12 第6讲 分层演练直击高考

第6讲 指数与指数函数1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝________．解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9，即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7.答案：72．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .答案：a >b >c3．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________． 解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数，又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 34.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________． 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 答案：25．已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________． 解析：因为f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，f (a )＝－12， 所以e a －e －ae a ＋e －a ＝－12. 所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －a e a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 答案：126．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9，则f (x )的单调递减区间是________．解析：由f (1)＝9得a 2＝9，所以a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|，又因为g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]7．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________． 解析：因为x ∈[－3，2]，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57. 所以所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 8．已知函数f (x )＝e|x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案：(－∞，1]9．(2018·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析：由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.答案：e10．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示有两个公共点．答案：(1，＋∞)11．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1，6)，B (3，24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，①b ·a 3＝24，② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减，所以m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56. 12．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1， 解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )故a 的值为0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，e x ，x ≤0，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为________．解析：当x >0时，F (x )＝1x＋x ≥2； 当x ≤0时，F (x )＝e x＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．解析：方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不同实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，所以0<2a <1，即0<a <12. ②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f （x ）g （x ）＝a x ，所以f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)，由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0.故①②错；因为f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|，所以|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立；又2a ＋2c >22a ＋c ，所以2a ＋c <1，所以a ＋c <0，所以－a >c ，所以2－a >2c，③不成立．答案：④5．(2018·苏锡常镇四市调研)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1， 令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1， 故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解，记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0， 过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以a >0. 6．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 解：因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1.(1)因为f (1)>0，所以a －1a>0， 又a >0且a ≠1，所以a >1，f (x )＝a x －a －x ，因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，所以x >1或x <－4，所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．(2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0， 所以a ＝2或a ＝－12(舍去)， 所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x－2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝3，2所以原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，所以当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)．即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.。

课时分层集训(十二) 内力作用与地貌(建议用时：40分钟)A组跨越本科线(2018·武汉模拟)恩施大峡谷呈西南—东北走向，多急流瀑布，喀斯特地貌发育。

峡谷中的百里绝壁、千丈瀑布、傲啸独峰、原始森林、远古村寨等景点美不胜收。

读图，完成1～2题。

【导学号：29790052】1．推测图中的百里绝壁的地质构造属于( )A．背斜B．角峰C．断层D．陡崖2．有关组成峡谷中的岩石的叙述，可能的是( )A．变质作用形成B．形成于陆地深处C．含有珊瑚化石D．坚硬而不易被流水侵蚀1．C 2.C[第1题，百里绝壁即表现为陡崖的形态，多为断层导致的。

第2题，恩施大峡谷中喀斯特地貌发育，说明为石灰岩分布区，此类岩石主要是由化学沉淀物或生物遗体堆积而成，因此可能含有珊瑚化石。

](2018·潍坊检测)“黑烟囱”是指海水从地壳裂缝渗入地下，遇到熔岩被加热，溶解了周围岩层中的金银等金属后又从地下喷出，这些金属经过化学反应形成硫化物沉积在附近的海底，像“烟囱”形状一样堆积而成。

读图，完成3～4题。

3．图中“黑烟囱”区域主要位于( )①非洲板块与印度洋板块的消亡边界上②印度洋板块与非洲板块的生长边界上③印度洋板块与南极洲板块的生长边界上④非洲板块与南极洲板块的消亡边界上A．①②B．③④C．①④D．②③4．“黑烟囱”在成因上属于 ( )A．沉积岩B．变质岩C．侵入岩D．喷出岩3．D 4.A[第3题，根据图中“黑烟囱”区域，结合六大板块分布可知，“黑烟囱”区域位于印度洋板块、南极洲板块和非洲板块的交界处。

第4题，根据材料，“黑烟囱”是海水溶解的金属从地下喷出后经过化学反应形成的硫化物沉积而成，故在成因上属于沉积岩。

](2016·浙江高考)下图为某河谷地质、地貌剖面图，图中地层年代由①到③变老。

图中阶地(用T表示，数字下标表示阶地的级数)指由河流作用形成的高出洪水位的阶梯状地貌。

此河段阶地主要由于地壳抬升形成。

第8讲分层演练直击高考1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，则f (x )的零点所在的区间是 ( )A ．(0，1)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选C ．易知f (x )是单调函数，f (3)＝2－log 23>0，f (4)＝32－log 24＝32－2＝－12<0，故f (x )的零点所在的区间是(3，4)． 2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．作出g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x与h (x )＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C ．5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，即a ∈[－1，0)，故选D.6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：依题意得⎩⎨⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝－2.令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧x >0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2， 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：37．方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时， f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10.当f (1)＝0时，k ＝5. 答案：[5，10)8．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )>g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x－5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：59．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明：令g (x )＝f (x )－x .因为g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－12＝－18，所以g (0)·g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，12上是连续曲线，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.10．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥1，所以无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎨⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．(数形结合法)因为a >0，所以a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，所以y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定解析：选C．在同一坐标系中作出函数y＝x的图象(图略)，2x，y＝log12x0，由图象可知，当0＜x0＜a时，有2x0＜log12即f(x0)＜0.3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c 的大小关系为()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．a＞b＞c D．c＞a＞b解析：选B．f(x)＝2x＋x的零点a为函数y ＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y ＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B．4．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1）1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．解析：由题意知，当x ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x，x ∈(－1，0)|x ＋3|－1，x ∈（－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π. 答案：11－2π5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值； (3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ， 且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．6．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋14x，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，54.。

[学生用书P335(单独成册)]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选A.由折线图可知，各年的月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A.2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．200，20 B.100，20C．200，10 D．100，10解析：选A.该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.3．(2018·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：分组成[10，20)，[20，30)，[30，40]时，所作的频率分布直方图是()解析：选B .由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C 和D ；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A ，故选B .4．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：8 7 7 941x91则7个剩余分数的方差为( ) A .1169B.367 C ．36D ．677解析：选B .根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99， 则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91， 所以x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.5．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x －＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n＋1的均值为________．解析：由条件知x －＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，则所求均值x －0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n ＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n＝2x －＋1＝2×5＋1＝11.答案：116．(2018·湖南长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为________．(该年为365天)解析：该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年AQI 大于100的频率为25，估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.答案：1467．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：因为小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，且a 2＝2a 1， 所以样本的频率构成一个等比数列，且公比为2， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＋8a 1＝15a 1＝1，所以a 1＝115，所以小长方形面积最大的一组的频数为300×8a 1＝160. 答案：1608．(2018·西安模拟)随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了40人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄约为多少岁？(2)若从年龄在[15，25)，[45，55)的被调查人员中各随机选取1人进行调查．请写出所有的基本事件，并求选取的2人中恰有1人持不赞成态度的概率．解：(1)被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示．被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄x －＝4×20＋6×30＋8×40＋4×50＋9×604＋6＋8＋4＋9≈42.6(岁)．(2)设年龄在[15，25)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4，持不赞成态度的1人为a ，设年龄在[45，55)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为B 1，B 2，B 3，B 4，持不赞成态度的1人为b .基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 1，b )，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 2，b )，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 3，b )，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，(A 4，b )，(a ，B 1)，(a ，B 2)，(a ，B 3)，(a ，B 4)，(a ，b )，共有25个，其中恰有1人持不赞成态度的基本事件有8个，所以恰有1人持不赞成态度的概率为825.9．(2018·惠州第一次调研)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据直方图估计利润y 不少于4 000元的概率．解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150盒，需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2， 需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3， 需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25， 需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x －＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)． (2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100≤x <160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600，当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x －1 600，100≤x <160，4 800，160≤x ≤200.(3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x <160时，由40x －1 600≥4 000，解得160>x ≥140.当160≤x ≤200时，y ＝4 800>4 000恒成立，所以200≥x ≥140时，利润y 不少于4 000元．所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝0.7.1．(2018·长春质量检测(二))如图是民航部门统计的2017年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门解析：选D .由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A 正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B 正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D 错误．选D .2．(2016·高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：选D .由图可知0 ℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10 ℃，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份不是5个，D 不正确．故选D .3．若正数2，3，4，a ，b 的平均数为5，则其标准差的最小值为( ) A ．2 B.4105C ．3D ．215解析：选B .由已知得2＋3＋4＋a ＋b ＝5×5，整理得a ＋b ＝16.其方差s 2＝15[(5－2)2＋(5－3)2＋(5－4)2＋(5－a )2＋(5－b )2]＝15[64＋a 2＋b 2－10(a ＋b )]＝15(a 2＋b 2－96)＝15[a 2＋(16－a )2－96]＝15(2a 2－32a ＋160)＝25(a 2－16a )＋32＝25(a －8)2＋325，所以当a ＝8时，s 2取得最小值，最小值为325，此时标准差为4105.故选B .4．某电器公司对5 000名购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示，在这些购物者中，消费金额在区间[0.4，0.7)内的购物者的人数为________．解析：在这些购物者中，消费金额在区间[0.4，0.7)内的频率为2.5×0.1＋3.0×0.1＋2.0×0.1＝0.75，所以消费金额在区间[0.4，0.7)内的购物者的人数为0.75×5 000＝3 750.答案：3 7505．(2018·长春模拟)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000＋0.000 1×1 000×3 000＋0.000 2×1 000×4 000＋0.000 3×1 000×5 000＋0.000 2×1 000×6 000＋0.000 1×1 000×7 000＝4 700(元)．(2)抽取比为5100＝1 20，从工资在[1 500，4 500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×120＝2人，设这两位员工分别为1，2；从工资在[4 500，7 500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×120＝3人，设这三位员工分别为A，B，C.从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，概率为310；其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，概率为610＝35；两人营销都失败，公司收入－2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为110.因为110<310<35，所以公司收入2万元的可能性最大．。

1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选B．因为集合A和集合B有共同元素2，4，所以A∩B＝{2，4}，所以A∩B 中元素的个数为2.2．(2017·高考北京卷)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁U A＝() A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C．根据补集的定义可知，∁U A＝{x|－2≤x≤2}＝[－2，2]，故选C．3．(2017·高考天津卷)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选B．因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B．4．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知集合A＝{x|2x2－5x－3≤0}，B＝{x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选B．A＝{x|2x2－5x－3≤0}＝{x|－12≤x≤3}，B＝{x∈Z|x≤2}，A∩B＝{0，1，2}，故选B．5．(2018·福州综合质量检测)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}，则A∩B＝()A．∅B．(1，2]C．{2} D．{1，2}解析：选C．法一：因为A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}＝{1，2}，所以A∩B＝{2}，故选C．法二：因为1∉A，所以1∉A∩B，故排除D；因为1.1∉B，所以1.1∉A∩B，故排除B；因为2∈A，2∈B，所以2∈A∩B，故排除A．故选C．6．已知全集为整数集Z.若集合A＝{x|y＝1－x，x∈Z}，B＝{x|x2＋2x>0，x∈Z}，则A ∩(∁ZB )＝( )A ．{－2}B ．{－1}C ．[－2，0]D ．{－2，－1，0}解析：选D.由题可知，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈Z }，B ＝{x |x >0或x <－2，x ∈Z }，故A ∩(∁Z B )＝{－2，－1，0}，故选D.7．(2018·陕西质量检测(一))已知集合A ＝{x |log 2x ≥1}，B ＝{x |x 2－x －6＜0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |2≤x ＜3}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选C ．化简集合得A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}，选C ．8．(2018·洛阳第一次模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D.依题意得A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.9．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{2，3}B ．{－1，2，5}C ．{2，3，5}D ．{－1，2，3，5}解析：选D.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．10．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．1或2解析：选B ．当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2.选B ．11．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＝n，n∈A}，则A∩B的真子集个数为() A．5 B．6C．7 D．8解析：选C．由题意，得B＝{0，1，2，3，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B 的真子集个数为23－1＝7，故选C．12．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]解析：选B．因为集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>a}，因为A⊆B，所以a≤－1.13．(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a 的值为________．解析：因为B＝{a，a2＋3}，A∩B＝{1}，所以a＝1或a2＋3＝1，因为a∈R，所以a＝1.经检验，满足题意．答案：114．设集合I＝{x|－3<x<3，x∈Z}，A＝{1，2}，B＝{－2，－1，2}，则A∩(∁I B)＝________．解析：因为集合I＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{1，2}，B＝{－2，－1，2}，所以∁I B＝{0，1}，则A∩(∁I B)＝{1}．答案：{1}15．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B＝________．解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U(A∪B)＝{1，3}，得A∪B＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A∩(∁U B)＝{2，4}知，{2，4}⊆A，{2，4}⊆∁U B．所以B＝{5，6，7，8，9}．答案：{5，6，7，8，9}16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B 中元素的个数为()A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B ．集合A 表示单位圆上的所有的点，集合B 表示直线y ＝x 上的所有的点．A ∩B 表示直线与圆的公共点，显然，直线y ＝x 经过圆x 2＋y 2＝1的圆心(0，0)，故共有两个公共点，即A ∩B 中元素的个数为2.2．已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z }，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{2，8} C ．{4，10}D ．{2，4，8，10}解析：选B ．因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2，8}，故选B ．3．(2018·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1，3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21解析：选D.由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0，1，2，3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4，2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5，3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1，2，3，4，5，6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.4．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，则A ∩B＝________．解析：不等式18<2x <8的解为－3<x <3，所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3，所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1； 若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解； 若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解； 若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7. 答案：{}－1，75．若集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，x ∈R }，集合B ＝{1，2}，且A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：①若A ＝∅，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2； ②若1∈A ，则a ＝－2， 此时A ＝{1}，符合题意； ③若2∈A ，则a ＝－52，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意；④若A ＝B ＝{1，2}，此时不存在满足题意的a 的值． 综上所述，实数a 的取值范围为[－2，2)．6．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁R M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁R M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}，所以∁R M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，所以(∁R M )∩N ＝{2}．(2)由(1)知A ＝(∁R M )∩N ＝{2}，所以B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1＞5－a ，得a ＞3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3.综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．。

一、选择题 1．(2019·洛阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( ) A ．52 B ．78 C ．104 D ．208 解析：选C.依题意得3a 7＝24，a 7＝8，S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7＝104，选C.2．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选B.设{a n }的公差为d ，由S 5＝5（a 2＋a 4）2⇒25＝5（3＋a 4）2⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12解析：选B.由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 6＋a 7>0”是“S 9≥S 3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充要也不必要条件 解析：选A.法一：将它们等价转化为a 1和d 的关系式．a 6＋a 7>0⇒a 1＋5d ＋a 1＋6d >0⇒2a 1＋11d >0；S 9≥S 3⇒9a 1＋9×8×d 2≥3a 1＋3×2×d 2⇒2a 1＋11d ≥0.法二：a 6＋a 7>0⇒a 1＋a 12>0，S 9≥S 3⇒a 4＋a 5＋…＋a 9≥0⇒3(a 1＋a 12)≥0.5．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17 解析：选A.设{a n }的公差为d ， 因为a 1＝29，S 10＝S 20，所以10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，所以S n ＝29n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.所以当n ＝15时，S n 取得最大值． 6．(2019·张掖模拟)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选B.a n a 2n ＝a 1＋（n －1）d a 1＋（2n －1）d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.因为a 1＝d ≠0，所以a n a 2n ≠0，所以该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12. 二、填空题 7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝________． 解析：因为a 3＋a 9＝27－a 6，2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.答案：998．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________．解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：109．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m （m －1）2×1＝0，解得正整数m 的值为5. 答案：5 10．已知在等差数列{a n }中，S n ＝33，S 2n ＝44，则这个数列的前3n 项和S 3n 为________． 解析：法一：由题意知，⎝⎛⎭⎫n ，33n ，⎝⎛⎭⎫2n ，442n ，⎝⎛⎭⎫3n ，S 3n 3n 三点在同一条直线上，从而有442n －33n 2n －n ＝S 3n 3n －442n 3n －2n，解得S 3n ＝33.所以该数列的前3n 项的和为33. 法二：S 3n ＝3(S 2n －S n )＝3×(44－33)＝33.答案：33 三、解答题11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1， 因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1. 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1， 即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2. 12．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋（n －2）[2＋（3n －7）]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式，当n ＝1时，不满足此式． 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.1．(2019·洛阳第一次统一考试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数n －32，n 为偶数.2．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c ，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×d ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c，其中c ≠0.因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，所以2c 2＋c ＝0， 所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.即存在一个非零实数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．。

2021年高考数学 第六章第6课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版1．三段论：“①所有的中国人都顽强不屈，②玉树人是中国人，③玉树人必然顽强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”别离是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②①解析：选A.解此题的关键是透彻明白得三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一样性的命题”，(①所有的中国人都顽强不屈)，小前提是“那个特殊事例是不是知足一样性命题的条件(②玉树人是中国人)”，结论是“那个特殊事例是不是具有一样性命题的结论(③玉树人必然顽强不屈)”．应选A.2．把下面在平面内成立的结论类比地推行到空间，结论还正确的选项是( )A ．若是一条直线与两条平行线中的一条相交，那么也与另一条相交B ．若是一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么也与另一条垂直C ．若是两条直线没有公共点，那么这两条直线平行D ．若是两条直线同时与第三条直线垂直，那么这两条直线平行解析：选B.由空间立体几何的知识可知B 正确．3．由代数式的乘法法那么类比推导向量的数量积的运算法那么：①“mn ＝nm ”类比取得“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比取得“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比取得“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比取得“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比取得“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比取得“a ·cb ·c ＝a b ”．以上式子中，类比取得的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.①②正确；③④⑤⑥错误．4．概念一种运算“*”：关于自然数n知足以下运算性质：(1)1]( )A．n B．n＋1C．n－1 D．n2解析：选A.由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝ (1)5．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：假设概念在R上的函数f(x)知足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：选D.通过观看所给的结论可知，假设f(x)是偶函数，那么导函数g(x)是奇函数，应选D.二、填空题6．数列2，5，22，11，…的一个通项公式是________．解析：因为a1＝3－1，a2＝3×2－1，a3＝3×3－1，a4＝3×4－1，由此猜想a n＝3n－1.答案：a n＝3n－17．如下图的“三角形”数列，前4个图形对应的数别离为1,3,6,10.那么第7个图形对应的数是________．解析：由前4个数1,3,6,10可知数列{a n}知足a n＝a n－1＋n，由归纳推理可知∴a5＝a4＋5＝10＋5＝15，a6＝a5＋6＝15＋6＝21，a7＝a6＋7＝21＋7＝28.答案：288．设f(n)>0(n∈N*)，f(2)＝4，且关于任意的n1，n2∈N*，f(n1＋n2)＝f(n1)＋f(n2)．猜想一个f(n)的表达式是f(n)＝________.解析：f (2)＝4，那么2f (1)＝f (1＋1)＝4，故f (1)＝2.又f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝6，…， 猜想f (n )＝2n .答案：2n三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23， 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43， ∴S 2＝－34. 当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54， ∴S 3＝－45. 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65， ∴S 4＝－56. 猜想S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N *. 10．已知函数f (x )＝a x＋bx (a ＞0，b ＞0)，x ∈(0，＋∞)，试确信f (x )的单调区间，并说明在每一个区间上的增减性．解：f (x )在(0，a b ]上是减函数，在[a b ，＋∞)上是增函数，证明如下：设0＜x 1＜x 2，则f(x1)－f(x2)＝(ax1＋bx1)－(ax2＋bx2)＝(x2－x1)·(ax1x2－b)．当0＜x1＜x2≤ab时，x2－x1＞0,0＜x1x2＜ab，ax1x2＞b，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，ab]上是减函数；当x2＞x1≥ab时，x2－x1＞0，x1x2＞ab，ax1x2＜b，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[ab，＋∞)上是增函数．一、选择题1．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯持续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )解析：选A.该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.2．(2021·枣庄模拟)将正奇数按如下图的规律排列，那么第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………A．809 B．852C．786 D．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，那么第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，因此那个数是2×405－1＝809.二、填空题3．已知：f (x )＝x1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1且n ∈N *)，那么f 3(x)＝__________，猜想f n(x)(n∈N*)＝__________.解析：(1)由f1(x)＝f(x)＝x1－x得，f2(x)＝f1(f1(x))＝f1(x1－x )＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2(f2(x))＝f2(x1－2x )＝x1－2x1－2·x1－2x＝x1－4x＝x1－22x，f4(x)＝f3(f3(x))＝f3(x1－4x )＝x1－4x1－4·x1－4x＝x1－8x＝x1－23x，故猜想f n(x)＝x1－2n－1x.答案：x1－22xx1－2n－1x4．关于等差数列{a n}，有如下命题：“假设{a n}是等差数列，a1＝0，s，t是互不相等的正整数，那么有(s－1)a t＝(t－1)a s”．类比此命题，给出等比数列{b n}相应的一个正确命题：________________.答案：假设{b n}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，那么有b s－1t＝b t－1s三、解答题5．已知等差数列{a n}的公差d＝2，首项a1＝5.(1)求数列{a n}的前n项和S n；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．解：(1)由已知a 1＝5，d ＝2， ∴S n ＝5n ＋n n －12×2＝n (n ＋4)．(2)由已知得，a n＝2n＋3，∴T n＝n(2a n－5)＝n[2(2n＋3)－5]，即T n＝4n2＋n.∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S1＝T1，当n≥2时，S n<T n.归纳猜想：当n＝1时，S n＝T n；当n≥2，n∈N时，S n<T n.。

[学生用书P333(单独成册)]1．(2018·西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎬⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎬⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行A ．07 B.25 C ．42D ．52解析：选D .依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…因此选出的第6个个体是52，选D .2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为( )A ．10 B.12 C ．18D ．24解析：选A .根据分层抽样的特征，从C 学校中应抽取的人数为90180＋270＋90×60＝10.3．(2018·福州综合质量检测)在检测一批相同规格共500 kg 航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品约为( )A ．2.8 kg B.8.9 kg C ．10 kgD ．28 kg解析：选B .由题意，可知抽到非优质品的概率为5280，所以这批航空用耐热垫片中非优质品约为500×5280≈8.9 kg ，故选B . 4．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( )A ．3B.4C ．5D ．6解析：选B .35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取一人，共取4人．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7 B.9 C ．10D ．15解析：选C .由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的人的号码为30k ＋9(k ＝0，1，…，31)．由451≤30k ＋9≤750，解得44230≤k ≤74130，又k ∈N ，故k ＝15，16，…，24，共10人．6．(2018·贵阳检测)某高校有教授120人，副教授100人，讲师80人，助教60人，现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n 的样本．已知从讲师中抽取的人数为16，那么n ＝________．解析：依题意得，80120＋100＋80＋60＝16n ，由此解得n ＝72.答案：727．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A 类轿车10辆，则z 的值为________．解析：设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. 答案：4008．网络上流行一种“开心消消乐”游戏 ，为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01，02，03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.答案：579．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：. (1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 解：(1)因为x2 000＝0.19，所以x ＝380.(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12(名)．10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .解：总体容量为 6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数， 即n ＝6，12，18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.1．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A 营区，从301到495在B 营区，从496到600在C 营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26，16，8 B.25，17，8 C ．25，16，9D ．24，17，9解析：选B .依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此A 营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此B营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知B 正确．2．(2018·云南省第一次统一检测)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )A ．36人 B.30人 C ．24人D ．18人解析：选A .设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x 、x 、3x ，由题意得3x －x ＝12，x ＝6，所以持“喜欢”态度的有6x ＝36人．3．(2018·北京海淀模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为______；由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为______小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.答案：50 1 0154．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．解析：因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号．答案：375．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)其中从B 组抽取6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；(2)在(1)中，若的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：(2)记从A 12312B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4种，故所求概率P ＝418＝29.6．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行的数据)⎭⎬⎫84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 7447 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76第7行⎭⎬⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎬⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行(2)抽取的100人的数学与地理的测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有20＋18＋4＝42.②在地理成绩及格的学生中，已知a ≥11，b ≥7.求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．解：(1)785，567，199. (2)①7＋9＋a100×100%＝30%，所以a ＝14，b ＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17. ②a ＋b ＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31. 因为a ≥11，b ≥7，所以a ，b 所有可能的取值为：(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，(24，7)，共14种．当a ≥7，b ≥7时，设“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A ，则a ＋5＜b . 事件A 包括：(11，20)，(12，19)，共2个基本事件． 所以P (A )＝214＝17，故数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为17.。