第九章差错控制编码9.1引言一、信源编码与信道编码数字通信中，根据不同的目的，编码分为信源编码与信道编码二大类。
信源编码~ 提高数字信号的有效性，如，PCM编码，M编码，图象数据压缩编码等。
信道编码~ 提高传输的可靠性，又称抗干扰编码，纠错编码。
由于数字通信传输过程中，受到干扰，乘性干扰引起的码间干扰，可用均衡办法解决。
加性干扰解决的办法有：选择调制解码，提高发射功率。
如果上述措施难以满足要求，则要考虑本章讨论的信道编码技术，对误码（可能或已经出现）进行差错控制。
从差错控制角度看：信道分三类：（信道编码技术）①随机信道：由加性白噪声引起的误码，错码是随机的，错码间统计独立。
②突发信道：错码成串，由脉冲噪声干扰引起。
③混合信道：既存在随机错误，又存在突发错码，那一种都不能忽略不计的信道。
信道编码（差错控制编码）是使不带规律性的原始数字信号，带上规律性（或加强规律性，或规律性不强）的数字信号，信道译码器则利用这些规律性来鉴别是否发生错误，或进而纠错。
需要说明的是信道编码是用增加数码，增加冗余来提高抗干扰能力。
二：差错控制的工作方式(1) 检错重发(2) 前向纠错，不要反向信道(3) 反馈校验法，双向信道这三种差错控制的工作方式见下图所示：检错重发前向纠错反馈校验法检错误判决信号纠错码信息信号发发收信息信号1521539.2 纠错编码的基本原理举例说明纠错编码的基本原理。
用三位二进制编码表示8种不同天气。
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧雹雾霜雪雨阴云晴111011101001110010100000−−−→−种许使用种中只准48码组许用码组，其它为禁用雨阴云晴 011101110000⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ 许用码组中，只要错一位（不管哪位错），就是禁用码组，故这种编码能发现任何一位出错，但不能发现的二位出错，二位出错后又产生许用码。
上述这种编码只能检测错误，不能纠正错误。
因为晴雨阴错一位，都变成1 0 0。
要想纠错，可以把8种组合（3位编码）中，只取2种为许用码，其它6种为禁用码。
例如： 0 0 0 晴 1 1 1 雨这时，接收端能检测两个以下的错误，或者能纠正一个错码。
例：收到禁用码组1 0 0时，如认为只有一位错，则可判断此错码发生在第1位，从而纠正为0 0 0（晴），因为1 1 1（雨）发生任何一个错误都不会变成1 0 0。
若上述接收码组种的错码数认为不超过二个，则存在两种可能性： 位错）（位错）（21111000/变成（1 1 1）或（1 0 0）， 因为只能检出错误，但不能纠正。
一：分组码，码重，码距 （见樊书P282 表9-1）将码组分段：分成信息位段和监督位段，称为分组码，记为（n, k ） n ~ 编码组的总位数，简称码长（码组的长度）k ~ 每组二进制信息码元数目，（信息位段） r k n =- ~ 监督码元数目，（监督位段）（见樊书P282，图9-2）一组码共计8种154在分组码中，有“1”的数目称为码组的重量，简称码重。
例如，码组（1 1 0 1 0），码长n=5，码重为3。
把两个码组对应位不同的数目称为这两个码组的距离，简称码距，又称Hamming （汉明）的距离。
例如，码组（1 1 0 0 0）与（1 0 0 1 1）的距离为3。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001111000而码组集合中，全体码组之间的距离的最小值称为最小码距（0d ）。
码距的几何意义见樊书P283，图9-3。
从图看出，码距d 越小，检错，纠错能力越强。
二：纠错编码的效用 樊书P284监督位数r 越多，对提高抗干扰，降低误码率越有好处。
9.3常用的简单编码纠错码的分类 ：（沈振元书 P388） (1) 奇偶校验码（“1”的数目应为偶数或奇数）。
（见樊书P285） 偶校验码满足条件：0021=⊕⊕⊕--a a a n n举例：偶校验的例子：码组：110011码长6=n ，信息位段长5=k ， 监督位数1=r偶校验位=“1” 满足条件：0110011=⊕⊕⊕⊕⊕ (2) 二维奇偶校验码仍然举偶校验的例子：110011111001010111110011偶校验位 信息位 ⊕1 1 0 0 1 10=行监督位，0110011=⊕⊕⊕⊕⊕/0 /1 对称出现4个错码也检不出来155(3) 恒比码例如，我国电传机传输阿拉伯数字时，用5位代码表示，每个码组的长度为5，其中恒有3个“1”，称为 “5中取3” 恒比码。
(4) 正反码正反码的信息位段长k 与监督位段长r 相同，如正反码组： 信息位段有奇数个1：1100111001 （监督位与信息位重复）信息位段有偶数个1：1000101110 （监督位是信息位反码）9.4 线性分组码一：基本概念可用线性方程组（代数关系）表述码的规律性的分组码称为线性分组码。
如奇偶校验码的编程原理利用了代数关系， 0021=⊕⊕⊕--a a a n n （偶校验关系），称奇偶校验码为线性分组码。
在代数码中，常见的是线性码，即编码中的信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着，或者说可用线性代数方程表述编码的规律性。
上述正反码中，为了纠正一位错误，使用的监督位和信息位一样多，即编码效率只有50%（编码效率n k /=η）。
那么为了纠正一位错误码，在分组码中最少要几位监督码位？编码效率能否提高。
从这种思想出发，便导致了汉明码的诞生。
汉明码是能够纠正一位错码且编码效率较高的一种线性分组码。
二：线性分组码的一种 —— 汉明码下面介绍汉明码（Hamming ）的构造原理。
信息位 监督位信息位 监督位156先回顾偶校验码，在接收端实际上计算监督关系式：021a a a s n n ⊕⊕⊕=--若0=s ~ 无错 1=s ~ 有错 s ~ 称校正子由于s 校正子只有两种形式“0”或“1”，只能代表有错或无错，因而不能找出错码的位置。
不难想象，如果监督位增加一位，即变成二位监督位，即能增加一个类似于偶校验码监督式的新的监督式。
两个监督式就有两个校正子，其可能值有4种组合： 0 0，0 1，1 0，1 1，这4种组合代表不同信息。
若用1种组合表示无错，其余3种组合就可以用来表示一位错码的3种不同位置。
同理，r 个监督式能指示一位错码的12-r 个可能位置。
一般来说，若码长n ，信息位数k ，则监督位k n r -=，汉明码n 与r 满足：12-=r n现以（n ，k ）=（7，4），r =3为例的汉明码来说明如何具体构造这些监督关系式。
设码字（n ，k ）= 0456a a a a 信息位监督位~~456012a a a a a a321s s s ,, ～校正子（3个监督关系式中的校正子）这3个校正子321s s s ,,，可建立三个互为独立的监督关系式。
321s s s ,,的值与错码位置的对应关系可以规定如下表： （见樊书P288，图9-4）321s s s ,,全为零，表示无错。
157只要1s （或2s ，或3s ）为“1”，就表示有错，1s 是不是1，由6542a a a a ,,,的出错决定，可写成偶监督关系式： 24561a a a a s ⊕⊕⊕=（只有1s 为零时才无错，发送编码时，将监督码元2a 与信息码元的关系满足此式） 同理13562a a a a s ⊕⊕⊕= 同理03463a a a a s ⊕⊕⊕=在发端编码时，信息位6543a a a a ,,,的值是随机的，监督位012a a a ,,应根据信息位按监督关系来确定，即监督位应使上面的321s s s ,,监督式为零。
即要求：02456=⊕⊕⊕a a a a 01356=⊕⊕⊕a a a a 00346=⊕⊕⊕a a a a 或写成监督码元在左边的形式： 4562a a a a ⊕⊕= 3561a a a a ⊕⊕= 3460a a a a ⊕⊕=信息位3456a a a a ,,,一旦确定后，可直接按上式计算出监督位。
（见樊书P289 图9-5）接收端收到每个码字（码组）后，先计算出偶监督关系式，321s s s ,,再按表9-4（樊书P288）判断错码情况。
如果321s s s ,,不全零，可判出在哪一位出错。
汉明码最小距0d =3（见樊书表9-5），能够纠正单个错误。
三：线性分组码的一般原理 (1) 监督阵和生成矩阵将上述汉明码（7，4）的监督关系式改写成：（见樊书P289，9.4-8）查樊书表9-4，判错哪一位并纠正之 346035614562a a a a a a a a a a a a ⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕=000034613562456=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕a a a a a a a a a a a a 发送端，将信息位按此式加上监督位后接收端，先计算校正321s s s ,,为零否，158000101110123456=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a a a a a a a 001010110123456=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a a a a a a a 010011010123456=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a a a a a a a上式中⊕简写为+，表示模2相加。
写成矩阵形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110101010110010111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0123456a a a a a a a =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000 （模2）简记T T A H 0=⋅ （H ~ 监督矩阵）监督矩阵H 为n r ⨯（r 行，n 列）阶矩阵，H 阵的每行之间彼此线性无关。
也可将H 矩阵分为两部分：H = []r PI =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001010101011001011136a a 012a a a其中P 为r ×k 阶矩阵，r I 为r ×r 阶单位矩阵。
若把监督关系式改写补充：3463561456233445566a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=====159可改写为矩阵形式：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡345601234561101101101111000010*********a a a a a a a a a a a 即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3456a a a a G A T T ， 变换为[]G a a a a A ⋅=3456，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101000101010001100101110001Gk I QG 称为生成矩阵，如果找到G ，则纠错编码方法就确定了，可由信息组和G 可产生全部码字。
[]Q I G k = ～ 也称典型生成矩阵，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=110101011111Q ， k I 为k ×k 方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010000100001，由典型生成矩阵得出的码组A 中，信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。
