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第四章四边形性质探索
4.3．菱形
一、教学目标
1、知识与技能目标
理解并掌握菱形的定义、性质和判别方法。
2、过程与方法目标
经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法。
3、情感与态度目标
（1）了解菱形的现实应用，体会它在生活中的作用。
增强解决生活问题与进行数学研究的本领与信心。
（2）通过菱形知识的学习过程，使学生进一步加深对“一般与特殊” 这一认知规律和辨证唯物主义思想的理解；由研究方法的相似，体会类比的思想方法的作用。
二、教学重点
菱形的定义、性质与判定方法。
三、教学难点
菱形性质与判定的应用。
五、教学流程
六、课后反思
1、本节课学生的探究活动比较多，积极性得到了充分的调动和发挥。
2、采用的多媒体教学方式，新颖、有效。
特别是“Z+Z”中数据跟踪功能的配合使用，省时有效。
3、学生参与探索活动的主动程度、动手操作能力、合作本领及知识的掌握与应用都得到提高。
4.3菱形学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用．2、灵活运用判定方法进行有关的证明和计算．【重点难点】1、掌握并会应用菱形的判定方法．2、菱形判定方法的应用．知识概览图定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角判定：(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形新课导引【问题链接】如右图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分构成一个四边形ABCD，四边形ABCD一定是平行四边形吗?它与一般平行四边形比较有什么区别?教材精华知识点1 菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图4－37所示．拓展菱形是一种特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”．菱形的定义既是它的性质，也是它的差别方法．如果已知一个四边形是菱形，那么它一定是平行四边形并且有一组邻边相等；反之，如果已知一个四边形是平行四边形且有一组邻边相等，那么它一定是菱形．知识点2 菱形的性质(1)具有平行四边形的一切性质．(2)菱形的四条边都相等．(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．(4)菱形是轴对称图形．有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线．如图4－38所示，在菱形ABCD中，有如下结论：(1)AB＝BC＝CD＝AD→四条边都相等．(2)OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD一对角线互相垂直平分．(3)∠l＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8→每一条对角线平分一组对角．菱形拓展菱形性质的作用是：利用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、两直线平行、两直线垂直及有关计算．知识点3 菱形的判定(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形．(2)四条边都相等的四边形是菱形．(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形．拓展菱形的判定方法(1)和(3)是以平行四边形为基础的，而判定方法(2)和(4)是以四边形为基础的，这两点一定要区别清楚．菱形的判别方法可用图4－39表示．探究交流(1)有一组邻边相等的四边形是菱形吗?(2)对角线互相垂直的四边形是菱形吗?点拨(1)如图4－40所示，AB＝AD，显然它不是菱形，所以四边形若只有一组邻边相等，则它不一定是菱形(只有当四边形是平行四边形且有一组邻边相等时，它才是菱形)．(2)对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．如图4－41所示，AC⊥BD，但显然四边形ABCD不是菱形．只有当四边形对角线互相垂直平分时，它才是菱形．知识点4 菱形的面积菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．如图4－42所示，菱形ABCD中，AC⊥BD，S菱形ABCD＝S△ABD＋S△CBD=12BD·OA＋12BD·OC＝12BD(OA＋OC)＝12BD·AC．拓展(1)菱形的面积除了用对角线长求以外，也可以用底乘高来求，这取决于已知条件．(2)凡是对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线长的积的一半．课堂检测基础知识应用题1、已知菱形的两条对角线AC，BC的长分别为6 cm和8 cm，则边长为cm，周长为cm，面积为cm2，高为cm．2、如图4－44所示，在菱形ABCD中，正是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a．(1)求∠ABC的度数；(2)求对角线AC的长；(3)求菱形ABCD的面积．综合应用题3、如图4－46所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B试说明△ABC是等边三角形．4、如图4－47所示，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为16 cm和12cm，DE⊥BC于E，求DE的长．探索创新题5、先阅读下面的题目及解题过程，再根据要求回答问题．如图4－48所示，在ABCD中，∠BAD的平分线与BC边相交于点E，∠ABC的平分线与AD边相交于点F，AE与BF相交于O，试说明四边形ABEF是菱形．解：∵四边形ABCD是平行四边形，①∴AD∥BC，②∴∠ABE＋∠BAF＝180°．③∵AE，BF分别是∠BAF，∠ABE的平分线，④∴∠1=∠2=12∠BAF，∠3＝∠4＝12∠ABE．⑤∴∠1＋∠3＝12(∠BAF＋∠AB E)＝90°．⑥∴∠AOB＝90°．⑦∴AE⊥BF．⑧∴四边形ABEF是菱形．⑨(1)上述解题过程是否正确? ；(2)如有错误，在第步到第步推理错误，应在第步后添加如下步骤：．体验中考1、如图4－49所示，将一个长为10 cm、宽为8 cm的长方形纸片对折两次后，沿所得矩形的两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形(如图4－50所示)的面积为 ( )A ．10 cm 2B ．20 cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 22、如图4－51所示，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm ，若墙上钉子间距离AB ＝BC ＝16 cm ，则∠l ＝ 度．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 如图4－43所示，由菱形对角线互相垂直平分可知OA ＝12AC ＝3 cm ，OB ＝12BD ＝4 cm ，由对角线互相垂直和勾股定理可求出边长AB ＝22OA OB +，由于菱形四条边都相等，所以周长是边长的4倍，即周长为20 cm ，由于菱形面积等于两条对角线长的积的一半，所以它的面积为12AC ·BD ＝12×6×8＝24(cm 2)，又因为S 菱形＝边长×高＝24，所以高＝24245=边长＝4.8(cm)． 答案：5 20 24 4．8【解题策略】 此题运用了菱形的性质，应重点掌握，灵活运用．2、分析 本题考查菱形的性质，解题的关键是作辅助线，将菱形问题转化为三角形问题进行求解．解：(1)连接BD ，交AC 于点O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB∵E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，∴AD ＝BD ．∴△ABD 是等边三角形．∴∠ABC ＝60°×2＝120°．(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ，BD 互相垂直平分，∴OB =12BD =12AB =12a∴OA ,=∴AC ＝2AO ．(3)S 菱形ABCD =12AC ·BD =12·a 2． 【解题策略】 有一内角为60°的菱形，已知边长，便可求出对角线长、高、面积3、分析 要说明△ABC 是等边三角形，已知中给出了∠BAD ＝2∠B ，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠B ＝60°，因为菱形的邻边相等，可知△ABC 是等腰三角形，从而得出△ABC 是等边三角形．解：因为四边形ABCD 是菱形，所以AB ＝BC ，∠BAD ＋∠B=180°．又∠BAD ＝2∠B ，所以∠B ＝60°．所以△ABC 是等边三角形．4、分析 已知菱形的两条对角线长，便可由勾股定理求出边长，然后再利用菱形面积的两种计算方法便可求出DE 的长．解：在菱形ABCD 中， BO ＝12BD =6cm ，CO ＝12AC ＝8cm ，BO ⊥CO ． 在Rt △BOC 中，BC 2=BO 2＋CO 2＝62＋82＝102，∴BC ＝10．∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝BC ·DE ， ∴12×16×12＝10·DE ，∴DE ＝9.6(cm)． 【解题策略】 菱形两条对角线分菱形为4个直角三角形，勾股定理常用于菱形的有关计算，另外菱形的面积的两种计算方法可以用来列方程，求出未知量．5、分析 要说明四边形ABEF 是菱形，只得到对角线互相垂直是不够的，还需要说明此四边形是平行四边形，此题主要考查逻辑推理能力．答案：(1)不正确(2)⑧ ⑨ ⑧ ∵∠4＝∠AFB ，∠4＝∠3，∴∠3＝∠AF B ，∴AF =AB .同理BE ＝AB ．∴AF ＝BE ，又∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 为平行四边形体验中考1、分析 由题意可知所得菱形两条对角线AC ，BD 的长分别为4 cm ，5 cm ，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×4×5＝10(cm 2)．故选A. 【解题策略】 利用轴对称性质解题也是常用的方法．2、分析 连接AB ，则AB ＝AD ＝BD ＝16 cm ，因此△ABD 为等边三角形，所以∠ADB ＝60°，这就不难求出∠1＝120°．故填120。
第四章四边形性质探索3．菱形一、学生起点分析学生在学习菱形之前，已具有简单图形旋转的知识和平行四边形的知识，学生完全能借助等腰三角形的旋转直观的理解菱形及菱形的判定和性质。
二、教学任务分析教科书基于学生上述认识的基础上，提出了本课的具体学习任务：知识目标1.理解菱形的定义。
2. 经历探索菱形的性质和判别条件的过程，进一步了解和体会说理的基本方法.3. 了解菱形的现实应用和常用判别条件.探索并掌握菱形的判定.情感态度目标：1.在操作活动过程中，加深师生的情感.培养学生的观察能力，并提高学生的学习兴趣.2.在学习过程中，体会数学美。
三、教学过程设计本节课分成五个环节：第一环节：创设情境，引入菱形的概念；第二环节：讲授新课，包括菱形的性质和判定；第三环节：通过练习，应用和巩固知识；第四环节：小结；第五环节：布置作业。
第一环节设情境问题，引入课题观察一组图片：越王勾践剑、一个衣帽架以及其他学生熟悉的实物图片。
这些图片中有你熟悉的图形吗？（邻边相等的平行四边形.顺势给出菱形的定义，进而主题）我们把这样的平行四边形叫做菱形.这节课我们就来探讨一下菱形.第二环节新课主要环节（1）根据图片中所反映出的图形的特点，请学生尝试给菱形下定义。
（一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.）（2）通过问题的形式，让学生归纳出菱形的性质。
（3）从对称的角度对菱形进行再认识（包含菱形的画法和判定）。
目的：1．培养学生的观察能力。
让学生观察图形，从直观上把握图形的性质和特点，从而给出菱形的定义。
2．因为菱形是特殊的平行四边形，所以在平行四边形性质的基础上，通过问题，具体的讨论菱形所具有的特殊性质。
3．从对称的角度，对菱形进行再认识，并通过折叠的方法，得到菱形的判别方法，将直观与推理相联系。
对于（2）、（3）大体过程如下：画一个菱形，然后回答下列问题如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？(2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形？(3)两条对角线AC，BD有什么特定的位置关系？（同学们讨论分析回答）因为菱形是特殊的平行四边形，所以它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：1．菱形的四条边都相等.2．菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
《菱形的判定》说课稿一、课标解读“菱形的判定”是北师大版八年级上册第四章《四边形性质探索》第三节的内容，属于义务教育课程标准第三学段（7-9年级）第二块《空间与图形》中的内容。
《课程标准》要求：探索并掌握菱形的判定条件，通过猜想、与他人合作交流等活动，发展学生合情的推理，进一步学习有条理的思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，学会证明，从而体会证明的必要性；在教学中，注重使学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程。
二、教材分析“菱形的判定”是北师大版八年级上册第四章《四边形性质探索》第三节的内容，它是继“四边形”、“平行四边形”和“矩形”之后的一个学习内容，是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，学习了特殊的平行四边形——矩形，具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。
这一节课不仅是前面所学知识的延伸，更为探索正方形等知识指明了方向，起着承前启后的作用。
三、学情分析通过七年级《证明一》的学习，八年级学生已具有一定的逻辑思维能力，前两节已经学习了平行四边形、矩形的相关知识和菱形的性质，有了一定的知识储备，加之他们的动手操作能力及推理能力也日趋成熟，在此基础上探究、学习菱形的判定方法，既加深了学生对菱形判定方法的理解，又提高了学生的合理推理能力和合作交流能力。
四、设计理念在本节课的教学中，我严格遵循学生的认知规律，通过菱形图片的展示、动手剪纸活动的开展，由感性到理性，由抽象到具体，让学生通过交流、合作、讨论的方式积极探索，成为学习的主人。
五、教学目标1、知识目标：经历菱形的判定方法的形成过程，掌握菱形的三种判定方法。
2、能力目标：通过探究菱形的判定方法，增强学生的实验、猜想、推理意识，并依据菱形的判定进行简单的说理，培养学生的逻辑推理能力。
3、情感态度：在探究菱形的判定方法的活动中获得成功的体验，建立自信心，学会欣赏数学美。
六、教学重点及难点1、重点：菱形判定方法的探究.2、难点：判定方法的探究及灵活运用.七、教法与学法分析1、教法：探究式、开放式本节课采用探究式、开放式的教学方法，探究过程中力求给学生时间，让他们放飞思维；给学生机会，让他们大胆展示，使不同的学生在数学上有不同的发展。
《4.3 菱形》学案（2）
【学习目标】
掌握菱形的判别（重点）
综合利用菱形和直角三角形的知识解决问题（难点）
【导学指导】
一、课前探究
从边，角，对角线三个方面探索菱形的判别方法
二、预习交流
小组合作，解决问题
三、互助提升
探究一：
如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 交于点O ，AB=
AO=2，OB=1
(1) AC,BD 互相垂直吗？为什么？
(2) 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？
探索二：如图，BD 是∠ABC 的平分线，ED ∥CB,FD ∥AB,
则四边形ABCD 是菱形吗？为什么？
四、体验成功
1.教材P110数学理解2
2．教材P111联系拓广3
五、快乐心得
谈谈你在这节课的收获：
方法：
思想：
六、拓展延伸
1.平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD,BC
AC分别相交于点E,F,O.试说明四边形AFCE是菱形。
2. 如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE
沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.
(1)求证：BE=DG
(2)若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？为什么？
(3)
(4)。
第四章四边形性质探索第1课时复习教学目标1．利用基本图形结构使本章内容系统化．2．对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法．3．总结常用添加辅助线的方法．4．总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力．教学重点和难点重点：四边形与特殊四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法．难点：提高数学思维能力．教学过程设计一、理解本章基本图形的形成、变化和发展过程1．本章知识结构图，如图2．说明：（1）图4-107（a）中主要要求四边形的内角和及外角和；（2）图4-107（b）中要求n边形内角和及外角和；（3）图4-107（c）中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系；（4）图4-107（d）中要求平行线等分线段定理的内容，会任意等分一条已知线段；（5）图4-107（e）中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定；（6）握中心对称及中心对称图形的概念、性质，会判断一个图形是否为中心对称图形，会画一个图形关于某点的对称图形．2.常用的例习题所对应的基本图形的性质，有利于探求解题．如：（１）顺次连结四边形各边中点得到的图形，如图4-95．（２）过平行四边形对角线交点的直线交对边或对边的延长线所得对应线段相等（图4-108）．典型例题分析，总结解题方法和数学思想方法１．殊四边形的关系的进一步理解，渗透“集合”的思想．例１．填出图4-109中各图形的名称，利用“集合”的思想分清各种四边形之间的关系，并做课本第190页第2题，以巩固各种四边形的判定方法．２．四边形性质及中位线知识的应用，总结证明两条线段相等和添加辅助线的方法及分析综合法的使用．例２．如图4-110（a），在梯形ABCD中，AB∥DC,以AD和AC为边作 ACED，DC的延长线交EB于F．求证：EF=FB．分析：分解基本图形：“ABCD及对角线”，三个梯形．（1）应用分析综合法探求解题思路，添加辅助线，将EF，FB置于“证明两线段相等”所对应的基本图形中．（2）总结目前证明两条线段相等的方法，添设相应辅助线．在上一章总结方法的基础上，新添的常用方法有：①特殊四边形的边、对角线的性质；②平行线间的距离相等；③过三角形一边中点与第二边平行的直线必平分第三边；④过梯形一腰中点与底边平行的直线必平分另一腰．说明：本题添加辅助线的方法为四大类.(1)构造三角形中位线或梯形的中位线，如图4-110(b)～(e)；(2)构造全等三角形，如图4-110(f)～(h)；(3)构造等腰三角形，如图4-110(i)；(4)构造以EB为对角线的平行四边形，如图4-110(j).3.总结梯形中常用辅助线，掌握化归思想.梯形中添加辅助线常常可以将梯形化归为三角形、平行四边形、矩形、直角梯形等.同时，还可集中梯形中分散的已知条件，如图4-111(a)中，将梯形的两腰、两底角、两底边之差集中到还可集中梯形中分散的已知条件，如图4-１１１(a)中，将梯形的两腰、两底角、两底边之差集中到了一个三角形中.另外注意以下两点：(1)从图形变换及化归角度理解梯形中常用辅助线的作法及作用.①平移：图4-111(a)，(b)过上底一顶点作腰或一对角线的平行线；②旋转：图4-111(c)，(d)以一腰中点为旋转中心旋转△ADE和△EGC；③对称：图4-111(e)等腰梯形中作底边高.(2)其他几种作法.①图4-111(e)一般梯形中，过上底两端点作下底的垂线；②在图4-111(f)中，向上延长两腰构成三角形；③在图4-111(g)中，作梯形的中位线.例3已知：如图4-112(a)，在梯形ABCD 中，ABDC ，ACDB ，AD=BC=4，ㄥADC=60°，EF 是中位线，交BD 于M ，交AC 于N.(1)求EF ，MN 的长及S 梯形ABCD ；(2)观察MN 与梯形上、下底的关系，并思考结论能否推广到一般梯形?分析?本题可选用图4-112(b)，(c)中辅助线的作法，解得EF=32，MN=2，S 梯形ABCD =12，MN=21 (DC-AB).此结论对一般梯形同样适用.4.利用变换的思想解题，培养方程、分类讨论的思想，并会用类比联想变更命题. 例4矩形一边长为8，另一边长6，将矩形折叠，使两相对顶点重合.求折痕长.分析：(1)用轴对称的性质理解折叠问题的基本关系.认清对应元素的位置、数量关系，此题中折痕应为矩形ABCD 的对角线AC 的中垂线EF(如图4-113).(2)利用方程的思想解决问题.设CE=x,可证折痕EF 长等于2OE ，先由AE=EC ，及勾股定理求出CE=425，则EF=2OE=215222=-OC CE (3)学完相似形会有更简捷的计算方法.例5已知：点M 为正方形ABCD 的边AB 所在直线上任意一点(点B 除外)，MNDM 与ㄥABC 的邻补角的平行线交于N.求证：DM=MN.分析：(1)由于题目中没有明确给出点M 的位置，需对M 点在直线AB 上的位置进行分类讨论. ①点M 在线段AB 内，如图4-114(a)；②点M 在线段AB 的延长线上，如图4-114(b)；③点M 在线段BA 的延长线上，如图4-114(c)；④点M 与A 点重合，如图4-114(d).(2)证明时，结合旋转及对称变换的思想添加辅助线，构造DM ，MN 所在的两个全等三角形.如图4-114(a)中，将△MBN 沿MD 方向平移到M 与D 重合，再将平移后的三角形绕D 点顺时针旋转90°，B 点落在边DA 上P 点处，使DP=MB ，因此，如下添加辅助线：在AD 上取一点P ，使DP=BM ，连接PM ，证明△DPM MBN.(3)类比联想，此题的结论对等边三角形是否成立?M 为等边三角形ABC 的边BC 所在直线上任意一点(C 点除外)，作ㄥAMN=60°，射线MN 与ㄥACB 的邻补角的平分线交于N.求证：AM=MN.(如图4-115)5.利用运动的思维方法将问题推广.例6(1)已知：如图4-116(a)，从ABCD 的顶点A ，B ，C ，D 向形外的任意直线l 作垂线AA ′，BB ′，CC ′DD ′，垂足分别为A ′，B ′C ′，D ′，求证：AA ′+CC ′=BB ′+DD ′.(2)将直线l 平移运动，会出现几种不同位置?猜想：AA ′，BB ′CC ′，DD ′的数量关系会怎样变化?并进行证明.分析：(1)分解基本图形为平行四边形和直角梯形.从结论考虑，从形式上联想到梯形中位线定理，连结AC，BD交于O，并作OO′l′与 O′.(2)总结证明线段和差、倍、分关系的常用方法.(3)直线l向上平移运动，与ABCD的位置关系还会出现两种情况，如图4-116(b)，(c).(4)对于推广后的两种情况，可通过添加辅助线化归为利用图4-116(a)中结果，也可类比原题(a)中的方法，再次证明：图4-116(b)中，CC′-AA′=BB′+DD′；图4-116(c)中，｜CC′-AA′｜=｜BB′-DD′｜.三、师生共同小结1.基本方法.(1)利用基本图形结构使知识系统化；(2)证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问题，直线垂直、平行关系的方法；(3)利用变换思想添加辅助线的方法；(4)探求解题思路时的分析、综合法.2.基本思想及观点：(1)“特殊——一般——特殊”认识事物的方法；(2)集合、方程、分类讨论及化归的思想；(3)用类比、运动的思维方法推广命题.四、作业1.已知：如图4-117，Rt△ABC中，ㄥACB的平分线交对边于E，交斜边上的高AD于G，过G作FGCB交AB于F.求证：AE=BF.2.如图4-118，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E，F和G分别为OB，CD，OA中点，ㄥAOD=60°.求证：△EFG是等边三角形.3.已知：如图4-119，梯形ABCD中，DCAB，ㄥA+AB=90°，M，N分别为CD，AB点.求证：MN=12(AB-CD).4.已知：梯形ABCD，ADBC，AB=DC，AD:BC=5:ㄥA，ㄥD的平分线都与BC相交，且两交点把BC 三等分.若梯形周长为57cm.求梯形中位线长.(答：233cm 或10209cm) 5.(1)如图4-120，P 为正方形，ABCD 内一点，PA:PB:PC=1:2:3，求ㄥAPB 的度数；(答：135°)(2)已知：如图4-121正方形ABCD 内点E 到A ，B ，C 三点的距离之和的最小值为62.求此正方形的边长；(答：2)(提示：(1)将△APB 绕B 点顺时针旋转90°，得△CQB ，将分散的三条线段PA ，PB ，PC 集中到一起，连结PQ ，在△PBQ 和△PQC 中计算角度.(2)如图4-121，用旋转的方法，把△ABE 绕B 点旋转60°，得到△FBG ，可证△BEG 为等边三角形.并将EA+EB+EC 转化为FG+GE+EC ，从而找到最小值为FC 的长，利用列方程的方法求得边长为2.)6.如图4-122，ABCD 是矩形纸片，E 为AB 上一点，BE:EA=5:3，EC=155，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设这个点为F.问AB ，BC 的长各是多少?(答：2430)。
菱形的性质菱形的定义：1、 叫做菱形。
2、举出生活中的菱形例子有哪些？3、通过阅读P97，你能用几种方法得到菱形呢？请动手试试（分别用平移平行四边形的一边和剪纸的方法）4、观察你所得到的菱形，回答问题○1、平行四边形和菱形的包含关系如何？标写在下图○2、平行四边形的性质菱形是否同样也具有？ 由此得出，菱形的对边 ，对角 ，对角线菱形是 对称图形。
○3、菱形还具有平行四边形没有的性质吗？ 观察你所得到的菱形它是轴对称图形吗？它有 条对称轴。
分别是 。
○4、根据你折叠的过程中发现，还有哪些线段和角是相等的？如下图，填空：菱形的四条边之间有什么样的关系 菱形的对角线有什么关系：你能证明上面的结论吗？如图：已知菱形ABCD,求证：AB=CD=AD=BC 证明：（提示，菱形的定义可以直接用）如图：已知菱形ABCD求证：AC ⊥BD ，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8证明C以上经过证明的结论可以作为菱形的性质定理：1、2、用符号语言表示：∵∴【当堂训练】1．已知菱形的周长为16cm ，则菱形的边长为_____cm ．2．已知四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，AC=8cm ，DB=6cm ，•菱形的边长是多少？变:1：已知菱形的边长是5cm ，一条对角线长为8cm ，则另一条对角线长为多少？（直接写答案）变式2：菱形ABCD 的周长为40cm ，两条对角线AC ：BD=3:4，那么对角线AC=______cm ，BD=______cm ．（写过程）3．如图 ，四边形ABCD 是菱形，∠BAD=120°，AB=12cm ，则∠ABC 的度数为_____，•∠DAC 的度数为____；对角线BD=_______，AC=_______CC第二部分：1、如图：菱形ABCD中，边长为20cm，∠ABC=60°，用两种方法求出菱形ABCD 的面积。
练习：1、已知菱形对角线长分别为12cm和16cm，求此菱形的高CC。
北师大版八年级数学（上）第四章四边形性质探索教学分析与建议一、教材特点在有了七（上）《丰富多彩的图形世界》、七（下）《平行线和相交线》、《生活中的轴对称》作为基础后，对四边形的研究也就顺理成章地出现在八（上）之中。
在对几何证明的要求淡化和多样化后，教材在考虑中学生的年龄特点和认知水平后，形式化和格式化的内容已较少出现。
而更多的是强调内容的现实情境，考虑学生现有的生活经验，要求学生在数学活动中的积极参与和主动探索。
在对“说理”的要求上，强调合情推理，也就是说不管学生用什么方法，只要是有道理的都可以，体现了以人为本的人文精神。
二、本章知识结构丰富的情境三、关于评价（1）注重对学生课前准备、动手操作、观察、猜想、探究等活动过程的评价。
注重在活动中参与的态度以及对问题的解决能力的评价。
比如在第一节《平行四边形的性质》中，开始就要求学生剪纸并进行拼接。
我们关注的是学生能否按要求剪下三角形，并按要求拼四边形；与同伴能否积极地交流，从交流中能否有自己的发现；关注学生是否在与同伴交流的同时进行比较和论证，是否能用自己的语言描述结论。
（2）在具体的情景中，注重学生对知识的理解以及把知识转化为应用的能力。
比如在第二节《平行四边形的判定》中，对判定平行四边形的几种方法，决不能让学生去死记硬背，而应在用木条钉做的四边形教具的帮助下，让学生通过观察之后去发现在何种条件下才能得到一个平行四边形。
要让学生试着用语言或用自己的文字表达方式来描述这些判断的过程。
然后教师再和学生一起分析例1就水到渠成了。
（3）关注学生对图形的直观感受的同时，更要重视学生的推理意识和能力。
教材对几何推理的淡化，并非是放弃。
而是对这种能力的培养也是呈螺旋上升的。
在关注学生动手能力的同时，教师要抓住时机对一些结果加以必要的推理论证。
四、关于对本章概念的处理本章涉及到的概念比较多，所以让学生理解并掌握这些概念尤为重要。
本章的概念呈现的方式大都是结合图形直接给出。
第四章四边形性质探索复习（3课时）教案一、学习目标1、进一步通过运用图形的变换，探索图形特征与性质的过程，体验数学发现的过程，并得出正确的结论．2、对平行四边形的原有认识基础上，探索并掌握平行四边形的特征与性质，学会一些简单的识别方法．3、探索并掌握几种特殊平行四边形的概念和各自所具有的特殊性质，并学会识别这些特殊的图形．4、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系．5、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力．二、学习重点、难点与考点透视1、重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形的概念、性质与判定；掌握其概念、特征与判定，并能应用这些知识是学好本章的关键．2、难点：平行四边形与各种特殊的平行四边形之间的联系与区别．中考热点：本章内容是中考重点之一，如特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际问题．中考中常以选择题、填空题、解答题和证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等，这都成了热点题型，应引起同学们高度关注．三、知识总结与梳理（一）四边形的“全家福”（二）知识要点1、平行四边形（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）平行四边形的性质：①平行四边形的邻角互补，对角相等；②平行四边形的对边平行且相等；③平行四边形的对角线互相平分；④平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；⑤若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积；（⑥两平行线间的距离处处相等）（3）平行四边形的判定方法：①定义：两组边分别平行的四边形是平行四边形；②判定方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④判定方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤判定方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2、矩形（1）矩形的定义——有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质：具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形；又是中心对称图形，还是旋转对称图形；（3）、矩形的判定方法：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②判定方法1：有三个角是直角的四边形是矩形；③判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形．3、菱形（1）菱形的定义——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形．（3）菱形的判定方法：①定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②判定方法1：四条边都相等的四边形是菱形；③判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4、正方形（1）正方形定义——有一组邻边相等并且有一个角的平行四边形叫做正方形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形．（2）正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．边——四边相等、邻边垂直、对边平行；角——四角都是直角；对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；是轴对称图形，有4条对称轴．（3）正方形的判定方法：①根据定义；②一组邻边相等的矩形是正方形；③一个角是直角的菱形是正方形．5、梯形（1）梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形（2）梯形的性质及其判定：梯形是特殊的四边形所以具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断．（3）等腰梯形的性质和判定：①性质：等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．②判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形．（4）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（5）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．③“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形．④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题分割、拼接转化三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现．6、多边形的内外角和与外角和： n 边形内角和等于（n －2）·180°；任意多边形的外角和都等于360°．7、平面图形的密铺：对于正多边形来说，只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺．一般三角形、一般四边形有的也可以密铺．8、中心对称图形：如果一个图形绕着它的中心点旋转180°能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心，图形上对称点的连线被对称中心平分；中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形． 四、主要思想方法小结1 、转化思想（又叫化归思想）：转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：（1）四边形问题转化为三角形问题来处理．（2）梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理．2 、代数法（计算法）： 代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法．3 、变换思想：即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题． 五、应注意的几个问题1、不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形，不要用性质代替了判别．解题时不能想当然，更不要忽视重要步骤．2、在判别一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法，认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生．3、判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽略了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定认识要清．4、纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵．5、复习时，依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，注意对问题的观察、分析与总结． 六、典型例题解析例1 如图，已知平行四边形ABCD ，AE 平分∠DAB 交DC 于E ，BF 平分∠ABC 交DC 于F ，DC=6cm ，AD=2cm ，求DE 、EF 、FC 的长．例2 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，AB ＝7，BC ＝12，求∠B 的度数．例3 如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？例4已知梯形ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，现要求添加一个条件．例如AD ＝BC ，使梯形ABCD 是等腰梯形，那么除了AD ＝BC 外，还可添加一个什么条件，能使梯形ABCD 是等腰梯形？甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件． 甲：∠A ＝∠B ；乙：∠B ＋∠D ＝180°；丙∠A ＝∠D ；丁：梯形是轴对称图形．你认为哪些同学的条件符合要求？理由是 ．你能另外添加一个其他的条件，使梯形ABCD 是等腰梯形吗？例5 如图（1），正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ，且B 、C 、E 在一直线上，连接BG 、DE ． （1）请你猜测BG 、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和DE 是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．例6 如图，在菱形ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，BD 与AE 、AF 分别相交于G 、H ．求证：△ABE ≌△ADF ；例7 如图，已知在□ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，BE ＝DF ，点G 、H 分别在BA 和DC 的延长线上，且AG ＝CH ，连接GE 、EH 、HF 、FG ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．ADC B GEHF。
ABCD ABCD
［师］大家用几何语言表示出平行四边形的定义，很好，下面同学们做一做
ABCD
ABCD ABCD
在这里应用了定义来判定一个四边形是平行四边形
［师］我们再来看图形(例2的图)，线段AC是点
ABCD
过程：学生分析、探讨，通过交流活动得证此命题结论.
(通过本题的论证使学生懂得：平行四边形的性质、等边三角形的性质及判定.另外需注意：DC与CE不在同一条直线上)
板书设计
这个题也可以用文字语言表达：
四边形ABDE的一组对边AB、ED平行且相等，所以四边形
(二)课本P
习题4.3，2.
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(2)当点D在线段BC上的中点处时，四边形板书设计。
