22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--第二章 直线和圆的方程章末总结

2.4.1 圆的标准方程课标解读课标要求素养要求1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.2. 能根据所给条件求圆的标准方程.3. 判断点与圆的位置关系，并能解决相关问题.1. 数学抽象——能够抽象、概括出圆的标准方程.2. 逻辑推理——会推导出圆的标准方程.3. 数学建模——能利用圆的标准方程解决实际问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句圆心为A(a,b)，半径为r的圆的标准方程是(x−a)2+(y−b)2=r2 .自主思考把天空看作一个平面，月亮当作一个圆心，以圆心为圆点建立平面直角坐标系，若圆的半径为r，则圆的方程如何表示？此时a,b的值是多少？提示 x2+y2=r2,a=0,b=0.名师点睛1.圆心与坐标原点重合时，a=0,b=0，圆的标准方程就是x2+y2=r2；圆心在x轴上时，b=0；圆与y轴相切时，|a|=r；圆与x轴相切时，|b|=r；圆与坐标轴相切时，|a|=|b|=r；圆过原点时，a2+b2=r2.2.圆的标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.3.相同的圆，建立的平面直角坐标系不同，圆心的坐标不同，导致圆的方程不同，但半径是不变的.4.设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点P与圆的位置关系如下：（1）d＜r⇔点P在圆内；（2）d=r⇔点P在圆上；（3）d＞r⇔点P在圆外.互动探究·关键能力探究点一求圆的标准精讲精练例求满足下列条件的圆的标准方程.（1）圆心为(3,4)，半径等于√2；（2）圆心为(1,−3)，经过点(-3,-1)；（3）圆心在直线x=2上，且与y轴交于点A(0,−4)，B(0,−2).答案：（1）圆的标准方程为(x−3)2+(y−4)2=2.（2）由两点间的距离公式可得圆的半径r=√[1−(−3)]2+[−3−(−1)]2=2√5，故圆的标准方程为(x−1)2+(y+3)2=20.（3）因为圆与y轴交于点A(0,−4)，B(0,−2)，所以圆心在直线y=−3上.又圆心在直线x=2上，所以圆心的坐标为(2,-3)，所以圆的半径r=√(2−0)2+(−3+2)2=√5，故圆的标准方程为(x−2)2+(y+3)2=5.解题感悟直接法求圆的标准方程，先根据已知条件求出圆心的坐标和半径，再写出圆的标准方程.迁移应用1.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.答案：x2+(y−1)2=1解析：因为圆C的圆心与点(1,0)关于直线y=x对称，所以圆心的坐标为(0,1)，故圆C 的标准方程为x2+(y−1)2=1.2.已知点A(−4,−5)，B(6,−1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 . 答案：(x−1)2+(y+3)2=29解析：易知线段AB的中点的坐标即为圆心的坐标，所以圆心的坐标为(1,-3)，又圆的半|AB|=√29，所以所求圆的标准方程为(x−1)2+(y+3)2=29.径r=12探究点二点与圆的位置关系精讲精练类型1 判断点与圆的位置关系例1 （1）点(sinθ,cosθ)与圆x2+y2=1的位置关系是( )2A.在圆上B.在圆内C.在圆外D.不能确定（2）点M(0,2)与圆C：(x−a)2+y2=1(a∈R)的位置关系是( )A.点M在圆C内B.点M在圆C上C.点M在圆C外D.不能确定思路分析（1）直接利用点与圆心的距离与半径的大小关系判断.（2）根据题意得出圆C的圆心与半径，求出|MC|的值，与半径比较大小即可得答案.答案：（1）C（2）C，所以点(sinθ,cosθ)在圆外，故选C.解析：（1）因为sin2θ+cos2θ=1＞12（2）根据题意得圆C的圆心为(a,0)，半径为1，则|MC|=√a2+4＞1，则点M在圆C 外，故选C.解题感悟1.点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外.2.判断点与圆的位置关系有两种方法：一是用圆心到该点的距离与半径作比较，二是代入圆的标准方程与r作比较.类型2 利用点与圆的位置关系求参数的取值范围例2 （2021安徽六安一中高二段考）已知点(a+1,a−1)在圆x2+y2−2ay−4=0外，则实数a的取值范围为( )A.a＜1B.a＞1C.0＜a＜1D.a＞15思路分析首先根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点(a+1,a−1)与圆心的距离大于半径，最后解不等式即可得出结果.答案：B解析：圆x2+y2−2ay−4=0，即x2+(y−a)2=a2+4，所以圆心为(0,a)，半径r=√a2+4，因为点(a+1,a−1)在圆x2+y2−2ay−4=0外，所以点(a+1,a−1)到圆心(0,a)的距离大于半径，即√(a+1)2+(−1)2＞√a2+4，解得a＞1.解题感悟通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数的值或参数的取值范围.迁移应用1.（2021湖北宜昌秭归一中高二期中）已知点A(1,0),B(0,1)，圆C：x2+(y+1)2=3，则( )A.A，B都在C内B.A在C外，B在C内C.A，B都在C外D.A在C内，B在C外答案：D解析：由题意得12+(0+1)2＜3,02+(1+1)2＞3，所以A在C内，B在C外.2.若点A(a+1,3)在圆(x−a)2+(y−1)2=m内，则实数m的取值范围是( )A.(5,+∞)B.(−∞,5)C.(0,5)D.[0，5]答案：A解析：由题意得(a+1−a)2+(3−1)2＜m，即m＞5，又m＞0，所以m＞5.探究点三圆的最值问题例已知x和y满足(x+1)2+y2=14.（1）求x2+y2的最值；（2）试求点P(3,3)到圆的最远距离.答案：（1）由题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应的取得最大值和最小值.易知圆(x+1)2+y2=14的圆心的坐标为(-1,0)，半径为12，所以原点(0,0)到圆心(-1,0)的距离d=1，故圆上的点到坐标原点的最远距离为1+12=32，最近距离为1−12=12，因此x2+y2的最大值和最小值分别为94和14.（2）由（1）知圆心的坐标为(-1,0)，半径为12，则点P到圆心的距离为√(3+1)2+32=5，所以点P(3,3)到圆的最远距离为5+12=112.解题感悟与圆有关的最值问题的求解策略：（1）将最值问题转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决.（2）涉及与圆有关的最值问题时可借助图形的性质，利用数形结合求解.迁移应用已知x,y满足x2+(y+4)2=4，求√(x+1)2+(y+1)2的最大值与最小值.答案：易知点P(x,y)是圆C：x2+(y+4)2=4上的任意一点，且圆C的圆心为C(0,−4)，半径r=2，因此√(x+1)2+(y+1)2表示点A(−1,−1)与该圆上的点的距离. 因为|AC|2=(−1)2+(−1+4)2＞4，所以点A(−1,−1)在圆外.如图所示.又|AC|=√(0+1)2+(−4+1)2=√10，所以√(x+1)2+(y+1)2的最大值为|AC|+r=√10+2，最小值为|AC|−r=√10−2.评价检测·素养提升课堂检测1.圆(x−3)2+(y+2)2=13的周长是( )A.√13πB.2√13πC.2 πD.2√3π答案：B解析：由题意知该圆的半径r=√13，所以周长为2 π×√13=2√13π，故选B.2.点P(a,10)与圆(x−1)2+(y−1)2=2的位置关系是( )A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.与a的值有关答案：A解析：因为(a−1)2+(10−1)2=(a−1)2+81＞2，所以点P(a,10)在圆外.3.与圆(x−2)2+(y+3)2=16同圆心，且过点P(−1,1)的圆的标准方程为. 答案：(x−2)2+(y+3)2=25解析：因为已知圆的圆心为(2,−3)，所以所求圆的圆心为(2,−3)，所以所求圆的半径为√(2+1)2+(−3−1)2=5，所以所求圆的标准方程为(x−2)2+(y+3)2=25.4.已知三条直线l 1 ：x −2y =0 ，l 2 ：y +1=0 ，l 3 ：2x +y −1=0 两两相交，求过这三个交点的圆的标准方程.答案： 易知l 2 ：y +1=0 平行于x 轴，l 1 ：x −2y =0 与l 3 ：2x +y −1=0 互相垂直，设l 1 与l 3 交于点C ，l 1,l 3 分别与l 2 交于点A,B ，则三个交点A ，B ，C 构成直角三角形，所以经过A ，B ，C 三点的圆就是以线段AB 为直径的圆. 联立得{x −2y =0,y +1=0, 解得{x =−2,y =−1, 所以点A 的坐标是(-2,-1)，联立得{2x +y −1=0,y +1=0,解得{x =1,y =−1, 所以点B 的坐标是(1,−1) ，所以线段AB 的中点的坐标是(−12,−1) ，又|AB|=√(−2−1)2+(−1+1)2=3 ， 所以所求圆的标准方程是(x +12)2+(y +1)2=94.素养演练数学运算、逻辑推理——巧用圆的几何性质，妙解题（2021甘肃武威民勤一中高二期中）已知圆C 经过点A(−1,0) 和B(3,4) ，且圆心C 在直线x +3y −15=0 上. （1）求圆C 的标准方程；（2）设点Q(−1,m)(m ＞0) 在圆C 上，求△QAB 的面积.答案： （1）依题意知，所求圆的圆心C 为线段AB 的垂直平分线和直线x +3y −15=0 的交点.由题意得线段AB 的中点的坐标为(1,2)，直线AB 的斜率为1， ∴AB 的垂直平分线的方程为y −2=−(x −1) ，即y =−x +3 . 联立得{y =−x +3, x +3y −15=0,解得{x =−3,y =6,即圆心为C(−3,6) ，∴ 半径r =|AC|=√4+36=2√10 ， 故所求圆C 的标准方程为(x +3)2+(y −6)2=40 .（2）∵ 点Q(−1,m)(m ＞0) 在圆C 上，∴ 代入圆C 的标准方程得m =12 或m =0 （舍去），∴Q(−1,12) ，故|AQ|=√122=12 ，直线AQ 的方程为x =−1 ，∴ 点B 到直线AQ 的距离为4，∴△QAB 的面积S =12×|AQ|×4=12×12×4=24 .素养探究：（1）先求出线段AB 的垂直平分线和直线x +3y −15=0 的交点坐标即为圆心C 的坐标，再利用两点间的距离公式求出半径，即可求解，渗透了数学运算的素养.（2）根据已知条件求出点Q 的坐标，渗透了逻辑推理的素养；利用点到直线的距离公式求出高的值，然后代入面积公式求解，渗透了数学运算的素养. 迁移应用（2021四川绵阳南山中学高二月考）已知以点C(t,2t) （t ∈R ，且t ≠0 ）为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B （A ，B 异于原点）. （1）求证：△AOB 的面积为定值；（2）设直线2x +y −4=0 与圆C 交于点M,N 两点，若|OM|=|ON| ，求圆C 的标准方程.答案： （1）证明：由题意可得，圆的标准方程为(x −t)2+(y −2t )2=t 2+4t 2 ，化简得x 2−2tx +y 2−4t y =0 ，∴ 圆与两坐标轴的交点分别为A(2 t,0),B(0,4t ) ， ∴S △AOB =12|2 t|⋅|4t|=4 ，故△AOB 的面积为定值.（2）∵|OM|=|ON| ，∴ 原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ，则C,H,O 三点共线，易知OC 的斜率k =2tt=2t 2,∴2t 2×(−2)=−1 ，解得t =±2 ，∴ 圆心为C(2,1) 或(-2,-1).当圆心为C(−2,−1) 时，该直线与圆C 相离，不符合题意；当圆心为C(2,1) 时，满足题意. 综上所述，圆C 的标准方程是(x −2)2+(y −1)2=5 .课时评价作业 基础达标练1.（2021浙江湖州高二期中联考）已知圆C 的标准方程为(x −2)2+(y +3)2=12 ，则圆心C 的坐标为( ) A.(-2,3)B.(2,-3) C.(2,3)D.(-2,-3) 答案： B2.圆(x +2)2+y 2=5 关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为( ) A.x 2+(y −2)2=5 B.(x −2)2+y 2=5 C.x 2+(y +2)2=5 D.(x −1)2+y 2=5 答案： B3.（2021北京汇文中学高二期中）圆心为(-3,2)，且过点A(1,−1) 的圆的标准方程是( ) A.(x −3)2+(y −2)2=5 B.(x +3)2+(y −2)2=5 C.(x −3)2+(y −2)2=25 D.(x +3)2+(y −2)2=25 答案： D4.（原创题）点A(−4,6) 到圆(x +1)2+(y −2)2=36 的距离的最大值为( ) A.5B.6C.8D.11 答案： D5.（2021河北承德一中高二第二次月考）设圆M 的标准方程为(x −3)2+(y −2)2=2 ，直线l 的方程为x +y −3=0 ，点P 的坐标为(2,1)，那么( )A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上B.点P 在圆M 上，但不在直线l 上C.点P 既在圆M 上，又在直线l 上D.点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上 答案： C6.（2021四川成都第七中学高二期中）如果实数x 、y 满足(x −3)2+y 2=5 ，那么√x 2+y 2 的最小值是( )A.3+√5B.2√5C.3−√5D.√3 答案： C7.（2021辽宁六校协作体高二期中联考）若a 为任意实数，直线(a −1)x −y +a +1=0 恒过定点C ，则以C 为圆心，√5 为半径的圆的标准方程为( ) A.(x +1)2+(y +2)2=5 B.(x −1)2+(y +2)2=5 C.(x +1)2+(y −2)2=5 D.(x −1)2+(y −2)2=5 答案： C8.（2021江西宜春高二期末）已知圆C 与直线x +y =0 及直线x +y −4=0 都相切，且圆心在直线x −y =0 上，则圆C 的标准方程为( ) A.(x +1)2+(y −1)2=2 B.(x −1)2+(y +1)2=2 C.(x −1)2+(y −1)2=2 D.(x +1)2+(y +1)2=2 答案： C解析：由题意可知直线x +y =0 与直线x +y −4=0 平行，且两直线都与直线x −y =0 垂直，由此可得圆C 的直径为两直线x +y =0 与x +y −4=0 间的距离，且三条直线的交点组成的线段的中点为圆心，所以d =√2=2√2 ，故r =√2 ，由{x −y =0,x +y =0, 解得{x =0,y =0, 由{x −y =0,x +y −4=0, 解得{x =2,y =2,所以圆心坐标为(0+22,0+22) ，即(1,1)，所以圆C 的标准方程为(x −1)2+(y −1)2=2 .素养提升练9.（多选题）设圆C k ：(x −k)2+(y −k)2=4(k ∈R) ，则下列说法正确的是( ) A.无论k 如何变化，圆心C k 都在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆C k 的面积均为4 π 答案： A ; B ; D解析：易知圆心C k (k,k) 在直线y =x 上，∴A 中说法正确；令(3−k)2+(0−k)2=4 ，化简得2k 2−6k +5=0,∵Δ=36−40=−4＜0 ，∴ 方程2k 2−6k +5=0 无解，∴B 中说法正确；由(2−k)2+(2−k)2=4 化简得k 2−4k +2=0 ，∵Δ=16−8=8＞0,∴k 2−4k +2=0 有两个不相等的实数根， ∴ 经过点(2,2)的圆C k 有两个，故C 中说法错误； 易知圆C k 的半径为2， ∴ 圆C k 的面积为4 π ， ∴D 中说法正确.10.（多选题）已知△ABC 的三个顶点分别为A(−2,3) ，B(−2,−1),C(6,−1) ，则下列说法正确的是( )A.△ABC 外接圆的面积为πB.直线AC 的方程为x +2y −4=0C.△ABC 为直角三角形D.△ABC 外接圆的标准方程为(x −32)2+y 2=854答案： B ; C解析：易知AB 的垂直平分线的方程为y =1 ，线段AC 的中点为(2,1)，直线AC 的斜率为−12 ，所以线段AC 的垂直平分线的斜率为2，AC 的垂直平分线的方程为y −1=2(x −2) ，与y =1 联立，得△ABC 外接圆的圆心为P(2,1) ，易得|PA|=2√5 ，所以△ABC 外接圆的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=20 ，面积为20 π ，所以D 中说法错误，A 中说法错误； 依题意得直线AC 的方程为y+13+1=x−6−2−6，即x +2y −4=0 ，所以B 中说法正确；因为|AB|2+|BC|2=|AC|2 ，所以△ABC 是直角三角形，所以C 中说法正确.11.（2021天津武清天和城实验中学高二期中）圆(x −1)2+y 2=2 关于直线2x −y +3=0 对称的圆的标准方程是 . 答案： (x +3)2+(y −2)2=2解析： 易知圆(x −1)2+y 2=2 的圆心为(1,0)，半径为√2 .设(1,0)关于直线2x −y +3=0 对称的点的坐标为(m,n) ，则{nm−1=−12, 2×m+12−n2+3=0,解得{m =−3,n =2,故所求圆的标准方程为(x +3)2+(y −2)2=2 .12.（2021重庆一中高二月考）圆C 过点A(6,0) ，B(1,5) ，且圆心在直线l ：2x −7y +8=0 上，则圆C 的标准方程为 . 答案： (x −3)2+(y −2)2=13解析： 易知直线AB 的斜率k =5−01−6=−1 ，所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为1. 易知线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为x =6+12=72,y =0+52=52 ，所以直线m 的方程为y −52=x −72，即x −y −1=0 .又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点.联立得{x −y −1=0, 2x −7y +8=0, 解得{x =3,y =2,所以圆心为C(3,2) .又半径r =|CA|=√13 ，所以所求圆的标准方程是(x −3)2+(y −2)2=13 .13.（原创题）在平面直角坐标系中，点A 在直线l ：y =7x +4 上，B(7,3) ，以线段AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB ⊥CD . （1）求圆C 的标准方程；（2）若点A 不在第一象限内，求x 2+y 2 的最小值. 答案： （1）易知BD ⊥AD, ∴k BD =−17 ，设D (a,7a +4) ，则7a+4−3a−7=−17，解得a =0,∴D(0,4) ，在△ABD 中，AB ⊥CD ，C 为线段AB 的中点， ∴|AD|=|BD| ，设A(b,7b +4) ，圆C 的半径为R ，则√(b −0)2+(7b +4−4)2=√(7−0)2+(3−4)2 ， 解得b =1 或b =−1 .①当b =1 时，A(1,11),2R =√2|AD|=10 ，圆心为(4,7)， 此时圆C 的标准方程为(x −4)2+(y −7)2=25 ；②当b =−1 时，A(−1,−3),2R =√2|AD|=10 ，圆心为(3,0)， 此时圆C 的标准方程为(x −3)2+y 2=25 .综上，圆C 的标准方程为(x −4)2+(y −7)2=25 或(x −3)2+y 2=25 . （2）由题意及（1）知，圆C 的标准方程为(x −3)2+y 2=25 . x 2+y 2 表示圆C 上的点到原点的距离的平方， ∴(x 2+y 2)min =(√32+02−5)2=4。

第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率..................................................................................................... - 1 -2.1.1倾斜角与斜率 ..................................................................................................... - 1 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定.............................................................................. - 6 -2.2直线的方程 .................................................................................................................. - 11 -2.2.1直线点斜式方程................................................................................................ - 11 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................ - 15 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................ - 19 -2.3直线的交点坐标与距离公式....................................................................................... - 24 -2.3.1两条直线的交点坐标........................................................................................ - 24 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................ - 24 -2.3.3点到直线的距离公式........................................................................................ - 29 -2.3.4两条平行直线间的距离.................................................................................... - 29 -2.4圆的方程 ...................................................................................................................... - 33 -2.4.1圆的标准方程 ................................................................................................... - 33 -2.4.2圆的一般方程 ................................................................................................... - 38 -2.5直线与圆、圆与圆的位置关系................................................................................... - 42 -2.5.1直线与圆的位置关系........................................................................................ - 42 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................ - 48 -2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率1．倾斜角的相关概念(1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值． (2)记法：k ＝tan α.(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角 (范围) α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α ＜180° 斜率 (范围)0 (0，＋∞) 不存在(－∞，0)(4)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线的方向向量坐标若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则直线P 1P 2的方向向量P 1P 2→的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)．若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝yx .直线的倾斜角(1) (2) (3)[解] (1)如图①，可知∠OAB 为直线l 1的倾斜角．易知∠ABO ＝30°，∴∠OAB ＝60°，即直线l 1的倾斜角为60°.(2)如图②，可知∠xAB 为直线l 2的倾斜角，易知∠OBA ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴∠xAB ＝135°，即直线l 2的倾斜角为135°.(3)如图③，可知∠OAC 为直线l 3的倾斜角，易知∠ABO ＝60°，∴∠BAO ＝30°， ∴∠OAC ＝150°，即直线l 3的倾斜角为150°.①②③求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.直线的斜率A．1 B．5 C．－1 D．－5(2)(教材P55练习T5改编)经过A(0，y)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1,2)，则y＝________.(3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率．[思路探究](1)利用公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)＝tan α；(2)利用方向向量的共线求解；(3)利用公式k＝tan α(α≠90°)．(1)D(2)2[(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，∴y＋34－2＝tan 135°＝－1，解得y＝－5.(2)由条件可知，直线的方向向量为(－1－0,0－y)，即(－1，－y)．又(1,2)是直线的另一方向向量，则－11＝－y2，解得y＝2.](3)[解]直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴k l 1＝tan 30°＝33，k l 2＝tan 120°＝－ 3.解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．直线的倾斜角和斜率的综合1．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2.2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？ [提示] 当k ＝tan α＜0时， 倾斜角α是钝角； 当k ＝tan α＞0时， 倾斜角α是锐角； 当k ＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.3．直线的斜率k 随倾斜角α的增大而增大吗？[提示] 不是，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内，k 随α的增大而增大，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内，k 也是随α的增大而增大．【例3】 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．[思路探究] 结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线PB 与直线P A 的倾斜角之间，要特别注意，当l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，则有k ≤k P A .[解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.1．[变条件]本例中，三点坐标不变，其它条件改为过B 的直线l 与线段AP 有公共点，求直线l 的斜率的取值范围．[解] 如例题中图所示， 根据斜率公式得k AB ＝4－2－3－3＝－13， k BP ＝2－03－1＝1， ∴直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1.2．[变条件]本例中，A 、B 两点坐标不变，其它条件去掉，在直线y ＝－1上求一点P ，使P A 、PB 的斜率互为相反数．[解] ∵点P 在直线y ＝－1上，∴可设点P (x ，－1)． 又条件可知k P A ，k PB 一定存在． 由斜率公式得k P A ＋k PB ＝4＋1－3－x ＋2＋13－x＝0， 解得x ＝34.故所求P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－1.直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．2.1.2两条直线平行和垂直的判定1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2两直线平行的判定及应用12①l1经过点A(2,3)，B(－4,0)，l2经过点M(－3,1)，N(－2,2)；②l 1的斜率为－12，l 2经过点A (4,2)，B (2,3)； ③l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)；④l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)．(2)试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．[思路探究] (1)先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； (2)利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得．[解] (1)①k AB ＝3－02－(－4)＝12，k MN ＝2－1－2－(－3)＝1，k AB ≠k MN ，所以l 1与l 2不平行．②l 1的斜率k 1＝－12，l 2的斜率k 2＝3－22－4＝－12，k 1＝k 2，所以l 1与l 2平行或重合．③由题意，知l 1的斜率不存在，且不与y 轴重合，l 2的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以l 1∥l 2.④由题意，知k EF ＝－1－1－2－0＝1，k GH ＝3－42－3＝1，k EF ＝k GH ，所以l 1与l 2平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1.所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以l 1与l 2重合．(2)由题意知CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在，k AB ＝m －6－m，k CD ＝24＝12.由于AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，即m －6－m＝12.解得m ＝－2.经验证m ＝－2时，直线AB 的斜率存在，故m 的值为－2.判断两条不重合直线是否平行的步骤两直线垂直的判定及应用12①l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)；l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； ②l 1的斜率为－10；l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；③l 1经过点A (3,4)，B (3,10)；l 2经过点M (－10,40)，N (10，40)．(2)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2,3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．[思路探究] (1)判断两直线垂直，当斜率存在时，利用k 1k 2＝－1，若有一条斜率不存在时，判断另一条斜率是否为0.(2)含字母的问题判断要分k 存在和不存在两种情况来解题． [解] (1)①k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直．②k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.③由A ，B 的横坐标相等得 l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.(2)因为直线l 2经过点C (2,3)，D (1，a －2)，所以l 2的斜率存在，设为k 2. 当k 2＝0，即a －2＝3，亦即a ＝5时，A (3,5)，B (3,3)，显然直线l 1的斜率不存在，满足l 1⊥l 2；当k 2≠0，即a －2≠3，亦即a ≠5时，显然l 1的斜率存在，设为k 1，要满足题意，则k 1k 2＝－1，得3－a a －2－3·a －2－31－2＝－1，解得a ＝2.综上可知，a的值为5或2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．两直线平行与垂直的综合应用1．两直线l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么？[提示](1)两条直线的斜率存在；(2)两直线不重合．2．对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1k2＝－1吗？为什么？[提示]不一定．当两条直线的斜率都存在时，k1k2＝－1，还有另一种情况就是，一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零．【例3】△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．[思路探究]由A为直角顶点可得k AB·k AC＝－1.[解]因为∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7.1．[变条件]本例中，将“C(2，m)”改为“C(2,3)”，你能判断三角形的形状吗？[解]如图，AB边所在的直线的斜率k AB＝－12，BC边所在直线的斜率k BC＝2.由k AB·k BC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．2．[变条件]本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？[解]由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，则1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3.若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝3或m＝±2.3．[变条件]若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？[解]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，即1＋11－5·m－12－1＝－1，。