高等代数II期末考试试卷及答案A卷

高等数学A 2期末期末综合测试综合测试综合测试（（二）参考答案参考答案一、填空填空、、选择题选择题（（27%）1．曲面z xy =在点()122，，处的法线方程是122.211x y z −−−==−−. 2. 已知D 是由直线1,10x y x y x +=−==及所围，则(1) 1 .Dy d σ+=∫∫ 3. 若曲线L 是221x y +=在第一象限的部分，则 1 .Lxds =∫4. 设(,)ln ,2y f x y x x=+则22(1,0)1.4f y ∂=−∂5. 设函数322(,)42f x y x x xy y =−+−，则下列说法正确的是【 B 】(A) 点()2,2是(),f x y 的极小值点； (B) 点()0,0是(),f x y 的极大值点；(C) 点()2,2不是(),f x y 的驻点； (D) ()0,0f 不是(),f x y 的极值。

6. 函数22(,)f x y x y =+在点()11，处沿着下列哪个方向的方向导数最大？（ A ）(A) ()11，； (B) ()21，； (C) ()01，； (D) ()10， 7. 曲线L 为沿22=4x y +顺时针方向一周.则()12Lxdy ydx C −=∫ (A)2π−； （B） 4π； (C） 4π−； (D) 0.8．积分()10,y dy f x y dx =∫（ A ）(A)()210,x x dx f x y dy ∫∫； (B) ()21,xx dx f x y dy ∫∫； (C) ()10,xdx f x y dy ∫∫； (D) ()210,x dx f x y dy ∫.注意注意：：()()110,,(01)y ydy f x y dx dy f x y dx y if y =−≤≤≤∫∫∫9.下列级数中条件收敛的是（ B ）(A)1211(1)sin n n n ∞+=−∑； （B）1(1)n n ∞=−∑；(C）1)1(1+−∑∞=n n n n； （D）)1(1)1(1+−∑∞=n n n n .二、解答题(24分) 1. 设函数()22ln ,yxz x ye=++求()1,0.dz解：22222221,;yyxxz x y z y e e x x y xy x y x∂∂=−=+∂+∂+所以()1,02d d .dz x y =+ 2. 设sin ,,2,uz e v u xy v x y ===−求,.z z x y∂∂∂∂解：sin(2),xyz e x y =− [sin(2)cos(2)],[sin(2)2cos(2)].xy xy z z e y x y x y e x x y x y x y∂∂=−+−=−−−∂∂ 3．设(),xyz f e y = 求2,.z z x x y∂∂∂∂∂解：12;xy z ye f f x ∂′′=+∂21111222122(1)())xy xy xy xy z xy e f ye xe f yf f xe f yf x y ∂′′′′′′′′′′=+++++∂∂212112122sin sin (1)(cos cos 22xy xy xy y yxy e f f xye f y y f yf ′′′′′′′′=++++++ 4. 设方程sin y ze x z e +−=确定隐函数(),z z x y =,求()()0,10,1,.z z x y ∂∂∂∂解法一：由0,1x y ==得，0z =；(,,)sin F sin ,F ,F cos ;y z y z y z x y z F x y z e x z e z e e x z +++=−−=−==−设，则(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)F F sin 0, 1.F cos F cos y zy xy zy z zzzzze x e x zy e x z +++∂∂=−===−=−=−∂−∂−解法二解法二：：首先由0,1x y ==得，0z =，对sin y ze x z e +−=两边求全微分得，()sin cos 0y z e dy dz zdx x zdz ++−−=，将0,1,0x y z ===代入，得 []0(0,1)100x y dy dz dz dx dy ==+=⇒=−，所以(0,1)(0,1)0, 1.zzx y∂∂==−∂∂三、计算计算题题（30分）1.求(2d d ,D x y ∫∫ 其中22: 4.D x y +≤解：(2282d d d (2)d .3Dx y πθρρρπ−=−⋅=∫∫∫∫2. 求,zdv Ω∫∫∫其中Ω是球面z =0z =所围成的闭区域。

高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。

答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。

答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。

答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。

答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。

2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷专业:信计 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、填空（5分×10）1在4P 中，向量(1,2,1,1)ξ=在12(1,1,1,1),(1,1,1,1),εε==--3(1,1,1,1)ε=--，4(1,1,1,1),ε=--下的坐标____.2 在[]P x 中定义0()()f x f x ψ=，其中0x 是一个固定的数，判断ψ是不是线性变换____.3 线性空间V 的两组基的过渡矩阵为A ，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为____.4设矩阵2323ab ⎛⎝为正交矩阵，则a = ____，b = ____. 5 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的,V αβ∈____. 6已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，则____B .（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）7试写出线性空间V 上线性变换ψ核的表达式______.8 属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？______. 9 设A 是n 阶矩阵，满足2A A =，则矩阵A 的特征值______.二、计算与解答题 （10分×3）10在空间3P 中设线性变换()()12312231,,2,,A x x x x x x x x =-+.求A 在基()()()0231,0,0,1,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵.11设B 是秩为2的54⨯矩阵，()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9T T Tααα==--=--是齐次方程组0Bx =的解向量，求0Bx =的解空间的一个规范正交基.12已知1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求nA .三、证明题 （10分×2）13设12,,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V γ∈满足(),0,1,2,,i i n γα==，则0γ=.14证明： 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，123,,f f f 是它的对偶基，1132123323,,αεεαεεεαεε=-=++=+， 试证：123,,ααα是V 的一组基并求它的对偶基.2020-2021《高等代数二》期末课程考试试卷答案专业:信计 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、填空（5分×10）1在4P 中，向量(1,2,1,1)ξ=在12(1,1,1,1),(1,1,1,1),εε==--3(1,1,1,1)ε=--，4(1,1,1,1),ε=--下的坐标____.5111,,,4444--2 在[]P x 中定义0()()f x f x ψ=，其中0x 是一个固定的数，判断ψ是不是线性变换____.是3 线性空间V 的两组基的过渡矩阵为A ，则这两组基的对偶基的过渡矩阵为____. ()1'A -4设矩阵2323ab ⎛⎝为正交矩阵，则a = ____，b = ____.1,03. 5 欧氏空间V 上的线性变换f 称之为正交变换，如果对任意的,V αβ∈____.()(),,f f αβαβ=6已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵325B A A =-，则____B .（提示：行列式的值等于它所有特征值的乘积.）【解】设()325f x x x =-，则B 的特征值为()()()14,16,212f f f =--=-=-.于是()()()4612288B =-⋅-⋅-=-.7试写出线性空间V 上线性变换ψ核的表达式______.(){}10|0x V x ψψ-=∈= 8 属于不同特征值的特征向量线性无关是否正确？______. 是 9 设A 是n 阶矩阵，满足2A A =，则矩阵A 的特征值______.【解】设λ是A 的特征值，α是其对应的特征向量，则,0A αλαα=≠，22A A αλαλα==，又由2A A =得到2A A ααλα==，所以2λαλα=.20,0,1λλλ-==.二、计算与解答题 （10分×3）10在空间3P 中设线性变换()()12312231,,2,,A x x x x x x x x =-+.求A 在基()()()0231,0,0,1,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵.【解】略.11设B 是秩为2的54⨯矩阵，()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9TTTααα==--=--是齐次方程组0Bx =的解向量，求0Bx =的解空间的一个规范正交基.【解】既然B 是秩为2，解空间的维数为2，又12,αα线性无关，所以12,αα是解空间的一个基，()()()()1121221111,1,2,3,,14,2,10,6.,3TTβααββαβββ===-=-- 再单位化，))1121,1,2,3,2,1,5,3.TTηαη===--12已知1122A ⎛⎫=⎪⎝⎭，求nA . 【解】（1） 求A 的特征值，2300,3E A λλλλλ-=-=⇒==.(2) 求A 的特征向量，当3λ=时，112α⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0λ=时，211α⎛⎫=⎪-⎝⎭.令()12,P αα=，则13000A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是11111130303300002323nn n n nn n A P P P P ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、证明题 （10分×2）13设12,,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：如果V γ∈满足(),0,1,2,,i i n γα==，则0γ=.【证明】根据(),0γγ=.14证明： 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，123,,f f f 是它的对偶基，1132123323,,αεεαεεεαεε=-=++=+，试证123,,ααα是V 的一组基并求它的对偶基.证明：()()123123011,,,,112111g g g f f f -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭。

北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期高等代数（II ）期末考试（A 卷）答案一、填空题(每题3分,共30分)1、设W 1和W 2是R n ⨯n 的两个子空间，其中W 1是由全体n 阶实反对称矩阵构成，W 2是由全体n 阶实下三角矩阵构成, 则 W 1+W 2的维数等于2n ．2. 设ε1 = (1,0,0), ε2 = (0,1,0), ε3 = (0,0,1), η1 = (0,0,2), η2 =(0,3,0), η3 = (4,0,0) 是线性空间P 3的两组基, 则从基η1, η2, η3到基ε1, ε2, ε3的过渡矩阵是 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡413121。

3、线性空间22⨯R 中，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5432A 在基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00011E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00112E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01113E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11114E 下的坐标为： ()T5111---.4、设P 3的线性变换T 为：T(x 1, x 2, x 3) = (x 1, x 2, x 1 + x 2)，取P 3的一组基：ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1)，则T 在该基下的矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111010001． .5、设欧氏空间R 3[x ]的内积为dx x g x f x g x f )()())(),((11⎰+-=则一组基1, x, x 2的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡520320323202． 6、已知三阶矩阵A 满足03E A 2E A E A =-=-=-，则=A 6 ．7、已知矩阵A 的初等因子组为λ2，(λ－１)2，则其Jordon 标准形矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110100 8、欧氏空间V 中两个向量βα,满足βαβα-=+，则α与β的夹角是090．9、3维欧氏空间R 3 (取标准内积)中的向量(2, 3,－1), (1, 1, 0),(0, 1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是 1 ．10、设321,,εεε是数域P 上的3维线性空间V 的一组基，f 是V 上的一个线性函数。

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。

3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

2009-2010学学年第二期 数高等代(下)期末考试试卷(A 卷)选择题题（本大共5题题小，每小3分，共15分） 1．( )义变换下列所定的σ哪个线变换，一是性(A)线间在性空V 设中，α为对一固定的非零向量，于任意的V ξ∈，义定()σξξα=+;(B) 在3R 义中，定221231233(,,)(,,)x x x x x x x σ=+;(C) 在3R 义中，定222222123131223(,,)(,,)x x x x x x x x x σ=+++;(D) 在[]P x 义中，定()0()()f x f x σ=,其中0x 为P 个数中一固定的。

２．（ ）实数在域R 中，由全体3阶阵构线间矩所成的性空V 维数为的 （A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）9。

3. ( ) 如果1V , 2V 线间是性空V 两个间的子空, 且()1dim 5V =, ()2dim 3V =,()12dim 6V V +=, 么那()12dim V V ∩为(A) 2 (B)3 (C)4 (D)5 ４．（ 设）σ为欧间氏空V 个线变换号的一性，符(,)αβ表示向量α和β内积的，则哪说与下列一法σ为变换正交不等价（A ） 对任意V α∈，有()(),()(,)σασααα=； （B ） 对任意,V αβ∈，有()(),()(,)σασβαβ=; （C ）对任意,V αβ∈，有()()(),,()σαβασβ=;( D) σ组标阵阵在任意一准正交基下的矩是正交矩.５. ( ) 设A 和B 为数域P 上的n 阶阵则方，A 和B 当仅当相似且(A) A 和B 值有相同的特征； (B) A 和B 有相同的秩； (C) 为存在着行列式不零的n 阶阵方T 使得1B T AT −= ； ( D) A 和B 有相同的迹。

二、 填题空题（本大共5题题小，每小3分，共15分）1、设阶阵三方A 项为的特征多式32()225f λλλλ=−−−则， =||A ________。

《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。

太原科技大学2013/2014学年第2学期《高等数学二》课程试卷B卷、填空题(每小题4分，共20分)1、已知Z=/2(2xy),其中/■为任意可微函数，则备=2、函数的定义域是___________________________________ln(l-x z-y z) ----------------------------------------------3、化下述积分为极坐标下的累次积分I =dyf^y~y2 f(x,y) dx _________________________________________________4、设曲线L的质量密度函数为戒3+力，则L的质量可表示为,又若I为二=x(0 « x « 1),则其质量等于5、已知lim”* a n = a> 0,则级数S^=i(—)n,0 < a <a nb的敛散性是____________________注：填空题由于数据丢失具体数据不详, 凭本人根据图片猜测而来，如有错误还请大家尽快指出 1.2小题可以肯定正确。

二、单项选择题(每小题4分，共20分)1、设z=<p(x + y)-巾(x - y),其中<p,小具有二阶连续导数, 则必有()_ d2z d2z - - d2z行一d2z d2z - - d2z d2z _A、—^+—^=0 B> —— = 0 C、—=0 D> —-=0 dx2 dy2dxdy dx2dy2dxdy dydx2、若函数笑/(X )=0,务I(X y)=°测，(勺)在(W。

)是A、连续且可微B、连续但不一定可微C、可微但不一定连续D、不一定可微也不一定连续3、1=贷dy丁疽刁3x2y2 dx,则交换积分次序后，得()A> \=j^ dxjf^3x2y2 dy B> \=ff^ dx 3x2y2 dyC. \=f^ dx f^~x2 3x2y2 dy D> \=f^ dx 3x2y2 dy4、1=]^ xe cosxy tan(xy)dxdy, D: |x| < 1, |y| « 1,则1=()A> 0 B> e C、 1 D > e-25、若级数蠢=1 %收敛于S,贝U级数Xn=l(U n + U n+1)().A、收敛于2sB、收敛于2s-UiC、收敛于2S+U1D、发散三、求下列偏导数(每小题5分，共10分)<、FL - -r^ du du1.设心,求源菽2.设u=x2+ y2 + z2,x=rcos 6 sin(p,y=rsin 0,z=rcos 伊，求房，舞.四、在椭圆x2 + 4y2 = 4上求一点使其到直线2% + 3,-6 = 0的距离最短。

高等代数II 》课程期末考试试卷一、 选择题（每小题3分，共12分）1．设(){},,|,W a a b a b a b =+-∈R ，这里R 为实数集，则 （ ）(A) W 与2R 同构。

(B) W 与3R 同构。

(C) W 与2R 的一个真子空间同构。

(D) 2R 与W 的一个真子空间同构。

2. 设1V ，2V 是偶氏空间V 的两个子空间，则2V 是1V 的正交补的充要条件是 ( ) (A) 0 ,2121=+=V V V V V (B) 1V ⊥2V(C) 2121dim dim dimV ,V V V V V +=+= (D) 0),(,2121=∈∈∀+=βαβα有，且 V V V V V3. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，则A 是正交变换的必要而非充分条件是( ) (A) βαβαβα , , ,=∈∀A A V ， (B) ααα=∈∀A V ,(C) ),(),( ,βαβαβα=∈∀A A V ，(D) A 在V 的任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵（注：其中,表示两个向量的夹角，（,）表示该空间的内积。

）4. 设A 是线性空间V 的线性变换，n W W ,,1 都是V 的一组A -不变子空间，且n W W V ⊕⊕= 1，则V 中一定存在一组基，使A 在该基下的矩阵是( ) (A) 对角矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 准对角矩阵二、 判断题（对的打√，错的打×）（每小题3分，共12分）1. 若两个n m ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 有相同的秩,则)(λA 与)(λB 等价 ( ).2. 在3R 空间中，A 是V 中任一向量在xoy 平面上的垂直投影的线性变换，则 (i) Im ker {0}.A A = ( )； (ii) .ker Im V A A =+ ( )3. 欧氏空间中保持长度不变的变换是正交变换. ( )4. 多项式1416623-+-x x x 在有理数域上不可约. ( )三、 填空题（每小题4分，共16分）1. 若矩阵A 的全部初等因子为22)2(,)1(,1+--λλλ，则A 的不变因子为 .2. 设τσ,是2R 空间的线性变换，定义为,,),,(),(),,0(),(R y x x y y x x y x ∈∀== τσ则2(23)(,)x y στ-= .3. 已知133092)(23-+-=x x x x f 有一个根为,32i -则)(x f 在实数域上典型分解式为=)(x f .4．设s 为有限维复线性空间上的一个线性变换，l 为s 的一个特征值，若12,r r 分别表示s 的属于特征值l 的特征子空间和根子空间的维数，3r 表示l 的重数，则123,,r r r 的大小关系满足 。

井冈山大学数理学院2013 ~2014学年度第二学期 《高等代数 2》期末试卷（A 卷） 2014 年6 月一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 已知 3 阶方阵 12121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 1A -= . 2. 已知实二次型 222123123121323(,,)5224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+ 正定，则 λ 的取值范围是. 3. 设 123,,ααα 是 3 维线性空间 V 的一组基，11212,βαβαα==+，31βα=+ 23αα+，则基 123,,βββ 到基 123,,ααα 的过渡矩阵是 . 4. 在 22P ⨯ 中定义线性变换 ()a b X X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 在基 11122122,,,E E E E 下的矩阵是 . 5. 设 3 阶方阵 A 的特征值为 ,2,3a ，且 6,A =- 则 a = ，tr A = . 二、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设 A 是 n 级可逆矩阵，下列命题错误的是( ). (A) 11()A A --=； (B) ()()A A **''=； (C) ()A A **=； (D) ()11()A A **--=. 2. 设 A 为 n 级实对称矩阵，下列条件中( ) 不是 A 为正定矩阵的等价条件. (A) A 的秩为 n ； (B) A 的顺序主子式全大于零； (C) A 的主子式全大于零； (D) A 的正惯性指数为 n . 3. 设123,,V V V 为n 维线性空间V 的子空间，则下列条件中( ) 不是 123V V V ++ 是直和的等价条件.(A) 零向量按子空间 123,,V V V 的表法唯一； (B) 123V V V {0}=；(C) 123123dim()dim dim dim V V V V V V ++=++；(D) 123,,V V V 的一个基合在一起是 123V V V ++ 的一个基.4. 设是线性空间 2 的线性变换，使得(1,1)(1,1),(3,2)(2,1)=-=，则 (4,2) 等于（ ）.(A) (2,4)； (B) (4,2)-； (C) (2,3)-； (D) (2,3)-.5. 设 1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在线性空间 22P ⨯ 中，定义一个变换 σ 为 (),A BA σ=则（ ）. (A) σ是22P ⨯的线性变换，但不是满变换；（B ）σ是22P ⨯的线性变换，但不是单变换；(C) σ 是 22P⨯ 的可逆线性变换； (D) σ 不是 22P ⨯ 的线性变换.三、计算题：（每题10 分，共50分）1. 设 101A 020100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，001020101B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知AX B A X -=+，求 X .2. 用非退化线性替换把下列二次型化为标准形：2212312121323(,,)3226f x x x x x x x x x x x =--+-并求相应的非退化线性替换.3. 在4P 中，11232123(,,),(,,)V L V αααβββ==，其中1(1,1,0,2)α=，2(1,1,1,3)α=-， 3(1,2,1,2)α=-，123(1,2,0,6),(1,2,2,4),(2,3,1,5)βββ=-=-=-.分别求 12,V V + 12V V 的一个基和维数.4. 判断矩阵 A 是否相似于对角阵，如果是，求可逆矩阵 P ，使 1P AP - 为对角阵： 100252241A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭.5. 设 123,,ηηη 是 3 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，σ 是 V 的正交变换，且满足1123221()333σηηηη=+-， 2123212()333σηηηη=-+， 3123()a b c σηηηη=++，试求 ,,a b c 的值.四、证明题（ 10 分）设 ,A B 是 n 阶非零矩阵，且有 22,,0A A B B AB BA ====，证明：(1) 0,1 必是 ,A B 的特征值；(2) 若 X 是 A 的属于特征值 1 的特征向量，则 X 也是 B 的属于特征值 0 的特征向量.。

高等代数 课程 A 卷试题答案一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分. 把正确答案填在题中横线上）1. 8；2. 0；3. 0；4. 92111⎛⎫ ⎪⎝⎭；5. 1或52;6。

1()3A E E A -+=-；7. 2；8。

23a ≠； 9. 6;10。

112-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭。

二、选择题(本题共10小题，每小题2分,满分20分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号（答题框）内）三、计算题(本题共2小题，每小题10分，满分20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1. 计算n阶行列式a b bb b a bb D b b ab b b ba=。

解:观察行列式，每一行只有一个a 而有1n -个b ,于是将第2列，第3列,……，第n 列分别乘以1加到第1列，得(1)...(1)...(1)..................(1)...a nb b b b a n b a b b D a n bb a b a n b b ba+-+-=+-+-[]1 (1)...(1)1 (1)...b b b a b ba nb b a b bba =+-[]1...00...0(1)00...0 000...b b b a b a n b a b a b-=+--- []1(1)()n a n b a b -=+--2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，123124051B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求A AB 23-.解:1111231111111242111111051111323AB A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭05822221322305622221720.2902224292-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、解答题（本题共2小题，第1小题15分、第2小题10分，满分25分。

一、填空题（每题3分共15分） 1、已知C 是实数域R 上的线性空间，则()dim C ＝ 2 ；2、已知三阶矩阵A 的特征值分别为1，-1，2，矩阵235A A B -=，则B 的特征值是___-4,-6,-12__；3、设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间，21000000A w w ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中w =，则V 的一组基为___A,A 2__,E_；5、已知A 是一个正交矩阵，那么 2A＝ 1 .二、单项选择题（3分×5）（将每小题正确答案的序号，填在下表对应的方框中）1、设ϕ 是n 维欧氏空间V 上的正交变换, 以下说法错误的有（ A ）个.① 若nξξ,,1 是V 的一组标准正交基, 则)(,),(1n ξϕξϕ 仍是标准正交基；② 存在一组标准正交基, 使得ϕ在这组基下的表示矩阵是正交阵；③ 若U 是ϕ 的不变子空间, 则⊥U 也是ϕ 的不变子空间；④ϕ在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.A 0；B 1；C 2；D 3.3、下列关于有限维空间V 中线性变换T 的说法中错误的是（ C ） A. T 的值域与核都是T 的不变子空间； B. T 是单射当且仅当T 是满射； C. T 的值域与核的和等于V ； D. T 在两组不同基下的矩阵相似.4、下列关于数域P 上线性空间说法错误的是（ C ） A ． n 维线性空间中n 个线性无关向量一定为一组基； B ． n 维线性空间中n+1个向量线性相关； C ． 两个子空间的并还是子空间； D ．两个维数相同的有限维空间同构.5、二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经非退化线性替换X = CY 化为标准形213216),,(y y y y f =，则=a（ D ）A. 6；B. 0；C. 1；D. 2.三、计算题（第1、4小题10分，2、3小题各15分）1、设()(),1,1,1,1,0,1,2,121T T -==αα(),1,0,1,21T-=β()T7,3,1,12-=β求：),(),();,(),(21212121ββααββααL L L L +的一组基和维数。

安工大高数a2期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^2+3x+2，求f(-1)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 计算极限lim(x→0) [sin(x)/x]。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 求不定积分∫(2x+1)dx。

A. x^2 + x + CB. x^2 - x + CC. 2x^2 + x + CD. 2x^2 - x + C答案：C4. 判断级数∑(1/n^2)是否收敛。

A. 是B. 否答案：A5. 已知函数f(x)=ln(x)，求其导数f'(x)。

A. 1/xB. xC. ln(x)D. e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）6. 求导数：f(x)=x^3-6x，f'(x)=________。

答案：3x^2-67. 求定积分：∫(0到1) x^2 dx = ________。

答案：1/38. 判断级数∑(1/(2n-1))是否收敛。

答案：否9. 求二阶导数：f(x)=e^x，f''(x)=________。

答案：e^x三、解答题（每题15分，共30分）10. 求函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线方程。

解：首先求导数y'=3x^2-3，代入x=1得到y'|_(x=1)=0。

切点为(1,1)，所以切线方程为y=1。

11. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。

解：利用定积分的性质，∫(0到π) sin(x) d x = -cos(x)|_(0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。

四、证明题（每题15分，共15分）12. 证明：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)g(x)也在区间[a,b]上连续。

证明：由于f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，根据连续函数的性质，f(x)g(x)作为两个连续函数的乘积，同样在区间[a,b]上连续。