概率论与数理统计龙永红第三版第1.5节

《概率论》第一章 练 习 一、填空题：（1）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.7，P （A －B ）＝0.3，则P （A B ）＝ 。

（2）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.92，P （B ）＝0.93，P （B/A ）＝0.85，则P （A/B ）=_ _，P （A B ）=_ __。

见课本习题—20题（3）设事件A 、B 相互独立，已知P （A ）＝0.5，P （A B ）＝0.8，则P(A B )= , P （A B ）＝ 。

（4）袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今两人依次随机地从中各取一球，则第二个人取得黄球的概率是 。

（5）设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P （A ）＝ 。

（6）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率是80/81，则该射手的命中率为 。

(7) 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地取出4球，其中“恰好2个黑球，2个白球”的概率为： 、(8) 事件A 、B 、C 中至少有两个不发生，可用运算符号表示为： ；而运算符号C B A -+)(则表示事件 。

(9) A 、B 为相互独立的事件，P （A ）=0.4，P （AB ）=0.12，则 P （B ）= ；P （A B ）= 。

(10) 设A 、B 为互不相容事件，P （B ）=0.4，P （A+B ）=0.75，则 P （A ）= ；P （AB ）= 。

（11）设A 、B 为互不相容事件，P （A ）=0.35，P （A+B ）=0.80，则 P （B ）= ；P （A ）-P （AB ）= 。

（12）A 、B 为相互独立的事件，P （A ）=0.4，P （AB ）=0.12，则B）= 。

P（B）= ；P（A（13）某人射击时，中靶的概率为3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（14）设每次试验成功的概率为：P（0<P<1），则3次重复试验中至少失败1次的概率为（15）甲、乙两个人独立地对同一目标各射击一次，其中命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是二、计算题：1、现有编号为1，2，3的3个盒子，1号盒中有3个红球，2个黄球；2号盒中有2个红球，3个黄球；3号盒中有1个红球，4个黄球。

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

习题一：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。

解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。

解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。

解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格。

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2)。

解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温。

考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。

解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生。

C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生。

)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生。

C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生。

C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生。

BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生。

C B C A B A ⋃⋃；(7) A 。

B 。

C 中至多有两个发生。

ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

第一章1. (1) )}6,6)...(3,1)(2,1(),1,1{(1=λ(2) }|{212x x x x ≤≤=λ 1x :当日最低价 2x :当日最高价(3) },3,2,1,0{3=λ(4) },3,2,1{3 =λ2. (1) (3)3. }6,5,4,3,2,1{=λ},5,3,1{=A},4,3,2,1{=B},4,2{=C}5,4,3,2,1{=+B A}5{=-B A},4,2{=+A B}3,1{=AB∅=AC}6,4,3,2,1{=+B A 4. (5) ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A ++++++(8) ABC BC A C B A C AB +++(10) B A C B B A ++(11) C B A ++9. ①25.0)()()()(=-=-=-AB P A P AB A P B A P又4.0)(=A P15.0)(=∴AB P②)()()()(AB P B P A P B A P -+=+15.025.04.0-+=5.0=③)()(AB B P A B P -=-)()(AB P B P -=15.025.0-=1.0= ④)(1)()(B A P B A P B A P -==5.01-=5.0= 10. )(1)(C B A P C B A P -=++而 6.04.01)(1)(=-=-=A P A P 又)()(B A B A P A P +=)()(B A P B A P +=4.0)()()(=-=∴B A P A P B A P又 C B A C B A B A +=)()()(C B A P C B A P B A P +=∴3.01.04.0)(=-=∴C B A P7.0)(=++∴C B A P11. A=“其中恰有K 件” ①n Nk n N N K N C C C A P --=∴11)(② B=“其中有次品”=B “一件次品也没有”n NnN N C C B P B P 11)(1)(--=-=∴③C=“其中至少有两件次品” =C “只有一件次品，或没有” nNn N N N n N nN N C C C C C C P C P 111111)(1)(-----=-=∴ 12．①: A=“男生比女生先到校”243024301!24!30!6!24)(C P A P ==∙= ②B=“李明比王先到学校”21)(=B P13. C ＝“至少两人生日同一天” =C “每个人生各不同” n n C P C P 365)1365(3643651)(1)(+-⋅⋅-=-= 14. ①A=“第2站停车” =A “不停车”25)98(1)(1)(-=-=∴A P A P②B=“第i 和第J 站至少有一站停车=B “第i 站到J 站都不停”)(1)(B P B P -=∴25)97(1-= ③=i A “第i 站有人下车（停车）” =j A “第j 站有人下车” )(1)(1)(j i j i j i A A P A A A A P ⋃-=⋂-=⋂)]()()([1j i j i A A P A P A P -+-=)()()(1j i j i A A P A P A P +--=2525)97(2)98(1+⨯-= ④D=“在第i 站有3人下车”223325)98()91()(⋅⋅=C D P （贝努里试验） 15.（1）A ＝“前两个邮筒没有信”41422)(2=⨯=A P （2）B ＝“第一个邮筒恰有一封信”8343)(212=⋅=C B P 16. A ＝“前i 次中恰好有取到k 封信”)!()!(!)(b a i b a i C C A P k i b k a +-+⋅⋅=- i ba k ib k a C C C +-= 17. =3A “第三把钥匙可以开门” =2A “第二把钥匙可以开门”① )()(3213213213213A A A A A A A A A A A A P A P +++=)()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P +++=8394106839610484951068293104⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 72014412024++= 720288= 104= ② =3A “第三把钥匙才可以开门”617201208495106)(3==⨯⨯=A P ③ C=“最多试3把就可以开门”849510694106104)(⨯⨯+⨯+=C P 65= 18. 贝努里试验A ＝“其中三次是正面”1031073310)21()21()21()(⋅=⋅⋅=C C A P 19.A ＝“恰有一红球，一白球，一黑球”41)(310121315=⋅⋅=C C C C A P 20. !1348!132223)(12=⋅⋅⋅⋅=C A P21. 几何概型A ＝“等待时间不超过3分钟” −→−X 到达汽车站的时间 }10{+≤≤=Ωt x t x}107{+≤≤+=t x t x A103)()()(=Ω=∴S A S A P 22. A ＝“需要等零出码头的概率”−→−x 第1条船到达时刻 −→−y 第2条船到达时刻240),{(≤≤=Ωx y x }240≤≤y20),{(≤-≤=y x y x A }10≤-≤x y222224)2322(2124)()()(+-=Ω=∴S A S A P 23. A ＝“第一次取出的是黑球”B ＝“第二次取出的是黑球”（1） 11)1()()1()()()(-+-=+-+⋅+-⋅==b a a ba ab a b a a a A P AB P A B P （2）1111111)()()(-+-=-+⋅++-+-⋅+-+-⋅+==b a a b a a b a b b a a b a a b a a b a a B P AB P B A P （3）A ＝“取出两个球，有一个是黑球” B=“两个都是黑球” )12()1(-+⋅=⋅+-+=b a a a b b a a n A)1(-⋅=a a n B121)]12([)1()(-+-=-+-==b a a b a a a a n n A B P A B 24. （1）)()()(A P AB P A B P = A ⊃BA AB ＝∴1A P A P A P AB P A B P ＝）（）（＝）（）（）＝（∴ （2））（）（＝）（）＝（A P AB P A P )](P[A A B P 212121AB B B B +++ φ=21B B)()()(21A P AB P AB P +∴=)()()()(21A P AB P A P AB P += )()(21A B P A B P +=25. (1) }){(）（女，女），（男，女）（女，男男，男=λ A=“已知一个是女孩，”＝}{（女，女）（男，女）（女，男） C ＝“两上都是女孩”＝ }{（女，女）31A C P ）＝（（2）解略 21A P 21）＝（A =i A “第i 个是女孩”26. A=“点数为4”316652)(=⋅⋅=A P 27. A ＝“甲抽难签” B=“乙抽难签” C=“丙抽难签” ① 104)(=A P ② )()()(A B P A P B A P ⋅=94106⋅= 9024= 154= ③ )()()()(AB C P A B PC A P ABC P ⋅⋅=8293104⨯⨯=72024=28. A=“试验成功，取到红球”=0B “从第二个盒子中取到红球”=1B “从第三个盒子中取到红球”)()(10AB AB P A P +=)()(10AB P AB P +=)()()()(1100B A P B P B A P B P ⋅+⋅=10810310721⨯+⋅= 10059= 59.0= 29. A=“废品” =1B “甲箱废品” =2B “乙箱废品”（1）)()(21AB AB P A P +=)()()()(2211B A P B P B A P B P ⋅+⋅=05.0502006.0503⋅+⋅=056.0=（2）120201003005.0240006.03000)(⨯+⨯⨯+⨯=A P 5400120180+= 181= 30. =i B “第二次取球中有i 个新球” i=0.1,2,3 =j A “第一次取球中有j 个新球” j=0,1,2,3(1) )()(322212022A B A B A B A B P B P +++=)()()()()()(222121020A B P A P A B P A P A B P A P ⋅+⋅+⋅= )()(323A B P A P ⋅+312339)(C C C A P J J j -= 3,2,1,0=J ① 31213292)(C C C A B P J J j +-= 3,2,1,0=J ②分别对应代入该式中，可得：455.0)(2=B P（2）)()()()()()(212122121B P A B P A P B P B A P B A P ⋅== 将①，②代入该式，可得：14.0)(21=B A P31、 A ＝“确实患有艾滋病”B ＝“检测结果呈阳性” 由题知：95.0)(=A B P 01.0)(=A B P 001.0)(=A P① )()()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P ⋅+⋅⋅== 01.0999.095.0001.095.0001.0⨯+⨯⨯=087.0= ② C=“高感染群体确实患有艾滋病”01.0)(=C P)()()()()()()()()(C B P C P C B P C P C B P C P B P BC P B C P ⋅+⋅⋅== 01.099.095.001.095.001.0⋅+⨯⨯=49.0= 32. 解：不能说明“袭击者确为白人的概率”为0.8 设 A ＝“被袭击者正确识别袭击者种族”=A “错误识别袭击者种族”B ＝“袭击者为白人” =B “袭击者为非白人” 根据已知条件，有8.0)(=A P 2.0)(=A P)()(A B BA P B P +=)()(B A P AB P +=)()()()(A B P A P A B P A P ⋅+⋅=)(2.0)(8.0A B P A B P ⨯+⨯=因 )(A B P 与 )(A B P 未给出，因而不能断定8.0)(=B P33. 解：21)()()(===C P B P A P 41)()()(===AC P BC P AB P C B A ,,∴两两独立，又81)()()(41)(=≠=C P B P A P ABC P C B A ,,∴不相互独立，只是两两独立。

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。