高考数学一轮复习 第一单元 集合与常用逻辑用语学案 理
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1 第一单元 集合与常用逻辑用语
第1课集__合
[过双基]
1．集合的含义及表示
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
2．集合间的基本关系
表示
关系 文字语言 符号语言 记法
基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A AB或BA
相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，
B⊆A A＝B
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 ∀x，x∉∅，
∅⊆A ∅
3．集合的基本运算
表示
运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集 属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 2 补集 全集U中不属于集合A的元素组成的集合 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA
4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；
(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.
[小题速通]
1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A＝{2,0,1,8}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为( )
A．2
B．－2
C．0 D.2
解析：选B 若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，则k＝±3，显然满足条件；若k2－2＝8，则k＝±10，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±2，±3，±10，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.
2．(2018·河北武邑中学期中)集合A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}，则B＝y 6y∈N*，y∈A中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}＝{x|0
3．(2017·黄冈三模)设集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋4<0}，则∁UA等于( )
A．{1,2} B．{1,4}
C．{2,4} D．{1,3,4}
解析：选B 因为集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋4<0}＝{x∈N|1
4．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}． 3 5．(2017·衡水押题卷)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}，则A∩B为( )
A．(0,1) B．[0,1]
C．(1,2) D．[1,2]
解析：选D 因为A＝{x|0≤x≤2}，所以B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}＝{y|1≤y≤2}，所以A∩B＝{x|1≤x≤2}．
[清易错]
1．在写集合的子集时，易忽视空集．
2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
3．在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．
1．(2018·西安质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为( )
A．8 B．4 C．3 D．2
解析：选B 由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B.
2．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}，∁UA＝{a＋3}，则实数a的值为________．
解析：∵∁UA＝{a＋3}，
∴a＋3≠2且a＋3≠|a＋1|且a＋3∈U，
由题意，得a＋3＝3或a＋3＝a2＋2a－3，
解得a＝0或a＝2或a＝－3，
又∵|a＋1|≠2且AU，∴a≠0且a≠－3，∴a＝2.
答案：2
3．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．
解析：由题意知A＝{2,3}，又A∩B＝B，所以B⊆A.
当m＝0时，B＝∅，显然成立；
当m≠0时，B＝1m⊆{2,3}，所以1m＝2或1m＝3，即m＝12或13.
故m组成的集合是0，12，13.
答案：0，12，13
4 [全国卷5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
集合的基本概念
5年5考 集合的表示、集合元素的性质
集合间的基本关系 5年2考 子集概念
集合的基本运算 5年12考 交、并、补运算，多与不等式相结合
集合的基本概念
[典例] (1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)(2018·厦门模拟)已知P＝{x|2
[解析] (1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素．
(2)因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5
[答案] (1)B (2)(5,6]
[方法技巧]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
[即时演练]
1．(2018·莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.
2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32，当m＝1时，m＋2＝3且2m2 5 ＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，故m＝－32.
答案：－32
集合间的基本关系
[典例] (1)已知集合A＝{x|0
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0]∪[3，＋∞)
C．[0,2] D．[0,3]
(2)已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|－a
[解析] (1)∵C⊆A，∴ a≥0，a＋1≤3，解得0≤a≤2，故实数a的取值范围为[0,2]．
(2)因为B⊆(A∩B)，所以B⊆A.
①当B＝∅时，满足B⊆A，
此时－a≥a＋3，即a≤－32；
②当B≠∅时，要使B⊆A，则 －a
解得－32
由①②可知，实数a的取值范围为(－∞，－1]．
[答案] (1)C (2)(－∞，－1]
[方法技巧]
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
[即时演练]
1．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若B⊆A，则m＝________.
解析：由已知得A＝{x|x＝－2或x＝－1}，
B＝{x|x＝－1或x＝－m}．
因为B⊆A， 6 当－m＝－1，即m＝1时，满足题意；
当－m＝－2，即m＝2时，满足题意，故m＝1或2.
答案：1或2
2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.
解析：
由log2x≤2，得0
即A＝{x|0
而B＝(－∞，a)，
由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.
答案：4
集合的基本运算
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.
常见的命题角度有：
1求交集或并集；
2交、并、补的混合运算；
3集合运算中的参数范围；
4集合的新定义问题.
角度一：求交集或并集
1．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：选D 由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．
2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1
A．(－1,2) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(1,2)
解析：选A 根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．
角度二：交、并、补的混合运算
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩(∁UB)＝( )
