北邮数学物理方法18-19期末试题B

物理试卷参考答案1解：理想气体分子的能量RT i E 2υ=平动动能 3=t 5.373930031.823=⨯⨯=t E J 转动动能 2=r249330031.822=⨯⨯=r E内能5=i 5.623230031.825=⨯⨯=i E J 2解： ∵ xv v t x x v t v ad d d d d d d d ===分离变量： x x adx d )62(d 2+==υυ两边积分得c x x v ++=322221 由题知，0=x时，100=v ,∴50=c∴ 13s m 252-⋅++=x x v3.解：∵ t tva 34d d +==分离变量，得 t t v d )34(d +=积分，得 12234c t t v ++=由题知，0=t,00=v ,∴01=c故 2234t t v +=又因为 2234d d t t t x v +== 分离变量， t t t x d )234(d 2+=积分得 232212c t t x ++=由题知 0=t,50=x ,∴52=c故 521232++=t t x所以s 10=t 时m70551021102s m 190102310432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+⨯=-x v4. )由题知，0=t时，00=φ，t t =时 3,0,20πφ=<+=t v A x 故且 ∴ s 322/3==∆=ππωφt 5)222υυ+=u 52202=+=υυu m/s=4.47υυθ00)90tan(=-2142== 6）由图知，0=t时，0,2<-=P P v A y ，∴34πφ-=P (P 点的位相应落后于0点，故取负值) ∴P 点振动方程为)3410cos(1.0ππ-=t y p∵ πππ34|3)10(100-=+-=t x t ∴解得 67.135==x m Y=-1/2M 7) 解： bt v tsv -==0d dRbt v R v a b tva n 202)(d d -==-==τ则 240222)(R bt v b a a a n-+=+=τ8）又 11x k F A∆= 22x k F B ∆=Mg F F B A ==弹性势能之比为12222211121212k kx k x k E E p p =∆∆=二．填空题答案1）解: m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有222121MV mv mgR +=又下滑过程，动量守恒，以m ,M 为系统则在m 脱离M 瞬间，水平方向有0=-MV mv联立，以上两式，得()M m MgRv +=22）正比3）v v nf d )(：表示分布在速率v 附近、速率区间dv 内的分子数密度 4)⎰21d )(v v v v Nf ：表示分布在21~v v 区间内的分子数5) 卡诺热机效率121T T -=η%7010003001=-=η6）W E Q+∆=7) E=1/2KA 2 8）书P144 三．计算题解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 222s h l+=将上式对时间t 求导，得tss t l l dd 2d d 2= 题1-4图根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，∴ ts v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳即 θcos d d d d 00v v s lt l s l t s v ==-=-=船或 sv s h s lv v 02/1220)(+==船将船v 再对t 求导，即得船的加速度322d d sv h t v a ==船2）解：由题图(a)，∵0=t时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ即 1s rad 2-⋅==ππωT故 m )23cos(1.0ππ+=t x a由题4-8图(b)∵0=t 时，35,0,2000πφ=∴>=v A x 01=t 时，22,0,0111ππφ+=∴<=v x又 ππωφ253511=+⨯=∴ πω65=故 m t x b )3565cos(1.0ππ+= 3）解: (1)射入的过程对O 轴的角动量守恒ωθ2000)(sin R m m v m R +=∴ Rm m v m )(sin 000+=θω(2)020*********sin 21])(sin ][)[(210m m m v m R m m v m R m m E E k k +=++=θθ4）解：由abc 过程可求出b 态和a 态的内能之差 W E Q+∆=224126350=-=-=∆W Q E Jabd过程，系统作功42=WJ26642224=+=+∆=W E Q J 系统吸收热量ba 过程，外界对系统作功84-=A J30884224-=--=+∆=W E Q J 系统放热5）解：(1)从图上可得分布函数表达式⎪⎩⎪⎨⎧≥=≤≤=≤≤=)2(0)()2()()0(/)(00000v v v Nf v v v a v Nf v v v av v Nf ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)2(0)2(/)0(/)(00000v v v v v Na v v Nv av v f )(v f 满足归一化条件，但这里纵坐标是)(v Nf 而不是)(v f 故曲线下的总面积为N，(2)由归一化条件可得⎰⎰==+0002032d d v v v v N a Nv a N v v avN(3)可通过面积计算 N v v a N 31)5.12(00=-=∆(4) N 个粒子平均速率⎰⎰⎰⎰+===∞∞00202d d d )(1d )(v v v v av v v av v v vNf Nv v vf v02020911)2331(1v av av N v =+=(5)05.0v 到01v 区间内粒子平均速率⎰⎰==0005.0115.0d d v v v v NNv N N N Nv v ⎰⎰==00005.05.00211d d )(v v v v v Nv av N N v v vf N N 2471)243(1d 12103003015.002100av N v av v av N v v av N v v v =-==⎰ 05.0v 到01v 区间内粒子数N av v v a a N 4183)5.0)(5.0(210001==-+=9767020v N av v ==6）解: (1)如题5-11图(a)，则波动方程为])(cos[0φω+-+=uxu l t A y 如图(b)，则波动方程为])(cos[0φω++=uxt A y(2) 如题5-11图(a)，则Q 点的振动方程为])(cos[0φω+-=ubt A A Q如题5-11图(b)，则Q 点的振动方程为])(cos[0φω++=ubt A A Q。

保密★启用前2018-2019学年第一学期期末考试《高等数学BⅠ》考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。

2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)考生教学号考生姓名《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 1 页 （共 5 页）一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案写在答题卡上，写在试题册上无效． 1. 1lim(1)nn n →∞+=（ B ）.（A ）0 （B ）1 （C ）e （D ）1e2. 设()f x 为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→−−=−，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率等于（ C ）.（A ）2 （B ）1− （C ）2− （D ）123. 设0()()()d xF x x t f t t =−⎰ ()f x 为连续函数，且(0)=0()0f f x '>，，则()y F x =在0+∞（，）内（ A ）.（A ）单调增加且为下凸 （B ）单调增加且为上凸 （C ）单调减少且为下凸 （D ）单调减少且为上凸 4. 曲线221e 1e−−+=−x x y （ D ）.（A ）没有渐近线 （B ）仅有水平渐近线（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线又有铅直渐近线 5. 若ln ()sin f t t =，则()d ()tf t t f t '=⎰（ A ）. （A ）sin cos ++t t t C （B ）sin cos −+t t t C （C ）sin cos ++t t t t C （D ）sin +t t C6. 使不等式1sin d ln xtt x t>⎰成立的x 的范围是（ C ）. （A ）π(1,)2（B ）π(,π)2 （C ）(0,1) （D ）(π,+)∞《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 2 页 （共 5 页）二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．7. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x −+是比sin n x 高阶的无穷小，而sin n x 是比2e 1x −高阶的无穷小，则正整数n 等于 3 .8．设函数()y y x =由方程2e cos()e 1x y xy +−=−所确定，求d d x yx== 2− .9. 函数()ln 12=−y x 在0=x 处的(2)n n >阶导数()(0)n f = 2(1)!n n −⋅− . 10. 221d x x x −−=⎰116． 11. 121e d x x x−∞=⎰ 1 ． 12. Oxy 平面上的椭圆22149x y +=绕x 轴旋转一周而形成的旋转曲面的方程是 222149x y z ++= . 三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13.（本题满分10分）求函数3sin ()xf x x xπ=−的间断点，并判断间断点的类型. 【解】因为3sin sin ()(1)(1)x xf x x x x x x ππ==−−+，显然0,1,1x =−为间断点. 2分 于是lim ()lim(1)(1)x x xf x x x x →→π==π−+， 4分1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →−→−→−ππππ=−=−=+ 6分 1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →→→ππππ===−−， 8分 所以0,1,1x =−是第一类中的可去间断点. 10分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 3 页 （共 5 页）14.（本题满分10分）设cos sin ,sin cos x t t t y t t t =+⎧⎨=−⎩，求224d d t y x π=.【解】由题意，得4d (sin cos )cos cos sin d tan , 1.d (cos sin )sin sin cos d t y t t t t t t t yt x t t t t t t t x π='−−+===='+−++ 5分222324d d tan d 1d ,d d d cos d t y t t yx t x t t x π==⋅==π10分15.（本题满分10分）求x ． 【解】设tan ,,22x t x ππ=−<<，则2d sec d x t t =，于是 3分 原式2= 5分 2cos d sin tt t=⎰2sin dsin csc t t t C −==−+⎰ 9分C =+. 10分16．（本题满分10分）求函数3226187y x x x =−−−的极值.【解】2612186(3)(1),y x x x x '=−−=−+ 2分 令0,y '=得驻点123, 1.x x ==− 5分 又1212,(3)240,(1)240,y x y y ''''''=−=>−=−< 8分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 4 页 （共 5 页）所以极大值(1)3y −=，极小值(3)61y =−. 10分17.（本题满分10分）求由曲线y =1,4,0x x y ===所围成的平面图形的面积及该图形绕y 轴旋转一周所形成的立体的体积.【解】（1） 1S x =⎰2分432121433x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 5分 （2） 解法1： 412y V x =π⎰ 7分4521412455x ⎡⎤π==π⎢⎥⎣⎦ 10分解法2： 24132d y V y y =π−π−π⎰ 7分1245=π 10分18.（本题满分8分）求过直线50:40x y z L x z ++=⎧⎨−+=⎩，且与平面48120x y z −−+=交成π4角的平面方程．【解1】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=， 即2=，由此解得0λ=或43λ=−. 6分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 5 页 （共 5 页）将0λ=或43λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为40207120x z x y z −+=++−=，. 8分 【解2】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=即2=，由此解得34λ=−. 6分 将34λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为207120x y z ++−=. 7分另外，40x z −+=也是所求平面方程. 8分19.（本题满分6分）设函数()f x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,f f ==(2π)2f =. 试证明在(0,2π)内至少存在一点ξ，使()()cos 0f f ξξξ'+=.【证】 构造函数sin ()()e x F x f x =. 2分 因为()F x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,(2π)2F F F ===. 3分因为2是介于(0)1F =与(π)3F =之间的，故由闭区间上连续函数的介值定理知，在(0,π)内存在一点c 使得()2(2π)F c F ==． 5分于是在[],2πc 上函数()F x 满足罗尔定理的条件，所以[]sin ()()()cos e 0,(,2π)(0,2π)F f f c ξξξξξξ''=+=∈⊂.则原结论成立． 6分。

习题11.1选择题(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r的端点处，其速度大小为(A)dtdr(B)dt r d(C)dt r d || (D) 22)()(dtdy dt dx +[答案：D](2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2=，瞬时加速度2/2s m a -=，则一秒钟后质点的速度(A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。

[答案：D](3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为(A)tRt R ππ2,2 (B) t R π2,0(C) 0,0 (D) 0,2tRπ [答案：B]1.2填空题(1) 一质点，以1-⋅s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。

[答案： 10m ； 5πm](2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v 0为5m·s -1，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。

[答案： 23m·s -1 ]1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：(1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。

解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。

1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？（1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。

给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。

（x 单位为m ，t 单位为s ）解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。

加速度又是位移对时间的两阶导数。

大学物理学(北邮第三版) 习题及解答（全）习题一1-1 ｜r ∆｜与r ∆有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v有无不同?其不同在哪里?试举例说明．解：（1）r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即r ∆12r r -=，12r r r -=∆； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v tsd d . t rd d 只是速度在径向上的分量.∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则t ˆrˆt r t d d d d d d r r r += 式中t rd d 就是速度径向上的分量，∴t r td d d d 与r 不同如题1-1图所示.题1-1图(3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d =，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以t v t v t v d d d d d d ττ +=式中dt dv就是加速度的切向分量.(t tr d ˆd d ˆd τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝22y x +，然后根据v =t rd d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即v =22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =222222d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r+=，jt y i t x t r a jt y i t x t r v222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴故它们的模即为222222222222d d d d d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作22d d d d t r a trv ==其二，可能是将22d d d d t r tr 与误作速度与加速度的模。

北京邮电大学大学物理期末考试试卷(含答案)一、大学物理期末选择题复习 1．运动质点在某瞬时位于位矢r 的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)dt r d ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x ． 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确答案D2．如图所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )(A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ答案D3．一个电流元Idl 位于直角坐标系原点 ，电流沿z 轴方向，点P (x ，y ，z )的磁感强度沿x 轴的分量是： （ ）(A) 0(B) ()()2/32220/4/z y x Ixdl ++-πμ(C) ()()2/12220/4/z y x Ixdl ++-πμ(D)()()2220/4/z y x Ixdl ++-πμ答案B4．人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的（ ）(A) 动量不守恒，动能守恒(B) 动量守恒，动能不守恒(C) 对地心的角动量守恒，动能不守恒1、(D) 对地心的角动量不守恒，动能守恒答案C5．静电场中高斯面上各点的电场强度是由：（ ）(A) 高斯面内的电荷决定的 (B) 高斯面外的电荷决定的(C) 空间所有电荷决定的 (D) 高斯面内的电荷的代数和决定的答案C6．将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 答案A7．如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为： （ ）(A) 00,4QE U rπε== (B) 00,4Q E U R πε== (C) 200,44QQ E U rr πεπε== (D)200,44QQ E U r R πεπε==答案B8． 一运动质点在某瞬间位于位矢(,)r x y 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即（1）dr dt ；（2）dr dt ；（3）ds dt ；（4下列判断正确的是：（A ）只有（1）（2）正确 （B ）只有（2）正确（C ）只有（2）（3）正确 （D ）只有（3）（4）正确答案 D9． 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。

2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。

3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。

4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。

5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。

只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。

7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。

(2)()n H x = 。

8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。

大学物理习题及解答（第三版 北京邮电大学出版社）习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m 的物体，另一边穿在质量为2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a '下滑，求1m ，2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为1a ，其对于2m 则为牵连加速度，又知2m 对绳子的相对加速度为a '，故2m 对地加速度，由图(b)可知，为a a a '-=12 ①又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f 在数值上等于绳的张力T ，由牛顿定律，有111a m T g m =-② 222a m g m T =-③联立①、②、③式，得2121211212212211)2()()(m m a g m m T f m m a m g m m a m m a m g m m a +'-==+'--=+'+-=讨论 (1)若0='a ，则21a a =表示柱体与绳之间无相对滑动．(2)若g a 2='，则0==f T ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时1m , 2m 均作自由落体运动．题2-1图2-2 一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道． 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v ϖ方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-2.题2-2图X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v2sin 21t g y α= 由①、②式消去t ，得 220sin 21x g v y ⋅=α2-3 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为x f ＝6 N ，y f ＝-7 N ，当t ＝0时，==y x 0，x v ＝-2 m ·s -1，y v ＝0．求当t ＝2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度．解： 2s m 83166-⋅===m f a x x2s m 167-⋅-==m f a y y(1)⎰⎰--⋅-=⨯-=+=⋅-=⨯+-=+=20101200s m 872167s m 452832dt a v v dt a v v y y y x x x于是质点在s 2时的速度1s m 8745-⋅--=j i v ϖϖϖ(2)m 874134)167(21)4832122(21)21(220j i j i j t a i t a t v r y x ϖϖϖϖϖϖϖ--=⨯-+⨯⨯+⨯-=++=2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的速度为0v ，证明(1) t 时刻的速度为v ＝t mk e v )(0-；(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝(k mv 0)［1-t m k e )(-］；(3)停止运动前经过的距离为)(0k m v ；(4)证明当k m t =时速度减至0v 的e 1，式中m 为质点的质量． 答: (1)∵ t v m kv a d d =-= 分离变量，得m t k v v d d -=即 ⎰⎰-=v v t m t k vv 00d d mkt e v v -=ln ln 0∴ tm k e v v -=0(2) ⎰⎰---===t t t m k m k e k mv t e v t v x 000)1(d d(3)质点停止运动时速度为零，即t →∞，故有⎰∞-=='000d k mv t e v x t m k (4)当t=k m时，其速度为 e v e v ev v k m m k 0100===-⋅-即速度减至0v 的e 1. 2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m ，2m ，且2m ＝21m ．用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝21g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m ，2m 的加速度各为多少?解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图(b)所示．(1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速度a a a -'=2；因绳不可伸长，故1m 对滑轮的加速度亦为a '，又1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1m 在水平方向对地加速度亦为a '，由牛顿定律，有)(22a a m T g m -'=-a m T '=1题2-5图联立，解得g a ='方向向下(2) 2m 对地加速度为 22g a a a =-'= 方向向上 1m 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即牵相绝a a a ϖϖϖ+='∴g g g a a a 25422221=+=+'= a a '=arctan θo6.2621arctan ==，左偏上． 2-6一质量为m 的质点以与地的仰角θ=30°的初速0v ϖ从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．解: 依题意作出示意图如题2-6图题2-6图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对y 轴对称性，故末速度与x 轴夹角亦为o 30，则动量的增量为 0v m v m p ϖϖϖ-=∆ 由矢量图知，动量增量大小为0v m ϖ，方向竖直向下．2-7 一质量为m 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s ，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?解: 由题知，小球落地时间为s 5.0．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为g gt v 5.01==，小球上跳速度的大小亦为g v 5.02=．设向上为y 轴正向，则动量的增量 12v m v m p ϖϖϖ-=∆方向竖直向上， 大小mg mv mv p =--=∆)(12ϖ碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒． 2-8 作用在质量为10 kg 的物体上的力为i t F ϖ)210(+=N ，式中t 的单位是s ，(1)求4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N ·s ，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度j ϖ6-m ·s -1的物体,回答这两个问题． 解: (1)若物体原来静止，则i t i t t F p t ϖϖϖϖ10401s m kg 56d )210(d -⋅⋅=+==∆⎰⎰,沿x 轴正向， i p I i m p v ϖϖϖϖϖϖ111111s m kg 56s m 6.5--⋅⋅=∆=⋅=∆=∆若物体原来具有6-1s m -⋅初速，则 ⎰⎰+-=+-=-=t t t F v m t m F v m p v m p 000000d )d (,ϖϖϖϖϖϖϖ于是⎰∆==-=∆t p t F p p p 0102d ϖϖϖϖϖ, 同理， 12v v ϖϖ∆=∆,12I I ϖϖ= 这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即⎰+=+=tt t t t I 0210d )210(亦即 0200102=-+t t解得s 10=t ，(s 20='t 舍去) 2-9 一质量为m 的质点在xOy 平面上运动，其位置矢量为 j t b i t a r ϖϖϖωωsin cos += 求质点的动量及t ＝0 到ωπ2=t 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量．解: 质点的动量为 )cos sin (j t b i t a m v m p ϖϖϖϖωωω+-== 将0=t 和ωπ2=t 分别代入上式，得 j b m p ϖϖω=1,i a m p ϖϖω-=2,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 )(12j b i a m p p p I ϖϖϖϖϖϖ+-=-=∆=ω2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为10s m -⋅v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．解: (1)由题意，子弹到枪口时，有0)(=-=bt a F ,得b a t = (2)子弹所受的冲量⎰-=-=t bt at t bt a I 0221d )(将b a t =代入，得 b a I 22=(3)由动量定理可求得子弹的质量0202bv a v I m ==2-11 一炮弹质量为m ，以速率v 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T ，且一块的质量为另一块质量的k 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为v +m kT 2, v -km T2证明: 设一块为1m ，则另一块为2m ，21km m =及m m m =+21于是得1,121+=+=k m m k km m ①又设1m 的速度为1v , 2m 的速度为2v ，则有2222211212121mv v m v m T -+=②2211v m v m mv +=③联立①、③解得 12)1(kv v k v -+=④将④代入②，并整理得21)(2v v km T -=于是有km T v v 21±= 将其代入④式，有m kT v v 22±=又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取 km T v v m kT v v 2,221-=+=证毕． 2-12 设N 67j i F ϖϖϖ-=合．(1) 当一质点从原点运动到m 1643k j i r ϖϖϖϖ++-=时，求F ϖ所作的功．(2)如果质点到r 处时需0.6s ，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化． 解: (1)由题知，合F ϖ为恒力， ∴ )1643()67(k j i j i r F A ϖϖϖϖϖϖϖ++-⋅-=⋅=合 J 452421-=--=(2) w 756.045==∆=t A P(3)由动能定理，J 45-==∆A E k2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm ，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y 坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为题2-13图ky f -=第一锤外力的功为1A⎰⎰⎰==-='=s s k y ky y f y f A 1012d d d ①式中f '是铁锤作用于钉上的力，f 是木板作用于钉上的力，在0d →t 时，f 'f -=．设第二锤外力的功为2A ，则同理，有⎰-==21222221d y k ky y ky A ②由题意，有2)21(212k mv A A =∆== ③即 222122k k ky =-所以，22=y 于是钉子第二次能进入的深度为 cm 414.01212=-=-=∆y y y2-14 设已知一质点(质量为m )在其保守力场中位矢为r 点的势能为n P r k r E /)(=, 试求质点所受保守力的大小和方向．解: 1d )(d )(+-==n r nk r r E r F 方向与位矢r ϖ的方向相反，即指向力心．2-15 一根劲度系数为1k 的轻弹簧A 的下端，挂一根劲度系数为2k 的轻弹簧B ，B 的下端一重物C ，C 的质量为M ，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．解: 弹簧B A 、及重物C 受力如题2-15图所示平衡时，有题2-15图Mg F F B A ==又 11x k F A ∆=22x k F B ∆=所以静止时两弹簧伸长量之比为1221k k x x =∆∆弹性势能之比为12222211121212k k x k x k E E p p =∆∆= 2-16 (1)试计算月球和地球对m 物体的引力相抵消的一点P ，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×1024kg ，地球中心到月球中心的距离3.84×108m ，月球质量7.35×1022kg ，月球半径1.74×106m ．(2)如果一个1kg 的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P 点的势能为多少?解: (1)设在距月球中心为r 处地引月引F F =，由万有引力定律，有()22r R mM G r mM G -=地月经整理，得R M M M r 月地月+==2224221035.71098.51035.7⨯+⨯⨯81048.3⨯⨯m 1032.386⨯= 则P 点处至月球表面的距离为m 1066.310)74.132.38(76⨯=⨯-=-=月r r h(2)质量为kg 1的物体在P 点的引力势能为()r R M Gr M G E P ---=地月()72411722111083.34.381098.51067.61083.31035.71067.6⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-=- J 1028.16⨯=2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为1m 和2m 的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为k ，自然长度等于水平距离BC ，2m 与桌面间的摩擦系数为μ，最初1m 静止于A 点，AB ＝BC ＝h ，绳已拉直，现令滑块落下1m ,求它下落到B 处时的速率．解: 取B 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有])(21[)(21212212l k gh m v m m gh m ∆+-+=-μ式中l ∆为弹簧在A 点时比原长的伸长量，则h BC AC l )12(-=-=∆联立上述两式，得()()212221122m m kh gh m m v +-+-=μ题2-17图2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg ，以初速度0v ＝3m ·s -1从斜面A 点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N ，到达B 点后压缩弹簧20cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。

北京邮电大学2017-2018学年第一学期《数学物理方法》期末试题（A ）注：本试卷有 六 道大题。

答题时，写清题号，不必抄题。

所有答案写在答题纸上，否则不计成绩。

一、解答下列各题（每题6分，共30分）1、长度为l 的均匀细杆，一端温度保持为1T ，另一端绝热，初始温度分布为()T x ，试写出杆上温度分布(),u x t 所满足的定解问题。

2、一根长度为l 的均匀细弦，两端固定，弦的初始位移为()(),0,h x x c c x h l x c x l l cϕ⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪-⎩，初始速度是0，试写出弦的位移函数(),u x t 所满足的定解问题。

3、求下列本征值问题的本征值和本征函数()()()()0,00,0.X x X x X X l λ''+=⎧⎪⎨'==⎪⎩4、用达朗贝尔公式求解下列定解问题()()()20,0,,0sin ,,0.tt xx t u a u x t u x x u x x ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩ 5、计算112018201811()?,()()?n xP x dx P x P x dx --==⎰⎰二、试证明微分方程()()()()()22200,1,2,R R m R m ρρρρλρρ'''++-==通过变换x =可以化成标准Bessel 方程()()()()2220x R x xR x x m R x '''++-=。

（8分）三、将Legendre 方程()2(1)210x y xy l l y '''--++=化成Sturm-Liouville 形式，并写成其核函数和权函数。

（8分） 四、 求解下列定解问题()()()222000,0,|0,|00,|0.x x x x l t u u a x l t t x u u t u x x l ===⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪=<<⎪⎪⎩ （20分）五、半径为a 高为h 的圆柱体，上底的电势分布为常数A ，下底和侧面的电势保持为零，求柱体内的电势分布。

北京邮电大学2018-2019学年第二学期 《数学分析（下）》期末考试试题考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效一. 填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.极限220x y →→=________;2. 设()22,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则()0,0x f '=______;3. 设方程()0,=--bz y az x F 确定函数()y x z z ,=，则=dz ________;4. 二元函数()xy y x y x f 3,33++=的极大值点是________;5. 设(){},11,22D x y x y =-≤≤-≤≤，则二重积分134Dx y dxdy ⎛⎫--=⎪⎝⎭⎰⎰__; 6. 交换积分次序()()14012,,x dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰________;7. 设C 为圆周()022>=+a ax y x ，则曲线积分=+⎰Cds y x 22________;8. 由向径()z y x ,,=r 所构成的向量场的散度为________;9. 设()⎩⎨⎧<<+≤≤--=ππx x x x f 0,10,12，则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于________;10. 级数22511n n n n ∞=++∑是收敛的还是发散的___________.二(8分)．设()32(,),,z x f xy x y f u v =+有二阶连续偏导数, 求22,.z zx y ∂∂∂∂三(8分)．把函数2125()65xf x x x-=--在02x =处展开成Taylor 级数，并指出其收敛域。

四(8分) 求幂级数()021n n n x ∞=+∑的收敛半径、收敛域及和函数，并求()211.2nn n n ∞=+-∑ 五(10分).已知椭球面252:222=++z y x S 和平面.04:=++-z y x π（1）求S 的与平面π平行的切平面方程；（2）求S 上距离平面π最近和最远的点。

北京邮电大学2018高等数学期末下试卷解答邮理有李1．的展开式中的系数是12，则实数a的值为（） [单选题] * A．4B．5C．6(正确答案)D．7[单选题] *A.-3B.-6C.-9D.-12(正确答案)3．已知函数的图象上一点及邻近一点，则（） [单选题] *A．B．C．(正确答案)D．4．已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（） [单选题] *A．0B．1C．2(正确答案)D．35．若的展开式的各项系数之和为，则该展开式中的系数为（） [单选题] *A．B．C．D．(正确答案)6．将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种（）． [单选题] *A．150B．114C．100(正确答案)D．727．5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（） [单选题] *A．B．C．D．(正确答案)8．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（） [单选题] *A．B．C．(正确答案)D．*A.B.(正确答案)C.(正确答案)D.10．（2021·全国高二课时练习）已知函数，若，则下列结论正确的是（） *A．(正确答案)B．C．D．当时，(正确答案)11.函数的图象，则下列结论正确的有（） *A．(正确答案)B．(正确答案)C．(正确答案)D．A、B 、C 、D 、 E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有 *A若A 、B 两人站在一起有种方法(正确答案)B若 A、 B不相邻共有种方法C若A 在 B左边有种排法(正确答案)D若 A不站在最左边，B 不站最右边，有种方法。

北京师大附中2018-2019学年下学期高一年级期末考试物理试卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1.下列物理量中，只有大小而没有方向的是（ ）A. 功B. 冲量C. 动量D. 电场强度 【答案】A【解析】【详解】A. 功，只有大小无方向，是标量，选项A 符合题意；B. 冲量，既有大小又有方向，是矢量，选项B 不符合题意.C. 动量，既有大小又有方向，是矢量，选项C 不符合题意.D. 电场强度，既有大小又有方向，是矢量，选项D 不符合题意.2.真空中两个静止的带电小球（可看成点电荷），相距为r 时相互作用力为F ，若将它们之间的距离变为原来的2倍，则相互间的作用力变为（ ）A. F /2B. F /4C. 2FD. 4F 【答案】B【解析】 【详解】根据库仑定律可得变化前：2Qq F kr＝，变化后有：21(2)4Q q F k F r '⋅＝＝. A. F /2，与结论不相符，选项A 错误；B. F /4，与结论相符，选项B 正确；C. 2F ，与结论不相符，选项C 错误；D. 4F ，与结论不相符，选项D 错误；3.如图所示，a 、b 两点位于以负点电荷为球心的球面上，c 点在球面外，则（ ）A. a 点场强与b 点场强相同B. a 点场强的大小比c 点大C. b 点场强的大小比c 点小D. 条件不足，无法判断a 、b 、c 场强大小关系【答案】B【解析】【详解】A.根据点电荷电场强度的计算公式2kQ E r可知，a 点场强的大小和b 点电场强度大小相等，但是方向不同，故A 错误；BC. a 点距离点电荷的距离较c 点近，则a 点场强的大小比c 点大，同理可知，b 点场强的大小比c 点大，选项B 正确，C 错误；D.由以上分析可知，选项D 错误.4.2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星（同步卫星），该卫星（ ）A. 入轨后可以位于北京正上方B. 入轨后的速度大于第一宇宙速度C. 发射速度大于第二宇宙速度D. 入轨后的加速度小于地面重力加速度【答案】D【解析】【详解】A.同步卫星只能定点在赤道上空，故A 错误；B.所有卫星的运行速度都不大于第一宇宙速度，故B 错误；C.同步卫星的发射速度都要大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故C 错误；D.根据2GM a r可知，入轨后的加速度小于地面重力加速度，故D 正确； 5.光滑水平面上有一静止的木块，一颗子弹以某一水平速度击中木块后没有射出，对于这个过程，下列分析正确的是（ ）A. 子弹与木块组成的系统动量守恒，机械能也守恒B. 子弹与木块组成的系统动量不守恒，机械能也不守恒C. 子弹与木块组成的系统动量守恒，机械能不守恒D. 子弹与木块组成的系统动量不守恒，机械能守恒【答案】C【解析】【详解】子弹与木块组成的系统，水平方向受合外力为零，则系统的动量守恒；但是子弹射入木块的过程中要损失机械能，则系统的机械能减小；A. 子弹与木块组成的系统动量守恒，机械能也守恒，与结论不相符，选项A 错误；B. 子弹与木块组成的系统动量不守恒，机械能也不守恒，与结论不相符，选项B 错误；C. 子弹与木块组成的系统动量守恒，机械能不守恒，与结论相符，选项C 正确；D. 子弹与木块组成的系统动量不守恒，机械能守恒，与结论不相符，选项D 错误；6.如图所示，一个用细线悬挂的小球从A 点开始摆动，记住它向右能够达到的最大高度，然后用一把直尺在P 点挡住悬线，继续观察之后小球的摆动情况并分析，下列结论中正确的是（ ）A. 在P 点放置直尺后，悬线向右摆动的最大高度明显低于没放直尺时到达的高度B. 在P 点放置直尺后，悬线向右摆动的最大高度明显高于没放直尺时到达的高度C. 悬线在P 点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球速度变大D. 悬线在P 点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球加速度变大【答案】D【解析】【详解】AB.小球从A点开始摆动，在P点挡住摆线后，小球能继续向运动，在整个过程中机械能的总量保持不变，机械能是守恒的，小球能上升到原来的高度，故AB错误；CD.小球到达最低点时水平方向不受力，则悬线在P点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球速度大小不变，而半径变小，根据2var可以，小球加速度变大，选项C错误，D正确.7.取一对用绝缘柱支持的导体A和B，使它们彼此接触，起初它们都不带电，贴在他们下部的金属箔是闭合的，如图，现把带正电荷的物体C移近导体A，有下列分析，其中正确的是（）A. C移近导体A时可以看到A上的金属箔片张开，B上的金属箔片闭合B. C移近导体A时可以看到B上的金属箔片张开，A上的金属箔片闭合C. C移近导体A后再用手摸一下B，发现B上金属箔片闭合，A上金属箔片张开D. C移近导体A后再用手摸一下A，发现A上金属箔片闭合，B上金属箔片张开【答案】C【解析】【详解】AB. C移近导体A时，在A的左端感应出负电，在B的右端感应出正电，可以看到AB上的金属箔片均张开，选项AB错误；CD. C移近导体A后，不论用手摸一下B，还是摸一下A，大地中的负电荷将被吸引移向导体，导体中的正电荷将被排斥流向大地，使得A左端带负电，B的右端不带电，即B上金属箔片闭合，A上金属箔片张开，选项C正确，D错误。

北邮数学物理方法18-19期末试题B北京邮电大学2018-2019学年第一学期《数学物理方法》期末试题（B ）注意：本试卷共5 道大题。

答题时不必抄题，要注明题号，所有答案一律写在答题纸上，否则不计成绩。

一、解答下列各题（每题6分，共36分）1、写出三类基本方程的最简单形式。

2、求解下列本征值问题的本征值和本征函数()()()()()()02,2?λ??π??π?''Φ+Φ=''Φ+=ΦΦ+=Φ??3、将Bessel 方程222()0x y xy x m y λ'''++-=化成Sturm-Liouville 型方程，并指出其核函数和权函数。

4、用达朗贝尔公式求下列定解问题的解()()()20,0,,0cos ,,0.tt xx x t u a u x t u x x u x e ?-=-∞<<∞>??==??5、设()f x 在区间[-1,1]上的有界且连续，并设()()()0Legendre n n n n f x f P x P x ∞==∑其中是多项式试证明 ()()11212n n n f P x f x dx -+=. 6、已知Bessel 函数的递推公式1[()]()m m m m d x J x x J x dx -=，试计算30()x J x dx ?。

二、研究细杆上的热传导问题。

设杆上的初始温度是均匀的为0,u 然后保持杆的一端的温度为不变的0,u 而另一端则有强度为恒定的热流0q 进入，即求解定解问题 22200000,,,.x x x l t u u a t x q u u u k u u ====??===?? （25分）三、求解下列定解问题 ()222220001,0,0,,,0.b t t u u u a b tu u u u f t ρρρρρρρ=====+<四、试证明微分方程221sin (1)0sin sin d d m l l d dθθθθθ??Θ??++-Θ=通过变换cos x θ=可以化成关联Legendre 方程222(1)()2()(1)()01m x x x x l l x x ??'''-Θ-Θ++-Θ=??-?? （8分）五、在半径为a 的球内求解Laplace 方程的定解问题 200,3cos 21r ra u u u θ==??=?<+∞=+? （11分）坐标电子院。

北京师范大学《数学物理方法》2019-2020学年第一学期期末试卷2019-2020 学年期末试卷数学物理方法专业：物理学考试时间：120 分钟总分：100 分部分一：选择题（每题 5 分，共 30 分）在数学物理方法中，Green 函数的定义式为：A) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 - k_0^2)B) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 + k_0^2)C) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 - k_0^2 + iε)D) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 + k_0^2 - iε)5 分Legendre 方程的通解为：A) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 - 1)^nB) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 + 1)^nC) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 - 1)^(n+1)D) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 + 1)^(n+1)5 分在球坐标系中，Laplacian 算符的表达式为：A) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (2 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^2B) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (1 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^2C) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (3 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^2D) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (4 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^25 分在数学物理方法中，Sturm-Liouville 问题的通解为：A) y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)B) y(x) = c_1 y_1(x) - c_2 y_2(x)C) y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) + c_3 y_3(x)D) y(x) = c_1 y_1(x) - c_2 y_2(x) + c_3 y_3(x)在球坐标系中，spherical harmonics Y_lm(θ, φ) 的定义式为：A) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l + 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(imφ)B) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l + 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(-imφ)C) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l - 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(imφ)D) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l - 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(-imφ)5 分在数学物理方法中，Bessel 函数的递归关系式为：A) J_n(x) = (x / 2) * (J_(n-1)(x) - J_(n+1)(x))B) J_n(x) = (x / 2) * (J_(n-1)(x) + J_(n+1)(x))C) J_n(x) = (2 / x) * (J_(n-1)(x) - J_(n+1)(x))D) J_n(x) = (2 / x) * (J_(n-1)(x) + J_(n+1)(x))5 分部分二：计算题（每题 20 分，共 60 分）证明 Legendre 方程的通解为 P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 - 1)^n。

大学数学专业《大学物理（下册）》期末考试试题B卷附答案姓名：______ 班级：______ 学号：______考试须知：1、考试时间：120分钟，本卷满分为100分。

2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。

一、填空题（共10小题，每题2分，共20分）1、两个相同的刚性容器，一个盛有氧气，一个盛氦气（均视为刚性分子理想气体）。

开始他们的压强和温度都相同，现将3J的热量传给氦气，使之升高一定的温度。

若使氧气也升高同样的温度，则应向氧气传递的热量为_________J。

2、某人站在匀速旋转的圆台中央，两手各握一个哑铃，双臂向两侧平伸与平台一起旋转。

当他把哑铃收到胸前时，人、哑铃和平台组成的系统转动的角速度_____。

3、质点p在一直线上运动，其坐标x与时间t有如下关系：(A为常数) (1) 任意时刻ｔ，质点的加速度a =_______； (2) 质点速度为零的时刻t =__________．4、一电子以0.99 c的速率运动(电子静止质量为9.11×10-31kg，则电子的总能量是__________J，电子的经典力学的动能与相对论动能之比是_____________。

5、一质点的加速度和位移的关系为且，则速度的最大值为_______________ 。

6、某一波长的X光经物质散射后，其散射光中包含波长________和波长________的两种成分，其中_________的散射成分称为康普顿散射。

7、在热力学中，“作功”和“传递热量”有着本质的区别，“作功”是通过__________来完成的; “传递热量”是通过___________来完成的。

8、一束光线入射到单轴晶体后，成为两束光线，沿着不同方向折射．这样的现象称为双折射现象．其中一束折射光称为寻常光，它______________定律；另一束光线称为非常光，它___________定律。

9、在主量子数n=2，自旋磁量子数的量子态中，能够填充的最大电子数是______________。

嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题一、简答题（共70分）1、试阐述解析延拓的含义。

解析延拓的结果是否唯一？（6分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。

替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。

无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。

2、奇点分为几类？如何判别？（6分）在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。

判别方法：洛朗级数展开法A，先找出函数f(z)的奇点；B，把函数在的环域作洛朗展开1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点；2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点；3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。

3、何谓定解问题的适定性？（6分）1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。

满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。

4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数.1）在区域内处处可导且有任意阶导数.2）()()⎩⎨⎧==21,,CyxvCyxu这两曲线族在区域上正交。

3）()yxu,和()yxv,都满足二维拉普拉斯方程。

(称为共轭调和函数)4）在边界上达最大值。

4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。

波动方程属于其中的双曲线方程。

5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分）()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==-⎰⎰⎰∞∞∞-∞∞-)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x fδδδ6、写出复数231i +的三角形式和指数形式（8分）三角形式：()3sin3cos231cos sin 2321isin cos 222ππϕϕρϕϕρi i i+=++=+=+指数形式：由三角形式得：313πρπϕi ez ===7、求函数2)2)(1(--z z z在奇点的留数（8分）解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=21)2)(1()1(lim Re 21)1(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→z z zz sf z1)1(1lim )2)(1()2(!11limRe 22222)2(\-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→→z z z z z dz dsf z z8、求回路积分 dz zzz ⎰=13cos （8分）解：)(z f 有三阶奇点z=0（在积分路径内）[]21-cosz lim z cosz !21limRe 033220)0(\==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→z z z dzd sf ∴原积分=i i sf i πππ-=-=)21(2)0(Re 29、计算实变函数定积分dx x x ⎰∞∞-++1142（8分）解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=++=)1(22)1(22)1(22)1(22111)(242i z i z i z i z z z z z f它具有4个单极点：只有z=)1(22i --和z=)1(22i +在上半平面，其留数分别为：ππ2)221221(2I 221)1(22)1(22)1(221lim Re 221)1(22)1(22)1(221lim Re 20))1(22(\20))1(22(\=+=∴=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+==⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=→+→--iii i i z i z i z z sfi i z i z i z z sfz i z i10、求幂级数kk i z k)(11-∑∞= 的收敛半径（8分）111lim111limlim1≤-=+=+==∞→∞→+∞→i z kk k k a a R k k k k k 所以收敛圆为二、计算题（共30分）1、试用分离变数法求解定解问题（14分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===><<=-====0,2/100,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u令)()(),(t T x X t x u =，并代入方程得⎪⎩⎪⎨⎧===-0)()(0)()0(0''''2''t T l X t T X T X a XT 移项 λ-==X XT a T ''2'' ⎪⎩⎪⎨⎧===+0)(0)0(0''''l X X X X λ和02''=+T a T λxC x C x X C x C x X eC eC x X x xλλλλλλλsincos)(0)(0)(0212121+=+==+=---时，方程的解为：＞在时，方程的解为：在时，方程的解为：＜在由边界条件0)(0)0(''==l X X ，得：xl n C x X ln n l l C l C l C l X C C X xC x C x X CXx x X ππλπλλλλλλλλλλλλλλλcos)(0sinsincos)(000)0(sincos)(0(00)(01222121'22'21'==→=∴=≠=+-==≠==+===≡（否则方程无解），，时，＞时，时，＜)3,21(sin cos )()(000002''222，得：的方程代人和把=⎪⎩⎪⎨⎧+=+==+==n l at n B l at n A t T tB A t T T a T T ln n n nππλπλλx ln lat n B lat n A t B A t x U n n n πππcos)sincos(),(100+∑++=∴∞=由初始条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∑+-=∑+∞=∞=0cos 21cos 1010x l n l a n B B x x l n A A nn n n πππ把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数得⎰⎰⎰⎰⋅=⋅-==-=ln ln llxdxl n an B xdxln x lA dx lB dxx lA 000cos02cos )21(201)21(1πππ得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=∴-=-=)2(0)12(4)1(cos 22122220k n k n n l A n n l A l A n n πππxl n lat n n ll t x U n πππcoscos)4(21),(221-∑+-=∴∞=2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-==∆====0,sin 0),(000b y y a x x u a xB u u y b Ay u u π),(),(),(t x w t x v t x u +=令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====+====0sin 00000by y a x x yy xx v a x B v v v v v ，，π ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-==+====000)(000b y y ax x yyxx w w w y b Ay w w w ，，则，v ，w 都可以分别用分离变量法求解了。