2020年高考一轮复习数学(文)课时跟踪检测(十一)函数与方程
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课时跟踪检测(十一) 函数与方程
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
2
1已知函数f(x)= JXR+ a的零点为1,则实数a的值为 ______________
解析： 2 1
由已知得f(1) = 0,即717 + a= 0,解得a=—-.
1
答案：-2
2.已知关于x的方程x2 + mx- 6= 0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数 m的 取值范围是 _______________ .
解析：设函数f(x) = x2 + mx-6,则根据条件有 f(2) v 0,即卩4 + 2m-6v 0，解得mv 1. 答案：(—3
1)
f- 2, x> 0,
3•已知函数 f(x)= 2 若 f(0)=- 2, f(- 1) = 1，则函数 g(x) = f(x)
-x2 + bx+ c, x< 0,
+x的零点个数为 ________
c=- 2,
解析：依题意得*
—1 — b+ c= 1,
由此解得 b=- 4, c=- 2.由 g(x)= 0 得 f(x) + x = 0,
该方程等价于广°
—2 + x= 0,
严0,
—x2- 4x — 2+ x= 0.
解①得x= 2，解②得x=- 1或x=- 2.
因此，函数 g(x) = f(x) + x的零点个数为 3.
答案：3
4. (2019连云港调研)已知函数f(x)= 2-x2- x+ b有一个零点，则实数 b的取值范围 为 .
解析：由已知，函数f(x) = 2- x2-x + b有一个零点，即函数y= x- b和y= .2— x2的 图象有1个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为 y= x+ 2,过点
(0, 2)的直线方程为y= x+ .2,所以满足条件的 b的取值范围是 b=
-2 或—2 v b< 2.
答案：{- 2} U (- 2, 2]
5. (2018苏州质检)已知函数 f(x) = 1 x - cos x，贝V f(x)在［0,2
n]的零点个数为 解析：作出g(x)= ［2 x与h(x)= cosx的图象如图所示，可以看到其在 ［0,2 n上的交点个 数为3,所以函数f(x)在［0,2 n上的零点个数为 3.
答案：3
6. (2018泰州中学上学期期中)已知函数y= f(x)的周期为2,当x€ ［ — 1,1］时，f(x)= x2, 那么函数y= f(x)的图象与函数y= |lg x|的图象的交点共有 ______________ 个.
解析：在同一直角坐标系中分别作出 y= f(x)和y= |lg x|的图象，如图，结合图象知，共
有10个交点.
答案：10
二保咼考，全练题型做到咼考达标
1. ________ 设X0为函数f(x)= 2x+ x— 2的零点，且x°€ (m, n),其中m, n为相邻的整数，则 m + n= _____ .
解析：函数f(x)= 2x+ x— 2为R上的单调增函数，又 f(0) = 1 + 0 — 2=— 1V 0, f(1) = 2 + 1 —
2 = 1>0,所以f(0)屮)V 0,故函数f(x) = 2x+ x — 2的零点在区间(0,1)内，故 m= 0, n =1, m+ n = 1.
答案：1
2. ______________________ (2018镇江中学检测)已知函数f(x)= 2x+ 2x — 6的零点为X。，不等式x— 4>X。的最 小的整数解为 k,则k= .
解析：函数f(x)= 2x+ 2x— 6为R上的单调增函数，又 f(1) =— 2V 0, f(2) = 2 > 0,所以 函数f(x) = 2x+ 2x — 6的零点XQ满足1V x0v 2,故满足x0v n的最小的整数 n = 2,即k — 4 =2,所以满足不等式 x— 4> XQ的最小的整数解 k= 6.
答案：6
3. ________________________________________________________ 已知方程2x+ 3x= k的解在［1,2)内，贝V k的取值范围为 ___________________________________ .
解析：令函数f(x) = 2x+ 3x— k,
则f(x)在R上是增函数.
当方程2x+ 3x= k的解在(1,2)内时，f(1) H2)v 0,
即(5 — k)(10 — k)v 0,解得 5V kv 10.
当 f(1) = 0 时，k = 5.
综上，k的取值范围为［5,10).
答案：［5,10)
4. ____________________________________ (2019太原模拟)若函数f(x) = (m— 2)x2+ mx+
(2m+ 1)的两个零点分别在区间(一1,0) 和区间(1,2)内，则实数 m的取值范围是 . 尸2,
解析： 依题意并结合函数f(x)的图象可知，f — 1 f 0 < 0,
f 1 f 2 < 0,
阿工2,
即 Qm— 2— m+ (2m+ 1 j|(2m+ 1 戶 0,
jm— 2+ m + (2m+ 1 j][4(m — 2)+ 2m+ (2m + 1 j]< 0,
1 1
解得；< m< T.
4 2
答案：4 2
1, x > 1 ,
5. (2018无锡期末 股函数f(x)= 若方程f(x)— mx= 0恰好有3
|X 1og2 X+ 1 , X< 1 ,
个零点，则实数 m的取值范围为 __________ .
1 解析：当x> 1时，方程f(x) — mx= 0变为1— mx= 0,解得x=—; m
当一1< x< 1 时，方程 f(x) — mx= 0 变为 x[log2(x + 1) — m]= 0,解得 x= 0 或 x= 2m— 1.
1 因为f(x)— mx= 0恰好有3个零点，所以一> 1,且一1< 2m— 1 < 1, m
解得0
故实数m的取值范围为(0,1).
答案：(0,1)
x + 2 I ---- , x< 0, 6. (2019镇江调研)已知k为常数，函数f(x)=Sx — 1 若关于x的方程f(x) [|ln x|, x>0,
=kx+ 2有且只有4个不同的解，则实数 k的取值范围为 _____________ .
解析：作出函数y= f(x)的大致图象如图所示，若关于 x的方程f(x)= kx+ 2有且只有4
个不同解，当直线 y= kx + 2与y= ln x的图象相切时，设切点为 (m, n),可得n = ln m, y =ln x 的导数为 y' = 一(x> 1)，可得 k= 一，贝U n = km+ 2,解得 m = e3, k = e— 3,则实数 k 的取值范围为(0, e— 3).
V
2 y=kx+2
一 1 ■=
0
7 I 3
答案：(0, e—3)
ln x, x> 0,
7. (2018苏州调研)已知函数f(x)=f 若直线y= ax与y= f(x)交于三个
2x + 1, x< 0,1
不同的点A(m,f(m)), B(n,f(n)) ,C(t,f(t))(其中mv nv t),则n计 ------- 卜2的取值范围是
令 g(n)= n+ ,当 f(x) = In x, x>0 与 y= ax 相切时，由 f' n
解得x= e,所以要满足题意，则 1v nv e.由g' (n) = 1+ 1』n> 0，所以g(n)= n+ 在
(1, e)上单调递增，所以 g(n) = n + + 2C 1, e+
答案： 1 e+e
8. (2018南京、盐城一模)设f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(x) = 2x+灵设g(x)=
fx , x>1 ,
若函数y= g(x)— t有且只有一个零点，则实数 t的取值范围是
f ( — x y x< 1,
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(— x)
=— f(x)，即2一x+ m2x=— (2x
i2—— 2「 x>1 作出函数g(x)的图
2 — 2x, xw 1,
象(如图所示).当x> 1时，g(x)单调递增，此时g(x)>2；当x< 1时，g(x)
单调递减，此时g(x)>—号，所以当t€ — 3, 2时,y= g(x)— t有且只有一个零点.
答案：
1 1 1
2 |3
2 |3
1 _____
1
2
9.已知二次函数 f(x)= x + (2a — 1)x + 1— 2a,
(1)判断命题：“对于任意的 a€ R,方程f(x) = 1必有实数根”的真假，并写出判断
过程；
⑵若y= f(x)在区间(一1,0)及0,-内各有一个零点，求实数 a的取值范围.
解：(1) “对于任意的a€ R,方程f(x)= 1必有实数根”是真命题.依题意，f(x)= 1有 实根，即 x2+
(2a— 1)x — 2a = 0 有实根，因为 △= (2a — 1)2+ 8a= (2a+ 1)2>0 对于任意的 a € R恒成立，即x2+ (2a— 1)x— 2a = 0必有实根，从而 f(x) = 1必有实根.
⑵依题意，要使y= f(x)在区间(一1,0)及0, 1内各有一个零点，2m+ 1 = am,
解析：由已知条件可得*
In n= an, 壬 1 2+一= a, m 所以
In n =a, n 所以 n + — + 2 = n+ ,
m n
1 i (x)=-,得-=a,又 In x= ax, x x
一 x
+ m 2 ),解得 m=— 1，故 g(x) =
