量子力学复习资料
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量子力学复习资料
1 / 121 / 12 第一章知识点：
1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.
2. 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。
4. 光电效应---光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现
5. 光电效应特点：1.临界频率ν0 只有当光的频率大于某一定值ν0时，才有光电子发射出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的这一频率ν0称为临界频率。2.光电子的能量只是与照射光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少 （爱因斯坦对光电效应的解释）3. 当入射光的频率大于ν0时，不管光有多么的微
弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s）
6. 光的波粒二象性：普朗克假定a. 原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 ν 振荡;
b. 黑体只能以 E = hν 为能量单位不连续的发射和吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.
7. 总结光子能量、动量关系式如下：
把光子的波动性和粒子性联系了起来
8. 波长增量 Δλ=λ′–λ 随散射角增大而增大.这一现象称为康普顿效应.
散射波的波长λ′总是比入射波波长长（λ′ >λ）且随散射角θ增大而增大。
9.波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念. 2.量子跃迁的概念.
10.德布罗意：
• 假定：与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = hν ν= E/h
• P = h/λ λ= h/p
• 该关系称为de. Broglie关系.
德布罗意波： de Broglie 关系：ν= E/h
= 2 ν= 2E/h = E/
λ= h/p
k = 1/ = 2 /λ = p/ nkhknnhnChnCEphE22其中波长。称为电子的其中ComptoncmCm100020104.222sin2•)(expEtrpiA量子力学复习资料
2 / 122 / 12 第二章知识点：
1. 描写自由粒子的平面波波函数：
2. 在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率.
3. |Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近单位体积内的几率。
|Ψ (r，t)|2的意义是：t时刻，在r点附近单位体积内找到粒子的概率。
4. 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态。这与经典波不同.经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态.经典波无归一化问题.
5. ∫∞|(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1 (A)-1/2 称为归一化因子.
注意：对归一化波函数仍有一个模为1的因子不定性.若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末，eiαΨ (r , t )也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几
率波
6. 平面波 归一化 t=0 时的平面波
考虑一维积分若取 A12 2 = 1，则 A1= [2]-1/2,
于是
三维情况：
注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。
7.态叠加原理：一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态.其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理.若Ψ1中测量A为a1,
Ψ2中测量A为a2,那么在 Ψ态中测量A值既可能是a1也可能是a2,具有不确定性，但有确定的权重.
8. Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；
C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；
二者描写同一量子状态.
9. 薛定谔方程（波动方程）
10.波函数的标准条件：有限性，连续性，单值性 11. 量子力学基本假定：波函数完全描述粒子的状态 波函数随时间的演化遵从 Schrödinger 方程
•)(expEtrpiAEtipEtrpiperAetr•)(),(][xpipxxex21)(][2/3]2[1)(rpiper•22(,)[()](,)2ˆ(,)ˆirtVrrttHrtHHamiltonHamilton式中是体系的算符，亦常称为量.量子力学复习资料
3 / 123 / 12 12. 定态波函数：
该方程称为定态 Schrödinger 方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数.
定态的性质：1. 定态-----E 具有确定值
2. 粒子在空间几率密度、几率流密度与时间无关
3.任何不显含t的力学量平均值与t无关
综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任一个时，Ψ就是定态波函数：
Ψ描述的状态其能量有确定的值；
Ψ满足定态Schrödinger方程；
|Ψ|2 与 t无关.
13. 能量本征值方程：将 改写成
常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数.
当体系处于能量算符本征函数所描写态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值
14.束缚态：对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ = 0.这样的状态，称为束缚态
15.线性谐振子：
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子.
16.线性谐振子能级为
n=0时称为零点能
17. 厄密多项式：
Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n
Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n.所以：
当 n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项；
当 n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项.
18. 透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数D = JD/JI
其物理意义是：描述贯穿到 x > a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂直x方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x < 0 的I区）在单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比.
反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数R = JR/JI
19. 隧道效应 ：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象
)()(]2[22rErV空间波函数ψ(r)可由方和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得Etiertr)(),(EV]2[2EHˆ2212Vx,2,1,0)(21nnE于是最后得：]exp[]exp[)1()(22nnnnddH量子力学复习资料
4 / 124 / 12 第三章知识点
1.算符：a线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
动量算符，单位算符是线性算符，开方算符、取复共轭就不是线性算符.
注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符
b.算符之和：注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替. 很易证明线性算符之和仍为线性算符.
c.算符之积: 一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ
d.对易关系：若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易
量子力学中最基本的
对易关系.
坐标算符与其非共轭动量
对易，各动量之间相互对易.
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否
若算符满足ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û反对易.
e.逆算符：设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
注：投影算符就不存在逆
f.转置算符：
g.厄密共轭算符:
h.厄密算符
性质I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符. 即若Ô+ = Ô, Û+ = Û
则(Ô+Û)+ = Ô+ + Û+ = (Ô+Û)
性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易. 因为
(Ô Û)+ = Û+ Ô+ = Û Ô ≠ Ô Û仅当 [Ô, Û] = 0 成立时, (Ô Û)+ = Ô Û 才成立.
2. 只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为 函数.
周期性边界条件是动量算符厄米性的要求.
3. 根据球函数定义式可知对应一个值有(2 +1)个量子状态，这种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1)
4. 角动量算符的对易关系
zyxppppixppx,,,0ˆˆˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆzxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppxˆˆˆˆ**UUdUdU算符的转置算符定义为：式中和是两个任意函数.*)ˆ(ˆ*OdOdOOOdOdˆˆ*)ˆ(ˆ*或zyxLiLLˆ]ˆ,ˆ[zyxCivitaLeviLiLL,,3211ˆ]ˆ,ˆ[123或，，，，其中其意义如下：符号，称为合记之：
