北邮数理方程 06级数学物理方法(A卷)

国外数理方程较好的书《数学物理方法》是一本国外数理方程方面的经典教材，它由海因斯·维尔赫（Heinz-Otto Peitgen）、弗雷德·索尔兹伯格（Fred H. Rolfsen）和国际著名科学家彼得·伦克斯（Peter Lennartson）共同编写。

这本书以其内容的生动性、全面性和指导意义而闻名。

该书通过数学物理方法探索了线性和非线性方程的理论和应用方面。

它从基本的数学概念开始，涵盖了微分方程、偏微分方程、泛函分析、变分法、哈密顿力学、波动方程、热方程、椭圆方程等各类数理方程。

每个章节都以清晰的风格和易于理解的例子展示了各种数学物理概念，以帮助读者建立全面的理论基础。

该书的生动性主要体现在作者巧妙地将数学物理方法和实际问题相结合。

通过丰富的实例，作者演示了数学物理方法的实际应用。

例如，他们利用微分方程来解释自然界的一些现象，如天体运动、弹簧振动、电路中的电流等，这种将抽象的数学理论与实际问题联系起来的方法使读者更容易理解和应用所学知识。

全面性则体现在该书深入探讨了数理方程领域的各个方面。

从基础概念到高级技巧，从线性到非线性，从定解问题到边界值问题，该书涵盖了数理方程的方方面面。

读者可以系统地理解和学习各种数理方程的性质、解法和应用，具备独立解决实际问题的能力。

该书的指导意义在于，它为读者提供了宝贵的学习资源和实践指导。

每章后都附有练习题和习题解答，帮助读者检验和巩固所学知识。

此外，书中还提供了丰富的数学物理方法的应用实例和研究前沿，激发了读者进一步探索数理方程的兴趣和热情。

总之，《数学物理方法》是一本在国外备受赞誉的数理方程教材。

它以其生动的内容，全面的涉及以及指导性的意义而成为这一领域的经典之作。

无论对于从事数学物理研究的专业人士还是对于数理方程有兴趣的读者而言，这本书都是一次宝贵的学习和探索机会。

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v vx y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数学物理方法参考答案数学物理方法参考答案数学物理方法是一门综合性的学科，它将数学和物理相结合，通过数学方法来解决物理问题。

在物理学的研究中，数学方法起到了至关重要的作用。

本文将为读者提供一些数学物理方法的参考答案，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、微积分微积分是数学物理方法中最基础也是最重要的一部分。

它包括了导数、积分和微分方程等内容。

在物理学中，微积分可以用于描述物体的运动、求解力学问题、计算电磁场等等。

下面是一些常见的微积分问题的参考答案：1. 求解函数的导数：对于一个函数f(x)，求它的导数f'(x)。

可以使用导数的定义，即f'(x) =lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。

也可以使用求导法则，如常数法则、幂法则、指数函数法则、对数函数法则等。

2. 求解定积分：对于一个函数f(x)，求它在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx。

可以使用定积分的定义，即将区间[a, b]划分为若干小区间，然后对每个小区间求和，再取极限。

也可以使用定积分的性质，如线性性、区间可加性、换元积分法等。

3. 求解微分方程：对于一个微分方程，求它的通解或特解。

可以使用常微分方程的解法，如变量分离法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。

也可以使用偏微分方程的解法，如分离变量法、特征线法、变换法等。

二、线性代数线性代数在数学物理方法中也扮演着重要的角色。

它包括了矩阵、向量、线性方程组等内容。

在物理学中，线性代数可以用于描述物体的旋转、变换、矢量运算等。

下面是一些常见的线性代数问题的参考答案：1. 求解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，求它的解x。

可以使用高斯消元法，将线性方程组转化为阶梯形或行最简形，然后逐步求解。

也可以使用矩阵的逆，即x=A^(-1)b。

2. 求解特征值和特征向量：对于一个矩阵A，求它的特征值和特征向量。

可以使用特征方程，即det(A-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。

北京邮电大学2017-2018学年第一学期《数学物理方法》期末试题（A ）注：本试卷有 六 道大题。

答题时，写清题号，不必抄题。

所有答案写在答题纸上，否则不计成绩。

一、解答下列各题（每题6分，共30分）1、长度为l 的均匀细杆，一端温度保持为1T ，另一端绝热，初始温度分布为()T x ，试写出杆上温度分布(),u x t 所满足的定解问题。

2、一根长度为l 的均匀细弦，两端固定，弦的初始位移为()(),0,h x x c c x h l x c x l l cϕ⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪-⎩，初始速度是0，试写出弦的位移函数(),u x t 所满足的定解问题。

3、求下列本征值问题的本征值和本征函数()()()()0,00,0.X x X x X X l λ''+=⎧⎪⎨'==⎪⎩4、用达朗贝尔公式求解下列定解问题()()()20,0,,0sin ,,0.tt xx t u a u x t u x x u x x ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩ 5、计算112018201811()?,()()?n xP x dx P x P x dx --==⎰⎰二、试证明微分方程()()()()()22200,1,2,R R m R m ρρρρλρρ'''++-==通过变换x =可以化成标准Bessel 方程()()()()2220x R x xR x x m R x '''++-=。

（8分）三、将Legendre 方程()2(1)210x y xy l l y '''--++=化成Sturm-Liouville 形式，并写成其核函数和权函数。

（8分） 四、 求解下列定解问题()()()222000,0,|0,|00,|0.x x x x l t u u a x l t t x u u t u x x l ===⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪=<<⎪⎪⎩ （20分）五、半径为a 高为h 的圆柱体，上底的电势分布为常数A ，下底和侧面的电势保持为零，求柱体内的电势分布。

北京邮电大学2006年硕士研究生入学试题考试科目：信号与系统（A ）请考生注意：所有答案（包括选择题和填空题）一律写在答题纸上，写清题号，否则不计成绩。

计算题要算出具体答案，可以用计算器，但不能互相借用。

一、 单项选择题（本大题共7小题，每题3分共21分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。

1.与)4(2-t δ相等的表达式为： 【 】A ： )2(21-t δ B ：()[]2)2(21++-t t δδC ： )2(41-t δ D ：[])2()2(41++-t t δδ2.求信号()t f 的傅里叶变换为)2(51++ωj ，则()t f 为： 【 】A ： ()t u etj )25(-- , B ： ()t u e t j )25(+-, C ：tj e)25(-- ， D ： t j e )25(+-。

3.信号()()()11++=t u t t f 的单边拉普拉斯变换为 【 】A ：s e s s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+112，B ：s s 112+，C ：s e s s -⎪⎭⎫ ⎝⎛+112，D ：s e s 214. 如图所示信号()t f 1的傅里叶变换()⎪⎭⎫⎝⎛=ωττω4Sa 2A j F 已知，则信号()t f 2的傅里叶变换为 【 】tA ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ωττ4Sa 22E B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ωττ2Sa 22E C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ωττ4Sa 42E D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ωττ4Sa 22A 5. 连续时间已调信号()()t t t f 50100sin =，根据抽样定理，要想从抽样信()f t s 中无失真地恢复原信号()f t ，则最低抽样频率S ω为： 【 】 A: s rad /400 B: s rad /200 C: s rad /100 D: s rad /506. 已知一双边序列⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,30,2)(n n n x nn ,其Z 变换为 【 】A:)3)(2(---z z z , 2<|z |<3 B: )3)(2(---z z z, |z |≤2,|z |≥3C: )3)(2(--z z z , 2<|z |<3 D: )3)(2(1---z z , 2<|z |<37. 求信号()6cos 24sinππn n n x -=的周期为： 【 】A ：24 ，B ：12 ，C ：8 ，D ： 24π二、填空题（本大题共9小题，每题3分共27分）不写解答过程，写出每小题空格内的正确答案。

数学物理方法习题答案数学物理方法习题答案数学物理方法作为一门重要的学科，是自然科学中的基础学科之一。

它的研究对象是自然界中的现象和规律，通过数学的方法来描述和解释这些现象和规律。

在学习数学物理方法的过程中，习题是不可或缺的一部分。

下面我将为大家提供一些数学物理方法习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 求解微分方程：dy/dx = x^2 + y^2解：将方程改写为dy/(x^2 + y^2) = dx，然后对两边同时积分得到：arctan(y/x) = x + C其中C为积分常数。

将等式两边同时取正切，得到：y/x = tan(x + C)即为所求的解。

2. 求解偏微分方程：∂u/∂t = a^2(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)解：假设u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)，将其代入方程得到：X(x)Y(y)T'(t) = a^2(X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y))整理得到：T'(t)/a^2T(t) = X''(x)/X(x) + Y''(y)/Y(y)由于等式两边只依赖于不同的变量，所以必须等于同一个常数，设为-k^2。

于是得到三个常微分方程：T'(t)/a^2T(t) = -k^2X''(x)/X(x) = -k^2Y''(y)/Y(y) = -k^2解这三个方程，得到：T(t) = C1e^(-a^2k^2t)X(x) = C2sin(kx) + C3cos(kx)Y(y) = C4sin(ky) + C5cos(ky)将三个方程的解合并，得到原方程的通解：u(x, y, t) = Σ[C1e^(-a^2k^2t)][C2sin(kx) + C3cos(kx)][C4sin(ky) + C5cos(ky)]其中Σ表示对k的求和。

北京邮电大学2007-2008学年第一学期《数学物理方法》期末试题（A 卷）答案与评分标准一、填空题：（每小题5分，共30分） 1、Laplace 变换的定义是（()0pt f t e dt ∞-⎰（2分））；线性函数x at b =+的Laplace变换是（2a bp p+）（3分）。

2、()10()()dxJ x xJ x dxαα=⎡⎤⎣⎦（4分）。

3、函数系{})(x f n 是正交系，指的是（()()()0b n k af x f x dx n k =≠⎰）（5分）。

4、在一般情况下，一个数学物理方程的边界条件有（三（2分））类，写出相应的表达式：()()()()()()123;;.uu f M M f M M n u u f M M n α∂Ω∂Ω∂Ω∂=∈∂Ω=∈∂Ω∂∂⎛⎫+=∈∂Ω ⎪∂⎝⎭第一：第二：第三：（6分）。

5、写出三种典型方程的最简形式：波动方程（22222u u a t x ∂∂=∂∂）；热传导方程（222u u a t x ∂∂=∂∂）；Laplace 方程（22220u ux y∂∂+=∂∂）（每个2分）。

6、)(x P n 为n 阶Legendre 多项式，则(1)(1),n P =()(1)(1)nn P -=-（2分）。

二、求解下列本征值问题的本征值和本征函数。

2'''22()()()()0,()0,|(0)|.r R r rR r r m R r R a R μ⎧++-=⎨=<∞⎩ （10分） 解 问题的通解是))()m mm mR r A J B Y =+ （2分）由|(0)|R <∞，得0,m B = （2分）再由()0R a =，得本征值为()()21,2,m nmnx n a μ⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （3分）其中()m n x 为第一类Bessel 函数()m J x 的第n 个零点；本证函数是()()m n n m m x R r A J r a ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭。

2006级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、 1.D1(1)()X uu uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C注释：参考课本第8页 3.A注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确 ？B 项是否正确 4.B注释：参考课本86页 5.A 二、1. 1.33(或者填13591024)2．25注释：参考课本86页3. 0.254. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p)设（X+Y ）～B(n,P),则有E(X+Y)=7p=nPD(X+Y)=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6.0.3522(35)112(35)9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X DX X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关 三、A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”； 取出的产品是甲厂生产的” 取出的产品是乙厂生产的” 取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A ) =0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8X EX -⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯= 五、10500022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)()221111(3[(1)][(1)]2222_____012xx xx x x x x x e x f x e x e x F x e x P X e e x e dx x e dx x e x e EX x e dx x ----∞--+∞-∞-∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅=-+--==⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=202021211___[22][22]222(2x x x x x x x e dxx e xe e x e xe e DX EX ∞----+∞-∞=-++---==-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.025200050{50}ii i i i i i ii X i X U EX DX b X U a b EX DX b a Y X Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=<=∑ 设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则(25.8)<=Φ？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b a b aba x ab y b a x ax ab y by bEX x dx EY y dy a b ππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f其它222222222222,2424,3344()25,()4332(3),22()()a b a b a b EX x dx EY y dy a b a b DX EX EX DY EY EY a b a x a b y b x y a b πππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(x z z Z dx ze dx e e F z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>1。

数学物理方法复习题答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 以下关于复数的表述中，错误的是：A. 复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位B. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等C. 复数的模是实部和虚部平方和的平方根D. 复数的共轭是将虚部的符号改变答案：D2. 傅里叶级数展开中，函数f(x)在区间[-L, L]上的傅里叶系数an的计算公式为：A. \(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)B. \(\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)C. \(\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)D. \(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)答案：C3. 以下哪个函数是偶函数：A. \(e^x\)B. \(\sin(x)\)C. \(x^2\)D. \(\cos(x)\)答案：C4. 拉普拉斯变换的定义是：A. \(F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)B. \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)C. \(F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{st} f(t) dt\)D. \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{st} f(t) dt\)答案：A5. 以下哪个积分是不定积分：A. \(\int e^x dx\)B. \(\int \frac{1}{x} dx\)C. \(\int \sin(x) dx\)D. \(\int \cos(x) dx\)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 复数 \(3 + 4i\) 的模是 ________。

天津师范大学成人高等学历教育考试试卷（A 卷）2011-2012 学年度第 二 学期考试科目： 数学物理方法 班级： 20 级物理学 姓 名 ： 学号：题号 一二三四五六七八 总分分数一、 填空题：（每空3分，共计36分）1. 计算Lni = 。

2．复数 22z i =- 用三角式表达为 。

3. 1nn z n∞=∑的收敛半径为 。

4．复变函数可导的必要条件为 。

5. 若=→)(lim 0z f z z 有限值，则0z 作为孤立奇点的类型为 ，若∞=→)(lim 0z f z z ，则0z 作为孤立奇点的类型为 ，若)(lim 0z f z z →不存在，则0z 作为孤立奇点的类型为 。

6. 对于21()1f z z =+,R e ()z i s f z == 。

7．积分31cos z zdz z =⎰值为 。

8．由拉普拉斯变换的定义,可得[]at L e = 。

9. 写出勒让德微分方程 ，勒让德多项式的正交性关系式为 。

二、计算题(共44分)1．计算 8)i 1(+（本题6分）2．验证23(,)3,u x y x y y =-是平面上的调和函数，并求以它为实部的解析函数,已知 ()1f i -=。

（本题9分）得分 评卷人得分 评卷人3．计算211c I dz z =-⎰，其中C 是圆周2z =（本题10分）4．将函数1()(1)(2)f z z z =--分别在1z <和12z <<内展成罗朗级数.（本题12分）5. 计算积分22;0112cos d I p p p πθθ=<<-+⎰（本题7分）三、求下列定解问题的解（本题共2小题，共20分）1. 用分离变量法求解混合问题（本题10分）2,(0,0)(0,)(,)0,(0)(,0)(),(,0)()(0)tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩2. 用分离变量法求下面定解问题的解。

《数学物理方法》考试要求（数理方程部分）定解问题的建立：能直接写出：常见的偏微分方程（波动、振动方程；输运方程；稳定场方程）；定解条件（第一类、第二类、第三类边界条件；初始条件；衔接条件；自然边界条件、周期条件）Laplace算符直角坐标、平面极坐标、柱坐标、球坐标系（直接写出）行波法：d’Alembert 公式（熟记）分离变量法：Helmholtz 方程及Poisson方程的分离变量（正确选择坐标系）直角坐标、平面极坐标、柱坐标、球坐标系（直接写出）自然条件（有界条件、周期条件、及无穷远条件）的引入熟练掌握分离变量法@ 齐次方程、齐次边界条件（分离变量法；傅氏级数法）@ 非齐次方程、齐次边界条件广义傅氏级数法（本征函数展开法）简单非齐次方程的特解@ 非齐次边界条件（分离变量结果参见梁昆淼著《数学物理方法》第三版P.236 列表）Sturm-Liouville型方程的本征值问题本征值问题的存在性、正交性（正交权重）、完备性利用正交性确定叠加系数（会用）常见的常微分方程本征值问题的解（直接写出）常见定解问题的解（直接写出）球函数Legendre方程（熟记）Legendre方程的本征值问题（熟记）Legendre多项式的表达式（前几个熟记）Legendre多项式的特殊值P l (±) （熟记）Legendre多项式的奇偶性、正交性、模方（熟记）Legendre多项式的递推关系函数按Legendre多项式展开（公式熟记）Legendre多项式的应用连带Legendre函数（熟记）涉及连带Legendre函数的计算——转化为Legendre多项式球谐函数柱函数Bessel方程（熟记）Bessel方程的线性无关解Bessel函数（熟记）Bessel函数的应用Neuman函数球Bessel方程及函数Green函数法Green函数的概念（列出定解问题）几种简单Green函数的形式及求法。

重庆邮电大学2009—2010学年第 一 学期专业：微电子、光信息、电子科学技术及强化类 年级：2008年级课程名： 数学物理方法 （A 卷） 考核方式：闭卷一 填空(2分×15空=30分) 1. z 满足 410z i ++=，且z 在第三象限，则z =___________________。

2. 已知coth z z z z e e z e e --+=-，则(coth )'z =____________________________。

3. 某函数作Fourier 级数展开时，得到一系数sin 2A x xdx ππ-=⎰，于是A =__。

4. 0lim tan z z z →=____________。

5. tan()i =__________。

6. i i = 。

7. 积分2|3|C z dz -=⎰ , 其中C 是正向圆周2z =。

8. 22()cos x xdx δπ∞-∞-=⎰_______________________________________。

9. 函数()f x 在区间(0,1)上满足()f x x =，除此之外为0，那么该函数的复Fourier f ()i x x e dx ω∞--∞=_____________________________。

10. 级数1(1)n n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑的收敛性为 。

11. 幂级数20(1)n n n i z ∞=+∑的收敛半径是___________________。

12. 普通班同学任选一小题,强化班同学做第2小题1) 已知iy x z +=,22()2f z x y xyi =-+,则=)(/z f 。

2) 已知iy x z +=,222222()x y xyi f z x y --=+（）,则=)(/z f 。

13. 函数(1)(2)z z z ++在2z =-处的洛朗展开式为__________________________________。

安徽大学2011—2012学年第一学期《 数理方法 》考试试题A 卷参考答案及评分标准一、填空题（每空2分，共26分）1. )2622(i +± （写出一个1分） 2. )2222(3i e +- 3. π2i ， 04. 1， 1=z5. ∑∞-=+2)!2(n n n z 或∑∞=-02!n n n z 或∑∞=02!1n n n z z ， 1 6.ωωτsin 2 7. s 1， 2222+s 8. ,2,01,)(2==n l n n πλ， ,2,1,0,sin =n x ln π二、简答题（第1题6分，第2题8分，共14分）1． 答： 偏导数x y x u ∂∂),(，y y x u ∂∂),(，x y x v ∂∂),(，yy x v ∂∂),(在点iy x z +=处存在、连续（或可微）， 且满足柯西-黎曼条件：y y x v x y x u ∂∂=∂∂),(),(，xy x v y y x u ∂∂-=∂∂),(),( 2．答：如果)(z p 和)(z q 在0z 点的邻域内解析， 0z 为方程的常点 如果)()(0z p z z -和)()(20z q z z -在0z 点的邻域内解析，0z 为正则奇点 在常点0z 的邻域内方程存在唯一的解析解，可表示为泰勒级数：∑∞=-=00)()(n n n z z a z w在正则奇点0z 的邻域内方程至少存在一个如下形式的级数解：n n n z z az z z w )()()(000∑∞=--=ρ三、证明题（共10分）证明：卷积)()(x g x f *的拉氏变换为：⎰⎰⎰∞-∞--=*=*000])()([)()()]()([dx e d g x f dx e x g x f x g x f L sx xsx τττ 交换积分顺序可得：⎰⎰⎰⎰∞∞-∞--=-=*000])()[(])()([)]()([τττττττd dxe xfg dx e d g x f x g x f L sx sx x 在上式中作变量替换t x =-τ，则有：)()()()(])()[(0000)(s g s f dt e t f d e g d dt e t f g st s t s ⋅==⎰⎰⎰⎰∞--∞∞∞+-ττττττ四、计算题（第1、2，3题各8分，第4题14分，第5题12分，共50分）1．解： 函数3cos zz 在圆周1=z 内只有0=z 一个三阶极点 可得留数：21]cos [)!13(1lim ]0,cos [Re 332203-=-=→zz z dz d z z s z 由留数定理可得：ππi z z s i dz z z z -==⎰=]0,cos [Re 2cos 313 2. 解： )(cos )(cos cos 22)(22002θθθθP A P A u +=+=)1cos 3(21cos 222202-+=+θθA A 比较系数可得：34,3820==A A3. 解：令t x =2，)()2()(t g t y x y ==，则原方程可化为： 0)(])53([)()(222=-+'+''t g t t g t t g t 上式为53阶贝塞尔方程，其两个线性独立的第一类贝塞尔函数解为： )()(531t J t g =， )()(532t J t g -=所以原方程的两个线性独立的第一类贝塞尔函数解为：∑∞=+++Γ-==0253531)22()153(!)1()2()(k k k x k k x J x y ∑∞=+--++-Γ-==0253532)22()153(!)1()2()(k k k x k k x J x y 4．解：应用分离变量法，设)()(),(t T x X t x u =，分别代入泛定方程和边界条件可得：① ⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0)()(l X X x X x X λ ② 0)()(2=+'t T a t T λ① 式的本征值为),2,1,0(,)(2 ==n l n n πλ，本征函数为x ln A x X n n πsin )(= ② 式的本征解为：t l a n n n e B t T 2)()(π-= 原问题的本征解为：x ln e C t T x X t x u t l a n n n n n ππsin )()(),(2)(-==，其中n n n B A C =为待定常数。