第五章数值传热学

数值传热学 -回复
数值传热学（Numerical Heat Transfer）是一门研究热传递现象的学科，通过数值模拟和计算方法来分析热传导、对流和辐射等传热过程。

本文将介绍数值传热学的基本原理、方法和应用。

1. 基本原理
数值传热学基于传热学原理和计算数学方法，将传热过程建模为数学方程，并通过数
值方法求解这些方程，从而得到热传递的数值解。

主要的传热模型包括热传导、对流和辐
射传热。

2. 数值方法
数值传热学常用的方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。

有限差分法是最常
用的方法之一，将传热区域离散化为网格，通过差分近似计算网格点上的温度或热流量。

有限元法则是另一种常用的方法，将传热区域划分为元素，通过建立元素之间的关系来计
算温度场或热流场。

边界元法则是将问题转化为边界上的积分方程，通过求解积分方程得
到温度场或热流场。

3. 应用领域
数值传热学在各个领域都有广泛的应用。

在工程领域，数值传热学用于优化热交换器
的设计、预测电子器件温度分布、模拟流体在管道内的传热过程等。

在材料科学领域，数
值传热学用于研究材料的导热性能、相变过程以及焊接和烧结等工艺。

在能源领域，数值
传热学用于分析太阳能热收集器的性能、燃烧过程中的传热机制等。

通过数值传热学的研究，我们可以更加深入地了解热传递过程，并可以通过数值模拟
方法来预测和优化热传递的效果。

数值传热学也为各个领域的工程和科学研究提供了重要
的工具和方法。

通过不断的发展和创新，数值传热学将进一步推动热传递理论和应用的发展。

数值传热学的通用方程数值传热学的通用方程引言：传热学是研究热量在物体内传递的学科，它在实际生活中具有广泛的应用。

数值传热学是传热学的一个重要分支，借助数值计算方法和计算机模拟，能够更准确地预测和模拟热量的传递过程。

在数值传热学中，通用方程是一种重要的工具，它能够描述和计算物体内热量的传递方式。

本文将以数值传热学的通用方程为主题，通过分析其深度和广度，以全面评估和解释这一概念。

一、数值传热学的基础概念1.1 热量传递的三种方式热量传递有三种方式：传导、对流和辐射。

传导是指热量通过物质的直接接触和振动传递，对流是指热量通过流体的传输，辐射是指热量通过电磁波辐射传递。

这三种方式在不同的情况下起着不同的作用，同时它们也相互影响和耦合。

1.2 数值计算方法在传热学中的应用数值计算方法是数值传热学的核心工具，它可以通过数学模型和离散计算，模拟和预测物体内热量的传递过程。

常用的数值计算方法有有限元法、有限差分法和有限体积法等。

通过这些方法，我们可以更准确地计算和研究热量的传递规律。

二、数值传热学的通用方程2.1 传热方程的基本形式传热方程是描述热量传递过程的数学方程，它以物体内部的温度分布、热流和热导率等参数为基础，通过各种数学方法和推导，得到不同传热方式下的通用方程。

2.2 热传导方程热传导方程是描述热量通过传导方式传递的方程。

在传热过程中，热量会从高温处传向低温处，而传热率又与温度梯度和材料的热导率成正比。

热传导方程能够计算和描述热量在物体内部的传递过程，为热传导问题的分析和计算提供了基础。

2.3 流体传热方程流体传热方程是描述热量通过对流方式传递的方程。

流体传热过程中，流体的流动状态和温度梯度会影响热量的传递速率。

流体传热方程能够计算和描述流体内部的热量传递过程，对于流体传热问题的研究和分析具有重要意义。

2.4 辐射传热方程辐射传热方程是描述热量通过辐射方式传递的方程。

辐射传热过程中，热量通过电磁波的辐射传输，与物体的温度和辐射特性有关。

5-2解：根据课本p158式（5—1a ）得一维稳态无源项的对流－扩散方程如下所示： （取常物性）22x x u ∂∂Γ=∂∂φφρ边界条件如下：L L x x φφφφ====,;,00由（5—2）得方程的精确解为： 11)/(00--=--⋅Pe L x Pe L e e φφφφΓ=/uL Pe ρ将分成15等份，有：L ∆=P Pe 15对于中心差分、一阶迎风、混合格式和QUICK 格式分别分析如下：1）(CD)中心差分节点离散方程： 2)5.01()5.01(11-∆+∆++-=i i i P P φφφ10,2 =i 2）一阶迎风节点离散方程： ∆-∆++++=P P i i i 2)1(11φφφ10,2 =i 3）混合格式当时，节点离散方程：，1=∆P 2)5.01()5.01(11-∆+∆++-=i i i P P φφφ10,2 =i 当时，节点离散方程： ，　10,5=∆P 1-=i i φφ10,2 =i 4）QUICK 格式，节点离散方程： ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++=+-∆∆-∆∆+∆)336(81221211111i i i i i i P P P P P φφφφφφ2=i ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++++++=+--∆∆-∆∆+∆)35(812212112111i i i i i i i P P P P P φφφφφφφ2≠i用matlab 编程如下：（本程序在x/L=0-1范围内取16个节点进行离散计算，假设y(1)= =0,y(16)==1,程序中Pa 为，x 为题中所提的x/L 。

由于本程序假设y(1)=0φL φ∆P =0,y(16)==1，所以）0φL φy y y y y y L =--=--=--010)1()16()1(00φφφφPa=input('请输入Pa=')x=0:1/15:1Pe=15*Pa;y=(exp(Pe*x)-1)/(exp(Pe)-1)plot(x,y,'-*k') %精确解hold ony(1)=0,y(16)=1;for i=2:15y(i)=((1+0.5*Pa)*y(i-1)+(1-0.5*Pa)*y(i+1))/2;endplot(x,y(1:16),'-or') %中心差分hold onfor i=2:15y(i)=((1+Pa)*y(i-1)+y(i+1))/(2+Pa);endplot(x,y(1:16),'-.>g') %一阶迎风hold onfor i=2:15if Pa==1y(i)=((1+0.5*Pa)*y(i-1)+(1-0.5*Pa)*y(i+1))/2;elsey(i)=y(i-1)endendplot(x,y(1:16),'-+y') %混合格式hold onfor i=2:15if i==2y(i)=y(i+1)/(2+Pa)+(1+Pa)*y(i-1)/(2+Pa)+(Pa/(2+Pa))*(6*y(i)-3*y(i-1)-3*y(i+1))/8 elsey(i)=y(i+1)/(2+Pa)+(1+Pa)*y(i-1)/(2+Pa)+(Pa/(2+Pa))*(5*y(i)-y(i-1)-y(i-2)-3*y(i+1))/8 endendplot(x, y(1:16),'-<b') %QUICK 格式hold onlegend('精确解','中心差分','一阶迎风','混合格式','QUICK 格式')运行结果如下图所示：当 ：1=∆P当：5=∆P当：10=∆P5－3 解：根据课本式(5-19)得：乘方格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤≤--+≤≤->=∆∆∆∆∆∆∆∆10,010,)1.01(100,)1.01(10,055P P P P P P P P D a e E 当时有：1.0=∆P 951.0)1.01.01()1.01(55=⨯-=-=∆P D a e E 301.0/3)()()()()()(===Γ=Γ=∆ee e e e e e e e P u x u u x D ρδρρδ5297.2830951.0951.0=⨯==e E D a 由系数关系可得：∆=-P D a D a e E w W 53.3130)951.01.0((=⨯+=⨯+=∆w e E W D D a P a根据式（5-51g ）得： 205.01.010=⨯=∆∆=tx a P p ρ根据式（4-12）得： （本题方程中无源项）0P W E P a fa fa a ++=当采用隐式时，则得到：1=f 0597.62253.315297.280=++=++=P W E P a fa fa a 即：时，，，，1.0=∆P 5297.28=E a 53.31=W a 20=p a 0597.62=P a 当时，按照以上算法得出：10=∆P ，， ， 0=E a 3=W a 20=p a 5=P a。

数值传热学
t为了更好地理解热学中的非稳态传热现象，需要对其进行数值模拟，在数值传热学方法中，有一种方法叫做有限元方法，它是一种基于网格方法的非线性有限元方法。

ttt在研究和处理复杂工程问题时，为简化计算机求解代价高的无限大规模的实际物理问题，常采用网格技术，对复杂的多相流动或物体的运动状态进行模拟，并将该计算过程和成果称之为“数值模拟”。

ttt在应用数值传热学方法的过程中要注意这样几点：一是网格划分、初始条件及边界条件的选取要适当二是系统初始化要合理三是尽可能使所有的网格之间相互独立四是保证结果的重现性五是不要
忽视分辨率的概念六是分析与综合要紧密联系起来七是数值计算过
程要符合数学规，使输出的数据便于人们分析比较八是在数值计算过程中若发现新的或难以理解的情况或事件，应记录下来，待分析完后再去验证九是对所得到的结果要进行认真检查。

t有限单元法是在有限空间或无限体积中把某些大块区域作为节点，其他区域为单元，用有限个节点（单元）组成有限个相互连接的单元链。

这种方法将无限的区域离散化成有限个单元，在每个单元内假定一定的约束条件和单元本身的物理属性。

网格在三维空间中的布置形式，可以由连续函数来描述。

有限元法通过把物理问题分解成许多微小的单元，然后按照一定的节点连接关系进行组合，并假定这些单元遵循各自的约束条件。

当计算机通过网络将数据存入存储器中时，有限元法就得到了充分发挥，可以利用计算机快速运算获得高精度的解。

但由于有限元法是一
种离散化方法，因此如果计算时出现局部收敛性差的问题，很可能导致整个求解过程失败，从而影响最终结果的准确性。

数值传热学数值传热学（numerical heat transfer）数值传热学，又称计算传热学，是指对描写流动与传热问题的控制方程采用数值方法，通过计算机求解的一门传热学与数值方法相结合的交叉学科。

数值传热学的基本思想是把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场（如速度场，温度场，浓度场等），用一系列有限个离散点上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点变量值之间关系的代数方程（称为离散方程）。

求解所建立起来的代数方程已获得求解变量的近似值。

数值传热学（numerical heat transfer）数值传热学，又称计算传热学，是指对描写流动与传热问题的控制方程采用数值方法，通过计算机求解的一门传热学与数值方法相结合的交叉学科。

数值传热学的基本思想是把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场（如速度场，温度场，浓度场等），用一系列有限个离散点上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点变量值之间关系的代数方程（称为离散方程）。

求解所建立起来的代数方程已获得求解变量的近似值。

数值传热学常用的数值方法1.有限差分法历史上最早采用的数值方法，对简单几何形状中的流动与换热问题最容易实施的数值方法。

其基本点是：将求解区域中用于坐标轴平行的一系列网格的交点所组成的点的集合来代替，在每个节点上，将控制方程中每一个导数用相应的差分表达式来代替，从而在每个节点上，形成一个代数方程，每个方程中包括了本节点及其附近一些节点上的未知值，求解这些代数方程就获得了所需的数值解。

2.有限容积法将所计算的区域划分成一系列控制容积划分为一系列控制容积，每个控制容积都有一个节点做代表。

通过将守恒型的控制方程对控制容积坐积分导出离散方程。

在导出过程中，需要对界面上的被求函数本身及其一阶导数的构成做出假定，是目前流动与换热问题的数值计算中应用最广的一种方法。

3.有限元法把计算区域划分为一系列原题（在二维情况下，元体多为三角形或四边形），由每个元体上去数个点作为节点，然后通过对控制方程做积分来获得离散方程。

数值传热学数值传热学是一门研究如何采用计算机技术模拟传热过程的学科。

它的出现，使得传热学在进行理论分析和数值计算方面更加具有实际意义。

以前要进行传热问题的求解，需要有丰富经验的工程师去积累相应的数据，而且也只能做到相对比较好的效果，这对于我们来说也并非难事，但是就目前情况来看，人工建立一个数值模型对于复杂的传热过程进行求解将会变得更加困难。

而且传统的工业过程模拟中大多都是依靠经验，但是这种经验往往又是片面的、偶然的。

因此，建立一个完整的数值传热学体系就成了当务之急。

然而数值传热学作为一门年轻的学科，它的许多思想都源于传热学的实际应用。

因此，对于传热学基础理论知识的掌握以及综合应用能力的培养对于该课程学习至关重要。

在教学过程中，除了注重学生自身素质的培养外，还应该结合教学内容，创新教学方法，在充分调动学生主观能动性的基础上，发挥他们的创造性思维，让学生参与其中。

另外，还可以借助多媒体教学等现代化教学手段，提高课堂效率，增强教学效果。

从而促进学生对于课程的理解，提升教学质量。

传统的传热学模型很难完全适用于现代化传热分析与设计。

针对于传热模型方面，首先，需要增加数值传热学模型，在原有的基础上引入新的概念和规则；其次，模型的编制需要精确考虑每一个单元模块之间的关联，在保证各个模块都能够单独准确地计算出结果的同时，还必须将他们联系起来。

例如，对于燃烧室内传热问题，由于温度的分布情况是非常复杂的，因此我们需要构造适当的网格进行相应的计算，将所有网格划分成细小的区域，再逐步地建立起燃烧室内温度场的整体结构，进而达到一个有效的、清晰的计算结果。

除此之外，计算结果的收敛速度和计算的精确度也是影响分析效率的两个主要因素。

但是随着对于这些相关领域研究人员的不断增多，一些技术已经可以得到大幅度的改善，甚至部分可以直接用于商业用途。

而计算流体力学（ CFD）就是在计算机运算能力不断增强的基础上逐渐形成的一门新兴学科，它可以通过在计算机上建立一些专门的数学模型，利用计算机仿真软件进行求解，最终获取相应的物理图像或者曲线，帮助工程师快速地找到解决方案。

主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER2010年10月18日, 西安数值传热学第五章对流扩散方程的离散格式(2)对流项离散格式的重要性及两种离散方式5.5.1假扩散的含义与成因5.5.2一阶截差格式引起严重假扩散举例1.本来的含义2.扩充的含义3.Taylor 展开法的分析5.5关于假扩散的讨论5.5.3网格倾斜交叉引起的计算误差5.5.4 非常数源项引起的假扩散5.5.5 两个名例以一维非稳态纯对流过程为例俩分析，其中有两n nφφ2(,O x φΔΔ其中关于时间的二阶导数项可做如下变化：时才没有这部分的计算误差。

2. 扩充的含义现有文献中常常将较大的计算误差都称为假扩散，大致有以下几项原因：(1) 一阶导数的一阶截差格式；(2) 流动方向与网格线呈倾斜交叉；(3) 离散格式未计及非常数源项的影响。

5.5.2一阶截差格式引起严重假扩散举例1.一维稳态对流扩散问题对流项用FUD，扩散项用CD，当Pe较大时，数值计算结果严重偏离精确解。

Physically plausible solution纯对流传递纯对流传递由离散方程：1n−1此时只有对流，没有扩散！时则有严重假扩散！0.8C =0.8C =当时，产生了严重的扩散作此种误差称为流向假扩散Γ≠Γ气流01. 设UE对P 控制容积，有2. 设控制容积，此时：计算误差纯对流传递三个对流问题的归纳这就是假扩散纯对流传递3)网格倾斜交叉引起的计算误差E冷热流体之间产生了温度均匀化的过程，即交叉5.5.5 已知流场计算温度场232(1),2(1)u y x v x y =−=−−参考解xT严重假扩散2) Leonard细高方腔中的自然对流换热5.6.1采用高阶格式克服流向假扩散5.6可以克服或减轻假扩散的格式与方法5.2.2 克服、减轻交叉假扩散的方法1. 采用二阶迎风2.采用三阶迎风3. 采用QUICK 格式1. 采用有效扩散系数2.采用自适应网格4. 采用SGSD 格式可以克服或减轻假扩散的格式与方法相当于界面上的中心差分)W WWxφ+Δ如型线上凹，则(2) FVM向上游取两点定义界面插值2.采用三阶迎风展开定义－一阶导数的三阶偏差分格式3. 采用定义－界面的插值在中心差分基础上考虑曲中心差分插值率修正？需要满足两个条件：插值的正确修正：相邻(2)0W PE φφφ−+<型线下凹8Cur −对e-界面u e 小于零时，取,,W P φφφu e 大于零时，取怎样相邻的三点?QUICK(2)e φφ=1/2w i φφ−=有：4. 采用CD条件稳定，但没有二阶假扩散；二阶迎风绝对稳定，组合起来，但是：如何确定值，特别是如何由计算结果来5. 高阶格式实施中的问题f u f计算边界：固o2) 代数方程的求解：等时，5.6.2用减小扩散系采用自适应网格（以减轻流5.7 对流-扩散方程离散形式稳定性分析5.7.1 数值计算中常见的三种不稳定性5.7.2 分析对流项格式不稳定性的“符号不变原则”5.7.3 稳定性分析结果讨论5.7.4 对流项格式问题讨论小结2.“符号不变”原则的基本思想3. “符号不变”原则的实施步骤4. “符号不变”原则的实施例子1. 研究背景扩散方程离散形式稳定性分析也会产生振荡的解，称为对流项离散格式的不稳态定性，研究目的是，找出产生振荡的临界Peclet 数。

第5章作业答案5-2对于5种三点格式来说，一维对流扩散方程都是可以写成下列通用离散形式：P P E E W Wa a a φφφ=+ 其中： [](){}()[]{}()w e W E P w w w W e e e E F F a a a P P A D a P P A D a -++=+=-+=∆∆∆∆0,0,5种三点格式的()∆P A格式()∆P A迎风差分 1混合格式 []|5.01,0|∆-P 指数格式 ()()1exp -∆∆P P对网格Peclet 数为5，10的情形，应该得出如下图的结果，FUD 与混合格式没有振荡，而CD 和QUICK 均有，而且CD 比QUICK 更为严重。

5-3不同网格∆P 数下各系数计算结果如下∆P E aW a 0P a P a 0.1 28.53 31.53 2 62.05910 0 3255-5 四个节点之值如下一阶迎风 混合格式 乘方格式 二阶迎风（边界一阶） 二阶迎风（边界二阶）1φ 94.26 73.96 79.01 58.57 91.122φ 147.61 91.10 115.13 76.65 144.19 3φ 82.14 72.40 74.19 69.33 81.34 4φ 126.99 85.31 102.70 87.38 124.505-7不计扩散项，采用QUICK 离散i 控制容积的非稳态与对流项得：12117338n nn n n ni i i i i i x utφφφφφφ+--+--++∆=-∆ （(0)u >采用离散扰动分析法，对i+1得到扰动为78n i u t ρε∆，对i-1 得到扰动为38ni u t xε∆-∆，符号不变原则要求：0832≥∆Γ∆+∆∆-ninin i x t x t u εερερ，由此得：38≤=Γ∆∆P xu ρ5-9根据三阶迎风格式的定义：⎪⎩⎪⎨⎧<∆--+->∆+-+=∂∂-++--+0,62360,6632112211u x u xx i i i i i i i i φφφφφφφφφ仿照QUICK 格式，令三阶迎风格式的控制容积右界面上的值的形式为：⎪⎩⎪⎨⎧<+--+>+--+=0,220,22u a u a EEE P E P WP E E P e φφφφφφφφφφφ同理可以写出w φ的计算式。

数值传热学是热力学的重要分支之一，研究物质中热量的传递和分布规律。

与传统的实验方法相比，数值传热学采用计算机模拟技术，通过数学模型和计算实验方法，能够更加深入、系统地研究热传递现象的规律和特性，为工程设计和实际生产提供重要的技术支持。

数值传热学的本质是热传递方程的数值求解。

热传递方程是描述物质中热量传递和分布的方程，它包含了热传导、热对流和热辐射三种传热方式。

热传导是指热量沿着物质内部的温度梯度传递，主要发生在固体和液体中；热对流是指热量随物质的流动而传递，主要发生在液体和气体中；热辐射是指热量通过辐射传递，主要发生在光学和辐射热转换材料中。

通过数值方法求解热传递方程，可以得到物体的温度分布、热传递速率和热流密度等参数，为材料和工程设计提供准确的数据支持。

数值传热学的核心是数值方法，主要包括有限差分、有限元和边界元等方法。

有限差分法是一种利用离散化方法求解微分方程的数值方法，它将微分方程中的连续变量离散化，将求解微分方程转化为求解线性方程组。

有限元法是一种利用有限元逼近方法解决偏微分方程的数值方法，采用对物体进行简单的几何划分，将问题离散化，通过数学建模来表示物体的温度分布和热流密度分布。

边界元法是一种较新的有限元法补充，它能够快速解决边界值问题，并且可以减少问题的维数。

数值传热学的应用范围广泛，包括热工和物理问题的研究、能源系统分析和设计、建筑工程中的热传递和能源效率研究等。

例如，在太阳能发电系统设计中，数值传热学可以帮助设计人员确定集热器表面温度和吸收率等参数，提高太阳能效率并减少系统成本。

在建筑工程中，数值传热学可以帮助设计师分析建筑物的保温性能，合理评估保温材料的性能和使用效果，确保建筑节能和环保。

在机械加工领域中，数值传热学可以帮助工程师分析材料切削过程中的热量和温度分布，挑选适合材料和刀具的加工工艺，提高机械切削效率。

数值传热学是现代科学技术的重要分支之一，是研究物质中热传递和分布规律的重要工具。