25 第2章 单自由度系统的自由振动
2.1 无阻尼系统的自由振动
设有质量为m的物块(可视为质点)挂在弹簧的下端，弹簧的自然长度为l
0,弹簧刚度为k，如不
计弹簧的质量，这就构成典型的单自由度系统，称之为弹簧质量系统如图2-1所示。工程中许多振
动问题都可简化成这种力学模型。例如，梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，梁和电
机组成一个振动系统，如不计梁的质量，则它在该系统中的作用相当于一根无重弹簧，而电机可视
为集中质量。于是这个系统可简化成如图2-1所示的弹簧质量系统。
2.1.1自由振动方程
以图2-1所示的弹簧质量系统为研究对象。取物块的静平衡位置
为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位
置时，由平衡条件∑F
x = 0，得到
stδkmg=
（A）
stδ
称为弹簧的静变形。
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为
mxkx&&=−
（2-1）
将式（2-1）两边除以m，并令
mk
p=
n （2-2）
则式（2-1）可写成
02
n=+xpx&&
（2-3）
这就是弹簧质量系统置之只在线弹性力－kx的作用下所具有的振动微分方程，称之为无阻尼自由振
动的微分方程，是二阶常系数线性齐次方程。由微分方程理论可知，式（2-3）的通解为
tpCtpCx
n2n1sincos+=
其中C
1和C
2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设0=t
时，xxxx==
00，&&
。可解得
Cx
10=
n0
2
px
C&
=
tp
px
tpxx
n
n0
n0sincos&
+=
（2-4）
式（2-4）亦可写成下述形式
)sin(
nα+=tpAx
（2-5）
26 其中
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
=+=
)arctan()(
00n2
n02
0
xxppx
xA
&&
α （2-6）
式（2-4）、（2-5）是物块振动方程的两种形式，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。
2.1.2振幅、初相位和频率
式（2-5）表明，无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为中心的简谐振动。系统的静平衡位置称
第13例谐响应分析实例—单自由度系统的受迫振动
单自由度系统是动力学中的一个基本模型，用于描述质点或弹性系统在其中一方向上的振动。在实际应用中，往往会遇到系统受到外力作用的情况，这时系统的运动方程称为受迫振动方程。本文将基于第一章学习的单自由度系统的动力学原理，通过一个实际的例子，展示如何利用谐响应分析方法来解决单自由度系统的受迫振动问题。
假设一个质量为m的小球通过一根无摩擦的弹簧与固定点相连，并受到一个周期性外力的作用。我们的目标是求解小球的运动方程，并分析系统在谐响应下的特性。
首先我们需要建立系统的动力学方程。根据牛顿第二定律，可以得到受迫振动方程：
m*a + c*v + k*x = F0*sin(ω*t)
其中，m是小球的质量，a是小球的加速度，c是阻尼系数，v是小球的速度，k是弹簧的刚度，x是小球与平衡位置的位移，F0是外力的振幅，ω是外力的角频率，t是时间。
根据系统的初始条件，可以得到小球的初始位移和初始速度：
x(0)=x0,
为了求解受迫振动方程的特解，假设系统在稳态下的解为:
x = A*sin(ωt + φ).
将上式代入受迫振动方程，可以得到A和φ的关系式： A*[(-mω^2 + k)*sin(ωt + φ) + cω*cos(ωt + φ)] =
F0*sin(ωt).
由于上式中左右两侧的正弦项和余弦项的系数相等，根据同角正弦和余弦函数的和差公式，可以得到:
A*[(-mω^2 + k)*sinφ + cω*cosφ] = F0,
为了使得上述两个方程成立，可得到A和φ应满足的条件：
解以上方程可以得到稳态下的解A和φ。得到稳态解之后，我们可以分析系统的振动特性。
首先，可以计算出系统的谐响应函数：
谐响应函数H(ω)描述了系统在不同外力频率下的响应强度。图像的幅频响应特性被称为频率响应曲线。为了绘制频率响应曲线，我们可以通过改变外力的频率ω来计算不同的稳态解A，进而得到H(ω)的数值。
单自由度系统的自由振动
2.1求习题图2-l(a),(b),(c)所示系统的固有频率。
图Q)所示的系统悬怦梁的质量可以忽略不计,其等效弹赞刚度分别为码和居。
图(b)所示的系统为一质最m连接在刚性杆上,杆的质量忽略不计。
图(C)所示的系统中悬挂质帚为加，梁的质帚忽略不计，梁的挠度5由式5 = PL3ZASEJ给出，梁的刚度为H °
习题图2-1 机械根动习題鮮答
解：（a〉系统简化过程如习题图2-l（a）所示。
4和息串联MZ=H⅛;
也和b并联：Z= ^eql + &3
^«）2 和上4 串联：Hl =
即
■r _
（焦层+以3 +心3低）加
S = d层十（怡1十层）（爲=G
所以固有频率为
（B）习题图2-1 （B）所示系统可能有下面两种运动帖况：①在机垂i⅛振动的整个过稈 中•杆被约束保持水平位置（见图（b）■①）；②在悬挂的铅垂面内，杆可以自由转动（见 图（b"②）。
①在杆保持水平的情况下，弹簧d和屜并联,有
怎q =血+缸
所以固有频率为
②当杆可以自由转动时•杆和质虽m的运动会出现非水平的一般状态。设A点的 位移为点的位移为H2，加的位移为工，则静力方程利静力矩方程为
ZIlXl + k2X3 = AalH
QJrILl = k2xz L2
几何关系
又
LI 十 L2 = L 由以匕方程解得
=kλkz∖}
eq kiL↑±kzLl
所以固有频率为
ω,1 7 m 第2幸单自由度糸统的自由振动
(C)系统简化过程如习题图2-1(C)所示。等效弹簧刚度为
其中
所以固有频率为
2.2如习题图2・2所示的系统中均质刚杆AB的 质帚为加，A端弹簧的刚度为仁 求()点铃链支座放在 何处时系统的固有频率最高。
解：设&坐标如习题图2-2所示。系统的动能为
=-ym(nZ)2^l — + + 右片=-I-^eq(WZ^)2 (I)
等效质量加“可以表示为
山于固有频率与质量的平方根成反比，即3严厲、欲得最高的固有频率，必须使〃G为
单自由度振动系统的振动周期与刚度关系
单自由度振动系统是振动学中的基本模型，广泛应用于工程、物理、力学等领域。在研究单自由度振动系统时，了解振动周期与刚度之间的关系是至关重要的。本文将从理论角度探讨单自由度振动系统的振动周期与刚度之间的关系。
1. 引言
单自由度振动系统是指由一个自由度（例如质点的位置）决定的振动系统。它可以用简谐振动方程描述，即 x(t) = Acos(ωt + φ)，其中 x(t)
是物体在时间 t 时的位移，A 是振幅，ω 是角频率，φ 是初相位。振动周期 T 定义为一个完整振动循环所需要的时间。
2. 振动周期的定义
振动周期 T 是指振动系统中一个完整振动循环所需的时间。在单自由度振动系统中，振动周期可以根据振动方程中的角频率计算得出：T
= 2π/ω。
3. 振动系统的刚度
振动系统的刚度描述了系统对外力的抵抗能力。在单自由度振动系统中，刚度是指系统在受到单位位移施加的力的大小。通常用 k 表示刚度，刚度的单位是 N/m。
4. 单自由度振动系统的运动方程 在单自由度振动系统中，位移 x 随时间的变化可以由运动方程描述。运动方程可以通过牛顿第二定律推导得出：m(d²x/dt²) + kx = 0，其中 m
是质量，x 是位移。
5. 振动周期与刚度的关系
根据运动方程，我们可以推导出振动周期与振动系统刚度之间的关系。假设振动周期为 T，振幅为 A，则位移方程可以写成 x(t) =
Acos(2πt/T)。将位移方程代入运动方程，得到 m(4π²/T²)Acos(2πt/T) +
kAcos(2πt/T) = 0。整理后得到 T² = 4π²(m/k)，即振动周期的平方与振动系统的刚度和质量成反比。
6. 振动周期与刚度的实际应用
单自由度振动系统的振动周期与刚度关系在实际应用中具有广泛的应用。例如，在建筑结构工程中，我们可以通过测量建筑物的振动周期来评估其刚度，从而判断建筑物的稳定性。另外，通过改变振动系统的刚度，我们可以调整振动周期，从而实现对振动系统的控制。
