2014北京各区高三一模解析几何部分选编
- 格式:doc
- 大小:359.11 KB
- 文档页数:3
2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)1 (2014年东城一模理科)若双曲线()2222100x y a b a b -=>>,的渐近线与圆()2221x y -+=相切,则双曲线的离心率为( ).A .2 BCD答案:C2 (2014年西城一模理科)若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上,则p =___8__;C 的准线方程为__4x =-___.3 (2014年西城一模理科) “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的(A ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件4 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ,点B 在曲线:G ln(1)y x =+上,若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ,则( B ).A .0a =B .1a =C .2a =D .2a >5 (2014年海淀一模理科)已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切,则=m ____34___.6 (2014年朝阳一模理科) 直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ,N ,且MN ON ≥+uuu r r uuu r,其中O 是坐标原点,则实数m的取值范围是(D )A.(-UB.(⎡--⎣UC .[2,2]-D.[-7 (2014年朝阳一模理科)双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2,则b =2此双曲线的离心率为8 (2014年丰台一模理科)已知点F,B 分别为双曲线C:的焦点和虚22221(0,0)x y a b a b -=>>轴端点,若线段FB 的中点在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率是___________.9 (2014年石景山一模理科)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为(D ) A .2B .8C D .410 (2014年石景山一模理科) 已知动点()P x y ,在椭圆22:12516x y C +=上,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为(A )A B .3C .125D .111 (2014年顺义一模理科)已知抛物线()的焦点为,准线为,为抛物线上一点,,垂足为.如果是边长为的正三角形,则此抛物线的焦点坐标为____(1,0)_,点的横坐标__3_.12 (2014年延庆一模理科)设m 是常数,若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点,则m=___16___1. 13 (2014年东城一模理科) (本小题共13分)已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -. (1)求椭圆G 的方程;(2)设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点,且||||BM BN =,求直线l 的方程.解:(Ⅰ)因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -,.所以1b =,由22111a ⎝⎭+=,得23a =. 所以椭圆G 的方程为2213x y +=.(Ⅱ)显然直线l 的斜率k 存在,且0k ≠.设直线l 的方程为32y kx =+.由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭,由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△,2512k >.设()11M x y ,,()22N x y ,,MN 中点为()22Q x y ,, 得12229262x x k x k +==-+,12623262y y y k +==+. 由BM BN =,知BQ MN ⊥,所以6611y x k +=-,即2231162962k k k k ++=--+. 化简得223k =,满足0>△.所以k = 因此直线l的方程为32y =+. 14 (2014年西城一模理科)(本小题满分14分)已知椭圆2212x W y +=:,直线l 与W 相交于,M N 两点,l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线l 的方程为210x y +-=,求OCD ∆外接圆的方程;(Ⅱ)判断是否存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点,若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.(本小题满分14分)(Ⅰ)证明:因为直线l 的方程为210x y +-=,所以与x 轴的交点(1,0)C ,与y 轴的交点1(0,)2D . …………… 1分则线段CD 的中点11(,)24,||CD ==, ………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24,半径为1||2CD =, 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分(Ⅱ)解:结论:存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下:由题意,设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠,11(,)M x y ,22(,)N x y , 则 (,0)mC k-,(0,)D m , ……… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=, ………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>, (*) …… 8分由韦达定理,得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点,得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-, …………10分解得2k =±. …………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点,得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分 即12||3||m x x k-==, 解得m =.……… 13分 验证知(*)成立.所以存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点,此时直线l 的方程为y x =,或y x =. ……………… 14分 15 (2014年海淀一模理科)(本小题满分14分)已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点,点M 的坐标为(1,0).(Ⅰ)当,A B 两点关于x 轴对称,且MAB ∆为等边三角形时,求AB 的长; (Ⅱ)当,A B 两点不关于x 轴对称时,证明:MAB ∆不可能为等边三角形. 解:(Ⅰ)设00(,)A x y ,00(,)-B x y ,————————————————1分因为∆ABM为等边三角形,所以00|||1|=-y x .————————2分 又点00(,)A x y 在椭圆上,所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ,———————————3分 得到2003280--=x x ,解得02=x 或043=-x ,—————————4分 当02=x时,||=AB 当043=-x时,||=AB .———————————————————5分 {说明:若少一种情况扣2分}(Ⅱ)法1:根据题意可知,直线AB 斜率存在.设直线AB :=+y kx m ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,AB 中点为00(,)N x y ,联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ,————6分由0∆>得到222960--<m k ①————————————7分 所以122623+=-+km x x k ,121224()223+=++=+my y k x x m k ,——————8分 所以2232(,)2323-++km mN k k,又(1,0)M 如果∆ABM 为等边三角形,则有⊥MN AB ,————————————9分所以1MN k k ⨯=-,即2222313123mk k km k+⨯=---+,—————————————10分 化简2320k km ++=,②—————————————11分由②得232k m k+=-,代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<,化简得2340+<k ,不成立,————————————————13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形.——————————14分法2:设11(,)A x y ,则2211239x y +=,且1[3,3]x ∈-,所以||MA ==———8分 设22(,)B x y,同理可得||MB =2[3,3]x ∈-———————9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以,有12x x =⇔||||MA MB =,————————————11分 因为,A B 不关于x 轴对称,所以12x x ≠.所以||||MA MB ≠,————————————————13分所以∆ABM 不可能为等边三角形.———————————————14分16 (2014年朝阳一模理科)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点,点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ,试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.解:(Ⅰ)由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得=2a ,1b =.所以椭圆C 的方程是2214x y +=.………………………… 4分(Ⅱ)以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2122814k x x k +=+,21224414k x x k -=+.又因为点M 是椭圆C 的右顶点,所以点(2,0)M .由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--,故点112(0,)2y P x --. 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--,故点222(0,)2y Q x --. 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ,则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立. 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ,2022(,)2y QN x x =-uuu r , 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立.又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+, 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+, 所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+.解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(.………………………… 14分 17 (2014年丰台一模理科) 已知椭圆E:的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交椭圆E 于A,B 两点,线段AB的中点为M,直线:交椭圆E 于C,D 两点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)求证:点M 在直线上;(Ⅲ)是否存在实数k,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由. 解:(Ⅰ)由题意可知,,于是. 所以,椭圆的标准方程为程.------ ---------3分(Ⅱ)设,,,22221(0)x y a b a b +=>>(F k l 40x ky +=l c e a ==c =2,1a b ==2214x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M xy即.所以,,,, 于是.,所以在直线上----8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等,若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍,则|DM|=3|CM|,因为|OD|=|OC|,于是M 为OC 中点,;设点C 的坐标为,则.因为,解得. 于是,解得,所以.----------------14分 18 (2014年石景山一模理科) 给定椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>,称圆心在原点O ,半C的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ,,其短轴上的一个端点到F(Ⅰ)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点,过点P 作椭圆的切线12l l ,交“准圆”于点M N ,. (ⅰ)当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时,求直线12l l ,的方程并证明12l l ⊥; (ⅱ)求证:线段MN 的长为定值. 解:(Ⅰ)21c a b ==∴=,,∴椭圆方程为2213x y +=,………………………………2分准圆方程为224x y +=.………………………………3分22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2222(41)1240k x x k +++-=12x x +=1202x x x +==00(y k x =+=M ∴40k +=M l 33(,)x y 302y y =22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩3y =2|41k k =+218k =4k =±(Ⅱ)(ⅰ)因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ,, 设过点(02)P ,且与椭圆相切的直线为2y kx =+, 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得22(13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切,所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=,解得1k =±,………………………………6分所以12l l ,方程为22y x y x =+=-+,.………………………………7分 ,12l l ∴⊥.………………………………8分(ⅱ)①当直线12l l ,中有一条斜率不存在时,不妨设直线1l 斜率不存在, 则1l:x =1l:x =与准圆交于点1)1)-, 此时2l 为1y =(或1y =-),显然直线12l l ,垂直; 同理可证当1l:x =12l l ,垂直.………………………………10分 ②当12l l ,斜率存在时,设点00()P x y ,,其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ,与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+, 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=, 因为22004x y +=,所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ,的斜率分别为12t t ,,因为12l l ,与椭圆相切, 所以12t t ,满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=, 所以121t t ⋅=-,即12l l ,垂直.………………………………12分 综合①②知:因为12l l ,经过点00(,)P x y ,又分别交其准圆于点M N ,,且12l l ,垂直. 121l l k k ⋅=-1l所以线段MN 为准圆224x y +=的直径,||4MN =, 所以线段MN 的长为定值.………………………………14分 19 (2014年顺义一模理科)已知椭圆的离心率,长轴的左右端点分别为,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设动直线与曲线有且只有一个公共点,且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点,使得以为直径的圆恒过定点,若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.解:(Ⅰ)由已知————2分,椭圆的方程为;————4分,即————10分,对满足恒成立,,故在轴上存在定点,使得以为直径的圆恒过定点.——14分20 (2014年延庆一模理科) 已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的左顶点A 和上顶点D ,椭圆C 的右顶点为B ,点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点,直线AS ,BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求线段MN 的长度的最小值.解:(Ⅰ).椭圆C 的方程为1422=+y x .………………3分(Ⅱ)直线AS 的斜率k 显然存在,且0>k ,故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ,………………4分 从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ,………………7分 设),(11y x S ,则22141416)2(k k x +-=⨯-,得2214182k k x +-=,………………8分 从而21414k k y +=,即)414,4182(222kkk k S ++-,………………9分 又)0,2(B ,故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -,………………11分 故kk MN 216||+=,………………12分 又∵0>k ,∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ,………………13分 当且仅当k k 216=,即63=k 时等号成立, ∴63=k 时,线段MN 的长度取得最小值为32.……………………14分。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试(理工类)2014.3(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 解析:i(2+i)12z i ==-+,所以对应的点在第二象限。
(2)已知集合1{|()1}2xA x =<,集合{|lg 0}B x x =>,则A B =(A ){|0}x x > (B ){|1}x x > (C ) {|1}{|0}x x x x >< (D ) ∅ 解析:1{|()1}{|0}2xA x x x =<=>,{|lg 0}{|1}B x x x x =>=>,所以A B = {|0x x > (3)已知平面向量a ,b 满足2==a b ,(2)()=2⋅--a +b a b ,则a 与b 的夹角为(A )6π (B ) 3π(C )32π (D ) 65π解析:22(2)()=a 2422cos(,)82ab b a b ⋅-+-=+⨯⨯-=-a +b a b ,所以a 与b 的夹角为3π。
(4)如图,设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤,向区域D 内随机投一点,且投入到区域内任一点都是等可能的,则点落 入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为(A ) 14 (B ) 13 (C ) 25(D )27解析:本题考查几何概率模型,先利用积分的方法计算阴影部分的面积,S=13401144x dx x ==⎰,所以答案为A. (5)在ABC △中,π4A =,BC ,则“AC =(第6题图)是“π3B =”的 (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件解析:由正弦定理得sin sin a b A B =,解得B=π3B =或2π3B =, 所以答案为B.(6)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为(A )2(B )2-(C )4 (D )4-解析:第一次循环s=8,i=2;第二次循环s=4,i=3;第三次循环s=-4,i=4;输出结果,答案为D 。
2014年北京西城区高三一模数学试题解析拿到西城一模数学试卷,隐隐觉得有点“不详”的预感。
通观全卷,感觉这份卷子出得有点让人哭笑不得。
【选择分析】8个选择,题型设计非常常规。
需要提一下的是第7题,一个函数应用题,此题的出现基本上和考试说明中提出的“考察实际能力”的精神是相符合的。
但其实,真要纠结于这一点的话,函数应用题,并不是一个特别生僻的点,即使把它勉强算成较少考察大的点,那么整张卷子,也没有第二道题出现了所谓的考察实际能力。
此题难度一般。
第8题,传统意义上的选择压轴。
题目本身没有设置特别大的难度,但是题干的用语却十分复杂纠结。
一个正四面体、任意一点到定点距离、距离构成的集合、集合元素还有限。
如果考生被这些或有用或无用的条件耽误太多时间,那么可能此题真的就成了一个难点。
但只要是有一个比较良好的审题习惯,并且对于高中的一百多知识点都非常熟悉,此题其实难度也没有想象中那么大。
【选择解读】逃离第八题本身的难度讨论,但是从第八题的出题方式也许能成为某种信号:绝对难度值降下来了,但是难度方式却发生了转移,更强调对于数学术语和数学逻辑的理解的考察。
如果命题者真是把这样的考察方式理解为考察数学思想。
那么本题的参考价值或许真的不小。
(当然,平心而论,笔者并不觉得这种出题方式和所谓的数学思想有多大关系,但或多或少,为数学思想提供了一个试题出口。
这个信号对于考生的价值其实还是比较大的。
)【填空分析】6个填空也没有太大的变化,平稳为主。
值得注意的是14题,和前面所说的第8题在某种程度上,如出一辙:绕!直角梯形,向量,内积加上莫名其妙的函数,或许会让部分学生有点晕头转向。
但其实,如果我们把这个题稍稍做调整,把函数换成“对应关系”四个字,也许晕的同学会减少不少,在很多同学考后给我的信息是:在考场上纠结函数大的解析式是什么纠结了很久,然后无果只能放弃。
这或许正式出题人的意图,用复杂的“条件们”去阻碍思路。
【填空解读】其实,14题算是一道好题,对于数学思想的考察明显比第8题要好很多。
12014年北京市各区高三一模试题分类汇编 03立体几何 (理科1 (2014年东城一模理科2 (2014年西城一模理科如图, 设 P 为正四面体 A BCD -表面 (含棱上与顶点不重合的一点, 由点 P 到四个顶点的距离组成的集合记为 M , 如果集合 M 中有且只有 2个元素,那么符合条件的点 P 有( C(A 4个(B 6个(C 10个(D 14个3 (2014年西城一模理科已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2,它的俯视图是一个边长为 2的正三角形,那么它的侧(左视图面积的最小值是__4 (20145 (2014______6 (2014年朝阳一模理科如图,在四棱锥 S ABCD -中, SB ⊥底面 ABCD .底面ABCD 为梯形,AB AD ⊥, AB ∥ CD , 1, 3AB AD ==, 2CD =. 若点 E 是线段 AD 上的动点, 则满足 90SEC ∠=︒的点 E 的个数是 __2_7 (2014年丰台一模理科棱长为 2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是(B (A 143(B 4 (C 103 (D 38 (2014年石景山一模理科右图是某个三棱锥的三视图,其中主视图是等边三角形,左视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的体积是(B A . 12 B . 3 C .4 D . 69 (2014年顺义一模理科一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_________1 正视图侧视图俯视图111 侧视图俯视图主视图1主视图左视图俯视图ADC. P 俯视图主视图侧视图210 (2014年延庆一模理科右图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是 (AA . 3B . 34C . 1D . 3211 (2014年东城一模理科12 (2014年西城一模理科如图,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,底面 ABCD 和侧面 11BCC B 都是矩形, E 是 CD 的中点, 1D E CD ⊥, 22AB BC ==(Ⅰ求证:1⊥BC D E ; (Ⅱ求证:1B C // 平面 1BED ;(Ⅲ若平面 11BCC B 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为π3,求线段 1D E 的长度 . 13 (2014年海淀一模理科如图 1,在 Rt △ ABC 中,∠ACB =30°,∠ ABC =90°, D 为 AC 中点,AE BD ⊥于 E ,延长 AE 交 BC 于 F ,将∆ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD ⊥平面BCD ,如图 2所示.(Ⅰ求证:AE ⊥平面 BCD ; (Ⅱ求二面角 A – DC – B 的余弦值.(Ⅲ在线段 AF 上是否存在点 M 使得 //EM 平面 ADC ?若存在,请指明点 M 的位置;若不存在,请说明理由.14 (2014年朝阳一模理科如图 , 四棱锥 P ABCD -的底面为正方形 , 侧面 PAD ⊥底面A B C D . PAD △为等腰直角三角形,且 PA AD ⊥. E , F 分别为底边 AB 和侧棱 PC 的中点.(Ⅰ求证:EF ∥平面 PAD ;(Ⅱ求证:EF ⊥平面 PCD ;(Ⅲ求二面角 E PD C --的余弦值.15 (2014年丰台一模理科如图,在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 点 E 是棱 AB 上的动点 . (Ⅰ求证:DA1⊥ ED1 ;(Ⅱ若直线 DA1与平面 CED1成角为 45o ,求AEAB的值; (Ⅲ写出点 E 到直线 D1C 距离的最大值及此时点 E 的位置(结论不要求证明 .主视图侧(左视图俯视图3主视图左视图俯视图1E BCAD FA E BCDPF316 (2014年石景山一模理科如图, 正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是 2,D 是AC 的中点.(Ⅰ求证:1B C ∥平面 1A BD ;(Ⅱ求二面角1A BD A --的大小;(Ⅲ在线段 1AA 上是否存在一点 E , 使得平面 11B C E ⊥平面 1A BD ,若存在, 求出 AE 的长;若不存在,说明理由.17 (2014年顺义一模理科如图在四棱锥 P ABCD -中,底面 ABCD 是菱形, 060BAD ∠=, 平面 PAD ⊥平面 ABCD , 2PA PD AD ===, Q 为 AD 的中点, M 是棱PC 上一点,且 13PM PC =. (Ⅰ求证:PQ ⊥平面 ABCD ; (Ⅱ证明:PA ∥平面 BMQ (Ⅲ求二面角 M BQ C --的度数 .18 (2014年延庆一模理科在四棱锥 ABCD P -中, ⊥PA 平面 ABCD , 底面ABCD 是正方形,且 2==AD PA , F E , 分别是棱 PC AD , 的中点. (Ⅰ求证://EF 平面PAB ; (Ⅱ求证:⊥EF 平面 PBC ; (Ⅲ求二面角 D PC E --的大小.2014年北京市各区高三一模试题汇编 --立体几何 (理科答案1. ;2. C ; 3.; 4. 96 ; 5. 13, ; 6. 2 ; 7. B ; 8. B ; 9. ; 10. A ;11. 吧A 1A 1B1CC DFDM Q A C412(Ⅰ证明:因为底面 ABCD 和侧面 11BCC B 是矩形, 所以 BC CD ⊥, 1BC CC ⊥,又因为 1=CDCC C ,所以 BC ⊥平面11DCC D , ……………… 2分因为 1D E ⊂平面 11DCC D , 所以1BC D E ⊥. ………… 4分(Ⅱ证明 :因为 1111//, BB DD BB DD =,所以四边形 11D DBB 是平行四边形 .连接 1DB 交 1D B 于点 F ,连接 EF , 则 F 为 1DB 的中点 . 在1∆B CD 中,因为 DE CE =, 1DF B F =,所以1//EF B C . …………… 6分又因为 1⊄B C 平面 1BED , ⊂EF 平面1BED ,所以 1//BC 平面1BED . ……… 8分 (Ⅲ解 :由(Ⅰ可知 1BC D E ⊥, 又因为1D E CD ⊥, BCCD C =,所以 1D E ⊥平面 A BCD . ……………… 9分设 G 为 AB 的中点,以 E 为原点, EG , EC , 1ED如图建立空间直角坐标系, 设 1D E a =,则 1(0,0,0, (1,1,0, (0,0,, E B D a C 设平面1BED 法向量为 (, , x y z =n ,因为1(1,1,0, (0,0, EB ED a ==,由 10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0, 0.x y z +=⎧⎨=⎩令 1x =,得 (1,1,0 =-n . ………… 11分设平面 11BCC B 法向量为111(, , x y z =m ,因为1(1,0,0, (1,1, CB CB a ==,由 10, 0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得 11110, 0.x x y az =⎧⎨++=⎩令 11z =,得 (0,,1 a =-m . ………… 12分由平面 11BCC B 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为π3, 得||π|cos , |cos 3⋅<>===m n m n m n , …………… 13分解得1a =. ……………… 14分13(Ⅰ因为平面 ABD ⊥平面 BCD ,交线为 BD ,又在ABD ∆中, AE BD ⊥于 E , AE ⊂平面 ABD所以 AE ⊥平面 BCD . ———————————————— 3分 (Ⅱ由(Ⅰ结论AE ⊥平面 BCD 可得 AE EF ⊥. 由题意可知 EF BD ⊥,又 AE ⊥BD .如图, 以 E 为坐标原点, 分别以 , , EF ED EA 所在直线为 x 轴, y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 E xyz -—— 4分不妨设 2AB BD DC AD ====,则1BE ED ==. 由图 1条件计算得, AE =BC =BF =则 (0,0,0,(0,1,0,(0,1,0, 3E D B AF C -——————— 5分,0, (0,1, DC AD ==.由 AE ⊥平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA . ——————— 6分设平面 ADC 的法向量为 (, , x y z =n ,则 0, 0. DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即 0,0.y y +==⎪⎩令 1z =,则 1y x ==,所以 (11 =-n . —————————— 8分平面 DCB 的法向量为 EA 所以 cos , ||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ,所以二面角 A DC B --————————————— 9分 (Ⅲ设AM AF λ=,其中[0,1]λ∈.由于 AF =, 所以AM AF λλ==,其中[0,1]λ∈———————————— 10分5所以,0,(13EM EA AM λ⎛=+=-⎝———————————— 11分由 0EM ⋅=n ,即 03λ=-(1-——— 12分解得3=(0,14λ∈. ———— 13分所以在线段 AF 上存在点M 使 EM ADC ∥平面 ,且34AM AF =. ———————— 14分 14(Ⅰ证明:取 PD 的中点 G ,连接 FG , AG .因为 F , G 分别是 PC , PD 的中点,所以 FG 是△ PCD 的中位线. 所以 FG ∥ CD , 且 12FG CD =.又因为 E 是 AB 的中点,且底面 ABCD 为正方形,所以 1122AE AB CD ==,且 AE ∥ CD .所以 AE ∥ FG ,且 AE FG =.所以四边形 AEFG 是平行四边形 . 所以 EF ∥ AG .又 EF ⊄平面 PAD , AG ⊂平面 PAD ,所以 EF 平面PAD . ………………… 4分 (Ⅱ证明 :因为平面 PAD ⊥平面 A B C D , PA AD ⊥,且平面 PAD I 平面 ABCD AD =,所以 PA ⊥平面 ABCD .所以 PA AB ⊥, PA AD ⊥. 又因为 ABCD 为正方形, 所以 AB AD ⊥,所以 , , AB AD AP 两两垂直.以点 A 为原点,分别以 , , AB AD AP 为 , , x y z 轴,建立空间直角坐标系(如图 .由题意易知 AB AD AP ==,设 2AB AD AP ===,则(0,0,0A , (2,0,0B , (2,2,0C , (0,2,0D , (0,0,2P , (1,0,0E , (1,1,1F .因为 (0,11EF =uu u r , , (022 PD =-u u u r , , , (200 CD =-uu u r , , , 且 (0,11(0,2,2 0EF PD ⋅=⋅-=u u u r u u u r, , (0,11(2,00 0EF CD ⋅=⋅-=u u u r u u u r, ,所以 EF PD ⊥, EF CD ⊥.又因为 PD , CD 相交于 D ,所以 EF ⊥平面PCD . …………… 9分(Ⅲ易得 (102 EP =-uu r , , , (0,22 PD =-u u u r, .设平面 EPD 的法向量为 (, , x y z =n ,则 0,0. EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuruu u r n n 所以 20, 220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即 2, . x z y z =⎧⎨=⎩令 1z =,则 (2,1,1=n .由(Ⅱ可知平面 PCD 的法向量是 (0,11EF =uu u r, , 所以 cos , EFEF EF⋅〈〉===⋅uu u r uu u r n n n E PD C --的大小为锐角,所以二面角 E PD C --. ………… 14分 15. 解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则D(0,0,0,A(1, 0, 0 , B(1,1,0, C(0,1,0,D1(0,1,2,A1(1,0,1,设E(1,m,0(0≤m≤ 1(Ⅰ证明:1(1,0,1 DA =, 1(1, ,1 ED m =-- 111(1 0( 110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=所以 DA1⊥ED1. ----4分 (Ⅱ设平面 CED1的一个法向量为 (, , v x y z =, 则100v C D v C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,而 1(0,1,1 CD =-, (1, 1,0 CE m =-所以 0, (1 0, y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取 z=1,得 y=1,x=1-m, 得(1,1,1 v m =-.因为直线 DA1与平面 CED1成角为 45o ,所以 1sin45|cos , |DA v ︒=<> 所以11||||||DA v DA v ⋅=⋅2=,解得 m=12.-----11分 (Ⅲ点 E 到直线 D1C E 在 A 点处 .------14分 16(Ⅰ证明:连结 1AB 交 1A B 于 M ,连结 1B C DM ,, 因为三棱柱 111ABC A B C -是正三棱柱, 所以四边形 11AA B B 是矩形,所以 M 为 1A B 的中点.因为 D 是 AC 的中点,MA1A1B1CBCD所以 MD 是三角形 AB1C 的中位线,…………………………2 分所以 MD ∥B1C .…………………………3 分因为平面 A 1C ∥平面 A 1BD , B 1C 平面 A 1BD ,所以 B 1BD .……………4 分(Ⅱ)解:作于 O ,所以平面 ABB1 A 1,所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系.因为, AA , D 是 AC 的中点.,3 ,…………………12 分,,,解得,又,即所以存在点 E ,使得平面平面A .…………………………14 分 1BD 且令,则, y1, 0 ,, 0, 0 , C(0 ,,所以 A(1,0 …………5 分 0 3 , A1 (1,3 , z 所以 D( , 0 ,,, 0, 1 2 3 2 3 2 3 ,, 3 ,0 .设, y, z 是平面 A1BD 的法向量,,, 2 所以即,, D B1 y OA A1 令,则,, x 结 BD , Q 底面 ABCD 是菱形,且,所以,, 2 3 是平面 A1BD 的一个法向量.……………6 分由题意可知 AA 0 是平面 ABD 的一个法向量,………7 分 1 , 3 ,.………………8 分所以二面角A .…………………………9 分的大小为 3 x, 0 ,则,3 , 3 ,,,(Ⅲ)设 E (1,所以,设平面 B1C1E 的法向量, y1 , z1 ,所以即是等边三角形,由(Ⅰ)平面以 Q 为坐标原点,QA, QB, QP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系则 Q (0, 0, 0, A(1, 0, 0, B(0, 3, 0, P(0, 0, 3 .————10 分设平面 BMQ 的法向量为,,,,,,注意到 MN ∥ PA 6,解得是平面 BMQ 的一个法向量——12 分(Ⅰ)证明:设 G 是 PB 的中点,连接 AG, GF ∵ E , F 分别是 AD, PC 的中点,∴ GF // 1 1 BC , AE // BC 2 2 ∴ GF // AE ,∴ AEFG 是平行四边形,∴ EF // AG ………………2 分∵平面平面 PAB ,∴EF // 平面PAB ………………3 分(Ⅱ)∵,∴PB ,………………4 分∵,∴,又∵,∴ BC 平面 PAB ,∴,………………6 分∵ PB 与 BC 相交,∴平面 PBC ,∴平面 PBC .………………7 分(Ⅲ)以 AB, AD, AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,…8 分∵,∴ E (0,1,0 , C (2,2,0 , P(0,0,2 , F (1,1,1 设 H 是 PD 的中点,连接 AH ∵平面PBC ,∴同理可证平面 PCD ,∴ AH 是平面 PCD 的法向量,(0,1,1 ………………9 分,设平面 PEC 的法向量,则∴令,则∴分.………………13 分∴| ∴二面角 E 的大小为分 7。
2014年高三一模汇编——解析几何一、填空题1.(2014杨浦一模理2文2)若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示). 【答案】3arctan2.(2014杨浦一模理5文5)双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y =,则b =________.【答案】33.(2014杨浦一模理13)设a ,b 随机取自集合{1,2,3},则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是 . 【答案】95 4.(2014松江一模理6文8)将直线1l :30x y +-=绕着点(1,2)P 按逆时针方向旋转45︒后得到直线2l ,则2l 的方程为 .【答案】2y =5.(2014松江一模理9文10)若圆222(0)x y R R +=>和曲线||||134x y +=恰有六个公共点,则R 的值是 . 【答案】36.(2014松江一模理12文13)设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若126PF PF a +=,且12PF F ∆的最小内角为30o,则C 的渐近线方程为 .【答案】y =7.(2014嘉定一模理7文7)已知双曲线(,)满足,且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的方程为______________.【答案】8.(2014嘉定一模理11文12)在平面直角坐标系中,动点到两条直线与的距离之和等于,则到原点距离的最小值为_________.12222=-by a x 0>a 0>b 021=b a x y 342=1222=-y x P 03=-y x 03=+y x 4P【答案】9.(2014嘉定一模理12文13)设集合,若存在实数,使得,则实数的取值范围是___________. 【答案】 10.(2014普陀一模理文5)若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x (*N n ∈)的距离为n d ,则=∞→n n d lim .【答案】111.(2014普陀一模理文7)已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ,若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,则△2ABF 的周长等于 . 【答案】812.(2014奉贤一模理8)已知定点()0,4A 和圆2x +2y =4上的动点B ,动点()y x P ,满足2=+,则点P 的轨迹方程为 ;【答案】()1222=+-y x(2014奉贤一模文8)已知定点()0,4A 和圆2x +2y =4上的动点B ,点()y x P ,是线段AB 的中点,则点P 的轨迹方程为 ;【答案】()1222=+-y x13.(2014闸北一模理文2)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则.【答案】614.(2014闸北一模理文5)已知直线的一个法向量,其中,则的倾斜角为 .【答案】 15.(2014闸北一模理10)设曲线:,则曲线所围封闭图形的面积为_______.22}1)4(),{(22=+-=y x y x A }1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B t ∅≠B A I a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0204522=-y x px y 22==p l ()b a n ,=0>ab l ⎪⎭⎫⎝⎛-+b a arctan πC )(32222y x y x +=++C【答案】(2014闸北一模文10)由曲线所围成的封闭图形的面积为_______. 【答案】16.(2014虹口一模理文5)双曲线19422=-y x 的焦点到渐近线的距离等于 . 【答案】317.(2014虹口一模理文9)已知椭圆的中心在原点,一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合,一个顶点的坐标为)2,0(,则此椭圆方程为 .【答案】14822=+y x 18.(2014青浦一模理文1)在直角坐标系中,到点)0,1(和直线1-=x 距离相等的点的轨迹方程是 ; 【答案】x y 42=19.(2014青浦一模理文13)已知直角坐标平面上任意两点),(),(2211y x Q y x P 、,定义 121212121212||||||(,)||||||x x x x y y d P Q y y x x y y --≥-⎧=⎨--<-⎩,,为Q P 、两点的“非常距离”.当平面上动点),(y x M到定点(,)A a b 的距离满足||3MA =时,则(,)d M A 的取值范围是 ;【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡3223, 20.(2014金山一模理文13)如图,已知直线063-4:=+y x l ,抛物线x y C 4:2=图像上的一个动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是 . 【答案】121.(2014宝山一模理文9)若双曲线的渐近线方程为x y 3±=,它的一个焦点与抛物线x y 1042=的焦点重合,则双曲线的标准方程为 .38332+πy x y x +=+222+π【答案】2219y x -=22.(2014徐汇一模理5文6)直线()1:330l a x y ++-=与直线()2:5340l x a y +-+=,若1l 的方向向量是2l 的法向量,则实数a= . 【答案】2-23.(2014徐汇一模理9文10)双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m= . 【答案】41-24.(2014徐汇一模理10文12)在平面直角坐标系中,动点P 和点M(-2,0)、N(2,0)满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r,则动点P(x,y)的轨迹方程为 .【答案】x y 82-=25.(2014闵行一模理文6)已知双曲线2221(0)k x y k -=>的一条渐近线的法向量是(1,2),那么k = . 【答案】1226.(2014闵行一模理文12)设i j r r、依次表示平面直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量,且2a i a j -+-=r r r r 2a i +r r的取值范围是 .【答案】⎤⎥⎣⎦27.(2014崇明一模理文3)直线12+=y x 的一个法向量可以是 . 【答案】()1,2-28.(2014崇明一模理文12)已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别是21,F F ,设P 是双曲线右支上一点,21F F 在P F 1上的投影的大小恰好为1F P u u u r ,且它们的夹角为54arccos ,则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y =±29.(2014静安一模理文10)设某抛物线mx y =2的准线与直线1=x 之间的距离为3,则该抛物线的方程为 .【答案】x y 82=或x y 162-=30.(2014静安一模理12)已知椭圆142:22=+y x C 的上、下焦点分别为1F 、2F ,过椭圆C 上一点)2,1(P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB ,分别交椭圆C 于A 、B 两点.则直线AB 的斜率为 . 【答案】231.(2014静安一模文11)椭圆C 的焦点在x 轴上,焦距为2,直线l :01=--y x 与椭圆C 交于A 、B 两点,F 1是左焦点,且B F A F 11⊥,则椭圆C 的标准方程是 .【答案】1313222=+++y x32.(2014静安一模理13)若圆6)()(:22=-+-b y a x M 与圆5)1()1(:22=+++y x N 的两个交点始终为圆5)1()1(:22=+++y x N 的直径两个端点,则动点),(b a M 的轨迹方程为 . 【答案】1)1()1(22=+++b a33.(2014静安一模文14)设与圆1)1()1(22=-+-y x 相切的直线l 经过两点),0(),0,(b B a A ,其中a>2,b>2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为 . 【答案】322+二、选择题1.(2014奉贤一模理文17)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内接三角形ABC (顶点A 、B 、C 都在椭圆上)的边,AB AC 分别过椭圆的焦点1F 和2F ,则ABC ∆周长( )(A )总大于6a (B )总等于6a (C )总小于6a (D )与6a 的大小不确定 【答案】C2.(2014奉贤一模理文18)设双曲线22*(1)1()nx n y n N -+=∈上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ,则lim n n d →+∞的值为( )第17题图(A(B )12(C ) 0 (D )1【答案】A3.(2014闸北一模理文12)在平面内,设,为两个不同的定点,动点满足:(为实常数),则动点的轨迹为【 】A .圆B .椭圆C .双曲线D .不确定 【答案】A4.(2014青浦一模理文16)直线2(1)210a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是( ) A. ]4,0[πB. ]2,4[ππ C. ]43,4[ππD. ),43[]4,0[πππY【答案】C5.(2014金山一模理文18)已知有相同两焦点21F F 、的椭圆221(1)x y m m +=>和双曲线221(0)x y n n-=>,点P 是它们的一个交点,则21ΔPF F 面积的大小是( ). (A )21 (B )22 (C )1 (D )2 【答案】C6.(2014宝山一模理文18)记()1X xy =,00A D T A E D E F ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,1x X y ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭,则方程0='X XT 表示的曲线只可能是( )(A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 【答案】C7.(2014徐汇一模理15)直线()0,0bx ay ab a b +=<<的倾斜角是---------------------( ) (A) arctan a b π- (B) arctan b a π- (C) arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (D) arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B(2014徐汇一模文16)直线()0,0bx ay ab a b +=<<的倾斜角是-------------------------( )A B P 2k PB PA =⋅k P(A) arctan a b π- (B) arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) arctan b a π- (D) arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C8.(2014崇明一模理文18)已知圆O 的半径为1,PA PB ,为该圆的两条切线,A B 、为两切点,那么⋅的最小值等于.........................................................( )A .24+-B .23+-C .224+-D .223+- 【答案】D9.(2014静安一模理15)“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 互相垂直”的( )A .充要条件;B .充分不必要条件;C .必要不充分条件;D .既不充分也不必要条件. 【答案】B三、解答题1.(2014杨浦一模理21)(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分 .某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦,且其焦点)1,0(F ,0=⋅,点E 为y 轴上一点,记α=∠EFA ,其中α为锐角. (1)求抛物线Γ方程;(2)如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求α的大小?【答案】(1) 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 (2) 设m AF =,则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以,)cos 1(4)sin (2ααm m +=-,既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分 同理: αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分“蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8 ……14分(2014杨浦一模文21)(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分 .某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦,且其焦点)1,0(F ,0=⋅BD AC ,点E 为y 轴上一点,记α=∠EFA ,其中α为锐角. (1)求抛物线Γ方程; (2)求证:αα2sin )1(cos 2+=AF . 【答案】(1) 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 (2) 设m AF =,则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……8分 所以,)cos 1(4)sin (2ααm m +=-,既04cos 4sin 22=--ααm m ……11分 解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……14分2.(2014杨浦一模理22)(本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分10分,第①问5分,第②问5分,第(2)小题满分6分.已知椭圆Γ:2214x y +=. (1)椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图),直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点,其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠,且3m ≠ ① 证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关; ② 若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍,求m 的值;(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程. 【答案】(1)①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12),且0m ≠, ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23,∴直线AM 的方程为y=121+-x m,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=,240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=,2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭; ……4分 据已知,20,3m m ≠≠,∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m---+-++===---++23,4m m +- ∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, 令x=0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =,∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++Θ 0m ≠,∴整理方程得22115119m m =-++,即22(3)(1)0m m --=,又有m ≠∴230m -≠, 12=∴m ,1m ∴=±为所求. ……10分 (2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ22251043243k k k k +=⇒=⇒=+时等号成立,此时直线110:1l y x =-……16分(2014杨浦一模文23)(本题满分18分)本题共有3个小题,第(1)小题满分10分,第①问5分,第②问5分,第(2)小题满分8分.已知椭圆Γ:2214x y +=. (1)椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图),直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点,其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠,且3m ≠ ① 用m 表示点F E ,的坐标;② 若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍,求m 的值;(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程. 【答案】(1)①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12),且0m ≠,∴直线AM 的斜率为k 1=m21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y=121+-x m,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=,240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ ……4分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=,2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭; ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =,∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠,∴整理方程得22115119m m =-++,即22(3)(1)0m m --=,又有m ≠∴230m -≠, 12=∴m ,1m ∴=±为所求. ……10分 (2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……15分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =- ……18分3.(2014松江一模理20文20)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分过椭圆1222=+y x 的左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点. (1)求1AO AF ⋅u u u r u u u r的范围;(2)若OA OB ⊥u u u r u u u r,求直线l 的方程.【答案】(1)易知1,1,2===c b a ∴)0,1(1-F , …………1分设),(11y x A ,则221111AO AF x x y ⋅=++u u u r u u u r ……………………… 3分∵122121=+y x ∴222211*********(1)222AO AF x x y x x x ⋅=++=++=++u u u r u u u r ………5分 ∵]2,2[1-∈x ∴11[,22]2AO AF ⋅∈+u u u r u u u r , ……………………… 6分(2)设A 、B 两点的坐标为11(,)A x y 、22(,)B x y①当l 平行于y 轴时,点2(1,)2A -、2(1,)2B --,此时102OA OB ⋅=≠u u u r u u u r ……8分 ②当l 不平行于y 轴时,设直线l 的斜率为k ,则直线l 方程为(1)y k x =+,由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 2222(12)4220k x k x k +++-= ………………… 9分2122412k x x k +=-+,21222212k x x k-=+ ………………… 11分 22212121212(1)()OA OB x x y y k x x k x x k ⋅=+=++++u u u r u u u r=22222(1)12k k k -+⋅+22224012k k k k-⋅+=+ 得 22k =,2k =±………… 13分 故所求的直线方程为2(1)y x =±+ ………… 14分4.(2014松江一模理21文21)本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分如图,相距200海里的A 、B 两地分别有救援A 船和B 船.在接到求救信息后,A 船能立即出发, B 船因港口原因需2小时后才能出发,两船的航速都是30海里/小时.在同时收到求救信息后,A 船早于B 船到达的区域称为A 区,否则称为B 区.若在A 地北偏东45︒方向,距A 地1502海里处的M 点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移.(1)求A 区与B 区边界线(即A 、B 两船能同时到达的点的轨迹)方程; (2)问:① 应派哪艘船前往救援?② 救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇?(精确到0.1小时)【答案】⑴设点P 为边界线上的点,由题意知23030PA PB=+,即60PA PB -=, 即动点P 到两定点A 、B 的距离之差为常数,∴点P 的轨迹是双曲线中的一支。
PBCDA O2013年北京模拟真题--几何直线与圆(理)1 (2013海淀期末1-5).如图,PC 与圆O 相切于点C ,直线PO 交圆O 于,A B 两点,弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中,错误..的结论是( ) A.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅2 (2013西城期末2-10).如图,Rt △ABC 中,90ACB ︒∠=,3AC =,4BC =.以AC 为直径的圆交AB 于点D ,则BD = ;CD =______.3 (2013朝阳期末4-10). 如图,AB ,CD 是半径为a 的圆O 的两条弦,它们相交于AB 的中点P . 若23a PD =,30OAP ∠=︒,则AB =CP = (用a 表示).4(2013海淀一模8-11).如图,AP 与O 切于点A ,交弦DB 的延长线于点P , 过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=︒,3,4BC CP ==, 则弦DB 的长为_______.5 (2013西城一模10-12).如图,已知AB 是圆O 的直径,P 在AB 的延 长线上,PC 切圆O 于点C ,CD OP ⊥于D .若6CD =,10CP =,则圆O 的半径长为______;BP =______.6 (2013东城一模12-12)如图,已知PA 与圆O 相切于A ,半径 OC OP ⊥,AC 交PO 于B ,若1OC =,2OP =,则PA = , =PB .7(2013朝阳一模14-12)如图,圆O 是ABC ∆的外接圆,过点C 作 圆O 的切线交BA 的延长线于点D .若3CD =,2AB AC ==,则线段AD 的长是 ;圆O 的半径是E DAB O CPDCBPAOABCOPDBCOAOP DFE 8 (2013西城二模11-12).如图,AB 是半圆O 的直径,P 在AB 的 延长线上,PD 与半圆O 相切于点C ,AD PD ⊥.若4PC =, 2PB =,则CD =______.9 (2013东城二模13-12 如图,AB 为⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点A ,且过点C 的割线C M N 交AB 的延长线于点D ,若CM MN ND ==,22AC =,则CM =________,AD =________.10 (2013朝阳二模15-11)如图,PC 切圆O 于点C ,割线PAB 经过圆心O ,4,8PC PB ==,则tan COP ∠= , △OBC 的面积是 .11 (2013石景山期末6-10).如右图,从圆O 外一点P 引圆O 的割线 PAB 和PCD ,PCD 过圆心O ,已知1PA =,2AB =,3PO =,则圆O 的半径等于 .12.(2013丰台一模16-11).如图,已知直线PD 切⊙O 于点D , 直线PO 交⊙O 于点E,F.若23,1PF PD =+=,则⊙O 的半 径为 ;EFD ∠= .13(2013丰台二模17-11)如图,已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若 AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______。
22ba ⋅2过点B(3,O)的直线L 与椭圆C 交于不同的两点M ,N.(I)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)求BN BM ⋅的取值范围;(Ⅲ)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为,AN AM k k 和求证:AN AM k k +为定值.19.(朝阳区2011本小题共14分)已知A (-2,0),B(2,O)为椭圆C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆C 上异于A ,B 的动点,且△APB 面积的最大值为.32(I )求椭圆C 的方程及离心率;(Ⅱ)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ,当直线AP 绕点A 转动时,试判断以BD 为直径的圆与直 线PF 的位置关系,并加以证明.19.(朝阳区2012本小题共14分)已知点A 是椭圆)0(19:22>=+t t y x C 的左顶点,直线)(1:R m my x l ∈+=与椭圆C 相交于E ,F 两点,与x 轴相交于点B.且当m=0时,△AEF 的面积为⋅316(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线AE ,AF 与直线x=3分别交于M ,N 两点,试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ,并请说明理由. 19.(朝阳区2012本小题共13分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点E B A ),0,2(),0,2(-为动点,且直线EA 与直线EB 的斜率之积为⋅-21(I )求动点E 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设过点F(l ,0).的直线L 与曲线C 相交于不同的两点M ,N .若点P 在y 轴上,且|,|||PN PM = 求点P 的纵坐标的取值范围.19.(朝阳区2012本小题共14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为).0,2(),0,2(21F F -点M(l ,O)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(I)求椭圆C 的方程.(Ⅱ)已知点N 的坐标为(3,2),点P 的坐标为m n m )(,().3=/过点M 任作直线Z 与椭圆C 相交于A ,B 两点,设直线AN ,NP ,BN 的斜率分别为,,,321k k k 若,2231k k k =+试求m ,n 满足的关系式.19.(朝阳区2013本小题共14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F(l ,O),短轴的端点分别为2121,,FB FB B B ⋅且.a -=(I)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点F 且斜率为)0(=/k k 的直线L 交椭圆于M ,N 两点,弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D ,设弦MN 的中点为P ,试求||||MN DP 的取值范围.19.(朝阳区2013本小题共14分)已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 过点),23,1(离心率为,23点A 为其右顶点.过点B(l ,O)作直线L 与椭圆相交于E ,F 两点,直线AE ,AF 与直线x=3分别交于点M ,N.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)求FN FM ⋅的取值范围.19.(东城区2011本小题共14分)已知椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的离心率为,22且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为,22斜率为)0(=/k k 的直线L 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点 M(O ,m).(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)求m 的取值范围;(Ⅲ)试用m 表示△MPQ 的面积,并求面积的最大值. 19.(东城区2011本小题共13分)在平面直角坐标系“xoy 中,动点P 到定点)41,0(F 的距离比点P 到x 轴的距离大,41设动点P 的轨迹为曲线C ,直线1:+=kx y l 交曲线C 于A ,B 两点,M 是线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N. (I)求曲线C 的方程;(Ⅱ)证明:曲线C 在点N 处的切线与AB 平行;(Ⅲ)若曲线C 上存在关于直线 L 对称的两点,求k 的取值范围.19.(东城区2012本小题共13分)在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到两点)0,3(),0,3(-的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线L 过点E (-1,O )且与曲线C 交于A ,B 两点. (I)求曲线C 的轨迹方程.(Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最大值?若存在,求出此时△AOB 的面积;若不存在,说明理由. 18.(东城区2012本小题共14分)已知抛物线M y x C ,4:2=为直线L:y= -1上任意一点,过点M 作抛物线C 的两条切线 MA ,MB ,切点分别为A ,B .(I)当M 的坐标为(Q ,-1)时,求过M ,A ,B 三点的圆的方程; (Ⅱ)证明:以AB 为直径的圆恒过点M.19.(东城区201本小题共13分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是,21其左、右顶点分别为B A A ,21、为短轴的端点,21BA A ∆的面积为.32 (I)求椭圆C 的方程;2)(F ∏为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于,1A 2A 的任意一点,直线P A p A 21,与直线x=4分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点⋅2F22b a 2),0(),0,(b B a A -的直线的距离是⋅554 (I)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若椭圆C 上一动点),(00y x P 关于直线x y 2=的对称点为2121111),(y x y x P +求的取值范围; (Ⅲ)如果直线)0(1=/+=k kx y 交椭圆C 于不同的两点E ,F ,且E ,F 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.19.(东城区普通高中示范校2012本小题共14分)已知顶点在坐标原点,焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点A m A ),,21(点到抛物线焦点的距离为1. (I)求该抛物线的方程;(Ⅱ)设)00,(y x M 为抛物线上的一个定点,过M 作抛物 线的两条互相垂直的弦MP ,MQ.求证:PQ 恒过定点).,2(00y x -+(Ⅲ)直线01=++my x 与抛物线交于E ,F 两点,在抛物线上是否存在点N ,使得△NE F 为以EF 为斜边的直角三角形. 19.(东城区普通高中示范校2013本小题共14分)已知平面内一动点P 到点F(O ,1)的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1.(I)求动点P 的轨迹C 的方程; (Ⅱ)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线,21l l 、设1l 与轨迹C 相交于点2,,l B A 与轨迹C 相交于点D ,E ,求EB AD .的最小值.18.(东城区普通高中示范校2013本小题共13分)椭圆T 的中心为坐标原点0,右焦点为F(2,0),且椭圆T 过点).2,2(E △ABC 的三个顶点都在椭圆T 上,设三条边的中点分别为M ,N ,P . (I)求椭圆T 的方程.(Ⅱ)设△ABC 的三条边所在直线的斜率分别为,,21k k ,3k 且.3,2,1,0==/i k i 若直线OM ,ON ,OP 的斜率之和为0,求证:321111k k k ++为定值. 19.(丰台区2011本小题共14分)已知抛物线).0(2:2>=P Py x P(I)若抛物线上的点M(m ,幻到焦点F 的距离为3. (i)求抛物线P 的方程;(ii)设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ,过E 作抛物线P 的切线,求此切线方程;(Ⅱ)设过焦点F 的动直线L 交抛物线于A ,B 两点,连接 AO ,BO 并延长分别交抛物线的准线于C ,D两点.求证:以CD 为直径的圆过焦点F .点p 的轨迹为W. (I)求W 的方程;(Ⅱ)直线1+=kx y 与曲线W 交于不同的两点C ,D ,若存在点M(m ,O),使得||||DM CM =成立,求实数m 的取值范围.19.(丰台区2012本小题共14分)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C 的焦点在y 轴上,且抛物线上的点)4,(0x P 到焦点F 的距离为5.斜率为2的直线L 与抛物线C 交于A ,B 两点.(I )求抛物线C 的标准方程,及抛物线在P 点处的切线方程;(Ⅱ)若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ,N 两点(M ,N 位于直线L 两侧),当四边形AMBN 为菱形时,求直线L 的方程.19.(丰台区2012本小题共14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为,22且经过点M(-2,O).(I )求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)设直线m kx y i +=:与椭圆C 相交于),,(11y x A ),(22y x B 两点,连接MA ,MB 并延长交直线4=x 于P ,Q 两点,设Q P y y ,分别为点P ,Q 的纵坐标,且,111121QP y y y y +=+求证:直线L 过定点. 19.(丰台区2013本小题共14分)已知椭圆14:22=+y x C 的短轴的端点分别为A ,B ,直线AM ,BM 分别与椭圆C 交于E ,F 两点,其中点)21,(m M 满足,0=/m 且.3±=/m(I )求椭圆C 的离心率P ; (Ⅱ)用m 表示点E ,F 的坐标;(Ⅲ)若△BME 的面积是△A MF 面积的5倍,求m 的值.19.(丰台区2013本小题共13分)已知以原点为对称中心,F(2,O)为右焦点的椭圆C 过),2,2(P 直线)0(:=/+=k m kx y l 交椭圆C 于不同的两点A ,B .(I )求椭圆C 的方程.(Ⅱ)是否存在实数k ,使线段AB 的垂直平分线经过点Q(0,3)?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,请 说明理由.19.(海淀区2011本小题共13分)在平面直角坐标系xOy 中,设点P(x ,y),M(x ,-4),以线段PM 为直径的圆经过原点O.(I )求动点P 的轨迹W 的方程;(Ⅱ)过点E(O ,-4)的直线L 与轨迹W 交于A ,B 两点,点A 关于y 轴的对称点为,/A 试判断直线B A /是否恒过一个定点,并证明你的结论.19.(海淀区2011本小题共14分)已知椭圆)0(1.:2222>>=+b a b y a x C 经过点),23,1(M其离心率为⋅21 (I)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设直线)21|(|:≤+=k m kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,以线段OA ,OB 为邻边作平行四边形 OAPB ,其中顶点P 在椭圆C 上,0为坐标原点,求 ∣OP ∣的取值范围.19.(海淀区2012本小题共14分)已知点E(2,2)是抛物线Px y C 2:2=上一点,经过点(2,O)的直线L与抛物线C 交于A ,B 两点(不同于点E),直线EA ,EB 分别交直线x=-2于点 M,N . (I)求抛物线方程及其焦点坐标;(Ⅱ)已知0为原点,求证:∠MON 为定值.18.(海淀区2012本小题共13分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F(l ,O),且点)22,1(-在椭圆C 上.(I)求椭圆C 的标准方程.(Ⅱ)已知动直线L 过点F ,且与椭圆C 交于A ,B 两点,试问x 轴上是否存在定点Q ,使得167-=⋅QB QA 恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.19.(海淀区2012本小题共13分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆G 的中心为坐标原点,左焦点为P F ,)0,1(.1-为椭圆G 的上顶点,且.451 =∠O PF(I )求椭圆G 的标准方程;(Ⅱ)已知直线11:m kx y l +=与椭圆G 交于A ,B 两点,直线)(:2122m m m kx y l =/+=与椭圆G 交于C ,D 两点,且|,|||CD AB =如图所示. (i)证明:;021=+m m(ii)求四边形ABCD 的面积S 的最大值.19.(海淀区2013本小题共14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为o60的菱形的四个顶点. (I)求椭圆M 的方程.(Ⅱ)直线L 与椭圆M 交于A ,B 两点,且线段AB 的垂直平分线经过点),21,0(-求△AOB(O 为原点)面积的最大值.19.(石景山区2011本小题共13分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点),21,26(P 离心率为,22动点).0)(,2(>t t M (I )求椭圆的标准方程;(Ⅱ)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程;(Ⅲ)设F 是椭圆的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ,证明线段ON 的长为定值,并求出这个定值.19.(石景山区2012本小题共13分)已知椭圆)0(1.2222>>=+b a by a x 右顶点与右焦点的距离为,13-短轴长为.22(I )求椭圆的方程;(Ⅱ)过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点,若三角形OAB 的面积为,423求直线AB 的方程. 19.(石景山区2013本小题共14分)设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为,21F F 、E顶点为A ,在x 轴负半轴上有一点B ,满足,211F F BF =且⋅⊥2AF AB (I)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)若过2F B A 、、三点的圆与直线033:=--y x l 相切,求椭圆C 的方程;(皿)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点2F 作斜率为k 的直线L 与椭圆C 交于M 、N 两点,线段MN 的中垂线与x 轴相交于点P(m ,0),求实数m 的取值范围.19.(西城区2011本小题共14分)已知椭圆)0(1:222>>=+b a by a x M L 的离心率为,322且椭圆上一点(I)求椭圆M 的方程;(Ⅱ)设直线L 与椭圆M 交于A ,B 两点,且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ,求△.ABC 的面积的最大值. 19.(西城区2011本小题共14分)已知抛物线)0(22>=P Px y 的焦点为F ,过F 的直线交y 轴正半轴于点P ,交抛物线于A ,B 两点,其中点A 在第一象限. (I)求证:以线段FA 为直径的圆与y 轴相切; (Ⅱ)若22121],21,41[,,λλλλλ求∈==FA BF AP FA 的取值范围. 19.(本小题共14分)如图,已知抛物线x y 42=的焦点为 F.过点P(2,O)的直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点,直线AF ,BF 分别与抛物线交于点M ,N .(I)求21y y 的值;(Ⅱ)记直线MN 的斜率为,1k 直线AB 的斜率为⋅2k 证明:21k k 为定值.18.(西城区2012本小题共13分)已知抛物线x y 42=的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点.(I)若⋅=,2FB AF 求直线AB 的斜率;(Ⅱ)设点M 在线段AB 上运动,原点0关于点M 的对称点为C ,求四边形OACB 面积的最小值.19.(西城区2012本小题共14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为,35定点M(2,0),椭圆短轴的端点是,,21B B 且⋅⊥21MB MB(I)求椭圆C 的方程.(Ⅱ)设过点M 且斜率不为O 的直线交椭圆C 于A ,B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ,使PM 平分∠APB?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.18.(西城区2013本小题共13分)如图,椭圆)10(1:22<<=+m m y x C 的左顶点为A ,M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点,点P 与点A 关于点M 对称. (I)若点P 的坐标为),534,59(求m 的值;(Ⅱ)若椭圆C 上存在点M ,使得OP ⊥OM ,求m 的取值范围.19.(2009年北京本小题共14分)已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为,3右准线方程为⋅=33x(I)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线L 是圆2:22=+y x O 上动点0000),(y x y x P <)0=/处的切线,L 与双曲线C 交于不同的两点A ,B ,证明∠AOB 的大小为定值.19.(2010年北京本小题共14分)在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点 A(-l ,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于⋅-31 (I)求动点P 的轨迹方程;(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ,N , 问:是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.19.((2011年北京本小题共14分)已知椭圆.14:22=+y x G 过点(m ,O)作圆122=+y x 的切线L 交椭圆G 于A ,B 两点.(I)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;(Ⅱ)将||AB 表示为m 的函数,并求∣AB ∣的最大值.19.(2012年北京本小题共14分)已知曲线8)2()5(:22=-+-y m x m C ).(R m ∈(I)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值 范围;(Ⅱ)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A ,B(点A 位于点B 的上方),直线4+=kx y 与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1=y 与直线BM 交于点G ,求证:A ,G ,N 三点共线.19.(2013年北京本小题满分14分)已知A ,B ,C 是椭圆14:22=+y x W 上的三个点,0是坐标原点.(I)当点B 是w 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时, 求此菱形的面积;(Ⅱ)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.。
2014年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.(5分)设全集U=R,集合A={x|0<x≤2},B={x|x<1},则集合∁U(A∪B)=()A.(﹣∞,2]B.(﹣∞,1]C.(2,+∞)D.[2,+∞)2.(5分)已知平面向量=(2,﹣1),=(1,1),=(﹣5,1),若(+k)∥,则实数k的值为()A.2B.C.D.﹣3.(5分)在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平行的直线方程是()A.ρ=2B.θ=C.ρcosθ=2D.ρsinθ=2 4.(5分)执行图题实数的程序框图,如果输入a=2,b=2,那么输出的a值为()A.44B.16C.256D.log3165.(5分)下列函数中,对于任意x∈R,同时满足条件f(x)=f(﹣x)和f(x ﹣π)=f(x)的函数是()A.f(x)=sin x B.f(x)=sin2x C.f(x)=cos x D.f(x)=cos2x 6.(5分)“m<8”是“方程﹣=1表示双曲线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于()A.4B.5C.6D.78.(5分)如图,设P为正四面体A﹣BCD表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素,那么符合条件的点P有()A.4个B.6个C.10个D.14个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)设复数=x+yi,其中x,y∈R,则x+y=.10.(5分)若抛物线C:y2=2px的焦点在直线x+2y﹣4=0上,则p=;C的准线方程为.11.(5分)已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2,它的俯视图是一个边长为2的正三角形,那么它的侧(左)视图面积的最小值是.12.(5分)若不等式组表示的平面区域是一个四边形,则实数a的取值范围是.13.(5分)科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是.(用数字作答)14.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),P为线段AD(含端点)上一个动点,设=x,=y,对于函数y=f(x),给出以下三个结论:①当a=2时,函数f(x)的值域为[1,4];②∀a∈(0,+∞),都有f(1)=1成立;③∀a∈(0,+∞),函数f(x)的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b2+c2=a2+bc.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)如果cos B=,b=2,求△ABC的面积.16.(13分)在某批次的某种灯泡中,随机地抽取200个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a,b的值;(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了n(n∈N*)个,如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同,求n的最小值;(Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用,若以上述频率作为概率,用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X的分布列和数学期望.17.(14分)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形,E是CD的中点,D1E⊥CD,AB=2BC=2.(Ⅰ)求证:BC⊥D1E;(Ⅱ)求证:B1C∥平面BED1;(Ⅲ)若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为,求线段D1E的长度.18.(13分)已知函数f(x)=,其中a≥0.(Ⅰ)当a=0时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)如果对于任意x1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),求a的取值范围.19.(14分)已知椭圆W:=1,直线l与W相交于M,N两点,l与x 轴、y轴分别相交于C、D两点,O为坐标原点.(Ⅰ)若直线l的方程为x+2y﹣1=0,求△OCD外接圆的方程;(Ⅱ)判断是否存在直线l,使得C,D是线段MN的两个三等分点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.20.(13分)在数列{a n}中,a n=(n∈N*).从数列{a n}中选出k(k≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n},并称{b n}为数列{a n}的k项子列.例如数列,,,为{a n}的一个4项子列.(Ⅰ)试写出数列{a n}的一个3项子列,并使其为等差数列;(Ⅱ)如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列,且{b n}为等差数列,证明:{b n}的公差d满足﹣<d<0;(Ⅲ)如果{c n}为数列{a n}的一个m(m≥3)项子列,且{c n}为等比数列,证明:c1+c2+c3+…+c m≤2﹣.2014年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.(5分)设全集U=R,集合A={x|0<x≤2},B={x|x<1},则集合∁U(A∪B)=()A.(﹣∞,2]B.(﹣∞,1]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【解答】解:∵A=(0,2],B=(﹣∞,1),∴A∪B=(﹣∞,2],∵全集为U=R,∴∁U(A∪B)=(2,+∞).故选:C.2.(5分)已知平面向量=(2,﹣1),=(1,1),=(﹣5,1),若(+k)∥,则实数k的值为()A.2B.C.D.﹣【解答】解:∵=(2,﹣1),=(1,1),∴,又=(﹣5,1),且(+k)∥,∴1×(2+k)﹣(﹣5)×(k﹣1)=0,解得:k=.故选:B.3.(5分)在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平行的直线方程是()A.ρ=2B.θ=C.ρcosθ=2D.ρsinθ=2【解答】解:点(2,)在直角坐标系下的坐标为(2,2),即(0,2)∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y=2.即为ρsinθ=2.故选:D.4.(5分)执行图题实数的程序框图,如果输入a=2,b=2,那么输出的a值为()A.44B.16C.256D.log316【解答】解:若a=2,则log3a=log32>4不成立,则a=22=4,若a=4,则log3a=log34>4不成立,则a=42=16,若a=16,则log3a=log316>4不成立,则a=162=256若a=256,则log3a=log3256>4成立,输出a=256,故选:C.5.(5分)下列函数中,对于任意x∈R,同时满足条件f(x)=f(﹣x)和f(x ﹣π)=f(x)的函数是()A.f(x)=sin x B.f(x)=sin2x C.f(x)=cos x D.f(x)=cos2x 【解答】解:对于任意x∈R,f(x)满足f(x)=f(﹣x),则函数f(x)是偶函数,选项中,A,B显然是奇函数,C,D为偶函数,又对于任意x∈R,f(x)满足f(x﹣π)=f(x),则f(x+π)=f(x),即f(x)的最小正周期是π,选项C的最小正周期是2π,选项D的最小正周期是=π,故同时满足条件的是选项D.故选:D.6.(5分)“m<8”是“方程﹣=1表示双曲线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:若方程﹣=1表示双曲线,则(m﹣10)(m﹣8)>0,即m>10或m<8.∴“m<8”是“方程﹣=1表示双曲线”的充分而不必要条件,故选:A.7.(5分)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于()A.4B.5C.6D.7【解答】解:设该设备第n年的营运费为a n万元,则数列{a n}是以2为首项,2为公差的等差数列,则a n=2n,则该设备使用了n年的营运费用总和为T n==n2+n,设第n年的盈利总额为S n,则S n=11n﹣(n2+n)﹣9=﹣n2+10n﹣9=﹣(n﹣5)2+16,∴当n=5时,S n取得最大值16,故选:B.8.(5分)如图,设P为正四面体A﹣BCD表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素,那么符合条件的点P有()A.4个B.6个C.10个D.14个【解答】解:符合条件的点P有两类:(1)6条棱的中点;(2)4个面的中心.共10个点.故集合M中有且只有2个元素,那么符合条件的点P有4+6=10.故选:C.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)设复数=x+yi,其中x,y∈R,则x+y=.【解答】解:∵,又=x+yi,∴,∴,则x+y=.故答案为:.10.(5分)若抛物线C:y2=2px的焦点在直线x+2y﹣4=0上,则p=8;C 的准线方程为x=﹣4.【解答】解:直线x+2y﹣4=0,令y=0,可得x=4,∴=4,∴p=8,C的准线方程为x=﹣4故答案为:8;x=﹣4.11.(5分)已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2,它的俯视图是一个边长为2的正三角形,那么它的侧(左)视图面积的最小值是.【解答】解:∵正三棱柱的所有棱长均等于2,它的俯视图是一个边长为2的正三角形,故它的侧(左)视图一定是一个高为2的矩形,当侧(左)视图的底面为俯视图的高时侧(左)视图面积最小,此时侧(左)视图面积S=2×=故答案为:12.(5分)若不等式组表示的平面区域是一个四边形,则实数a的取值范围是(3,5).【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,当直线x+y=a经过点A(3,0)时,对应的平面区域是三角形,此时a=3,当经过点B时,对应的平面区域是三角形,由,解得,即B(1,4),此时a=1+4=5,∴要使对应的平面区域是平行四边形,则3<a<5,故答案为:(3,5)13.(5分)科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是48.(用数字作答)【解答】解:采用捆绑及内部调整法,把三对师生看成三个整体,每对师生都有2种排列顺序,故不同的排法种数为A33×2×2×2=6×8=48.故答案为:48.14.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),P为线段AD(含端点)上一个动点,设=x,=y,对于函数y=f(x),给出以下三个结论:①当a=2时,函数f(x)的值域为[1,4];②∀a∈(0,+∞),都有f(1)=1成立;③∀a∈(0,+∞),函数f(x)的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是②③.【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.∵在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),∴B(0,0),A(﹣2,0),D(﹣1,a),C(0,a).∵=x,(0≤x≤1).∴=(﹣2,0)+x(1,a)=(x﹣2,xa),∴==(0,a)﹣(x﹣2,xa)=(2﹣x,a﹣xa)∴y=f(x)==(2﹣x,﹣xa)•(2﹣x,a﹣xa)=(2﹣x)2﹣ax(a﹣xa)=(a2+1)x2﹣(4+a2)x+4.①当a=2时,y=f(x)=5x2﹣8x+4=,∵0≤x≤1,∴当x=时,f(x)取得最小值;又f(0)=4,f(1)=1,∴f(x)max=f(0)=4.综上可得:函数f(x)的值域为.因此①不正确.②由y=f(x)=(a2+1)x2﹣(4+a2)x+4.可得:∀a∈(0,+∞),都有f(1)=1成立,因此②正确;③由y=f(x)=(a2+1)x2﹣(4+a2)x+4.可知:对称轴x0=.当0<a≤时,1<x0,∴函数f(x)在[0,1]单调递减,因此当x=0时,函数f(x)取得最大值4.当时,0<x0<1,函数f(x)在[0,x0)单调递减,在(x0,1]上单调递增.又f(0)=4,f(1)=1,∴f(x)max=f(0)=4.因此③正确.综上可知:只有②③正确.故答案为:②③.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b2+c2=a2+bc.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)如果cos B=,b=2,求△ABC的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵b2+c2=a2+bc,即b2+c2﹣a2=bc,∴cos A==,又A∈(0,π),∴A=;(Ⅱ)∵cos B=,B∈(0,π),∴sin B==,由正弦定理=,得a==3,∵b2+c2=a2+bc,即4+c2=9+2c,整理得:c2﹣2c﹣5=0,解得:c=1±,∵c>0,∴c=+1,=bc sin A=.则S△ABC16.(13分)在某批次的某种灯泡中,随机地抽取200个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a,b的值;(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了n(n∈N*)个,如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同,求n的最小值;(Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用,若以上述频率作为概率,用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X的分布列和数学期望.【解答】(本小题满分13分)解:(Ⅰ)a=1﹣0.10﹣0.35﹣0.15﹣0.25=0.15,b=200﹣20﹣30﹣70﹣50=30.…(2分)(Ⅱ)由表可知:灯泡样品中优等品有50个,正品有100个,次品有50个,∴优等品、正品和次品的比例为50:100:50=1:2:1.…(4分)∴按分层抽样法,购买灯泡数n=k+2k+k=4k(k∈N*),∴n的最小值为4.…(6分)(Ⅲ)X的所有取值为0,1,2,3.…(7分)由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25,…(8分)从本批次灯泡中购买3个,可看成3次独立重复试验,∴,,,.…(11分)∴随机变量X的分布列为:…(12分)∴X的数学期望.…(13分)(注:写出,,k=0,1,2,3.请酌情给分)17.(14分)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形,E是CD的中点,D1E⊥CD,AB=2BC=2.(Ⅰ)求证:BC⊥D1E;(Ⅱ)求证:B1C∥平面BED1;(Ⅲ)若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为,求线段D1E的长度.【解答】(Ⅰ)证明:∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形,∴BC⊥CD,BC⊥CC1,又∵CD∩CC1=C,∴BC⊥平面DCC1D1,…(2分)∵D1E⊂平面DCC1D1,∴BC⊥D1E.…(4分)(Ⅱ)证明:∵BB1∥DD1,BB1=DD1,∴四边形D1DBB1是平行四边形.连接DB1交D1B于点F,连接EF,则F为DB1的中点.在△B1CD中,∵DE=CE,DF=B1F,∴EF∥B1C.…(6分)又∵B1C⊄平面BED1,EF⊂平面BED1,∴B1C∥平面BED1.…(8分)(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知BC⊥D1E,又∵D1E⊥CD,BC∩CD=C,∴D1E⊥平面ABCD.…(9分)设G为AB的中点,以E为原点,EG,EC,ED1所在直线分别为x轴,y轴,z轴如图建立空间直角坐标系,设D1E=a,则E(0,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,a),C(0,1,0),B1(1,2,a),G(1,0,0).设平面BED1法向量为=(x,y,z),因为,由,得令x=1,得=(1,﹣1,0).…(11分)设平面BCC1B1法向量为=(x1,y1,z1),∵,∴由,得令z1=1,得=(0,﹣a,1).…(12分)由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为,得,…(13分)解得a=1.∴线段D1E的长度是1.…(14分)18.(13分)已知函数f(x)=,其中a≥0.(Ⅰ)当a=0时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)如果对于任意x1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意,得f'(x)=(xlnx)'=lnx+1,其中x>0,…(2分)所以f'(1)=1,又因为f(1)=0,所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x﹣1.…(4分)(Ⅱ)先考察函数g(x)=﹣x2+2x﹣3,x∈R的图象,配方得g(x)=﹣(x﹣1)2﹣2,…(5分)所以函数g(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减,且g(x)=g(1)=﹣2.…(6分)max因为对于任意x1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)<f(x2)成立,所以a≤1.…(8分)以下考察函数h(x)=xlnx,x∈(0,+∞)的图象,则h'(x)=lnx+1,令h'(x)=lnx+1=0,解得.…(9分)随着x变化时,h(x)和h'(x)的变化情况如下:即函数h (x )在上单调递减,在上单调递增,且.…(11分)因为对于任意x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,都有f (x 1)<f (x 2)成立, 所以 .…(12分)因为(即h (x )min >g (x )max ),所以a 的取值范围为.…(13分)19.(14分)已知椭圆W :=1,直线l 与W 相交于M ,N 两点,l 与x轴、y 轴分别相交于C 、D 两点,O 为坐标原点.(Ⅰ)若直线l 的方程为x +2y ﹣1=0,求△OCD 外接圆的方程;(Ⅱ)判断是否存在直线l ,使得C ,D 是线段MN 的两个三等分点,若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由. 【解答】解:(Ⅰ)因为直线l 的方程为x +2y ﹣1=0, 所以与x 轴的交点C (1,0),与y 轴的交点.…(1分)则线段CD 的中点,,…(3分)即△OCD 外接圆的圆心为,半径为, 所以△OCD 外接圆的方程为.…(5分)(Ⅱ)存在直线l ,使得C ,D 是线段MN 的两个三等分点. 理由如下:由题意,设直线l 的方程为y =kx +m (km ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则,D (0,m ),…(6分)由方程组得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,…(7分)所以△=16k2﹣8m2+8>0,(*)…(8分)由韦达定理,得,.…(9分)由C,D是线段MN的两个三等分点,得线段MN的中点与线段CD的中点重合.所以,…(10分)解得.…(11分)由C,D是线段MN的两个三等分点,得|MN|=3|CD|.所以,…(12分)即,解得.…(13分)验证知(*)成立.所以存在直线l,使得C,D是线段MN的两个三等分点,此时直线l的方程为,或.…(14分)20.(13分)在数列{a n}中,a n=(n∈N*).从数列{a n}中选出k(k≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n},并称{b n}为数列{a n}的k项子列.例如数列,,,为{a n}的一个4项子列.(Ⅰ)试写出数列{a n}的一个3项子列,并使其为等差数列;(Ⅱ)如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列,且{b n}为等差数列,证明:{b n}的公差d满足﹣<d<0;(Ⅲ)如果{c n}为数列{a n}的一个m(m≥3)项子列,且{c n}为等比数列,证明:c1+c2+c3+…+c m≤2﹣.【解答】(Ⅰ)解:答案不唯一.如3项子列,,;(Ⅱ)证明:由题意,知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0,所以d=b2﹣b1<0.假设b1=1,由{b n}为{a n}的一个5项子列,得,所以.因为b5=b1+4d,b5>0,所以4d=b5﹣b1=b5﹣1>﹣1,即.这与矛盾.所以假设不成立,即b1≠1.所以,因为b5=b1+4d,b5>0,所以,即,综上,得.(Ⅲ)证明:由题意,设{c n}的公比为q,则.因为{c n}为{a n}的一个m项子列,所以q为正有理数,且q<1,.设,且K,L互质,L≥2).当K=1时,因为,所以=,所以.当K≠1时,因为是{a n}中的项,且K,L互质,所以a=K m﹣1×M(M∈N*),所以=.因为L≥2,K,M∈N*,所以.综上,.。
2013年北京模拟训练--解三角形(理)1.(2013海淀一模8-12)在ABC ∆中,若4,2,a b ==1cos 4A =-,则__,s i n__.c C ==2.(2013海淀二模9-12)在ABC ∆中,30,45,2A B a ∠=∠==,则_____;b = C _____.AB S ∆=3.(2013西城二模11-11)在△ABC 中,2BC =,7AC =,3B π=,则AB =______;△ABC 的面积是______.4.(2013朝阳一模14-10)在ABC ∆中, a ,b ,c 分别为角A , B ,C 所对的边.已知角A 为锐角,且3sin b a B =, 则tan A = .5. (2013丰台期末5-13).已知ABC ∆中,3AB =,1BC =,sin 3cos C C =,则ABC ∆ 的面积为 .6. (2013石景山期末6--12).在ABC ∆中,若2a =,60B ∠=︒,7b =,则BC 边上的高等于7.(2013石景山一模18-10).在△ABC 中,若π,24B b a ∠==,则C ∠= .8.(2013昌平期末11)在ABC △中,若22b =,1c =,tan 22B =,则a = . 9.(2013房山期末11).在△ABC 中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,,13,3,3A a b π===则=c ,△ABC 的面积等于 . 10.(2013房山二模11).在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a b c ,,.326a b A π===,,, 则tan B = .11(2013门头沟一模11)在∆ABC 中,若2a =,3c =,tan 15B =-,则b =12(2013顺义一模19-10).在ABC ∆中,若815sin ,41cos ,4=-==A B b , 则=a ,=c .13(2013顺义二模20-10).设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且5,4,31c o s ==∠=b B A π,则=C sin ,ABC ∆的面积=S . 14.(2013通州期末7).在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的 (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件15.(2013海淀期末1-15)已知函数21()3sin cos cos 2222x x x f x =+-,ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . (I )求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若()1,f B C +=3,1a b ==,求角C 的大小.16.(2013西城期末2-15)在△ABC 中,已知3sin 21cos 2B B =-. (Ⅰ)求角B 的值;(Ⅱ)若2BC =,4A π=,求△ABC 的面积.17(2013东城一模12-15)在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 且sin 3cos b A a B =.(Ⅰ)求角B ;(Ⅱ)若23b =,求ac 的最大值.19.(2013朝阳二模15-15)在△ABC 中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且2()2cossin()sin 222A A A f A =π-+-2cos 2A(Ⅰ)求函数()f A 的最大值;(Ⅱ)若()0,,612f A C a 5π===,求b 的值.20.(2013丰台二模17-15).(本小题13分) 已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()3sin 2.B C A +=(Ⅰ)求A 的度数;(Ⅱ)若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S.21.(2013大兴一模24-15) 在∆A B C 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 5=A ,π4B =,2b =.(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积.22.(2013房山一模15).已知函数2()2cos 23sin cos 1f x x x x =+- (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若()22Cf =且2c ab =,试判断△ABC 的形状.。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.设全集{}02U x x =<<,集合{}01A x x =<≤,则集合U A =ð( )A.()0,1B.(]0,1C.()1,2D.[)1,22.已知平面向量()2,1a =-,()1,3b =,那么a b +等于( )A.5B.13C.17D.133.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍,则此双曲线的离心 率为( )A.2B.2C.3D.55=,故选D.考点:1.双曲线的几何性质;2.双曲线的离心率4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.2B.43C.4D.55.下列函数中,对于任意x R ∈,同时满足条件()()f x f x =-和()()f x f x π-=的函数是( )A.()sin f x x =B.()sin cos f x x x =C.()cos f x x =D.()22cos sin f x x x =-()22cos sin cos2f x x x x =-=,该函数是偶函数,且以π为最小正周期的周期函数,故选D.正(主)视图 俯视图 侧(左)视图 2 3 1 251考点:1.二倍角公式;2.三角函数的奇偶性与周期性6.设0a >,且1a ≠,则“函数log a y x =在()0,+∞上是减函数”是“函数()32y a x =-在R 上是增函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n 等于( )A.4B.5C.6D.78.如图,设P 为正四面体A BCD -表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ,如果集合M 中有且只有2个元素,那么符合条件的点P 有( )A.4个B. 6个C.10个D.14个【答案】C【解析】试题分析:分以下两种情况讨论:(1)点P 到其中两个点的距离相等,到另外两点的距离分别相等,且这两个距离不等,此时点P 位于正四面体各棱的中点,符合条件的有6个点;(2)点P 到其中三个点的距离相等,到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等,此时点P 在正四面体各侧面的中心点,符合条件的有4个点,故选C.考点:新定义第Ⅱ卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.设复数12i x yi i-=++,其中x 、y R ∈,则x y +=______.10.若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上,则p =_____;C 的准线方程为_____. 4p =,此时抛物线的准线方程为2x =-.BAD C . P考点:抛物线的几何性质11.已知函数()3,01,01x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩,若()02f x =,则实数0=x ______;函数()f x 的最大值为_____.12.执行如图所示的程序框图,如果输入2a =,2b =,那么输出的a 值为______.【答案】256.【解析】试题分析:3log 24>不成立,执行第一次循环,224a ==; 3log 44>不成立,执行第二次循环,2416a ==;4333log 164log 3log 81>==不成立,执行第三次循环,216256a ==; 开始b a a =3log 4a >输出a结束 否 是 输入a , b33log 2564log 81>=成立,跳出循环体,输出a 的值为256,故选C.考点:算法与程序框图13.若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形,则实数a 的取值范围是_______.范围是()3,5.考点:线性规划14.如图,在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,AB BC ⊥,2AB =,1CD =,2BC =,P 为线段AD (含端点)上一个动点,设AP xAD =,PB PC y ⋅=,记()y f x =,则()1f =____; 函数()f x 的值域为_________.因为()()205080441f f =⨯-⨯+=>,因此()()max 04f x f ==, 所以函数()f x 的值域为4,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦. A BD CP考点:1.平面向量的数量积;2.二次函数三、解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分13分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知222b c a bc +=+.(1)求A 的大小;(2)如果6cos 3=B ,2b =,求a 的值.考点:1.正弦定理与余弦定理;2.同角三角函数的基本关系16.(本小题满分13分)某批次的某种灯泡共200个,对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品. 寿命(天) 频数 频率[)100,20010 0.05 [)200,30030 a [)300,400 70 0.35[)400,500 b 0.15[)500,60060 c 合计 200 1(1)根据频率分布表中的数据,写出a 、b 、c 的值;(2)某人从这200个灯泡中随机地购买了1个,求此灯泡恰好不.是次品的概率; (3)某人从这批灯泡中随机地购买了()n n N *∈个,如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按.三个..等级分层抽.....样.所得的结果相同,求n 的最小值.所以n 的最小值为10.考点:1.频率分布表;2.古典概型17.(本小题满分14分)如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是矩形,2AD AB =,SA SD =,SA AB ⊥, N 是棱AD 的中点.(1)求证://AB 平面SCD ;(2)求证:SN ⊥平面ABCD ;(3)在棱SC 上是否存在一点P ,使得平面PBD ⊥平面ABCD ?若存在,求出SP PC的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)存在,且12SP PC =. 所以 SN AD ⊥.又因为 AB AD A =,所以 SN ⊥平面ABCD .(3)如图,连接BD 交NC 于点F ,在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ,连接PD 、PC . B CA D S N因为 SN ⊥平面ABCD ,所以FP ⊥平面ABCD . 又因为FP ⊂平面PBD ,所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中,因为//ND BC , 所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中,因为//FP SN , 所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ,使得平面PBD ⊥平面ABCD ,此时12SP PC =. 考点:1.直线与平面平行的判定与性质;2.直线与平面垂直 18.(本小题满分13分)已知函数()ln af x x x=-,其中a R ∈. (1)当2a =时,求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程; (2)如果对于任意()1,x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 【答案】(1)350x y --=;(2)(],1-∞-. 【解析】试题分析:(1)将2a =代入函数解析式,求出()1f '及()1f 的值,利用点斜式写出切线方程;(2)利用参数分离法将()2f x x >-+转化为2ln 2a x x x x <+-,构造新函数()2ln 2g x x x x x =+-,问题转化为()min a g x <来求解,但需注意区间()1,+∞端点值的取舍. 试题解析:(1)由()2ln f x x x =-,得()212f x x x'=+, 所以()13f '=, 又因为()12f =- ,B CA DSNFP所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为350x y --=;19.(本小题满分14分)已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的焦距为2,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-,O 为坐标原点. (1)求椭圆W 的方程.(2)设斜率为k 的直线l 与W 相交于A 、B 两点,记AOB ∆面积的最大值为k S ,证明:12S S =.【答案】(1)2212x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析:(1)利用题干中的已知条件分别求出a 、b 、c ,从而写出椭圆W 的方程;(2)设直线l 的方程为y kx m =+,将直线l 的方程与椭圆W 的方程联立,借助韦达定理求出弦长AB ,并求出原点到直线l 的距离d ,然后以AB 为底边,d 为高计算AOB ∆的面积,利用基本不等式验证1k =时和2k =时AOB ∆的验证知(*)成立;当2k =时,因为()22299AOB S m m ∆=-,20.(本小题满分13分)在数列{}n a 中,()1n a n N n*=∈. 从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ,并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列.(1)试写出数列{}n a 的一个3项子列,并使其为等比数列;(2)如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列,且{}n b 为等差数列,证明:{}n b 的公差d 满足104d -<<;(3)如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列,且{}n c 为等比数列,证明:1234566332c c c c c c +++++≤.【答案】(1)答案不唯一. 如3项子列:12、14、18;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】试题分析:(1)根据题中的定义写出一个3项子列即可;(2)根据定义得到11b ≤,利用数列{}n b 的定义与单调性得到0d >,然后由5140b b d =+>得到14d >-,从而证明104d -<<;(3)注意到数列{}n a 各项均为有理数,从而得到数列{}n c 的公比q 为正有理数,从而存在K 、L N *∈使得K q L=,并对K 是否等于1进行分类讨论,结合等比数列求和公式进行证明. 试题解析:(1)答案不唯一. 如3项子列:12、14、18; (2)由题意,知1234510b b b b b ≥>>>>>,所以 210d b b =-<. 因为 514b b d =+,11b ≤,50b >,所以 514011d b b =->-=-,解得 14d >-.543223*********M K K L K L K L KL L ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭. 因为 2L ≥,K 、*M N ∈,所以 2345123456111116312222232c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上,12345663 32c c c c c c+++++≤. 考点:1.新定义;2.等比数列求和。
2014北京各区高三一模解析几何部分选编
1、“8m <”是“方程22
1108
x y m m -=--表示双曲线”的( ) (A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件
2、若双曲线C :222(0)x y m m -=>与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,且43AB =,则m 的值是
A. 116
B. 80
C. 52
D. 20
3、已知点(3,4)P -是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>渐近线上的一点,,E F 是左、右两个焦点,若0EP FP ⋅=, 则双曲线方程为( )A .22134x y -= B .22143x y -= C .221916x y -= D .22
1169
x y -= 4、在平面内,设A ,B 为两个不同的定点,动点P 满足:2
k PB PA =⋅(k 为实常数),则动点P 的轨迹为
A .圆
B .椭圆
C .双曲线
D .不确定
5、若椭圆22
1x y m n
+=与双曲线221(,,,x y m n p q p q -=均为正数)有共同的焦点1F ,2F ,P 是两曲线的一个公共点, 则12||||PF PF ⋅等于( )A .22p m - B .p m -
C .m p -
D .22m p - 6、右三图中的多边形均为正多边形,M 、N 是所在边上的中点,
双曲线均以图中的F 1、F 2为焦点,设图①、②、③中
的双曲线的离心率分别为e 1,e 2,e 3,则 ( )
A .e 1>e 2>e 3
B . e 1<e 2<e 3
C . e 1=e 3<e 2
D .e 1=e 3>e 2
7、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-,抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 (A )355
(B )2(C )115(D )3 8、双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的离心率为2,则213b a
+的最小值为( ) A .233 B .433
C .2
D .3 9、在抛物线22(0)y px p =>上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p 的值为 .
10、若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上,则p =_____;C 的准线方程为_____.
11、双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一个焦点到其渐近线的距离是2,则b = ;此双曲线的离心率为 . 12、已知椭圆的一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合,一个顶点的坐标为)2,0(,则此椭圆方程为 .
13、已知点F ,B 分别为双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦点和虚轴端点,若线段FB 的中点在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率是___________.
14、已知双曲线2
2
13
y x -=的左顶点为1A ,右焦点为2F ,P 为双曲线右支上一点,则12PA PF ⋅最小值为 _____ . 15、直线x t =过双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A ,B 两点,若原点 在以AB 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 . 16、双曲线C :x 2 – y 2 = a 2的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点,34||=AB , 则双曲线C 的方程为__________.
17、如图,已知直线l :y =k(x +1)(k>0)与抛物线C :y 2=4x 相交于
A 、
B 两点,且A 、B 两点在抛物线
C 准线上的射影分别是
M 、N ,若|AM|=2|BN|,则k 的值是
(A) 13 (B) 23
(C) 223 (D) 22
18、已知椭圆2
212
x W y +=:,直线l 与W 相交于,M N 两点,l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点,O 为坐标 原点. (Ⅰ)若直线l 的方程为 210x y +-=,求OCD ∆外接圆的方程;
(Ⅱ)判断是否存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点,若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.
19、 如图,已知椭圆E :
22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32,过左焦点(3,0)F -且斜率为k 的直线交椭圆E 于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,直线l :40x ky +=交椭圆E 于C ,D 两点.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)求证:点M 在直线l 上;
(Ⅲ)是否存在实数k ,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍?若存在,求出k 的值;若不存
在,说明理由
.
20、已知双曲线C:
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的焦距为27,其一条渐近线的倾斜角为θ,且
3
t a n
2
θ=.以双曲线C的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为E.
( I )求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设点A是椭圆E的左顶点,P、Q为椭圆E上异于点A的两动点,若直线AP、AQ的斜率之
积为
1
4
-,问直线PQ是否恒过定点?若恒过定点,求出该点坐标;若不恒过定点,说明理由.
22、。