2014北京各区高三一模解析几何部分选编

2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)1 (2014年东城一模理科)若双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）．A ．2 BCD答案：C2 (2014年西城一模理科)若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =___8__；C 的准线方程为__4x =-___．3 (2014年西城一模理科) “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（A ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ B ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >5 (2014年海淀一模理科)已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m ____34___．6 (2014年朝阳一模理科) 直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且MN ON ≥+uuu r r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m的取值范围是（D ）A．(-UB．(⎡--⎣UC ．[2,2]-D．[-7 (2014年朝阳一模理科)双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =2此双曲线的离心率为8 (2014年丰台一模理科)已知点F,B 分别为双曲线C:的焦点和虚22221(0,0)x y a b a b -=>>轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.9 (2014年石景山一模理科)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（D ） A ．2B ．8C D ．410 (2014年石景山一模理科) 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（A ）A B ．3C ．125D ．111 (2014年顺义一模理科)已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为____(1,0)_,点的横坐标__3_.12 (2014年延庆一模理科)设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m=___16___1． 13 (2014年东城一模理科) （本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l 的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，， 得12229262x x k x k +==-+，12623262y y y k +==+． 由BM BN =，知BQ MN ⊥，所以6611y x k +=-，即2231162962k k k k ++=--+． 化简得223k =，满足0>△．所以k = 因此直线l的方程为32y =+． 14 (2014年西城一模理科)（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . …………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*） …… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-， …………10分解得2k =±. …………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分 即12||3||m x x k-==， 解得m =.……… 13分 验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y x =，或y x =. ……………… 14分 15 (2014年海淀一模理科)（本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0)．（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形． 解：（Ⅰ）设00(,)A x y ，00(,)-B x y ，————————————————1分因为∆ABM为等边三角形，所以00|||1|=-y x ．————————2分 又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，———————————3分 得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，—————————4分 当02=x时，||=AB 当043=-x时，||=AB ．———————————————————5分 {说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在．设直线AB ：=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，————6分由0∆>得到222960--<m k ①————————————7分 所以122623+=-+km x x k ，121224()223+=++=+my y k x x m k ，——————8分 所以2232(,)2323-++km mN k k，又(1,0)M 如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ，————————————9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，—————————————10分 化简2320k km ++=，②—————————————11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，————————————————13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形．——————————14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ==———8分 设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈-———————9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =，————————————11分 因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠．所以||||MA MB ≠，————————————————13分所以∆ABM 不可能为等边三角形．———————————————14分16 (2014年朝阳一模理科)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+， 所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(．………………………… 14分 17 (2014年丰台一模理科) 已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E 于C,D 两点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：点M 在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由题意可知，，于是. 所以，椭圆的标准方程为程.------ ---------3分（Ⅱ）设，，，22221(0)x y a b a b +=>>(F k l 40x ky +=l c e a ==c =2,1a b ==2214x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M xy即.所以，，，， 于是.，所以在直线上----8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等，若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为，则.因为，解得. 于是，解得，所以.----------------14分 18 (2014年石景山一模理科) 给定椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>，称圆心在原点O ，半C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值． 解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2222(41)1240k x x k +++-=12x x +=1202x x x +==00(y k x =+=M ∴40k +=M l 33(,)x y 302y y =22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩3y =2|41k k =+218k =4k =±（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，．………………………………7分 ，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =1l：x =与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =12l l ，垂直．………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=． 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=． 由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直．………………………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直． 121l l k k ⋅=-1l所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值．………………………………14分 19 (2014年顺义一模理科)已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分20 (2014年延庆一模理科) 已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值．解：（Ⅰ）．椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………3分（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，………………4分 从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ，………………7分 设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-，得2214182k k x +-=，………………8分 从而21414k k y +=，即)414,4182(222kkk k S ++-，………………9分 又)0,2(B ，故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -，………………11分 故kk MN 216||+=，………………12分 又∵0>k ，∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ，………………13分 当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立， ∴63=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32．……………………14分。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解析：i(2+i)12z i ==-+，所以对应的点在第二象限。

（2）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ 解析：1{|()1}{|0}2xA x x x =<=>，{|lg 0}{|1}B x x x x =>=>，所以A B = {|0x x > （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ） 3π（C ）32π （D ） 65π解析：22(2)()=a 2422cos(,)82ab b a b ⋅-+-=+⨯⨯-=-a +b a b ，所以a 与b 的夹角为3π。

（4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落 入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（A ） 14 （B ） 13 （C ） 25（D ）27解析：本题考查几何概率模型，先利用积分的方法计算阴影部分的面积，S=13401144x dx x ==⎰，所以答案为A. （5）在ABC △中，π4A =，BC ，则“AC =（第6题图）是“π3B =”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件解析：由正弦定理得sin sin a b A B =,解得B=π3B =或2π3B =， 所以答案为B.（6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）2（B ）2-（C ）4 （D ）4-解析：第一次循环s=8，i=2；第二次循环s=4，i=3；第三次循环s=-4，i=4；输出结果，答案为D 。

2014年北京西城区高三一模数学试题解析拿到西城一模数学试卷，隐隐觉得有点“不详”的预感。

通观全卷，感觉这份卷子出得有点让人哭笑不得。

【选择分析】8个选择，题型设计非常常规。

需要提一下的是第7题，一个函数应用题，此题的出现基本上和考试说明中提出的“考察实际能力”的精神是相符合的。

但其实，真要纠结于这一点的话，函数应用题，并不是一个特别生僻的点，即使把它勉强算成较少考察大的点，那么整张卷子，也没有第二道题出现了所谓的考察实际能力。

此题难度一般。

第8题，传统意义上的选择压轴。

题目本身没有设置特别大的难度，但是题干的用语却十分复杂纠结。

一个正四面体、任意一点到定点距离、距离构成的集合、集合元素还有限。

如果考生被这些或有用或无用的条件耽误太多时间，那么可能此题真的就成了一个难点。

但只要是有一个比较良好的审题习惯，并且对于高中的一百多知识点都非常熟悉，此题其实难度也没有想象中那么大。

【选择解读】逃离第八题本身的难度讨论，但是从第八题的出题方式也许能成为某种信号：绝对难度值降下来了，但是难度方式却发生了转移，更强调对于数学术语和数学逻辑的理解的考察。

如果命题者真是把这样的考察方式理解为考察数学思想。

那么本题的参考价值或许真的不小。

（当然，平心而论，笔者并不觉得这种出题方式和所谓的数学思想有多大关系，但或多或少，为数学思想提供了一个试题出口。

这个信号对于考生的价值其实还是比较大的。

）【填空分析】6个填空也没有太大的变化，平稳为主。

值得注意的是14题，和前面所说的第8题在某种程度上，如出一辙：绕！直角梯形，向量，内积加上莫名其妙的函数，或许会让部分学生有点晕头转向。

但其实，如果我们把这个题稍稍做调整，把函数换成“对应关系”四个字，也许晕的同学会减少不少，在很多同学考后给我的信息是：在考场上纠结函数大的解析式是什么纠结了很久，然后无果只能放弃。

这或许正式出题人的意图，用复杂的“条件们”去阻碍思路。

【填空解读】其实，14题算是一道好题，对于数学思想的考察明显比第8题要好很多。

12014年北京市各区高三一模试题分类汇编 03立体几何 (理科1 (2014年东城一模理科2 (2014年西城一模理科如图, 设 P 为正四面体 A BCD -表面 (含棱上与顶点不重合的一点, 由点 P 到四个顶点的距离组成的集合记为 M , 如果集合 M 中有且只有 2个元素,那么符合条件的点 P 有( C(A 4个(B 6个(C 10个(D 14个3 (2014年西城一模理科已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2,它的俯视图是一个边长为 2的正三角形,那么它的侧(左视图面积的最小值是__4 (20145 (2014______6 (2014年朝阳一模理科如图,在四棱锥 S ABCD -中, SB ⊥底面 ABCD .底面ABCD 为梯形,AB AD ⊥, AB ∥ CD , 1, 3AB AD ==, 2CD =. 若点 E 是线段 AD 上的动点, 则满足 90SEC ∠=︒的点 E 的个数是 __2_7 (2014年丰台一模理科棱长为 2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是(B (A 143(B 4 (C 103 (D 38 (2014年石景山一模理科右图是某个三棱锥的三视图,其中主视图是等边三角形,左视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的体积是(B A . 12 B . 3 C .4 D . 69 (2014年顺义一模理科一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_________1 正视图侧视图俯视图111 侧视图俯视图主视图1主视图左视图俯视图ADC. P 俯视图主视图侧视图210 (2014年延庆一模理科右图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是 (AA . 3B . 34C . 1D . 3211 (2014年东城一模理科12 (2014年西城一模理科如图,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,底面 ABCD 和侧面 11BCC B 都是矩形, E 是 CD 的中点, 1D E CD ⊥, 22AB BC ==(Ⅰ求证:1⊥BC D E ; (Ⅱ求证:1B C // 平面 1BED ;(Ⅲ若平面 11BCC B 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为π3,求线段 1D E 的长度 . 13 (2014年海淀一模理科如图 1,在 Rt △ ABC 中,∠ACB =30°,∠ ABC =90°, D 为 AC 中点,AE BD ⊥于 E ,延长 AE 交 BC 于 F ,将∆ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD ⊥平面BCD ,如图 2所示.(Ⅰ求证:AE ⊥平面 BCD ; (Ⅱ求二面角 A – DC – B 的余弦值.(Ⅲ在线段 AF 上是否存在点 M 使得 //EM 平面 ADC ?若存在,请指明点 M 的位置;若不存在,请说明理由.14 (2014年朝阳一模理科如图 , 四棱锥 P ABCD -的底面为正方形 , 侧面 PAD ⊥底面A B C D . PAD △为等腰直角三角形,且 PA AD ⊥. E , F 分别为底边 AB 和侧棱 PC 的中点.(Ⅰ求证:EF ∥平面 PAD ;(Ⅱ求证:EF ⊥平面 PCD ;(Ⅲ求二面角 E PD C --的余弦值.15 (2014年丰台一模理科如图,在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 点 E 是棱 AB 上的动点 . (Ⅰ求证:DA1⊥ ED1 ;(Ⅱ若直线 DA1与平面 CED1成角为 45o ,求AEAB的值; (Ⅲ写出点 E 到直线 D1C 距离的最大值及此时点 E 的位置(结论不要求证明 .主视图侧(左视图俯视图3主视图左视图俯视图1E BCAD FA E BCDPF316 (2014年石景山一模理科如图, 正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是 2,D 是AC 的中点.(Ⅰ求证:1B C ∥平面 1A BD ;(Ⅱ求二面角1A BD A --的大小;(Ⅲ在线段 1AA 上是否存在一点 E , 使得平面 11B C E ⊥平面 1A BD ,若存在, 求出 AE 的长;若不存在,说明理由.17 (2014年顺义一模理科如图在四棱锥 P ABCD -中,底面 ABCD 是菱形, 060BAD ∠=, 平面 PAD ⊥平面 ABCD , 2PA PD AD ===, Q 为 AD 的中点, M 是棱PC 上一点,且 13PM PC =. (Ⅰ求证:PQ ⊥平面 ABCD ; (Ⅱ证明:PA ∥平面 BMQ (Ⅲ求二面角 M BQ C --的度数 .18 (2014年延庆一模理科在四棱锥 ABCD P -中, ⊥PA 平面 ABCD , 底面ABCD 是正方形,且 2==AD PA , F E , 分别是棱 PC AD , 的中点. (Ⅰ求证://EF 平面PAB ; (Ⅱ求证:⊥EF 平面 PBC ; (Ⅲ求二面角 D PC E --的大小.2014年北京市各区高三一模试题汇编 --立体几何 (理科答案1. ;2. C ; 3.; 4. 96 ; 5. 13, ; 6. 2 ; 7. B ; 8. B ; 9. ; 10. A ;11. 吧A 1A 1B1CC DFDM Q A C412(Ⅰ证明:因为底面 ABCD 和侧面 11BCC B 是矩形, 所以 BC CD ⊥, 1BC CC ⊥,又因为 1=CDCC C ,所以 BC ⊥平面11DCC D , ……………… 2分因为 1D E ⊂平面 11DCC D , 所以1BC D E ⊥. ………… 4分(Ⅱ证明 :因为 1111//, BB DD BB DD =,所以四边形 11D DBB 是平行四边形 .连接 1DB 交 1D B 于点 F ,连接 EF , 则 F 为 1DB 的中点 . 在1∆B CD 中,因为 DE CE =, 1DF B F =,所以1//EF B C . …………… 6分又因为 1⊄B C 平面 1BED , ⊂EF 平面1BED ,所以 1//BC 平面1BED . ……… 8分 (Ⅲ解 :由(Ⅰ可知 1BC D E ⊥, 又因为1D E CD ⊥, BCCD C =,所以 1D E ⊥平面 A BCD . ……………… 9分设 G 为 AB 的中点,以 E 为原点, EG , EC , 1ED如图建立空间直角坐标系, 设 1D E a =,则 1(0,0,0, (1,1,0, (0,0,, E B D a C 设平面1BED 法向量为 (, , x y z =n ,因为1(1,1,0, (0,0, EB ED a ==,由 10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0, 0.x y z +=⎧⎨=⎩令 1x =,得 (1,1,0 =-n . ………… 11分设平面 11BCC B 法向量为111(, , x y z =m ,因为1(1,0,0, (1,1, CB CB a ==,由 10, 0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得 11110, 0.x x y az =⎧⎨++=⎩令 11z =,得 (0,,1 a =-m . ………… 12分由平面 11BCC B 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为π3, 得||π|cos , |cos 3⋅<>===m n m n m n , …………… 13分解得1a =. ……………… 14分13(Ⅰ因为平面 ABD ⊥平面 BCD ,交线为 BD ,又在ABD ∆中, AE BD ⊥于 E , AE ⊂平面 ABD所以 AE ⊥平面 BCD . ———————————————— 3分 (Ⅱ由(Ⅰ结论AE ⊥平面 BCD 可得 AE EF ⊥. 由题意可知 EF BD ⊥,又 AE ⊥BD .如图, 以 E 为坐标原点, 分别以 , , EF ED EA 所在直线为 x 轴, y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 E xyz -—— 4分不妨设 2AB BD DC AD ====,则1BE ED ==. 由图 1条件计算得, AE =BC =BF =则 (0,0,0,(0,1,0,(0,1,0, 3E D B AF C -——————— 5分,0, (0,1, DC AD ==.由 AE ⊥平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA . ——————— 6分设平面 ADC 的法向量为 (, , x y z =n ,则 0, 0. DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即 0,0.y y +==⎪⎩令 1z =,则 1y x ==,所以 (11 =-n . —————————— 8分平面 DCB 的法向量为 EA 所以 cos , ||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ,所以二面角 A DC B --————————————— 9分 (Ⅲ设AM AF λ=,其中[0,1]λ∈.由于 AF =, 所以AM AF λλ==,其中[0,1]λ∈———————————— 10分5所以,0,(13EM EA AM λ⎛=+=-⎝———————————— 11分由 0EM ⋅=n ,即 03λ=-(1-——— 12分解得3=(0,14λ∈. ———— 13分所以在线段 AF 上存在点M 使 EM ADC ∥平面 ,且34AM AF =. ———————— 14分 14(Ⅰ证明:取 PD 的中点 G ,连接 FG , AG .因为 F , G 分别是 PC , PD 的中点,所以 FG 是△ PCD 的中位线. 所以 FG ∥ CD , 且 12FG CD =.又因为 E 是 AB 的中点,且底面 ABCD 为正方形,所以 1122AE AB CD ==,且 AE ∥ CD .所以 AE ∥ FG ,且 AE FG =.所以四边形 AEFG 是平行四边形 . 所以 EF ∥ AG .又 EF ⊄平面 PAD , AG ⊂平面 PAD ,所以 EF 平面PAD . ………………… 4分 (Ⅱ证明 :因为平面 PAD ⊥平面 A B C D , PA AD ⊥,且平面 PAD I 平面 ABCD AD =,所以 PA ⊥平面 ABCD .所以 PA AB ⊥, PA AD ⊥. 又因为 ABCD 为正方形, 所以 AB AD ⊥,所以 , , AB AD AP 两两垂直.以点 A 为原点,分别以 , , AB AD AP 为 , , x y z 轴,建立空间直角坐标系(如图 .由题意易知 AB AD AP ==,设 2AB AD AP ===,则(0,0,0A , (2,0,0B , (2,2,0C , (0,2,0D , (0,0,2P , (1,0,0E , (1,1,1F .因为 (0,11EF =uu u r , , (022 PD =-u u u r , , , (200 CD =-uu u r , , , 且 (0,11(0,2,2 0EF PD ⋅=⋅-=u u u r u u u r, , (0,11(2,00 0EF CD ⋅=⋅-=u u u r u u u r, ,所以 EF PD ⊥, EF CD ⊥.又因为 PD , CD 相交于 D ,所以 EF ⊥平面PCD . …………… 9分(Ⅲ易得 (102 EP =-uu r , , , (0,22 PD =-u u u r, .设平面 EPD 的法向量为 (, , x y z =n ,则 0,0. EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuruu u r n n 所以 20, 220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即 2, . x z y z =⎧⎨=⎩令 1z =,则 (2,1,1=n .由(Ⅱ可知平面 PCD 的法向量是 (0,11EF =uu u r, , 所以 cos , EFEF EF⋅〈〉===⋅uu u r uu u r n n n E PD C --的大小为锐角,所以二面角 E PD C --. ………… 14分 15. 解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则D(0,0,0,A(1, 0, 0 , B(1,1,0, C(0,1,0,D1(0,1,2,A1(1,0,1,设E(1,m,0(0≤m≤ 1(Ⅰ证明:1(1,0,1 DA =, 1(1, ,1 ED m =-- 111(1 0( 110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=所以 DA1⊥ED1. ----4分 (Ⅱ设平面 CED1的一个法向量为 (, , v x y z =, 则100v C D v C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,而 1(0,1,1 CD =-, (1, 1,0 CE m =-所以 0, (1 0, y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取 z=1,得 y=1,x=1-m, 得(1,1,1 v m =-.因为直线 DA1与平面 CED1成角为 45o ,所以 1sin45|cos , |DA v ︒=<> 所以11||||||DA v DA v ⋅=⋅2=,解得 m=12.-----11分 (Ⅲ点 E 到直线 D1C E 在 A 点处 .------14分 16(Ⅰ证明:连结 1AB 交 1A B 于 M ,连结 1B C DM ,, 因为三棱柱 111ABC A B C -是正三棱柱, 所以四边形 11AA B B 是矩形,所以 M 为 1A B 的中点.因为 D 是 AC 的中点,MA1A1B1CBCD所以 MD 是三角形 AB1C 的中位线，…………………………2 分所以 MD ∥B1C ．…………………………3 分因为平面 A 1C ∥平面 A 1BD ， B 1C 平面 A 1BD ，所以 B 1BD ．……………4 分（Ⅱ）解：作于 O ，所以平面 ABB1 A 1，所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系．因为， AA ， D 是 AC 的中点．，3 ，…………………12 分，，，解得，又，即所以存在点 E ，使得平面平面A ．…………………………14 分 1BD 且令，则， y1， 0 ，， 0， 0 ， C(0 ，，所以 A(1，0 …………5 分 0 3 ， A1 (1，3 ， z 所以 D( ， 0 ，，， 0， 1 2 3 2 3 2 3 ，， 3 ，0 ．设， y， z 是平面 A1BD 的法向量，，， 2 所以即，， D B1 y OA A1 令，则，， x 结 BD ， Q 底面 ABCD 是菱形，且，所以，， 2 3 是平面 A1BD 的一个法向量．……………6 分由题意可知 AA 0 是平面 ABD 的一个法向量，………7 分 1 ， 3 ，．………………8 分所以二面角A ．…………………………9 分的大小为 3 x， 0 ，则，3 ， 3 ，，，（Ⅲ）设 E (1，所以，设平面 B1C1E 的法向量， y1 ， z1 ，所以即是等边三角形，由（Ⅰ）平面以 Q 为坐标原点，QA, QB, QP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系则 Q (0, 0, 0, A(1, 0, 0, B(0, 3, 0, P(0, 0, 3 .————10 分设平面 BMQ 的法向量为，，，，，，注意到 MN ∥ PA 6，解得是平面 BMQ 的一个法向量——12 分（Ⅰ）证明：设 G 是 PB 的中点，连接 AG, GF ∵ E , F 分别是 AD, PC 的中点，∴ GF // 1 1 BC ， AE // BC 2 2 ∴ GF // AE ，∴ AEFG 是平行四边形，∴ EF // AG ………………2 分∵平面平面 PAB ，∴EF // 平面PAB ………………3 分（Ⅱ）∵，∴PB ，………………4 分∵，∴，又∵，∴ BC 平面 PAB ，∴，………………6 分∵ PB 与 BC 相交，∴平面 PBC ，∴平面 PBC ．………………7 分（Ⅲ）以 AB, AD, AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，…8 分∵，∴ E (0,1,0 ， C (2,2,0 ， P(0,0,2 ， F (1,1,1 设 H 是 PD 的中点，连接 AH ∵平面PBC ，∴同理可证平面 PCD ，∴ AH 是平面 PCD 的法向量，(0,1,1 ………………9 分，设平面 PEC 的法向量，则∴令，则∴分．………………13 分∴| ∴二面角 E 的大小为分 7。

2014年高三一模汇编——解析几何一、填空题1.（2014杨浦一模理2文2）若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示). 【答案】3arctan2.（2014杨浦一模理5文5）双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.【答案】33.（2014杨浦一模理13）设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是 ． 【答案】95 4.（2014松江一模理6文8）将直线1l ：30x y +-=绕着点(1,2)P 按逆时针方向旋转45︒后得到直线2l ，则2l 的方程为 ．【答案】2y =5.（2014松江一模理9文10）若圆222(0)x y R R +=>和曲线||||134x y +=恰有六个公共点，则R 的值是 ． 【答案】36.（2014松江一模理12文13）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30o，则C 的渐近线方程为 ．【答案】y =7.（2014嘉定一模理7文7）已知双曲线（，）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．【答案】8.（2014嘉定一模理11文12）在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之和等于，则到原点距离的最小值为_________．12222=-by a x 0>a 0>b 021=b a x y 342=1222=-y x P 03=-y x 03=+y x 4P【答案】9.（2014嘉定一模理12文13）设集合，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________． 【答案】 10.（2014普陀一模理文5）若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】111.（2014普陀一模理文7）已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 . 【答案】812.（2014奉贤一模理8）已知定点()0,4A 和圆2x ＋2y ＝4上的动点B ，动点()y x P ,满足2=+，则点P 的轨迹方程为 ；【答案】()1222=+-y x（2014奉贤一模文8）已知定点()0,4A 和圆2x ＋2y ＝4上的动点B ，点()y x P ,是线段AB 的中点，则点P 的轨迹方程为 ；【答案】()1222=+-y x13.（2014闸北一模理文2）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则．【答案】614.（2014闸北一模理文5）已知直线的一个法向量，其中，则的倾斜角为 ．【答案】 15.（2014闸北一模理10）设曲线：，则曲线所围封闭图形的面积为_______．22}1)4(),{(22=+-=y x y x A }1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B t ∅≠B A I a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0204522=-y x px y 22==p l ()b a n ,=0>ab l ⎪⎭⎫⎝⎛-+b a arctan πC )(32222y x y x +=++C【答案】（2014闸北一模文10）由曲线所围成的封闭图形的面积为_______． 【答案】16.（2014虹口一模理文5）双曲线19422=-y x 的焦点到渐近线的距离等于 ． 【答案】317.（2014虹口一模理文9）已知椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，一个顶点的坐标为)2,0(，则此椭圆方程为 ．【答案】14822=+y x 18.（2014青浦一模理文1）在直角坐标系中，到点)0,1(和直线1-=x 距离相等的点的轨迹方程是 ； 【答案】x y 42=19.（2014青浦一模理文13）已知直角坐标平面上任意两点),(),(2211y x Q y x P 、，定义 121212121212||||||(,)||||||x x x x y y d P Q y y x x y y --≥-⎧=⎨--<-⎩，，为Q P 、两点的“非常距离”．当平面上动点),(y x M到定点(,)A a b 的距离满足||3MA =时，则(,)d M A 的取值范围是 ；【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡3223， 20.（2014金山一模理文13）如图，已知直线063-4:=+y x l ，抛物线x y C 4:2=图像上的一个动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是 ． 【答案】121.（2014宝山一模理文9）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点与抛物线x y 1042=的焦点重合，则双曲线的标准方程为 ．38332+πy x y x +=+222+π【答案】2219y x -=22.（2014徐汇一模理5文6）直线()1:330l a x y ++-=与直线()2:5340l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数a= . 【答案】2-23.（2014徐汇一模理9文10）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m= . 【答案】41-24.（2014徐汇一模理10文12）在平面直角坐标系中，动点P 和点M(-2,0)、N(2,0)满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，则动点P(x,y)的轨迹方程为 .【答案】x y 82-=25.（2014闵行一模理文6）已知双曲线2221(0)k x y k -=>的一条渐近线的法向量是(1,2)，那么k = ． 【答案】1226.（2014闵行一模理文12）设i j r r、依次表示平面直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，且2a i a j -+-=r r r r 2a i +r r的取值范围是 ．【答案】⎤⎥⎣⎦27.（2014崇明一模理文3）直线12+=y x 的一个法向量可以是 ． 【答案】()1,2-28.（2014崇明一模理文12）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别是21,F F ，设P 是双曲线右支上一点，21F F 在P F 1上的投影的大小恰好为1F P u u u r ，且它们的夹角为54arccos ，则双曲线的渐近线方程为 ．【答案】y =±29.（2014静安一模理文10）设某抛物线mx y =2的准线与直线1=x 之间的距离为3，则该抛物线的方程为 .【答案】x y 82=或x y 162-=30.（2014静安一模理12）已知椭圆142:22=+y x C 的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆C 上一点)2,1(P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB ，分别交椭圆C 于A 、B 两点.则直线AB 的斜率为 . 【答案】231.（2014静安一模文11）椭圆C 的焦点在x 轴上，焦距为2，直线l :01=--y x 与椭圆C 交于A 、B 两点，F 1是左焦点，且B F A F 11⊥，则椭圆C 的标准方程是 .【答案】1313222=+++y x32.（2014静安一模理13）若圆6)()(:22=-+-b y a x M 与圆5)1()1(:22=+++y x N 的两个交点始终为圆5)1()1(:22=+++y x N 的直径两个端点，则动点),(b a M 的轨迹方程为 . 【答案】1)1()1(22=+++b a33.（2014静安一模文14）设与圆1)1()1(22=-+-y x 相切的直线l 经过两点),0(),0,(b B a A ,其中a>2,b>2,O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为 . 【答案】322+二、选择题1．（2014奉贤一模理文17）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内接三角形ABC （顶点A 、B 、C 都在椭圆上）的边,AB AC 分别过椭圆的焦点1F 和2F ，则ABC ∆周长（ ）（A ）总大于6a （B ）总等于6a （C ）总小于6a （D ）与6a 的大小不确定 【答案】C2．（2014奉贤一模理文18）设双曲线22*(1)1()nx n y n N -+=∈上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim n n d →+∞的值为（ ）第17题图（A（B ）12（C ） 0 （D ）1【答案】A3．（2014闸北一模理文12）在平面内，设，为两个不同的定点，动点满足：（为实常数），则动点的轨迹为【 】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．不确定 【答案】A4.（2014青浦一模理文16）直线2(1)210a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是（ ） A. ]4,0[πB. ]2,4[ππ C. ]43,4[ππD. ),43[]4,0[πππY【答案】C5.（2014金山一模理文18）已知有相同两焦点21F F 、的椭圆221(1)x y m m +=>和双曲线221(0)x y n n-=>，点P 是它们的一个交点，则21ΔPF F 面积的大小是（ ）． （A ）21 （B ）22 （C ）1 （D ）2 【答案】C6.（2014宝山一模理文18）记()1X xy =，00A D T A E D E F ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，1x X y ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程0='X XT 表示的曲线只可能是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 【答案】C7.（2014徐汇一模理15）直线()0,0bx ay ab a b +=<<的倾斜角是---------------------（ ） (A) arctan a b π- (B) arctan b a π- (C) arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (D) arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B（2014徐汇一模文16）直线()0,0bx ay ab a b +=<<的倾斜角是-------------------------（ ）A B P 2k PB PA =⋅k P(A) arctan a b π- (B) arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) arctan b a π- (D) arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C8.（2014崇明一模理文18）已知圆O 的半径为1，PA PB ，为该圆的两条切线，A B 、为两切点，那么⋅的最小值等于.........................................................( )A ．24+-B ．23+-C ．224+-D ．223+- 【答案】D9.（2014静安一模理15）“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 互相垂直”的( )A ．充要条件；B ．充分不必要条件；C ．必要不充分条件；D ．既不充分也不必要条件. 【答案】B三、解答题1.（2014杨浦一模理21）（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． （1）求抛物线Γ方程；（2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？【答案】（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分 同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分“蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8 ……14分（2014杨浦一模文21）（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． （1）求抛物线Γ方程； （2）求证：αα2sin )1(cos 2+=AF ． 【答案】（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……8分 所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……11分 解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……14分2.（2014杨浦一模理22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.已知椭圆Γ：2214x y +=. （1）椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠ ① 证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ② 若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；（2）若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程. 【答案】（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23,∴直线AM 的方程为y=121+-x m,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……4分 据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m---+-++===---++23,4m m +- ∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, 令x=0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++Θ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分 (2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ22251043243k k k k +=⇒=⇒=+时等号成立,此时直线110:1l y x =-……16分（2014杨浦一模文23）（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分8分.已知椭圆Γ：2214x y +=. （1）椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠ ① 用m 表示点F E ,的坐标；② 若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；（2）若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程. 【答案】（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12)，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为k 1=m21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y=121+-x m,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ ……4分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分 (2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……15分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =- ……18分3.（2014松江一模理20文20）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分过椭圆1222=+y x 的左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点． （1）求1AO AF ⋅u u u r u u u r的范围；（2）若OA OB ⊥u u u r u u u r，求直线l 的方程．【答案】（1）易知1,1,2===c b a ∴)0,1(1-F ， …………1分设),(11y x A ，则221111AO AF x x y ⋅=++u u u r u u u r ……………………… 3分∵122121=+y x ∴222211*********(1)222AO AF x x y x x x ⋅=++=++=++u u u r u u u r ………5分 ∵]2,2[1-∈x ∴11[,22]2AO AF ⋅∈+u u u r u u u r ， ……………………… 6分(2)设A 、B 两点的坐标为11(,)A x y 、22(,)B x y①当l 平行于y 轴时，点2(1,)2A -、2(1,)2B --，此时102OA OB ⋅=≠u u u r u u u r ……8分 ②当l 不平行于y 轴时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为(1)y k x =+，由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 2222(12)4220k x k x k +++-= ………………… 9分2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+ ………………… 11分 22212121212(1)()OA OB x x y y k x x k x x k ⋅=+=++++u u u r u u u r=22222(1)12k k k -+⋅+22224012k k k k-⋅+=+ 得 22k =，2k =±………… 13分 故所求的直线方程为2(1)y x =±+ ………… 14分4.（2014松江一模理21文21）本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，相距200海里的A 、B 两地分别有救援A 船和B 船．在接到求救信息后，A 船能立即出发， B 船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A 船早于B 船到达的区域称为A 区，否则称为B 区．若在A 地北偏东45︒方向，距A 地1502海里处的M 点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．（1）求A 区与B 区边界线（即A 、B 两船能同时到达的点的轨迹）方程； （2）问：① 应派哪艘船前往救援？② 救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到0.1小时）【答案】⑴设点P 为边界线上的点，由题意知23030PA PB=+，即60PA PB -=， 即动点P 到两定点A 、B 的距离之差为常数，∴点P 的轨迹是双曲线中的一支。

PBCDA O2013年北京模拟真题--几何直线与圆(理)1 (2013海淀期末1-5).如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是（ ） Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅2 (2013西城期末2-10)．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______．3 (2013朝阳期末4-10). 如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P . 若23a PD =，30OAP ∠=︒，则AB =CP = （用a 表示）.4(2013海淀一模8-11).如图，AP 与O 切于点A ，交弦DB 的延长线于点P ， 过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=︒，3,4BC CP ==， 则弦DB 的长为_______.5 (2013西城一模10-12)．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延 长线上，PC 切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =，则圆O 的半径长为______；BP =______．6 （2013东城一模12-12）如图，已知PA 与圆O 相切于A ，半径 OC OP ⊥，AC 交PO 于B ，若1OC =,2OP =，则PA = ， =PB ．7（2013朝阳一模14-12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作 圆O 的切线交BA 的延长线于点D .若3CD =，2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的半径是E DAB O CPDCBPAOABCOPDBCOAOP DFE 8 (2013西城二模11-12)．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的 延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =， 2PB =，则CD =______．9 (2013东城二模13-12 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，且过点C 的割线C M N 交AB 的延长线于点D ，若CM MN ND ==，22AC =，则CM =________，AD =________．10 （2013朝阳二模15-11）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==，则tan COP ∠= ， △OBC 的面积是 ．11 (2013石景山期末6-10)．如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线 PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知1PA =，2AB =，3PO =，则圆O 的半径等于 ．12.（2013丰台一模16-11）．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ， 直线PO 交⊙O 于点E,F.若23,1PF PD =+=，则⊙O 的半 径为 ；EFD ∠= .13（2013丰台二模17-11）如图，已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若 AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______。

22ba ⋅2过点B(3，O)的直线L 与椭圆C 交于不同的两点M ，N.(I)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)求BN BM ⋅的取值范围；(Ⅲ)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为,AN AM k k 和求证：AN AM k k +为定值．19．（朝阳区2011本小题共14分）已知A （-2，0），B(2，O)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△APB 面积的最大值为.32（I ）求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直 线PF 的位置关系，并加以证明．19.（朝阳区2012本小题共14分）已知点A 是椭圆)0(19:22>=+t t y x C 的左顶点，直线)(1:R m my x l ∈+=与椭圆C 相交于E ，F 两点，与x 轴相交于点B.且当m=0时，△AEF 的面积为⋅316(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线AE ，AF 与直线x=3分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ，并请说明理由． 19．（朝阳区2012本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点E B A ),0,2(),0,2(-为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为⋅-21（I ）求动点E 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设过点F(l ，0)．的直线L 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ．若点P 在y 轴上，且|,|||PN PM = 求点P 的纵坐标的取值范围．19.（朝阳区2012本小题共14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为).0,2(),0,2(21F F -点M(l ，O)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(I)求椭圆C 的方程．(Ⅱ)已知点N 的坐标为(3，2)，点P 的坐标为m n m )(,().3=/过点M 任作直线Z 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为,,,321k k k 若,2231k k k =+试求m ，n 满足的关系式．19．（朝阳区2013本小题共14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F(l ，O)，短轴的端点分别为2121,,FB FB B B ⋅且.a -=(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点F 且斜率为)0(=/k k 的直线L 交椭圆于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D ，设弦MN 的中点为P ，试求||||MN DP 的取值范围．19.（朝阳区2013本小题共14分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点),23,1(离心率为,23点A 为其右顶点．过点B(l ，O)作直线L 与椭圆相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 与直线x=3分别交于点M ，N.(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)求FN FM ⋅的取值范围．19.（东城区2011本小题共14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的离心率为,22且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为,22斜率为)0(=/k k 的直线L 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点 M(O ，m)．(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)求m 的取值范围；(Ⅲ)试用m 表示△MPQ 的面积，并求面积的最大值． 19．（东城区2011本小题共13分）在平面直角坐标系“xoy 中，动点P 到定点)41,0(F 的距离比点P 到x 轴的距离大,41设动点P 的轨迹为曲线C ，直线1:+=kx y l 交曲线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N. (I)求曲线C 的方程；(Ⅱ)证明：曲线C 在点N 处的切线与AB 平行；(Ⅲ)若曲线C 上存在关于直线 L 对称的两点，求k 的取值范围．19.（东城区2012本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点)0,3(),0,3(-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线L 过点E （-1，O ）且与曲线C 交于A ，B 两点． (I)求曲线C 的轨迹方程．(Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时△AOB 的面积；若不存在，说明理由． 18.（东城区2012本小题共14分）已知抛物线M y x C ,4:2=为直线L:y= -1上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线 MA ，MB ，切点分别为A ，B ．(I)当M 的坐标为（Q ，-1）时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程； (Ⅱ)证明：以AB 为直径的圆恒过点M.19．（东城区201本小题共13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是,21其左、右顶点分别为B A A ,21、为短轴的端点，21BA A ∆的面积为.32 (I)求椭圆C 的方程；2)(F ∏为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于,1A 2A 的任意一点，直线P A p A 21,与直线x=4分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点⋅2F22b a 2),0(),0,(b B a A -的直线的距离是⋅554 (I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若椭圆C 上一动点),(00y x P 关于直线x y 2=的对称点为2121111),(y x y x P +求的取值范围； (Ⅲ)如果直线)0(1=/+=k kx y 交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．19.（东城区普通高中示范校2012本小题共14分）已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点A m A ),,21(点到抛物线焦点的距离为1． (I)求该抛物线的方程；(Ⅱ)设）00,(y x M 为抛物线上的一个定点，过M 作抛物 线的两条互相垂直的弦MP ，MQ.求证：PQ 恒过定点).,2(00y x -+(Ⅲ)直线01=++my x 与抛物线交于E ，F 两点，在抛物线上是否存在点N ，使得△NE F 为以EF 为斜边的直角三角形． 19．（东城区普通高中示范校2013本小题共14分）已知平面内一动点P 到点F(O ，1)的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1．(I)求动点P 的轨迹C 的方程； (Ⅱ)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线,21l l 、设1l 与轨迹C 相交于点2,,l B A 与轨迹C 相交于点D ，E ，求EB AD .的最小值．18.（东城区普通高中示范校2013本小题共13分）椭圆T 的中心为坐标原点0，右焦点为F(2，0)，且椭圆T 过点).2,2(E △ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设三条边的中点分别为M ，N ，P ． (I)求椭圆T 的方程．(Ⅱ)设△ABC 的三条边所在直线的斜率分别为,,21k k ,3k 且.3,2,1,0==/i k i 若直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为0，求证：321111k k k ++为定值． 19.（丰台区2011本小题共14分）已知抛物线).0(2:2>=P Py x P(I)若抛物线上的点M(m ，幻到焦点F 的距离为3． (i)求抛物线P 的方程；(ii)设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程；(Ⅱ)设过焦点F 的动直线L 交抛物线于A ，B 两点，连接 AO ，BO 并延长分别交抛物线的准线于C ，D两点．求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．点p 的轨迹为W. (I)求W 的方程；(Ⅱ)直线1+=kx y 与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点M(m ，O)，使得||||DM CM =成立，求实数m 的取值范围．19．（丰台区2012本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点)4,(0x P 到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线L 与抛物线C 交于A ，B 两点．（I ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；(Ⅱ)若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点(M ，N 位于直线L 两侧)，当四边形AMBN 为菱形时，求直线L 的方程．19.（丰台区2012本小题共14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为,22且经过点M(-2，O)．（I ）求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设直线m kx y i +=:与椭圆C 相交于),,(11y x A ),(22y x B 两点，连接MA ，MB 并延长交直线4=x 于P ，Q 两点，设Q P y y ,分别为点P ，Q 的纵坐标，且,111121QP y y y y +=+求证：直线L 过定点． 19.（丰台区2013本小题共14分）已知椭圆14:22=+y x C 的短轴的端点分别为A ，B ，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，其中点)21,(m M 满足,0=/m 且.3±=/m（I ）求椭圆C 的离心率P ； (Ⅱ)用m 表示点E ，F 的坐标；(Ⅲ)若△BME 的面积是△A MF 面积的5倍，求m 的值．19.（丰台区2013本小题共13分）已知以原点为对称中心，F(2，O)为右焦点的椭圆C 过),2,2(P 直线)0(:=/+=k m kx y l 交椭圆C 于不同的两点A ，B ．（I ）求椭圆C 的方程．(Ⅱ)是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q(0，3)?若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请 说明理由．19.（海淀区2011本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，y)，M(x ，-4)，以线段PM 为直径的圆经过原点O.（I ）求动点P 的轨迹W 的方程；(Ⅱ)过点E(O ，-4)的直线L 与轨迹W 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为,/A 试判断直线B A /是否恒过一个定点，并证明你的结论．19.（海淀区2011本小题共14分）已知椭圆)0(1.:2222>>=+b a b y a x C 经过点),23,1(M其离心率为⋅21 (I)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)设直线)21|(|:≤+=k m kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形 OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，0为坐标原点，求 ∣OP ∣的取值范围．19.（海淀区2012本小题共14分）已知点E(2，2)是抛物线Px y C 2:2=上一点，经过点(2，O)的直线L与抛物线C 交于A ，B 两点(不同于点E)，直线EA ，EB 分别交直线x=-2于点 M,N ． (I)求抛物线方程及其焦点坐标；(Ⅱ)已知0为原点，求证：∠MON 为定值．18.（海淀区2012本小题共13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F(l ，O)，且点)22,1(-在椭圆C 上．(I)求椭圆C 的标准方程．(Ⅱ)已知动直线L 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得167-=⋅QB QA 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.19.（海淀区2012本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为P F ,)0,1(.1-为椭圆G 的上顶点，且.451 =∠O PF（I ）求椭圆G 的标准方程；(Ⅱ)已知直线11:m kx y l +=与椭圆G 交于A ，B 两点，直线)(:2122m m m kx y l =/+=与椭圆G 交于C ，D 两点，且|,|||CD AB =如图所示． (i)证明：;021=+m m(ii)求四边形ABCD 的面积S 的最大值．19.（海淀区2013本小题共14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为o60的菱形的四个顶点． (I)求椭圆M 的方程．(Ⅱ)直线L 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点),21,0(-求△AOB(O 为原点)面积的最大值．19.（石景山区2011本小题共13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点),21,26(P 离心率为,22动点).0)(,2(>t t M （I ）求椭圆的标准方程；(Ⅱ)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程；(Ⅲ)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．19．（石景山区2012本小题共13分）已知椭圆)0(1.2222>>=+b a by a x 右顶点与右焦点的距离为,13-短轴长为.22（I ）求椭圆的方程；(Ⅱ)过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为,423求直线AB 的方程． 19.（石景山区2013本小题共14分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为,21F F 、E顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足,211F F BF =且⋅⊥2AF AB (I)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)若过2F B A 、、三点的圆与直线033:=--y x l 相切，求椭圆C 的方程；（皿）在(Ⅱ)的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线L 与椭圆C 交于M 、N 两点，线段MN 的中垂线与x 轴相交于点P(m ，0)，求实数m 的取值范围．19.（西城区2011本小题共14分）已知椭圆)0(1:222>>=+b a by a x M L 的离心率为,322且椭圆上一点(I)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)设直线L 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△.ABC 的面积的最大值． 19.（西城区2011本小题共14分）已知抛物线)0(22>=P Px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限． (I)求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切； (Ⅱ)若22121],21,41[,,λλλλλ求∈==FA BF AP FA 的取值范围． 19.（本小题共14分）如图，已知抛物线x y 42=的焦点为 F.过点P(2，O)的直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．(I)求21y y 的值；(Ⅱ)记直线MN 的斜率为,1k 直线AB 的斜率为⋅2k 证明：21k k 为定值．18.（西城区2012本小题共13分）已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(I)若⋅=,2FB AF 求直线AB 的斜率；(Ⅱ)设点M 在线段AB 上运动，原点0关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．19．（西城区2012本小题共14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为,35定点M(2，0)，椭圆短轴的端点是,,21B B 且⋅⊥21MB MB(I)求椭圆C 的方程．(Ⅱ)设过点M 且斜率不为O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分∠APB?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．18．（西城区2013本小题共13分）如图，椭圆)10(1:22<<=+m m y x C 的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称． (I)若点P 的坐标为),534,59(求m 的值；(Ⅱ)若椭圆C 上存在点M ，使得OP ⊥OM ，求m 的取值范围．19.（2009年北京本小题共14分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为,3右准线方程为⋅=33x(I)求双曲线C 的方程；(Ⅱ)设直线L 是圆2:22=+y x O 上动点0000),(y x y x P <)0=/处的切线，L 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，证明∠AOB 的大小为定值．19.（2010年北京本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点 A(-l ，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于⋅-31 (I)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ，N ， 问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．19．（（2011年北京本小题共14分）已知椭圆.14:22=+y x G 过点(m ，O)作圆122=+y x 的切线L 交椭圆G 于A ，B 两点．(I)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(Ⅱ)将||AB 表示为m 的函数，并求∣AB ∣的最大值．19.（2012年北京本小题共14分）已知曲线8)2()5(:22=-+-y m x m C ).(R m ∈(I)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值 范围；(Ⅱ)设m=4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B(点A 位于点B 的上方），直线4+=kx y 与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1=y 与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线．19．（2013年北京本小题满分14分）已知A ，B ，C 是椭圆14:22=+y x W 上的三个点，0是坐标原点．(I)当点B 是w 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时， 求此菱形的面积；(Ⅱ)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．。

2014年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，1），＝（﹣5，1），若（+k）∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．﹣3．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2 4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为（）A．44B．16C．256D．log3165．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 6．（5分）“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．78．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+2y﹣4＝0上，则p＝；C的准线方程为．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．12．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．13．（5分）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是．（用数字作答）14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设＝x，＝y，对于函数y＝f（x），给出以下三个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．16．（13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆W：＝1，直线l与W相交于M，N两点，l与x 轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1＝0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．2014年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵A＝（0，2]，B＝（﹣∞，1），∴A∪B＝（﹣∞，2]，∵全集为U＝R，∴∁U（A∪B）＝（2，+∞）．故选：C．2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，1），＝（﹣5，1），若（+k）∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．﹣【解答】解：∵＝（2，﹣1），＝（1，1），∴，又＝（﹣5，1），且（+k）∥，∴1×（2+k）﹣（﹣5）×（k﹣1）＝0，解得：k＝．故选：B．3．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2【解答】解：点（2，）在直角坐标系下的坐标为（2，2），即（0，2）∴过点（0，2）且与x轴平行的直线方程为y＝2．即为ρsinθ＝2．故选：D．4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为（）A．44B．16C．256D．log316【解答】解：若a＝2，则log3a＝log32＞4不成立，则a＝22＝4，若a＝4，则log3a＝log34＞4不成立，则a＝42＝16，若a＝16，则log3a＝log316＞4不成立，则a＝162＝256若a＝256，则log3a＝log3256＞4成立，输出a＝256，故选：C．5．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 【解答】解：对于任意x∈R，f（x）满足f（x）＝f（﹣x），则函数f（x）是偶函数，选项中，A，B显然是奇函数，C，D为偶函数，又对于任意x∈R，f（x）满足f（x﹣π）＝f（x），则f（x+π）＝f（x），即f（x）的最小正周期是π，选项C的最小正周期是2π，选项D的最小正周期是＝π，故同时满足条件的是选项D．故选：D．6．（5分）“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程﹣＝1表示双曲线，则（m﹣10）（m﹣8）＞0，即m＞10或m＜8．∴“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的充分而不必要条件，故选：A．7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n＝2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n＝＝n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n＝11n﹣（n2+n）﹣9＝﹣n2+10n﹣9＝﹣（n﹣5）2+16，∴当n＝5时，S n取得最大值16，故选：B．8．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6＝10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．【解答】解：∵，又＝x+yi，∴，∴，则x+y＝．故答案为：．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+2y﹣4＝0上，则p＝8；C 的准线方程为x＝﹣4．【解答】解：直线x+2y﹣4＝0，令y＝0，可得x＝4，∴＝4，∴p＝8，C的准线方程为x＝﹣4故答案为：8；x＝﹣4．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．【解答】解：∵正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，故它的侧（左）视图一定是一个高为2的矩形，当侧（左）视图的底面为俯视图的高时侧（左）视图面积最小，此时侧（左）视图面积S＝2×＝故答案为：12．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是（3，5）．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y＝a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a＝3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a＝1+4＝5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）13．（5分）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是48．（用数字作答）【解答】解：采用捆绑及内部调整法，把三对师生看成三个整体，每对师生都有2种排列顺序，故不同的排法种数为A33×2×2×2＝6×8＝48．故答案为：48．14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设＝x，＝y，对于函数y＝f（x），给出以下三个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是②③．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵＝x，（0≤x≤1）．∴＝（﹣2，0）+x（1，a）＝（x﹣2，xa），∴＝＝（0，a）﹣（x﹣2，xa）＝（2﹣x，a﹣xa）∴y＝f（x）＝＝（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）＝（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．①当a＝2时，y＝f（x）＝5x2﹣8x+4＝，∵0≤x≤1，∴当x＝时，f（x）取得最小值；又f（0）＝4，f（1）＝1，∴f（x）max＝f（0）＝4．综上可得：函数f（x）的值域为．因此①不正确．②由y＝f（x）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可得：∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立，因此②正确；③由y＝f（x）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0＝．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x＝0时，函数f（x）取得最大值4．当时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）＝4，f（1）＝1，∴f（x）max＝f（0）＝4．因此③正确．综上可知：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2＝a2+bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝，又A∈（0，π），∴A＝；（Ⅱ）∵cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝＝，由正弦定理＝，得a＝＝3，∵b2+c2＝a2+bc，即4+c2＝9+2c，整理得：c2﹣2c﹣5＝0，解得：c＝1±，∵c＞0，∴c＝+1，＝bc sin A＝．则S△ABC16．（13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）a＝1﹣0.10﹣0.35﹣0.15﹣0.25＝0.15，b＝200﹣20﹣30﹣70﹣50＝30．…（2分）（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50＝1：2：1．…（4分）∴按分层抽样法，购买灯泡数n＝k+2k+k＝4k（k∈N*），∴n的最小值为4．…（6分）（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3．…（7分）由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15＝0.25，…（8分）从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，∴，，，．…（11分）∴随机变量X的分布列为：…（12分）∴X的数学期望．…（13分）（注：写出，，k＝0，1，2，3．请酌情给分）17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥CD，BC⊥CC1，又∵CD∩CC1＝C，∴BC⊥平面DCC1D1，…（2分）∵D1E⊂平面DCC1D1，∴BC⊥D1E．…（4分）（Ⅱ）证明：∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形D1DBB1是平行四边形．连接DB1交D1B于点F，连接EF，则F为DB1的中点．在△B1CD中，∵DE＝CE，DF＝B1F，∴EF∥B1C．…（6分）又∵B1C⊄平面BED1，EF⊂平面BED1，∴B1C∥平面BED1．…（8分）（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC⊥D1E，又∵D1E⊥CD，BC∩CD＝C，∴D1E⊥平面ABCD．…（9分）设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设D1E＝a，则E（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，a），C（0，1，0），B1（1，2，a），G（1，0，0）．设平面BED1法向量为＝（x，y，z），因为，由，得令x＝1，得＝（1，﹣1，0）．…（11分）设平面BCC1B1法向量为＝（x1，y1，z1），∵，∴由，得令z1＝1，得＝（0，﹣a，1）．…（12分）由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，得，…（13分）解得a＝1．∴线段D1E的长度是1．…（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得f'（x）＝（xlnx）'＝lnx+1，其中x＞0，…（2分）所以f'（1）＝1，又因为f（1）＝0，所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1．…（4分）（Ⅱ）先考察函数g（x）＝﹣x2+2x﹣3，x∈R的图象，配方得g（x）＝﹣（x﹣1）2﹣2，…（5分）所以函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，且g（x）＝g（1）＝﹣2．…（6分）max因为对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以a≤1．…（8分）以下考察函数h（x）＝xlnx，x∈（0，+∞）的图象，则h'（x）＝lnx+1，令h'（x）＝lnx+1＝0，解得．…（9分）随着x变化时，h（x）和h'（x）的变化情况如下：即函数h （x ）在上单调递减，在上单调递增，且．…（11分）因为对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，都有f （x 1）＜f （x 2）成立， 所以 ．…（12分）因为（即h （x ）min ＞g （x ）max ），所以a 的取值范围为．…（13分）19．（14分）已知椭圆W ：＝1，直线l 与W 相交于M ，N 两点，l 与x轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l 的方程为x +2y ﹣1＝0，求△OCD 外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）因为直线l 的方程为x +2y ﹣1＝0， 所以与x 轴的交点C （1，0），与y 轴的交点．…（1分）则线段CD 的中点，，…（3分）即△OCD 外接圆的圆心为，半径为， 所以△OCD 外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点． 理由如下：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx +m （km ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则，D （0，m ），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，…（7分）所以△＝16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|＝3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d＝b2﹣b1＜0．假设b1＝1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得，所以．因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以4d＝b5﹣b1＝b5﹣1＞﹣1，即．这与矛盾．所以假设不成立，即b1≠1．所以，因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以，即，综上，得．（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个m项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．设，且K，L互质，L≥2）．当K＝1时，因为，所以＝，所以．当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a＝K m﹣1×M（M∈N*），所以＝．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．。

2013年北京模拟训练--解三角形(理)1.（2013海淀一模8-12）在ABC ∆中，若4,2,a b ==1cos 4A =-，则__,s i n__.c C ==2.（2013海淀二模9-12）在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则_____;b = C _____.AB S ∆=3.（2013西城二模11-11）在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．4.（2013朝阳一模14-10）在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =, 则tan A = .5. (2013丰台期末5-13)．已知ABC ∆中，3AB =，1BC =，sin 3cos C C =，则ABC ∆ 的面积为 ．6. (2013石景山期末6--12）．在ABC ∆中，若2a =，60B ∠=︒，7b =，则BC 边上的高等于7.（2013石景山一模18-10)．在△ABC 中，若π,24B b a ∠==，则C ∠= ．8.（2013昌平期末11）在ABC △中，若22b =,1c =，tan 22B =，则a = . 9.（2013房山期末11）.在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，,13,3,3A a b π===则=c ，△ABC 的面积等于 . 10.（2013房山二模11）.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,.326a b A π===,,， 则tan B = .11（2013门头沟一模11）在∆ABC 中，若2a =，3c =，tan 15B =-，则b =12（2013顺义一模19-10）.在ABC ∆中,若815sin ,41cos ,4=-==A B b , 则=a ,=c .13（2013顺义二模20-10）.设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且5,4,31c o s ==∠=b B A π,则=C sin ,ABC ∆的面积=S . 14.（2013通州期末7）．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件15.(2013海淀期末1-15)已知函数21()3sin cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . （I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=3,1a b ==，求角C 的大小.16.(2013西城期末2-15)在△ABC 中，已知3sin 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．17（2013东城一模12-15)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 且sin 3cos b A a B =．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若23b =，求ac 的最大值．19.（2013朝阳二模15-15）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2()2cossin()sin 222A A A f A =π-+-2cos 2A（Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,612f A C a 5π===，求b 的值．20.（2013丰台二模17-15）．（本小题13分） 已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()3sin 2.B C A +=（Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S.21.(2013大兴一模24-15) 在∆A B C 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 5=A ，π4B =，2b =．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积．22.（2013房山一模15）.已知函数2()2cos 23sin cos 1f x x x x =+- （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()22Cf =且2c ab =，试判断△ABC 的形状．。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}02U x x =<<，集合{}01A x x =<≤，则集合U A =ð（ ）A.()0,1B.(]0,1C.()1,2D.[)1,22.已知平面向量()2,1a =-，()1,3b =，那么a b +等于（ ）A.5B.13C.17D.133.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心 率为（ ）A.2B.2C.3D.55=，故选D.考点：1.双曲线的几何性质；2.双曲线的离心率4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.2B.43C.4D.55.下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =-和()()f x f x π-=的函数是（ ）A.()sin f x x =B.()sin cos f x x x =C.()cos f x x =D.()22cos sin f x x x =-()22cos sin cos2f x x x x =-=，该函数是偶函数，且以π为最小正周期的周期函数，故选D.正(主)视图 俯视图 侧(左)视图 2 3 1 251考点：1.二倍角公式；2.三角函数的奇偶性与周期性6.设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在()0,+∞上是减函数”是“函数()32y a x =-在R 上是增函数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）A.4B.5C.6D.78.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A.4个B. 6个C.10个D.14个【答案】C【解析】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点P 到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有4个点，故选C.考点：新定义第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.设复数12i x yi i-=++，其中x 、y R ∈，则x y +=______.10.若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____. 4p =，此时抛物线的准线方程为2x =-.BAD C . P考点：抛物线的几何性质11.已知函数()3,01,01x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，若()02f x =，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，2b =，那么输出的a 值为______.【答案】256.【解析】试题分析：3log 24>不成立，执行第一次循环，224a ==； 3log 44>不成立，执行第二次循环，2416a ==；4333log 164log 3log 81>==不成立，执行第三次循环，216256a ==； 开始b a a =3log 4a >输出a结束 否 是 输入a , b33log 2564log 81>=成立，跳出循环体，输出a 的值为256，故选C.考点：算法与程序框图13.若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.范围是()3,5.考点：线性规划14.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()y f x =，则()1f =____； 函数()f x 的值域为_________.因为()()205080441f f =⨯-⨯+=>，因此()()max 04f x f ==， 所以函数()f x 的值域为4,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦. A BD CP考点：1.平面向量的数量积；2.二次函数三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果6cos 3=B ，2b =，求a 的值.考点：1.正弦定理与余弦定理；2.同角三角函数的基本关系16.（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品. 寿命（天） 频数 频率[)100,20010 0.05 [)200,30030 a [)300,400 70 0.35[)400,500 b 0.15[)500,60060 c 合计 200 1（1）根据频率分布表中的数据，写出a 、b 、c 的值；（2）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率； （3）某人从这批灯泡中随机地购买了()n n N *∈个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽．．．．．样．所得的结果相同，求n 的最小值.所以n 的最小值为10.考点：1.频率分布表；2.古典概型17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（1）求证：//AB 平面SCD ；（2）求证：SN ⊥平面ABCD ；（3）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ？若存在，求出SP PC的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，且12SP PC =. 所以 SN AD ⊥.又因为 AB AD A =，所以 SN ⊥平面ABCD .（3）如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连接PD 、PC . B CA D S N因为 SN ⊥平面ABCD ，所以FP ⊥平面ABCD . 又因为FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ， 所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ，此时12SP PC =. 考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.直线与平面垂直 18.（本小题满分13分）已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围. 【答案】（1）350x y --=；（2）(],1-∞-. 【解析】试题分析：（1）将2a =代入函数解析式，求出()1f '及()1f 的值，利用点斜式写出切线方程；（2）利用参数分离法将()2f x x >-+转化为2ln 2a x x x x <+-，构造新函数()2ln 2g x x x x x =+-，问题转化为()min a g x <来求解，但需注意区间()1,+∞端点值的取舍. 试题解析：（1）由()2ln f x x x =-，得()212f x x x'=+， 所以()13f '=， 又因为()12f =- ，B CA DSNFP所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为350x y --=；19.（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （1）求椭圆W 的方程.（2）设斜率为k 的直线l 与W 相交于A 、B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）利用题干中的已知条件分别求出a 、b 、c ，从而写出椭圆W 的方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆W 的方程联立，借助韦达定理求出弦长AB ，并求出原点到直线l 的距离d ，然后以AB 为底边，d 为高计算AOB ∆的面积，利用基本不等式验证1k =时和2k =时AOB ∆的验证知（*）成立；当2k =时，因为()22299AOB S m m ∆=-，20.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，()1n a n N n*=∈. 从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列.（1）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（2）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<；（3）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.【答案】（1）答案不唯一. 如3项子列：12、14、18；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据题中的定义写出一个3项子列即可；（2）根据定义得到11b ≤，利用数列{}n b 的定义与单调性得到0d >，然后由5140b b d =+>得到14d >-，从而证明104d -<<；（3）注意到数列{}n a 各项均为有理数，从而得到数列{}n c 的公比q 为正有理数，从而存在K 、L N *∈使得K q L=，并对K 是否等于1进行分类讨论，结合等比数列求和公式进行证明. 试题解析：（1）答案不唯一. 如3项子列：12、14、18； （2）由题意，知1234510b b b b b ≥>>>>>，所以 210d b b =-<. 因为 514b b d =+，11b ≤，50b >，所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-.543223*********M K K L K L K L KL L ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭. 因为 2L ≥，K 、*M N ∈，所以 2345123456111116312222232c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上，12345663 32c c c c c c+++++≤. 考点：1.新定义；2.等比数列求和。