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23.2.3关于原点对称的点的坐标【知识与技能】1.理解点P与P′关于原点对称时，它们的横、纵坐标的关系；2.能运用关于原点对称的点的坐标的关系解决具体问题.【过程与方法】通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力以及与他人合作交流的能力.【情感态度】结合坐标系内点的坐标对称关系的学习，培养学生合作交流的意识和归纳类比的能力，增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】关于原点对称的点的坐标关系及其应用.【教学难点】运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标性质.一、情境导入，初步认识问题1以前我们学习过关于x轴、y轴对称的点的坐标问题，你能说说关于x轴、y轴对称的点的坐标的关系吗？问题2在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-3，2），则点A关于原点O 的对称点A′的坐标是什么呢？你能说说吗？【教学说明】让学生通过对问题的思考，初步感受关于原点对称的点的坐标的确定方法，激发学习兴趣和求知欲望，导入新知.二、思考探究，获取新知探究如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.A（4，0）B（0，-3）C（2，1）D（-1，2）E（-4，-3）思考通过你的作图，你能说出这些点和它们关于原点O的对称点的坐标之间有什么关系吗？【教学说明】通过让学生在平面直角坐标系中画出某点关于原点O的对称点的过程，可让学生初步感受到关于原点对称的点的坐标的特征，学生在自我探索的过程中，体会成功的喜悦和学习的乐趣.如图所示，可得到点A、B、C、D、E关于原点O的对称点分别为A′、B′、C′、D′、E′.以点C为例，作C点关于原点O的对称点C′的方法为：连接CO并延长至C′，使CO=C′O，则C′点即为点C关于原点O的对称点.过C作CM⊥x轴于M，作C′N⊥x轴于N.易知△OCM≌△OC′N.∴CM=C′N，OM=ON.又C(2，1)，即OM=2，CM=1，∴ON=2，C′N=1.∴C′点坐标为(-2，-1).同理可知点A、B、D、E关于原点O的对称点A′、B′、D′、E′的坐标分别为（-4，0），（0，3），（1，-2），（4，3）【归纳结论】两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′的坐标为（-x，-y）.【教学说明】在上面的探索活动过程中，先让学生动手画出一些点关于原点的对称点，并写出它们的坐标，然后让学生观察坐标之间的变化，总结出规律，从而归纳出结论，即本节的重点.在这一活动中，既学到了新知识，又锻炼了学生的数学归纳能力.三、典例精析，掌握新知例1 图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形.分析：（1）由图可知，A、B、C三点坐标分别是什么？（2）它们关于原点的对称点的坐标又应分别是什么？（3）这样画出的△A′B′C′与前面利用中心对称来作图有什么区别？解：（1）A、B、C三点坐标分别是（-4，1）、（-1，-1）、（-3，2）（2）它们关于原点对称的点的坐标分别是（4，-1）、（1，1）、（3，-2）（3）略例2 如图，平行四边形的中心在坐标原点，AD∥BC，D(3，2)，C(1，-2)，求A、B两点的坐标.分析：因为平行四边形是中心对称图形，所以相对的两个顶点关于中心对称，图中该平行四边形的中心为原点，故A与C、B与D关于原点对称，从而可求出A、B坐标.解：平行四边形是中心对称图形，A与C，B与D关于原点对称.∴A（-1，2），B（-3，-2）.【教学说明】教师提出问题来帮助学生理清思路，既是对所学知识的回顾与反思，又为解决问题寻求解题思路，增强学生运用知识的能力.例1的作图过程可由学生自己完成.四、运用新知，深化理解1.点M（-2，3）关于原点的对称点M′的坐标为（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（3，-2）D.（2，3）2.下列各点中哪两个点关于原点O对称？A（-5，0），B（0，2），C（2，-1），D（2，0），E（0，5），F（-2，1），G （-2，-1）【教学说明】设计这两个小题的目的在于进一步使学生掌握知识，可由学生自主完成，教师予以点评.【答案】1.B2.C（2，-1）与F（-2，1）关于原点O对称五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和想法？说说看.【教学说明】教师还可让学生及时回顾本节课的知识，通过反思、提炼学习的收获，并通过交流，教师可了解学生的学习情况，并及时调整.1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.。
两点关于原点对称坐标关系原点对称是指图形、点或者物体关于原点进行对称操作，即通过原点作为对称中心进行对称。
在数学中，原点对称坐标关系是指通过原点进行对称操作后，坐标系中的点的位置关系。
下面就原点对称坐标关系的相关概念、性质和应用展开详细阐述。
一、原点对称的概念和性质1. 原点对称的几何概念原点对称是指一个几何图形或者点关于原点进行的对称操作。
在二维坐标系中，原点对称意味着通过原点作为对称中心，连接原图形中的每个点与原点，再使得连接线段的两侧相等，即可得到新的对称图形。
对于坐标系中的点P(x, y)，其在原点对称后得到的对称点为P'(-x, -y)。
2. 原点对称的代数表达在代数表达中，原点对称可以用数学符号进行表示。
对于二维平面坐标系中的点P(x, y)，其在原点对称后的坐标可以表示为P'(-x, -y)。
这意味着原始的x坐标和y坐标分别取相反数，即可得到原点对称后的坐标。
3. 原点对称的性质原点对称具有以下性质：a. 任意一点关于原点的对称点对必定关于原点对称。
b. 原点对称不改变图形的形状和大小。
c. 进行原点对称操作可以将第一象限中的点映射到第三象限中，第二象限中的点映射到第四象限中，即实现象限间的对称映射。
二、原点对称的应用1. 几何图形的绘制在几何图形绘制中，原点对称可用于简化图形的绘制过程。
通过原点对称操作，可以将图形的一部分直接映射到另一部分，从而减少重复绘制的步骤，提高绘图效率。
2. 数据分析和处理在数据分析和处理中，原点对称可以用于对数据进行变换和调整。
通过原点对称操作，可以将一组数据点相对于原点的位置关系进行变换，从而得到新的数据集合，方便进行比较和分析。
3. 函数的性质研究在数学函数的研究中，原点对称性是函数性质的一个重要方面。
通过对函数图像进行原点对称，可以得到函数的对称性质和特点，从而更好地理解函数的性态和规律。
4. 物理实验和模型建立在物理实验和模型建立中，原点对称可以用于描述物体或者图形的对称性质。
关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标的特点是：横纵坐标都互为相反数。
①关于X轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数。
②关于Y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变。
具有对称原点的点的坐标的特点是水平坐标和垂直坐标相反。
1、探究点（x，y）关于原点对称点的坐标，会运用发现的规律作关于原点对称的图形。
2、能运用中心对称的知识猜想并验证关于原点对称的点的坐标的性质。
3、利用该对称性质在平面直角坐标系内关于原点对称的图形，形成观察、分析、探究用合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的。
能力要求：理解
课时要求：60
考试频率：选考
分值比重：2。
原点对称的定义
1. 在平面直角坐标系中的定义
- 对于平面直角坐标系中的点P(x,y)，它关于原点对称的点P'(-x,-y)。
也就是说，如果把一个点绕原点旋转180°后能与另一个点重合，那么这两个点就关于原点对称。
- 例如，点A(2,3)关于原点对称的点A'(-2,-3)。
我们可以想象将点A以原点为中心，旋转180°后就到达了A'的位置。
2. 对于函数图象的原点对称
- 如果函数y = f(x)的图象关于原点对称，那么对于图象上的任意一点(x,y)，其关于原点对称的点( - x,-y)也在函数图象上。
- 例如，函数y=(1)/(x)是关于原点对称的反比例函数。
对于函数y=(1)/(x)图象上的点(1,1)，其关于原点对称的点( - 1,-1)也在函数y=(1)/(x)的图象上。
从函数性质的角度看，满足f(-x)=-f(x)的函数图象是关于原点对称的，这一性质可以用来判断一个函数是否关于原点对称。
例如对于函数f(x)=x^3，f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，所以y = x^3的图象关于原点对称。
一、教学目标：1. 让学生理解原点对称的概念，掌握原点对称点的坐标特征。
2. 培养学生运用坐标知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二、教学内容：1. 原点对称的概念。
2. 原点对称点的坐标特征。
3. 运用坐标知识解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：原点对称的概念，原点对称点的坐标特征。
2. 教学难点：原点对称点的坐标特征的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解原点对称的概念和原点对称点的坐标特征。
2. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用坐标知识解决问题。
3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度。
五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题，引入原点对称的概念。
2. 新课导入：讲解原点对称的概念，引导学生理解原点对称的意义。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用坐标知识解决问题。
4. 课堂练习：布置一些有关原点对称的练习题，巩固所学知识。
5. 总结与反思：让学生谈谈对本节课内容的理解和收获，解答学生的疑问。
6. 课后作业：布置一些有关原点对称的课后作业，巩固所学知识。
7. 教学评价：通过课后作业和课堂表现，评价学生对原点对称知识的理解和运用能力。
六、教学准备：1. 教学课件：制作包含原点对称概念和坐标特征的课件，以便进行多媒体教学。
2. 练习题：准备一些有关原点对称的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3. 教学道具：准备一些坐标轴模型或绘图工具，以便进行直观演示。
七、教学步骤：1. 回顾上节课的内容，检查学生对原点对称概念的理解。
2. 通过示例，讲解原点对称点的坐标特征，让学生观察并理解。
3. 引导学生进行小组讨论，探讨如何运用坐标知识解决实际问题。
4. 分发练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
5. 针对学生的练习情况，进行讲解和解答，确保学生掌握原点对称的坐标特征。
八、教学案例：1. 案例一：一个学生在地图上找到两个城市，要求计算这两个城市的对称点坐标。
第二十三章旋转23.2.3关于原点对称的点的坐标一、教学目标1.能够正确认识关于原点对称的两点的坐标间的关系.2.能够运用关于原点对称的两点的坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.3.经历了观察、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、观察能力、以及与他人合作交流的能力.4.通过学习平面直角坐标系内点的坐标对称的关系，培养学生善于归纳类比的学习精神.二、教学重难点重点：探究关于原点对称的点的坐标的规律．难点：关于原点对称的点的坐标的规律及其运用.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计以及点A的对称点A′.答案：是中心对称图形.问题2：在直角坐标系中分别标出点A (4，0)，B (0，–3)，C (2，1)，D (–1 ，2)，E (–3，–4)的位置.答案：是中心对称图形.问题3：在直角坐标系中分别标出点A，B ，C，D，E关于x 轴对称的点的位置.教师活动：带领学生复习，在直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的坐标特征.（关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，–y).）答案：问题4：在直角坐标系中分别标出点A，B ，C，D，E关于y 轴对称的点的位置.教师活动：带领学生复习，在直角坐标系中，关于y轴对称的两个点的坐标特征.（关于y轴对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标相等.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(–x，y).）答案：【探究】探究问题：在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.A (4，0)，B (0，–3)，C (2，1)，D (–1 ，2)，E (–3，–4).答案：问题1：在直角坐标系中，关于原点对称的两个点，它们的横坐标什么关系？结论：横坐标互为相反数.问题2：在直角坐标系中，关于原点对称的两个点，它们的纵坐标什么关系？【典型例题】例：如图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC 关于原点对称的图形.答案：解：点P(x，y) 关于原点的对称点为P′(–x，–y)，△ABC 的三个顶点A(–4，1)，B(–1，–1)，C(–3，2)，关于原点的对称点分别为A′(4，–1)，B′(1，1)，C′(3，–2)，依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC 关于原点对称的△A′B′C′.【归纳】在直角坐标系中，画一个图形关于原点对称的图形的一般步骤：1. 确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标.2. 求出关键点关于原点的对称点的坐标，并在直角坐标系中标出.3. 顺次连接对称点，组成的图形为所求.【随堂练习】关于y轴对称的点的坐标是_________；关于原点对称的点的坐标是________.答案：(–1，3)，(1，–3)，(1，3).练习3填空：点A(m, – 2)，B(1, n)关于x轴对称，则m=____，n=____.点A(m, – 2)，B(1, n)关于y轴对称，则m=_____，n=_____.点A(m, – 2)，B(1, n)关于原点对称，则m=_____，n=_____.答案：1，2；–1，–2；–1，2.练习4在如图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于x轴对称的两个三角形的编号为_________；关于y轴对称的两个三角形的编号为_________；关于原点O对称的两个三角形的编号为__________.答案:①与③；①与②；②与③.以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.巩固例题练习。
