二次函数实际应用辅导讲义

课题二次函数的实际应用教学目标1.熟练运用二次函数的图像的性质。

2.会用函数思想解决实际应用题。

3.会确定实际问题取值范围。

重点、难点函数思想解决实际应用题考点及考试要求函数思想解决实际应用题类型一：利润最大问题典型例题：1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。

已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？2．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。

市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。

设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．⑴求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．(3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？针对练习：1、某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?2、某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?3、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.多种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？类型二：面积最大问题典型例题：1．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12。

二次函数在实际问题中的应用一、知识回顾二次函数是一种常见的函数形式。

其一般式为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是实系数，a≠0。

在二次函数图像的右开口和左开口两种情况下，其又有不同的性质：1.右开口。

此时 a>0，二次函数在顶点处取得最小值，最小值等于 c-b^2/(4a)。

2.左开口。

此时 a<0，二次函数在顶点处取得最大值，最大值等于 c-b^2/(4a)。

在实际问题中，用二次函数可以描述很多现象。

下面就来看看具体的应用。

二、实际问题中的应用1.水桶倒水有一个体积为 V 的圆柱形水桶，现在要倒掉其中的水，当水流速度为 v 时，需要 t 秒才能将桶内的水倒光。

现在需要求出水面下降深度 h 随时间 t 的变化关系。

分析：设最初水面为 y=0，水倒光时水面到桶底的距离为 h0。

可知 h(t)=h0-Vt/S，其中S 是底面积。

由于水的体积随时间的变化遵循等速度变化规律，即 V=Stv，将其代入 h(t) 中得到 h(t)=h0-tv。

得到与时间 t 的关系式后，可化为二次函数形式，即 h(t)=-\frac{v}{2}t^2+h0。

此时二次函数是左开口的，其最大值为 h0，即水面下降到最大深度时的位置。

2.抛物线运动有一个物体从平地上以初速度 v0 竖直向上抛，忽略空气阻力，球的落地时间为 t0。

现在需要求出球的最高高度和以及任意时间离落地面的高度 h(t)。

分析：在竖直上抛运动过程中，球的高度随时间的变化遵循自由落体公式 h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0t。

由于自由落体是二次函数，且此时为右开口，所以球的最高高度为 h_max=v0^2/(2g)。

而将 t0 代入二次函数中，可以得到球落地时的高度 h0，即 h0=-\frac{1}{2}gt0^2+v0t0。

再将 h(t) 化为二次函数形式：h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0t0+\frac{1}{2}gt0^2，此时是左开口的二次函数形式。

实际问题与二次函数【知识要点梳理】知识点1: 利用二次函数解决实际问题的一般步骤1.用二次函数知识解决实际问题的一般步骤:(1)仔细审题;(2)找出题中的变量和常量及它们之间的关系;(3)列函数解析式表示它们之间的关系;(4)借助函数的图象及其性质求解;(5)检验结果的合理性。

2.在实际问题中,有关用料最省、造价最低、利润最大等问题可以通过分析、联想,建立二次函数模型,转化为二次函数的最大值或最小值问题加以解答。

3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是最低点。

当x=时，函数的最小值为。

当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是最高点。

当x=时，函数的最大值为。

知识点2:利用二次函数求几何图形面积的最大值问题利用图形的面积公式建立二次函数模型并求出表达式,再利用配方法或公式法求出二次函数的最值。

知识点3: 利用二次函数求最大利润问题利用“总利润=每件的利润×件数”建立二次函数模型并求出表达式,利用配方法或公式法求出二次函数的最大值,即最大利润。

知识点4: 利用二次函数解决抛物线型问题1.抛物线型建筑物问题:几种常见的抛物线型建筑物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等.解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系,结合问题中的数据求出函数解析式,然后利用函数解析式解决问题。

2. 运动问题:(1)运动中的距离、时间、速度问题,这类问题多根据运动规律中的公式求解.(2)物体的运动路线(轨迹)问题,解决这类问题的图想方法是利用数形结合思想和函数思想,合理建立直角坐标系,根据已知数据,运用待定系数法求出运动轨迹(抛物线)的解析式,再利用二次函数的性质去分析、解决问题。

【知识点过关训练】知识点1: 利用二次函数求几何图形面积的最大值问题1. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．2. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元。

“培优班”培优讲义《二次函数的应用》一、几何图形类11米高处飞出，水平飞行5例1.一个小朋友坐在池塘边向水中抛掷石头，石头从距离水面12米达到最高处，此时距离水面3米，石头落到水面上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相11米．同，最大高度比原来最大高度降低12（1）求石头飞出到第一次落到水面时的抛物线表达式；（2）石头第二次落到水面的位置距离池塘边多远？练习1：某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，到柱子OP的距离为1米．(1) 求这条抛物线的关系式；(2) 若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．练习2：某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54，请你寻求： （1）柱子OA 的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．练习3：如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少．(1)m x二、销售问题例2．某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现,该商品每天的销售量w (千克)与销售价x (元/千克)有如下关系:280w x =-+.设这种商品的销售利润为y (元).(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)在不亏本的前提下,销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?练习4：某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．（1）假设每件商品降低x 元（每件商品都不亏本），商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请你写出y 与x 之间的函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）这种小商品每件销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？注：销售利润=销售收入－购进成本．练习5：某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。

名思教育辅导讲义学员姓名 辅导科目 数学 年 级 初三授课教师刘琳琳课 题 二次函数---复习授课时间教学目标 理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习. 重点、难点 考点及考试要求教学内容一、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：二次函数的图象和性质 一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

⑵ 二次函数c bx ax y ++=2，顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2ba ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而增大．解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（y x ,1），（y x ,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线221x x x +=。

3．图象的平移：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。

平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。

一、经典考题剖析：【考题1】在平面直角坐标系内，如果将抛物线22x y =向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（）Ａ．3)2(22+-=x y Ｂ．3)2(22++=x y Ｃ．3)2(22-+=x y Ｄ．3)2(22--=x y2．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ． 4=x B. 3=x C. 5-=x D. 1-=x4．已知二次函数c bx ax y ++=21(a ≠0）与一次函数y 2=kx+m(k ≠0）的图象相交于点A （－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______5．已知直线y=x 与二次函数y=ax 2 －2x －1的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（ ） A 、2 B 、1 C 、3 D 、 4 6．已知反比例函数y= kx 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，则二次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象大致为图1－2－3中的（ ）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线22221y x mx m m =-++-①，有y=2()21x m m -+-②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩⎨⎧-==12,m y m x ③④。

第九讲二次函数的实际应用学习目标1、知识目标：能通过分析和表示实际问题在变量之间的二次函数关系，运用二次函数的知识求出实际问题的最大值（小）值，发展解决问题的能力。

2、能力目标：能形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；能学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

3、情感目标：经历探索实际问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受数学的应用价值。

一、知识讲解课前测评1．如图，若用两堵相邻的足够长的墙和一段长20米的篱笆（图中虚线部分）围成矩形花圃，要使所围成的矩形花圃面积最大，则长和宽分别为（）A．10米，10米B．15米，5米C．16米，4米D．17米，3米2．（2015永州市中考模拟）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是______。

3．（2016年秋衡阳市期末）某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，那么每天可销售200件。

现在采用提高销售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件。

（1）要使每天获得的销售利润700元，请你帮忙确定销售价；（2）问销售价定在多少元时能使每天获得的销售利润最大?并求出此时的最大利润。

知识点回顾1、理解二次函数在实际生活中的应用最优化问题是二次函数在实际生活中的重要应用之一，充分体现了数学建模思想，利用二次函数求出问题所需要的 或 ，从而找到解决问题的最优方案。

2、掌握二次函数的顶点坐标与最值的关系抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点是最低（高）点，当x= 时，二次函数2y ax bx c =++有最小（大）值 。

3、灵活运用二次函数模型解决实际问题，其一般步骤是：（1）建立适当的平面直角坐标系。

（2）根据实际问题中的一些数 据描出点的坐标。

（3）用待定系数法求出抛物线的表达式。

名思教育辅导讲义学员姓名 张晓楠 辅导科目 数学 年级 初三授课教师刘琳琳课题 二次函数 授课时间教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容一、知识点梳理一、定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y =ax 2+bx +c （a ≠0），则称y 为x 的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ≠0），此时抛物线的顶点坐标为P （h ，k ）交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)（a ≠0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x 1、x 2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A （x 1，0）和 B （x 2，0）），对称轴所在的直线为x=2x x 21+ 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h =-a 2b ，k =a 4b -4ac 2 ； x 1, x 2=a 24ac -b b -2± ；x 1+x 2=-a2b三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -a2b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。

特别地，当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0）2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。

当x =-a2b时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。

当-a2b=0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。

3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。

当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。

|a |越大，则抛物线的开口越小。

教学目标1、使学生理解二次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定系数法求二次函数解析式。

2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

重点、难点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

考点及考试要求 考点1：二次函数的有关概念考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系考点3：二次函数在生活中的运用教 学 内 容第一课时 二次函数知识重要考点（1）考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数注意点：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，而b 、c 为任意实数。

（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。

（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2为整式） 典型例题：例1： 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时， 是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c （a ≠0）， 对称轴：直线x=ab 2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， )（2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）, 对称轴:直线x=22x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为 ；对称轴是 。

例2：二次函数y=-4（1+2x ）（x-3）的一般形式是 。