高等流体力学笔记第2讲

流体力学引言一、流体力学的研究对象流体：气体、液体的总称流体力学：研究流体的运动规律及流体与固体相互作用的一门学科二、流体力学的研究方法1、理论分析方法建立模型→推导过程→求解方程→解释结果2、实验方法理论分析→模型试验→测量→数据分析3、数值方法数学模型→离散化→编程计算→检验结果第一章 流体力学的基础概念§1.流体的物理性质与宏观模型一、流体的物理性质1、易形变性：流体静止时，不能承受任何微小的切应力。

原因：分子平均间距和相互作用力的不同。

2、黏性：当流体层之间存在相对运动或者切形变时，流体就会反抗这种相对运 动或切形变，使流体渐渐失去相对运动。

流体这种阻碍流体层相对运 动的特性称为黏性。

库伦实验——表面不滑移假设内摩擦：宏观：相对快速流层对慢速流层有一个拖带作用力，使慢速流层变 快起来；相应地慢速流层将拽住快速流层让其减速，最终使 流层间的相对运动消失。

流体层间这种单位面积的作用力称 为黏性应力。

微观：流体的黏性是分子输送的统计平均，是由于分子不规则运动， 在不同流层间进行宏观的动量交换。

理想流体：当流体的黏性很小，其相对速度也不大时，其黏性应力对流动作 用就不甚重要并可予以略去，这种不计黏性的流体称为理想流体。

3、压缩性：压强变化引起流体体积或密度变化的性质液体：一般认为不可压缩（除水中爆炸等压力骤变问题） 气体：①压强变化引起流体体积变化1%气压差相当于85m 高度上气压的改变量，所以一般认为 大气不可压缩（除非有强烈上升、下沉气流）即ρ不变。

②速度变化也可以影响流体压强的变化 ()212221v v p --=ρδ 当速度增加时，压强会减小。

221v ρ——动力气压 在常温常压下，气体作低速流动(v<100m/s),气体密度变化小于5%， 可按不可压缩流体处理。

二、流体的连续介质假设——宏观理论模型把由离散分子构成的实际流体看作是由无数流体质点没有间隙连续分布构成的。

高等流体力学授课提纲第一章概论§1.1 流体力学的研究对象§1.2 流体力学发展简史§1.3 流体力学的研究方法§1.3.1 一般处理途径§1.3.2 应用数学过程§1.3.3 流体力学方法论：一般方法§1.3.4 流体力学方法论：特殊方法●Lagrange描述和Euler描述●无量纲化●线性化●分离变量法●积分变换法●保角映射法●奇点法（孤立奇点法、分布奇点法、Green函数法）●控制体积法●微元法第一章概论§1.1 流体力学的研究对象（1）物质四态：●四态：固态—液态—气态—等离子态；等离子体=电离气体●界限：彼此无明确界限（高温下的沥青；冰川），取决于时间尺度；●流体力学的具体研究对象：液体、气体、等离子体（电磁流体力学、等离子体物理学）；●液体与气体的差别：液体—有固定容积、有自由面、不易压缩、有表面张力；气体—无固定容积、无自由面、易压缩、无表面张力。

（2）流体的基本性质：易流动性：静止流体无剪切抗力；压缩性（膨胀性）：压差、温差引起的体积改变，判据：马赫数；粘性：运动流体对剪切的抗力，判据：雷诺数；热传导性：温差引起的热量传递，普朗特数。

（3）流体的分类：i）按有无粘性、热传导性分：真实流体（有粘性、有热传导、与固体有粘附性无温差）；理想流体（无粘性、无热传导、与固体无粘附性有温差）；ii）按压缩性分：不可压缩流体，可压缩流体；iii）按本构关系分：牛顿流体（牛顿粘性定律成立），非牛顿流体（牛顿粘性定律不成立），下分纯粘性流体（拟塑性流体，涨塑性流体）；粘塑性流体（非宾汉流体、宾汉流体）；时间依存性流体（触变流体、振凝流体）；粘弹性流体拟塑性流体（剪切流动化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减小，如淀粉浆糊、玻璃溶液、高分子流体、纤维树脂；涨塑性流体（剪切粘稠化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减小，如淀粉中加水、某些水-砂混合物；粘塑性（非宾汉和宾汉流体）：存在屈服应力，小于该应力无流动，如粘土泥浆、沥青、油漆、润滑脂等，所有粘塑性流体为非宾汉流体，宾汉流体为近似；触变流体（摇溶流体）：粘性或剪切应力随时间减小，如加入高分子物质的油、粘土悬浊液；振凝流体：粘性或剪切应力随时间增大，如矿石浆料、膨润土溶胶、五氧化钒溶液等；粘弹性流体：兼有粘性和弹性性质的流体，能量不像弹性体守恒，也不像纯粘性体全部耗散。

高等流体力学第一章(2)1.6速度分解定理速度梯度张量M 为流体中一流体质点，′为M 点邻域内另一任意流体质点，M 如果速度场已知，则同一瞬时上述M ′点对于M 点的相对运动速度可计算如下：v v v v v v u u v u δu = δ x + δ y + δ z = δu i +δv j +δ w k x y zv v v 式中δu = u ′ u写成分量形式u u u δu = δx + δy + δz x y z v v v δv = δx + δy + δz y z x δw = w δx + w δy + w δz z x y上式用矩阵表示为，u x δu δv = v x δw w x u x v x w x u y v y w yu y v y w yu z v z w zu u u δu = x δx + y δy + z δz v v v δ v= δx + δy + δz z x y δw = w δx + w δy + w δz x y zδx δy δz或u i δu i = δx j x ju z u i v z 或x j w z是一个二阶张量，称为速度梯度张量。

v 速度梯度张量也可表示成u 一个标量的梯度是一个矢量，而一个矢量的梯度则是一个二阶张量。

速度梯度张量分解为两个张量ui 1 ui u j 1 ui u j = + + = s + aij x j xi 2 x j xi ij x j 2 u x 1 v u sij = + 2 x y 1 w u 2 x + z 1 u v + 2 y x v y 1 w v y + z 2 1 u w + 2 z x 1 v w + z y 2 w z应相等，可表示为s ij = s ji ,是一个对称张量。

该张量描述流体微团的变形运动，称应变率张量。

sij 只有6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对1 ui u j aij = x j xi2 0 1 v u a ij = 2 x y 1 w u 2 x z 1 u v 2 y x0 1 w v y z 2 1 u w 2 z x 1 v w z y 2 0a ij 只有3个独立分量，对角线元素为零，非对角线元素两两互为负数，可表示为 a ij = a ji ,是一个反对称张量。

清华大学研究生课程：高等流体力学第二章流体中的波（Waves in fluids）后续三部分内容尽管各自独立成章，但均与混沌问题有密切关系。

第二章“流体中的波”，它与流动稳定性分析有密切关系，可以认为是混沌初生分析的基础；第三章“流体中的涡”，涡流是普遍存在的流动形态，点涡系是存在混沌的保守动力学系统的最好例子；第四章“非牛顿流”，它可作为混沌现象更复杂的载体，比如粘弹性流体的热对流中出现的Lorenz怪引子等。

尽管它们之间有非常密切的关系，但已形成相对独立的分支学科：“波动力学”，“涡动力学”，“非牛顿流体力学”。

波动现象广泛地存在于流体之中，水波和声波在我们周围几乎无所引言不在，而有些波仅在特殊情况下才会出现，比如超声速流中的激波波的形式各异，种类繁多。

有些是眼睛直接看不到的，比如空气中和长水渠中的孤波。

的声波；有些却很容易观察到，比如水波。

潮波(tidal bore)海啸(tsunami)天外黑风吹海立,浙东飞雨过江来—宋·苏轼《有美堂暴雨》千尺丝纶直下垂，一波才动万波随．唐·船子和尚《颂钓者》(ripple wave)涟波(pp )风乍起，吹皱一池春水—五代·冯延巳《谒金门》毛细波(capillary wave)惊天骇浪：画家笔下的波流体力学大师笔下的“波”参考书1) James Lighthill, Waves in fluids, Cambridge Univ. Press, 1978 1)James Lighthill Waves in fluids Cambridge Univ Press19782) G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, John Wiely and Sons, Inc. 1974（有中译本，科学出版社1986）3) P. M. Morse and K. U. Ingard, Theoretical Acoustics, Mcgraw-Hill Book Company, 19684) L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Course of Theoretical Physics Vol. 6, Beijing World Publishing Corporation, 1999（有中译本，人民教育出版社1960，1978，高等教育出版社1990）什麽是“波”？1)波的定义(Definition of waves)从经典观点看，波被认为是一种通过介质向外传播的周期性运动。

第二章 流体运动学§2.1描述流体运动的两种方法一、拉格朗日法（Lagrange methord ）从流体质点为研究对象研究流体运动的一种方法。

也叫质点系法。

在拉格朗日法中，流体质点的运动轨迹的方程可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （2—1）式中x,y,z 为流体质点的轨迹座标值。

a,b,c 称为拉格朗日变量，是流体质点的标识符，不同的流体质点a,b,c 的值不同t 为时间变量。

式（2—1），当a,b,c 为一组常数时t 为变数时，表示某个确定的流体质点随时间t 运动的运动轨迹座标值轨迹线。

当t 为固定值，a,b,c 为一组变数时，表示该组质点在某一固定时刻所处的位置（即空间位置的座标值）。

流体质点的轨迹也可用向径表示：),,,(t c b a r k z j y i x r =++= 对于某个确定的流体质点，其速度向量V 可用向径随时间的变化率表示：dt dF V =对于不同质点的流体质点，a,b,c 为变数所以速度向量应表示为r 对时间的偏导数形式：),,,(t c b a V tr V =∂∂= 在直角正交坐标系中速度向量的表达为：k w j v i u V ++=其中 t x u ∂∂=，t y v ∂∂=，tz w ∂∂= 质点的加速度：),,,(22t c b a a tF t V a =∂∂=∂∂= k a j a i a a z y x ++=22t x t u a x ∂∂=∂∂=,22t y t v a y ∂∂=∂∂=,22t z t w a z ∂∂=∂∂= 同样，其它流体质点的物理量也均可表示成为拉格朗日变数的函数：密度：),,,(t c b a ρρ=压力：),,,(t c b a p p =温度：),,,(t c b a T T =一般情况下所有的流体质点的物理量均可表示成：),,,(t c b a B B =B 可以是标量，如T p ,,ρ,也可以是矢量如a V r ,,可统一称为流体质点的物理量。

高等流体力学重点1．流体的连续介质模型：研究流体的宏观运动，在远远大于分子运动尺度的范围里考察流体运动，而不考虑个别分子的行为，因此我们可以把流体视为连续介质。

它有如下性质：（1）流体是连续分布的物质，它可以无限分割为具有均布质量的宏观微元体。

（2）不发生化学反应和离解等非平衡热力学过程的运动流体中，微元体内流体状态服从热力学关系（3）除了特殊面外，流体的力学和热力学状态参数在时空中是连续分布的，并且通常认为是无限可微的2．应力：有限体的微元面积上单位面积的表面力称为表面力的局部强度，又称为应力，定义如下：=n T AF A δδδlim 0→ 3．流体的界面性质：微元界面两侧的流体的速度和温度相等，应力向量的大小相等.方向相反或应力分量相等。

4．流体具有易流行和压缩性。

5．应力张量具有对称性。

6．欧拉描述法：在任意指定的时间逐点描绘当地的运动特征量（如速度、加速度）及其它的物理量的分布（如压力、密度等）。

7．拉格朗日描述法：从某个时刻开始跟踪质点的位置、速度、加速度和物理参数的变化，这种方法是离散质点的运动描述法称为拉格朗日描述法。

8.流线：速度场的向量线，该曲线上的任意一点的切向量与当地的的速度向量重合。

迹线：流体质点点的运动迹象。

差别：迹线是同一质点在不同时刻的位移曲线。

流线是同一时刻、不同质点连接起来的速度场向量线。

流线微分方程：ωdz v dy u dx == 迹线微分方程：tx U i i ??= 9．质点加速度：质点速度向量随时间的变化率。

U U t U a )(??+??=质点加速度=速度的局部导数+速度的迁移导数。

物理量的质点导数=物理量的局部导数+物理量的对流导数。

-++=→→t t x Q t t x x Q Dt DQ t x δδδδδ),(),(lim 0,0 利用泰勒展开 +??+??=-++Q x t Q t x Q t t x x Q x δδδ)(),(),(O ),,(22t t t t δδδδ (332211x U x U x U t U t Dt D ??+??+??+??=??+??=)Q U t Q Dt DQ ??+??= 10．微团的运动：平动、转动、变形。