2014年北京市朝阳区初三一模数学试题及答案

2014年北京市各城区中考一模数学——代数综合题汇总1、（2014年门头沟一模）23.已知关于x 的一元二次方程04)15(22=+++-m m x m x . （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m 的取值范围；（3）抛物线m m x m x y --++-=224)15(与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），现坐标系内有一矩形O CDE ，如图11，点C （0，-5)，D （6，-5) ，E （6，0),当m 取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移h个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE 有两个交点，请结合图形写出h 的取值或取值范围（直接写出答案即可）．2、（2014年丰台一模）23.已知二次函数21:2L y x bx c =-++与x 轴交于A（1,0）、B （3,0）两点；二次函数22:43L y kx kx k =-+(k ≠0)的顶点为P. (1)请直接写出：b=_______，c=___________；(2)当90APB ∠=，求实数k 的值;(3)若直线15y k =与抛物线2L 交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不发生变化，请求出EF 的长度；如果发生变化，请说明理由.3、（2014年平谷一模）23．如图，在平面直角坐标系中，直线1=+y x 与抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为5．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为1:2．若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．4、（2014年顺义一模）23．已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ． （1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式．5、（2014年石景山一模）23. 已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负整数. （1）求m 的值；（2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的表达式；（3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转︒180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线121+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围．6、（2014年海淀一模）23．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点； （2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠=，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．7、（2014年西城一模）23. 抛物线23y x kx =--与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中点B 的坐标为(10)k +，.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上，记该抛物线为G ，求抛物线G 所对应的函数表达式；（3）将线段BC 平移得到线段B C ''（B 的对应点为B '，C 的对应点为C '），使其经过（2）中所得抛物线G 的顶点M ，且与抛物线G 另有一个交点N ，求点B '到直线OC '的距离h 的取值范围。

ABCEDFGH CHFG EPBDA2014年北京市各城区中考一模数学——几何综合题汇总1、（2014年丰台门头沟一模）24.已知：在△ABC 中，∠ABC =∠ACB =α，点D 是AB 边上任意一点，将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E . （1）如图12-1，当α=60°时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系；____ _ （2）如图12-2，当α=45°时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明； （3）如图12-3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系：_______________________．（用含α的式子表示,其中090a <<）2、（2014年丰台一模）24.在等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ， （1）如图1，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AF ⊥BE 交BC 于点F ，连结EF 、CD 交于点H.求证，EF ⊥CD ；（2）如图2，AD=AE ，AF ⊥BE 于点G 交BC 于点F ，过F 作FP ⊥CD 交BE 的延长线于点P ，试探究线段BP,FP,AF 之间的数量关系，并说明理由。

B图12-1B图12-2图12-33、（2014年平谷一模）24．（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，连接EF ，则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系；（2）在△ABC 中， AB =AC ，点D 、E 分别为BC 边上的两点．①如图2，当∠BAC =60°，∠DAE =30°时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是_________________； ②如图3，当∠BAC =α，(0°<α<90°)，∠DAE =α21时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是_____________．【参考：1cos sin 22=+αα】A B CEF 图1B CDE 图2AD图3AMN4、（2014年顺义一模）24．已知：如图，MNQ △中，MQ NQ ≠．（1）请你以MN 为一边，在MN 的同侧构造一个 与MNQ △全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下 面问题： 如图，在四边形ABCD 中，180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠． 求证：CD=AB ．QNMDCBA5、（2014年石景山一模）24．在矩形ABCD 中，AD =12，AB =8，点F 是AD 边上一点，过点F 作∠A F E =∠D F C ，交射线A B 于点E ，交射线C B 于点G ． （1）若FG =_____CFG ∠=︒；（2） 当以F ，G ，C 为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB 的长； （3）过点E 作EH//CF 交射线CB 于点H ，请探究：当GB 为何值时，以F ，H ，E ，C为顶点的四边形是平行四边形．6、（2014年海淀一模）24．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC =100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC =100°，20α=时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．DCBAABC备用图7、（2014年西城一模）24. 四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）语文试卷 2008.5第Ⅰ卷（共60分）一、选择题，完成第1—5题。

下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意，请将该答案的字母序号填在题干后的括号内。

（共10分）1．下面加点字读音有误的是（ ）（2分）A. 忌讳．（hu ì） 干涸．（h é） 谆．谆教诲（zh ūn ）B. 游弋．（y ì） 自诩．（y ǔ） 言简意赅．（g āi ）C. 蹒．跚（pán） 修葺．（q ì） 断壁残垣．（yu án ）D. 侥．幸（ji ǎo ） 执拗．（ni ù） 载．歌载舞（z ài ）2．根据成语解说，在横线处填写的汉字不正确的是( ) （2分）A ．完 归赵蔺相如到秦国献美玉时，见秦王无意给赵国城池，便派人把美玉完好无损地送回赵国。

比喻将原物完好无损地归还原主。

横线处应填“璧”字。

B ．守 待兔一农夫见一只兔子撞在树桩上死了，便捡回家。

以后他便每天守着树桩，希望再捡到兔子。

比喻心存侥幸，不劳而获。

横线处应填“株”字。

C ．闻鸡起东晋时，祖逖和刘琨互相勉励，立志为国效力，半夜听到鸡鸣就起床练剑。

形容有志之士及时发奋，刻苦自励。

横线处应填“武”字。

D．破沉舟项羽跟秦兵打仗，过河后把锅都打破，船都沉弃，营房烧毁，表示不再回来。

现比喻下决心，不顾一切干到底。

横线处应填“釜”字。

3．下面文字是对“微笑北京”主题活动的介绍。

在横线处填入恰当的词语，正确的是（）（2分）在开展“微笑北京”主题活动中，北京团市委推出了佩戴奥运志愿五色“微笑圈”的活动。

随着红、黑、绿、黄、蓝五色“微笑圈”越来越为人们所熟知并佩戴，整个活动的知晓率和参与率都在不断上升。

志愿服务奥运也是我们中学生的责任，我们将用微笑迎接八方来客。

A. 首当其冲B.不言而喻C. 义不容辞D.当之无愧4．填入下列文字横线处的语句，与上文衔接最恰当的是（）（2分）精读之外，还需要略读。

北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期中监测九年级数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.下列图形中，不是中心对称图形．．．．．．．．的是( )A. B. C. D. 2.函数5+=x y 中，自变量x 的取值范围是( )A ．x≤5- B ．x ≠5- C ． x ＞5- D ． x ≥5- 3.已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为3cm 和6cm ，且128OO cm =，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是( )A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含4. 如图，⊙O 的弦AB ＝8，OE ⊥AB 于点E ，且OE ＝3，则⊙O 的半径是 ( )A ．10B ．5C ．D ．25. 关于x 的方程(a -2)x 2－2x －3＝0有一根为3,则另一根为（ ）A ．-1B ．3C ．2D ．1 6. 已知正六边形的周长是12，则它的半径是( )A. B. C. 2 D. 127.已知：如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=130°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于P 点，则∠ADP 的度数为( )A ．65°B ．50°C ．45°D ．40°8. 如图，在ΔABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，点P 在AC 上，AP=1，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是( )A. B. C.D.1(4题图) （7题图） （8题图）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，其中有一个实数根是1，请你写出一个符合上面条件．．．．．．．．的一元二次方程 ． 33231534310. 小明要制作一个圆锥模型，如图，其侧面是由一个半径为9cm ，圆心角为240°的扇形纸板制成的，还需要一块圆形纸板做底面，那么这块圆形纸板的直径．．为 . 11. 如图，△BAC 是直角三角形，其中∠BAC=90°，O 是∆BAC 的内心，则∠BOC= ． 12. 如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是.(10题图) （11题图） （12题图）三、解答题（本题共50分，每小题5分）13. 计算：14. 已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值.15. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点P ，CP ：DP=3:1，AB=8，求线段OP 的长. （15题图）16. 如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）.（1）在图中作出△．ABC ．．．关于直线 对称的△A 1B 1C 1；（要求A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1相对应）（2）作出△．ABC ．．．绕点C 顺时针方向旋转90°后得到的△A 2B 2C ； （3）在⑵的条件下直接写出点B 旋转到B 2所经过的路径的长.（结果保留π）.（16题图）17. 已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ． （1）求证：无论k 取任何实数时，此方程总有实数根;33411201---+⎪⎭⎫ ⎝⎛--）（πlCAB C（2）若关于x 的一元二次方程03)13(2=+++x k kx 的两个根均为整数．．，且k 为正．整数．．，求k 的值.18. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠B =30°，延长BA 到D 使∠BDC =30°. （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若AB =2，求DC 的长.（18题图）19. 学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用10米长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成（如图所示）． 若花圃的面积为48平方米，AB 边的长应为多少米？（19题图）20. 在同一平面直角坐标系中有5个点：A （1，1），B （3-，1-），C （3-，1），D （2-，2-），E （0，3-）.（1）画出．．△ABC 的外接圆⊙P ，并直接写出．．．．．点D 与⊙P 的位置关系；（2）若直线经过点D （2-，2-），E （0，3-），判断直线与⊙P 的位置关系，并说明理由.（20题图）21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 是⊙O 的两条切线，CO 平分∠ACD． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AC=2，BD=3，求⊙O 的半径．（21题图）22. （1）观察发现 如图（1）：若点A 、B 在直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP+BP 的值最小，做法如下：作点B 关于直线m 的对称点B ′，连接AB ′，与直线m 的交点就是所求的点P ，线段AB ′的长度即为AP+BP 的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小，做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为 ． （2）实践运用 如图（3）：已知⊙O 的直径CD 为2，∠AOC 的度数为60°，点B 是弧AC 的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为 （3）拓展延伸 如图（4）：点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边AB 、BC 上作出点M 、点N ，使PM+PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．四、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知:关于x 的一元二次方程01-m x 2m 2-mx 2=++）（（1）若此方程有实根．．．,求m 的取值范围； （2）在(1)的条件下,且m 取最小的整数,求此时方程的两个根；（3）若A 、B 是平面直角坐标系中x 轴上的两个点,点B 在点A 的左侧，且点A 、B 的横坐．．（图3）DCB标．分别是（2）中方程的两个根,以线段AB 为直径在x 轴的上方作半圆P,设直线 的解析 式为y=x+b,若直线 与半圆P 只有两个交点时,求出b 的取值范围.24. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠ABC=45°，△DCE 是等腰直角三角形，∠DCE=90°.（1）求证：△ACB 是等腰直角三角形；（2）若点M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点.求证：（24题图）25. 在直角坐标系xOy 中，已知点P是反比例函数y =（x>0）图象上一个动点， 以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A.（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKPA 的形状， 并说明理由.（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C.当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标；OM MN 2=②反比例函数y x=（x>0）图象上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的12，若存在，直接写出所有满足条件的M 点的坐标；若不存在，试说明理由.（25题图1） （25题图2）答案及评分标准说明：第12题第每空2分，第2个空答对一种情况给1分．三、解答题（本题共50分，每小题5分）13. 解：原式= …………4分= …………5分14. 已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值.解：原式=……………………2分 = ……………………3分 ∵2514x x -=∴原式= 15 ……………………5分33411201---+⎪⎭⎫ ⎝⎛--）（π31432-+-33-1)12(13222+++-+-x x x x 152+-x x15. 解：连接OA ……………………1分 ∵CD ⊥AB ，AB=8∴∠CPA=90°，AP=4 ……………………2分 ∵CP:DP=3：1∴设DP=x ，则CP=3x ，CD=4x ……………………3分 ∵⊙O∴OA=OD= =2x ∴OP=OD-PD=x ……………………4分 ∵∠CPA=90° ∴OA 2-OP 2=AP 216. 解：⑴………..………..1分 ⑵ ………..………..3分⑶解：BC=2241+=17 点B 旋转到B 2所经过的路径的长为1801790π=π217………..………..5分 CD21A 2B 2l C A B A 1C 1 B 1 CB17.解：（1）当k=0时，方程为x+3=0，解得x = －3 ，∴此时方程有实数根. ………..1分当k ≠0时，△= .………..2分∵ ∴△≥0 ∴此时方程有实数根 ………..………..3分 ∴综上，无论k 取任何实数时，此方程总有实数根.（2） ………..………..4分 ∵关于x 的一元二次方程03)13(2=+++x k kx 的两个根均为整数，且k 为正整数∴k = 1 ………..………..5分 18．（1）证明：连接OC ∵弧AC ，∠B=30°∴∠COA=2∠B=60°………..1分 ∵∠BDC=30°∴∠OCD=90° ………..2分 ∵OC 是⊙O 的半径∴DC 是⊙O 的切线. ………..3分 （2）解：∵AB=2∴OC=1 …..………..4分∵∠OCD=90°，∠BDC=30° ∴OD = 219．解： 设AB 边的长为x 米，则BC 边的长为（20－2x ）米 ………..1分 x （20－2x ）= 48 ………..2分解得，………..3分 ∵20－2x ≤10 ∴x ≥5∴ x = 6 ………..4分 答：AB 边的长应为6米. ………..5分20解：（1）所画⊙P 如图所示………..………..1分 由图可知，⊙P 的半径为5 连结PD ，∵52122=+=PD ，∴点D 在⊙P 上 ……….. ……2分（2）直线与⊙P 相切 ………..………..3分2222)13(16912)13(4-=+-=-+=-k k k k k ac b 01)-k 32≥（k1321-=-=x x ，解得6421==x x ，连结PE .∵直线过点D （2-，2-），E （0，3-） ∴1031222=+=PE ，52=PD ，52=DE ∴222DE PD PE +=………..………..4分 ∴△PDE 是直角三角形，且︒=∠90PDE ∴l PD ⊥∴直线与⊙P 相切 ………..………..5分21. （1）证明：过O 点作OE⊥CD 于E∵AC 是⊙O 的切线∴OA⊥AC ……………………………………………1分 ∵CO 平分∠ACD，OE⊥CD ∴OA=OE，∴CD 是⊙O 的切线． ………………………………2分 （2）解:∵AC、CD 、BD 都是切线 ∴AC=CE=2，BD=DE=3,∠ABD=90°∴CD=CE+DE=5 …………………………3分 过点C 作CF ⊥BD 于F ∴四边形ABFC 是矩形 ∴AB = CF ,BF = AC = 2∴DF = 1 …………………………4分 ∴CF =22.解：（1） ； ………………1分（2） ； ………………3分 （3）………………5分23．（1）解：∵关于x 的一元二次方程∴m ≠0…………..1分∵关于x 的一元二次方程有实根∴△=（2m+2）2-4m （m-1）=12m+4≥0F6232B解得m ≥31- ∴当m ≥31-且 m ≠0时此方程有实根……..2分（2）解：∵在(1)的条件下,当m 取最小的整数 ∴m=1…………..3分∴原方程化为：x 2-4x=0x （x-4）=0 x 1=0，x 2=4 ………….. …………..4分（3）解：如图所示：①当直线 经过原点O 时与半圆P 有两个交点，即b=0………5分与半圆P 相切于D 点时有一个交点，如图由题意可得△EDP 、Rt △ECO 是等腰直角三角形 DP=2 ∴EP=22………….6分OC=2-22 即b=2-220≤b ＜2-22时，直线 与半圆P 只有两个交点...7分24.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90° …………..1分∵∠ABC=45°∴∠CAB=∠ABC =45° ∴△ACB 是等腰直角三角形. …………..2分（2）连接ON 、AE 、BD ，并延长BD 交AE 于点F ∵∠CAB=∠ABC∴AC = BC∵等腰直角三角形DCE ，∠DCE=90° （24题图） ∴CD= CE ,∠BCD = ∠ACE∴△BCD ≌△ACE …………..3分 ∴AE = BD ，∠DBC=∠EAC …………..4分∴∠ABF+∠BAE = 45－∠DBC + 45°+∠EAC = 90° ∵O 、N 分别是线段AB 、AD 的中点 ∴ON ∥BD ，ON = BD同理可证，OM ∥AE ，OM = AE …………..5分∴ON = OM ，∠AON=∠ABF ，∠BOM=∠BAE ∴∠AON+∠BOM=90°∴∠MON = 90° …………..6分∴ …………..7分2121OM MN 2（其他方法，酌情给分）25.解：(1)∵⊙P 分别与两坐标轴相切∵ PA ⊥OA ，PK ⊥OK ………..………..1分∴∠PAO=∠OKP=90°.又∵∠AOX = 90°∴∠PAO=∠OKP= ∠AOK= 90°∴四边形 OKPA 是矩形∵OA=OK.∴四边形 OKPA 是正方形 ………..………..2分（2）①连接PB ，过点P 作PG ⊥BC 于G∵四边形 ABCP 为菱形∴BC = PA = PB = PC∴△PBC 为等边三角形.在Rt △PBG 中，∠PBG= 60°，PB = PA = x ∴∴点P （xx ）∵点P在反比例函数y =2x =x=2(负值舍去)………..………..3分∴PA= BC= 2. 易知四边形OGPA 是矩形PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB= OG- BG= 1 , OC= OG+ GC= 3.(1,0),(3,0)A B C ∴ ………..………..6分② M （1,M 3(22-………..………..8分(25题 图1) (25题 图2)G。

2014北京市朝阳区九年级综合练习（一）数 学 试 卷 2014.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．-5的相反数是A ．5B ．-5C ．15 D ．152．高速公路假期免费政策带动了京郊旅游的增长．据悉，2014年春节7天假期，我市乡村 民俗旅游接待游客约697 000人次，比去年同期增长14.1%．将697 000用科学记数法 表示应为 A ．697×103B ．69.7×104C ．6.97×105D ．0.697×1063．把多项式x 2y ﹣2 x y 2+ y 3分解因式，正确的结果是（ ） A ．y (x ﹣y)2B ．y (x + y )(x ﹣y )C ．y (x + y )2D ．y (x 2﹣2xy + y 2)4．在九张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是奇数的概率是 A ．29 B ．13C ．49D ．59 5．如图，△ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上，DE ∥AB ， 若∠ADE =46°，则∠B 的度数是 A ．34° B ．44° C ．46°D ．54°6．期中考试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小晖说：“我们组考分是82分的人最多”，小聪说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是82分”．上面两位同学的话能反映出的统计量是A ．众数和平均数B ．平均数和中位数C ．众数和方差D ．众数和中位数7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =2x 2+mx +8的顶点A 在x 轴 上，则m 的值是 A ．±4 B ． 8C ．-8D ．±88．正方形网格中的图形（1）～（4）如图所示，其中图（1）、图（2）中的阴影三角形都是有一个角是60°的直角三角形，图（3）、图（4）中的阴影三角形都是有一个角是60°的锐角三角形．以上图形能围成正三棱柱的图形是A ．（1）和（2）B ．（3）和（4） C．（1）和（4） D ．（2）、（3）、（4）B5题图7题图二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．请写出一个经过第一、二、三象限，并且与y 轴交与点（0,1）的 直线表达式 ____________．10．如图，已知零件的外径为30 mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD 相等，OC =OD ）测量零件的内孔直径AB ．若OC ：OA =1∶2，且量得CD ＝12 mm ，则零件的厚度_____x =mm ．11．将一张半径为4的圆形纸片（如图①）连续对折两次后展开得折痕AB 、CD ，且AB ⊥CD ，垂足为M （如图②），之后将纸片如图③翻折，使点B 与点M 重合，折痕EF 与AB 相交于点N ，连接AE 、AF （如图④），则△AEF 的面积是__________．12．如图，在反比例函数2y x=（x > 0）的图象上有点A 1，A 2，A 3，…，A n -1，A n ，这些点的横坐标分别是1，2，3，…，n -1，n 时，点A 2的坐标是__________；过点A 1 作x 轴的垂线，垂足为B 1，再过点A 2作A 2 P 1⊥A 1 B 1于点P 1，以点P 1、A 1、A 2为顶点的△P 1A 1A 2的面积记为S 1，按照以上方法继续作图，可以得到△P 2 A 2A 3，…，△P n -1 A n -1 A n ，其面积分别记为S 2，…，S n -1，则S 1+ S 2+…+ S n =________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13． 计算：11()3--－8－(5－π)0+4cos45°． 14．解不等式组：22021 1.3x x x -≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩，15． 已知2240x x +-=，求22(1)(6)3x x x ---+的值．10题图图① 图② 图③ 图④16．如图，四边形ABCD是正方形，AE、CF分别垂直于过顶点B的直线l，垂足分别为E、F．求证：BE=CF．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AD=6，A（1，0），B（9，0），直线y=kx+b经过B、D两点．（1）求直线y=kx+b的表达式；（2）将直线y=kx+b平移，当它l与矩形没有公共点时，直接写出b的取值范围．Array18．列方程或方程组解应用题：从A地到B地有两条行车路线：路线一：全程30千米，但路况不太好；路线二：全程36千米，但路况比较好，一般情况下走路线二的平均车速是走路线一的平均车速的1.8倍，走路线二所用的时间比走路线一所用的时间少20分钟．那么走路线二的平均车速是每小时多少千米？．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，△ABC中，BC >AC，点D在BC上，且CA=CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E 是AB的中点．（1）求证：EF∥BD ；（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四边形BDFE的面积．20．据报道，历经一年半的调查研究，北京PM 2.5源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM 2.5的最大来源，一辆车一天行驶20千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放0.035千克污染物．以下是相关的统计图、表：（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“2013年北京市全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100辆机动车，了解到其中每天出行超过20千米的有40辆．已知北京市2013年机动车保有量已突破520万辆，请你通过计算，估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？21．如图，CA 、CB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ．直径延长AD 与CB 的延长线交于点E ． AB 、CO 交于点M ，连接OB ． （1）求证：∠ABO =12∠ACB ； （2）若sin ∠EAB ，CB =12，求⊙O 的半径及BEAE的值．A2013年北京市全年空气质量等级天数统计表北京市空气中PM 2.5本地污染源扇形统计图22．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移).小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等．．．．，若设新的正方形的边长为x （x ＞0），可得x 2=5，x 由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长. 参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．具体要求如下： （1）设拼接后的长方形的长为a ，宽为b ，则a 的长度为 ； （2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）； （3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程 23(1)230mx m x m -+++=.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．图④ 图⑤CB图① 图② 图③24．在△ABC 中，CA ＝CB ，在△AED 中， DA ＝DE ，点D 、E 分别在CA 、AB 上，． （1）如图①，若∠ACB ＝∠ADE ＝90°，则CD 与BE 的数量关系是 ； （2）若∠ACB ＝∠ADE ＝120°，将△AED 绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ；， （3）若∠ACB ＝∠ADE ＝2α（0°< α < 90°），将△AED 绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段CD 与BE 的数量关系，并加以证明(用含α的式子表示)．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A( 0)，点B (0，2)，点C 是线段OA 的中点． （1）点P 是直线AB 上的一个动点，当PC +PO 的值最小时，①画出符合要求的点P （保留作图痕迹）； ②求出点P 的坐标及PC +PO 的最小值；（2）当经过点O 、C 的抛物线y =ax 2+bx +c 与直线AB 只有一个公共点时，求a 的值并指出这个公共点所在象限．A 图①A 图③A 图②北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准 2014.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．D 7．B 8．C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．答案不唯一，如y =x +1 10. 3 11.12. (2,1)；1n n-.（每空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式3142=--+………………………………………… 4分 =-4.………………………………………………………………… 5分14.解：220211.3x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由不等式①，得x ≥1. ……………………………………………………… 2分由不等式②，得x < 4. ……………………………………………………… 4分所以不等式组的解为1≤x < 4. …………………………………………… 5分15. 解：原式2224263x x x x =-+-++ ………………………………………………2分= x 2+2x +5. …………………………………………………………………3分∵ x 2+2x -4 =0，∴ x 2+2x = 4. ……………………………………………………………………4分 ∴ 原式=4+5=9. …………………………………………………………………5分16. 证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB =BC ，∠ABC=90°． ……………………………………………………1分 即 ∠ABE +∠CBF =90°． ∵ AE ⊥l ，CF ⊥l ，∴ ∠AEB =∠BFC =90°，且∠ABE+∠BAE =90°． ……………………… 2分 ∴ ∠BAE =∠CBF ． ………………………………………………………… 3分 ∴ △ABE ≌△BCF ． ………………………………………………………… 4分 ∴ BE =CF ． ………………………………………………………………… 5分17. 解:（1）∵ A （1，0）， B （9，0），AD =6．∴D (1，6)． ………………………………………………………………… 1分 将B ， D 两点坐标代入y =kx +b 中，得6,90k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得 34,274k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 32744y x =-+． …………………………………………………… 3分（2）34b <或514b >. ……………………………………………………………… 5分18. 解：设走路线一的平均车速是每小时x 千米，则走路线二平均车速是每小时1.8x 千米． …………………………………… 1分 由题意，得3036201.860x x =+ ……………………………………………………… 2分 解方程，得 x =30. …………………………………………………………3分 经检验，x =30是原方程的解，且符合题意. …………………………………4分 所以 1.8x =54． …………………………………………………………………5分 答：走路线二的平均车速是每小时54千米.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证明：∵ CA =CD ，CF 平分∠ACB ，∴ CF 是AD 边的中线． …………………………………………………1分 ∵ E 是AB 的中点，∴ EF 是△ABD 的中位线．∴ EF ∥BD ； ………………………………………………………………2分（2）解：∵ ∠ACB =60°，CA =CD ，∴ △CAD 是等边三角形．∴ ∠ADC =60°，AD =DC =AC =8．∴ BD =BC -CD =4．过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ．∴ sin AM AD ADC =⋅∠= ．12ABD S BD AM ∆=⋅= …………………………………………………… 3分∵ EF ∥BD ，∴ △AEF ∽△ABD ，且12EF BD =．∴14AEF ABD S S ∆∆=．∴AEF S ∆=． …………………………………………… 4分 四边形BDFE 的面积=ABD AEF S S ∆∆-=． ………………………………… 5分20.解：（1）31.1； ……………………………………………………………………… 1分（2）45134113584474513++++++ ……………………………………………… 2分≈0.16 ． …………………………………………………………………… 3分 该年度重度污染和严重污染出现的频率共是0.16．（3）4052000000.035100⨯⨯ …………………………………………………… 4分 =7 280 0. …………………………………………………………………… 5分 估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放 72 800千克污染物．21. 解：（1）证明：∵CA 、CB 为⊙O 的切线， ∴ CA =CB ， ∠BCO =12∠ACB ，∴∠CBO =90°．……………………………… 1分 ∴ CO ⊥AB ．∴ ∠ABO +∠CBM =∠BCO +∠CBM =90°． ∴ ∠ABO =∠BCO ． ∴ ∠ABO =12∠ACB ． ……………………………………………………………2分 （2） ∵ OA ＝OB ， ∴∠EAB =∠ABO ．∴ ∠BCO ＝∠EAB ． ∵ sin ∠BCO =sin ∠EAB ．…………………3分 ∴OB CB ＝13． ∵ CB ＝12，∴ OB ＝4． ……………………………………………4分 即⊙O 的半径为4．∴∠OBE ＝∠CAE ＝90°，∠E ＝∠E ， ∴△OBE ∽△CAE ． ∴BE AE ＝OB CA． ∵CA ＝CB ＝12， ∴BE AE ＝13． ………………………………………………………………………5分22. 解：（1； ……………………………………………………………………… 1分A（2）如图（画出其中一种情况即可）…………………………………… 3分（2）如图（画出其中一种情况即可） ……………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 解：（1）由题意 m ≠ 0， ………………………………………………………… 1分 ∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ △>0． ……………………………………………………………… 2分即 22[3(1)]4(23)(3)0m m m m -+-+=+>．得 m ≠﹣3． ………………………………………………………………… 3分 ∴ m 的取值范围为m ≠0和m ≠﹣3；（2）设y =0，则23(1)230mx m x m -+++=．∵ 2(3)m ∆=+， ∴ 33(3)2m m x m+±+=．∴ 123m x m+=，21x =．……………………………………………… 5分 当 123m x m+=是整数时， 可得m =1或m =-1或m =3．………………………………………………………… 6分 ∵ 4x <，∴ m 的值为﹣1或3 ． …………………………………………………………… 7分24.解：（1）BE ； ……………………………………………………………… 1分（2）BE ； ………………………………………………………………… 3分（3）BE =2CD ·sin α． ……………………………………………………………… 4分 证明：如图，分别过点C 、D 作CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AE 于点N ， ∵ CA ＝CB ，DA ＝DE ，∠ACB ＝∠ADE =2α ， ∴ ∠CAB ＝∠DAE ，∠ACM ＝∠ADN=α ，AM=12AB ，AN=12AE ． ∴∠CAD ＝∠BAE ． ……………………………………………………………… 5分Rt △ACM 和Rt △ADN 中,sin ∠ACM =AM AC，sin ∠ADN =ANAD ．∴ sin AM AN AC AD α==．∴ 2sin AB AE AC ADα==．……………………… 6分又 ∵∠CAD ＝∠BAE ，∴ △BAE ∽△CAD ．∴ 2sin BE AB CD ACα==∴ BE =2DC ·sin α． ……………………………………………………………… 7分25. 解：（1）①如图1． ………………………………………………………………… 1分 ②如图2，作DF ⊥OA 于点F ，根据题意，得 AC =COBAO =30°，CE =DE ， ∴ CDCF，DF =32． ∴ D（，32）．………………………2分 求得直线AB的表达式为2y =+， 直线OD的表达式为y =， ∴ P（1）．……………………… 3分在△DFO 中，可求得 DO =3．∴PC +PO 的最小值为3． ……………………… 4分（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O 、C ，∴2y ax =． ……………………………………………………………… 5分由题意，得22ax +=+　． …………………………………………… 6分 整理，得22=0ax x +--． ∵242=0a ∆--⨯-=（）．图2∴a=………………………………………………………………7分当a=当a=……………………………………………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分．。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数 学 试 卷 2011.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3的绝对值是A ．3B ．-3C ．31D ．31- 2．2011年3月11日，里氏9.0级的日本大地震导致当天地球的自转时间减少了0.000 001 6 秒，将0.000001 6用科学记数法表示为 A ．16×10-7 B ．1.6×10-6 C ．1.6×10-5 D ．0.16×10-5 3．下列运算正确的是A. x 2＋x 2 =2x 4B. x x x 232=÷C. x 4 · x 2 = x 6D. 235()x x =4．从分别标有A 、B 、C 的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下：那么抽出的两根签中，一根标有A ，一根标有C 的概率是 A ．91 B ．92 C ．31 D ．94 5．在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：则这四人中，成绩发挥比较稳定的是A.甲B.乙C.丙D.丁6．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不一定相同的几何体是7．一元钱硬币的直径约为24mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 A ．12 mm B ．123mm C ．6mm D ．63mm 8．已知二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点A （-1，1），则ab 有 A ．最大值 1 B ．最大值2 C ．最小值0 D ．最小值41-A正方体长方体B 圆柱C 圆锥D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在函数21+=x y 中，自变量x 的取值范围是______．10．分解因式2233ax ay -=______．11．如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB =40°， 点D 是弧BAC 上一点，则∠D 的度数是______． 12．如图，P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，设BC=a ，当B 1、C 1分别为AB 、AC 的中点时，B 1C 1=a 21， 当B 2、C 2分别为BB 1、CC 1的中点时，B 2C 2=a 43，当B 3、C 3分别为BB 2、CC 2的中点时，B 3C 3=a 87，当B 4、C 4分别为BB 3、CC 3的中点时，B 4C 4=a 1615，当B 5、C 5分别为BB 4、CC 4的中点时，B 5C 5=______， ……当B n 、C n 分别为BB n-1、CC n-1的中点时，则B n C n = ；设△ABC 中BC 边上的高为h ，则△PB n C n 的面积为______(用含a 、h 的式子表示)． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算： ()12130tan 32101+-+︒-⎪⎭⎫ ⎝⎛-π.14．已知0122=-+a a ，求)2)(2()1(3)2(2-++--+a a a a 的值.15．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，CE 的延长线与DA 的延长线相交于点F ． （1）求证：△BCE ≌△AFE ；（2）连接AC 、FB ，则AC 与FB 的数量关系是 ，位置关系是 ．B(第12题图)(第11题图)16．如图，一次函数y=kx +2的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数xmy的图象的一个交 点为A （2，3）． （1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，若点P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于18，求P 点的坐标．17．列方程或方程组解应用题：某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息： 信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元． 根据以上信息，原来报名参加的学生有多少人？18．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，求FC 的长．四、解答题（本题共20分，第19、20题每小题5分，第21题6分，第22题4分） 19．已知关于x 的方程 (m -1) x 2 - 2x + 1=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为非负整数，求抛物线y =(m -1)x 2 - 2x + 1的顶点坐标．20．2011年北京春季房地产展示交易会期间，某公司对参加本次房交会的消费者的年收入和打算购买住房面积这两项内容进行了随机调查，共发放100份问卷，并全部收回．统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图：消费者年收入统计表 消费者打算购买住房面积统计图请你根据以上信息，回答下列问题： （1）补全统计表和统计图；（2）打算购买住房面积小于100平方米 的消费者人数占被调查人数的百分 比为 ；（3）求被调查的消费者平均每人年收入 为多少万元？21．已知：如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若BC ＝5，AB ＝8，求OF 的长．22．阅读并操作：如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③).拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1).图①图② 图③请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中.（1）新图形为平行四边形；（2）新图形为等腰梯形.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，34tan=∠CAD，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y.（1）求AC和AD的长；（2）求y与x的函数关系式；（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值.24．已知抛物线()13)2(2++-+-=mxmxy.（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角，那么m的取值范围是；（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△P AO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式.25．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为；（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图①图②北京市朝阳区九年级综合练习（一） 数学试卷评分标准及参考答案2011.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．2-≠x 10．))((3y x y x a -+ 11．50°12．a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+- （注：前两空每空1分，第三空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=3213332++⨯- ………………………………………………… 4分 =33+. ………………………………………………………………… 5分 14．解：原式= 4334422-++-++a a a a ………………………………………… 3分 = 322++a a . …………………………………………………………… 4分 ∵0122=-+a a ，∴122=+a a ．∴原式=1+3=4 ． ………………………………………………………………… 5分15．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠1 =∠F ． …………………………… 1分 ∵点E 是AB 的中点，∴BE=AE. ……………………………… 2分 在△BCE 和△AFE 中，1=∠F ，∠3=∠2， BE=AE ，∴△BCE ≌△AFE. ……………………………………………………… 3分 （2）相等， ……………………………………………………………………………… 4分 平行. ……………………………………………………………………………… 5分 16. 解：（1）把A （2，3）代入xmy =，∴m=6. ∴xy 6=. ……………………………………………………………… 1分把A （2，3）代入y=kx+2， ∴322=+k . ∴21=k . ∴.221+=x y ………………………………………………………… 2分 （2）令0221=+x ,解得x=-4，即B （-4，0）. ∵AC ⊥x 轴，∴C （2，0）.∴ BC=6. ………………………………………………………………… 3分设P(x,y)， ∵S △PBC=y BC ⋅⋅21=18， ∴y 1=6或y 2=-6. 分别代入xy 6=中， 得x 1=1或x 2=-1.∴P 1（1，6）或P 2（-1，-6）. …………………………………………… 5分17．解：设原来报名参加的学生有x 人， ……………………………………………… 1分 依题意，得42480320=-xx . ……………………………………………… 2分 解这个方程，得 x=20． ……………………………………………… 3分 经检验，x=20是原方程的解且符合题意. …………………………………… 4分答：原来报名参加的学生有20人．…………………………………………… 5分18. 解：由题意，得AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. …………………………………… 1分在Rt △ADE 中，由勾股定理，得DE=3. …………………………………… 2分 在矩形ABCD 中，DC=AB=5.∴CE=DC-DE=2. ………………………………………………………………… 3分 设FC=x ，则EF=4-x.在Rt △CEF 中，()22242x x -=+. .…………………………………………… 4分 解得23=x . ……………………………………………………………………… 5分 即FC=23.四、解答题（本题共20分，第19、20题每小题5分，第21题6分，第22题4分） 19. 解：（1）∵方程 (m-1) x 2 - 2x + 1=0有两个不相等的实数根，∴()()01422>---=∆m . ……………………………………………… 1分解得m<2. …………………………………………………………………… 2分∴m 的取值范围是m ＜2且m≠1. …………………………………………… 3分（2）由（1）且m 为非负整数,∴m=0. ………………………………………………………………………… 4分∴抛物线为y= -x 2 - 2x + 1= -(x+1)2+2.∴顶点(-1,2). ………………………………………………………………… 5分20．解：（1）50, ………………………… 1分 如图； ……………………… 2分（2）52%；…………………………3分 （3）100124912309506108.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7.5 （万元）. ……………… 5分故被调查的消费者平均每人年收入为7.5万元.21.（1）证明：∵OC ⊥AB ，CD ∥BA ，∴∠DCF=∠AHF=90°.∴CD 为⊙O 的切线. ……………… 2分（2）解：∵OC ⊥AB ，AB ＝8，∴AH=BH=2AB =4.在Rt △BCH 中，∵BH=4，BC=5，∴CH=3. ……………………………… 3分 ∵AE ∥BC ，∴∠B=∠HAF. ∴△HAF ≌△HBC.∴FH=CH=3，CF=6. ………………………………………………………… 4分 连接BO ，设BO=x ，则OC=x ，OH=x-3.在Rt △BHO 中，由()22234x x =-+，解得625=x . …………………… 5分 ∴611=-=OC CF OF . .…………………………………………………… 6分22. 解：（1） （2）（注：每图2分）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23.解：（1）∵AD ∥BC ，∠B=90°， ∴∠ACB=∠CAD.∴tan ∠ACB =tan ∠CAD=34. ∴34=BC AB .∵AB=8， ∴BC=6.则AC=10. ……………………………………………………1分 过点C 作CH ⊥AD 于点H ，∴CH=AB=8,则AH=6. ∵CA=CD,∴AD=2AH=12. .………………………………………………………………………2分 （2）∵CA=CD, ∴∠CAD=∠D.∵∠FEC=∠ACB ，∠ACB=∠CAD ， ∴∠FEC=∠D.∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D ， ∴∠1=∠2.∴△AEF ∽△DCE. ……………………………………………………………………3分∴AECDAF DE =，即x -1210y -10x =. ∴1056101y 2+-=x x . .……………………………………………………………4分 （3）若△EFC 为等腰三角形.①当EC=EF 时，此时△AEF ≌△DCE ，∴AE=CD.由12-x=10，得x=2. .…………………………………………………………………5分 ②当FC=FE 时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE ， ∴CE=AE=12-x.在Rt △CHE 中，由()()2228612+-=-x x ，解得311=x . …………………… 6分 ③当CE=CF 时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE ，此时点F 与点A 重合，故点E 与点D 也重合，不合题意，舍去. …………………7分 综上，当△EFC 为等腰三角形时，x=2或311=x . 24. (1)证明：∵()()()131422+⨯-⨯--=∆m m …………………………………………1分()042≥+=m …………………………………………………………… 2分∴无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有交点.(2)m ＜-1且m≠-4. ……………………………………………………………………… 3分 (3)解：令()013)2(2=++-+-=m x m x y ，解得x 1=m+1，x 2=-3. …………………………………………………………………………4分可求得顶点()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-44,222m m P .①当A(m+1,0)、B(-3,0)时， ∵ABC PAO S S ∆∆=，∴()()()()13421441212+⨯--=+⨯+m m m m .……………………………………………5分 解得16-=m .∴45182---=x x y .…………………………………………………………………………6分 ②当A(-3,0)、B(m+1,0)时，同理得()()()[]13421443212+-⨯+=+⨯⨯m m m .…………………………………………7分 解得58-=m . ∴595182---=x x y .…………………………………………………………………………8分 25. (1)BD=2BM. ……………………………………………………………………………2分 (2)结论成立.证明:连接DM ，过点C 作CF ∥ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ， 可证得△MDE ≌△MFC.………………………………… 3分 ∴DM=FM, DE=FC.∴AD=ED=FC. 作AN ⊥EC 于点N.由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，可证得∠1=∠2, ∠3=∠4.……………………………4分 ∵CF ∥ED ，∴∠1=∠FCM.∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.∴△BCF ≌△BAD. …………………………………………………………………………5分 ∴BF=BD ，∠5=∠6.∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°.∴△DBF 是等腰直角三角形. ………………………………………………………………6分 ∵点M 是DF 的中点， 则△BMD 是等腰直角三角形.∴BD=2BM. ……………………………………………………………………………… 7分 （说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分．）。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2015.5学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界 平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A ．0.8×1013B ．8×1012C ．8×1013D ．80×10112. 如图，下列关于数m 、n 的说法正确的是A ．m ＞nB ．m =nC ．m ＞－nD ．m =－n3．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于 A ．20° B ．40° C ．60° D ．80°4．下列计算正确的是A ．2a +3a =6a B. a 2+a 3=a 5 C. a 8÷a 2=a 6 D. (a 3)4= a 7 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是 A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差7为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为 A.16 B. 51C. 310D. 12 8. 若正方形的周长为40，则其对角线长为A ．100B ．C ．D ．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河 垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m ， ST =120 m ，QR =80 m ，则河的宽度PQ 为A ．40 mB ．60 mC ．120 mD ．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的 时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若分式21x 有意义，则x 的取值范围是 ．12．分解因式：2236+3m mn n -= ．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为 ．14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－1，2）的函数，所写的函数表达式是 ．15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a ，417a-，526a ，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：1012sin 45(2015)3-⎛⎫+--︒+- ⎪⎝⎭π．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，20．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁 于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D作DE ∥AC 且DE=12AC ，连接 CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ．（1）求证：OE =CD ；（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，求AE 的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为 万吨；（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据； （3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与 公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份 公共自行车投放数量（万辆） 利用公共自行车出行人数（万人） 2012 1.4 约9.9 2013 2.5 约17.6 2014 4 约27.6 2015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果， 精确到0.1）25.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，点D 在⊙O 上，过点D 作⊙O切线与AC 的延长线交于点E ，ED ∥BC ，连接AD 交BC 于点F . （1）求证：∠BAD =∠DAE ；（2）若AB =6，AD =5，求DF 的长.26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APPD的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求APPD的值； （2）若CD=2，则BP = ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.28．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.图1图2图329．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ； ②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．图1 图2北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a，nn a n 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分 21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分① ②12436--=k 244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根， ∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分 ① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分 ② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数. ∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意，得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分 解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ． ∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，CE =………………4分 在Rt △ACE 中，．………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分 （2）如图. …………… 3分（3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD，∵ED为⊙O的切线，∴OD⊥ED．……………………………………………………………………………1分∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ……………………………………………………………… 2分∵BC∥ED,∴∠ACB=∠E=∠EDO.∴AE∥OD.∴∠DAE=∠ADO.∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADO.∴∠BAD=∠DAE. ………………………………3分（2）连接BD，∴∠ADB=90°.∵AB=6，AD=5，∴BD=……………………………………………………………4分∵∠BAD=∠DAE=∠CBD ，∴tan∠CBD = tan∠BAD.在Rt△BDF中，∴DF=BD·tan∠CBD =115. ……………………………………………………………5分26. 解：PDAP 的值为23 . …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2，∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k .∵E 是AC 中点，∴AE ＝CE .∵AF ∥DB ，∴∠F ＝∠1.又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分∴AF ＝BC ＝2k .∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP . ∴DB AF PDAP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分 （2） 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) .∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分∵直线n x y +=经过点F ，∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.∵DF ⊥BC ，∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠ABC =∠DFB =90°.∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中，∵AC =8，DF =3，∴AC=，DF=. ………………………………………………………………4分AF =AB －BF=即BE= …………………………………………………………………………5分（2BD =BE +AB. ……………………………………………………………………7分29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=，根据题意，有 ⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k . 图1∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P . ∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分。

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数 学 试 卷 2013.5学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.-3的倒数是A ．13B ．13- C ． 3 D ．-32．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行．最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大约是200000000人一年的口粮．将200000000用科学记数法表示为 A ．8210⨯ B ．9210⨯ C ．90.210⨯ D ．72010⨯3． 若一个正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是 A ．10 B ．9 C ．8 D ．54．如图，AB ∥CD ，E 是AB 上一点，EF 平分∠BEC 交CD 于点F ，若∠BEF =70°，则∠C 的度数是A ．70°B ．55°C ．45°D ．40°5．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上 的点数大于4的概率为 A ．61 B ．31 C ．41 D ．216．把方程2630x x ++=化成()2x n m +=的形式，正确的结果为A ．()236x += B ．()236x -= C ．()2312x += D ．()2633x +=7．某校春季运动会上，小刚和其他16名同学参加了百米预赛，成绩各不相同，小刚已经知道了自己的成绩，如果只取前8名参加决赛，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道所有参加预赛同学成绩的A . 平均数B . 众数C . 中位数D . 方差8．如图，将一张三角形纸片ABC 折叠，使点A 落在BC 边上，折痕EF ∥BC ，得到△EFG ；再继续将纸片沿△BEG 的对称轴EM 折叠，依照上述做法，再将△CFG 折叠，最终得到矩形EMNF ，折叠后的△EMG 和△FNG 的面积分别为1和2，则△ABC 的面积为A . 6 B. 9 C . 12 D . 18二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是 ．10．分解因式：3m m -= .11．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，AB =32，∠B =30°，则△AOC 的周长为 .12. 在平面直角坐标系xOy 中，动点P 从原点O 出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推……．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 1，l 1=3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 2，l 2=9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 3，l 3=18；按照这样的规律，l 4= ； l n = (用含n 的式子表示，n 是正整数)．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：()0223tan 602013--︒+．14．求不等式13(1)x x +>-的非负整数解.15．已知2270x x --=，求2(2)(3)(3)x x x -++-的值．16．已知：如图，OP 平分∠MON ，点A 、B 分别在OP 、ON 上，且OA =OB ，点C 、D 分别在OM 、OP 上，且∠CAP =∠DBN ． 求证：AC =BD ．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y = -x 的图象 与反比例函数()0ky x x=<的图象相交于点()4A m -，． （1）求反比例函数ky x=的解析式； （2）若点P 在x 轴上，AP =5，直接写出点P 的坐标．18.北京地铁6号线正式运营后，家住地铁6号线附近的小李将上班方式由自驾车改为了乘坐地铁，这样他从家到达上班地点的时间缩短了0.3小时．已知他从家到达上班地点，自驾车时要走的路程为17.5千米，而改乘地铁后只需走15千米，并且他自驾车平均每小时走的路程是乘坐地铁平均每小时所走路程的23．小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是多少小时？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 如图，在四边形ABCD 中，∠D =90°，∠B =60°，AD =6，AB=3AB ⊥AC ,在CD 上选取一点E ，连接AE ，将△ADE 沿AE 翻折，使点D 落在AC 上的点F 处． 求（1）CD 的长； （2）DE 的长．OA20. 如图，⊙O 是△ABC 是的外接圆，BC 为⊙O 直径，作∠CAD =∠B ，且点D 在BC 的延长线上．(1)求证：直线AD 是⊙O 的切线； (2)若sin ∠CAD=4，⊙O 的半径为8，求CD 长．21. “2012年度中国十大科普事件”今年4月份揭晓，“PM2.5被写入‘国标’，大气环境质量广受瞩目”名列榜首．由此可见，公众对于大气环境质量越来越关注，某市对该市市民进行一项调查，以了解PM2.5浓度升高时对人们户外活动是否有影响，并制作了统计图表的一部分如下：（1= ，= ；（2）根据以上信息，请直接补全条形统计图；（3）若该市约400万人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响很大，尽可能不去户外活动”这种态度的约有多少万人．（说明：“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）PM 2.5浓度升高时对于户外活动公众的态度的条形统计图C B PM 2.5浓度升高时对于户外活动 公众的态度的扇形统计图PM 2.5浓度升高时对于户外活动 公众的态度的统计表22．阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l 1∥l 2∥l 3 ，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l 1任取一点A ，作AD ⊥l 2于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线l 2于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ． 参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．二次函数2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点；另一个二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m 是小于5的整数． 求（1）n 的值；（2）二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交点的坐标．l 1l 2l 3图3l 1l 2l 3图1l 1l 2l 3图224．在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．（1）如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC的值； （2）如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC ，求k 的值．25．如图，二次函数y =ax 2+2ax +4的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，∠CBO 的正切值是2．(1)求此二次函数的解析式．(2)动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转，与直线AB 重合时终止运动，直线l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点． ①直接写出点P 所经过的路线长．②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC 于点E 、作DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．图2B 图1FB北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准 2013.5一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1.B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．x ≠-2 10.(1)(1)m m m +- 11.612.30； ()312n n +（说明：结果正确，不化简整理不扣分）.（每空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 解：原式114=- ……………………………………………………4分 34=-.…………………………………………………………………………5分 14.解：133x x +>- ……………………………………………… ………………………1分 24x ->-2x <.… …………………………………………………………………………3分 ∴原等式的非负整数解为1，0. ……………………………………………………5分 15. 解：原式22449x x x =-++- ………………………………………………………2分2245x x =--.…………………………………………………………………3分∵2270x x --=，∴227x x -=.……………………………………………………………………………4分 ∴原式22(2)5x x =--9=.………………………………………………………………………………5分16.证明：∵OP 平分∠MON ，∴∠COA =∠DOB .…………………………………………………………………1分 ∵∠CAP =∠DBN ，∴CAO DBO ∠=∠.………………………………………………………………2分 ∵OA =OB ，…………………………………………………………………………3分 ∴COA ∆≌DOB ∆. ………………………………………………………………4分 ∴AC =BD . …………………………………………………………………………5分17.（1）解:把()4A m -，代入y = -x ，得m =4.……………………………………………1分 ∴()44A -，. ………………………………………………………………………………2分 把()44A -，代入ky x=，得k = -16.∴反比例函数解析式为16y x=-. ………………………………………………………3分 （2）（-7，0）或（-1，0）.………………………………………………………………5分18. 解：设小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是x 小时. …………………………1分由题意，得17.51520.33x x =⨯-. ……………………………………………………2分 解方程，得 x =0.7. ………………………………………………………………………3分经检验，x =0.7是原方程的解，且符合题意.……………………………………………4分 答：小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是0.7小时. ……………………………5分 四、解答题（本题共20分，题每小题5分） 19．解：（1）∵AB ⊥AC ，∴∠BAC =90°.∵∠B =60°，AB=3， ∴AC =10. ………………………………………………………………………1分 ∵∠D =90°,AD =6，∴CD =8. ………………………………………………………………………2分 （2）由题意，得∠AFE =∠D=90°，AF=AD =6， EF=DE .∴∠EFC =90°,∴FC =4. … ……………………………………………………………………3分 设DE =x ,则EF=x ,CE=8-x .在Rt △EFC 中，由勾股定理,得 2224(8)x x +=-.………………………4分解得x =3.所以DE =3. ……………………………………………………………………5分20.（1）证明：连接OA .∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC =90°. ……………………………………………………………………………1分 ∴∠B +∠ACB =90°.∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA .∵∠CAD =∠B ， ∴∠CAD +∠OAC =90°. 即∠OAD =90°. ∴OA ⊥AD .∴AD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………………………2分 (2) 解：过点C 作CE ⊥AD 于点E . ∵∠CAD =∠B ,∴sinB =sin ∠CAD=4.………………………………………………………………3分 ∵⊙O 的半径为8， ∴BC=16.B∴AC =sin BC B ⋅=.∴在Rt △ACE 中，CE=sin AC CAD ⋅∠=2.…………………………………………4分 ∵CE ⊥AD ,∴∠CED =∠OAD =90°.∴CE ∥OA .∴△CED ∽△OAD .∴CD CE OD OA=. 设CD =x ，则OD =x +8. 即288x x =+. 解得x =83.所以CD =83.………………………………………………………………………………5分21.解：（1）30%，20%； ………………………2分（2）如图；………………………………4分（3）400×20%=80（万人）. …………5分22. 解： 5；……………………………………………2分 如图； ………………………………………3分3. ………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：(1)∵2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点， ∴令10y =，即2304x x n ++-=.……………………………………………1分∴131404n ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭. 解得n =1. ………………………………………………………………………2分l 1l 2l 3B(2)由(1)知，()2222146y x m x m m =--+-+.∵()2222146y x m x m m =--+-+的图象与x 轴有两个交点， ∴[]2222(1)4(46)m m m ∆=----+820m =-.∵20∆>，∴52m >.……………………………………………………………………………3分 又∵5m <且m 是整数，∴m =4或3. …………………………………………………………………………5分当m =4时，2266y x x =-+的图象与x 轴的交点的横坐标不是整数；当m =3时，2243y x x =-+，令20y =，即2430x x -+=，解得11x =，23x =.综上所述，交点坐标为（1，0），（3，0）. ………………………………………7分24. 解：(1)2EB DC =………………………………………………………………………2分 (2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G , 连接BF .∴四边形EBFC 是平行四边形. …………………………………………………3分 ∴CE ∥BF 且CE =BF . ∴∠ABF =∠A =90°.∵BF =CE =kAB .∴BFk AB=. ∵BD =kAE ，∴BDk AE=.… ……………………………………………………………………4分 ∴BF BDAB AE=. ∴DBF ∆∽EAB ∆. ……………………………………………………………5分 ∴DF k BE=,∠GDB=∠AEB . ∴∠DGB =∠A =90°. ∴∠GFC =∠BGF =90°. ∵12CF EB DC DC ==.∴DF DF EB CF==∴k…………………………………………………………………………7分B25. 解：(1)根据题意，C (0，4)．∴OC =4．∵tan ∠CBO =2，∴OB =2．∴B (2，0)．………………………………………………………………………1分∴ 0444a a =++．∴12a =-． ∴二次函数的解析式为2142y x x =--+．……………………………………2分 (2) ①点P…… ……………………………………………3分 ②∠EPF 的大小不发生改变．………………………………………………………4分 由2142y x x =--+可得，A (-4，0)． ∴OA = OC ． ∴△AOC 是等腰直角三角形． ∴∠CAO =45°． ∵DE ⊥AC ， DF ⊥AB ， ∴∠AED = ∠AFD =90°．∵点P 是线段AD 的中点，∴PE = PF =12AD = AP ． ∴∠EPD =2∠EAD ，∠FPD =2∠F AD ．∴∠EPF =∠EPD +∠FPD =2∠EAD +2∠F AD = 2∠CAO =90°．…………………5分 ③由②知，△EPF 是等腰直角三角形．∴EF=2AD ．……………………………………………………………6分 ∴当AD ⊥BC 时，AD 最小，此时EF 最小．……………………………………7分 在Rt △ABD 中，∵tan ∠CBO =2，AB =6，∴AD．∴EF=5．即此时EF8分。

2014年北京市各城区中考一模数学——应用题汇总1、（2014年门头沟一模）18．某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高通过这段对话,请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数.2、（2014年丰台一模）17.列方程或方程组解应用题：为了进一步落实“北京市中小学课外活动计划”，某校计划用4000元购买乒乓球拍，用6000元购买羽毛球拍,且购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵40元，求一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各是多少元．3、（2014年平谷一模）17. 端午节期间，某校“慈善小组”筹集善款600元，全部用于购买粽子到福利院送给老人.购买大枣粽子和豆沙粽子各花300元，已知大枣粽子比豆沙粽子每盒贵5元，结果购买的大枣粽子比豆沙粽子少2盒．请求出两种口味的粽子每盒各多少元?解题备注：4、（2014年顺义一模）18．重量相同的甲、乙两种商品，分别价值900元和1 500元，已知甲种商品每千克的价值比乙种商品每千克的价值少100元，分别求甲、乙两种商品每千克的价值．记者：5、（2014年石景山一模）18．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台.（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？解题备注：6、（2014年海淀一模）17．某市计划建造80万套保障性住房，用于改善百姓的住房状况. 开工后每年建造保障性住房的套数比原计划增加25%，结果提前两年保质保量地完成了任务. 求原计划每年建造保障性住房多少万套？7、（2014年西城一模）17. 某校甲、乙给贫困地区捐款购买图书，每班捐款总数均为1200元，已知甲班比乙班多8人，乙班人均捐款是甲班人均捐款的1.2倍，求：甲、乙两班各有多少名学生。

1. 图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=F=90°，∠EDF=30°，EF=2．将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是.图2A BC备用图图12．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：、五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把他们分割成三部分（如图②），移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形（如图③）．小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新正方形的边长为(0)x x>，可得25 x=，x=参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形如图④放置，用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形且所得矩形的邻边之比为1:2．具体要求如下：（1）设拼接后的矩形的长为a，宽为b，则a的长度为________．（2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；（3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的矩形（只要画出一种即可）．3. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，E （8,0），F(0 , 6). （1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P ，使∠FPE=90°且四边形OEPF 被 过P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P 点坐标，画出过P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）. 4. 阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连结EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．F E DCBAGF EDCBA图1 图2小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG ，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°．若∠B ，∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足_ 关系时，仍有EF =BE +DF ； （2）如图4，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE =45°，若BD =1， EC =2，求DE 的长．FE DCBA EDCBA图3 图45、阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在ABC △中，AB ，BC ，ACABC △的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出ABC △的面积． 他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中ABC △的面积为 ； 参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个66⨯的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2DEF △； ②计算DEF △的面积为 ．（3）如图3，已知PQR △，以PQ ，PR 为边向外作正方形PQAF ，PRDE ，连接EF．若PQ =，PR =QR =AQRDEF 的面积为__________．6. 在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）已知集合1{|(1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =U （ ）A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ． {|1}{|0}x x x x ><UD ． ∅（3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ． 6πB ． 3πC ．32πD ．65π（4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（ ）A ． 14B ．13 C ．25 D ． 27（5）在ABC △中，π4A =，BC “AC 是“π3B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（6）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值； ④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）A ． ①③B ．②③C ． ①④D ．②④（8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N，且MN ON ≥+uuu r r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(-U B．(⎡--⎣UC ． [2,2]-D ．[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为 ．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是 ．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为 ；表面积为 ．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为 ．（13）有标号分别为1，2，3的红色卡片3张，标号分别为1，2，3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如 图）．若颜色相同的卡片在同一行， 则不同的放法种数为 ．（用数字作答）（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的正视图俯视图S动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ． （Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25．（I）求a，ξ的值；（II）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．A E BCDP F（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标； 若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n L 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类）三、解答题15． （本小题满分13分） 解： ()f x =sin 2cos 2x x -)4x π=-．（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==． 显然，函数()f x 的最小正周期为π． ………………………… 8分（Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z ．又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………… 13分16． （本小题满分13分） 解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人．则62()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． ………………………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． ………………………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，334814764012959595955E ξ=⨯+⨯+⨯== ………………………… 13分17． （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG ．因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以FG 是△PCD 的中位线．所以FG ∥CD ，且12FG CD =．又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形， 所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD ． 所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ． 又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以EF 平面PAD ． …………………………4分 （Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD⊥，且平面PAD I 平面ABCD AD =， 所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 所以,,AB AD AP 两两垂直．以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==，设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)E ，(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =uu u r ，，(022)PD =-u u u r ，，，(200)CD =-uu u r ，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=u u u r u u u r ，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=u u u r u u u r ，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ． ………………………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =-uu r ，，，(0,22)PD =-u u u r,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则 0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuruu ur n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,.x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =uu u r，， 所以cos ,EFEF EF⋅〈〉===⋅uu u ruu u r uu u r n n n由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角， 所以二面角E PD C --…………………………14分 18． （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x '=-21ax x-=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x的单调减区间是，单调增区间为)+∞．……7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，AE BCDPFG所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <，即211ea <<时，函数()f x在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210ea <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去．综上所述，2a =． …………………………13分 19． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=． (4)分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++ 22414k k =+，212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++ 22314k k -=+， 所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． ………………………… 14分20． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个．所以(5,3)4f =． ………………………… 3分（Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N ． 1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11L ． 对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d -L 时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91L 时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11L ；2,3,4,,12L ；L ；91,92,93,,100L ，其它同理）．所以当d 取1,2,,11L 时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅=L ．………………………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤．d 的可能取值为1,2,,t L ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d --L 时，可得递增等差数列(1)n m d --个．所以当d 取1,2,,t L 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+--易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅(1)()(1)11(1)122(1)n m n mn m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：2i(2+i)=2i i 12i z =+=-+对应的点为(1,2)- 所以对应的点在第二象限．故选B ．2．【答案】A【解析】解：1{|()1}{|0}2x A x x x =<=>，{|lg 0}{|1}B x x x x =>=> 所以{|0}A B x x =>U ． 故选A3．【答案】B【解析】解：因为(2)()=2⋅--a +b a b ， 所以2222+⋅-=-a a b b 所以22cos ,22+<>-=-a a b a b b又2==a b ，所以44cos ,82+<>-=-a b 所以1cos ,2<>=a b 所以π,3<>=a b ． 故选B4．【答案】A【解析】解：阴影部分面积为134100111|0444x dx x ==-=⎰；区域D 的面积为111⨯=；由几何概型知识，得概率为114=14．故选A ．5．【答案】B【解析】解：若AC =π4A =，BC =sin sin AC AB BC⋅===又(0,π)B ∈，则π3B =或2π3．所以“AC =推不出“π3B =”； 另一方面，若π4A =，BC =π3B =，则sin sin BC B AC A ⋅===“π3B =”能推出“AC ．所以“AC =是“π3B =”的必要不充分条件． 故选B6．【答案】D4-故答案为D ．7．【答案】C【解析】解：对于①，因为22sin()sin ()()()11x xf x f x x x --==-=--++，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，①正确； 对于②，因为sin y x =是周期函数，211y x =+不是周期函数，所以2sin ()1xf x x =+不是周期函数，故②不正确；对于③，因为()f x 图象连续不断且定义域为R ，所以()f x 的最大值一定是()f x 的极值；而222cos (1)sin 2'()(1)x x x x f x x +-⋅=+，22ππ'()0π2(1)4f -=≠+，所以当2x π=时，函数()f x 不取极值，故③错；对于④，由于()f x 与1y x=均关于原点对称，所以只需考虑0x >部分，因为22sin 11()11x f x x x x =<<++，故函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，④正确．故答案选C8．【答案】D【解析】如图，设圆心(0,0)到直线y x m =+的距离d =，所以MN =uuu r如图，2OM ON OA d +==uuu r uuu r uu r又MN ON ≥+uuu r r uuu r ，则，解得m -≤故答案选D ．二、 填空题 9．【答案】30【解析】解：设{}n a 的公比为q ，因为12a =，2312a a +=， 所以21112a q a q +=，即260q q +-=，(3)(2)0q q +-=， 所以3q =-（舍），2q =所以34116a a q ==，4123430S a a a a =+++=； 故答案为30．10．【答案】2【解析】解：由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，222x y x +=，22(1)1x y -+=； 由cos 4ρθ=，得4x =；圆心(1,0)到4x =的距离的为3．所以线段AB 长度的最小值为312-=； 故答案为2．11．【答案】1,23【解析】由三视图知，几何体为地面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥；所以体积111211323V =⨯⨯⨯⨯=；表面积112121222S =⨯⨯+⨯⨯=+故答案为1,2312．【答案】【解析】解：因为双曲线2221(0)y x b b-=>，所以焦点(，准线为y bx =±；又焦点到其渐近线的距离是22=，即2b =．离心率为ca =故答案为13．【答案】72【解析】解：分步计数原理，33233272A A A ⋅⋅=． 故答案为72．14．【答案】2【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设SB a =，(03)AE b b =≤≤ 则(0,0,)S a ，(3,1,0)C -，(,1,0)E b所以(,1,)ES b a =--u u r ，(3,2,0)EC b =--u u u r因为90SEC ∠=︒，2320ES EC b b ⋅=-++=uu r uu u r，解得1b =或2． 故答案为2．。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2014.3一、选择题15. （本小题满分13分） 解： ()f x =sin 2cos2x x -)4x π=-.（Ⅰ）())12242f πππ=⋅-==. 显然，函数()f x 的最小正周期为π. …………… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z .又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生． 由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． …………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生． 由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG .因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以FG 是△PCD 的中位线. 所以FG ∥CD ，且12FG CD =． 又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD .所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以EF平面PAD ． ……………4分（Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．AE BCDPFG又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直.以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）． 由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,0,0)E ,(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =，，(022)PD =-，，，(200)CD =-，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥． 又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF⊥平面PCD ． …………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =-，，，(0,22)PD =-,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,.x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，， 所以cos ,32EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n. 由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角， 所以二面角E PD C -- ……………14分 18. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x'=-21ax x -=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x的单调减区间是，单调增区间为)+∞．…7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，所以()fx 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去． （2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增，所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =． ②当1e<<，即211ea <<时，函数()f x 在上单调递减， 在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=， 解得e a =，舍去． e ，即210ea <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以函数()fx 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去． 综上所述，2a =． ……………13分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． …………… 4分 （Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+． 又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =-，2022(,)2y QN x x =-， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++ 22414k k =+，212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k-=-+++ 22314k k -=+， 所以2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =．故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． …………… 14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.所以(5,3)4f =. …………… 3分 （Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N .1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11．对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d -时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11；2,3,4,,12；；91,92,93,,100，其它同理）.所以当d 取1,2,,11时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅=．…………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤， 记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤． d 的可能取值为1,2,,t ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d --时，可得递增等差数列(1)n m d --个. 所以当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+--易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅(1)()(1)11(1)122(1)n m n mn m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--．即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………… 13分。

北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期中模拟监测初三数学试卷（考试时间120分钟 满分120分）学校 班级 姓名 考号 注意事项1. 本试卷共6页，共三道大题，满分120分，考试时间120分钟.2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．下列图形中，是中心对称图形的是A B C D2.点（2，-1）关于原点对称的点的坐标为A ．（2，1）B ．（-2，1）C ．（1，-2）D ．（-2，-1） 3.如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点E ，若OE =3，则AB 的长是 A ．4 B ．6C ．8D ．10（第3题图） 4. 方程x x22=的解是A. 2=xB. 2=x C. 0x = D. 2=x 或0x =5. 如图，⊙O 的半径OC 垂直于弦AB ， D 是优弧AB 上的一点 （不与点A 、B 重合），若∠AOC =50°，则∠CDB 等于 A ．25° B ．30° C ．40° D．50°（第5题图）6. 若关于x 的一元二次方程013)1(22=-++-m x x m 有一根为0，则m 的值为 A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．21 7.如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°， 则∠BDC 的度数是A.110°B.70°C.55°D.125°（第7题图）BACODOE C BA8．如图，将边长为3cm 的正方形ABCD 绕点C 逆时针旋转30º 后得到正方形A ′B ′C D ′，那么图中阴影部分面积为A.3cm 2B.33cm 2C.92cm 2 D.63 cm 2（第8题图）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9．已知关于x 的一元二次方程有一个根为0．请你写出一个符合条件的一元二次方程是 ．10. 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC 的 大小是 .（第10题）11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为 ．（第11题图） 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-4,0)，B(0,3)，对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第（7）个三角形的直角顶点．．．．的坐标是 ；第（2011）个三角形的直角顶点．．．．的坐标是__________． 三、解答题（共13个小题，共72 分） 13. （本小题满分5分）解方程：3x 2+10x+5=014. （本小题满分5分）已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值.O C A B D /B /A /DCBA （第12题）15. （本小题满分5分）已知：如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，C 为半圆上一点， OE ⊥弦AC 于点D ，交⊙O 于点E. 若AC=8cm ，DE=2cm. 求OD 的长.16． （本小题满分5分）已知：如图5，在⊙O 中，弦AB CD 、交于点E ，AD CB =． 求证：AE CE =．17．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC △三个顶点的坐标分别为()()()1,2,3,4,2,9.A B C ---⑴ 画出ABC △；⑵ 画出ABC △绕点A 顺时针旋转90后得到的11AB C △，并求出1CC 的长..18. （本小题满分5分）经过18个月的精心酝酿和290多万首都市民投票参与，2011年11月1日，“北京精神”表述语“爱国、创新、包容、厚德”正式向社会发布. 为了更好地宣传“北京精神”，小明同学参加了由街道组织的百姓宣讲小分队，利用周末时间到周边社区发放宣传材料. 第一周发放宣传材料300份，第三周发放宣传材料363份. 求发放宣传材料份数的周平均增长oxy11E D CB A O A B DO CE率.19. （本小题满分5分）已知关于x 的方程(k -2)x 2＋2(k -2)x ＋k ＋1=0有两个实数根. （1）求正整数k 的值；．（2）当k 取正整数时，求方程的根.20. （本小题满分5分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 两点在⊙O 上，若∠C ＝45°， （1）求∠ABD 的度数.（2）若∠CDB=30°,BC=3,求⊙O 的半径.21.如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，将直线AB 绕点O 逆时针旋转90°得到直线A 1B 1．（1）在图中画出直线A 1B 1． （2）求出直线A 1B 1函数解析式．-3-33O BA -2-21-1y x3-44221-122． 如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB 与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ，点E 为AC 中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B 、C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形； （2在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的一块为锐角三角形．23．已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++=的两个不等实数根均为正整数，且m 为整数，求m 的值.图1FE DCBA图2ABCDE F图3ABCDEF24．已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE =90°，点F 为BE 中点，连结DF 、 CF .（1）如图1, 当点D 在AB 上，点E 在AC 上，请直接写出此时线段DF 、CF 的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°时，若AD =1，AC =22，求此时线段CF 的长(直接写出结果).25．如图：点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.将线段OC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得到线段CD ，连接OD 、AD. (1) 求证：AD=BO（2） 当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3） 探究：当α为多少度时（直接写出答案），△AOD 是等腰三角形？2013～2014学年九年级第一学期期中考试 数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBCDABDBDACBO二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9. x 2=0(…本题多种情况) ；10. 60° ；11.；12. (24，0)；(8040，0)三、解答题（共13个小题，共72 分）13.（若用配方法，可按具体过程酌情给分）14.15. 解：∵OE ⊥弦AC ， ∴AD=21AC=4. …………………………1分 ∴OA 2=OD 2+AD 2……………………………..2分∴OA 2=(OA-2)2+16解得，OA=5. ………………………………4分 ∴OD=3 ………………………………5分 16. 解：由题意得{220,[2(2)]4(2)(1)0.k k k k -≠∆=---+≥ …………………1分由①得 2k ≠. ………………………………………………………2分 由②得 2k ≤. ………………………………………………………4分 ∴2k <. ∵k 为正整数，∴1k =. (5)17．解：⑴如图所示，ABC △即为所求.…1分 ⑵如图所示，11AB C △即为所求. …3分oxy 11A BCB C 11322123,10, 5......1=440 (2)1040510 (4)2631040510 (5263)a b c b ac b x a b x a ===-=-+∆-+-+===--∆----===解：△2222=231(21) 1......25 1......3514=141=15 (5)x x x x x x x x -+-+++=-+-=+解：原式∵∴原式5 (101)=cc18. （本小题满分5分）解：设发放宣传材料份数的周平均增长率为x ，由题意，有.363)1(3002=+x …………………………………………………………………3分 解得 1.01=x ，1.22-=x . …………………………………………………………4分 ∵1.2-=x <0，不符合题意，舍去，∴%101.0==x . ……………………………………………………………………5分 答：这两次发放材料数的平均增长率为10%.19. 解：（1）由题意得：k-2≠0①，△=[2（k-2）]2-4（k-2）（k+1）≥0②． ……1 由①得 k ≠2．由②得 k ≤2． ……2 ∴k ＜2．∵k 为正整数， ∴k=1． (3)（2）方程为－x 2－2x+2=0121313x x =-+=--解得， (5)20. 解：（1）∵弧BD ，∠C=45° ∴∠A=∠C=45° ……1 ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°∴∠ABD=45°……2 （2）连接AC∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵弧BC∴∠CAB=∠CDB=30°……3 ∵BC=3∴AB=6 ......4 ∴半径为3 (5)21.（1）2分（2）由题意可知，A 1(0，-1) B 1(-2，0) ……1 设直线A 1 B 1的解析式为 y = kx - 1 (k ≠0)12k =- (4)∴ 112y x =-- (5)22． （1）-3-33OB A-2-21-1yx3-44221-1………………………………………………1分（2）………………………………………………3分（3）………………………………………………5分23. （1）证明：①当m ＝0时，方程为 －2x + 2 = 0 ，x = 1，此一元一次方程有实根… 1 ②当m ≠0时，方程为一元二次方程（2）1211232(2)2222232(2)1 (4)21,1,2,24,0,3,1,1=2 (7)m m m x m m m m m x mx m m x x x x m m ++++===++-+===--==∵为整数，为整数，∴∴∵≠且为正整数∴或24． 解：（1）线段DF 、CF 之间的数量和位置关系分别是相等和垂直.…………1分（2）（1）中的结论仍然成立 ………2分证明： 如图，此时点D 落在AC 上，延长DF 交B C 于点G .∵ 90ADE ACB ∠=∠=︒， ∴ DE ∥BC .∴ ,DEF GBF EDF BGF ∠=∠∠=∠. 又∵ F 为BE 中点， ∴ EF=BF .∴ △DEF ≌△GBF . ………3分ABCDEFG 13321ABCA 1B 12222(32)22444(2)...2(2)0a m b m c m b ac m m m m ==-+=+∆=-=++=++∵≥∴此方程有实数根综上，无论m 为任何实数时，方程恒有实数根 (3)新世纪教育网 精品资料 版权所有@新世纪教育网-新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。

东城区2013—2014学年第一学期期末统一测试初三数学 2014.1学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是2．用配方法解方程x - 2x - 1=0时，配方后得到的方程为 A ．2(1)0x +=B ．2(1)0x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)2x -=3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是 A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球4．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径， CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 等于A ．116°B ．64°C ．58°D ．32°5．如图，电线杆上的路灯距离地面8米，身高1.6米的小明 (AB )站在距离电线杆的底部（点O ）20米的A 处， 则小 明的影子AM 长为 A ．4米 B ．5米C ．6米D ．8米6．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正 确的是 A ．a ＞0B ．当 -1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大 7．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A =60°，AB =2，扇形BEF 的半 径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 A ．2π3B ．2π3C ．πD ．π8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动．设运动时间为t (s)，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s)的函数关系可用图象表示为A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________．11．如图，在Rt △OAB 中，∠B =90°∠AOB =30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB = °. 12．射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P为半径的圆与△ABC 的边相切，请写出t 可取的所有值 ．DF三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.14．如图，△ABC 和△A B C '''是两个完全重合的直角三角板，30B B '∠=∠=︒，斜边长为10cm ．三角形板A B C '''绕直角顶点C顺时针旋转，当点A '落在AB 边上时，求C A ''旋转所构成的扇形的弧长 AA '．15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S△DEF ∶S △ABF = 4∶25，求DE ∶EC 的值．16．二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）.（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．17．画图：（1）如右图，已知△ABC 和点O ．将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到△111A B C ，在网格中画出△111A B C ；（2）如图，AB 是半圆的直径，图1中，点C 在半圆外；图2中，点C 在半圆内，请仅用无刻度．．．的直尺（只能画线）按要求画图．（i ）在图1中，画出△ABC 的三条高的交点； （ii ）在图2中，画出△ABC 中AB 边上的高．18．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，求EC 的长．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，有四张背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张. 请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率.20．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．21．在Rt △ACB 中，∠C =90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC ，AB 分别交于点D ，E ，且∠CBD =∠A ．（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD ∶AO =8∶5，BC =3，求BD 的长．图①图②22．阅读理解：如图1，若在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 与点A ，B 不重合），分别连结ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，若∠A =∠B =∠DEC =55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，请直接写出BCAB的值．图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知二次函数2()2()y a x m a x m =---（a , m 为常数，且a ≠0）. （1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，当△ABC 是等腰直角三角形时，求a 的值．24．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,C ∠=︒30B E ∠=∠=︒.（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 顺时针旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空：图1 图2 ① 线段DE 与AC 的位置关系是 ；② 设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ，证明你的结论； （2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图325．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(1)4y x m x m =-+-+的图象与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，4），已知点E （0，1）． （1）求m 的值及点A 的坐标； （2）如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连结A ′B 、BE ′．①当点E ′落在该二次函数的图象上时，求AA ′的长；②设AA ′=n ，其中0＜n ＜2，试用含n 的式子表示A ′B 2+BE ′2，并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标；③当A ′B +BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标．东城区2013-2014学年第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准 2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.解：变形为 2109x x -=-. ………………..1分配方，21025925x x -+=-+. …………..……..2分 整理，得2(5)16x -=. ………………..3分 解得，121,9x x ==. ………………..5分14．解：由题意可求，∠AC A ′=60°，CA=5． ………………..2分所以60π55π1803cm AA ⨯'==． ………………..5分15．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD ．∴ △DEF ∽△BAF ． ………………..1分 ∴ 24=25DEF ABF S DE S AB =⎛⎫⎪⎝⎭△△． ………………..2分 ∴2=5DEAB ． ………………..3分又∵ AB CD =, ………………..4分∴ DE ∶EC =2∶3 ． ………………..5分16．解：（1）由题意，有0,5,938.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.5,4,1c b a ∴此二次函数的解析式为542--=x x y . ………………..2分 ∴9)2(2--=x y ，顶点坐标为(2，-9). ………………..4分（2）先向左平移2个单位，再向上平移9个单位，得到的抛物线的解析式为y = x2．………………..5分17．（1）………………..3分（2）（i）如图1，点P就是所求作的点；（ii）如图2，CD为AB边上的高.图1 图2 ………………..5分18．解：∵OD⊥AB，∴AC=BC12AB=．………………..1分设AO = x．在Rt△ACO中，222AO AC OC=+．∴2224(2)x x=+-．解得5x=．………………..2分∴AE=10，OC=3．………………..3分连结BE．∵AE是直径，∴∠ABE=90°．由OC是△ABE的中位线可求26BE OC==．………………..4分在Rt△CBE中，222CE BC BE=+．∴CE===………………..5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）20．解：设金色纸边的宽为x 分米 ． ………………..1分根据题意，得 （2x ＋6）(2x ＋8)＝80.………………..3分解得：x 1＝1，x 2＝－8（不合题意，舍去）． ………………..4分 答：金色纸边的宽为1分米．………………..5分21．解：（1）直线BD 与⊙O 的位置关系是相切．证明：连结OD ，DE . ∵∠C =90°，∴∠CBD +∠CDB =90°． ∵∠A =∠CBD ， ∴∠A +∠CDB =90°． ∵OD = OA ， ∴∠A =∠ADO ． ∴∠ADO + ∠CDB =90°． ∴∠ODB = 180° - 90°=90°． ∴OD ⊥BD ． ∵OD 为半径，∴BD 是⊙O 切线． ………………..2分 （2）∵AD : AO =8 : 5，∴AD AE =810． ∴由勾股定理得AD : DE : AE = 8 : 6 : 10．∵∠C =90°，∠CBD =∠A . ∴△BCD ∽△ADE ．∴DC : BC : BD = DE : AD : AE =6 : 8 : 10． ∵BC =3，∴BD =15． ………………..5分………………..2分 图1 图2 ）32BC AB=． ………….. 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）证明：2()2()y a x m a x m =---22(22)2.ax am a x am am =-+++ ……………………………..1分22=(22)4(2)a am a a am am ≠∆++-当0时， 24.a = …………………………..2分∵0,a ≠∴240.a >∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点．…………..3分 （2）2()2()y a x m a x m =---2=(1).a x m a --- (1,).C m a ∴+-…………………………4分 当y =0时， 解得x 1 = m ，x 2 = m + 2.∴AB =（m + 2）- m = 2. ………………………………..5分当△ABC 是等腰直角三角形时，可求出AB 边上高等于1．∴ 1a -=．∴ 1a =±． ……………………………………………..7分24．解：（1）①线段DE 与AC 的位置关系是 平行 ． …………………..1分 ②S 1与S 2的数量关系是 相等 ．证明：如图2，过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知 △ADC 是等边三角形，DE ∥AC ，∴DN =CF , DN =EM ．∴CF =EM ．∵90,30ACB B ∠=︒∠=︒，∴2AB AC =．又∵AD AC =,∴BD AC =． 图2 ∵112S CF BD = ，212S AC EM = ，∴1S =2S ． …………………..3分（2）证明：如图3，作DG ⊥BC 于点G ，AH ⊥CE 交EC 延长线于点H .∵90,180DCE ACB DCG ACE ∠=∠=︒∴∠+∠=︒．又∵180,ACH ACE ACH DCG ∠+∠=︒∴∠=∠．又∵90,CHA CGD AC CD ∠=∠=︒=,∴△AHC ≌△DGC ．∴AH =DG ．又∵CE =CB , 图3 ∴12S S =． ……………………..7分25．解：（1）由题意可知 44m =，1m =．∴ 二次函数的解析式为24y x =-+．∴ 点A 的坐标为（- 2, 0）． …………………………..2分（2）①∵ 点E （0,1），由题意可知，241x -+=．解得 x =∴ AA ′ ……………………………..3分②如图，连接EE ′．由题设知AA ′=n （0＜n ＜2），则A ′O = 2 - n ．在Rt △A ′BO 中，由A ′B 2 = A ′O 2 + BO 2，得A ′B 2 =(2–n )2 + 42 = n 2 - 4n + 20．∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的，∴EE ′∥AA ′，且EE ′=AA ′．∴∠BEE ′=90°，EE ′=n ．又BE =OB - OE =3.∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2 = E ′E 2 + BE 2 = n 2 + 9，∴A ′B 2 + BE ′2 = 2n 2 - 4n + 29 = 2(n –1)2 + 27．当n = 1时，A ′B 2 + BE ′2可以取得最小值，此时点E ′的坐标是（1，1）．……………………………..5分③如图，过点A 作AB ′⊥x 轴，并使AB ′ = BE = 3．易证△AB ′A ′≌△EBE ′，∴B ′A ′ = BE ′，∴A ′B + BE ′ = A ′B + B ′A ′．当点B ，A ′，B ′在同一条直线上时，A ′B + B ′A ′最小，即此时A ′B +BE ′取得最小值． 易证△AB ′A ′∽△OBA ′， ∴34AA AB A O OB ''=='， ∴AA ′=36277⨯=， ∴EE ′=AA ′=67， ∴点E ′的坐标是（67，1）． ………………………………………….8分。