第三讲 一元线性回归预测法

一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用于探究两个变量之间线性关系的统计方法。

它的作用是根据给定的自变量和因变量数据，建立一个线性回归模型，以预测未来的因变量值或者对自变量进行解释。

以下是一元线性回归分析的方法步骤：1. 收集数据：收集自变量（x）和因变量（y）的数据。

确保数据具有代表性，容量足够大，并且是可靠的。

2. 绘制散点图：根据所收集的数据，绘制自变量（x）和因变量（y）的散点图，以查看它们之间的大致关系。

3. 计算相关系数：计算自变量（x）和因变量（y）的相关系数，以评估它们之间的线性相关性。

通常使用皮尔逊相关系数来进行衡量。

4. 建立模型：使用最小二乘法来建立一元线性回归模型。

该模型的方程可表示为y = β₀+ β₁x，其中β₀是截距，β₁是斜率。

最小二乘法通过最小化残差平方和来确定最佳拟合的直线。

5. 评估模型：评估回归模型的拟合程度。

可以使用多种统计指标，如可决系数（R²）和均方根误差（RMSE），来评估模型的精度和稳定性。

6. 预测和推断：使用建立的回归模型进行预测和推断。

可以利用模型来预测因变量的值，或者对自变量进行解释和推断。

7. 检验假设：对回归系数进行假设检验，以判断自变量对因变量是否具有统计上显著的影响。

常见的方法是计算回归系数的t值和p值，并根据显著性水平来确定是否拒绝或接受假设。

8. 验证和诊断：验证回归模型的有效性和适用性。

可以使用残差分析、正态概率图和残差图等方法来检查模型的假设前提和模型的良好性。

以上是一元线性回归分析的一般方法步骤。

实际分析中，可能会根据具体问题进行调整和扩展。

一元线性回归分析法一元线性回归分析法是根据过去若干时期的产量和成本资料，利用最小二乘法“偏差平方和最小”的原理确定回归直线方程，从而推算出a(截距)和b(斜率)，再通过y ＝a+bx 这个数学模型来预测计划产量下的产品总成本及单位成本的方法。

方程y ＝a+bx 中，参数a 与b 的计算如下：y b x a y bx n-==-∑∑ 222n xy x yxy x y b n x (x)x x x --==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 上式中，x 与y 分别是i x 与i y 的算术平均值，即x =n x ∑ y =ny ∑ 为了保证预测模型的可靠性，必须对所建立的模型进行统计检验，以检查自变量与因变量之间线性关系的强弱程度。

检验是通过计算方程的相关系数r 进行的。

计算公式为：xy-x y当r 的绝对值越接近于1时，表明自变量与因变量之间的线性关系越强，所建立的预测模型越可靠；当r ＝l 时，说明自变量与因变量成正相关，二者之间存在正比例关系；当r ＝—1时，说明白变量与因变量成负相关，二者之间存在反比例关系。

反之，如果r 的绝对值越接近于0，情况刚好相反。

[例]以表1中的数据为例来具体说明一元线性回归分析法的运用。

表1：根据表1计算出有关数据，如表2所示：表2：将表2中的有关数据代入公式计算可得：1256750x ==（件） 22561350y ==（元） 17509500613507501705006b 2=-⨯⨯-⨯=（元/件） 100675011350a =⨯-=（元/件） 所建立的预测模型为：y ＝100+X相关系数为：9.01163810500])1350(3059006[])750(955006[1350750-1705006r 22==-⨯⨯-⨯⨯⨯= 计算表明，相关系数r 接近于l ，说明产量与成本有较显著的线性关系，所建立的回归预测方程较为可靠。

如果计划期预计产量为200件，则预计产品总成本为：y ＝100+1×200＝300(元)。

一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。

本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。

1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。

通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。

1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。

2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。

2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。

- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。

- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。

- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。

3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。

3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。

根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。

3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。

通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。

3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。

常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。

4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。

高考数学知识点解析一元线性回归分析与预测高考数学知识点解析：一元线性回归分析与预测在高考数学中，一元线性回归分析与预测是一个重要的知识点，它不仅在数学学科中具有重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解这个知识点。

一元线性回归分析是一种用于研究两个变量之间线性关系的统计方法。

简单来说，就是通过一组数据，找到一条直线，使得这些数据点尽可能地靠近这条直线。

我们先来看一个简单的例子。

假设我们想研究学生的学习时间和考试成绩之间的关系。

我们收集了一些学生的学习时间（自变量 x）和对应的考试成绩（因变量 y）的数据。

那么，如何找到它们之间的线性关系呢？这就需要用到一元线性回归方程：y ＝ a ＋ bx 。

其中，a 是截距，b 是斜率。

b 表示 x 每增加一个单位，y 的平均变化量；a 则表示当 x 为 0 时，y 的值。

那么，如何确定 a 和 b 的值呢？这就要用到最小二乘法。

最小二乘法的基本思想是使得实际数据点与回归直线上的对应点的纵坐标之差的平方和最小。

通过一系列的计算，可以得到 a 和 b 的计算公式。

在实际计算中，我们通常会先计算出一些中间量，比如 x 的平均值x，y 的平均值ȳ ，以及 x 和 y 的乘积的总和、x 的平方的总和等等。

然后，代入公式就可以求出 a 和 b 的值。

求出回归方程后，我们就可以用它来进行预测了。

比如，已知一个学生的学习时间，就可以通过回归方程预测他可能的考试成绩。

但需要注意的是，这种预测是基于统计规律的，并不是绝对准确的。

一元线性回归分析在实际生活中有很多应用。

比如，经济学家可以用它来研究物价和消费之间的关系，企业可以用它来预测销售额和广告投入之间的关系，医学家可以用它来分析药物剂量和治疗效果之间的关系等等。

然而，在使用一元线性回归分析时，也需要注意一些问题。

首先，变量之间的线性关系必须是合理的。

如果两个变量之间的关系不是线性的，强行使用一元线性回归分析可能会得到错误的结果。

一元线性回归预测法回归分析是通过对观察数据的统计分析和处理，建立回归分析模型，研究事物之间的相互关系。

一元线性回归预测是回归预测的基础。

若预测对象只受一个主要因素的影响，并且它们之间存在着明显的线性相关关系时，通常采用一元线性回归预测法。

（1）预测模型一元线性回归的预测模型为：i i bX a Y +=∧∑∑==--=ni ini i i X n XYX n Y X b 1221Xb Y a -=式中，X i 为自变量X 的第i 个观察值；i Y 为因变量Y 的第i 个观察值；n 为观察值的个数，亦称样本数据个数；X 为n 个自变量观察值的平均数；Y 为n 个因变量观察值的平均数。

（2）预测模型的相关性分析相关性分析的相关性系数的计算公式为：∑∑∑----=22)()())((Y Y X X Y Y X X R iii i（-1≤R ≤1）相关性分析方法：1）当-1＜R ＜0时，表明因变量随自变量增加而减少，两者呈负相关。

2）当0＜R ＜1时，表明因变量随自变量增加而增加，两者呈正相关。

3）当︱R ︱=1 时，因变量和自变量完全相关，X 与Y 的关系变为确定性关系。

4）当R=0时，仅表明因变量与自变量之间不存在线性相关关系，并不排斥X 与Y 之间存在其它关系。

5）通常认为0.75＜R ≤1时，X 与Y 高度相关。

[例1-1]2002～2008年南京市城市居民人均可支配收入的统计数据见表1-1。

试用回归分析法预测2013年南京市城市居民人均可支配收入。

表1-1 2002～2008年南京市城市居民人均可支配收入解：① 建立回归分析模型从表1-1中的数据可以看出，时间序列i X 的数目为奇数，故将中间数（即2005年）定为0，则i X 的值及其它有关计算数据见表1-2。

则：0=X ，152767106930===∑nY Y根据公式：29.243128680761211221===--=∑∑∑∑====ni ini ii ni ini i i XYX X n XY X n Y X b 15276==-=Y X b Y a由此得到预测模型为：i i i X bX a Y 29.243115276+=+=∧表1-2 i X 及其它有关数据② 模型相关性分析97.0)()())((22=----=∑∑∑Y Y X X Y Y X X R iii i该模型具有很好的相关性。

2.1 一元线性回归预测回归预测在研究社会许多现象之间的定量关系方面有着十分广泛的应用，一元线性回归预测是最基本的、最简单的预测方法，是掌握其它回归预测方法的基础。

一、参数估计一元线性回归预测模型的数学表达式是一元线性议程：bx a y +=（2-1）式中：y ——预测对象，因变量或被解释变量；x ——影响因素，自变量或解释变量； b a ,——回归系数。

其含意表示事物y 主要受一个因素x 的影响，而且这种影响是呈线性关系的。

但是，事实上，自变量与因变更的关系并不完全是一条直线，而只是近似一条直线。

但是怎样的直线才能最好地反映了x 与y 的关系呢？就是说，是否有一种方法使所确定的回归系数a 、b 是最佳的呢？最常用的方法是最小二乘法。

即参数a 、b 的估计，一般采用最小二乘法。

对于预测对象y ，相关因素x ，可以收集到n 对数据：),(,),,(),,(),,(332221n n x y x y x y x y如果经回归分析得到回归预测模型如式2-1所示，则对于每一个相关因素x的值)2,1(n i x i =对应有一个y 的估计值i yˆ。

),,2,1(ˆn i bx a yi i =+= 则实际值i y 与估计值i y ˆ一般是不相等的，存在一个偏差，称为估计误差或残差，用i ε表示。

即),,2,1(ˆn i yy i i i =-=ε 或写成i i i bx a y --=ε最小二乘法是以误差平方和最小这一原理来估计b a ,系数，从而建立回归预测模型的。

设以Q 表示误差平方和，则有：212121)()ˆ(i i ni i i ni in i bx a y yy Q --=-==∑∑∑===ε （2-2）很显然，Q 是参数a 、b 的函数，当求Q 最小时，根据微分学中极值原理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00bQ aQ即)(21i i ni bx a y a Q ---=∂∂∑= ∑==-+=ni i i y bx a 10)(2（2-3）)(21i i n i i bx a y x b Q---=∂∂∑= ∑==-+=ni i i i y bx a x 10)(2（2-4）求解上联立方程可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫⎝⎛--=∑∑∑∑∑∑∑=======n i ni ii n i n i i i n i n i ni ii i i x n b y n a x x n y x y x n b 1112121111)62()52(--取 ∑==ni i x n x 11为x 的平均值，∑==ni i y n y 11为y 的平均值。

一元线性回归预测法一元线性回归预测模型（Unary Linear Regression Model）[一元线性回归预测法的概念 一元线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的线性关系的预测方法。

常用统计指标：平均数、增减量、平均增减量[编辑]一元线性回归预测基本思想 确定直线的方法是最小二乘法最小二乘法的基本思想：最有代表性的直线应该是直线到各点的距离最近。

然后用这条直线进行预测。

[编辑]一元线性回归预测模型的建立 1、选取一元线性回归模型的变量； 2、绘制计算表和拟合散点图； 3、计算变量间的回归系数及其相关的显著性； 4、回归分析结果的应用。

模型的检验 1、经济意义检验：就是根据模型中各个参数的经济含义，分析各参数的值是否与分析对象的经济含义相符。

2、回归标准差检验 3、拟合优度检验 4、回归系数的显著性检验[编辑]利用回归预测模型进行预测 可以分为：点预测和置信区间预测法 1、点预测法：将自变量取值带入回归预测模型求出因变量的预测值。

2、置信区间预测法：估计一个范围，并确定该范围出现的概率。

置信区间的大小的影响的因素：a、因变量估计值；b、回归标准差；C、概率度t；[编辑]一元线性回归分析预测法模型分析 一元线性回归分析预测法，是根据自变量x和因变量Y的相关关系，建立x与Y的线性回归方程进行预测的方法。

由于市场现象一般是受多种因素的影响，而并不是仅仅受一个因素的影响。

所以应用一元线性回归分析预测法，必须对影响市场现象的多种因素做全面分析。

只有当诸多的影响因素中，确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因素的变量，才能将它作为自变量，应用一元相关回归分析市场预测法进行预测。

一元线性回归分析法的预测模型为： （1） 式中，x t代表t期自变量的值；代表t期因变量的值； a、b代表一元线性回归方程的参数。

a、b参数由下列公式求得（用代表）： 为简便计算，我们作以下定义： (2) 式中： 这样定义a、b后，参数由下列公式求得： (3) 将a、b代入一元线性回归方程Y t = a + bx t，就可以建立预测模型，那么，只要给定x t值，即可求出预测值。

第三章一元线性回归第三章一元线性回归第一部分学习指导一、本章学习目的与要求1、掌握一元线性回归的经典假设2、掌握一元线性回归的最小二乘法参数估计的计算公式、性质和应用3、理解拟合优度指标决定系数R2的含义和作用4、掌握解释变量X和被解释变量Y之间线性关系检验回归参数0和1的显著性检验5、了解利用回归方程进行预测的方法。

二、本章内容提要一一元线性回归模型的假设条件1E i=0 i=12??n即随机误差项分布的均值为零。

2Var i=2i=1,2, ??n即随机误差项方差恒定称为同方差。

3 C o v i j= 0任意i≠j i j = 1 , 2 , ??n即随机误差项之间互不相关。

4解释变量X是非随机的换句话说在重复抽样下X的取值是确定不变的。

5i N02即随机误差项服从均值为0,方差为2的正态分布。

前四个假定就是著名的高斯—马尔科夫假定或者称为回归分析的经典假定。

二一元线性回归最小二乘法估计参数的计算公式及性质1、一元线性回归最小二乘法估计参数的计算公式为11210 1? ni ixyinxxiix x y y SSx xy x2、一元线性回归最小二乘法估计参数的性质与估计量的性质1残差的总和等于0即nii1=0。

2残差的平方和最小即nii12?最小。

3被解释变量Y的实际观测值iy之和等于其拟合值?iy之和从而iy的均值y与iy的均值y也相等。

4残差?i与?iy互不相关即1?0ni iiy。

5回归直线通过解释变量X和被解释变量Y的均值点( , )x y。

3、OLS法得到的估计量的性质1线性性即参数估计量是关于被解释变量Y取值的线性函数。

2无偏性即参数估计量的均值等于参数本身也就是E1?=1E0?=03方差最小性即在参数的所有线性无偏估计中OLS估计量是方差最小的。

该性质也称为方差有效性。

由1、2、3条性质知根据最小二乘法得到的参数估计量是最优线性无偏估计量Best Linear UnbiasEstimator简称BLUE估计量。

一元线性回归分析预测法的基本数学模型为：bx a y+=ˆ 此式又称为一元线性回归方程 式中：x 为自变量；yˆ为因变量，线性回归分析估计值，或预测值； a ，b 为待定回归参数； a 为回归直线的截距； b 为回归直线的斜率。

一元线性回归分析模型的几何图形如图 所示。

图 直线回归分析模型的几何图形（三）一元线性回归分析预测法参数a ，b 的确定一元线性回归分析预测法用最小二乘法求回归方程的参数。

假设有n 期的历史观察资料：用最小二乘法求回归参数的基本原则是，对于确定的方程，要使观察值y 与估计值y ˆ的偏差的平方和最小。

由此方法可求出：x0 xb>0b<0b=22)(∑∑∑∑∑--x x n y x xy n ( 6-1)a=∑∑⋅-x nb y n 11 ( 6-2) 只需将历史资料自变量x 和对应的因变量y 的数据代入上面的两式，即可求得回归参数a ，b 。

（四）一元线性回归分析预测法模型的建立将利用历史资料数据和参数公式（6-1）和（6-2）求得的a ，b 值，代入一元回归方程式，既可得预测模型：bx a y+=ˆ （6-3） 此时虽已求除预测模型，但不能将预测模型直接用于实际预测，还必须对模型进行检验。

（五）一元线性回归分析预测法预测模型的检验 对预测模型的检验主要包括以下几个方面：1、回归标准差检验。

一般情况下，从观察值y 与估计值y ˆ的对比来看，回归直线上的各点（估计值）同对应的观察期各点（观察值）之间，均存在着一定的离差，即观察值曲线上各点的y 值均偏离回归直线。

离差越大，拟合程度越差。

因而需要测定估计值的标准差，而回归标准差s 就是用来估计y 值在回归直线两侧的离差程度，以便在进行实际预测时为预测值建立一个置信区间范围。

回归标准差的计算公式为：S y =()kn y y tt --∑2ˆ （6-4）式中：S y 为回归标准差；y 为因变量第t 期的观察值；n 为观察期的个数；k 为自由度，为变量的个数（包括因变量和自变量）。