量子力学复习习题
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量⼦⼒学复习习题
⼀、选择题（每⼩题3分，共15分）1．⿊体辐射中的紫外灾难表明：C
A. ⿊体在紫外线部分辐射⽆限⼤的能量；
B. ⿊体在紫外线部分不辐射能量；
C.经典电磁场理论不适⽤于⿊体辐射公式；
D.⿊体辐射在紫外线部分才适⽤于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B
A. Ψ代表微观粒⼦的⼏率密度；
B. Ψ归⼀化后，ψ
ψ*代表微观粒⼦出现的⼏率密度；
C. Ψ⼀定是实数；
D. Ψ⼀定不连续。
3．对于⼀维的薛定谔⽅程，如果Ψ是该⽅程的⼀个解，则：A A. *
ψ⼀定也是该⽅程的⼀个解；
B. *
ψ⼀定不是该⽅程的解；
C. Ψ与*
ψ⼀定等价；
D.⽆任何结论。
4．与空间平移对称性相对应的是：B
A. 能量守恒；
B.动量守恒；
C.⾓动量守恒；
D.宇称守恒。
5．如果算符∧
A、
∧
B对易，且
∧
Aψ=Aψ，则：B
A. ψ⼀定不是∧
B的本征态；
B. ψ⼀定是∧
B的本征态；C. *
ψ⼀定是∧B的本征态；
D. ∣Ψ∣⼀定是∧
B的本征态。
1、量⼦⼒学只适应于C
A．宏观物体B．微观物体
C．宏观物体和微观物体D．⾼速物体
2、算符F的表象是指C
A．算符F是厄密算符B．算符F的本征态构成正交归⼀的完备集
C．算符F是⼳正算符D．算符F的本征值是实数
3、中⼼⼒场中体系守恒量有B
A．只有能量B．能量和⾓动量
C．只有⾓动量D．动量和⾓动量
4、Pauli算符的x分量的平⽅
2
σ的本征值为（B）
A 0
B 1
C i
D 2i
5、证明电⼦具有⾃旋的实验是A
A．史特恩—盖拉赫实验B．电⼦的双缝实验
C．⿊体辐射实验D．光电效应实验
1、量⼦⼒学只适应于C
A．宏观物体B．微观物体
C．宏观物体和微观物体D．⾼速物体
2、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即
()
H t H H
=+，
，其中H和
H，
应满⾜的条件是（B）AH与时间⽆关， H，与时间⽆关B 0
H与时间⽆关， H，与时间
有关CH与时间有关， H，与时间有关D 0
H与时间有关， H，与时间⽆
关3、⾃旋量⼦数S的值为（D ）
A 1/4
B 3/4
C /2
D 1/2
5、证明电⼦具有⾃旋的实验是A
A．史特恩—盖拉赫实验B．电⼦的双缝实验
C．⿊体辐射实验D．光电效应实验
⼆、简答（每⼩题5分，共15分）1. 什么叫光电效应？
光的照射下，⾦属中的电⼦吸收光能⽽逸出⾦属表⾯的现象。
这些逸出的电⼦被称为光电⼦ ⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式：221
mv A h +
=ν 2. 解释态叠加原理 3. 厄密算符的定义？
1. 解释光电效应的两个典型特点？
①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率⼤于⼀定值v0 时，才有光电⼦发射出来。若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有光电⼦产⽣。
②光电⼦的能量只与光的频率有关，与光的强度⽆关。光的强度只决定光电⼦数⽬的多少。 2. 波函数的物理意义
某时刻t 在空间某⼀点(x,y,z)波函数模的平⽅与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒⼦的⼏率密度(通常称为⼏率)dw(x,y,z,t)成正⽐。按照这种解释，描写粒⼦的波是⼏率波。 1. 爱因斯坦光量⼦假说：
光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，⽽且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒⼦叫做光量⼦，或光⼦。爱因斯坦⽅程 2. 设)
,(t p C 为归⼀化的动量表象下的波函数，写出
dp
t p C 2
),( 的物理意义
3. 厄密算符的定义
⒎定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。。
⒐定态的性质：⑴由定态波函数给出的⼏率密度不随时间改变。⑵粒⼦⼏率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的⼒学量的平均值不随时间改变 ⒉厄密算符的定义：如果算符F?满⾜下列等式 ? ?dxFdxF
，则称F?为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量⼦⼒学中表⽰⼒学量的算符都是厄密算符。 ⒊厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
三、填空题（每空2分，共20分）1. 微观粒⼦具有 波粒 ⼆象性。
2．德布罗意关系是粒⼦能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=hv, p= h /λ 。 3．量⼦⼒学中⼒学量⽤厄⽶ 算符表⽰。4．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 5．量⼦⼒学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，
测量某⼒学量F 所得的数值，必定是算符F的本征值 。 6．定态波函数的形式为： t E i n n e
x t x
-
=)(),(?ψ 。
7．根据全同性原理，全同粒⼦体系的波函数具有⼀定的交换对称性，费⽶⼦体系的波函数是_ _反对称的__,玻⾊⼦体系的波函数是_ 对称的_。8．每个电⼦具有⾃旋⾓动量S
，它在空间任何⽅向上的投影只能取两个数
值为：2±
。 1、波函数满⾜的三个基本条件是：__单值_；__连续性__；_有限性_。2、设粒⼦的波函数为
),(t r ψ，则相应的概率密度 ρ =_____________。 3、 若两个⼒学量算符?F
和?G 的对易关系为[, ]F G ik =，则?F 和?G 的测不准关系式是。4、 7. 对易关系 2??[,]z L L = ，??[,]y z L L =， ??[,]x L y
=。 5、满⾜泡利不相容原理的全同粒⼦是_____________⼦；不满⾜泡利不相容
原理的全同粒⼦是___________⼦。 1、索末⾮提出的⼴义量⼦化条件是2、⼀粒⼦有波函数由(
)(),,i px x t c p t e
dp
ψ∞
-∞
=
描写，则()
,c p t =
4、粒⼦在势场U(r)中运动，则粒⼦的哈密顿算符为
5、量⼦⼒学中，态和⼒学量的具体表⽰⽅式称为____表象____。
6、Pauli 算符
y z σσ的反对易关系式是
7、满⾜泡利不相容原理的全同粒⼦是_____________⼦；不满⾜泡利不相容
原理的全同粒⼦是___________⼦ 。
四、证明题（每题10分，共20分）1．利⽤坐标和动量算符的对易关系，证明轨道⾓动量算符的对易关系：
x y L i L L ?]??[z =， y
z L i L L ?]??[x =， 证明：
2、由Schr?dinger ⽅程 证明⼏率守恒：
其中⼏率密度
⼏率流密度 证明：考虑 Schr ?dinger ⽅程及其共轭式：
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：z
y x L i L L ?]?,?[ =2
|),(|),(),(),(t r t r t r t r
ψ=ψψ=*
ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t µ
ψ=-
+ψ?
0=??+??J t
ω][2ψ?ψ-ψ?ψ=
**µ
i J ]??,??[]?,?[z x y z y
x p x p z p z p y L L --=]??,?[]??,?[z x y z x z p x p z p z p x p z p
y ---=]?,?[]?,?[]?,?[]?,?[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p
y +--=]?,?[]?,?[z y x z p x p z p z p
y +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p
y ?]?,[]?,?[?]?,[]?,?[+++=y z x z p p x z p z p
y ?]?,[]?,?[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p
yz ??],[?]?,[?],?[]?,?[+++=y x p i x pi y ?)(?)( +-=]??[x y p y p
x i -= z
L i ? =22
[](1)2i V t µ?ψ=-?+ψ? 22[](2)
2i V t µ
**
-ψ=-?+ψ? (1)(2)*ψ?-ψ?将式得：
]
[2222
****
ψ?ψ-ψ?ψ-=ψ??ψ+ψ??ψµ
t i t i ][22ψ?ψ-ψ?ψ??=ψψ??***
µ
）（t i 22、证明
≥<+'=a x a x a x a
n A n ,0 ),(sin πψ 式中的归⼀化常数是a A 1=' 2、证明在定态中，⼏率流与时间⽆关。
五、计算题（每题10分共30分）1、⼀粒⼦在⼀维势场,0,
()0,0,x U x x a x a ∞
=≤≤??∞>?
中运动，求粒⼦的能级和对应的波
函数。1、求在⼀维势场
(){
,0,x a x a
U x ∞≥=
中运动的粒⼦的能级。
解：对于宽度为２ａ的对称⼀维⽆限深⽅势肼(){
,0,x a x a
U x ∞≥=
在阱内体系满⾜的定态薛定谔⽅程是22
2
