第二章 单自由度系统振动
§1-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。[举例如下：]
例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼
器来表示。阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]
单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律） （达伦培尔原理）
现取所有与坐标x方向一致的力、速度和加速度为正，则：
kxxCtPxmsin0 (牛顿运动定律)
（达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零）
（动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）
单自由度振动系统及传递函数
工程上很多实际系统可以抽象为单自由度问题，使其问题简单化，例如图1机床固定到基座上，基座和机床之间可以抽象为单自由度问题，图2为无人机激光雷达悬挂在无人机支架上，无人机支架和激光雷达系统可以抽象为单自由度系统。
图 1
图 2
一、单自由度系统组成
单自由度振动系统包括弹性元件、惯性元件和阻尼元件，如下图所示。
弹性元件可理解为弹簧刚度系数，弹簧刚度系数的物理意义是使弹簧产生单位位移所需施加的力，弹性元件假定弹簧是无质量的，假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围。
弹簧并联的等效刚度，是并联弹簧刚度之和。
弹簧串联后的等效刚度如下图所示。
惯性元件，由牛顿第二定律可知，惯性元件会产生惯性力的作用，如下图所示。
阻尼元件，阻尼系数是使阻尼器产生单位速度所需施加的力，性质如下图所示。
二、单自由度传递函数
粘性阻尼单自由度系统的平衡方程表示惯性力、阻尼力、弹性力与外力之间的平衡。
其中，M为质量，C为阻尼，K为刚度，𝑥̈、𝑥̇、x分别为加速度、速度和位移，f为外力，t为时间变量。
这里我们把结构中呈现出来的全部阻尼都近似为一般粘性阻尼，把上面的时间域方程变换到拉氏域（复变量p），并假定初始位移和初始速度为零，则得到拉氏域方程：
或
其中，Z 为动刚度。
变换上两式可得传递函数的定义
该传递函数是个复值函数，如下图所示。
上文中讨论了拉氏域中单自由度系统的输入和输出之间的关系，这种关系也可以在频域或时域中表达。沿频率轴 (jω) 算出的传递函数叫做频率响应函数
(FRF)，简称频响函数：
频响函数则完全由传递函数推导得来。对于稳定的线性定常系统，令σ=0, 则s=σ+jω=jω，系统的频率响应函数H(ω)=R(jω)/E(jω)。显然，频响函数是传递函数的特例，其只是简单地将传递函数的复变量s 用jω 替代得到的。
三、系统极点、阻尼比、固有频率、留数
Dr. RongGuo
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预备知识
1.求解二阶常系数线性微分方程
a.齐次方程
b.非齐次方程
2.周期函数的傅立叶级数展开
3.傅式积分法和拉氏变换法
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第2章单自由度系统的振动
2.1单自由度振动系统
2.2单自由度振系的自由振动
2.3单自由度振系的强迫振动
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第２章单自由度系统的振动
2.1单自由度振动系统
2.1.1概述
2.1.2刚度
2.1.3质量
2.1.4阻尼
2.1.5激励
2.1.6振动微分方程
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来源于网络 机械振动学总结
第一章 机械振动学基础
第二节 机械振动的运动学概念
第三节
机械振动是种特殊形式的运动。在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t变化的规律。用函数关系式
来描述其运动。如果运动的函数值，对于相差常数T的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数
来表示，则这一个运动时周期运动。其中T的最小值叫做振动的周期，Tf1定义为振动的频率。简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动
物体作简谐振动时，位移x和时间t的关系可用三角函数的表示为
式中：A为振幅，T为周期，和称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度称为简谐振动的角频率
简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数，即
可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。图P6
旋转矢量的模为振幅A，角速度为角频率
若用复数来表示，则有)sin()cos()(tjAtAzAeztj
用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。因为复指数tje对时间求导一次相当于在其前乘以j，而每乘一次j，相当于有初相角2。
二．周期振动
满足以下条件：
1)函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在；
2)在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier级数的形式，若周期为T的周期振动函数，则有
式中
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