高考数学极坐标与参数方程(基础精心整理)教师版

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.3.参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：①代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数 ②三角法：利用三角恒等式消去参数③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

请注意：化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

4.常见曲线的参数方程（1）圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）（3）椭圆12222=+by ax 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） （4）双曲线12222=-byax 参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数） （5）抛物线Px y22=参数方程⎩⎨⎧==Pty Pt x 222（t 为参数） （6）直线的参数方程①标准式过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）②一般式 过定点),(00y x P 斜率ab k ==αtan 的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 是参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若122=+b a ,②即为标准式，此时， t表示直线上动点p 到定点0p 的距离；若122≠+b a ，则动点P 到定点P 0的距离是t b a 22+.5.直线参数方程的应用设过点),(00y x P ,倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00 (t 是参数)若21,p p 是l 上的两点，它们所对应的参数分别为21,t t 则(1) 21,p p 两点的坐标分别是()ααsin ,cos 1010t y t x ++，()ααsin ,cos 2020t y t x ++ (2)2121t t p p -=；(3)线段21p p 的中点p 所对应的参数为t ，则221t t t +=中点p 到定点0p 的距离2210t t t pp +==(4)若0p 为线段21p p 的中点，则021=+t t .6.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定 考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程的互化1．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 【解析】：C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A．1(,2 B ．31(,)42-C． D．【解析】：B 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12y =3．曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数的普通方程为____21y x =+______4．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈5．参数方程()2()t t t tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__ 答案:221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222t t tt tty x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ 6.已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为 . 【解析】)552,1(⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x （0≤ )π<消去参数后的普通方程为)10,55(1522≤≤≤<-=+y x yx，⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245消去参数后的普通方程为x y 542= 联立两个曲线的普通方程得,1(5=-=x x 舍）或 552=y 所以,所以它们的交点坐标为).552,1(7.在平面直角坐标系xO y 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程。

坐标系与参数方程1．(2008东莞调研文、理)极坐标内曲线2sin ρθ=的中心O 与点D ()1,π的距离为．2．(2008佛山二模文、理)球坐标(2,,)63ππ对应的点的直角坐标是1(2 ⎽⎽⎽⎽，对应点的柱坐标是(1,3π⎽⎽⎽⎽.3. (2008佛山一模文、理)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为_____22(2)4x y +-=_____，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为____ )2,2(π_____．4．(2008广州一模文、理)在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 cos 2ρθ= ．5. (2008广州二模文、理)已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin ,1cos y x (θ为参数), 则点()4,4P 与圆C 上的点的最远距离是 6 .6．(2008广州调研文、理) 在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为．7．(2008惠州一模理) 已知动圆：0sin 2cos 222=--+θθby ax y x),,(是参数是正常数，θb a b a ≠，则圆心的轨迹是______椭圆__________8. (2008惠州调研二文) 极坐标系中，圆22cos 30ρρθ+-=上的动点到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最大值是2 ．第13题9、(2008惠州调研二理) 曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上的点到曲线2C：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）上的点的最短距离为 1 ．10.(2008惠州调研三文)直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为82 ．11．(2008惠州调研三理) 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为22(2)4x y +-= .12．(2008揭阳一模文、理) 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为____sin()32πρθ-=__________.13．(2008揭阳调研文、理) 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝14．(2008梅州一模文) 已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=,则圆心到直线距离为．15. (2008汕头一模理)在极坐标系中，点A (1,)4π到直线sin 2ρθ=-的距离是__2+。

参数方程（4）--教师版 （2018-5-19）直线的参数方程[学习目标]1．掌握直线的参数方程．2．能够利用直线的参数方程解决有关问题． [知识链接]1．我们前面已经学习了直线的普通方程，还有直线的极坐标方程，现在大家考虑参数方程⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)表示的是怎样的图形？答案 消去参数t 后，得到的方程为y ＝x tan α，表示的图形为经过原点倾斜角为α的直线方程．2．在阅读教材的基础上，你能说出直线⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)与曲线y ＝f (x )交于M 1，M 2两点，对应的参数分别为t 1，t 2. (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？(2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？ 答案 (1)弦M 1M 2的长|M 1M 2|＝|t 1－t 2|. (2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22. [预习导引] 1．直线的参数方程过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．参数的几何意义直线的参数方程中参数t 的几何意义是：参数t 的绝对值表示参数t 对应的点到定点M 0(x 0，y 0)的距离．当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数；当M 0M →与e 反向时，t 取负数；当点M 与点M 0重合时，t 为零.课堂内容要点一 直线参数方程的标准形式例1已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)．(1)分别求t ＝0，2，－2时对应的点M (x ，y )； (2)求直线l 的倾斜角；(3)求直线l 上的点M (－33，0)对应的参数t ，并说明t 的几何意义．解(1)由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)知当t ＝0，2，－2时，分别对应直线l 上的点(－3，2)，(0，3)，(－23，1)．(2)法一化直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)为普通方程为y －2＝33(x ＋3)，其中k ＝tan α＝33，0≤α<π.∴直线l 的倾斜角α＝π6.法二由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，这是过点M 0(－3，2)，且倾斜角α＝π6的直线，故π6为所求． (3)由上述可知直线l 的单位方向向量 e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4， 且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．规律方法 (1)一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α<π)唯一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．特别地，当α＝π2时，直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0＋t (t 为参数)．(2)直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数)．跟踪演练1 直线l 经过点M 0(1，5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________． 答案 6(3＋1)解析由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12 t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． 要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长例2 已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于A 、B 两点．(1)求|AB |；(2)求AB 的中点M 的坐标及|FM |. 解 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，依题意，设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋15t ，y ＝25 t (t 为参数)，其中tan α＝2，cos α＝15，sin α＝25，α为直线AB 的倾斜角，代入 y 2＝8x 整理得t 2－25t －20＝0.设F A →＝t 1e ，FB →＝t 2e ，其中e ＝⎝⎛⎭⎪⎫15，25，则 t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－20. (1)|AB →|＝|FB →－F A →|＝|t 2e －t 1e | ＝|t 2－t 1||e |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（25）2＋80＝10. (2)由于AB 的中点为M ，则AM→＝MB →， ∴FM →－F A →＝FB →－FM →，即FM →＝12(F A →＋FB→)， 又FM →＝12(F A →＋FB→)＝t 1＋t 22e ， 故点M 对应的参数为t 1＋t 22＝5，∴M (3，2)，|FM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝ 5. 规律方法 设二次曲线C ：F (x ，y )＝0，直线l ：⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，如果l 与C 相交于A 、B 两点，那么将l 的方程代入F (x ，y )＝0后可得at 2＋bt ＋c ＝0，则该方程有两个不等实数根t 1、t 2，此时M 0A →＝t 1e ，M 0B →＝t 2e ，e ＝ (cos α，sin α)，于是易得以下两个常见的公式： (1)|AB |＝|t 1－t 2|；(2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22，且|M 0M |＝|t 1＋t 2|2.跟踪演练2 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值． 解 (1)由ρ＝2cos θsin 2θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0. 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则 t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1sin 2α，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，当α＝π2时，|AB |取最小值2. 要点三 直线参数方程的综合应用例3 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫102，0作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋12y 2＝1交于点M ，N ，求|PM |·|PN |的最小值及相应的α值．解设直线为⎩⎨⎧x ＝102＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线并整理得(1＋11sin 2α)t 2＋(10cos α)t ＋32＝0.则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝321＋11sin 2α.所以当sin 2α＝1时，|PM |·|PN |的最小值为18，此时α＝π2.规律方法 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．跟踪演练3 (2014·玉溪一中质检)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，已知过点 P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解 (1)由C ：ρsin 2θ＝2a cos θ，得(ρsin θ)2＝2aρcos θ，所以曲线的普通方程为y 2＝2ax .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t 消去参数t ，得x －y －2＝0.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝2ax ，得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0， 则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )．因为|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2.解得a ＝1.当堂检测1．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32 答案 D 解析 k ＝y －2x －1＝－3t 2t ＝－32.2．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点A (－2，3)的距离等于2的点的坐标是________．答案 (－3，4)或(－1，2)解析 由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________．答案 x －2y －4＝0解析 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0. 4．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.课堂小结1．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)．其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量M 0M ，可为正、为负，也可为零．2．在直线参数方程中，如果直线上的点M 1、M 2所对应的参数值分别为t 1和t 2，则线段M 1M 2的中点所对应的参数值为t 中＝12·(t 1＋t 2)．。

极坐标与参数方程解答题（二（教师版）1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标4π)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－4π)＝a ，． （1）若点A 在直线l 上，求直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，若直线l 与圆C，求a 的值。

【答案】(1) 20x y +-= (2)2a =或2a = 2．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是1 x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程sin cos 0m θρθ-+=．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(,0)P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数m 的值．【答案】（Ⅰ）)y x m =-；（Ⅱ）1m =或1m =-或3m = 3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积.【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为22440x y +-=；（Ⅱ）85. 4．直角坐标系中曲线C 的参数方程为4cos {3sin x y θθ==（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点(0,1)M 作直线l 交曲线C 于,A B 两点（A 在B 上方），且满足2BM AM =，求直线l 的方程.【答案】（1）221169x y +=;（2）0x =.5．已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程为3()4R pq r =?，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，求OP 的值.【答案】（1）2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）OP =6．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ． （1）求曲线C 的普通方程；（2）直线l 的参数方程为x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩,t 为参数直线l 与y 轴交于点F 与曲线C 的交点为A ，B ，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线l 的直角坐标方程． 【答案】（1）x 2=4y ；（2）y=17．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为10sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭. （1）求曲线C 与直线l 的直角坐标方程.（2）直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PB ⋅的值.【答案】(1) C 的直角坐标方程为22100x y y +-=，l 的直角坐标方程为3y x =+.(2)||||9PA PB ⋅=8．在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的参数方程为 = +2 =2 +2 为参数）．（1）写出 的普通方程，求 的极坐标方程；（2）若过原点的直线 与 相交于 两点， 中点 的极坐标为 ，，求 的直角坐标．【答案】（1） + +1 = ， +1 = ；（2），.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数）.以坐标原点O 为原点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点为P ，过点P 作倾斜角为α的直线m 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB -的最大值.【答案】（1）:10l x y +-=，22:14x C y +=；（2）2 10．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，其中a 为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)B 为圆C 上一点，且B 点的极坐标为()000,,,26ππρθθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，射线OB 绕O 点逆时针旋转3π，得射线OA ，其中A 也在圆C 上，求OA OB +的最大值． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）11．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-． （1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长． 【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C的直角坐标方程为：22((1)4x y ++=；（Ⅱ）4-12．在平面直角坐标系 中，已知点 的直角坐标为 1 ，直线 的参数方程为=1+=（ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 sin = cos .（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）直线 和曲线 交于 、 两点，求+的值. 【答案】（1） 1= 和 = .（2）113．在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，若16AB =，求a 的值．【答案】0x y --=，24y x =（Ⅱ）1a = 14．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长AB ． 【答案】（1）28y x =；（2）323. 15．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=.（1）求椭圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(1,)2π，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值.【答案】（1）22132x y +=，1x y +=；（216．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)．(1)求曲线C 和直线l 的普通方程，(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若1AB =，求直线l 的方程。

（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。

，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。

（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。

高考数学极坐标与参数方程1. 已知点P的直角坐标为（2，3），将其转换为极坐标，则P点的极坐标为（）A. (3, π/6)B. (3, π/3)C. (3, π/2)D. (3, π)2. 点M在曲线x^2 + y^2 = 1上，且|OM|=2，其中O为原点，M 的直角坐标为（）A. (1, 0)B. (0, 1)C. (0, -1)D. (-1, 0)3. 曲线C：x^2 + y^2 = 4x，将曲线C的参数方程转换为极坐标方程，则转换后的极坐标方程为（）A. r^2 = 4rB. r^2 = 4C. r^2 = 2rD. r^2 = 24. 已知曲线C的参数方程为x = t，y = 1 - t^2，求曲线C的极坐标方程。

5. 曲线C的参数方程为x = 2t，y = t^2 - 1，求曲线C的直角坐标方程。

6. 已知曲线C的参数方程为x = t^2 - 2t，y = 2t^2 + 1，求曲线C的直角坐标方程。

7. 已知曲线C的参数方程为x = t^2 - 2t，y = t^2 + 1，求曲线C的极坐标方程。

8. 已知曲线C的参数方程为x = 2t，y = t^2 - 1，求曲线C的直角坐标方程。

9. 已知曲线C的参数方程为x = t^2 - 2t，y = 2t^2 + 1，求曲线C的极坐标方程。

10. 已知曲线C的参数方程为x = t^2 - 2t，y = t^2 + 1，求曲线C的直角坐标方程。

11. 已知曲线C的参数方程为x = t^2 - 2t，y = 2t^2 + 1，求曲线C的极坐标方程。

12. 已知曲线C的参数方程为x = 2t，y = t^2 - 1，求曲线C 的直角坐标方程。

13. 已知曲线C的参数方程为x = t^2 - 2t，y = t^2 + 1，求曲线C的极坐标方程。

14. 已知曲线C的参数方程为x = t^2 - 2t，y = 2t^2 + 1，求曲线C的直角坐标方程。

高中数学回归课本校本教材24（一）基础知识 参数极坐标1.极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。

2.常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系：正弦定理sin sin OP OMOMP OPM=∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-；（2）圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；（3）圆锥曲线极坐标：1cos epe ρθ=-，当1e >时，方程表示双曲线；当1e =时，方程表示抛物线；当01e <<时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。

极坐标方程324cos ρθ=-表示的曲线是 双曲线3.参数方程：（1）圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-= （2）椭圆22221x y a b+=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ==（3）直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00cos sin x x y y t θθ--==， 即00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩注：0c o s x x t θ-=，0sin y y tθ-=据锐角三角函数定义，T 几何意义是有向线段MP 的数量00000()00.t l M M x y M M M M M M t M M t ><其中表示直线上以定点为起点，任意一点，为终点的有向线段的数量，当点在的上方时，；当点在的下方时，；如：将参数方程222sin (sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)化为普通方程为2(23)y x x =-≤≤ 将2sin y θ=代入22sin x θ=+即可，但是20sin 1θ≤≤；4. 极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 或222tan (0)xy yx xρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，θ的象限由点(x,y)所在象限确定. （1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合.（2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。

1．曲线的极坐标方程．(1) 极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点 O引一条射线Ox，同时确立一个长度单位和计算角度的正方向( 往常取逆时针方向为正方向) ，这样就成立了一个极坐标系．此中，点O称为极点，射线 Ox 称为极轴．(2)极坐标 ( ρ，θ ) 的含义：设 M 是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对( ρ，θ) 称为点 M的极坐标．明显，每一个有序实数对 ( ρ，θ) ，决定一个点的地点．此中ρ 称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大差别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，关于给定的有序数对 ( ρ，θ) ，能够确立平面上的一点，可是平面内的一点的极坐标却不是独一的．(3) 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线 C 上的随意一点的极坐标知足方程f( ρ，θ ) ＝ 0，而且坐标合适方程f( ρ，θ ) ＝ 0 的点都在曲线 C 上，那么方程f ( ρ，θ ) ＝ 0 叫做曲线 C 的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1) 过极点且与极轴成φ 0角的直线方程是θ＝φ 0和θ＝π－φ 0，以下列图所示．(2) 与极轴垂直且与极轴交于点(a ， 0) 的直线的极坐标方程是ρ cosθ＝a，以下列图所示．(3) 与极轴平行且在x 轴的上方，与 x 轴的距离为 a 的直线的极坐标方程为ρsinθ＝a，以下列图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为 r 的圆的方程为ρ＝ r ，如图 1 所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r 的圆的方程为ρ＝ 2rcos_ θ，如图 2 所示．(3) 圆心在过极点且与极轴成πr 的圆的方程为ρ 2rsin_ θ，2的射线上，过极点且半径为如图 3 所示．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标 M(ρ，θ ) 化为平面直角坐标 M(x ， y) 的公式以下：x ＝ρ cos θ， 2＋ y 2， tan θ＝ y，或许 ρ＝ xy ＝ρ sin θx 此中要联合点所在的象限确立角 θ 的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数，即x ＝ f （ t ），M(x ， y) 都在这条曲线上，而且关于 t 的每一个同意值，由方程组所确立的点y ＝ g （ t ），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x ， y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．2．常有曲线的参数方程．(1) 过定点 P(x 0， y 0) ，倾斜角为 α 的直线：x ＝x 0 ＋ tcos α，y ＝y 0 ＋ tsin(t 为参数 ) ，α此中参数 t 是以定点 P(x ， y ) 为起点，点 M(x ， y) 为终点的有向线段PM 的数目，又称为点 P 与点 M 间的有向距离．依据 t 的几何意义，有以下结论：①设 A ， B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和 t B ，则 |AB| ＝ |t B － t A | ＝（ t B ＋ t A ） 2－4t A · t B ；t A ＋ t B②线段 AB 的中点所对应的参数值等于.2(2) 中心在 P(x 0， y 0) ，半径等于 r 的圆：x ＝x 0＋ rcos θ， ( θ 为参数 )y ＝y 0＋ rsinθ(3) 中心在原点，焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 上的椭圆：x ＝acos θ，x ＝ bcos θ， y ＝bsin( θ 为参数 ) 或.θy ＝ asin θx ＝ x 0＋ acos α， 中心在点 P(x 0，y 0) ，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为y ＝ y 0＋ bsin α( α 为参数 ) ．(4) 中心在原点，焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 上的双曲线：x ＝asec θ，x ＝ btan θ， y ＝btan ( θ 为参数 ) 或.θy ＝ asec θ(5) 极点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线：x ＝2p ，(t 为参数， p>0) ．y ＝2p1注： sec θ＝ cos θ .3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ， y 的限制．1．已知点 A 的极坐标为5π，则点 A 的直角坐标是 (2 ，－ 2 3) ．4，3π2．把点 P 的直角坐标 ( 6，－ 2) 化为极坐标，结果为2 2，－6 ．3．曲线的极坐标方程ρ＝ 4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋ (y －2) 2＝ 4．ππ4．以极坐标系中的点 1， 6 为圆心、1 为半径的圆的极坐标方程是 ρ＝ 2cos θ－ 6 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线 l ：x ＝ t ，为参数 ) 过椭圆 C ：x ＝ 3cos θ， (t y ＝ 2sin θy ＝ t －a( θ 为参数 ) 的右极点，则常数a 的值为 3．x ＝ t ，x ＝ 3cos θ， x 2 y 2分析： 由直线 l ： y ＝ t －a ， 得 y ＝ x － a. 由椭圆 C ：y ＝ 2sin θ， 得 9 ＝ 4 ＝ 1. 因此椭圆 C 的右极点为 (3 ，0) ．由于直线 l过椭圆的右极点，因此0＝ 3－ a ，即 a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点 P 的直角坐标为 (1 ，－3) ．若以原点 O 为极点， x轴正半轴为极轴成立极坐标系，则点P 的极坐标能够是 ( C)A. 1，－ πB. 2， 4π3 3π4πC. 2，－ 3D. 2，－ 32．若圆的方程为x ＝ 2cos θ， x ＝ t ＋1， y ＝ 2sin ( θ 为参数 ) ，直线的方程为(t 为参数 ) ，则θ y ＝ t －1直线与圆的地点关系是( B)A ．相离B ．订交C ．相切D．不可以确立3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，两种坐标x ＝ t ＋1，系中取同样的长度单位，已知直线l 的参数方程是 (t 为参数 ) ，圆 C 的极坐标方y ＝ t －3程是 ρ＝ 4cos θ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ( D)A. 14B ．2 14C. 2D．2 2分析： 由题意可得直线和圆的方程分别为x －y － 4＝ 0，x 2＋y 2＝ 4x ，因此圆心 C(2，0) ，半径 r ＝ 2，圆心 (2 ，0) 到直线 l 的距离 d ＝ 2，由半径，圆心距，半弦长组成直角三角形，解得弦长为 2 2.l 均分圆 C ：(x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝1，则直线 l 与圆 O ： x ＝3cosθ，( θy ＝ 3sin θ为参数 ) 的地点关系是 ( A)A ．订交B ．相切C ．相离D．过圆心分析： 动直线 l 均分圆 C ：(x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 1，即圆心 (2 ，1) 在直线 l 上，又圆 O ：x ＝ 3cosθ，的一般方程为 x 2＋ y 2＝ 9 且 22＋ 12<9，故点 (2 ， 1) 在圆 O 内，则直线 l 与圆 Oy ＝ 3sin θ的地点关系是订交．二、填空题5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线y＝sinθ－ 2，C 的参数方程是( θ是参数 ) ，x＝ cosθ若以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线 C的极坐标方程可写为ρ2＋4ρ sin_ θ＋ 3＝ 0．分析：在平面直角坐标系y＝ sinθ－ 2，y＋2＝ sin θ，xOy 中，( θ是参数 ) ，∴根x＝ cos θx＝cos θ .据 sin 2θ＋ cos 2θ＝ 1，可得 x2＋(y ＋ 2) 2＝1，即 x2＋ y2＋ 4y＋3＝0. ∴曲线 C 的极坐标方程为ρ2＋4ρ sin θ＋ 3＝0.x＝ 2cos θ，6．在平面直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ( θ为参数 ) ，以原点 O为极y＝ 2＋ 2sin θπ点，以 x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为2，2．三、解答题17．求极点到直线2ρ＝π ( ρ∈ R)的距离．sinθ＋4分析：由 2 ρ＝1sinπ ? ρ sin θ＋ρ cos θ＝ 1? x＋ y＝1，θ＋4|0 ＋0－1|2故d＝12＋12＝2.8．极坐标系中， A 为曲线ρ2＋2ρ cos θ－ 3＝0 上的动点， B 为直线ρ cos θ＋ρ sinθ－ 7＝ 0 上的动点，求|AB| 的最小值．x＝ cos θ，9．(2015 ·大连模拟) 曲线 C1的参数方程为( θ为参数 ) ，将曲线 C1上全部y＝ sinθ点的横坐标伸长为本来的 2 倍，纵坐标伸长为本来的3倍，获得曲线C2. 以平面直角坐标系xOy 的原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，取同样的单位长度成立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－ 2sinθ)＝ 6.(1)求曲线 C2和直线 l 的一般方程；(2)P 为曲线 C2上随意一点，求点P 到直线 l 的距离的最值．分析： (1)由题意可得 C 的参数方程为x＝ 2cosθ，x2y2y＝ 3sinθ(θ为参数 ) ，即 C ：4＋3＝ 1，22直线 l ：ρ(cosθ－ 2sin θ ) ＝ 6 化为直角坐标方程为x－ 2y－ 6＝ 0.(2) 设点 P(2cosθ， 3sin θ ) ，由点到直线的距离公式得点P 到直线 l的距离为|2cosθ－ 23sinθ－ 6|d＝56＋ 43sin1θ－ cos θ＝2256＋ 4sin θ－π＝655π＝56＋ 4sin θ－6.2525因此5≤ d≤ 25，故点 P 到直线 l的距离的最大值为25，最小值为 5.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x＝ 1＋4cosθ，y＝ 2＋4sin ( θ为参数 ) ，θπ直线 l 经过定点P(3， 5) ，倾斜角为 3 .(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程．(2)设直线 l 与曲线 C 订交于 A， B 两点，求 |PA| ·|PB| 的值．x＝ 1＋4cos θ，2分析： (1) 由曲线 C 的参数方程( θ为参数 ) ，得一般方程为 (x － 1)y＝ 2＋ 4sin θ＋(y － 2) 2＝ 16，即 x2＋ y2－ 2x－ 4y ＝11＝ 0.1x＝ 3＋ t ，π2直线 l 经过定点 P(3 ， 5) ，倾斜角为3，直线的参数方程为3(t 是参数 ) ．y＝ 5＋2 t(2)将直线的参数方程代入 x2＋ y2－ 2x－4y － 11＝0，整理，得 t 2＋ (2 ＋3 3)t － 3＝ 0，设方程的两根分别为 t 1， t 2，则 t 1t 2＝－ 3，由于直线 l 与曲线 C 订交于 A， B 两点，因此 |PA| · |PB| ＝ |t 1t 2| ＝3.。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐 标 系1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2．极坐标的概念 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。

(2)极坐标：对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)。

当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值。

(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。

如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了。

3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。

(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ4．常见曲线的极坐标方程1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程。

参数方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：()()x f t y g t =⎧⎨=⎩；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()()x f t y g t =⎧⎨=⎩所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩叫作曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t 的关系，则所得的()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：cos sin x r ty r t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 三．椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)， 可把它化为标准形式：00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tan α＝ba ，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线 解析：由3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.又由0＜θ＜π2，得0＜x ＜3，0＜y ＜3，所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)． 这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)． 答案：这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线解析：由参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧．答案：一个整圆弧例2：设直线l 1的参数方程为1,13x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.解析：由条件知,l 1∥l 2,在l 1中令t=0,则得坐标为(1,1). 由点到直线距离公式得l 1与l 2距离为:答案：5练习2：若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s=⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.解析：由l 1消去参数t 得,2,22k k y x =-++斜率为-.2k由l 2消去参数s 得,12y x =-,斜率为-2.∵两直线垂直,(2)()12k ∴-⋅-=-,得k =-1. 答案：-1 类型二.曲线参数方程例3：已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则y x 的取值范围为______.解析：曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)是以(-2,0)为圆心,以1为半径的圆,设y k x =,求y x 的取值范围,即求当直线y =kx 与圆有公共点时k 的取值范围,如图22-60结合圆的几何性质可得33k -≤≤故填[33-答案：[ 练习1：已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.解析：y 21cos 22cos ,θθ=+=消去22(02)x y y θ=≤≤得 其图像是一段抛物线弧,如图22-61,1(0,)2F 是它的焦点,l 是准线,d =|PF|,当A ,P ,F 三点共线时,||PA d +最小,其值是||2AF =例4：已知θ为参数,则点(3,2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.解析：把cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,化为普通方程为221,x y +=所以点(3,2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值1.1.练习1：已知圆C 的参数方程为cos 1,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P (4,4)与圆C 上的点的最远距离是______.解析：由cos 1,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩得22(1)1x y -+=,则点P (4,4)与圆C 上的点的最远距离是16=答案：6例5：已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，点M 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．答案：设d 1为点M 到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点M 到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点M 在双曲线x 2－y 2＝1，则可设点M 坐标为(sec α，tan α)． d 1＝|sec α－tan α|2， d 2＝|sec α＋tan α|2，d 1·d 2＝|sec 2α－tan 2α|2＝12，故d 1与d 2的乘积是常数．练习1：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数，a ＞0，b ＞0)化为普通方程．解析：∵t＋1t ＝2x a ，t －1t ＝2yb ，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2＝4x 2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝t 2＋1t 2－2＝4y 2b 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4＝4x 2a 2－4y 2b 2，即x 2a 2－y2b2＝1. 答案：x 2a 2－y2b 2＝1类型三.直线参数方程例6：曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.解析：C 1:221cos ,(1)1;sin x x y y θθ=+⎧⇒-+=⎨=⎩则圆心坐标为(1,0).由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为d=2=,所以要求的最短距离为d -1=1.答案：1练习1：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2解析：根据点到直线的距离公式可以得出结果. 答案：B类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解析：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.答案：(1)点P 在直线l 上． (2)最小值为 2.练习1：已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ.当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？两曲线有何共同特征？答案：当θ为参数时，将原参数方程记为①， 将参数方程①化为 ⎩⎪⎨⎪⎧2xe t ＋e －t＝cos θ，2y e t－e－t ＝sin θ，平方相加消去θ，得x2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t＋e －t22＋y2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t－e －t22＝1.②∵(e t＋e －t )2＞(e t－e －t )2＞0， ∴方程②表示的曲线为椭圆． 当t 为参数时，将方程①化为⎩⎪⎨⎪⎧2x cos θ＝e t ＋e－t，2ysin θ＝e t －e－t.平方相减，消去t ，得x 2cos 2θ－y2sin 2θ＝1.③ ∴方程③表示的曲线为双曲线，即C 为双曲线．又在方程②中⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t22－⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t22＝1，则c ＝1，椭圆②的焦点为(－1，0)，(1，0)．因此椭圆和双曲线有共同的焦点．类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8： 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)练习1：求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程:即2239()24x y -+=,22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩可得23,x y -=所以圆心到直线的距离0,d ==即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3. 答案：31.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)答案：C2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21 B ．221 C.29 D ．229答案：B3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t－e －t，y ＝e t ＋e －t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支D ．圆答案：C 4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为答案：y ＝±13(x －2)5. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个．答案：16．若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.答案：(,0)(10,)-∞+∞7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案：168.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.答案：圆的方程可化为22(1)(2)4,x y ++-=其圆心为C (-1,2),半径为2. 由于圆心到直线l 的距离故直线l 与圆C 的公共点个数为2.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长答案：把直线2,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为y =+把它代入双曲线方程并整理得,设直线交双曲线于1122(,),(,)A x y B x y 两点, 则1212136,,2x x x x +=⋅=则直线被双曲线截得的弦长_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3) B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π2答案：B 2．双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)答案：A3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2) D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)答案：C4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线答案：C5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心，P 是椭圆上对应于α＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )A.33B. 3C.332D.239答案：D6.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.答案：(x －1)2＋y 2＝47.点P(x ，y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________． 答案： 5－ 58.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|＝________． 答案：2能力提升9.点(2，33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k∈Z)B ．k π＋π3(k∈Z)C ．2k π＋π6(k∈Z)D ．2k π＋π3(k∈Z)答案：D10.椭圆x 29＋y24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655D ．0答案：A11． 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．答案：1412.在平面直角坐标系xOy中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案：3第 11 页 13. 已知在平面直角坐标系xOy 中圆C的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________． 解析：圆C 3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)表示的曲线是以点(3，1)为圆心，以3为半径的圆，将直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0的方程化为3x －y ＝0，圆心(3，1)到直线3x －y ＝0的距离: d ＝|3×3－1|（3）＋12＝1，故圆C 截直线所得弦长为232－12＝4 2. 答案：4 214. 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案:(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1 得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 化为极坐标方程并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.。

高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总编者：邬小军【知识汇编】参数方程： 直线参数方程：x x 0 t cos (t 为参数 ) ( x 0, y 0 )为直线上的定点，t 为直线上任一点yy 0 t sin(x, y) 到定点 (x 0 , y 0 ) 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：x a r cos为参数 ) (a,b) 为圆心， r 为半径；y b(r sin椭圆 x 2y 2 1的参数方程是x a cos (为参数 ) ；a 2b 2y b sin双曲线 x 2 y 21的参数方程是 x a sec为参数 )；a 2 -b 2 y b tan ( 抛物线 y 22 px 的参数方程是x 2 pt 2y 2 pt (t 为参数 )极坐标与直角坐标互化公式：假设以直角坐标系的原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为 ( , ) ，直角坐标为 (x, y) ，那么xcos, ysin ,2x 2 y 2 , tanx y。

【题型 1】参数方程和极坐标根本看法1．点 M 的直角坐标是 ( 1, 3) ，那么点 M 的极坐标为〔 C〕A ． (2,) B ．(2,)2D ． (2,2 k ),( k Z)C ．(2, )33332．圆5cos5 3 sin 的圆心坐标是〔 A 〕A ．( 5,4) B ． ( 5, ) C ．(5, 3 ) D ．( 5,5)3 333． P 为半圆 C ： 〔为参数，〕上的点，点 A 的坐标为〔 1,0 〕，O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 的长度均为 3。

1〕以 O 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标；2〕求直线 AM 的参数方程。

解： 1〕由， M 点的极角为3，且 M 点的极径等于 3 ，故点 M 的极坐标为〔 3 ， 3 〕.2〕M 点的直角坐标为〔 , 3 〕，A 〔0,1 〕，故直线 AM 的参数方程为6 61x 1 (1)t6y3t6〔 t 为参数〕x2 5 cos4．曲线 C的参数方程为y1 5 sin(为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。

科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时11.1极坐标方程与参数方程一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）D A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）B A ．1(,2)2- B ．31(,)42- C ．(2,3) D ．(1,3) 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ）C A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）CA ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y =5．点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）CA ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）CA ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

54- 2．参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

221,(2)416x y x -=≥ 3．已知直线113:()24x t l t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_524．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

选修系列 极坐标与参数方程练习——教师版1、（09金陵中学）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程；（2）化圆的方程为普通方程；（3）求直线l 被圆截得的弦长．2211sin 321212042100736101610y y x y d r πρθρθθ-∴=-+=+===∴解：（）由sin(-)=6得:()=6------------2分-----------------------分（）------------------------------------ 分（）且弦长等于------------------------分2、（09南京）已知直线l 和参数方程为⎩⎨⎧-=-=224t y t x ）t 为参数(,P 是椭圆1422=+y x 上任意一点，求点P到直线l 的距离的最大值解： 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=224t y tx t (为参数）故直线l 的普通方程为02=+y x因为p 为椭圆1422=+y x 上任意点，故可设)sin ,cos 2(θθP 其中R ∈θ。

因此点P 到直线l 的距离是5|)4sin(|2221|sin 2cos 2|22πθθθ+=++=d所以当4ππθ+=k ，z k ∈时，d 取得最大值552。

3、（09南通）在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C (2，3π)，半径C 的极坐标方程. 解法一：设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，则……………4分由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－3π)=5. ………………8分化简，得ρ2－4ρcos(θ－3π)＋1=0，此即为所求的圆C 的方程. ……………………10分 解法二：将圆心C (2，3π)化成直角坐标为(1，半径， …………………2分 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y……………4分再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2+(ρcos θ………6分化简，得ρ2－4ρcos(θ－3π)＋1=0 ，此即为所求的圆C 的方程. …………10分4、（09通州第）求经过极点9(0,0),(6,),)24O A B ππ三点的圆的极坐标方程. 解：将点的极坐标化为直角坐标，点,,O A B 的直角坐标分别为()()()0,0,0,6,6,6，故OAB ∆是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为()3,3，半径为圆的直角坐标方程为()()223318x y -+-=，即22660x y x y +--=，…………5分 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上述方程，得()26cos sin 0ρρθθ-+=，即4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………………………………………………10分5、（09盐城中学）若两条曲线的极坐标方程分别为1=ρ与⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos 2πθρ，它们相交于B A ,两点，求线段AB 的长．解：由1ρ=得221x y +=， ……………2分又22cos()cos ,cos sin 3πρθθθρρθθ=+=∴=-220x y x ∴+-=， ……… 4分由222210x y x y x ⎧+=⎪⎨+-+=⎪⎩得1(1,0),(,22A B --, ……… 8分AB ∴==． …………10分6、（09扬州大学附中3月月考）圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为4cos sin ρθρθ==-，．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过圆1O ，圆2O 两个交点的直线的直角坐标方程．解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=．即2240x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程． 同理220x y y ++=为圆2O 的直角坐标方程． ……………………………………6分（2）由2222400 x y xx y y⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩相减得过交点的直线的直角坐标方程为40x y+=．…………………………10分7、（09扬州）求直线415315x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t）被曲线)4πρθ=-所截的弦长，解：将方程415315x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，)4πρθ=+分别化为普通方程：3410x y++=，220,x y x y+-+= (5))17.105d== 11圆心C（，－＝，弦长＝22……(10分) 8若两条曲线的极坐标方程分别为1=ρ与⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos2πθρ，它们相交于BA,两点，求线段AB的长．解：由1ρ=得221x y+=，……………2分又22cos()cos,cos sin3πρθθθρρθθ=+=∴=-220x y x∴+-=，……… 4分由22221x yx y x⎧+=⎪⎨+-+=⎪⎩得1(1,0),(,2A B-, ……… 8分AB∴==．…………10分9、设点P在曲线sin2ρθ=上，点Q在曲线2cosρθ=-上，求||PQ的最小值．解：以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系.将sinρθ=2y=…………………………………………3分将2cosρθ=-化为直角坐标方程，得圆方程22(1)1x y++=……………………………………6分所以圆心（－1，0）到直线距离为2，|PQ|的最小值为2－1＝1 (1)10、在极坐标系中,设圆3ρ=上的点到直线()cos 2ρθθ=的距离为d ,求d 的最大值.解：将极坐标方程3ρ=转化为普通方程：229x y +=…………………………………(2分)()cos 2ρθθ=可化为2x =……………………………(5分)在229x y +=上任取一点A ()3cos ,3sin αα,则点A 到直线的距离为06sin(30)22d α+-==,它的最大值为4 …………(10分)11．已知圆C 的参数方程为24cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=⎩,若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,试求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程.解:由题设知,圆心(2,0),(0,C P ,故所求切线的直角坐标方程为60x +=从而所求切线的极坐标方程为cos sin 60ρθθ+=………………………………(10分)12．已知在直角坐标系x0y 内，直线l 的参数方程为22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)．以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系. (1)Y=2x+3 (2)相交13已知圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭．⑴将极坐标方程化为普通方程；⑵若点P(x ，y)在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．解：⑴224460x y x y +--+=；⑵圆的参数方程为2,2,x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 所以42sin 4x y πα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，那么x ＋y 最大值为6，最小值为2． ………………10分 14、过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1(1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数），相交于A 、B 两点．求线段AB的长．解：直线的参数方程为32(12x s s y s ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）曲线1(1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．AB 12s s =-=．说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用．15、求经过极点9(0,0),(6,),)24O A B ππ三点的圆的极坐标方程. 解：将点的极坐标化为直角坐标，点,,O A B 的直角坐标分别为()()()0,0,0,6,6,6，故OAB ∆是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为()3,3，半径为圆的直角坐标方程为()()223318x y -+-=，即22660x y x y +--=，…………5分 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上述方程，得()26cos sin 0ρρθθ-+=，即4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.。