极坐标与参数方程（全国卷高考题）
1、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲
线C 2
(Ⅰ)求C 2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与C 1的异于
极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M(
2
,2Y
X ).由于M 点在C 1上，所以 ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂=sin 222,cos 22y x 即 ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∂+=∂=sin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩（α为参数）
（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3
π
θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3
π
ρ=， 射线3
π
θ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
π
ρ=。
所以21||||AB ρρ-==
2、（2012）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝2cos φ
y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的
顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π
3)
(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,
)3636
ππππ
点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----
（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨=⎩为参数
2
2
2
2
224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈（lfxlby ）
3、（2013课标1）已知曲线1C 的参数方程为45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
2sin ρθ=。
（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）。
解：(1)将45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，
即C 1：x 2＋y 2
－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由2222
810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩
或0,2.x y =⎧⎨=⎩
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π2,4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
4、（2014课标1）已知曲线194:2
2=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数）
（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.
【解析】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），
直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为
5
4cos 3sin 65
d θθ=
+-， 则()0
25
||5sin 6sin 305
d PA θα=
=+-，其中α为锐角．且4tan 3
α=
. 当()sin 1θα+=-时，||PA 225
5
当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为25
5
…………10分
5、（2015课标1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆
()()2
2
2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π
R 4
θρ=
∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.
6、（2015课标2）在直线坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t ==α
α｛
（t 为参数，t ≠0）
其中0≤α≤π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：p=2sin θ，C 3：3cos θ。 （I ）
求C 1 与C 3 交点的直角坐标；
