高等代数真题答案

《高等代数》考研真题详解1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（U ）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述的P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研]【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f ‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三种因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x －1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1名校考研真题第6章线性空间一、选择题1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]A．B．C．【答案】C查看答案【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是唯一的．2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的值（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中选三个向量组(I)：0(Ⅱ)(Ⅲ)．若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．二、填空题1．若则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]【答案】2；4．查看答案【解析】在复数域上令；则是线性无关的．则此即证可由线性表出．在实数域上，令若，其中，则此即在R上线性关．可由线性表出，所以在实数域R上，有三、分析计算题1．设V是复数域上n维线性空间，V1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研]解：取的一组基，再取的一组基则＝秩。

高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。

求解该线性方程组的解。

1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。

令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。

选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。

考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。

若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。

答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。

答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。

证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。

根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。

两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。

由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。

2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。

⾼等代数真题答案第六章习题册1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘.(b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘.(c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘.2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这⾥αβV k F ,∈,∈.3. 下述集合是否是()n M R 的⼦空间 (a) {()}T n V A M R A A =∈|=?(b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这⾥()n A M R ∈是⼀个固定⽅阵.4. 叙述并证明线性空间V 的⼦空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的⼦空间的充分必要条件.5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个⾮空⼦集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?.(b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪.(c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.6. 如果123f f f ,,是实数域上⼀元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性⽆关.试证之.7. 设S 是数域F 上线性空间V 的⼀个线性⽆关⼦集, α是V 中⼀个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈.8. (a)证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的⼦空间的⼀个基.(b). 求3()M F 的⼦空间{()()[]}f A f x F x |∈的⼀个基和维数, 这⾥010001000A=9. 在4R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014 =,=,=,=,=10. 求⼀个⾮零向量ξ, 使得它在基1234(εεεε),,,下的坐标和它在基1234(ηηηη),,,下的坐标相同, 这⾥1234εεεε,,,与第9题相同, 123420101121ηηηη22112111=,=,=,=11. 在4R 中, 求由向量 123421111211αααα30311101=,=,=,= 所张成的⼦空间的⼀个基与维数12. 设123411111146αααα11351122=,=,=,=???????????? ,123411311111ββββ11115131=,=,=,=????????11234{αααα}W Span =,,,, 21234{ββββ}W Span =,,,, 请分别求12W W +和12W W ∩的⼀个基13. 设12{()01},{()1}ij n n ij ij n n ij ji V a a i j n V a a a i j n ××=|=,≤≤≤=|=?,≤,≤是矩阵空间()n M R 的两个⼦空间, 证明12V V ?14. 设3323212322233222g x x g x x x g x x x =?+,=??+,=+?,是[]F x 的⼦空间V ⼀个基, 3321232122f x x f x x f x x =++,=?+,=+.请问123f f f ,,中哪些是属于V ,哪些是不属于V , 如果属于请给出它在基123()g g g ,,下的坐标.15. 4R 中, 求由基1234(αααα),,,到基1234(ββββ),,,的过渡矩阵, 并求向量ξ在指定基1234(αααα),,,下的坐标. 其中1α(1111)=,,,, 2α(1111)=,,?,?, 3α(1111)=,?,,?, 4α(1111)=,?,?,; 1β(1101)=,,,, 2β(2131)=,,,,3β(1100)=,,,, 4β(0111)=,,?,?. ξ(1001)=,,,?.16. 设123()A A A ,,和123()B B B ,,是矩阵空间2()M R 的⼦空间V 的两个基, 其中123123100111450321,111000113112A A A B B B =,=,==,=,=??????求 (a) 基123()A A A ,,到123()B B B ,,的过渡矩阵.(b) 3631C ??=在基123()A A A ,,的坐标(c) C 在基123()B B B ,,的坐标17. 设W 是全体实函数关于函数的加法和函数的数乘所成的实数域上的线性空间, 1W 是全体偶函数所成的⼦集, 2W 是全体奇函数所成的⼦集.证明:1W 与2W 是W 的⼦空间且12W W W =⊕.18. 设1W 与2W 分别是齐次线性⽅程组120n x x x +++= 与 12n x x x === 的解空间.证明12n R W W =⊕, 这⾥R 是实数域.19. 如果12V V V =⊕, ⽽11112V V V =⊕, 证明:11122V V V V =⊕⊕.第七章习题册1. 判别下列变换是否线性变换?(a) α是线性空间V 中⼀个固定向量定义(β)βαβT V :=+,?∈(b) 在3R 中, 定义221231233()()T x x x x x x x ,,:=,+,.(c) 在3R 中, 定义12312231()(22)T x x x x x x x x ,,:=?,+,.(d) 在[]F x 中, 定义(())(1)T f x f x =+2. 设V W ,分别是数域F 上的n 维与m 维线性空间, 12{ααα}n ,,, 是V 的⼀个基, ⽽12{βββ}n ,,, 是 W 中 n 个向量.证明存在唯⼀的线性映射T V W :→使得(α)β12i i T i n =,=,,, .3. 设V W ,是数域F 上的两个线性空间, ()L V W ,是V 到W 的所有线性映射所组成的集合.证明 ()L V W ,关于线性映射的加法与数量乘法, 成为数域F 上的⼀个线性空间.4. 在[]F x 中, 定义 12()(())(())()df x T f x T f x xf x dx:=,:=, 证明: 1221TT T T E ?=5. 设T 是V 的线性变换, 向量αV ∈, 存在⼀个正整数k ,使得1(α)0k T ?≠但(α)0k T =. 证明: 21α(α)(α)(α)k T T T ?,,,, 线性⽆关.6. 证明: 设12T T , 是V 的可逆线性变换, 则12TT 也是可逆线性变换, 并且1111221()TTT T =.7. 设T 是V 的线性变换, 证明T 是单射线性变换的充分必要条件是T 把线性⽆关的向量组变为线性⽆关的向量组.8. 设V W ,是数域F 上的两个线性空间, ⽽T V W :→是线性映射. 证明ker T 与()T V 分别是V 与W 的⼦空间. ⼜若dim V 有限, 证明: dimker dim ()dim T T V V +=.9. 在线性空间2()M F 定义线性变换()T X AX XA =?, 其中1234A ??=, 求T 在基11122122()E E E E ,,,下的矩阵.10. 设1234{}V Span f f f f =,,,为函数空间的4维⼦空间, 其中1cos f bx =, 2sin f bx =, 3cos f x bx =, 4sin f x bx =, 求微分变换D 在基1234()f f f f ,,,下的矩阵.11. T 是n 维线性空间V 上的⼀个线性变换, 如果存在αV ∈使得1(α)0n T ?≠, 但(α)0n T =.证明在V 中存在⼀个基, 使得 T 在该基下的矩阵为 0000100001000010A=.12. 设V 是n 维线性空间, 求dim ()L V V ,, 并找出()L V V ,的⼀个基.13. 证明与n 维线性空间V 的所有线性变换可交换的线性变换是数乘变换. 14.设123131η1η2η1211=,=,=??????是3R 的⼀个基, 定义线性变换为123505(η)0(η)1(η)1369T T T =,=?,=?,???? 求T 在基123(ηηη),,下的矩阵并求(α)T , 其中2α15??=15. 设AP PB =, 其中1581026900370004P =,??0234002300020000B=,求10A16. 若A 可逆, 证明AB 与BA 相似.17. 若A 与B 相似, C 与D 相似, 证明00A C ??与00B D ??相似18. 设A 与B 相似, C 与D 相似, 请举反例说明AC 与BD 不⼀定相似, A C +与B D +不⼀定相似.19. 设123103η0η1η1210=,=,=?,123100010001e e e =,=,=, 在定义为15(η)03T =,?20(η)16T=?,35(η)19T=?, 已知3R 中线性变换T 在基()123ηηη,,下的矩阵为100110002,求T 在基123()e e e ,,下的矩阵.20. 设12n e e e ,,, 是线性空间V 的⼀个基, 11αβnnj ij i j ij i i i a e b e ===,=∑∑, ()()ij ij A a B b =,=, 已知12αααn,,, 线性⽆关. T 是V 上的线性变换使得(α)β12i i T i n =,=,,, .(a) 证明T 在基12(ααα)n ,,, 下的矩阵为1A B ?.(b) T 在基12()n e e e ,,, 下的矩阵为1BA ?.21. 证明: 1212(λ,λ,,λ)~(λ,λ,,λ)n n i i i diag diag , 其中12()n i i i ,,, 是(12)n ,,, 的⼀个排列.22. 设V 为数域F 上的线性空间, T 是V 的线性变换, 若0λ是T 的特征值, 则对任意(λ)[λ]f F ∈, 0(λ)f 是 ()f T 的特征值, 且T 的属于0λ的特征向量也是()f T 的属于0(λ)f 的特征向量.23. 设12λλ,是线性变换T 的两个不同的特征值, 12αα,分别是属于12λλ,的特征向量, 证明12αα+不是T 的特征向量24. 设T 是V 的线性变换. 证明:T 是可逆线性变换充要条件零不是T 的特征值, 并且若λ是T 的特征值, 则1λ?是1T ?的特征值25. 设A B ,是n 阶⽅阵. 证明若1B P AP ?=, 则()()Tr B Tr A =26. 设V 是复数域上的线性空间, 123(ααα),,是V 的有序基, T 是V 上线性变换它在有序基123(ααα),,下的矩阵为 310410482A=, 求T 的特征值与特征向量.27. 求1111111111111111A=的特征值与特征向量.28. 证明不可能存在n 阶⽅阵A 和B 使得AB BA E ?=29. 求下⾯矩阵1212111211121211121124242A=的特征值30. 设A 是⼀个n 阶下三⾓矩阵. 证明若A 的对⾓线元素1122nn a a a === , 且A 不是对⾓阵, 则A 不可对⾓化.31. 设A 是3阶⽅阵, 112,?,是A 的三个特征值, 101111011,,是分别属于特征值112,?,的三个特征向量,求A .32. 设142034043A=?;求可逆矩阵P 使得1P AP ?为对⾓阵, 并求k A .33. 设A 是⼀个n 阶下三⾓矩阵. 证明若A 的对⾓线元素ii jj a a ≠, (i j ≠), 则A 可对⾓化34. 已知T 在⼀个基下的矩阵为 310410482A=??,试问T 是否可以对⾓化35. 对于n 阶⽅阵A , 定义(){()}n C A D M F AD DA :=∈|= (a) 证明()C A 是()n M F 的⼦空间(b) 设1B P AP ?=, 定义映射1()f D P DP ?:=, 证明f 是()C A 到()C B 的同构映射(c) 设A 是n 阶对⾓矩阵, 它的特征多项式为 1212?(λ)(λ)(λ)(λ)s c c c D s d d d =, 其中12s d d d ,,, 两两不同, 证明22212dim ()s C A c c c =+++.36. 设()n A M F ∈, 证明()n M F 的⼦空间{()()[]}V f A f x F x =|∈的为数等于(λ)A m 的次数.37. 设A 为准对⾓矩阵12()s diag A A A ,,,, 其中i A 为i n 阶⽅阵, 它的最⼩多项式为(λ)12i m i s ,=,,,. 证明: 12(λ)[(λ)(λ)(λ)]A s m m m m =,,, (即A 的最⼩多项式是12s A A A ,,, 的最⼩多项式的最⼩公倍式).38. 设101011112A=,求A 的最⼩多项式.39.求矩阵01011010*******0A=的最⼩多项式, 并判断它们是否可对⾓化.40. 证明:A 是幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为零41. 设T 是矩阵空间()n M F 上的线性变换定义为()T T A A :=. 证明: T 是否可对⾓化42. 若W 是V 的⼀维⼦空间, T 是V 的线性变换, 则W 是T -⼦空间充分必要条件W 中任⼀⾮零向量都是属于同⼀特征值的特征向量.43. 设V 是复数域上n 维线性空间, 1T ,2T 是V 的线性变换, 且1221TT T T =. 证明:1T , 2T ⾄少有⼀个公共特征向量44. 设T 是线性空间V 的线性变换, W 是T -⼦空间, 证明(λ)(λ)WT T m m |45. 设T 是线性空间V 的可逆线性变换, W 是T -⼦空间, 证明W 也是1T ?-⼦空间.46. 设A 是实⽅阵, 则存在实可逆⽅阵P 使得1P AP ? 为上三⾓阵的充分必要条件是A 的特征值全为实数.47. 设T 是3维线性空间V 的线性变换, 它在基123(ααα),,下的矩阵为 210021002A=,(a) 证明如果W 是T 的⾮零不变⼦空间, 则1αW ∈,(b) 证明不存在两个T -⼦空间12W W ,, 使得12V W W =⊕48. 设12T T ,是n 维线性空间V 的两个线性变换, 并且11221T TT T T =?, αV ∈是属于λ的1T 特征向量, 证明2{α012}i W Span T i =|=,,, 是2T -⼦空间, 也是1T -⼦空间.49. 设T 是n 维线性空间V 的两个线性变换, ()()[]f x g x F x ,∈, ()(()())d x f x g x =,, ()[()()]h x f x g x =, (a) 证明如果()()f x g x |, 则ker ()ker ()f T g T ?(b) ker ()ker ()ker ()f T g T d T =∩(c) ker ()ker ()ker ()h T f T g T =+第⼋章习题册1. 试求下列各λ-矩阵的秩, 并判别哪些矩阵是可逆的, 如可逆, 求出其逆矩阵.(a) 22λ2λ111λ1λ1λ1λλ+++??(b) 21010λ1λλ1λ?(c) 5λ125λλ5λ1+??.2. ⽤初等变换求λ-矩阵λ2100λ2100λ2的标准形, 和不变因⼦:。

高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。

错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中，线性无关的是（ ）. A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=. D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）. A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）. 1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ）三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= . 四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）311110100(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分 (2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分）2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分） 得同解方程组取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。

延安大学继续教育学院二零二二年高等代数期末考试试题及答案注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2A x x x B=--<=-，则{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库北大重大第一部分名校考研真题第1章多项式一、判断题1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述得P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1三、证明题1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0x n＋a1x n－1＋…＋a n－1x＋a n的根，证明：q∣a0，p∣a n[华中科技大学研]证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且f（x）＝（qx－p）（b n－1x n－1＋…＋b0，b i∈z比较两边系数，得a0＝qb n－1，a n＝－pb0⇒q∣a0，p∣a n2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f （x）∣g（x）的充要条件是f k（x）∣g k（x）[浙江大学研]证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其中h （x）∈P（x），两边k次方得g k（x）＝f k（x）h k（x），所以f k（x）∣g k（x）（2）再证充分性．设f k（x）∣g k（x）（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①所以f k（x）＝d k（x）f1k（x），g k（x）＝d k（x）g1k（x）因为f k（x）∣g k（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得g k（x）＝f k（x）·h（x）所以d k（x）g1k（x）＝d k（x）f1k（x）·h（x），两边消去d k（x），得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）这样继续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1故f l（x）＝c，其中c为非零常数．所以f（x）＝d（x）f1（x）＝cd（x）⇒f（x）∣g（x）3．设f（x），g（x）都是P[x]中的非零多项式，且g（x）＝s m（x）g1（x），这里m≥1．又若（s（x），g1（x））＝1，s（x）∣f（x）．证明：不存在f1（x），r（x）∈P[x]，且r（x）≠0，∂（r（x））＜∂（s（x））使①[浙江大学研]证明：用反证法，若存在f1（x），r（x）使①式成立，则用g（x）乘①式两端，得f（x）＝r（x）g1（x）＋f1（x）s（x）②因为s（x）∣f（x），s（x）∣f1（x）s（x），由②式有s（x）∣r（x）g1（x）．但（s（x），g1（x））＝1，所以s（x）∣r（x）．这与∂（r（x））＜∂（s（x））矛盾．4．设f（x）是有理数域上n次[n≥2]多项式，并且它在有理数域上不可约，但知f （x）的一根的倒数也是f（x）的根．证明：f（x）每一根的倒数也是f（x）的根．[南开大学研]证明：设b是f（x）的一根，1/b也是f（x）的根．再设c是f（x）的任一根．下证1/c也是f（x）的根．令g（x）＝f（x）/d，其中d为f（x）的首项系数，不难证明：g（x）与f（x）有相同的根，其中g（x）是首项系数为l的有理系数不可约多项式．设g（x）＝x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，（a0≠0）．由于b n＋a n－1b n－1＋…＋a1b＋a0＝0①（1/b）n＋a n－1（1/b）n－1＋…＋a1（1/b）＋a0＝0⇒a0b n＋a1b n－1＋…＋a n－1b＋1＝0⇒b n＋（a1/a0）b n－1＋…＋（a n－1/a0）b＋1/ a0＝0 ②由g（x）不可约及①，②两式可得1/a0＝a0，a i/a0＝a n－i（i＝1，2，…，n－1）．故a0＝±1，a i＝±a n－i（i＝1，2，…，n－1）③由③式可知，当f（c）＝0时，有f（c）＝0，且g（1/c）＝0，从而f（1/c）＝0．5．设f（x）是复系数一元多项式，对任意整数n有f（n）都是整数．证明：f（x）的系数都是有理数．举例说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数n，有f （n）是整数．［浙江大学研］证明：设f（x）＝g（x）＋ih（x），g（x），h（x）∈R[x]由于∀n∈Z，f（n）＝g（n）＋ih（n）∈Z，所以h（x）＝0．下证g（x）∈Q[x]．事实上，令g（x）＝a0＋a1x＋…＋a m x m，a m≠0，a i∈R，i＝1，2，…，m则有a0＋a1＋…＋a m＝g（1）∈Z，a0＋a1·2＋…＋a m·2m＝g（2）∈Z，⋮a0＋a1（m＋1）＋…＋a m（m＋1）m＝g（m＋1）∈Z.记则有（a0，a1，…，a m）T＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））①又显见∣T∣＝m!（m－1）!…2!1!≠0，由①式得（a0，a1，…，a m）＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））T－1这里T－1是有理数域上的矩阵，g（1），g（2），…，g（m＋1）均为整数，所以a0，a1，…，a m∈Q．因此f（x）＝g（x）∈Q[x]．取f（x）＝x2/2－1/2，有f（x）＝（x－n）（x/2＋n/2）＋（n2－1）/2可见存在不是整系数的多项式f（x），对任一整数n，有f（n）＝（n2－1）/2∈Z．第6章线性空间一、选择题1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]A．B． C．【答案】C查看答案【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的．2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中选三个向量组(I)：0(Ⅱ)(Ⅲ)．若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．二、填空题1．若则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]【答案】2；4．查看答案【解析】在复数域上令；则是线性无关的．则此即证可由线性表出．在实数域上，令若，其中，则此即在R上线性关．可由线性表出，所以在实数域R上，有三、分析计算题1．设V是复数域上n维线性空间，V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研]解：取的一组基，再取的一组基则＝秩2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求（1）U＋W：（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]解：（1）令可得．所以由于为的一个极大线性无关组，因此又可得且，故为U＋W的一组基．（2）令因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：再令，则故ζ为U∩W的一组基．3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令（1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间；（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：（3）对于非齐次线性方程组求W的一个基．[华东师范大学研]证明：（1）显然W≠，又因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以即kα＋lβ∈W，此说明W是K n的子空间．（2）对线性方程组（A，B）X n＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r （A，B）＝n－r＋1．任取α∈W，存在t∈K，使所以是线性方程组（A，B）X n＋1＝0的解．这样，存在W到V的映射，显然，这是W形到V的一个双射．又α1，α2∈W，k∈K，存在t1，t2∈K，使Aα1＝t1B，Aα2＝t2B，则所以且可见W与V同构，从而有dim W＝dim V＝n－r＋1．（3）由（2）W与如下齐次线性方程组解空间同构．该方程组的一个基础解系为：其在σ之下原像即为W的一组基．4．设V 1，V2均为有限维线性空间V的子空间，且，则和空间与另一个重合．[上海交通大学研]证明：因为所以由题设所以即当时，由得此时当时因为，所以，此时5．设V是数域K上n维线性空间，V1,…,Vs是V的s个真子空间，证明：（1）存在，使得（2）存在V中一组基，使[北京大学研]证明：（1）因V 1,…,Vs是V的真子空间，由上例，存在（2）令，同样有且显然，线性无关．令，则存在，且线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组（构成V的基），且有6．设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f，g∈V，a∈R，分别用下列式子定义f＋g与af：则V成为实数域上的一个线性空间．设f0（x）＝1，f1（x）＝cosx,，f2（x）＝cos2x，f3（x）＝cos3x，（1）判断f0，f1，f2，f3是否线性相关，写出理由；（2）用＜f，g＞表示f，g生成的线性子空间，判断＜f0，f1＞＋＜f2，f3＞是否为直和，写出理由．[北京大学研]解：（1）令k0f0＋k1f1＋k2f2＋k3f3＝0，分别取x＝0，得解之得k0＝k1＝k2＝k2＝0，说明f0，f1，f2，f3线性无关．（2）因为＜f，g＞＝L（f，g），所以从而又，故L（f0，f1，f2，f3）是＜f0，f1＞与＜f2，f3＞的直和．。

高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。

如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。

B. 矩阵的乘积总是可交换的。

C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。

D. 行列式的值总是正数或零。

6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。

大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。

A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。

A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。

A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。

7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。

8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。

9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。

10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

高等代数习题及参考答案第一章多项式1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：322f(x)?x?3x?x?1,g(x)?3x?2x?1； 1）2）f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。

q(x)?17262x?,r(x)??x?3999；解 1）由带余除法，可得2q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。

2）同理可得2．m,p,q适合什么条件时，有23x?mx?1|x?px?q， 1）242x?mx?1|x?px?q。

2）2(p?1?m)x?(q?m)?0，解 1）由假设，所得余式为0，即?p?1?m2?0?23q?m?0x?mx?1|x?px?q。

?所以当时有?m(2?p?m2)?0?2q?1?p?m?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。

?m?0?q?1??2242p?q?1p?m?2x?mx?1|x?px?q。

??综上所诉，当或时，皆有3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：53f(x)?2x?5x?8x,g(x)?x?3； 1）2）f(x)?x?x?x,g(x)?x?1?2i。

32q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109解 1）r(x)??327；q(x)?x2?2ix?(5?2i)2）r(x)??9?8i。

x?x0的方幂和，即表成4．把f(x)表示成c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：5f(x)?x,x0?1； 1）42f(x)?x?2x?3,x0??2； 2）432f(x)?x?2ix?(1?i)x?3x?7?i,x0??i。

3）2345f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1)解 1）由综合除法，可得； 2）由综合除法，可得x?2x?3?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)；432x?2ix?(1?i)x?3x?(7?i) 3）由综合除法，可得42234?(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2?2i(x?i)3?(x?i)4。

2012 级高等代数Ⅰ试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． 下列说法正确的是（）A ． 任何多项式都不整除零多项式B ． 零多项式与任何多项式都互素C ． 零次多项式与任何多项式都互素D ． 零次多项式与零多项式不互素2． 设 (),(),()[] f x g x p x P x Î , 且 () p x 在数域P 上不可约，如果 ) ( ) ( ) ( x g x f x p ，则 一定成立的是 ( )A ． ) ( ) ( x f x p 且 ) ( ) ( x g x pB ． ) ( ) ( x f x p 但 ) ( | ) ( x g x p /C ． ) ( | ) ( x f x p / 且 ) ( | ) ( xg x p / D ． ) ( ) ( x f x p 或 )( ) ( x g x p 3． 设A 和B 都是n 阶方阵，O 表示零矩阵，若AB O = ，则一定成立的是（ ）A ． A 和B 都是可逆矩阵 B ．A O = 或B O =C ． ||0AB = D ．A 可逆，B 不可逆4．已知齐次线性方程组 O X A n m = ´ 只有零解,下列结论一定成立的是（ ）A ． A 的秩为mB ． A 的行秩为nC ． A 的列向量组线性相关D ． A 的行向量组线性无关5． 设A 是n 阶方阵，k 是一个非零常数，若 0 kA = ，则一定成立的是（ ）A ． 0A =B ． A 可逆C ． A 是零矩阵D ． A 的秩等于n二、判断题（每小题2分，共10分）6． 任意多项式都定义有次数．（）7． 任意两个不全为零的多项式都有首项系数是1 的最大公因式．（ ）8． 任意矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵．（ ）9． 任意齐次线性方程组不一定总有解．（）10． 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价．（）三、填空题（每小题2分，共10分）11． 含有n 个未知量，系数矩阵的秩为r 的齐次线性方程组有非零解，则基础解系所 含解的个数等于____________．12．以纯虚数i 为根的非零实系数多项式中次数最低的首1多项式为_______________． 13． 如果一个 4 阶矩阵的秩为1，那么此矩阵的任意两行．14． 方程个数和未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列 式_____ _____．15． 多项式 () f x 被x c - 所除得到的余式为．四、计算题（每小题10分，共50分）16． 如果 1 ) 1 ( 2 4 2 ＋ ＋ － Bx Ax x ，求 A ，B ．17． 计算n 阶行列式：n aa a a na a a a na a a a n aaa a D + + + + = 1 3 2 1 3 1 2 1 32 1 13 2 1 1 L M O M M M L LL ．18． 设 1(2,1,2,2,4) a =- ， 2 (1,1,1,0,2) a =- ， 3 (0,1,2,1,1) a =- ， , 1 , 1 , 1 ( 4 - - - = a ), 1 , 1 - 5 (1,2,1,1,1) a = ．试确定向量组 ,,,, 12345 a a a a a 的一个极大线性无关组与秩．19． 用导出组的基础解系表出下列非齐次线性方程组的全部解：31 22461 x y z w x y z w x y z w --+= ì ï-+-= í ï --+=- î． 20． 已知矩阵 100 011 111 A æö ç÷= ç÷ ç÷ - èø， 22 37 22 B æöç÷ =- ç÷ ç÷ èø，若( )A E XB += ，求矩阵X ． 五、证明题（每小题10分，共20分）21． 证明： ) ( | ) ( 2 2 x f x g 当且仅当 ()|() g x f x ．22． 设向量组 ,, 123 a a a 线性无关，向量组 ,, 234 a a a 线性相关，试证： 1 a 不能 由 ,, 234 a a a 线性表示．高等代数Ⅰ参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． C2． D 3． C 4． B5． A二、判断题（每小题2分，共10分）6． × 7． √ 8． √ 9． × 10． √三、填空题（每小题2分，共10分）11． rn - 12． 12+ x 13． 线性相关 14． 为零15． )(c f 四、计算题（每小题10分，共50分）16． 解 设 1 ) ( 24＋ ＋Bx Ax x f = ，则 Bx Ax x f 2 4 ) ( 3＋ = ¢ ． （2分）由一次因式和根的关系及重因式知îíì = + = ¢ = + + = 0 2 4 ) 1 ( 0 1 ) 1( B A f B A f ， （8 分） 解得 1 = A ， 2 - = B ．（10 分）17． 解n aaa n a a a naa a n a a a na aa n a a a n aaa n a a a D ncc c c c c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + 1 32 2 1 1 31 2 2 1 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 131 21 L L M O MM M L L LL L L M （2分）n aaa naa a na aa n a aa na a a na a a c + + + + + + + = + + + + ¸ 1 32 13 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 ) 2 1 1 ( )1 ( 211L M O M M M L LL L L （8 分）na a a na a a c a c c a c c a c n n+ + + + = + + + + = - - - L L M O M M M L L L L M2 1 1 10 0 10 1 0 10 1 10 0 1) 2 1 1 ( 113 3 12 2 ．（10 分） 18． 解 按列拼成矩阵÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç çç ç ç èæ - - - - - - - = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 1 11 2 4 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 11 1 0 12 ) , , , , ( 5 43 2 1 a a a a a ． （2 分）用行初等变换化简得÷ ÷ ÷÷ ÷÷øöç ç çç ç ç è æ - - - - ® ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 3 0 0 0 0 1 1 02 1 1 1 1) , , , , ( 5 4 3 2 1 a a a a a ． （8 分）由初等变换不改变列向量组的线性关系得原向量组的一个极大线性无关组为 3 2 1 , , a a a ，向 量组 ,,,, 12345 a a a a a 的秩为 3．（10 分）19． 解 构造增广矩阵并作行初等变换得÷ ÷÷ ÷ øö ç ç ç ç è æ - - - ® ÷ ÷ ÷ø ö ç ç ç è æ - - - - - - - = 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 1 1 6 4 2 2 1 3 1 1 1 0 1 1 1 1 A ．（2分）得到原线性方程组的一般解为ï î ï í ì + = + + = w z wy x 2 212 1． 令 0 , 0 = = w y ，得原方程组的一个特解 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 0 2 1 0 2 1 0 g ．（5 分）对应齐次线性方程组的一般解为î íì = + = w z wy x 2． 令 0 , 1 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = 0 0 1 1 1 h ，令 1 , 0 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 1 2 0 1 2 h ．（9 分）原方程组的全部解为{} R k k k k Î + + = 2 1 2 21 1 0 ,h h g g ． （10分）20． 解 构造分块矩阵÷ ÷ ÷øöç ç ç è æ - - = + 2 2 2 1 1 7 3 1 2 0 2 2 0 0 2 ) , ( B E A ．（2 分）作初等行变换得÷ ÷ ÷øö ç ç ç è æ - - ® + 1 1 1 0 0 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ) , ( B E A ．（6 分）由初等变换与初等矩阵的联系知÷ ÷ ÷ øö ç ç ç è æ - - = 1 1 3 1 1 1 X ．（10 分）五、证明题（每小题10分，共20分）21． 证 充分性 若 ()|() g x f x ，则存在多项式 ) (x h ，使得 ) ( ) ( ) ( x h x g x f = ．两端 平方得 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 x h x g x f = ，即 ) ( | ) ( 22 x f x g ．（4 分）必要性 若 0 g = ，则 0 f = ，结论成立． 若g 为非零常数，易知结论也成立．若 1 ) ( ³ ¶ g ，由多项式的因式分解定理，设 f g , 标准分解式为12 12 s r r r s g ap p p = L ， 12 12 , sm m m s f bp p p = L i p 是不可约多项式。

高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。

（ ）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。

（ ）3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。

（ ）4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。

（ ）5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。

（ ）6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。

（ ）7、零变换和单位变换都是数乘变换。

（ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。

（ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。

（ ）10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==ni i i x 1αβ，那么∑==ni ix12β。

（ ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()()()()()n n nx g x f x g x f,,=；②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。

2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ）①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。