河北省定州中学2015-2016学年高二数学(理)下学期期中试题(含解析)AwnUqP

河北定州中学高二期中考试数学（理）试题评卷人 得分一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．已知f(sinx+cosx)=tanx （x ∈[0,π]），则f (713)等于 A .－125 B. －512 C. ±125 D. －125或－5122．已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π3．如图，在菱形ABCD 中，下列式子成立的是 （ ）A ．AB CD =u u u r u u u r B.AB BC =u u u r u u u r C.AD CB =u u u r u u u r D.AD BC =u u u r u u u rCD AB4．将函数2sin 2y x =的图像向右平移π6个单位后，其图像的一条对称轴方程为 ( ) A ． π3x = B ． π6x = C ． 5π12x = D ． 7π12x =5．将函数的图象向左平移个单位得到y=g （x ）的图象，若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，|x 1﹣x 2|min =，则φ的值是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数f （x ）=Asin （ωx+α）（其中A ＞0，|α|＜）的图象如图所示，为了得到g （x ）=sin2x 的图象，则只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向左平移个长度单位7． 函数f （x ）＝Asin （ωx＋φ）（其中A>0，|φ|<2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝cos2x 的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度8．已知α、β都是第二象限角，且cos α>cos β，则（ ）A ．α<βB ．sin α>sin βC ．tan α>tan βD ．cot α<cot β9．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数 D ．)1(+x f 一定是偶函数10．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，4b =r且2a b ⋅=r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）A ．030 B ．045 C ．060 D ．09011．已知O 为ABC ∆所在平面上一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则O 为ABC ∆的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心12．已知ABC ∆是腰长为2等腰直角三角形，D 点是斜边AB 的中点，点P 在CD 上，且12CP PD =u u u r u u u r,则PA PB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．34-B ．109- C ．0 D ．4评卷人 得分二、填空题：共4题 每题5分 共20分13．设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0，其中正确的是_____________________________。

14．已知△ABC 的重心为G,若=m,=n,则= .15．如图，在ABC ∆中，若2BE EA =u u u r u u u r ，2AD DC =u u u r u u u r， ()DE CA BC λ=-u u u v u u u v u u u v ，则实数=λ ．16．已知)0()3cos(326≠=+<<m m παπαπ，，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ32tan ________．评卷人 得分三、解答题：共8题 共70分17．求函数2213()sin cos sin 22f x x x x =++. (1) 求)(x f 的周期与值域；（2）求)(x f 在[]π,0上的单调递减区间.18．如图，在平面直角坐标系2m ∴=±中，以max 11()1222f x ∴=+-=-轴的非负半轴为始边作两个锐角262x ππ+=、6x π=，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.（1）cos α，cos β的值 （2）求cos()αβ+的值 19．（本小题满分12分）已知函数21()54ln 2f x x x x =-+ （1）求'()y f x =（2）求函数()f x 的单调区间20．设函数22()2cos 21f x x x a a =++--，（a R ∈）（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值．21．（本小题满分12分）设向量)(),sin ,cos ,sin ,0,2a x x b x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭其中.（1）若向量//a b ，求x 的值；（2）设函数()()(),f x a b b f x =+⋅求的最大值.22．已知912cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-βα，322sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα；且παπ<<2，20πβ<< 求2cos βα+23．(本小题满分12分)已知),2(ππα∈，且sincos22αα+=． （Ⅰ）求αcos 的值；（Ⅱ）若53)sin(-=+βα，)2,0(πβ∈，求βsin 的值．24．在边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60A ，E 是线段CD =，如图.设=，=.（1）用、表示BE ；（2）在线段BC 上是否存在一点F 满足BE AF ⊥？若存在，判定F ；若不存在，请说明理由参考答案 1．A【解析】略 2．C 【解析】试题分析：根据已知可得：2.2.3a b a a b -=⇒=r r r r r，所以.1cos ,2.a b a b a b ==r rr r r r ，所以夹角为3π，故选择C考点：向量的运算 3．D【解析】解：利用菱形的性质可知，第一问中方向不同，错误；选项B 中显然不共线，因此错误。

AD BC =u u u r u u u r,因此C 不对；只有D 正确。

4．C【解析】将函数2sin 2y x =的图像向右平移π6个单位后所得函数为2sin 2()2sin(2)63y x x ππ=-=-，令2()32x k k Z πππ-=+∈，所以5();212k x k Z ππ=+∈50,;12k x π==故选C5．B 【解析】试题分析：先求得g （x ）的解析式，根据题意可得两个函数的最大值与最小值的差为2时，|x1﹣x2|min=．不妨设 x1=，此时 x2 =±．检验求得φ的值．解：将函数的图象向左平移个单位得到y=g （x ）=sin[2（x+φ）+]=sin （2x+2φ+）的图象，对满足|f （x1）﹣g （x2）|=2的x1、x2，|x1﹣x2|min=， 即两个函数的最大值与最小值的差为2时，|x1﹣x2|min=．不妨设 x1=，此时 x2 =±．若 x1=，x2 =+=，则g （x2）=﹣1，sin2φ=1，φ=．若 x1=，x2 =﹣=﹣，则g （x2）=﹣1，sin2φ=﹣1，φ=，不合题意，故选：B ．考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 6．A 【解析】试题分析：由函数图像可知171,,241234A T T ππππω==-=∴== ()()sin 2033f x x f ππαα⎛⎫∴=+=∴= ⎪⎝⎭Q ()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，需将()f x 向右平移6π个单位考点：1．三角函数图像与解析式；2．图像平移7．D【解析】由题意，得431274,1πππ=-==T A ,πωπ=∴2,2=ω,即)2sin()(ϕ+=x x f ； 代入⎪⎭⎫⎝⎛-1,127π，得2367πϕπ=+，即3πϕ=，所以)32sin()(π+=x x f ； 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+==3)12(2sin )22sin(2cos )(πππx x x x g ；所以为了得到g （x ）＝cos2x 的图象，则只要将f （x ）的图象向左平移12π个单位长度．考点：三角函数的图像与性质、三角函数的图像变换． 8．B【解析】在第二象限角内通过余弦函数线cos α>cos β找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B 。

9．D【解析】∵)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值 ∴)1(+x f 在x =0处取最大值, 即y 轴是函数)1(+x f 的对称轴 ∴函数)1(+x f 是偶函数 10．C 【解析】试题分析：根据夹角公式21412cos =⨯==b a b a ϖϖϖϖθ，所以夹角是060考点：向量数列积的性质 11．C 【解析】试题分析：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 所以移项可得：()OB OC OA OB AC ⋅-=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r所以OB AC ⊥u u u r u u u r ；同理可 知OC AB ⊥u u u r u u u r ，OA BC ⊥u u u r u u u r .考点：向量的运算，向量的垂直. 12．B 【解析】 试题分析：→→→-=CPCA PA ,→→→-=CP CB PB ,所以2220→→→→→→→→→→→→→→→+⋅-=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅CP CP CD CP CP CB CA CB CA CP CB CP CA PB PA ,又因为→→=CD CP 31,所以代入后得到910959131222-=-=+⋅-=⋅→→→→→→CD CD CD CD PB PA ．考点：1．向量数列积的计算；2．向量的四则运算；3．共线向量．13．② 【解析】1717sin 0,cos 01818MP OM ππ=>=< 14．m-n【解析】延长CG 交AB 于D,则==(+)=m-n.15．13【解析】试题分析：如图，在ABC ∆中，()212111333333DE DA AE CA AB CA AC CB CA BC =+=+=++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r()13CA BC =-u u u r u u u r ，所以1=3λ考点：向量的加减运算；16．mm 21--．【解析】 试题分析：326παπ<<Θ，ππαπ<+<∴32，由()03cos ≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m πα，⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴3cos 13sin 2παπα21m --=，m m 213cos 3sin 3tan --=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴παπαπα， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴αππαπ32tan 32tan m m 213tan --=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πα． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的诱导公式．【方法点睛】本题考查的是三角函数公式中的变换，属于中档题，当已知角有两个时，一般把所求角表示为两个已知角的和或差的形式；当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的形式，然后应用诱导公式把所求角变成已知角，常见的互余关系有απ-3与απ+6；απ-4与απ+4，常见的互补关系有θπ-3与θπ+32，θπ-4与θπ+43． 17．1）221311cos 2331()sin cos sin 2(1sin 2)sin(2)24222426x f x x x x x x π+=++=++=++ ,T ππππ∴=152值域为[,],(2)[0,]上减区间为[,]4463【解析】略 18．（1）cos 10α=，25cos 5β=，（2）3- 【解析】试题分析：解：（1）由已知得cos 10α=，25cos 5β=， 4分 (2)∵α，β为锐角， ∴272sin 1cos 10αα=-=，25sin 1cos 5ββ=-=， 7分∴sin tan 7cos ααα==，sin 1tan cos 2βββ==. 9分 ∴17tan tan 2tan()311tan tan 172αβαβαβ+++===---⨯ 12分 考点：任意角的三角函数点评：解决的关键是根据任意角的三角函数的定义来得到三角函数值，进而化简求解，属于基础题。