10×32×23＝1033(cm)，O ′F ＝12O ′B ＝12×1033＝533(cm)，AE ＝AF sin 60°＝53×32＝152(cm)，故点A 到平面BCD 的距离为152 cm ，EF ＝AF sin 30°＝53×12＝532(cm). 设球的半径为R cm ，OO ′＝x cm ， 则由OO ′2＋O ′B 2＝OB 2，OG 2＋AG 2＝OA 2， 得x 2＋1003＝R 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋5332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152－x 2＝R 2， 解得x ＝5，R ＝1753.故三棱锥A-BCD 外接球的表面积 S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎫17532＝700π3(cm 2).12.牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种近似求解方程的方法.具体步骤如下：设r 是函数y ＝f (x )的一个零点，任意选取x 0作为r 的初始近似值，过点(x 0，f (x 0))作曲线y ＝f (x )的切线l 1，设l 1与x 轴交点的横坐标为x 1，并称x 1为r 的1次近似值；过点(x 1，f (x 1))作曲线y ＝f (x )的切线l 2，设l 2与x 轴交点的横坐标为x 2，并称x 2为r 的2次近似值.一般地，过点(x n ，f (x n ))(n ∈N )作曲线y ＝f (x )的切线l n ＋1，记l n ＋1与x 轴交点的横坐标为x n ＋1，并称x n ＋1为r 的n ＋1次近似值.设f (x )＝x 3＋x －1(x ≥0)的零点为r ，取x 0＝0，则r 的2次近似值为________；设a n ＝3x 3n ＋x n 2x 3n ＋1，n ∈N *，数列{a n }的前n 项积为T n ，若对任意n ∈N *，T n <λ恒成立，则整数λ的最小值为________.答案 34 2解析 f ′(x )＝3x 2＋1，则f ′(0)＝1，f (0)＝－1，所以l 1：y －(－1)＝x ，即l 1：y ＝x －1，则x 1＝1，则f ′(1)＝4，f (1)＝1，所以l 2：y －1＝4(x －1)，即l 2：y ＝4x －3，则x 2＝34，即r 的2次近似值为34.因为f ′(x n )＝3x 2n ＋1，f (x n )＝x 3n ＋x n －1，所以l n ＋1：y －(x 3n ＋x n －1)＝(3x 2n ＋1)(x －x n )，所以x n ＋1＝2x 3n ＋13x 2n ＋1， 且x 1＝1，则x n ＋1x n ＝2x 3n ＋13x 3n ＋x n ＝1a n ，即a n ＝x n x n ＋1， 所以T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ＝x 1x 2·x 2x 3·x 3x 4·…·x n x n ＋1＝x 1x n ＋1＝1x n ＋1. 易知函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，f (1)>0，所以函数f (x )的零点r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即12<x n ＋1<1，所以1<1x n ＋1<2，即1<T n <2，所以λ≥2，则整数λ的最小值为2. 13.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A ，B ，C 是球面上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB ︵，BC ︵，CA ︵，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC .已知地球半径为R ，北极为点N ，P ，Q 是地球表面上的两点.若P ，Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面△NPQ 的面积为________；若NP ＝NQ ＝PQ ＝263R ，则球面△NPQ 的面积为________.答案 29πR 2 πR 2解析 如图1，作出球的一条直径NN ′，由于P ，Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面△NPQ 的面积是月牙形NPN ′Q 面积的一半，且二面角P-ON-Q 为29π，所以月牙形NPN ′Q 的面积是球的表面积的19，从而球面△NPQ 的面积为29πR 2.如图2，作出球的直径NN ′，PP ′，QQ ′，则相应的球面三角形和月牙形的面积的关系为S 球面△NPQ ＋S 球面△Q ′NP ＝S 月牙形QNQ ′P ，S 球面△NPQ ＋S 球面△P ′QN ＝S 月牙形PNP ′Q ，S 球面△N ′P ′Q ′＋S 球面△Q ′NP ′＝S 月牙形NQ ′N ′P ′，三式相加得，2S 球面△NPQ ＋S 球面△N ′P ′Q ′＋S 球面△Q ′NP ＋S 球面△P ′QN ＋S 球面△Q ′NP ′＝S 月牙形QNQ ′P ＋S 月牙形PNP ′Q ＋S 月牙形NQ ′N ′P ′，由对称性知，S 球面△NPQ ＝S 球面△N ′P ′Q ′，所以3S 球面△NPQ ＋S 球面△Q ′NP ＋S 球面△P ′QN ＋S 球面△Q ′NP ′＝S 月牙形QNQ ′P ＋S 月牙形PNP ′Q ＋S 月牙形NQ ′N ′P ′.因为球面△NPQ ，球面△Q ′NP ，球面△P ′QN ，球面△Q ′NP ′恰好组成一个半球面，所以S球面△NPQ ＋S 球面△Q ′NP ＋S 球面△P ′QN ＋S 球面△Q ′NP ′＝2πR 2，所以2S 球面△NPQ ＋2πR 2＝S 月牙形QNQ ′P ＋S 月牙形PNP ′Q ＋S 月牙形NQ ′N ′P ′.设球心为O ，二面角N-QO-P ，二面角Q-OP-N ，二面角Q-ON-P 分别为α，β，γ，则S 月牙形QNQ ′P ＝α2π·4πR 2＝2αR 2，S 月牙形PNP ′Q ＝β2π·4πR 2＝2βR 2，由对称性知，二面角Q ′-ON-P ′等于二面角Q-ON-P ，所以S 月牙形NQ ′N ′P ′＝2γR 2.下面，我们求α，β，γ，如图3，由于NP ＝NQ ＝PQ ＝263R ，所以三棱锥O-NPQ 为正三棱锥，由对称性知，α＝β＝γ，作QT ⊥ON ，垂足为T ，连接PT ，则PT ⊥ON ，所以∠QTP ＝γ.因为NQ ＝263R ，OQ ＝ON ＝R ，所以在△OQN 中，由余弦定理得，cos ∠QON ＝OQ 2＋ON 2－QN 22OQ ·ON ＝－13，图3所以∠QON 是钝角，所以T 在NO 的延长线上.设OT ＝x ，则QT 2＝OQ 2－OT 2＝QN 2－NT 2，即R 2－x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫263R 2－(R ＋x )2， 解得x ＝13R ，所以QT ＝223R ，所以TP ＝223R ，所以QT ＝TP ＝33QP .在△QTP 中，由余弦定理得，cos ∠QTP ＝－12，所以∠QTP ＝23π(也可利用等腰三角形进行计算)，故α＝β＝γ＝23π，所以S 月牙形QNQ ′P ＋S 月牙形PNP ′Q ＋S 月牙形NQ ′N ′P ′＝4πR 2，球面△NPQ 的面积为πR 2.14.能说明“存在x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)，f (x )不是奇函数”为真命题的一个函数为________.答案 f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，x 2－1，x <0(答案不唯一) 解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，x 2－1，x <0，则存在x 0＝22，使得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，但f (x )不是奇函数(答案不唯一).15.若实数α，β满足方程组⎩⎨⎧1＋2cos α＝2cos β，3＋2sin α＝2sin β，则β的一个值是________. 答案 2π3⎝⎛答案不唯一，满足β＝2π3＋2k π（k ∈Z ） )或β＝2k π（k ∈Z ）中的一个即可解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋2cos α＝2cos β，3＋2sin α＝2sin β，得⎩⎪⎨⎪⎧2cos α＝2cos β－1，2sin α＝2sin β－3，所以(2cos β－1)2＋(2sin β－3)2＝4，则4－4cos β－43sin β＋4＝4，即3sin β＋cos β＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝12， 则β＋π6＝π6＋2k π或β＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )，所以β＝2k π或β＝2π3＋2k π(k ∈Z )，这里只需写出一个即可.16.函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量c ＝a ＋b ，而c 所对应的函数值f(c)可以通过f(c)＝f(a)·f(b)得到，并且对另一个量d，若d>c，则都可以得到f(d)>f(c).根据自己所学的知识写出一个能够反映f(c)与c的函数关系式：________.答案f(c)＝2c(答案不唯一)解析若f(x)＝2x，则得f(c)＝2c，f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b.因为c＝a＋b，所以2c＝2a＋b，则f(c)＝f(a)·f(b)成立①.又由f(x)＝2x在R上是增函数，且d>c，则f(d)>f(c)成立②.结合①②得f(c)与c的函数关系式可以为f(c)＝2c.。

⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。