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解三角形之：正弦定理和余弦定理

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1 三角之：正弦定理，余弦定理 2011-7-23

一．基础知识

（1）正弦定理：CcBbAasinsinsin(2)余弦定理： cos2222abcbaA

Baccabcos2222

Cabbaccos2222

注意：正弦定理和余弦定理都是“知三求一”,但应注意区别：正弦定理是“知两角一边可以求一边”或“知两边一角可以求一角”； 余弦定理是“知三边可以求一角”或“知两边一角可以求一边”。

正弦定理推论:（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

(2) CRcBRbARasin2,sin2,sin2

(3) a :b :c=sinA:sinB:sinC

(4)CBAcbaCBAsinsinsin

余弦定理推论：abcbaCacbcaBbcacbA2cos,2cos,2cos222222222

（2）三角形面积公式：,sin21CabSABC,sin21AbcSABCBcaSABCsin21

二.基础题型

题型一：解三角形（在各种情况下能熟练解三角形,只需说明做法即可）

例1: 解此三角形中，ooCBaABC75,60,8（已知两角一边）

例2：解此三角形中，ooCAc75,45,3ABC（已知两角一边）

例3：解此三角形中，oBcaABC150,3,1（已知一角两边）

例4：解此三角形中，045,1,2BcbABC（已知一角两边）

例5：解此三角形中，oBbaABC45,2,3（已知一角两边） 2

例6：解此三角形中，,30,2,34oCcbABC（已知一角两边）

例7：ABC中，若8:7:5::cba，解此三角形

小结：（1）三角形中必须已知三个条件时（其中必须有边和角），才可解三角形。

（2） 三角形的已知条件是：两边及一角时先由余弦定理求第三边，然后由余弦定理推论求另外两个角。（重点）

（3） 已知条件是：SSS,SAS,ASA,AAS,时，三角形只有一解；已知条件是：SSA时，三角形的解可能是一解，两解，无解。

判断方法：先求第三边，看结果有几个正值；几个正值对应几个解。

题型二：判断三角形的形状（正，余弦定理变形公式的应用）

例1：判断三角形的形状。中，,9,6,7ABCcba（锐角三角形还是钝角三角形）

例2：判断三角形的形状。中，,coscosABCBbAa

例3：，判断三角形的形状。中，SinCSinACosB2ABC

例4：判断三角形的形状。中，,tantan22AbBaABC

3

题型三：根据条件，求指定的角或边。

例1：.,4,222bCosASinCSinBbcaABC求：中，

例2：。求角中，B,2cabCosCCosBABC

例3：。求：角中，B,2ABCbCosCCosBca

例4：ABC中，已知222cbcba ，求：角A。（已知条件为：三边的二次关系，考虑哪一个定理）

小结：

（1） 利用正弦定理，余弦定理的推论进行边，角的相互转化，将等式中的量统一。（统一为边或角）

（2） 注意：利用三角形内角和定理进行角的转化。如：C=0180(A+B)。

所以，CBACBAcos)cos(,sin)sin(

（3） 注意：余弦定理的推论的逆用可以求角。如：等式中全是边也可以求角。

题型四：面积公式的应用

1.三角形ABC中，aSbAABC,3,1,600

2.三角形ABC中，CcbaSABC,4222

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正弦定理、余弦定理

正弦定理、余弦定理

正弦定理、余弦定理

在解决一些实际问题时，我们必须要用到一些数学知识。其中，正弦定理和余弦定理是两个非常重要的定理。在本文中，我们将详细介绍这两个定理以及它们的应用。

正弦定理也被称为“正弦规则”，它用于计算三角形中任意一个角的正弦。具体来说，正弦定理给出了如下公式：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

其中a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 表示三个相对应的角。

根据这个公式，我们可以解决许多与三角形有关的问题。例如，如果我们已知一个三角形的两个角和一条边的长度，那么就可以使用正弦定理来计算出另外两边的长度。另外，如果我们已知三角形的三条边的长度，也可以使用正弦定理来计算出三个角的大小。

需要注意的是，正弦定理只适用于非直角三角形。如果一个三角形是直角三角形，那么可以使用勾股定理来计算它的各边长度。

a² = b² + c² - 2bc cosA

b² = a² + c² - 2ac cosB

c² = a² + b² - 2ab cosC

根据这个公式，我们可以计算出三角形中任意一个角的余弦，或是根据已知两边和一个角来计算第三边的长度。

三、应用举例

下面我们来看一些具体的例子，以进一步理解正弦定理和余弦定理的应用。

例1：已知一个三角形的两条边长分别为4和5，并且这两条边的夹角为120度，求第三条边的长度。

根据余弦定理，我们可以得到：

因此，第三条边的长度为√62。

设a=2x、b=2y、c=2z，则可以得到：

2x/sin30 = 2y/sin45 = 2z/sin(180-30-45)

化简得： x = y/√3

z = 2y

根据周长公式得：

a + b + c = 10

代入x、y、z的值化简得：

用正、余弦定理解三角形

用正、余弦定理解三角形

灵活应用正、余弦定理解三角形

利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁，因此，掌握好正、余弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳，希望能帮助同学们更好地掌握。

一、直接利用定理求边和角。

例1：在△ABC中，0060,30,366BAba，求边c的长。

解：∵ )(1800BAc=090 由正弦定理：CcBbAasinsinsin及等比定理得

0060sin30sin366sinsinsinBAbaCc

∴12)31(21)31(62321366c

二、配凑公式求边和角。

例2：若a，b，c分别表示△ABC的顶点A、B、C所对的边长，且（a+b+c）（a+b－c）=3ab，求cos（A+B）。

解： 由（a+b+c）（a+b－c）=3ab，得abcba3)(22

整理得：abcba222， 故cos（A+B）=－cosC =－2122222abababcba

三、利用定理求边和角的求值范围。

例3：①在锐角△ABC中，a=1，b=2则c的取值范围是多少？

②设a,a+1, a+2为钝角三角形的三边，则a的取值范围是__________.

解:①由余弦定理得: 2cCCabbacos45cos222

由0

②由余弦定理得: 0)1(2)2()1(cos222aaaaaC

30310322aaaa

四、利用定理判断三角形的形状。

例4：在△ABC，已知)sin()()sin()(2222BAbaBAba，判断△ABC的形状。

解：∵)sin()()sin()(2222BAbaBAba

∴)sincoscos)(sin()sincoscossin()(2222BABAbaBABAba

正弦定理、余弦定理及解三角形 练习

正弦定理、余弦定理及解三角形 练习

第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(2014·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝13，则B＝________.

解析 因为cos A＝13，所以sin A＝1－19＝223，由正弦定理，得4sin

A＝3sin B，所以sin B＝22，又因为b＜a，所以B＜π2，B＝π4.

答案 π4

2．(2015·南通模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为________．

解析 因为S＝12×AB×ACsin A＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝3.

答案 3

3．(2015·苏北四市模拟)△ABC中，有sin A＝2sin Bcos C，a，b，c是角A，B，C的对边，且满足a＋b＋cb＋c－a＝3cb，则△ABC的形状为________三角形(填“等腰”、“等边”、“等腰直角”)．

解析 利用正弦定理和余弦定理sin A＝2sin Bcos C变形为a2R＝2b2R·a2＋b2－c22ab，化简得b＝c，代入a＋b＋cb＋c－a＝3cb，化简得a＝c，所以该三角形是等边三角形．

答案 等边

4．(2014·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为________． 解析 由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝32，∴sin B＝32，∴B＝π3或2π3.

答案 π3或2π3

5．(2014·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，A＝60°，c＝33，则△ABC的面积为________．

解析 由正弦定理可得asin A＝csin C，代入数据解得sin C＝12.又a＞c，所以A＞ C，所以C＝30°，B＝90°，所以△ABC的面积为12acsin B＝36.

三角形的角度求解

三角形的角度求解

三角形的角度求解

三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个角组成。在解决三角形相关问题时，经常需要求解三角形的角度。本文将介绍三种常见的方法来求解三角形的角度：正弦定理、余弦定理和正切定理。

1. 正弦定理（Sine Rule）

正弦定理是一种常用的三角形角度求解方法，适用于任意三角形，其表达式为：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

其中，a、b、c 分别为三角形的边长，A、B、C 分别为与相应边相对的角度。

2. 余弦定理（Cosine Rule）

余弦定理也是常见的三角形角度求解方法，可以用于不等边三角形，其表达式为：

c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC

其中，c 为三角形的斜边，a、b 为与此斜边相关的两条边，C 为斜边相对的角度。

3. 正切定理（Tangent Rule）

正切定理适用于直角三角形，其表达式为：

tanA = a/b, tanB = b/a 其中，a、b 分别为直角三角形的两条边，A、B 分别为与相应边相对的角度。

这些定理可以帮助我们在已知三角形边长或角度时求解未知角度。下面通过具体例子演示这些定理的使用方法。

例1：已知三角形的两条边长 a = 5cm，b = 7cm，以及它们夹角的正弦值 sinC = 0.8，求解三角形的角度。

解：

根据正弦定理，我们可以得到：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

5/sinA = 7/sinB = c/0.8

根据已知信息可得：

sinA = 5/7sinB，c = 0.8c

由此可得：

sinA = 5/7(0.8)

通过反正弦函数，我们可以求得角度 A 的值。

例2：已知三角形的两条边长 a = 3cm，b = 4cm，以及夹角 C = 60°，求解第三边 c 和角度 A、B。

解：

根据余弦定理，我们可以得到： c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC

c^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)cos60°