广东省实验中学高二(上)期中数学试卷(文科) (2)

广东实验中学18-19学度高二上年中-数学文文科数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页、总分值为150分，考试用时120分钟、 本卷须知1、答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷和答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上填涂学号、2、选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上、3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答的答案无效、4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷交回、 参考公式：2=4S R π球表面积第一部分 基础检测(共100分)【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1、直线0133=++y x 的倾斜角是〔 〕A 、30 B 、60 C 、120 D 、1352、以下二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是〔 〕Ａ、10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥ Ｂ、10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤Ｃ、10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤ Ｄ、1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥03、如图Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=， 那么那个平面图形实际的面积是〔 〕A、2B 、1 CD、4、以)1,5(),3,1(-B A 为端点的线段的垂直平分线方程是〔 〕Ａ、083=--y x B 、043=++y x C 、063=+-y x D 、023=++y x5、一个棱锥的三视图如右图所示，那么那个棱锥的体积是〔 〕 A 、 B 、12x11-2-O1C 、24D 、366、四棱锥P —ABCDABCD 是边长为2的正方形，那么CD 与PA所成角的余弦值为 〔 〕ABC 、45D 、357、直线03)1(:1=--+y k kx l 和02)32()1(:2=-++-y k x k l 互相垂直，那么=k 〔 〕A 、-3或-1B 、3或１C 、-3或１D 、-1或38、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，那么以下结论中错误的选项是．．．．．．〔 〕 A 、D 1O ∥平面A 1BC 1 B 、D 1O ⊥平面MACC 、异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°D 、二面角M －AC －B 等于90°A 、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个平面相交B 、平行于同一平面的两个不同平面平行C 、假设直线不平行平面α，那么在平面α内不存在与平行的直线D 、假如平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β10、过原点引直线l ，使l 与连接A(1，1)和B(1，-1)两点的线段相交，那么直线l 倾斜角的取值范围是〔〕A 、],43[]4,0[πππ⋃B 、]43,4[ππC 、]4,4[ππ-D 、),43[]4,0[πππ⋃ 【二】填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分、11、光线自点），（33-A 射出，通过x 轴反射以后通过点)5,2(B 。

广东实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
三、填空题
四、解答题
17．为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”.为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作
为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)[)50,6060,70，
，[)[)70,8080,90，，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图
（茎叶图中仅列出了得分在[)[]50,6090,100，的数据），如下图所示．
(1)试估测本次竞赛学生成绩的平均数；
(2)在[)[)70,8080,90，
内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[)70,80的概率．
18．已知分别过定点,A B 的直线1:30,l ax y +-=于C 点
(1)若1l 为ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边(2)若l 为ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边(1)证明：面PAB ⊥面ABCD
(2)M 是棱PD 上的中点，若过点,C M 的平面α与BD
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点使椭圆上的其余点均在圆Q外．求
准方程．。

广东实验中学2021—2021学年（上）高二级期中考试文科数学本试卷共4页，满分150分，考试历时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必需维持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列叙述中不正确．．．的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B ．每一条直线都对应唯一一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D ．若直线的倾斜角为α ，则直线的斜率为tan α2．已知直线a ∥平面α，直线b ⊂α，则a 与b 的关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面 3．下面四个命题：①别离在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③若是一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ④若是一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③4．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是 （）A ．12B ．24C ．36D ．485．已知1sin()23πα+=，则cos(2)πα+的值为（ ） A ．79- B ． 29 C ． 79 D 23-俯视图侧视图正视图3346．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 别离是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立．．．的是 ( ) A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 7．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝08．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3πD ．56π9．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(2，－5) B ．(－2,1) C ．(－2,5) D ．(4，－3) 10．将函数x y sin =的图象C 按顺序作以下两种变换：⑴向左平移3π个单位长度；⑵横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所取得的曲线/C 对应的函数解析式是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32sin(π-=x y C ．)32sin(π+=x y D ．)32sin(π+=x y 11．{}n a 知足211=++n n a a （N n ∈且1≥n ），12=a ，则S 21 为 （ ） A ．29B ．211C ．6D ．512．设点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离为d(k ),则d(k )的最大值等于 ( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=彼此平行，那么a 的值等于14．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n≥1),则该数列的通项a n =_________. 15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 .16．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB上一个动点，则PM 的最小值为________．三、解答题题（六小题 共70分） 17．（本小题满分10分）在锐角．．△ABC 中，a 、b 、c 别离为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A (1)肯定角C 的大小：（2）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值。

深圳2022-2023学年度第一学期期中考试试题高二数学（答案在最后）考试时长：120分钟，卷面总分：150分一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1.在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为1-且倾斜角为3π4的直线方程为．A.10x y ++=B.10x y +-= C.10x y -+= D.10x y --=【答案】A 【解析】【详解】由题意可得，直线的斜率1k =-，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）根据直线方程的斜截式可知所求的直线方程为=1y x --，即10x y ++=，故选：A ．2.圆220x y ax ++=的圆心横坐标为1，则a 等于（）．A.1B.2C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意可求出圆心坐标，由圆心横坐标为1，可求a 值.【详解】圆220x y ax ++=的圆心坐标为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴12a-=，解得2a =-．故选：D ．【点睛】本题考查利用圆的方程求圆心坐标，属基础题.3.在递增的等差数列{}n a 中，已知4a 与6a 是方程210240x x -+=的两个根，则20a =（）A.19B.20C.21D.22【答案】B 【解析】【分析】根据方程的根与递增的等差数列，可得4646a a =⎧⎨=⎩，于是可求得公差1d =，则由等差数列的通项性质可得20a 的值.【详解】解：4a 与6a 是方程210240x x -+=的两个根，方程为()()460x x --=则4646a a =⎧⎨=⎩或6446a a =⎧⎨=⎩，由于递增的等差数列{}n a 中，所以4646a a =⎧⎨=⎩，则公差64164a a d -==-所以2041641620a a d =+=+=.故选：B.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则8a =A.16 B.15C.14D.13【答案】B 【解析】【详解】设公差为d ，由253,25a S ==可得11543,5252a d a d ⨯+=+=∴1a 1,d 2==，则81715a a d =+=故选B5.已知点()2,1A --，()3,0B ，若点(),M x y 在线段AB 上，则21y x -+的取值范围（）A.[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.(][),13,-∞-+∞ D.[]1,3-【答案】A 【解析】【分析】设()1,2Q -，分别求出QA k ，QB k ，根据21y x -+表示直线QM 的斜率即可得到结果.【详解】设()1,2Q -，则()()21312QAk --==---，201132QB k -==---因为点(),M x y 在线段AB 上，所以21y x -+的取值范围是[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选：A.6.已知数列{}n a 满足：211n n n a a a -+=⋅()2n ≥，若23a =，24621a a a ++=，则468a a a ++=（）A.84B.63C.42D.21【答案】C 【解析】【分析】利用题意得到{}n a 是等比数列，故设其公比为()0q q ≠，可得到2433321q q ++=，可得到22q =，即可求得答案【详解】∵211n n n a a a -+=⋅()2n ≥，∴数列{}n a 是等比数列，设其公比为()0q q ≠，∵23a =，2424633321a a a q q ++=++=，即4260q q +-=，解得22q =或23q =-（舍去），∴()222468246246242a a a a q a q a q a a a ++=++=++=，故选：C.7.直线210x y +-=与直线230x y --=交于点P ，则点P 到直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的最大距离为（）A.2B.22C.32D.42【答案】B 【解析】【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的恒过定点，再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可.【详解】由题可列：210230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(1,1)-，因为直线()()21130kx k y k k -+++=∈R ，即(23)(1)0k x y y -++-=恒过定点(1,1)Q -，所以点P 到直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的最大距离为PQ ==，故选：B8.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个L 按照此规律，12小时后细胞存活个数（）A.2048B.2049C.4096D.4097【答案】D 【解析】【分析】根据给定的条件，由1小时、2小时、3小时后的结果总结出规律，再计算作答.【详解】依题意，1小时后的细胞个数为1321=+，2小时后的细胞个数为2521=+，3小时后的细胞个数为3921=+，…，则(N )n n *∈小时后的细胞个数为21n +，所以12小时后细胞存活个数是12214097+=.故选：D二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9.已知R b ∈，圆()()221:14C x y b -+-=，222:1C x y +=，则（）A.两圆可能外离B.两圆可能相交C .两圆可能内切D.两圆可能内含【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断.【详解】圆()()221:14C x y b -+-=的圆心为()11,C b ，半径12r =，圆222:1C x y +=的圆心为()20,0C ，半径21r =；则121C C =≥，12123,1r r r r +=-=，当28b >时，1212C C r r >+，两圆外离；当208b <<时，121212r r C C r r -<<+，两圆相交；当20b =时，1212C C r r =-，两圆内切；当28b =时，1212C C r r =+，两圆外切；综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含.故选：ABC.10.已知公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若917a S =，下列说法正确的是（）A.80a =B.90a = C.116a S = D.810S S >【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列前n 项和公式及等差数列的性质求出9a ，用公差d 表示首项，再判断各项作答.【详解】令等差数列{}n a 的公差为d ，有0d >，其前n 项和为n S ，由917a S =得：1917917172a a a a +=⨯=，解得90a =，有890a a d d =-=-<，A 不正确，B 正确；1988a a d d =-=-，16171799(8)8S S a a a d d =-=-+=-，即116a S =，C 正确；91010890S S a a a d d -=+=+=>，810S S <，D 不正确.故选：BC11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A.若223n S n =-，则{}n a 是等差数列B.若{}n a 是等差数列，且35a =，2102a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值C.若等差数列{}n a 的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2D.若{}n a 是等差数列，则三点1010,10S ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2020,20S ⎛⎫ ⎪⎝⎭、3030,30S ⎛⎫ ⎪⎝⎭共线【答案】BCD【解析】【分析】根据等差数列及等差数列前n 项和n S 的性质，逐项分析判断.【详解】A 项，1n =时，111a S ==-，2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-1n =时，121a =≠-，所以，{}n a 不是等差数列；B 项，由已知可得，61a =，又35a =所以，403d =-<，12303a =>.所以，n S 有最大值；C 项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为510d =，所以2d =；D 项，设三点分别为A ，B ，C ，112n S n a d n -=+，则1019102S a d =+，20119202a d S =+，30129302a d S =+.则()10,5AB d =uu u r ，()10,5BC d =uu u r ，AB BC =uu u r uu u r，所以三点共线.故选：BCD.12.设圆22:(3)(4)9C x y -+-=，过点(1,2)P 的直线l 与C 交于,A B 两点，则下列结论正确的为（）A.P 可能为AB 中点B.||AB 的最小值为3C.若||AB =，则l 的方程为2y =D.ABC 的面积最大值为92【答案】AD 【解析】【分析】判断点P 在圆的内部，当⊥CP 直线l 时，P 为AB 中点，且此时||AB 最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC ，利用基本不等式可判断D.【详解】圆22:(3)(4)9C x y -+-=，圆心(3,4)，半径3r =对于A ，22(13)(24)89-+-=<Q ，即点P 在圆的内部，当⊥CP 直线l 时，P 为AB 中点，故A 正确；对于B ，当⊥CP 直线l 时，||AB 最小，42131CP k -==-Q ，1l k ∴=-，则直线l 的方程为30x y +-=，圆心(3,4)到直线l 的距离d ==，||2AB ∴=，故B错误；对于C ，当直线l 斜率不存在时，即1x =，此时||AB ==当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由||AB ==，得2d =，则圆心(3,4)到直线l的距离2d ==，解得0k =，即2y =，所以满足题意的直线为2y =或1x =，故C 错误；对于D，2211992222ABCd d S AB d -+=⋅=⨯=V ，当且仅当229d d -=，即2d =时等号成立，所以ABC 的面积最大值为92，故D 正确.故选：AD三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14.过点()1,2A 且与两定点()2,3、()4,5-等距离的直线方程为_________.【答案】3270x y +-=，460x y +-=【解析】【分析】①过点()1,2A 且与过两定点()2,3、()4,5-的直线平行时满足条件，求出斜率，利用点斜式可写出直线方程；②经过点A （1，2）且过两定点()2,3、()4,5-中点时满足条件，求出中点，利用点斜式可写出直线方程．【详解】解：①过两定点()2,3、()4,5-的直线斜率为：53442--=--，则过点()1,2A 的直线且与过两定点()2,3、()4,5-的直线平行的直线为：24(1)y x -=--，即460x y +-=；②两定点()2,3、()4,5-所在线段的中点为()3,1-．则经过点A （1，2）且过两定点()2,3、()4,5-中点的直线为：122(1)31y x ---=--，即3270x y +-=．综上可得：满足条件的直线方程为：3270x y +-=，460x y +-=．故答案为：3270x y +-=，460x y +-=．【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a n =，则12111nS S S +++= __________．【答案】21nn +【解析】【分析】先求数列{}n a 的前n 项和为n S ，再利用裂项相消法求和即可；【详解】因为n a n =，所以()12n n n S +=，所以()1211211n n n n S n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121111111121222231n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111122121223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 故答案为：21n n +16.已知圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，(),P x y 为圆C 上一点，则2x y -的最大值为__________．【答案】20【解析】【分析】由圆C 关于直线320x y ++=对称列方程求a ，由此确定圆的圆心坐标和半径，设2z x y =-，由直线2z x y =-与圆C 有公共点，列不等式求z 的范围及最大值.【详解】方程22240x y ax y +-+=可化为()()22224x a y a -++=+，所以圆22:240C x y ax y +-+=的圆心为(),2C a -，因为圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，所以()3220a +⨯-+=，所以4a =，令2z x y =-，则≤，所以1010z -≤，所以020z ≤≤，所以2x y -的最大值为20，故答案为：20.四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.已知直线():20R l x ky k k -++=∈．（1）若直线l 不经过．．．第一象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程．【答案】（1）[]2,0-（2）S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=【解析】【分析】(1)验证0k =时，直线l 是否符合要求，当0k ≠时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k 的取值范围；(2)先求直线在x 轴和y 轴上的截距，表示AOB 的面积，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】当0k =时，方程20x ky k -++=可化为2x =-，不经过第一象限；当0k ≠时，方程20x ky k -++=可化为121y x k k=++，要使直线不经过第一象限，则10210kk⎧≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得20k -≤<．综上，k 的取值范围为[]2,0-．【小问2详解】由题意可得0k >，由20x ky k -++=取0y =得2x k =--，取0x =得2ky k+=，所以()11214124442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫==⋅⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k=时，即2k =时取等号，综上，此时min4S =，直线l 的方程为240x y -+=．18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-.（1）求B ；（2）若1b =，ABC 的面积为34，求ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）3.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；（2）利用三角形面积公式得到ac ，再由余弦定理求出a c +，即可求出三角形的周长；【详解】解：（1）将22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-展开得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=，由正弦定理得222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==因为0B π<<，所以3B π=（2）根据余弦定理，22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-因为ABC 的面积为1sin 24ac B =，所以1ac =因为1b =，所以21()3a c =+-，解得2a c +=ABC 的周长为+3a cb +=19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ；数列{}n b 为等比数列，满足122a b ==，530S =，42b +是3b 与5b 的等差中项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，求n T .【答案】（1）2n a n =，12n n b -=；（2）()1212n n T n +=+-⋅.【解析】【分析】（1）根据等差的前n 项和公式以及通项公式求出首项与公差即可求出等差数列{}n a 通项公式，再结合等差数列中的项与等比数列的通项公式求出首项与公差从而求出等比数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列{}n c 的和.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由122a b ==，530S =，42b +是3b 与5b 的等差中项，521030d ⨯+=，2d =则()2212n a n n =+-=；12b q =，()43522b b b +=+，即()32411122b q b q b q +=+，11b =，2q =，12n n b -=；（2）2n nn n b b a n ⋅==⋅，所以23122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232...2n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减可得23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅，12(12)212n n n +-=-⋅-，化简得，()1212n n T n +=+-⋅.20.如图，在ABC 中，已知2AB =，AC =，45BAC ∠=︒，BC 边上的中线为AM ．（1）求AM 的值；（2）求sin BAM ∠．【答案】（1）5AM =；（2）35.【解析】【分析】(1)在ABC 中，利用余弦定理求BC ，在ABM ，ACM △中分别利用余弦定理求cos BMA ∠，cos CMA ∠，由此列方程求AM ，(2)在ABM 中由余弦定理求cos BAM ∠，再由同角关系求sin BAM ∠.【小问1详解】由余弦定理，得(2222222cos 22222522BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯，即213BC =，13BM CM ==在ABM 中，由余弦定理，得2222cos 2213BM AM AB BMA BM AM AM+-∠==⋅，在ACM △中，由余弦定理，得222259cos 2213CM AM AC CMA CM AM AM+-∠==⋅由BMA ∠与CMA ∠互补，则cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，解得5AM =．【小问2详解】在ABM 中，由余弦定理，得2224cos 25AB AM BM BAM AB AM +-∠==⋅，因为45BAC ∠=︒，所以π0,4BAM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5BAM BAM ∠=-∠=．21.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝12n n+·a n (n ∈N *).（1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝4n na n a -，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n ＜2.【答案】（1）证明见解析；n4n 2n a =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式，进行求解即可；（2）由412442142n n n n n nna b n n a n ===---，进而利用112n n b -≤，得到231111112222n n T -≤++++⋯+，最后利用等比数列求和公式进行求证即可【详解】证明：（1）由题设得1112n n a a n n+=⋅+，又12a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为12的等比数列，所以121222n n n a n --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，12142222n n n nna n n --⎛⎫=⨯=⋅= ⎪⎝⎭（2）由（1）知412442142n n n n n nna b n n a n ===---，因为对任意*n ∈N ，1212n n --≥恒成立，所以，112n n b -≤所以23111111121222222n n n T -⎛⎫≤++++⋯+=-< ⎪⎝⎭故T n ＜2成立【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，难点在于利用不等式的放缩法得出112n n b -≤，属于中档题22.函数()log (4)1(0,1)a f x x a a =-->≠所经过的定点为(,)m n ，圆C 的方程为222()()(0)x m y n r r -+-=>10y ++-=被圆C（1）求m n 、以及r 的值；（2）设点(2,1)P -，探究在直线1y =-上是否存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到,P B两点的距离之比TB k TP =（k 为常数）．若存在，请求出点B 坐标以及常数k 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）5,1m n ==-，=5r ；（2）存在一点10(,1)3B --，．【解析】【分析】（1）由函数()f x过定点可求，的值，由直线与圆相交的弦长公式：求出的值；（2）假设存在，设点(,1)(2)B m m -≠，圆与直线1y =-的交点为(0,1),(10,1)S Q --，当T 分别在、时满足的距离比可得的值，可得点坐标，设圆上任一点(,)T x y，再利用两点间距离公式，由TBTP ==．【详解】（1）在函数()()()log 410,1a f x x a a =-->≠中，当5x =时，1y =-，所以其经过的定点为点()5,1-，即5m =，1n =-．由于直线被圆C，圆C 半径为r ，圆心()5,1-10y ++-=的距离为2d ==，那么2222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解之有=5r ．（2）假设在直线1y =-上存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比TBk TP =（k 为常数）．圆与直线1y =-的交点为()0,1S -，()10,1Q -，设()(),12B t t -≠，而若点T 取S 或Q 时，则SB QB SP QP =，即1028tt -=，解得103t =-．此时53TB TP =．下面证明：对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比53TB TP =．设(),T x y 为圆上任意一点，则()()225125x y -++=，即()22110y x x +=-+，由TB =，TP =，TBTP ==53==，所以在直线1y =-上存在一点10,13B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比53TBk TP ==．。

广东实验中学2017—2018学年（上）高二级模块考试文科数学本试卷分第一部分和第二两部分，共4页,满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回.第一部分(共100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24M xx =<，{}2230N xx x =--<，且MN =( ）A ．{}2xx <- B ．{}3xx > C ．{}12x x -<< D ．{}23x x <<2．在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ， 且满足b B a 3sin 2=，则角A 等于( ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π3．各项都为正数的等比数列}{na 中，首项为3，前3项和为21，则=++543a a a （）A ．33B ．72C ．84D ．189 4．已知两直线m 、n ，两平面α、β，且βα⊂⊥n m ,．下面有四个命题:1)若n m ⊥则有,//βα； 2）βα//,则有若n m ⊥； 3）βα⊥则有若,//n m ； 4)n m //,则有若βα⊥． 其中正确命题的个数是( ):A ．0B ．1C ．2D ．3 5．将函数)32sin(π+=x y 的图像向右平移12π=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是:( )A ．6π=x B ．4π=x C ．3π=xD ．2π=x6．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m,n 作为点P 的坐 标，则点P 落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为 （ ）A ．61B ．41C ．92 D ．3677．已知|a |=｜b ｜=|b a -|=1，则｜a +b 2｜的值为（ ）． A ．7 B ．3 C ．1 D58．右面的程序框图给出了计算数列{}na 的前10项和s 的算法，算法执行完毕后，输出的s 为（ )A ．173B ．174C ．175D ．1769．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1/4 ，则该椭圆的离心率为 ( ） A ． 1/3 B ．1/2 C ．2/3 D ．3/4 10．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石二、填空题（每题5分，共10分）11．已知圆M ：（x +1）2+y 2=1,圆N ：(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为____________12．将8进制的数字206(8）转化为2进制的数字为 ___________________(2)三、解答题（本大题共四题共40分,请在答题卷上写出必要的步骤） 13．（10分）已知31cos 32cos sin 2)(2--+=x x x x f ，]2,0[π∈x（1) 求)(x f 的最大值及此时x 的值；（2) 求)(x f 在定义域上的单调递增区间.14．（10分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据。

2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．若直线a不平行于平面M，则直线a与平面M有公共点C．已知直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内D．若直线a∥平面M，则直线a与平面M内的所有直线平行2．如图所示的一个几何体及其正视图如图，则其俯视图是（）A．B．C．D．3．过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为（）A．﹣2x+y﹣7=0 B．﹣x+2y﹣8=0 C．2x+y+1=0 D．x+2y﹣4=04．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为（）A．4（+1）π B．4（2+1）πC．4πD．8π5．已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，若该长方体的顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为（ ）A ．288πB ．144πC ．108πD ．36π 6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD ﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则二面角A′﹣BD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣7．如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3中点，D 是EF 与SG 2的交点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，则在四面体G ﹣SEF 中必有（ ）A ．SD⊥平面EFGB ．SE⊥GFC ．EF⊥平面SEGD ．SE⊥SF8．已知直线（a ﹣1）x+（a+1）y+8=0与（a 2﹣1）x+（2a+1）y ﹣7=0平行，则a 值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或﹣49．如图，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′中，AB 的中点为E ，AA′的中点为F ，则直线D′F 和直线CE （ ）A．都与直线DA相交，且交于同一点B．互相平行C．异面D．都与直线DA相交，但交于不同点10．已知△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（1，1），C（1，3），则△ABC的外接圆方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2=5 B．（x+3）2+（y+2）2=20 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=20 D．（x﹣3）2+（y﹣2）2=511．一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，则该几何体的体积为（）A．25π B．19π C．11π D．9π12．已知三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），则过点A的直线l与线段BC有公共点时（公共点包含公共点），直线l的斜率k l的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，则直线l在x轴上的截距是；y轴上的截距是．14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点（1，0）到它的距离为1的直线是．15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为．16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点（2，4）射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点（3，2），则反射光线的方程为．三、解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O（﹣1，1），其中A（﹣2，0），B（1，1）．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．18．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），求圆C的标准方程．19．如图所示，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．（1）求证：平面AB1D1∥平面BDC1；（2）求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．20．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC．（1）在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；（2）求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．若直线a不平行于平面M，则直线a与平面M有公共点C．已知直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内D．若直线a∥平面M，则直线a与平面M内的所有直线平行【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】根据平面平行的几何特征，可判断A；根据直线与平面位置关系的分类与定义，可判断B；根据公理3和线面平行的性质定理，可判断C；根据线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：平行于同一个平面的两个平面平行，故A正确；若直线a不平行于平面M，则a与M相交，或a在M内，则直线a与平面M有公共点，故B 正确；已知直线a∥平面α，P∈α，则P与a确定的面积与平面α相交，由公理3可得两个平面有且只有一条交线，且过点P，再由线面平行的性质定理可得交线平行于直线a，故C正确；若直线a∥平面M，平面M内的直线与直线a平行或异面，故D错误；故选：D．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间线面关系的几何特征，考查空间想象能力，难度中档．2．如图所示的一个几何体及其正视图如图，则其俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】该几何体的俯视图即上部分四棱锥的俯视图，且四条棱都能看见，应为实线．【解答】解：因为该组合体上部为四棱锥，且顶点在底面的投影在底面中心，所以该几何体的俯视图为C．故选C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，是基础题．3．过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为（）A．﹣2x+y﹣7=0 B．﹣x+2y﹣8=0 C．2x+y+1=0 D．x+2y﹣4=0【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，代入点的坐标，求出c的值即可．【解答】解：过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，∴﹣2×2﹣3+c=0，解得c=7，故方程为2x﹣y+7=0，即为﹣2x+y﹣7=0，故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线方程，属于基础题．4．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为（ ）A ．4（+1）πB ．4（2+1）πC ．4πD ．8π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，求出母线长，再求底面积与侧面积的和即可．【解答】解：底面半径和高都为2的圆锥，其底面积为S 底面积=π•22=4π，母线长为=2，所以它的侧面积为S 侧面积=π•2•2=4π； 所以圆锥的表面积为：S=S 底面积+S 侧面积=4π+4π=4（+1）π．故选：A ． 【点评】本题考查了求空间几何体表面积的应用问题，是基础题目．5．已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，若该长方体的顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为（ ）A ．288πB ．144πC ．108πD ．36π 【考点】球的体积和表面积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，得出长方体内接于球，球的直径等于长方体的对角线长，由此求出球的半径与体积．【解答】解：根据题意，长方体内接于球，所以球的直径为该长方体的对角线；即（2R ）2=32++42=36，解得R=3；所以这个球的体积为V 球=πR 3=×π×33=36π．故选：D ．【点评】本题考查了球的内接长方体以及球的体积的应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题．6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则二面角A′﹣BD﹣A的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间角．【分析】判断四面体A′BDA为正四面体，取BD的中点E，连接AE，A′E，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形AA′E即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．【解答】解：棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则四面体A′BDA为正四面体．取BD的中点E，连接AE，A′E，设四面体的棱长为2，则AE=A′E=且AE⊥BD，A′E⊥BD，则∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，在△AA′E中，cos∠AEA′==故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是：．故选：A．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEA′即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．7．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体G﹣SEF中必有（）A．SD⊥平面EFG B．SE⊥GF C．EF⊥平面SEG D．SE⊥SF【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．【解答】解：在A中：设正方形的棱长为2a，则DG=a，SD=a，∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；在B 中：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，∴SG⊥GE，SG⊥GF，又∵EG⊥GF，SG∩EG=G，∴GF⊥平面SEG，∵SE⊂平面SGE，∴SE⊥GF，故B正确；在C中：△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GF垂直，∴EF不垂直于平面SEG，故C错误；在D中：由正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，得∠ES F＜∠G1SG3=90°，∴SE与SF不垂直，故D错误．故选：B．【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．已知直线（a﹣1）x+（a+1）y+8=0与（a2﹣1）x+（2a+1）y﹣7=0平行，则a值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣4【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由已知条件利用两直线平行的性质能求出a的值．【解答】解：∵直线（a﹣1）x+（a+1）y+8=0与（a2﹣1）x+（2a+1）y﹣7=0平行，∴当a=1时，两直线都垂直于x轴，两直线平行，当a=﹣1时，两直线x=4与y=﹣7垂直，不平行，当a≠±1时，由两直线平行得：，解得a=0．∴a值为0或1．故选：C．【点评】本题考查直线方程中参数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．9．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为E，AA′的中点为F，则直线D′F 和直线CE（）A．都与直线DA相交，且交于同一点B．互相平行C．异面D．都与直线DA相交，但交于不同点【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】连接EF，A′B，CD′，证明E，F，D′，C共面，且EF=CD′，即可得出结论．【解答】解：连接EF，A′B，CD′，则∵AB的中点为E，AA′的中点为F，∴EF∥A′B，∵A′B∥CD′，∴EF∥CD′，∴E，F，D′，C共面，且EF=CD′∴直线D′F和直线CE与直线DA相交，且交于同一点，故选：A．【点评】本题考查E，F，D′，C共面的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．已知△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（1，1），C（1，3），则△ABC的外接圆方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2=5 B．（x+3）2+（y+2）2=20 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=20 D．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由条件求得△ABC为直角三角形，可得它的外接圆的圆心为斜边AC的中点（3，2），半径为AC，由此求得它的外接圆的标准方程．【解答】解：由△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（1，1），C（1，3），可得AB⊥CB，故△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点（3，2），半径为AC=•=，故圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=5，故选：D．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．11．一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，则该几何体的体积为（）A．25π B．19π C．11π D．9π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．代入体积公式计算．【解答】解：三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．∴圆台的上底面面积S1=π×12=π，圆台的下底面面积S2=π×22=4π，圆柱的底面面积S3=π×22=4π，∴V圆台=（S1+S2+）×3=7π，V圆柱=S3×1=4π，V=V圆台+V圆柱=11π．故选C．【点评】本题考查了常见几何体的三视图及体积，是基础题．12．已知三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），则过点A的直线l与线段BC有公共点时（公共点包含公共点），直线l的斜率k l的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】直线的斜率．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】求出直线AC的斜率k AC=1，直线AB的斜率k AB=﹣1，作出图象，数形结合能求出直线l的斜率k l的取值范围．【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于D（2，0），∵三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），直线AC的斜率k AC==1，直线AB的斜率k AB==﹣1，∴结合图象，得：直线l的斜率k l的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查直线的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率公式和数形结合思想的合理运用．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，则直线l在x轴上的截距是﹣2 ；y轴上的截距是 3 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】直线l：3x﹣2y+6=0中，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．【解答】解：∵直线l的方程为3x﹣2y+6=0，∴当y=0时，解得x=﹣2，当x=0时，解得y=3，∴直线l在x轴上的截距是﹣2，y轴上的截距是3．故答案为：﹣2，3．【点评】本题考查直线方程的横截距和纵截距的求法，是基础题，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点（1，0）到它的距离为1的直线是3x+4y+2=0或3x+4y ﹣8=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．根据点（1，0）到它的距离为1，可得=1，解得m即可得出．【解答】解：设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．∵点（1，0）到它的距离为1，∴=1，解得m=2或﹣8．因此所求的直线方程为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．故答案为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】连结A′B、A′C′，由AC∥A′C′，得∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，由此能求出异面直线AC与BC′所成的角．【解答】解：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连结A′B、A′C′，∵AC∥A′C′，∴∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，∵A′B=BC′=A′C′，∴∠A′C′B=60°，∴异面直线AC与BC′所成的角为60°．故答案为：60°．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点（2，4）射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点（3，2），则反射光线的方程为x﹣26y+1=0 ．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】设点P点（2，4）关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′（a，b），则，解得a，b．再利用点斜式即可得出．【解答】解：设点P点（2，4）关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′（a，b），则，解得a=﹣3，b=﹣1．∴反射光线的斜率为： =，∴反射光线的方程y﹣2=（x﹣3），化为x﹣2y+1=0．故答案为：x﹣2y+1=0．【点评】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O（﹣1，1），其中A（﹣2，0），B（1，1）．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．【考点】直线的两点式方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设点C的坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d），由平行四边形的性质和中点坐标公式求出C（0，2），D（﹣3，1），由此能求出该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．【解答】解：设点C的坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d），由已知，，解得，∴C（0，2），D（﹣3，1），∴AD所在直线方程为：，即y=﹣x﹣2．DC所在直线方程为：，即y=．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平行四边形的性质和中点坐标公式的合理运用．18．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），求圆C的标准方程．【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心，再求出半径CA的值，即可求得圆的标准方程．【解答】解：由已知，线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心．线段AB的斜率为：K AB==，∴线段AB的中垂线所在直线的斜率为﹣=﹣2，又∵线段AB的中点为（0，﹣4），∴线段AB的中垂线所在直线方程为：y+4=﹣2x，即2x+y+4=0．由，求得，∴圆C的圆心坐标为（﹣1，﹣2）∴圆C的半径r满足：r2=（2+1）2+（﹣3+2）2=10，∴圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=10．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，直线的斜率公式，两条直线垂直的性质，求出圆心坐标及半径，是解题的关键，属于基础题．19．如图所示，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．（1）求证：平面AB1D1∥平面BDC1；（2）求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）在平面AB1D1找两条相交直线AB1，AD1分别平行于平面BDC1；（2）连接D1C，设D1C∩C1D=O，证明D1O为四棱锥D1﹣AB1C1D的高，求出底面积，即可求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．【解答】（1）证明：由已知，在四边形DBB1D1中，BB1∥DD1且BB1=DD1，故四边形DBB1D1为平行四边形，即D1B1∥DB，﹣﹣﹣﹣﹣2’∵D1B1⊄平面DBC1，∴D1B1∥平面DBC1；﹣﹣﹣﹣﹣3’同理在四边形ADC1B1中，AB1∥DC1，﹣﹣﹣﹣﹣4’同理AB1∥平面DBC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’又∵AB1∩D1B1=B1，﹣﹣﹣﹣﹣6’∴平面AB1D1∥平面BDC1．﹣﹣﹣﹣7’（2）解：连接D1C，设D1C∩C1D=O，则在正方形D1C I CD中，D1C⊥DC1，﹣﹣﹣﹣8’又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面C1CDD1，所以D1C⊥B1C1，﹣﹣﹣﹣9’∵DC1∩B1C1=C1，∴D1C⊥平面AB1C1D，﹣﹣10’即D1O为四棱锥D1﹣AB1C1D的高；由已知，在正方形DCC1D1中，边长为1，∴D1C=DC1=，∴四棱锥的高D1O=，﹣﹣﹣﹣11’又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形AB1C1D为矩形，且C1D=，B1C1=1，故=1×=﹣﹣﹣﹣12’∴==﹣﹣﹣﹣14’【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查四棱锥D1﹣AB1C1D的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC．（1）在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；（2）求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）存在满足条件的点P ．在梯形ACDE 内过C 作CP⊥AE，垂足为P ，则垂足P 即为满足条件的点．由已知推导出BA⊥CP，CP⊥AB，由此能证明CP⊥平面ABE ．（2）连接BP ，则∠CBP 为BC 与平面ABE 所成角，由此能求出直线BC 与平面BAE 所成角的余弦值．【解答】解：（1）存在满足条件的点P ．在梯形ACDE 内过C 作CP⊥AE，垂足为P ，则垂足P 即为满足条件的点．证明如下：∵∠BAC=90°，即BA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC ，∴BA⊥平面ACDE ，又∵CP ⊂平面ACDE ，∴BA⊥CP．由CP⊥AE，CP⊥AB，AB∩AE=A，可知CP⊥平面ABE ．（2）连接BP ，由（1）可知CP⊥平面ABE ，P 为垂足，∴∠CBP 为BC 与平面ABE 所成角θ．在RT△APC 中，∠PAC=60°，∠APC=90°，∴PC=ACsin60°=．在RT△BAC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，∴BC===， ∴在RT△BPC 中，∠BPC=90°，BC=，PC=，即sin θ=sin∠CBP===，且0＜θ＜，∴cos θ===，故直线BC 与平面BAE 所成角的余弦值为．【点评】本题考查使得线面垂直的点是否存在的判断与证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．【考点】直线与平面垂直的判定；余弦定理．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．利用面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性即可得出；（II）在等腰△ADC中，使用余弦定理和利用余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．在Rt△BRD中，BR2=BD2+RD2=，AR2=x2．故d2=BR2+AR2=．∴当时，d2取得最小值．（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，∴当时，cosθ取得最小值．【点评】本题考查了面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性、余弦定理和余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．。

广东省实验中学09-10学年高二上学期期中考试（数学文）本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页，满分为150分。

考试用120分。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分 基础检测（共100分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某影院有50排座位，每排有60个,分别编写为00，01，…59,一次报告会影院内坐满了听众.会后留下座位号为18的所有人进行座谈,这是运用了 （ ）A ．简单随机抽样B ．分层抽样C ．系统抽样D ．放回抽样 2．命题“12既是4的倍数，又是3的倍数”的形式是 （ ） ....A p qB p qC pD ∨∧⌝简单命题3．从一组数据中，取出1f 个1x ，2f 个2x ，3f 个3x 组成一个样本，则这个样本的平均数是（ ） A ．1233x x x ++ B ．1233f f f ++ C ．1122333x f x f x f ++ D ．112233123f x f x f x f f f ++++ 4．关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法正确的是 （ ） A ．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 B ．直方图的高表示取某数的频率C ．直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值D ．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值 5．一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．两次中靶 B ．两次都不中靶 C ．至少有一次中靶 D ．只有一次中靶 6．某运动员第二赛季各场次得分的茎叶图如下： 0 681 22672 247993 0036 45 5那么，其中3 0036表示A ．有两场得30分，有一场得33分，有一场得36分B ．有一场得36分B ．有一场得33分，有一场得36分 D ．有三场得36分7．如果右边程序运行后输出的结果是132，那么在程序中until 后面的“条件”应为( )A ．i>11B ．i>=11C ．i<=11D ．i<118．现有五个球分别记为A,,C,J,K,S,随机放进三个盒子，每个盒子放一个球，则K 或S 在盒子中的概率是（ ） A ．35 B ．310 C ．910 D ．110二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9．将十进制数83转化为二进制数是___________________ 10．|x|≤1且|y|≤1是x 2+y 2≤1的 条件. 11．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于56的概率是______________。

高二第一学期期中考试试卷数 学（ 说明：考试时间120分钟，满分150分 ）第一部分：选择题一、选择题（本大题共12个小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝tb t a ++，那么( ) A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝ND ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化2．已知数列{a n }中， 21=a ，*11()2n n a a n N +=+∈，则101a 的值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．523.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-44．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81，log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是（ ）A ．5B ．10C ．20D ．2或45．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( )A ．34 B ．23 C ．32 D ．436．如果a ＜b ＜0，那么( )A ．a －b ＞0B ．ac ＜bcC ．a 1＞b1D ．a 2＜b27．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．68.不等式20(0)axbx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>9．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( ) A ．4 B ．8C ．15D ．3110.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A.63 B.108 C.75 D.8311.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -812.已知,a b R +∈,且5a b +=，则22a b+的最小值是（ ）A.32B.第二部分：非选择题二、填空题（3个小题，每小题6分，共18分）13．在数列{a n }中，其前n 项和S n ＝3·2n＋k ，若数列{a n }是等比数列，则常数k 的值为14．在ABC ∆中，045,B c b ===，那么A ＝ 15.不等式21131x x ->+的解集是三、解答题（4个小题，每小题15分，共60分） 16．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且B Csin sin ＝53．(1)求AC 的长；(2)求∠A 的大小．（15分）17.(1) 求不等式的解集：0542<++-x x（7分）(2)求函数的定义域：5y =+（8分）18．已知等差数列{a n }的前n 项的和记为S n ．如果a 4＝－12，a 8＝－4．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n的最小值及其相应的n的值；a，…，构成一个新的数列{b n}，求{b n}的前n项和．（15(3)从数列{a n}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，12n－分）19．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只调配A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？（15分）2018-2019年度第一学期高二期中考试答案数 学（说明：考试时间120分钟，满分150分。

广东实验中学2018—2019学年（上）高二级期中考试数 学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆14322=+y x 的焦点坐标是A ．），（01± B ．），（05± C ．），（10± D ．），（50± 2．某人向下列图中的靶子上射箭，假设每次射击都能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，最容易射中阴影区的是A ．B ．C ．D ．3．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0﹣2＞0，命题q ：∀x ∈R ，x x <2，则下列说法中正确的是 A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧（￢q ）是真命题D ．命题p ∨（￢q ）是假命题4．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为3.107.0+−=x y，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是x 6 8 10 12 y6m32A ．m =4B ．可以预测，当x =20时，y =﹣3.7C ．变量x ，y 之间呈现正相关关系D ．由表格数据知，该回归直线必过点（9，5）6．某部门收集了所在城市2017年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制出如图折线图：经分析发现，各月的最高气温平均值和最低气温平均值有较好的线性拟合关系．下列叙述错误的是A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关.B ．全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大.C ．若在这12个月中任取1个月，则所取这个月的最低气温平均值不高于10℃的概率为31. D ．若在这12个月中任取1个月，则所取这个月的最高气温平均值不低于25℃的概率为125.7．某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是A ．该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B ．该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C ．该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为8人．D ．该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有80人8．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号，依从小到大的编号顺序平均分成50个小组，组号依次为1，2，……，50．已知第1小组随机抽到的号码是m ，第8小组抽到的号码是9m ，则第7小组抽到的号码是 A ．100 B ．110 C ．120 D ．1269. 如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图， 它输出的结果S 表示的是A ．303202010x a x a x a a +++ 的值 B ． 300201023x a x a x a a +++的值 C ．3210a a a a +++的值 D ．以上都不对10.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是 A ．41 B ．21 C ．43 D ．87 11．已知F 1，F 2是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为63的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=120°，则C 的离心率是 A ．32 B ．21 C ．31 D ．41 12．对于函数x x x x f 2sin 1cos sin )(−−+=，给出下列四个说法： ①)(x f 是以π为周期的函数； ②)(x f 的图象关于直线)(245Z k k x ∈+=ππ对称； ③当π<<x 0时，2)(2≤<−x f ；④函数x x g lg 2)(=的图象与)(x f 的图象共有8个交点．则其中所有正确说法的序号是 A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．②③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知F 1（-3，0）， F 2（3，0），动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=10，则动点M 的轨迹方程是．14．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为 .15．若命题“∀x ∈R ，3x 2+2ax +1≥0”的否定是假命题，则实数a 取值范围是 .16．设F 1，F 2为椭圆14222=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在x 轴上，则|PF 1|= ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.（本题满分10分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 2 的直线与椭圆相交于C ，D 两点，已知|F 1F 2|=4，△F 1CD 的周长为8．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y =x ﹣2与椭圆交于A ，B 两点，求|AB|的值；18.（本题满分12分）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 2=2，S 4=﹣20． （1）求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；（2）是否存在n ，使S n ，S n+2+2n ，S n+3成等差数列，若存在，求出n ，若不存在，说明理由．19.（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cosA （b cosC+c cosB ）=a ． （1）求角A 的值； （2）若,53cos =B 求)sin(C B −的值．20.（本题满分12分）某海产品经销商调查发现，该海产品每售出1吨可获利0.4万元，每积压1吨则亏损0.3万元．根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如下图所示，将频率视为概率．（1）请补齐[90，100]上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数； （2）今年该经销商欲进货100吨，以x （单位：吨，x ∈[60，110]）表示今年的年需求量，以y （单位：万元）表示今年销售的利润，试将y 表示为x 的函数解析式；并求今年的年利润不少于27.4万元的概率．21．（本题满分12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，∠ABC=60°，PA=PB=AC ，点M 为AB 的中点． （1）试在棱PD 上找一个点N ，使得AN ∥平面PMC ； （2）若PB ⊥AC ，11=PM ，求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．22.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆C 过点)21,3(， 焦点F 1（﹣3，0），F 2（3，0），圆O 的直径为F 1F 2． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为，求直线l 的方程．2018年高二文科数学中段考试解答及评分标准一、 CBCABC DBACDB13．1162522=+y x ；14.21；15.；16.317.（本题满分10分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 2 的直线与椭圆相交于C ，D 两点，已知|F 1F 2|=4，△F 1CD 的周长为8．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y =x ﹣2与椭圆交于A ，B 两点，求|AB|的值； 解：（1）∵2c=4，∴c=2， 1分 ∵△F 1CD 的周长为8∴4a =8， ∴a =2， 3分 ∴b 2=a 2﹣c 2=8﹣4=4 4分，故椭圆方程为+=1， 5分（2） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由28222{−==−+x y y x 消去y 得3x 2﹣8x=0， 7分所以x 1=0，x 2=38， 8分，解得y 1=﹣2，y 2=32． 9分 所以|AB|=3282320-3822=++）（）（10分18.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 2=2，S 4=﹣20，∴2a 1+d=2，4a 1+6d=﹣20， 2分，联立解得a 1=4，d=﹣6， 4分 ∴a n =4﹣6（n ﹣1）=10﹣6n ， 5分，S n ==7n ﹣3n 2 7分（2）假设存在n ，使S n ，S n+2+2n ，S n+3成等差数列， 则2（S n+2+2n ）=S n +S n+3， 9分∴2[7（n+2）﹣3（n+2）2+2n]=7n ﹣3n 2+7（n+3）﹣3（n+3）2， 11分 解得n=5．则存在n=5，使S n ，S n+2+2n ，S n+3成等差数列． 12分 19.（本题满分12分）解：（1）由正弦定理可知，2cosA （sinBcosC+sinCcosB ）=sinA ， …2分即2cosAsinA=sinA，因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以2cosA=1，即，… 4分又A∈（0，π），所以．… 6分（2）因为，B∈（0，π），所以，… 7分所以，，… 8分=…10分==．…12分20.（本题满分12分）解：（1）补齐[90，100]上的频率分布直方图如下：…2分设年需求量平均数为，则=65×0.05+75×0.15+85×0.5+95×0.2+105×0.1=86.5．…6分（注：列式（2分），错一个扣（1分），错两个及以上不得分；答案2分）（2）设今年的年需求量为x吨、年获利为y万元当0≤x≤100时，y=0.4x﹣0.3（100﹣x）=0.7x﹣30，当x＞100时，y=40，故y=，…8分0.7x﹣30≥27.4，解得x≥82．…9分P（82≤x≤90）===0.4，…10分P（90≤x＜100）=0.2，P（100≤x≤110）=0.1，…..11分P（x≥82）=P（82≤x＜90）+P（90≤x＜100）+P（100≤x＜110）=0.4+0.2+0.1=0.7．所以今年获利不少于27.4万元的概率为0.7．…12分21．（本题满分12分）解：（1）当点N为PD中点时AN∥平面PMC． 1分证明如下：取PD中点N，PC中点Q，连结AN，QN，MQ，在△PCD中，∵N，Q分别是所在边PD，PC的中点，∴NQ∥CD且． 2分∵点M为AB中点，AB=CD，∴NQ∥AM且NQ=AM．∴四边形AMQN是平行四边形，得AN∥MQ． 4分又∵AN⊄平面PMC，MQ⊂平面PMC，∴AN∥平面PMC； 5分（2）在△ABC中，BC=2AB，∠ABC=60°，设AB=a，则BC=2a，由余弦定理有： 6分则BC2=AB2+AC2，由勾股定理的逆定理可得：AC⊥AB． 7分又∵PB⊥AC，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB，∴AC⊥平面PAB．∵PM⊂平面PAB，∴AC⊥PM． 8分∵PA=PB，点M为线段AB的中点，∴PM⊥AB，又AC∩AB=A，因此PM⊥平面ABCD． 9分在Rt△PAM中，由AB=a，，PM⊥AB，得，∴，∴a=2， 10分，则AB=2，BC=4，则．∴四棱锥P﹣ABCD的体积为． 12分22.解：（1）由题意可设椭圆方程为， 1分∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴． 2分∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1． 3分∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3． 4分（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C相切，且切点在第一象限，因此k一定小于0，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得． 5分由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0， 6分△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0， 7分可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（． 8分②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣． 9分联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=， 10分|AB|=|x2﹣x1|=， 11分△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求． 12分。

2023-2024学年广东省东莞实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．经过A （﹣1，3），B （1，9）两点的直线的一个方向向量为（1，k ），则k ＝（ ） A ．−13B ．13C ．﹣3D ．32．若两条不同的直线l 1：（2a ﹣4）x ﹣2y ﹣2＝0与直线l 2：3x +（a +2）y +1＝0平行，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣1或1D ．03．已知a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），若a →，b →，c →三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知A （1，﹣2，1），B （1，﹣5，4），C （2，3，4），则AC →在AB →上的投影向量为（ ） A ．（0，﹣1，1）B ．（0，1，﹣1）C ．(0，√2，−√2)D ．(0，−√2，√2)5．圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y ﹣2＝0被过点P （0，0）的直线截得的最短弦长为（ ） A ．2B ．4C ．2√2D ．2√36．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，且对角线交于点E ，过点E 作与AB 所在直线的平行线l ．若AB 和CD 所在直线的方程分别是3x +4y ﹣6＝0与3x +4y +9＝0，则直线l 与CD 所在直线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为R ，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为R30，远地距离为R20，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ）A ．15B ．2125C ．1120D ．11258．在平面直角坐标系中，已知定点A （0，4），B （2，0），若在圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m 上存在点P ，使得∠APB 为直角，则实数m 的最大值是（ ）A．15B．25C．35D．45二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知M是椭圆C：x 28+y24=1上一点，F1，F2是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e=√22C．椭圆的短轴长为4D．△MF1F2的面积的最大值是410．已知直线l过原点，且A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，则直线方程可以为（）A．x+y＝0B．x+y﹣5＝0C．3x﹣2y＝0D．3x+2y＝011．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°12．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x+y+2＝0，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线P A、PB，切点为A、B，则下列结论正确的是（）A．四边形MAPB面积的最小值为4B．四边形MAPB面积的最大值为8C．当∠APB最大时，|PA|=2√2D．当∠APB最大时，直线AB的方程为x+y＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系中，点A（﹣1，1，﹣2）关于原点的对称点为点B，则|AB|＝．14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面β与水平面α的交线为l，小明分别在水平面α和斜坡面β选取A，B两点，且AB＝7，A到直线l的距离AA1＝3，B到直线l的距离B1B ＝4，A1B1=2√3，则斜坡面β与水平面α所成角的大小为．15．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣1＝0，则y﹣2x的最大值为．16．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|就是一条形状优美的曲线，则下列结论正确的是．（填写序号）①曲线C围成的图形的周长是4√2π；②曲线C上的任意两点间的距离不超过4；③曲线C围成的图形的面积是4（π+2）；④若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|4m﹣3n﹣17|的最小值是10﹣5√2．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l过点P（2，﹣1）．（1）若直线l与直线2x+y+3＝0垂直，求直线l的方程（2）若直线l在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC上的动点，且AE＝BF＝a．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当a＝1时，求点A到平面C1EF的距离．19．（12分）已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点，|F1F2|＝2，M(2，2√55)为C上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P为C上一点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．20．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x﹣4＝0与圆C2：x2+y2+6y﹣28＝0．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x﹣y﹣4＝0上的圆的方程．21．（12分）已知圆C的方程为x2+y2﹣2mx﹣4y+6m﹣9＝0（m∈R）．（1）求m的值，使圆C的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，﹣2）的直线方程．22．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．2023-2024学年广东省东莞实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．经过A （﹣1，3），B （1，9）两点的直线的一个方向向量为（1，k ），则k ＝（ ） A ．−13B ．13C ．﹣3D ．3 解：由点A （﹣1，3），B （1，9），可得直线AB 的斜率为k AB =9−31+1=3， 因为经过A ，B 两点的直线的一个方向向量为（1，k ），所以k ＝3． 故选：D ．2．若两条不同的直线l 1：（2a ﹣4）x ﹣2y ﹣2＝0与直线l 2：3x +（a +2）y +1＝0平行，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣1或1D ．0解：因为直线l 1：（2a ﹣4）x ﹣2y ﹣2＝0与直线l 2：3x +（a +2）y +1＝0平行， 所以（2a ﹣4）（a +2）+6＝0，解得a ＝±1， 当a ＝1时，l 1：x +y +1＝0，l 2：x +y +13=0，两直线平行， 当a ＝﹣1时，l 1：3x +y +1＝0，l 2：3x +y +1＝0，两直线重合， 所以a ＝1． 故选：B ．3．已知a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），若a →，b →，c →三向量共面，则实数λ等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），a →，b →，c →三向量共面，∴可设c →=ma →+nb →，即（1，3，λ）＝（2m ﹣n ，﹣m +4n ，3m ﹣2n ）， ∴{2m −n =1−m +4n =33m −2n =λ，解得m ＝1，n ＝1，λ＝1．∴实数λ等于1． 故选：A ．4．已知A （1，﹣2，1），B （1，﹣5，4），C （2，3，4），则AC →在AB →上的投影向量为（ ） A ．（0，﹣1，1）B ．（0，1，﹣1）C ．(0，√2，−√2)D ．(0，−√2，√2)解：因为AC →=(1，5，3)，AB →=(0，−3，3)， 所以AC →⋅AB →=0+5×(−3)+3×3=−6，因为|AB →|=3√2，所以AC →⋅AB →|AB →|=3√2=−√2，故AC →在AB →上的投影向量为√23√2→=−13AB →=(0，1，−1)．故选：B ．5．圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y ﹣2＝0被过点P （0，0）的直线截得的最短弦长为（ ） A ．2B ．4C ．2√2D ．2√3解：化圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y ﹣2＝0为（x ﹣1）2+（y +1）2＝4， 则圆心坐标为C （1，﹣1），半径为2， 点P （0，0）在圆C 内部，∵|PC |=√2，∴圆C 被过点P （0，0）的直线截得的最短弦长为2√22−(√2)2=2√2． 故选：C ．6．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，且对角线交于点E ，过点E 作与AB 所在直线的平行线l ．若AB 和CD 所在直线的方程分别是3x +4y ﹣6＝0与3x +4y +9＝0，则直线l 与CD 所在直线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，对角线交于点E ，过点E 作与AB 所在直线的平行线l ，如图所示：计算AB 和CD 所在直线的距离为d =|−6−9|√3+4=3，因为△ABE ∽△CDE ，且CD ：AB ＝2：1，所以直线l 与CD 所在直线的距离为3×22+1=2． 故选：B ．7．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为R ，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为R30，远地距离为R20，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ）A ．15B ．2125C ．1120D ．1125解：根据题意：a −c =R +R 30，a +c =R +R 20，解得a =2524R ，c =1120R ，故离心率e =c a =1125． 故选：D ．8．在平面直角坐标系中，已知定点A （0，4），B （2，0），若在圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m 上存在点P ，使得∠APB 为直角，则实数m 的最大值是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45解：以A （0，4），B （2，0）两点为直径的圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5， 设圆心为N ，所以N （1，2），半径为√5，若在圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m 上存在点P ，使得∠APB 为直角，则圆M 与圆N 有公共点， 又圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m ，所以M （﹣1，﹣2），半径为√m （m ＞0），所以MN ＝2√5，故|√m −√5|≤2√5≤√m +√5，解得5≤m ≤45， 所以m 的最大值为45， 故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知M是椭圆C：x 28+y24=1上一点，F1，F2是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e=√22C．椭圆的短轴长为4D．△MF1F2的面积的最大值是4解：因椭圆方程为x28+y24=1，所以a=2√2，b=2，c=2，所以椭圆的焦距为2c＝4，离心率e=ca=√22，短轴长为2b＝4，故A错误，B，C正确；对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，△MF1F2以F1F2为底时的高最大，为2，此时△MF1F2的面积取最大为12×2c×b=12×2×2×2=4，故正确．故选：BCD．10．已知直线l过原点，且A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，则直线方程可以为（）A．x+y＝0B．x+y﹣5＝0C．3x﹣2y＝0D．3x+2y＝0解：直线l过原点，且A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，斜率必存在，故设所求直线的方程为kx﹣y＝0，∵A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，∴√1+k2=√1+k2，解得k＝﹣1或k=32，故所求直线方程为x+y＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°解：如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，∵sin∠C1BO=OC1BC1=12，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．12．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x+y+2＝0，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线P A、PB，切点为A、B，则下列结论正确的是（）A．四边形MAPB面积的最小值为4B．四边形MAPB面积的最大值为8C．当∠APB最大时，|PA|=2√2D．当∠APB最大时，直线AB的方程为x+y＝0解：如图所示：由圆的几何性质可得MA⊥P A，MB⊥PB，由切线长定理可得|P A|＝|PB|，又因为|MA|＝|MB|，|MP|＝|MP|，所以，△P AM△PBM，所以，SÛ1bMAPB＝2S△P AM＝|P A|•|AM|＝2|P A|，因为|PA|=√|MP|2−|MA|2=√|MP|2−4，当MP⊥l时，|MP|取最小值，且|MP|min=|1+1+2|2=2√2，所以，四边形MAPB的面积的最小值为2×√(2√2)2−4=4，A对；因为|MP|无最大值，即|P A|无最大值，故四边形MAPB面积无最大值，B错；因为∠APM为锐角，∠APB＝2∠APM，且sin∠APM=|AM||MP|=2|MP|，故当|MP |最小时，∠APM 最大，此时∠APB 最大，此时|P A |＝2，C 错； 由上可知，当∠APB 最大时，|P A |＝|PB |＝|MA |＝|MB |＝2且∠P AM ＝90°， 故四边形MAPB 为正方形，且有MP ⊥l ，则MP 的方程为y ＝x ， 联立{y =x x +y +2=0，可得{x =−1y =−1，即点P （﹣1，﹣1），由正方形的几何性质可知，直线AB 过线段MP 的中点O （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝﹣x ，D 对． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系中，点A （﹣1，1，﹣2）关于原点的对称点为点B ，则|AB |＝ 2√6 ． 解：空间直角坐标系中，点A （﹣1，1，﹣2）关于原点的对称点B （1，﹣1，2）， 则B ，A 间的距离为|BC |＝2√1+1+4=2√6． 故答案为：2√6．14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面β与水平面α的交线为l ，小明分别在水平面α和斜坡面β选取A ，B 两点，且AB ＝7，A 到直线l 的距离AA 1＝3，B 到直线l 的距离B 1B ＝4，A 1B 1=2√3，则斜坡面β与水平面α所成角的大小为2π3．解：设AA 1→与B 1B →的夹角为θ，因为AB →=AA 1→+A 1B 1→+B 1B →，AA 1→⋅A 1B 1→=A 1B 1→⋅B 1B →=0，所以AB →2=(AA 1→+A 1B 1→+B 1B →)2=AA 1→2+A 1B 1→2+B 1B →2+2AA 1→⋅B 1B →+2AA 1→⋅A 1B 1→+2A 1B 1→⋅B 1B →， 即49＝9+12+16+2×3×4cos θ，所以cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=π3，所以斜坡面β与水平面α所成的角为2π3．故答案为：2π3．15．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0，则y ﹣2x 的最大值为 1 ． 解：方程x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0化为（x ﹣2）2+y 2＝5， 则方程表示以（2，0）为圆心，√5为半径的圆， 令t ＝y ﹣2x ，则2x ﹣y +t ＝0，由题意可得直线2x﹣y+t＝0与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0有交点，则圆心（2，0）到直线2x﹣y+t＝0的距离√4+1≤√5，解得﹣9≤t≤1，所以y﹣2x的最大值为1．故答案为：1．16．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|就是一条形状优美的曲线，则下列结论正确的是①③④．（填写序号）①曲线C围成的图形的周长是4√2π；②曲线C上的任意两点间的距离不超过4；③曲线C围成的图形的面积是4（π+2）；④若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|4m﹣3n﹣17|的最小值是10﹣5√2．解：由x2+y2＝2|x|+2|y|，当x≥0，y≥0时，x2+y2＝2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，表示圆心为（1，1），半径r=√2的半圆；当x＜0，y≥0时，x2+y2＝﹣2x+2y，即（x+1）2+（y﹣1）2＝2，表示圆心为（﹣1，1），半径r=√2的半圆；当x≥0，y＜0时，x2+y2＝2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2，表示圆心为（1，﹣1），半径r=√2的半圆；当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣2x﹣2y，即（x+1）2+（y+1）2＝2，表示圆心为（﹣1，﹣1），半径r=√2的半圆．曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|的图象如下图所示：由图象可知，曲线C由4个半圆组成，故其周长为2×2π×r=4√2π，围成的图形的面积为4×12π×(√2)2+(2√2)2=4π+8=4(π+2)，故①正确、③正确；曲线C上的任意两点间的最大距离为4r=4√2，故②错误；P（m，n）到直线4x﹣3y﹣17＝0的距离d2=√4+3=|4m−3n−17|5，圆心（1，﹣1）到直线4x﹣3y﹣17＝0的距离为d1=|4+3−17|√4+3=2，若使d 2最小，则有(d 2)min =d 1−r =2−√2，所以|4m −3n −17|min =10−5√2，故④正确．故答案为：①③④．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l 过点P （2，﹣1）．（1）若直线l 与直线2x +y +3＝0垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．解：（1）因为直线l 与直线2x +y +3＝0垂直，所以可设直线l 的方程为x ﹣2y +m ＝0，因为直线l 过点P （2，﹣1），所以2﹣2×（﹣1）+m ＝0，解得m ＝﹣4，所以直线l 的方程为x ﹣2y ﹣4＝0（2）当直线l 过原点时，直线l 的方程是y =−x 2，即x +2y ＝0． 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x ﹣y ＝a ，把点P （2，﹣1）代入方程得a ＝3，所以直线l 的方程是x ﹣y ﹣3＝0．综上，所求直线l 的方程为x +2y ＝0或x ﹣y ﹣3＝018．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝a ．（1）求证：A 1F ⊥C 1E ；（2）当a ＝1时，求点A 到平面C 1EF 的距离．（1）证明：如图，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，AE ＝BF ＝a ，（0≤a ≤2），则A 1（2，0，2），F （2﹣a ，2，0），C 1（0，2，2），E （2，a ，0），∴A 1F →=（﹣a ，2，﹣2），C 1E →=（2，a ﹣2，﹣2），∴A 1F →⋅C 1E →=−2a +2a ﹣4+4＝0，∴A1F⊥C1E；（2）解：∵a＝1，∴E为AB的中点，∴A与B到平面C1EF的距离相等，V C1−EBF =13×12×1×1×2=13，EF=√2，C1F=√5，C1E=√12+22+22=3，∴cos∠C1FE=2+5−92×√2×√5=−√1010，则sin∠C1FE=√1−(−√1010)2=3√1010，∴S△C1FE =12×√2×√5×3√1010=32，设点B到平面C1EF的距离为h，∴13×32ℎ=13，解得h=23，即点A到平面C1EF的距离为23．19．（12分）已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点，|F1F2|＝2，M(2，2√55)为C上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P为C上一点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．解：（1）不妨设椭圆C的焦距为2c，因为|F1F2|＝2，所以c＝1，此时F1（﹣1，0），F2（1，0），因为M(2，2√55)为C上一点，所以|MF1|=√9+45=7√55，|MF2|=√1+45=3√55，因为|MF1|+|MF2|＝2a，解得a=√5，此时b=√5−1=2，则椭圆C的标准方程为x25+y24=1；（2）因为∠F2PF1＝30°，所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−√3|PF1||PF2|，由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=2√5，对等式两边同时平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|⋅|PF2|=20，即22+√3|PF1||PF2|+2|PF1|⋅|PF2|=20，解得|PF1|⋅|PF2|=16(2−√3)，故△F1PF2的面积S=12|PF1|⋅|PF2|sin30°=4(2−√3)20．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x﹣4＝0与圆C2：x2+y2+6y﹣28＝0．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x﹣y﹣4＝0上的圆的方程．解：（1）将两圆的方程相减可得公共弦方程：x2+y2+6x﹣4﹣（x2+y2+6y﹣28）＝0即x﹣y+4＝0；（2）设圆的方程：x2+y2+6x﹣4+λ（x2+y2+6y﹣28）＝0，其圆心坐标为（−31+λ，−3λ1+λ）代入直线x﹣y﹣4＝0，解得λ＝﹣7所以所求方程为x2+y2﹣x+7y﹣32＝0．21．（12分）已知圆C的方程为x2+y2﹣2mx﹣4y+6m﹣9＝0（m∈R）．（1）求m的值，使圆C的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，﹣2）的直线方程．解：（1）∵圆C的方程为x2+y2﹣2mx﹣4y+6m﹣9＝0，∴该圆的半径r=12√4m2+16−4(6m−9)=√(m−3)2+4，要使圆C的周长最小，其半径最小，故当m＝3时，圆的半径最小，即其周长最小．（2）当m＝3时，该圆圆心为（3，2），r=√4=2，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，该直线与圆相切，当直线l的斜率存在时，设直线方程为y+2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣2＝0，∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离为半径r，即√k2+1=2，解得k=34，即直线方程为3x﹣4y﹣11＝0，综上所述，所求的直线方程为x＝1或3x﹣4y﹣11＝0．22．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．解：（1）证明：过P 在平面P AD 内作直线l ∥AD ，由AD ∥BC ，可得l ∥BC ，即l 为平面P AD 和平面PBC 的交线，∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又BC ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，设平面PCD 中有任一直线l ′，则BC ⊥直线l ′，∵l ∥BC ，∴l ⊥直线l ′，∴由线面垂直的定义得l ⊥平面PCD ；（2）如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz则D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），P （0，0，1），B （1，1，0），设Q （m ，0，1），DQ →=（m ，0，1），PB →=（1，1，﹣1），DC →=（0，1，0），设平面QCD 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅DC →=0n →⋅DQ →=0，∴{b =0am +c =0，取a ＝﹣1，可得n →=（﹣1，0，m ）， ∴cos ＜n →，PB →＞=n →⋅PB→|n →|⋅|PB →|=√3⋅√1+m 2，∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√3⋅√1+m 2=√33•√1+2m+m 21+m 2 =√33•√1+2m 1+m 2≤√33•√1+22=√63，当且仅当m ＝1取等号， ∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63．。

2017学年广东省实验中学高二上学期期中数学试卷和解析文科
2017 学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1．（ 5 分）以下表达中不正确的选项是（）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．每一条直线都对应独一一个倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或 90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
2．（ 5 分）已知直线 a∥平面α，直线 b? α，则 a 与 b 的地点关系是（）
A．订交B．平行C．异面D．平行或异面
3．（ 5 分）下边四个命题：
①分别在两个平面内的直线平行
②若两个平面平行，则此中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面
③假如一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
④假如一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
此中正确的命题是（）
A．①②B．②④C．①③D．②③
．（分）在等差数列n }中，S10 ，那么1+a10 的值是（）
4 5 { a =120 a
A．12 B． 24 C．36 D．48
5．（5 分）已知，则 cos（π+2α）的值为（）
A．B．C．D．
6．（ 5 分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1 D1中， E、F 分别是 AB1、BC1的中点，则以下结论中不建立的是（）
A．EF与 BB1垂直B．EF与 BD 垂直C．EF与 CD异面D． EF与 A1 C1异面
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广东实验中学2011—2012学年(上)高二级模块三考试 文科数学注意事项：本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页，满分为150分．考试用120分．1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回． 参考公式：2121121)())((xn xy x n yx x xy y x xb ni ini ii ni ini i i--=---=∑∑∑∑====x b y a -=第一部分基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，在每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列语言中，哪一个是输入语句() A ．PRINT B ．INPUT C ．IF D ．THEN 2．给出右面的程序框图，输出的数是() A ．2450 B ．2550 C ．5050 D ．4900 3．下列抽样中不是系统抽样的是()A ．从标有1～15号的产品中，任选3个作样本，按从小到大排序，随机选起点m ，以后选510m m ++，(超过15则从1再数起)号入样.B ．工厂生产的产品，用传送带送入包装车间前，检验人员从传送带每隔5分钟抽一件产品进行检验. C ．某商场搞某一项市场调查，规定在商场门口随机抽一个顾客进行询问，直到调查到事先规定调查的人数为止.D ．为调查某城市汽车的尾气排放的执行情况，在该城市的主要交通干道上采取对车牌号末位数字为6的汽车进行检查．4．右面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知()A ．甲运动员的成绩好于乙运动员.B ．乙运动员的成绩好于甲运动员.C ．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异.D ．甲运动员的最低得分为0分.5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是() A ．r 越大，相关程度越大.B ．()0,r ∈+∞，r 越大，相关程度越小，r 越小，相关程度越大.C ．1r ≤且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小.D ．以上说法都不对.6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0－9和字母A －F 共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ABCDEF十进制12345678910 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示：E ＋D ＝1B ，则5F 对应的十进制的数是() A ．20B ．75C ．95D ．1007．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为()A ．91 B ．92 C ．31 D ．95 8．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，估计这200辆汽车在这段公路时速的平均数和中位数是()A ．64.5，60B ．65，65C ．62，62.5D ．63.5，709．设)π,4π3(∈θ，则关于,x y 的方程1cos sin 22=-θθy x 所表示的曲线为() A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线10．已知条件p ：,114-≤-x 条件q ：,22a a x x -<+且p 为q 的一个必要不充分条件，则a 的取值范围是()A ．]21,2[--B ．]2,1[-C ．]2,21[D ．),2[]21,2(+∞⋃-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是____________.12．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这列数有个特点，前两个数都是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，这样的一列数一般称为斐波那契数．下列程序所描述的算法功能是输出前10个斐波那契数，请把这个程序填写完整． 编号①_________．编号②_________．(12题)(13题)13．若框图(如图所示)所给的程序运行的结果为S ＝90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是___________.(注：框中的赋值符号“←”，也可以写成“＝”或“：＝”)14．已知命题p ：存在x R ∈，使tan 1x =，命题q ：2320x x -+<的解集是{|12}x x <<，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且¬q ”是假命题；③命题“¬p 或q ”是真命题；④命题“¬p 或¬q ”是假命题，其中正确的有________________. 三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分10分)为了研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下表：水深x (m )1.61.71.81.92.0 流速y (m /s ) 1 1.5 2 2.53(1)画出散点图，判断变量y 与x 是否具有相关关系；(2)若y 与x 之间具有线性相关关系，求y 对x 的回归直线方程；(3)预测水深为1.95m 水的流速是多少.16．(本小题满分10分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(32,4)A ，点(10,25)B .(1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆22:(5)9M x y +-=，双曲线G 与椭圆C 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．17．(本小题满分10分)把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第2次出现的点数为b ，试就方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩解答下列问题：(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率．第二部分能力检测部分(共50分)18．(本小题满分5分)离心率为黄金比21-5的椭圆称为“优美椭圆”.设)0(12222>>=+b a by a x 是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于________.19．(本小题满分5分)已知p ：方程210x mx ＋＋＝有两个不等的负根；q ：方程244(2)10x m x ＋－＋＝无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假则m 的取值范围是_______________．20．(本小题满分12分)已知关于x 的函数()241.f x ax bx ＝－＋(1)若)2,1(,0-∈=b a 求函数y ＝f (x )是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．21．(本小题满分14分)已知二次函数21y x mx =+－－和点A (3，0)，B (0，3)，求二次函数的图像与线段AB 有两个不同交点的充要条件.22．(本小题满分14分)已知点A (0，1)、B (0，－1)，P 为一个动点，且直线PA 、PB的斜率之积为.21-(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设Q (2，0)，过点(－1，0)的直线l 交于C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式λλ求恒成立,tan MQN S ∠≤的最小值．。

广东实验中学2012-2013学年（上）高二级期中考试文科数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分,考试用时120分钟．注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷和答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上填涂学号．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案,然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷交回． 参考公式：2=4S R π球表面积第一部分 基础检测（共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．直线0133=++y x 的倾斜角是(）A ．30 B ．60 C ．120 D ．1352．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是( )yＡ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥ Ｂ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤Ｃ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤Ｄ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥ 3．如图Rt O A B '''∆2O B ''=则这个平面图形实际的面积是（ ） A ．22B ．1C 2D ．22Ks5u4．以)1,5(),3,1(-B A 为端点的线段的垂直平分线方程是（ )Ａ．083=--y x B ．043=++y xC．063=+-y xD ．023=++y x 5．一个棱锥的三视图如右图所示, 则这个棱锥的体积是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．366．四棱锥P-ABCD 5ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为 （ ）Ks5uA 5B 25C ．45D ．357．直线03)1(:1=--+y k kx l和02)32()1(:2=-++-y k x k l 互相垂直，则=k （ ）A ．-3或-1B ．3或１C ．—3或１D ．—1x11-2-O1或38．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错．误．的是（ ）A ．D 1O ∥平面A 1BC 1B ．D 1O ⊥平面MACC ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°D ．二面角M －AC －B 等于90° 9．下列命题中，错误的是( ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线D ．如果平面α不垂直平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β10．过原点引直线l ,使l 与连接A （1，1）和B(1，—1)两点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ）A ．],43[]4,0[πππ⋃ B ．]43,4[ππ C ．]4,4[ππ- D ．),43[]4,0[πππ⋃二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．光线自点），（33-A 射出，经过x 轴反射以后经过点)5,2(B 。

2022-2023学年广东省实验中学高二上学期期中段考数学试题1．试卷总分：150分，考试时间：120分钟．2．答题前，考生务必在将自己的姓名、班级、考生号、座位号填写在答题卡相应位置上．3．回答第Ⅰ卷（选择题）时，每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题号的该项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他选项．4．回答第Ⅱ卷（非选择题）时，请用黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡相应位置上，仅写在试卷上的答案无效．5．答题卡上不得使用涂改液或涂改带进行涂改．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.的倾斜角大小为（）40y --=A B. C. D. 30︒60︒120︒150︒2. 复数，则等于（ ）()22iiZ -=ZA. C.D. 2553. 若圆与圆C 关于直线对称，则圆C 的方程为（）2220x x y -+=0x y +=A.2220x x y ++=B.2220x y y +-=C.2220x y y =++D.2220x x y -+=4. 如图，在三棱锥中，设，若，O ABC-,,OA a OB b OC c ===,2ANNB BM MC == 则（）MN =A.B.112263a b c +- 112263a b c -+C.D.111263a b c -- 111263a b c ++ 5. 若一动点在曲线上移动，则它和定点的连线的中点的轨迹方C 221x y +=()3,0B P 程是（）A.B.()2234x y ++=()2231x y -+=C.D. ()222341x y -+=22312x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭6. 设a ∈R ，则“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，ABCD -O AB ⊥BCD ，，则球的表面积为（）AB CD ==4AC AD ==OA. B. D. 52π37π28π8. 若直线与曲线有两个交点，则实数k 的取值范:20l kx y --=1C x =-围是（）A. B. 4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦4,43⎛⎫⎪⎝⎭C. D.442,,233⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9. 盒中装有大小相同的5个小球（编号为1至5），其中黑球3个，白球2个.每次取一球（取后放回），则（）A. 每次取到1号球的概率为15B. 每次取到黑球的概率为25C. “第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件D. “每次取到3号球”与“每次取到4号球”是对立事件10. 已知函数图象上两相邻最高点的距离为，把的()()π2sin 206f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()f x 图象沿轴向左平移个单位得到函数的图象，则（ ）5π12()g x A. 在上是增函数 B. 是的一个对称中心()g x ππ42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，π04⎛⎫⎪⎝⎭()g x C.是奇函数D. 在上的值域为()g x ()g x ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]20-，11. 如图，在菱形ABCD 中，，，沿对角线BD 将折起，AB =60BAD ∠=︒ABD △使点A ，C 之间的距离为P ，Q 分别为直线BD ，CA 上的动点，则下列说法正确的是（）A. 当，时，点D 到直线PQAQ QC =4PD DB =B. 线段PQC. 平面平面BCDABD ⊥D. 当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD12. 以下四个命题表述正确的是()A. 椭圆上的点到直线221164x y +=20x y +=B. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与C 交于A ，B 两22:143x y C +=12F F 、1F 点，则的周长为162ABF △C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则22120C :x y x ++=222480C :x y x ym +--+=4m =D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1224x y +=:0l x y -=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若是锐角，且，则=________.απ3cos(45α+=-sin α14. 如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为AO ⊥αO B α∈BC BO ⊥BC α，，则的长等于_____．30︒1AO BO BC ===AC 15. 过点作圆的切线，则切线方程是______________．(1,0)-22:(3)1C x y +-=16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F 一侧做成镜面，并在F 处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若2212221(0),,x y a b F F a b +=>>从右焦点发出的光线经椭圆上的点A 和点B 反射后，满足2F，则该椭圆的离心率为_________．390,tan 4∠=︒∠=BADABC 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，且的面ABC A C b c 2a =π3B =ABC（1）求；c （2）求的值.sin sin A C 18. 近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．组号分组频数频率第1组[160,165)0.100第2组[165,170)①第3组[170,175)20②第4组[175,180)200.200第5组[180,185]100.100合计[160,185]1001.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图；（2）组委会决定在5名（其中第3组2名，第4组2名，第5组1名）选手中随机抽取2名选手接受A 考官进行面试，求第4组至少有1名选手被考官A 面试的概率．19. 已知圆C 与直线相切，切点为，且圆心在直线上．20x y -+=()2,4A 12y x=（1）求圆C 的方程；（2）直线与圆C 相交于不同的两点M 、N ，求的面积:3460l x y -+=OMN 20. 如图，在三棱锥中，，M 为PB 的中点，D 为AB 的-P ABC PA AC PC BC ⊥⊥,中点，且为正三角形AMB（1）求证：平面PACBC ⊥（2）若，三棱锥的体积为1，求点B 到平面DCM 的距离．2PA BC =-P ABC 21. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，P ABCD -ABCD PA ⊥,ABCD AF PB ⊥为垂足.F（1）当点在线段上移动时，判断是否为直角三角形，并说明理由；E BC AEF △（2）若，且与平面所成角为，求二面角2,PA AB EF==∥PC PB PAE 30 的大小.C PED --22. 已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为，2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>(2,0)A 12,F F 且，122F F =（1）求椭圆的方程；Γ（2）若直线L 与椭圆相切，求证：点到直线L 的距离之积为定值．Γ12,F F高二级数学答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】BCD【12题答案】【答案】AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【14题答案】【15题答案】【答案】或=1x -4340x y -+=【16题答案】四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）；（2）.3c =914【18题答案】【答案】（1）①处应填40；②处应填0200；频率分布直方图略（2）710【19题答案】【答案】（1）()()22428x y -+-=（2）125【20题答案】【答案】（1）略（2【21题答案】【答案】（1）是直角三角形，理由略 AEF △（2）30【22题答案】【答案】（1）22143x y +=（2）略。