高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲

一、选择题

1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选C.命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；

否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；

逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．

综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C.

2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )

A．逆命题 B．否命题

C．逆否命题 D．否定

解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．

3．(2018·陕西质量检测(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的( )

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由(a－b)a2＜0可知a2≠0，则一定有a－b＜0，即a＜b；但是a＜b即a－b＜0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2＜0不一定成立，故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，选A.

4．“x>4”是“x2－2x－3>0”的( )

A．充要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B.因为x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1或x>3}，所以x>4⇒x2－2x－3>0.

但x2－2x－3>0x>4，所以“x>4”是“x2－2x－3>0”的充分而不必要条件．

5．有下列命题：

①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；

④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．

其中正确的是( )

A．①②③ B．②③④

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式

第1课时 集合

[复习要求] 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表示集合的关系与运算．

集合的基本概念

(1)集合的概念：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)；

(2)集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性；

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

符号 N N＋(或N*) Z

Q R

集合的基本关系

(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；

(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB；

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；

(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

集合的基本运算

(1)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；

(2)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；

(3)补集：若U为全集，A⊆U，则∁UA＝{x|x∈U且x∉A}．

集合的常用运算性质

(1)A∩∅＝∅；A∩A＝A；

(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；

(3)A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A；

(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B；

A⊆B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅；

(5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；

∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；

(6)如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B；A∩(∁UB)；B∩(∁UA)；∁U(A∪B)或(∁UB)∩(∁UA)；

(7)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．

1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．

(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．

第1课时 集合的含义

课

标

解

读 课标要求 核心素养

1.通过实例了解集合的含义.

2.掌握集合中元素的三个特性.(重点)

3.体会元素与集合的关系,记住常用数集的表示符号并会应用.(难点) 1.通过集合概念的学习,逐步形成数学抽象素养.

2.借助集合中元素的互异性的应用,培养逻辑推理素养.

一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他请教一位数学家:“尊敬的先生,请您告诉我,集合是什么?”但是集合是不加定义的概念,数学家很难回答那位渔民.

有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下渔网,轻轻一拉,许多鱼在网中跳动.数学家非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集合!”

问题1:数学家说的集合是指什么?

答案 网中的鱼的全体.

问题2:网中的“大鱼”能构成集合吗?

答案 不能.

1.元素与集合的概念

2.集合元素的特性

思考1:地球的七大洲能构成一个集合吗?

提示 能.

思考2:英语单词good的所有字母能否组成一个集合?如果能组成一个集合,该集合中有几个元素?

提示 能,三个元素. 特别提醒

判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准,即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”.另外,元素可以是人、物、数、点、不等式、集合等.

3.集合相等

构成两个集合的元素是⑦一样的,我们就称这两个集合是相等的.

4.常见的数集及表示符号

数集 非负整数集

(自然数集) 正整数集 ⑧整数集 有理数集 ⑨实数集

符号 ⑩N N*或N+ Z Q R

探究一 集合的基本概念

例1 (多选)观察下列每组对象,能构成集合的是( )

A.中国各地美丽的乡村

B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点

C.不小于3的自然数

D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者

答案 BCD

思维突破

一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,a3,…,an均不相同)能否构成集合的过程如下: 1.判断下列每组对象能否组成一个集合.

百度文库，精选习题

试题习题，尽在百度 第1章 集合与常用逻辑用语 第2讲

1．(2015·高考上海卷)下列不等式中，与不等式x＋8x2＋2x＋3<2解集相同的是( )

A．(x＋8)(x2＋2x＋3)<2 B．x＋8<2(x2＋2x＋3)

C.1x2＋2x＋3<2x＋8 D.x2＋2x＋3x＋8>12

解析：选B.依题意，注意到x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0，因此不等式x＋8x2＋2x＋3<2等价于x＋8<2(x2＋2x＋3)，故选B.

2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞，则a＝( )

A．2 B．－2

C．－12 D.12

解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax2＋x(a－1)－1＝0的两个根，所以－1×－12＝－1a，所以a＝－2，故选B.

3．已知函数f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x>0，则不等式f(x)≥x2的解集为( )

A．[－1，1] B．[－2，2]

C．[－2，1] D．[－1，2]

解析：选A.法一：当x≤0时，x＋2≥x2，

所以－1≤x≤0；①

当x>0时，－x＋2≥x2，所以0

由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．

法二：作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图像，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－1，1]．

4．(2016·广东省联合体联考)已知函数f(x)＝|3x－4|，x≤2，2x－1，x>2，则使f(x)≥1的x的取值范围为( )

A.1，53 B.53，3

C．(－∞，1)∪53，＋∞ D．(－∞，1]∪53，3

解析：选D.不等式f(x)≥1等价于x>2，2x－1≥1或x≤2，|3x－4|≥1，解之得x≤1或53≤x≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪53，3，故选D.