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极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty ptx 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
![[配套K12]2018版高考数学 考点55 极坐标与参数方程试题解读与变式](https://img.taocdn.com/s1/m/8a1e8870cf84b9d528ea7a44.png)
考点55 极坐标与参数方程【考纲要求】1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．4.了解参数方程，了解参数的意义．5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 【命题规律】极坐标与参数方程近几年是在第22题解答题中考查，主要是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题.难度中等. 【典型高考试题变式】（一）参数方程与极坐标方程的综合运用例1.【2017新课标3】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【分析】（1）由题意得直线l 1，l 2的普通方程，然后消去参数即可得到曲线C 的普通方程； （2）联立两个极坐标方程可得2291cos ,sin 1010θθ==【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-； 消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.【变式1】【2018衡水联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：12x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos 14πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -，且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 于A ， B 两点，求点M 到A ， B 两点的距离之积．【解析】（1）由题知，曲线C 化为普通方程为2213x y +=，由cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．（2）由题知，直线1l的参数方程为12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）， 代入曲线C ：2213x y +=中，化简，得2220t --=， 设A ， B 两点所对应的参数分别为1t ， 2t ，则121t t =-，所以121MA MB t t ⋅==．【变式2】【2018山西两校联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线13cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩ (α为参数)，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=-. （1）分别求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若P Q 、分别为曲线12C C 、上的动点，求PQ 的最大值.【解析】（1）因为曲线1C 参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以cos 3sin xy αα⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为22sin cos 1αα+=,所以1C 的普通方程为2219x y +=. 因为曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， 故曲线2C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即()2211x y ++=.（二）参数方程的运用例2.【2017年新课标1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .【分析】（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为d =对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.【变式1】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)． （1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 消去参数θ可得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16． （2）因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤25．【变式2】【2017云南省、四川省、贵州省联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积. 【解析】（1）设点,sin )P a a ，则点P 到直线l 的距离为|2sin()6|a d π--==所以当sin()13a π-=-时，31(,)22P -，此时max d =.【数学思想】 ①数形结合思想. ②分类讨论思想． ③转化与化归思想. 【温馨提示】①在参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线． ②参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式，可以说是曲线的两种巧妙的表示形式，有时解决一些问题要借助参数的几何意义. 【典例试题演练】1.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l 的参数方程是232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2cos 2sin ρθθ=．（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P的极坐标为)4π，求||PM 的值．【解析】（1）因为直线的参数方程是232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程为30x y -+=．由曲线C 的极坐标方程2cos 2sin ρθθ=，得22cos 2sin ρθρθ=． 所以曲线C 的直角坐标方程为22x y =．（2）由23,2,y x x y =+⎧⎨=⎩得2260x x --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点1212(,)22x x y y M ++， 因为122x x +=，所以(1,4)M ， 又点P 的直角坐标为(1,1)，所以||3PM ==．2.【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23312x ty t =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求AB.3.【2017广东湛江市调研】已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=，直线的参数方程为32545x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）若2a =，直线l 与x 轴的交点为,M N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值； （2）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C倍，求a 的值.【解析】（1）当2a =时，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，可化为22sin ρρθ=，化为直角坐标方程为2220x y y +-=，即()2211x y +-=.直线l 的普通方程为4380x y +-=，与x 轴的交点M 的坐标为()2,0. 因为圆心()0,1与点()2,0M所以MN1.（2）由sin a ρθ=可得2sin a ρρθ=，所以圆C 的普通方程为22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.因为直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C倍，所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半，122a=⋅.解得32a =或3211a =. 4.【2017河南省豫北名校联盟对抗赛】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的普通方程；（2）经过点(2,1)M （平面直角坐标系xOy 中点）作直线l 交曲线C 于,A B 两点，若M 恰好为线段的三等分点，求直线l 的斜率.【解析】（1）由曲线C 的参数方程，得cos ,4sin ,2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以曲线C 的普通方程为221164x y +=. （2）设直线l 的倾斜角为1θ，则直线的参数方程为112cos ,1sin .x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.代入曲线C 的直角坐标方程，得2221111(cos 4sin )(4cos 8sin )80t t θθθθ+++-=，所以111222111222114cos 8sin ,cos 4sin 8.cos 4sin t t t t θθθθθθ+⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩由题意可知122t t =-.所以22111112sin 16sin cos 3cos 0θθθθ++=，即2121630k k ++=.解得k =所以直线l 5.【2017河南省广东省佛山市检测】在极坐标系中，射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，椭圆D 的方程为22312sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求点A 的直角坐标和椭圆D 的参数方程；（2）若E 为椭圆D 的下顶点，F 为椭圆D 上任意一点，求AE AF ⋅的取值范围.（2）设) sin Fθθ，，又()0 1E -，，所以() 2AE =-，，()3 sin 1AF θθ=-，，于是()()3cos 32sin 12sin 3cos 55AE AF θθθθθϕ⋅=-+--=--+=++，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()555θϕ++≤+，所以AE AF ⋅5 5⎡⎣，. 6.【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24{ 4x t y t== (其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为cos 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）把曲线1C 的方程化为普通方程， 2C 的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线1C ， 2C 相交于,A B 两点， AB 的中点为P ，过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于,E F 两点，求PE PF ⋅.【解析】（1）曲线1C 的参数方程为24{ 4x t y t==（其中t 为参数），消去参数可得24y x =.曲线2C的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，展开为)cos sin 22ρθρθ-=， 化为10x y --=..（2）设()()1122,,,A x y B x y ，且中点为()00,P x y ，联立2410y xx y ⎧=⎨--=⎩，解得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==.所以12003,22x x x y +===. 线段AB的中垂线的参数方程为3222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），代入24y x =，可得2160t +-=， 所以1216t t =-，所以1216PE PF t t ⋅==.。
第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,23⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 参考答案 一、填空题 1.21+ 2.21二、解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故2cos sin 0αα+=， 于是直线l 的斜率tan 2k α==-．3.解：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =．l 与O交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π． （2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=． 于是s i nA B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB == 因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．。
《2018年高考数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线21,232⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ过点且倾斜角为的直线与交于两点． （1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 参考答案 一、填空题1.21+2.21 二、解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2221k =+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． (02，αl O ⊙A B ，αAB P当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，221k =+，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 2απ≠tan k α=l 2y kx =-l O 22||11k <+1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 222sin 10t t α-+=22sin A B t t α+=2sin P t α=P (,)x y cos ,2sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩P 2sin 2,22cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos236AB==因此，直线l被曲线C截得的弦长为23。
极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
2018年全国高考理科数学分类汇编——参数方程极坐标1.（江苏）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．2.（全国1卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．3. （全国2卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．4.（全国3卷）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．5.（天津）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．。
《2018年高考文科数学分类汇编》第十三篇: 极坐标与参数方程解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系中, 曲线的方程为.以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点, 求的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系/中, 曲线/的参数方程为/（/为参数）, 直线/的参数方程为/（/为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线/截直线/所得线段的中点坐标为/, 求/的斜率.3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系/中, /的参数方程为/（/为参数）, 过点/且倾斜角为/的直线/与/交于/两点.（1）求的取值范围；（2）求/中点/的轨迹的参数方程.4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中, 直线l 的方程为, 曲线C 的方程为, 求直线l 被曲线C 截得的弦长.参考答案解答题1.解: （1）由, 得的直角坐标方程为.（2）由（1）知是圆心为, 半径为的圆.由题设知, 是过点且关于轴对称的两条射线. 记轴右边的射线为, 轴左边的射线为. 由于在圆的外面, 故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点, 或与只有一个公共点且与有两个公共点.C l当与只有一个公共点时, 到所在直线的距离为, 所以, 故或.经检验, 当时, 与没有公共点；当时, 与只有一个公共点, 与有两个公共点. 当与只有一个公共点时, 到所在直线的距离为, 所以, 故或.经检验, 当时, 与没有公共点；当时, 与没有公共点.综上, 所求的方程为．2.解: （1）曲线的直角坐标方程为.当/时, /的直角坐标方程为/,当/时, /的直角坐标方程为/.（2）将/的参数方程代入/的直角坐标方程, 整理得关于/的方程．①因为曲线/截直线/所得线段的中点/在/内, 所以①有两个解, 设为/, /, 则/. 又由①得, 故/,于是直线/的斜率/.3.解: （1）/的直角坐标方程为/.当/时, /与/交于两点.当/时, 记/, 则/的方程为/. /与/交于两点当且仅当/, 解得/或/, 即/或/.综上, /的取值范围是/.（2）/的参数方程为/为参数, //.设/, /, /对应的参数分别为/, /, /, 则/, 且/, /满足/.于是/, /. 又点/的坐标/满足/所以点/的轨迹的参数方程是//为参数, //.4.解: 因为曲线C 的极坐标方程为,所以曲线C 的圆心为（2, 0）, 直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为,则直线l 过A （4, 0）, 倾斜角为,所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B, 则∠OAB=.连结OB, 因为OA 为直径, 从而∠OBA=,22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=所以π4cos 6AB == 因此, 直线l 被曲线C 截得的弦长为.。
《2018年高考文科数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程 解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案 解答题xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O 2απ≠tan k α=l y kx =l O |1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t αP (,)x y cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P 2,2222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α44απ3π<<)则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．。
考点55极坐标与参数方程【考纲要求】1. 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4. 了解参数方程，了解参数的意义.5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 【命题规律】极坐标与参数方程近几年是在第22题解答题中考查，主要是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题 .难度中等.【典型高考试题变式】（一）参数方程与极坐标方程的综合运用V ——2+t例1.【2017新课标3】在直角坐标系xOy 中，直线11的参数方程为’（t 为参数），直线l 2的参数J=kt,（1）写出C 的普通方程;（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设|3 :门COST si2 = 0 , M 为13与C的交点，求M 的极径.【分析】（1）由题意得直线丨1,丨2的普通方程，然后消去参数即可得到曲线 C 的普通方程；（2）联立两个极坐标方程可得 COS29,sin21，代入极坐标方程进行计算可得极径为、、5 .10 10【解析】（1）消去参数t 得l 1的普通方程h ：y=k x-2 ；1消去参数m 得12的普通方程12 : y = 1 x 2 .k'y =k （x-2）设P x,y ,由题设得 1，消去k 得x 2 - y 2 = 4 y = 0 .|y =j （x + 2） L k所以C 的普通方程为x 2 —y 2 =4（y H O ）.x - ~2方程为 mm,（m 为参数） .设I 1与12的交点为 P,当k 变化时, P 的轨迹为曲线C.（2） C 的极坐标方程为卩¥CQ 吕9一曲/ 0）= 4（0 < 3叱2兀0 H 兀）■日—sin ，=4,得 cos 0 —sin 日=2(cos 0 +sin 3). p(cos 8 + sinB)-迈=0I 9 |故 t3H & = —-~ j 从而 G = —■ t S1O @ = ■—■3 10 10代入p 1 （co? 0 —釦丄&） = 4得F = 5 ,所以交点M 的极径为晶.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力 .遇到求曲线交点、距离、 线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标 的几何意义求解•要结合题目本身特点，确定选择何种方程1R 【变式1】【2018衡水联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线 C :_ 2I 逅+ y pJ 2 c原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为 ——?cos 二2 I（1）求曲线C 的普通方程和直线I 的直角坐标方程;2 _代入曲线C : — y^1中，化简，得2t 2 --2=0,3设A , B 两点所对应的参数分别为t 1, t 2，则址2 = T ，所以MA ■ MB联立（:为参数），以（2）过点M -1,0，且与直线I 平行的直线h 交曲线C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2【解析】（1）由题知，曲线 C 化为普通方程为 — y^1，由亍'cos「「1，得::cos^ - :?si- -2，所以直线I 的直角坐标方程为 （2）由题知，直线|1的参数方程为（t 为参数），=1.3"x = 3coso (【变式2】【2018山西两校联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1 :( ：•为参数)，以坐标：y =si net原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为亍二_2sinv .(1)分别求曲线 C 1的普通方程和曲线 C 2的直角坐标方程;(2)若P 、Q 分别为曲线G 、C 2上的动点，求PQ 的最大值.2因为sin 2a+cos 2a=1,所以C 1的普通方程为 ——+ y =1.9因为曲线C 2的极坐标方程为--2sinr ，即 专二-2 ?sin ，2 2 2 2 故曲线C 2的直角坐标方程为x y- -2y ，即x - y 1 1.(2)设sina)则P 到曲线G 的圆心(0, -1)的距离因为sinae[-l,l],所以当sins*时，K 有最大値巴乎 所以|茂|的最大值为d+z 竽十1.4(二)参数方程的运用x —3cos B例2. [ 2017年新课标1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 3cos ，(0为参数)，直线I 的 y =si n£,I x = a 亠 4t参数方程为(t 为参数).l y =1 —t,(1 )若a =-1，求C 与I 的交点坐标;x =3cos 。
《2018年高考文科数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则． 又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos 6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为。
2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析1、（2018年高考数学全国卷I理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．2、（2018年高考数学全国卷II理科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．3、（2018年高考数学全国卷III理科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=ta nα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．4、（2018年高考数学天津卷理科12）（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．5、（2018年高考数学北京卷理科10）（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=1+．【解答】解：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ2=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：=1，解得：a=1±．a＞0则负值舍去．故：a=1+．6、（2018年高考数学江苏卷理科23）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．6、（2018年高考数学全国卷I文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．7、（2018年高考数学全国卷II文科22）（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．8、（2018年高考数学全国卷III文科22）（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）。
2018届高考数学大题狂练第七篇坐标系与参数方程专题03 极坐标与参数方程综合1．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线与曲线相交于，两点，求．【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.2．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求.【答案】（1），；（2）【解析】分析：解法一：（1）消去参数可得的普通方程为，则极坐标方程为．极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为．（2）设的极坐标分别为，则，联立极坐标方程可得，则，结合三角函数的性质计算可得．解法二：（1）同解法一（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆．联立直线参数方程的标准形式与圆的方程可得，结合参数的几何意义知，则解法三：（1）同解法一（2）设的极坐标分别为，则由消去得，化为，即，因为，即，所以，或，即或所以．解法二：（1）同解法一（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，，整理得，，解得或．设对应的参数分别为，则．所以，又因为是圆上的点，所以解法三：（1）同解法一（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．又由①得的普通方程为，则点到直线的距离为，所以，所以是等边三角形，所以，又因为是圆上的点，所以 .点睛：本题主要考查直线的参数方程，圆的参数方程，参数方程与普通方程、极坐标方程之间的转化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线与曲线交点的一个极坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）在的方程两边同乘以，然后利用公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）直接把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程解得后可得交点坐标，再化为极坐标.试题解析：（Ⅰ），，即；（Ⅱ）将，代入得，，即，从而，交点坐标为，所以，交点的一个极坐标为 .4．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线，直线（为参数）与曲线相交于两点.（1）求曲线与直线的普通方程；（2）点，若成等比数列，求实数的值.【答案】(1)见解析;(2).（2）直线的参数方程为（为参数），代入，得到，.设点分别对应参数，恰为上述方程的根，则有，，则.又，，.因为，所以，得，或.因为时，所以.点睛：本题主要考查极坐标直角坐标和参数方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查这些基础知识的掌握能力和运算能力.5．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（I）写出直线的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程；（II）若，且直线与曲线C交于两点，求的值.【答案】（I）直线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（II）. 【解析】（I）依题意，曲线C：，即，故曲线C的极坐标方程为；因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为.（Ⅱ）易知点在直线上，设直线的参数方程为（t为参数），代入C：中，整理得，由根与系数的关系得，故.6．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线：（）.（1）求和的极坐标方程；（2）设点是与的一个交点（异于原点），点是与的交点，求的最大值.【答案】（1），；（2）见解析.（2）设，则，，由射线与相交，则不妨设，则，所以当即时，取最大值，此时.点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生参数方程极坐标和三角基础知识的掌握能力及基本的运算推理能力.(2)求三角函数的值域时，要注意的范围，由射线与相交，则不妨设.如果不考虑的范围，解答就会出错.始终注意一个原则，函数的问题，定义域优先.。
考纲要求:极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。
题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题基础知识回顾:（一）极坐标：1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系2、点坐标的刻画：用一组有序实数对(),ρθ确定平面上点的位置，其中ρ代表该点到极点的距离，而θ表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：[)0,0,2ρθπ>∈3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴重合，则同一个点可具备极坐标(),ρθ和直角坐标(),x y ，那么两种坐标间的转化公式为：222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=⇒+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ，然后进行整体代换即可）（二）参数方程：1、如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩，那么()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数 2、参数方程与一般方程的转化：消参法 （1）代入消参：()323323x t y x y t =+⎧⇒=+-⎨=+⎩（2）整体消参：2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由222112t t t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可得：22x y =+（3）平方消参：利用22sin cos 1θθ+=消去参数3、常见图形的参数方程：（1）圆：()()222x a y b r -+-=的参数方程为：[)cos 0,2sin x a r y b r θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中θ为参数，其几何含义为该圆的圆心角（2）椭圆：()222210x y a b a b +=>>的参数方程为[)cos 0,2sin x a y b θθπθ=⎧∈⎨=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为椭圆的离心角（3）双曲线：()222210x y a b a b -=>>的参数方程为[)10,2cos tan x ay b θπθθ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为双曲线的离心角（4）抛物线：()220y px p =>的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，其中t 为参数（5）直线：过(),M a b ，倾斜角为θ的直线参数方程为cos sin x a t t R y b t θθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中t 代表该点与M 的距离注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解应用举例:例1．【2018届高三南京市联合体学校调研测试】已知在平面直角坐标系xoy 中， O 为坐标原点，曲线C ：3{3x cos sin y sin cos αααα=+=-（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，有相同单位长度的极坐标系中，直线l ： sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)求与直线l 平行且与曲线C 相切的直线的直角坐标方程。
专题1 极坐标与参数方程【基本方法】1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)；2．基本转化公式：cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩，222(0)tanx yxyxρθ⎧=+⎪≠⎨=⎪⎩；3．参数方程：()()x f ty g t=⎧⎨=⎩，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程；4．直线的参数方程00cos sinx x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问.【三年真题】1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l的参数方程为4,1,x a tty t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.(1)若1a=-，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到la.2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos1sinx a ty a t=⎧⎨=+⎩(t为参数，a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.(I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4θρπ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.【自主研究】4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3ρθπ=-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程；(II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ (其中)ϕ∈R ，求PQ 的最大值．5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩＝cos sin (θ为参数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3π)，直线l 的极坐标方程为ρcos(3π＋θ)＝6．(Ⅰ)求点P 到直线l 的距离；(Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值．6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．7．(2015年全国卷II)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≠ 0)，其中0α≤<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=.(I)求C 2与C 3交点的直角坐标；(II)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值.8．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2:1x tl y t=-⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线C 交于,M N 两点．(I)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (II)求22||||PM PN +的值．9．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，曲线C 2的参数方程为2cos 22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩ (β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(I)求C 1和C 2的极坐标方程； (II)已知射线1l ：(0)2θααπ=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l θαπ=+，且1l 与C 1交于O ，P 两点，2l 与C 2交于O ，Q 两点，求||||OP OQ 取最大值时点P 的极坐标．10．(2017届衡水中学第二次调研考试)在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C上的点M 对应的参数3ϕπ=，4θπ=与曲线2C交于点)4D π.(I)求曲线1C 的极坐标方程及2C 的普通方程； (II)12(,),(,)2A B ρθρθπ+是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值.11．(2012年全国新课标)已知曲线1C 的参数方程是2cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B CD 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π.(1)求点,,,A B C D 的直角坐标；(2)设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.12．(2014年全国新课标I)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.13．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，曲线 2C的极坐标方程为cos sin 40ρθθ--=．(1)求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；(2)设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值．14．在直角坐标系中，圆C 的方程是2240x y x +-=，圆心为C ，在以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 1：ρθ=-与圆C 相交于,A B 两点．(I)求直线AB 的极坐标方程；(II)若过点(2,0)C的直线222:12x C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 是参数)交直线AB 于点D ，交y 轴于点E ，求||||CD CE 的值．15．在平面直角坐标系xOy 中，1C的参数方程为1,21,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=.(Ⅰ)说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程；(Ⅱ)1C 与2C 有两个公共点,A B ，定点P的极坐标为)4π，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积.16．(2017届江西省第三次联考)在直角坐标系xOy 中，曲线()221:11C x y -+=，曲线2C 的参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系.(1)求12 C C ，的极坐标方程；(2)射线()0y x x =≥与1C 的异于原点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .17．(2017届安徽省合肥市一模)已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为2sin cos 0θθ=.(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.18．(2017届广东省汕头市一模)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2θπ∈.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.19．(2017届广东省肇庆市二模)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是sin()4ρθπ+=(Ⅰ)直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程； (Ⅱ)点A 在1C 上，点B 在2C 上，求AB 的最小值.20．(2017届安庆市期末监测)已知在极坐标系中，曲线Ω的方程为6cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，(t 为参数，θ∈R )．(Ⅰ)求曲线Ω的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线Ω于A 、C 两点，过点(41)-，且与直线l 垂直的直线0l 交曲线Ω于B 、D 两点． 求四边形ABCD 面积的最大值．21．在直角坐标系中x O y 中，已知曲线E 经过点P(1)，其参数方程为cos x a y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线E 的极坐标方程；(2)若直线l 交E 于点A 、B ，且OA ⊥OB ，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．22． (2017届山西省适应性测试)已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x a y b θθ=⎧⎨=⎩(0a b >>，θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为r ρ=(0r >)．(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数； (Ⅱ)若b r a <<，求由两曲线1C 与2C 交点围成的四边形面积的最大值.23．(2017届四川省绵阳市二模)已知曲线C的参数方程是(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).(1)将C 的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy 中，(0,2)P ，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 0,Q ρθθ++=为C 上的动点， 求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最小值.24．(2017届江西省高三下学期调研考试)在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数，[]0,α∈π)，直线l 的极坐标方程为4)4ρθ=π-.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为曲线C 上任意一点，Q 为直线l 任意一点，求PQ 的最小值.25．(2017届泉州市考前适应性模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为224240x y x y +--+=.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求l 的普通方程与C 的极坐标方程； (II)已知l 与C 交于,P Q ，求PQ .26．(2017届广东省高三第三次六校联考)在平面直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)．(Ⅰ)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系(与平面直角坐标系的单位长度相同)，当60α︒＝时，求直线l 的极坐标方程；(Ⅱ)已知点()10P ，，直线l 与椭圆2212x y +=相交于点A 、B ，求PA PB ⋅的取值范围．27．已知在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为3cos ,13sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩(ϕ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.(Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线6θπ=(R ρ∈)与曲线1C 交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度.28．(2017届河南省豫北名校联考试题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点(2,1)M (平面直角坐标系xOy 中点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的斜率．29．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，),(3,)23A B ππ，圆C 的方程为θρcos 2=.(1)求在平面直角坐标系xOy 中圆C 的标准方程； (2)已知P 为圆C 上的任意一点，求ABP ∆面积的最大值.30．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线()2:cos 4cos C ρρθθ=+．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为122(x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)． (1)求12,C C 的直角坐标方程 ；(2)C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,H I J K ，求||||||HI JK -的值．31．(2017届安徽省蚌埠市质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，0α≤<π)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线1:1C ρ=．(I)若直线l 与曲线1C 相交于点(),,1,1A B M ，证明：MA MB ⋅为定值；(II)将曲线1C 上的任意点(),x y 作伸缩变换''x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后，得到曲线2C 上的点()',y'x ，求曲线2C 的内接矩形ABCD 周长的最大值．32. 在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的方程为2220x x y -+=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4θρπ=∈R （）.(Ⅰ)写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点M ，N 的极坐标；(Ⅱ)设P 是椭圆2213x y +=上的动点，求PMN ∆面积的最大值.33．(2017届南昌市调研)将圆224x y +=每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求：过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.34．(2017届江西省重点中学联考)在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(Ⅰ)写出曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设点M 的极坐标为4π)，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,A B 两点， 若||2||MA MB =，求AB 的弦长．专题1 极坐标与参数方程参考答案1．解：(1)由3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩得2219x y +=，由41x a ty t=+⎧⎨=-⎩得44x y a +=+， 当1a =-时，由221943x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或30x y =⎧⎨=⎩，故而交点为2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭或()3,0； (2)点(3cos ,sin )θθ到直线11144y x a =-+-的距离为d =≤3cos 4sin 417a θθ++-≤，化简可得()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--，根据辅助角公式可得()135sin 21a a θϕ--≤+≤-，又()55sin 5θϕ-≤+≤， 解得8a =-或者16a =. 2．解：(I)由cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩得222(1)x y a +-=，∴1C 是圆心为(0,1)，半径为a 的圆，将cos ,sin x y ρθρθ==代入222(1)x y a +-=得222sin 10a ρρθ-+-=， ∴C 1的坐标方程为222sin 10a ρρθ-+-=；(II )∵0a >，曲线C 1与C 2的公共点满足222sin 104cos a ρρθρθ⎧-+-=⎨=⎩，若0ρ≠时，2216cos 8sin cos 10a θθθ-+-=，又tan 2θ=，得216cos 8sin cos 0θθθ-=，∴210a -=⇒1a =或1a =-(舍去)， 若0ρ=，极点也为C 1与C 2的公共点，在3C 上，有1a =， ∴1a =.3．解：(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. (Ⅱ)将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=， 解得1ρ=22，2ρ=2，|MN|=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12. 4．解：(I)∵4sin()3ρθπ=-，∴4(sin cos cos sin )33ρθθππ=-，…………………1分∴22sin 23cos ρρθρθ=-，……………………………………………………………2分∴曲线C 的直角坐标方程为222320x y x y ++-=．…………………………………5分(II)曲线C 可化为22(3)(1)4x y ++-=，∴曲线C 是圆心，半径为2的圆，∵点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ，∴点Q 在圆O ：221x y +=，…………………8分∴125PQ OC ≤++=，即PQ 的最大值为5．……………………………………10分 5．解：(Ⅰ)点(2,)3P π-的直角坐标为[2cos(),2sin()]33ππ--，即(1,3…………2分 由直线l ：cos 63ρθπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得()1cos 362ρθθ-=.则l 的直角坐标方程为：3120x --= ………………………………………………4分 点P 到l 的距离131242d +-== …………………………………………………………5分 (Ⅱ)可以判断，直线l 与曲线C 无公共点，设(333)Q θθ …………………6分 则点Q 到直线3120x --=的距离为6cos 1233cos 3sin 1262d θθθπ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==…………………………………8分 所以当cos 16θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max 9d = ………………………………………………10分 6．解：(Ⅰ)由22(6)25x y ++=得2212110x y x +++=， …………………………4分∴圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=；………………………………………5分 (Ⅱ)直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ， 将直线:l θα=代入212cos 110ρρθ++=得212cos 110ρρα++=，…………6分 ∴121212cos ,11ρραρρ+=-=，………………………………………………………7分∴12||||AB ρρ=-==8分由||AB =23cos 8α=，则tan α=，………………………………………9分∴直线l的斜率为3或3-.…………………………………………………………10分7．解：(I)由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，即曲线C 2的普通方程为2220x y y +-=，………………………………………………2分由ρθ=得2cos ρθ=，即曲线C 3的普通方程为220x y +-=，……………………………………………3分由2222200x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………………………4分 ∴C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和3)2；…………………………………………5分 (II)曲线1C 的极坐标方程为(,0)θαρρ=∈≠R ，其中0α≤<π，…………………6分 因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα，………………………8分∴|||2sin |4|sin()|3AB αααπ=-=-，………………………………………9分 当32αππ-=，即6α5π=时，||AB 取得最大值4.……………………………………10分8．(Ⅰ)由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以22y x =；根据21x ty t =-⎧⎨=--⎩(t 为参数)，消去t 得，30x y --=，…………………………………4分故曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是22y x =，30x y --=． ……5分 (Ⅱ)将直线l 的标准参数方程为2221x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)代入22y x =中，……………7分 整理得24260t t --=．设t 1，t 2是该方程的两根，则1212426t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，……………8分由参数的几何意义，可知22222121212()244PM PNt t t t t t +=+=+-=． ………10分9．解：(I)曲线C 1的直角坐标方程为22(1)4x y -+=，………………………………1分 所以C 1极坐标方程为4cos ρθ=，………………………………………………………2分 曲线C 2的直角坐标方程为22(1)4x y +-=，……………………………………………3分 所以C 2极坐标方程为4sin ρθ=；………………………………………………………4分 (II)设点P 极点坐标1(,4cos )ρα，即14cos ρα=，……………………………………5分 点Q 极坐标为2(,4sin())6ραπ+，即24sin()6ραπ=+，……………………………6分 则12||||4cos 4sin()6OP OQ ρρααπ==+3116cos cos )2ααα=+8sin(2)46απ=++，………………………………………………………………………8分因为(0,)2απ∈，所以2(,)666αππ7π+∈，………………………………………………9分当262αππ+=，即6απ=时，||||OP OQ 取最大值，此时P 极点坐标(23,)6π．10分10．解：(I)将(M 及时对应的参数3ϕπ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos3,sin 3a b π⎧=⎪⎪π= ∴42a b =⎧⎨=⎩，故1C 的普通方程为221164x y +=，……………………………………………2分 其极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，即22(13sin )16ρθ+=， ………………3分设圆2C 的方程为()222x R y R -+=，点)4D π的直角坐标为(1,1)，∴()22211R R -+=，得1R =，…………………………………………………………4分∴圆2C 的普通方程为()2211x y -+=；…………………………………………………5分(II)曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B ρθρθπ+代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222cos ()sin ()221164ρθρθππ+++=，………………7分所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………10分11．解：(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ…………………3分 点,,,A B C D的直角坐标为1,1)--………………………5分(2)设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin [56,76]ϕ=+∈……10分12．解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，…………………………2分由直线l ：222x ty t=+⎧⎨=-⎩得260x y +-=，…………………………………………………3分∴直线l 的普通方程为：260x y +-=；…………………………………………………5分(Ⅱ)在曲线C 上任意取一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. …………8分当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为5；…………………………9分当()sin 1θα+=时，||PA .………………………………10分13．解：(1)由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数θ得，曲线1C 的普通方程得22184x y +=．由cos sin 40ρθθ--=得，曲线2C 的直角坐标方程为40x -=．……5分(2)设()P θθ，则点P 到曲线2C 的距离为44cos()d θπ-+===……………8分当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 有最小值0，所以PQ 的最小值为0．……………………10分 14．解：(I)在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系， 极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=sinθ，∴ρ2=﹣ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣y ，∴曲线C 1：x 2+y 2，∴直线AB 的普通方程为：(x 2+y 2－4x)－(x 2+y 2，∴y=，∴ρsinθ=，∴tanθ=……………………………………4分∴直线AB 极坐标方程为：()6θρπ=-∈R ．…………………………………………5分 (II)根据(I)知，直线AB 的直角坐标方程为y=x ，…………………………………6分 根据题意可以令D(x 1，y 1)，则1111212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又点D 在直线AB 上，所以12t 1=1)， 解得 t 1=－3，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=3，…………………………8分同理，令交点E(x 2，y 2)，则有22222212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点E 在直线x=0上，令2+2t 2=0，∴t 2=－3，∴|CE|=|t 2|=3，……………9分 ∴|CD|：|CE|=1：2．………………………………………………………………………10分 15．解：(Ⅰ)2C 是圆，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=，化为普通方程：22230x y x +--=即：()2214x y -+=.……………………………5分(Ⅱ)定点P 的直角坐标在直线1C 上，将1C的参数方程为1,1,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)代入22230x y x +--=中得：…………6分22112130222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得：230t +-=.设两根分别为12,t t，由韦达定理知：12123,t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩………………8分所以AB 的长12AB t t =-===9分定点P 到,A B 两点的距离之积123PA PB t t ==.…………………………………10分 16．解：(1)将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线1C 的方程：()2211x y -+=，可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，………………………………………………2分曲线2C 的普通方程为2212x y +=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入， 得到2C 的极坐标方程为()221sin 2ρθ+=.……………………………………………5分 (2)射线的极坐标方程为()06θρπ=≥，与曲线1C 的交点的极径为12cos 6ρπ==分 射线()06θρπ=≥与曲线2C 的交点的极径满足2221sin 26ρπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2ρ=.9分所以125AB ρρ=-= (10)分 17．解：(Ⅰ)2sin cos 0θθ-= ，22sin cos 0ρθθ∴= ，即20y = ； (5)分(Ⅱ)将112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，代入20y=21102t ⎫+=⎪⎭，即0t =，从而，交点坐标为(，…………………………………………………………………9分 所以，交点的一个极坐标为(2,)3π . ……………………………………………………10分 18．解：(1)由题意知：θρcos 2=，[0,]2θπ∈，所以θρρcos 22=，[0,]2θπ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx sin cos 1(t 为参数，0t ≤≤π).………………………………5分(2)设)sin ,cos 1(t t D +，由(1)知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3t π=，故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即)23,23(.…………………………………………………………………………………10分 19．解：(Ⅰ)1C 的普通方程是()2224x y ++= ， …………………………………2分1C 的极坐标方程4cos ρθ=- ， ………4分，2C 的普通方程40x y +-=. ……6分(Ⅱ)方法一：1C 是以点()2,0-为圆心，半径为2的圆；2C 是直线. ………………7分圆心到直线2C 2=>，直线和圆相离. ……………………8分所以AB 的最小值为2. ……………………………………………………10分 方法二：设()22cos ,2sin A θθ-+，因为2C 是直线，…………………………………7分 所以AB 的最小值即点A 到直线的距离d 的最小值，d ==9分2=. ………………………………………………10分 20．解：(Ⅰ)将方程6cos ρθ=的两边同乘以ρ，得26cos ρρθ=，所以226x y x +=，22(3)9x y ⇒-+=，即为所求的曲线Ω的直角坐标方程．直线4cos :1sin x t l y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，(t 为参数，R θ∈)．…………………………………………2分当2k πθπ=+，Z k ∈时，直线l 的普通方程是4x =；………………………………3分当2k πθπ≠+，Z k ∈时，消去参数t ，得直线l 的普通方程是(4)tan 1y x θ=--.4分(Ⅱ)将4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，代入226x y x +=，整理得22(cos sin )70t t θθ+--=．设两点A 、C 对应的参数分别为1t 、2t ，则12122(cos sin )7.t t t t θθ+=--⎧⎨=-⎩，………………5分所以12AC t t =-===6分设直线0l 的参数方程为004cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，(t 为参数，0θ为直线0l 的倾斜角)．同理可得BD =．因为0l l ⊥，所以02πθθ-=，那么0sin 2sin 20θθ+=．所以BD =7分 所以四边形ABCD面积为12S AB CD =⋅=8分因为()()8sin 28sin 216θθ-++= ．故16S ≤．……9分 四边形ABCD 面积的最大值为16． ……………………10分21．解：(1)将点P(1)，代入曲线E的方程：1cos 3a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得23a =，3分所以曲线E 的普通方程为22132x y +=，…………………………………………………4分其极坐标方程为222cos sin ()132θαρ+=；………………………………………………5分(2)由OA ⊥OB ，不妨设点A ，B 的极坐标分别为A(ρ1，θ)，B(ρ2，2θπ+)，………6分 则代入曲线E 的极坐标方程，可得221211115326ρρ+=+=，……………………………9分 即2211||||OA OB +为定值56．……………………………………………………………10分 22．解：(Ⅰ)1C ：22221(0)x y a b a b+=>>，2C ：222x y r +=(0r >)． …………2分当r a =或b 时，两曲线有两个公共点；…………………………………………………3分 当b r a <<时，两曲线有四个公共点；……………………………………………………4分 当0r b <<或r a >时，两曲线无公共点．………………………………………………5分 (Ⅱ)由于曲线1C 与曲线2C 关于x 轴、y 轴以及原点对称，所以四边形也关于x 轴、y 轴以及原点对称，……………………………………………6分 设四边形位于第一象限的点为(cos ,sin )a b θθ，………………………………………7分 则四边形的面积为4cos sin 2sin 22S a b ab ab θθθ=⋅=≤．…………………………9分 当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时，等号成立．…………………………………………10分23．解：(1)消去参数得1322=+y x ． …………………………………………………5分(2)将直线l 的方程化为普通方程为0323=++y x ．设Q (ααsin cos 3，)，则M (ααsin 211cos 23+，)，∴ d ==，∴ 最小值是4636-．…………………………………………………………………10分24．解：(1)曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，(α为参数，[]0,α∈π)，消去参数α，可得()2211x y -+=，……1分由于[]0,α∈π，∴0y ≥，…………2分 故曲线C 的轨迹方程是上半圆()()22110x y y -+=≥.………………………………3分∵直线4:)4l ρθ=π-，即4θθ⎫=⎪⎪⎝⎭， 即sin cos 4ρθρθ-=，故直线l 的直角坐标方程为40x y -+=.…………………………………………………6分 (2)由题意可得点Q 在直线40x y -+=上，点P 在半圆上，半圆的圆心()1,0C 到直线40x y -+=2=，即PQ1-.…………10分25．解：(I)曲线C的普通方程为221()(12x y -+-=，…………………………2分 把cos ,sin x y ρθρθ==代入，化简得：曲线C 的极坐标方程为2cos()3ρθπ=-；4分 (II)将()012θρπ=>代入曲线C的极坐标方程，得ρ=A极坐标)12π，设(),M ρθ为直线l 上除点A 外的任意一点，则在OAM ∆中，由正弦定理得sin sin OM OAOAM OMA=∠∠，……………………………8分即3sin sin()43ρθ=π-sin()13ρθπ-=为直线l 的极坐标方程. ………………10分26．解：(Ⅰ)由直线l的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去t0y --．将cos sin x y ρθρθ==，代入，得直线lcos sin 0θρθ--=；…………………………………4分 (Ⅱ)将参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，代入椭圆方程2212x y +=，得()2222sincos 2cos 10t t ααα++-=，(其判别式0∆>恒成立)．12222112sin cos sin 1PA PB t t ααα⋅===++．…………………………………………8分 20sin 1α≤≤，所以112PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，．………………………………………………10分 27．解：(Ⅰ)因为3cos ,13sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩故(()2219x y -++=，故22x y +-250y +-=，故曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ-+2sin 50ρθ-=.因为2cos ρθ=，故22cos ρρθ=，故2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=(或写成()2211x y -+=).(Ⅱ)设P ，Q 两点所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将6πθ=(R θ∈)代入2cos ρθ-2sin 50ρθ+-=中，整理得2250ρρ--=，故122ρρ+=，125ρρ=-，故12PQ ρρ=-==.28．解：(1)由曲线C 的参数方程，得cos ,4sin ,2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以曲线C 的普通方程为221164x y +=．…………………………………………………3分 (2)设直线l 的倾斜角为1θ，则直线的参数方程为112cos ,1sin ,x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)． ……4分代入曲线C 的直角坐标方程，得()()2221111cos 4sin 4cos 8sin 80t t θθθθ+++-=， ………………………………6分所以111222111222114cos 8sin ,cos 4sin 8.cos 4sin t t t t θθθθθθ+⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩……………………………………………………7分由题意可知122t t =-． ……………………………………………………………………8分所以22111112sin 16sin cos 3cos 0θθθθ++=，即2121630k k ++=． ……………9分解得476k -±=．所以直线l 的斜率为476-±． …………………………………10分 29．解：(1)由θρcos 2=，可得：θρρcos 22=，所以x y x 222=+ ……………4分 故在平面直角坐标系中圆的标准方程为()2211x y -+= ……………………5分(2)在直角坐标系中，()0,33A ，333,2⎛⎫B⎪ ⎪⎝⎭所以3)33233()023(22=-+-=AB ，……………………………………………6分 直线AB 的方程为：333=+y x所以圆心到直线AB 的距离34333=-=d ， ……………………………………8分又圆C 的半径为1，所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为13+故ABP ∆面积的最大值为233331321+=⨯+=）（S …………………10分 30．解：(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；……3分由()cos 4cos ρρθθ=+，得22sin 4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为24y x =．………………5分 (2)不妨设四点在C 上的排列顺次至上而下为,,,H I J K ， 它们对应的参数分别为1234,,,t t t t ，如图，连接1,C J ，则1C IJ ∆为正三角形 ，所以1IJ =，…………………………………………7分()141411HI JK HI IK IJ t t t t -=-+=-+=-++，把122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =， 得：23824t t =-，即238320t t +-=，故1483t t +=-，所以113HI JK -=．10分 31．解：(I)曲线221:1C x y +=．…………………………………………………………1分 ()2221cos 1sin 2cos sin 101x t y t t t x y αααα=+⎧⎪=+⇒+++=⎨⎪+=⎩， ∴121MA MB t t ⋅=⋅=．……………………………………………………………………5分 (II)伸缩变换后得222:13x C y +=．其参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩． …………………7分不妨设点(),A m n 在第一象限，由对称性知： 周长为())4,4sin m n θθ=+8sin 83θπ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，∴(6θπ=时取等号)周长最大为8．………………………………………………………10分 32．解：(Ⅰ)因为θρθρsin ,cos ==y x ，所以C 的极坐标方程为θρcos 2=，…2分直线l 的直角坐标方程为x y =， 联立方程组⎩⎨⎧=+-=0222y x x x y ，解得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==11y x ，………………………………4分所以点N M ,的极坐标分别为)4,2(),0,0(π. …………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)易得||MN =……………………………………………………………6分因为P 是椭圆2213x y +=上的点，设P 点坐标为)sin ,cos 3(θθ，…………………7分 则P 到直线x y =的距离2sin cos 3θθ-=d ，………………………………………8分所以12)6cos(22sin cos 322121≤+=-⨯⨯==∆πθθθd MN S PMN ，…………9分当,6k k πθπ=-∈Z 时，PMN S ∆取得最大值1. ………………………………………10分33．解：(I)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，…………………2分 依题意得：圆224xy 的参数方程为2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)………………………3分 所以C 的参数方程为2cos sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．……………………………………………5分 (II)由2214220x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或01.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………6分所以P 1(2，0)，P 2(0，1)，则线段P 1P 2的中点坐标为1(1,)2，所求直线的斜率k ＝2， 于是所求直线方程为12(1)2yx ，并整理得423x y ………………………8分化为极坐标方程，4cos 2sin 3ρθρθ-=，即34cos 2sin ρθθ=-.………………10分34．解：(1)由2cos 22cos x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，得2240x y y +-=，即24sin 0ρρθ-=，所以4sin ρθ=……………………………………………………………………………5分(2)设直线l 的参数方程是1cos 1sin x t y t θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)(1)曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=，(2)联立方程可得22(cos sin )20t t θθ+--=， 所以122t t ⋅=-，且||2||MA MB =，所以122t t =-，则122,1t t ==-或122,1t t =-=，所以12||||3AB t t =-=……………………………10分。
