量子力学复习题
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量⼦⼒学复习题
《量⼦⼒学》考试⼤纲
第⼀章 绪论1．了解光的波粒⼆象性的主要实验事实；
2．掌握德布罗意关于微观粒⼦的波粒⼆象性的假设。
第⼆章 波函数和薛定谔⽅程1.理解量⼦⼒学与经典⼒学在关于描写微观粒⼦运动状态及其运动规律时的不同观念 。
2.掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性、单值性．
3.掌握态叠加原理以及任何波函数Ψ(x ，t)按不同动量的平⾯波展开的⽅法及其物理意义．
4.了解薛定谔⽅程的建⽴过程以及它在量⼦⼒学中的地位；薛定谔⽅程和定态薛定谔⽅程的关系；波函数和定态波函数的关系；束缚定态的主要性质.5.对于求解⼀维薛定谔⽅程，应掌握边界条件的确定和处理⽅法．
6.关于⼀维定态问题要求如下：
（1）掌握⼀维⽆限深势阱的求解⽅法及其物理讨论； （2）掌握⼀维谐振⼦的能谱及其定态波函数的⼀般特点； （3）了解势垒贯穿的讨论⽅法及其对隧道效应的解释．
第三章 ⼒学量⽤算符表达1.掌握算符的本征值和本征⽅程的基本概念；厄⽶算符的本征值必为实数；坐标算符和动量算符以及量⼦⼒学中⼀切可观察的⼒学量所对应的算符均为厄⽶算符．2.掌握有关动量算符和⾓动量算符的本征值和本征函数，它们的归⼀性和正交性的表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式．3.电⼦在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中⼼⼒场下薛定谔⽅程求解的范例，学⽣应由此了解⼀般三维中⼼⼒场下求解薛定谔⽅程的基本步骤和⽅法，特别是分离变量法．4.掌握⼒学量平均值的计算⽅法．将体系的状态波函数Ψ(x)按算符F
的本征函数展开是这些⽅法中常⽤的⽅法之⼀，应掌握这⼀⽅法计算⼒学量的可能
值、概率和平均值．理解在什么状态下⼒学量F具有确定值以及在什么条件下，两个⼒学量G F
和同时具有确定值． 5.掌握不确定关系并应⽤这⼀关系来估算⼀些体系的基态能量．
6.掌握如何根据体系的哈密顿算符来判断该体系中可能存在的守恒量如：能量、动量、⾓动量、宇称等．
四．态和⼒学量的表象1.理解⼒学量所对应的算符在具体的表象下可以⽤矩阵来表⽰；厄⽶算符与厄⽶矩阵相对应；⼒学量算符在⾃⾝表象下为⼀对⾓矩阵；2.掌握量⼦⼒学公式的矩阵形式及求解本征值、本征⽮的矩阵⽅法．
3.掌握狄拉克符号并了解占有数表象
五．微扰理论1.了解定态微扰论的适⽤范围和条件：
2.对于⾮简并的定态微扰论要求掌握波函数⼀级修正和能级⼀级、⼆级修正的计算．
3.对于简并的微扰论，应能掌握零级波函数的确定和⼀级能量修正的计算．4.掌握变分法的基本应⽤；
5.关于与时间有关的微扰论要求如下：
（1）了解由初态i ? 跃迁到末态f ?的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的表达式；
（2）理解由微扰矩阵元H fi ≠0可以确定选择定则； （3）理解能量与时间之间的不确定关系：ΔE Δt ∽
（4）理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原⼦内电⼦由i ?态跃迁到f态的辐射强度均与矩阵元fi r 的模平⽅∣fi r
∣2 成正⽐，由此可以确定偶极跃迁中⾓量⼦数和磁量⼦数的选择定则．
6.了解氢原⼦⼀级斯塔克效应及其解释．
七．⾃旋和全同粒⼦1.了解斯特恩—格拉赫实验．电⼦⾃旋回转磁⽐率与轨道回转磁⽐率．
2.掌握⾃旋算符的对易关系和⾃旋算符的矩阵形式(泡利矩阵)．与⾃旋相联系的测量值、概率、平均值等的计算以及本征值⽅程和本征函数的求解⽅法．3.了解简单塞曼效应的物理机制．
4.了解L-S 藕合的概念及碱⾦属原⼦光谱双线结构和物理解释．
5.掌握量⼦⼒学的全同性原理，多体全同粒⼦波函数有对称和反对称之分．掌握玻⾊⼦体系多体波函数取交换对称形式，费⽶⼦体系取交换反对称形式，以及费⽶⼦服从泡利不相容原理．6.理解在⾃旋与轨道相互作⽤可以忽略时，体系波函数可写为空间部分和⾃旋部分乘积形式．对于两电⼦体系则有⾃旋单重态和三重态之分．前者⾃旋波函数反对称，空间波函数对称；后者⾃旋波函数对称，空间波函数反对称．7.作为⼀个具体的实例:了解氦原⼦能谱有正氦和仲氦之分的物理机制．
教材：《量⼦⼒学教程》（周世勋）
考试安排：
时间：17周 周⼆34节 地点：F5062、证明在定态中，⼏率流密度与时间⽆关。 证：对于定态，可令
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ψψψψψψψψψψψψψψψ?-?=?-?=?-?===-----）（）（，
可见t J 与
⽆关。 3、⼀粒⼦在⼀维势场
>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00)( 中运动，求粒⼦的能级和对应的波函数。 解：t x U 与)(⽆关，是定态问题。其定态S —⽅程)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2
0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 222
2
2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2
3332
22x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)⽅程中，由于∞=)(x U ，要等式成⽴，必须 0)(1=x ψ 0)(3=x ψ 即粒⼦不能运动到势阱以外的地⽅去。
⽅程(2)可变为0)(2)(22222=+x mE
dx x d ψψ
令222 mE k =，得 0)()(22
2
22=+x k dx
x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤ 0=?B
)()(32a a ψψ=⑥
0s i n
=?ka A
),3 ,2 ,1( 0
s i n 0
==?=∴≠n n ka ka A π ∴x a
n A x π
ψsin
)(2= 由归⼀化条件
1)(2
=?
∞
dx x ψ
得 1sin 02
2
=?
a
xdx a
n A
π
由mn a
b
a
xdx a n x a m δππ?
=*2
sin sin
x a
n a x a
A πψs i n 2)(22=∴=?
2
22 mE k =
),3,2,1( 222
2
2 ==
n n ma E n π可见E 是量⼦化的。
对应于n E 的归⼀化的定态波函数为
><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t
E i
n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ
4、求⼀维谐振⼦处在激发态时⼏率最⼤的位置。
解：222
1
22)(xxe x ααπ
α
ψ-?=
2
22
223
222
112 24)()(x
x
e x e x x x α
α
π
α
π
α
αψω--?=??
==
22]22[2 )(323
1x e x x dx x d ααπ
αω--=
令0 )
(1=dx
x d ω，得 ±∞=±==x x x 1
0α
由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。
显然不是最⼤⼏率的位置。 2222)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223
322223212x
x e x x e
x x x x dx x d ααααπ
α
αααπ
αω----=---=⽽ 0142 )(32
1212<-=±=e dx x d x παω
可见µω
α
±
=±
=1
x 是所求⼏率最⼤的位置。
5、在⼀维势场中运动的粒⼦，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒⼦的定态波函数具有确定的宇称。
证：在⼀维势场中运动的粒⼦的定态S-⽅程为)()()()(222
2x E x x U x dx d ψψψµ=+- ①
将式中的)(x x -以代换，得)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=--+--ψψψµ ②
利⽤)()(x U x U =-，得)()()()(222
2x E x x U x dx d -=-+--ψψψµ ③
⽐较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同⼀势场作⽤下的粒⼦状态的波函数。由于它们描写的是同⼀个状态，因此)()(x xψψ和-之间只能相差⼀个常数c 。⽅程①、③可相互进⾏空间反演 )(x x -?⽽得其对⽅，由①经x x -→反演，可得③，
)()( x c x ψψ
=-? ④ 由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
)()( x c x -=?ψψ
⑤ ④乘 ⑤，得
)x ()x (c )x ()x ( 2-=-ψψψψ 可见，12=c 1±=c
当1+=c 时，)x ()x (
ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()(
x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称， 当势场满⾜)()( x U x U =-时，粒⼦的定态波函数具有确定的宇称。
6、设粒⼦（能量0>E ）从左⼊射，碰到下列势阱（如图所⽰），求阱壁处的反射系数。
解：势阱为 ><-=.0,0,0,)(0x x V x V
在区域Ⅰ上有⼊射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故()
mE k Ce E V m k Be Ae x
ik x ik x ik 2,2,220112
