第二章_单自由度系统

第二章 单自由度系统振动

§1-1 概述

单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。[举例如下：]

例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。

[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。

在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼

器来表示。阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。

汽车轮悬置系统等等。

[以上为工程实际中的振动系统]

单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。

在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。

应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。

（牛顿运动定律） （达伦培尔原理）

现取所有与坐标x方向一致的力、速度和加速度为正，则：

kxxCtPxmsin0 (牛顿运动定律)

（达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零）

（动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）

概念：

构成振动系统并决定其振动性质的基本要素是物体的惯性、复原性和阻尼三项。惯性使物体产生一种惯性力，能使物体离开系统的平衡位置，维持物体的运动状态。复原性使复原元件产生一种恢复力，能使物体回复到系统的平衡位置。惯性力和恢复力交替作用的结果，使物体产生振动。但是振动又不能无休止地振动下去，原因是有阻尼作用。阻尼就是阻碍物体运动的阻抗作用。此外，从能量角度来看，惯性是保持动能的要素，复原性是贮存势能的要素，阻尼是是能量散佚的要素。但若外界给予系统能量——激励，系统的振动又会持续下去。

单自由度系统

在振动分析中，往往需要把系统简化为若干“无质量”的弹簧和若干“无弹性”的质量块所组成的力学模型，称之为弹簧-质量系统。

固有频率：能量法/Rayleigh法

等效质量的概念：等效质量的值可以根据系统中的质量分布的动能sT等于以等效质量作为集中质量的的动能算的，即

212ssTmy

式中sm指在工程计算中某质点处的等效质量

y是该质点处的速度。

等效刚度的概念：等效刚度可由受力和变形关系来求得。因为，串联的特点是各弹簧受力相等而变形不同；并联的特点是各弹簧的变形相同而受力不等；混联的特点是各弹簧中有的变形相同、有的受力相等。根据这些特点建立相关方程，就可以很容易的求其等效刚度。常用弹簧元件的刚度计算公式经查询可得。

有阻尼的自由振动：

工程中阻尼是各种各样的。例如，两物体之间的干摩擦力，有润滑剂的两个面之间的摩擦力，气体或液体等介质的阻力，材料的粘、弹性产生的内部阻力，构件之间连接界面的相对滑动产生的阻力等，这些阻力统称为阻尼。不同的阻尼具有不同的性质。对于复杂结构物在振动时，由于结构材料本身内部摩擦引起的阻尼和结构各部件之间连接界面的相对滑动产生阻尼，统称为结构阻尼。实验得知，结构阻尼在振动中每周期衰减的能量E与其振动频率无关，而大致与振幅的平方成正比，即2Egx。因此，结构阻尼仅用与振幅成正比的模型表示，即kxFgω

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；. 第二章 单自由度系统的自由振动

本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。

§2-1 无阻尼系统的自由振动

无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。设质量为m，单位是kg。弹簧刚度为K，单位是N／m，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K，当其等于重力W时，则处于静平衡位置，即

W=K

若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m向下运动到x，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与x正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程

改写为 0kxxm (1-1-1

令 mkp2 (1-1-2)

单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为

02xpx (1-1-3)

设方程的特解为 stex

将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为

ipsps2,1220

则(1-1-3)的通解为

ptDptCeCeCxiptiptsincos11 (1-1-4)

C、D为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时

00,xxxx （1-1-5） xmxkWFm 未挂质量位静平衡位置 k 一自由度弹簧—质量系统

kmgWxmW x xk.

单自由度系统的强迫振动

强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动

强迫振动的形式

 本章讨论单自由度线性系统在周期激扰（激励或扰动）作用下的强迫振动，通常称为振动系统对周期激扰的响应。周期激扰可以是作用于振动系统的周期扰力，也可以是振动系统支座的周期运动。

Mmexc2k2k

O t

非周期激励简谐激励周期激励外界激励)()(sin)( 0tfTtftFtf2sinMxcxkxmetkFmxc2k2kcxykxyytmO

正弦激励法的作用

 对于实际的振动系统的参数测量，实际上通常加一系列的正弦信号，通过测量系统的响应，来获得振动系统的参数，即所谓正弦激励法，例如正弦扫频等。

讨论简谐输入意义：

 这种情形比较简单，而所得的结论却有很重要的工程应用 ；

 任意的周期激扰，都可以通过Fourier级数，分解成若干个正弦型激扰的和利用线性系统的叠加性，可得到全响应。

例子

 如右图所示，物体沿垂直方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，铅直向下为x轴正向，建立如图所示的坐标系。受力情况如图，其扰动力为：

变量说明

 扰力：

 称为扰力的力幅 ，为常值

 扰力的频率 ，简称扰频，为常值

系统运动微分方程

 由牛顿第二定律：



整理

 这就是无阻尼振动系统在简谐扰力作用下的运动微分方程。

定义辅助变量

 令：

 表示在静力条件下，系统受到一个大小为 的力作用时的位移。

方程和通解的标准形式

 这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成：

tFFsin00F0cosmxkxFt0cosmxkxFtnkm0FAk0F22cosnnxxAt12xxx齐次解