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2019-2020年建平中学高一上月考一. 填空题1. 已知{2,3,5}{2,3,5,7,11,13}A ⊆⊂，那么满足条件的集合A 的个数是2. 将集合U A C B ð在右图中用阴影部分表示出来3. 命题“若1a =且2b =，则5a b +<.”的否命题是4. 已知{(,)|40}A x y x y =+-=，{(,)|10}B x y x ay =+-=，若AB =∅，则实数a 的值为5. 设集合{,,1}A x xy xy =-，其中x ∈Z ，y ∈Z 且0y ≠. 若0A ∈，则用列举法表示集合 A =6. 设集合2{|60}A x x x =+-=，{|10,}B x mx m =+=∈R ，若A B ⊆，则实数m 的取 值的集合为7. 已知A 、B 均为集合{1,3,5,7,9}U =的子集，且{3}A B =，{9}U A B =ð，则集合A =8. 建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和 风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人 数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7 人，则此班的人数为9. 已知集合{1,2,3}A =，{|}B E E A =⊆，令||E 表示数集E 中所有元素的和，对集合B 中所有元素均求||E ，则这些||E 的值的和为二. 选择题10. 若“不积硅步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（ ）A. 积硅步一定可以至千里B. 不积硅步也可能至千里C. 要想至千里一定要积硅步D. 不想至千里就不用积硅步11. 若U 为全集，B A 、为非空集合，下面四个命题：（1）A B A =；（2）A B B =；（3）U A B =∅ð；（4）UA B U =ð. 其中与命题B A ⊆等价的命题个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|21,}B x x k k ==+∈Z ，{|41,}C x x k k ==+∈Z ，又a A ∈，b B ∈，则必有（ ）A. a b A +∈B. a b B +∈C. a b C +∈D. 以上都不对三. 解答题13. 证明：“已知a 、b ∈R ，若02222≠-++++b a b ab a ，则1≠+b a .”为真命题.14. 已知全集为R ，集合{|1}A x x a =<-，{|2}B x x a =>+，{|1C x x =≤或4}x >. 若()AB C C =R ð，求实数a 的取值范围.15. 已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的正实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.附加题16. 称正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(1,2)n a a a n ≤<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：如果对任意的 i 、j (1)i j n ≤≤≤，j i a a 与i ja a 两数中至少有一个属于A . （1）分别判断集合{1,3,6}与{1,3,4,12}是否具有性质P ；（2）设正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(1,2)n a a a n ≤<⋅⋅⋅<≥具有性质P ，证明：对任意1i n ≤≤（i ∈*N ），i a 都是n a 的因数； （3）求30n a =时n 的最大值参考答案一. 填空题1. 72. 略3. 若1a ≠或2b ≠，则5a b +≥4. 15. {1,0,1}-6. 11{,0,}23- 7. {3,9} 8. 40人 9. 24二. 选择题10. C 11. D 12. B三. 解答题13. 逆否命题+因式分解+代入计算14. 1a ≤-或5a >.（子集与推出关系+数轴图） 15. （1）12m ≥（根的分布：数形结合+韦达定理）；（2）12m <或1m ≥ 16. （1）{1,3,6}不满足；{1,3,4,12}满足； （2）略（分类讨论或者反证法）；（3）4；301235=⨯⨯⨯，其中1、30定属于集合，因此2、3、5可在可不在， 且2、3、5不可同时出现，所以最大值是4。
建平中学高一月考数学卷2019.09一. 填空题1. 已知{2,3,5}{2,3,5,7,11,13}A ⊆⊂，那么满足条件的集合A 的个数是2. 将集合U A C B ð在右图中用阴影部分表示出来 AB =∅，则实数的，则用列举法表示集合 {3}A B =，{9}U B =ð”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和 数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7 人，则此班的人数为9. 已知集合{1,2,3}A =，{|}B E E A =⊆，令||E 表示数集E 中所有元素的和，对集合B 中所有元素均求||E ，则这些||E 的值的和为二. 选择题10. 若“不积硅步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（ ）A. 积硅步一定可以至千里B. 不积硅步也可能至千里C. 要想至千里一定要积硅步D. 不想至千里就不用积硅步11. 若U 为全集，B A 、为非空集合，下面四个命题：（1）A B A =；（2）A B B =；（3）U A B =∅ð；（4）UA B U =ð. 其中与命题B A ⊆等价的命题个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|21,}B x x k k ==+∈Z ，{|41,}C x x k k ==+∈Z ，又a A ∈，b B ∈，则必有（ ）A. a b A +∈B. a b B +∈C. a b C +∈D. 以上都不对三. 解答题13. 证明：“已知a 、b ∈R ，若02222≠-++++b a b ab a ，则1≠+b a .”为真命题.14. 已知全集为R ，集合{|1}A x x a =<-，{|2}B x x a =>+，{|1C x x =≤或4}x >. 若()AB C C =R ð，求实数a 的取值范围.15. 已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的正实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.}n 12(1,2)n a a a n ≤<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：如果对任意的 i 两数中至少有一个属于A . （是否具有性质P ；（,}n a 12(1,2)n a a a n ≤<⋅⋅⋅<≥具有性质P ，证明：对任意1i n ≤≤（i ∈*N ），i a 都是n a 的因数； （3）求30n a =时n 的最大值参考答案一. 填空题1. 72. 略3. 若1a ≠或2b ≠，则5a b +≥4. 15. {1,0,1}-6. 11{,0,}23- 7. {3,9} 8. 40人 9. 24二. 选择题10. C 11. D三. 解答题13. 逆否命题+因式分解+14. 1a ≤-或5a >.15. （1）12m ≥16. （1）{1,3,6}不满足；{（2）略（分类讨论或者反证法）（3）4；301235=⨯⨯⨯，其中且2、3、5。
2019-2020学年上海市建平中学高一上学期9月月考数学试题一、单选题1．若“不积硅步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（ ） A ．积硅步一定可以至千里 B ．不积硅步也可能至千里 C ．要想至千里一定要积硅步 D ．不想至千里就不用积硅步【答案】C【解析】根据命题与逆否命题的真假关系,即可判断. 【详解】命题“不积硅步,无以至千里” 则其逆否命题为“至千里,积硅步” 可知C 为正确选项. 故选:C 【点睛】本题考查了命题与逆否命题的真假关系应用,对抽象问题的分析与理解能力,属于基础题.2．若U 为全集，A B 、为非空集合，下面四个命题：（1）A B A =I ；（2）A B B ⋃=；（3）U A B =∅I ð；（4）UA B U =U ð. 其中与命题A B ⊆等价的命题个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】根据集合与集合的关系及运算,可判断四个选项是否正确. 【详解】对于（1）,若A B A =I 则A 为B 的子集,即A B ⊆,所以（1）与命题A B ⊆等价; 对于（2）,若A B B ⋃=,则A 为B 的子集,即A B ⊆,所以（2）与命题A B ⊆等价;对于（3）,若UA B =∅I ð,由韦恩图可知,则A 为B 的子集,即A B ⊆,所以（3）与命题A B ⊆等价;对于（4）若UA B U =U ð,由韦恩图可知,则A 为B 的子集,即A B ⊆,所以（4）与命题A B ⊆等价;综上可知,与命题A B ⊆等价的命题为（1）（2）（3）（4）故选:D 【点睛】本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与并集和补集运算,韦恩图在研究集合关系时是常用方法,属于基础题.3．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|21,}B x x k k ==+∈Z ，{|41,}C x x k k ==+∈Z ，又a A ∈，b B ∈，则必有（ ）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．以上都不对【答案】B【解析】利用列举法,写出集合A 、集合B 、集合C 的几个元素,即可判断出错误选项;对正确选项进行证明即可. 【详解】集合{|2,}A x x k k ==∈Z ,则{2,0,2,4,6,8,10}A =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 集合{|21,}B x x k k ==+∈Z 则{1,1,3,5,7,9,11}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 集合{|41,}C x x k k ==+∈Z 则{3,1,5,9,13,17,21}C =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 又a A ∈,b B ∈当2,1a b ==时, 21a b A +=+∉,所以A 错误; 当2,1a b ==时, 21a b C +=+∉,所以C 错误;因为集合{|2,}A x x k k ==∈Z ,集合{|21,}B x x k k ==+∈Z 又a A ∈,b B ∈则()121222121a b k k k k +=++=++ 所以+a b 表示奇数,而集合B 表示奇数 所以a b B +∈ 故选:B 【点睛】本题考查了元素与集合的关系,集合与集合关系的应用,属于基础题.二、填空题4．已知{2,3,5}{2,3,5,7,11,13}A ⊆⊂，那么满足条件的集合A 的个数是________ 【答案】7【解析】根据已知条件可知,集合A 为集合{}7,11,13的真子集与{}2,3,5的并集.即可求得满足条件的集合A 的个数. 【详解】因为{2,3,5}{2,3,5,7,11,13}A ⊆⊂所以满足条件的集合A 为集合{}7,11,13的真子集与{}2,3,5的并集. 即分别为{}2,3,5{}2,3,5,7{}2,3,5,11{}2,3,5,13{}2,3,5,7,11{}2,3,5,7,13{}2,3,5,11,13所以共有7个 故答案为:7 【点睛】本题考查了集合与集合的关系,集合子集与真子集的关系及个数,属于基础题.5．将集合UA CB I I ð在图中用阴影部分表示出来.【答案】【解析】根据集合的交集与补集运算,即可求得UA CB I I ð. 【详解】由交集与补集的运算可知,阴影部分如下图所示:故答案为:【点睛】本题考查了集合交集与补集的运算,韦恩图表示集合关系的方法,属于基础题. 6．命题“若1a =且2b =，则5a b +<.”的否命题是_____ 【答案】若1a ≠或2b ≠，则5a b +≥【解析】根据复合命题中且命题的否定,及否命题的定义即可得解. 【详解】根据复合命题中且命题的否定,及否命题的定义可知“若1a =且2b =,则5a b +<.”的否命题是若1a ≠或2b ≠,则5a b +≥ 故答案为: 若1a ≠或2b ≠,则5a b +≥ 【点睛】本题考查了复合命题否命题的的写法,四种命题的关系,属于基础题.7．已知{(,)|40}A x y x y =+-=，{(,)|10}B x y x ay =+-=，若A B =∅I ，则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】根据集合的表示形式可知,集合A 与集合B 为两条直线.当A B =∅I 时,两条直线平行.由直线平行的斜率关系即可求得a 的值. 【详解】因为{(,)|40}A x y x y =+-=,{(,)|10}B x y x ay =+-= 则集合A 与集合B 为两条直线 若A B =∅I 则两条直线平行所以两条直线的斜率相等,即1a = 故答案为:1 【点睛】本题考查了两条直线平行的斜率关系,根据直线平行求参数,属于基础题.8．设集合{,,1}A x xy xy =-，其中x ∈Z ，y ∈Z 且0y ≠. 若0A ∈，则用列举法表示集合A =________ 【答案】{1,0,1}-【解析】根据0y ≠且0A ∈,结合集合的互异性原则可知0xy -1=,进而求得x 和y 的值,即可表示集合A . 【详解】集合{,,1}A x xy xy =-,其中x ∈Z ,y ∈Z 且0y ≠.若0A ∈,则当0x =时, 0x xy ==由集合的互异性可知不符合要求 所以0xy -1=,即1xy=则11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩ 当11x y =⎧⎨=⎩时,1x xy ==, 由集合的互异性可知不符合要求因而11x y =-⎧⎨=-⎩,此时1,1,10x xy xy =-=-= 所以{1,0,1}A =- 故答案为: {1,0,1}- 【点睛】本题考查了元素与集合的关系,集合的互异性原则的应用,属于基础题.9．设集合2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，则满足B A ⊆的实数的值所组成的集合为_________. 【答案】11{,,0}23-【解析】首先化简集合{3,2}A =-，因为B A ⊆，对0m =和0m ≠分别讨论，得到m 的值即可. 【详解】2{|60}{3,2}A x x x =+-==-，当0m =时，B =∅，B A ⊆，符合题意. 当0m ≠时，1{}B m=-，因为B A ⊆，所以13m -=-或12m-=，解得：13m =，或12m =-. 综上：0m =，或13m =，或12m =-.故答案为：11{,,0}23- 【点睛】本题主要考查集合间的子集关系，解本题时，容易忽略对空集的讨论，属于简单题.10．已知A 、B 均为集合{1,3,5,7,9}U =的子集，且{3}A B ⋂=，{9}UA B =I ð，则集合A =________ 【答案】{3,9}【解析】根据集合的交集与补集运算,即可求得集合A 中的元素.再判定其他元素是否符合要求. 【详解】A 、B 均为集合{1,3,5,7,9}U =的子集 若{3}A B ⋂=,则3A ∈若{9}UA B =I ð,则9A ∈ 假设1A ∈,因为{3}A B ⋂=,则1B ∉.所以1U C B ∈,则UA B I ð必含有1,不合题意,所以1A ∉同理可判断5,7A A ∉∉ 综上可知, {3,9}A = 故答案为:{3,9} 【点睛】本题考查了元素与集合的关系,集合与集合的交集与补集运算,对于元素的分析方法,属于基础题.11．建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数7人，则此班的人数为________ 【答案】40人【解析】根据集合的交集运算,结合韦恩图即可求解.设{U x x =为建平中学高一某班全体学生} 集合{A x =参加大舞台的学生} 集合{B x =参加风情秀的学生}两个节目都参加的人数为n ,只参加风情秀的人数为m . 两个节目都不参加的人数为7n +,只参加大舞台的人数为3m + 则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三可知()3378m n m n m n +=+++++ 解得15m n += 所以总的人数为315408÷=人 故答案为: 40 【点睛】本题考查了集合的基本运算在实际问题中的应用,常常借助韦恩图来分析各量间的关系,属于基础题.12．已知集合{1,2,3}A =，{|}B E E A =⊆，令||E 表示数集E 中所有元素的和，对集合B 中所有元素均求||E ，则这些||E 的值的和为________ 【答案】24【解析】根据E A ⊆,可列举出集合E. 对集合B 中所有元素均求||E 即可求得这些||E 的值的和. 【详解】因为集合{1,2,3}A =,且E A ⊆则E 集合的所有可能为:∅,{}1,{}2,{}3,{}1,2,{}1,3,{}2,3,{}1,2,3 则()()()()12312132312324E =+++++++++++= 故答案为: 24本题考查了集合的包含关系及集合各个子集,由题意求集合子集中各元素的和,属于基础题.三、解答题13．证明：“已知a 、b ∈R ，若22220a ab b a b ++++-≠，则1a b +≠.”为真命题. 【答案】证明见解析.【解析】根据原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可. 【详解】由原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可. “已知a 、b ∈R ,若22220a ab b a b ++++-≠,则1a b +≠.其逆否命题为“已知a 、b ∈R ,若1a b +=,则22220a ab b a b ++++-=. 证明如下:若1a b += 则2222a ab b a b ++++-()()22a b a b =+++-1120=+-=所以 “已知a 、b ∈R ,若1a b +=,则22220a ab b a b ++++-=.成立 即原命题“已知a 、b ∈R ,若22220a ab b a b ++++-≠,则1a b +≠.”为真命题 得证. 【点睛】本题考查了原命题与逆否命题的真假关系及简单应用,利用等价关系证明简单的命题,属于基础题.14．已知全集为R ，集合{|1}A x x a =<-，{|2}B x x a =>+，{|1C x x =≤或4}x >.若()A B C C =R U U ð，求实数a 的取值范围. 【答案】1a ≤-或5a >.【解析】根据集合的并集与补集运算,由集合的关系即可求得参数a 的取值范围. 【详解】集合{|1}A x x a =<-,{|2}B x x a =>+ 则{}12A B x x a x a ⋃=-+或则(){}12R C A B x a x a ⋃=-≤≤+ 因为()A B C C =R U U ð则()R C A B C ⋃⊆.而{|1C x x =≤或4}x > 所以21a +≤或14a -> 解得1a ≤-或5a >故实数a 的取值范围为1a ≤-或5a > 【点睛】本题考查了集合并集与补集的基本运算,集合与集合的基本关系,属于基础题.15．已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围. 【答案】（1）12m ≥（2）12m <或m 1≥ 【解析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围.（2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围. 【详解】（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A ∈ 因为命题p 为真命题 所以210m -≥ 解得12m ≥（2）命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根当命题q 为真命题时,1212440020m x x m x x ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩解得01m <<当命题p 和命题q 都为真命题1201m m ⎧≥⎪⎨⎪<<⎩所以112m ≤< 所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题 则12m <或m 1≥ 所以实数m 的范围为12m <或m 1≥ 【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.16．称正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(1,2)n a a a n ≤<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：如果对任意的i 、j (1)i j n ≤≤≤，i j a a 与ija a 两数中至少有一个属于A . （1）分别判断集合{1,3,6}与{1,3,4,12}是否具有性质P ；（2）设正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(1,2)n a a a n ≤<⋅⋅⋅<≥具有性质P ，证明：对任意1i n ≤≤（i ∈*N ），i a 都是n a 的因数； （3）求30n a =时n 的最大值【答案】（1）{1,3,6}不具有性质P ；{1,3,4,12}具有性质P ；（2）见解析（3）4 【解析】（1）根据定义,验证给定的集合{1,3,6}与{1,3,4,12}即可判断是否具有性质P . （2）根据性质P 的定义,利用反证法即可证明.（3）由（2）可知, i a 都是30n a =的因数,即可求得n 的最大值. 【详解】（1）根据定义如果对任意的i 、j (1)i j n ≤≤≤,i j a a 与ija a 两数中至少有一个属于A . 可知对于集合{1,3,6},36⨯与63都不属于{1,3,6} 所以集合{1,3,6}不具有性质P .对于集合{1,3,4,12},13,14,112,34⨯⨯⨯⨯或1212,34都属于{1,3,4,12} 所以集合{1,3,4,12}具有性质P .（2）证明: 正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(1,2)n a a a n ≤<⋅⋅⋅<≥具有性质P即对于任意i 、j (1)i j n ≤≤≤i j a a 与i j a a 两数中至少有一个属于A . 假设存在一个数i a 不是n a 的因数即有i n a a 或i n n ia a a a 或都不属于A .这与性质P 矛盾 所以假设不成立则对任意1i n ≤≤（i ∈*N ）,i a 都是n a 的因数成立得证.（3）由（2）可知, i a 都是30n a =的因数而30235=⨯⨯则30的因数分别为1,2,3,5,6,10,15,30因而n 的最大值为8【点睛】本题考查了新定义的理解和应用,反证法的应用,对分析问题、解决问题的能力要求较高,属于中档题.。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）9月月考数学试卷试题数：16.满分：01.（填空题.3分）已知{2.3.5}⊆A⫋{2.3.5.7.11.13}.那么满足条件的集合A的个数是___ ．2.（问答题.3分）将集合A∩C∩∁U B在图中用阴影部分表示出来．3.（填空题.3分）命题“若a=1且b=2.则a+b＜5．”的否命题是___ ．4.（填空题.3分）已知A={（x.y）|x+y-4=0}B={（x.y）|x+ay-1=0}.若A∩B=∅.则实数a的值为___ ．5.（填空题.3分）设集合A={x.xy.xy-1}其中x∈Z.y∈Z且y≠0．若0∈A.则用列举法表示集合A=___ ．6.（填空题.3分）设集合A={x|x2+x-6=0}.B={x|mx+1=0}.则满足B⊆A的实数m的值所成集合为___ ．7.（填空题.3分）已知A.B均为集合U={1.3.5.7.9}的子集.且A∩B={3}.（∁U B）∩A={9}.则A=___ ．8.（填空题.3分）建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中.高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人：两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人.则此班的人数为___ ．9.（填空题.3分）已知集合A={1.2.3}.B={E|E⊆A}.令|E|表示数集E中所有元素的和.对集合B中所有元素均求|E|.则这些|E|的值的和为___ ．10.（单选题.3分）若“不积跬步.无以至千里”是真命题.则下面的命题一定是真命题的是（）A.积硅步一定可以至千里B.不积跬步也可能至千里C.要想至千里一定要积硅步D.不想至千里就不用积硅步11.（单选题.3分）若U为全集.A、B为非空集合.下面四个命题：（1）A∩B=A；（2）A∪B=B；（3）A∩∁U B=∅；（4）∁U A∪B=U．其中与命题A⊆B等价的命题个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12.（单选题.3分）A={x|x=2k.k∈Z}.B={x|x=2k+1.k∈Z}.C={x|x=4k+1.k∈Z}.又a∈A.b∈B.则（）A.a+b∈AB.a+b∈BC.a+b∈CD.a+b∈A.B.C中的任一个13.（问答题.0分）证明：“已知a、b∈R.若a2+2ab+b2+a+b-2≠0.则a+b≠1．”为真命题．14.（问答题.0分）已知全集为R.集合A={x|x＜a-1}.B={x|x＞a+2}.C={x|x≤1或x＞4}．若∁R （A∪B）∪C=C.求实数a的取值范围．15.（问答题.0分）已知命题p：关于x的不等式mx-1≥0的解集为A.且2∈A；命题q：关于x 的方程x2-2x+m=0有两个不相等的正实数根．（1）若命题p为真命题.求实数m的范围；（2）若命题P和命题q中至少有一个是假命题.求实数m的范围．16.（问答题.0分）称正整数集合 A={a1.a2.….a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n.n≥2）具有性质 P：如果两数中至少有一个属于 A．对任意的i.j（1≤i≤j≤n）.a i a j与a ja i（1）分别判断集合{1.3.6}与{1.3.4.12}是否具有性质 P；（2）设正整数集合 A={a1.a2.….a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n.n≥2）具有性质 P．证明：对任意1≤i≤n（i∈N*）.a i都是a n的因数；（3）求a n=30时n的最大值．2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：16.满分：01.（填空题.3分）已知{2.3.5}⊆A⫋{2.3.5.7.11.13}.那么满足条件的集合A的个数是___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：由题意可知.满足条件的集合A的个数相当于{7.11.13}的真子集的个数.可求【解答】：解：∵{2.3.5}⊆A⫋{2.3.5.7.11.13}.那么满足条件的集合A的个数相当于{7.11.13}的真子集的个数.有7个故答案为：7．【点评】：本题主要考查了集合的包含关系及集合子集个数的判断.属于基础试题》2.（问答题.3分）将集合A∩C∩∁U B在图中用阴影部分表示出来．【正确答案】：【解析】：根据集合的基本运算.结合Venn图进行表示即可．【解答】：解：由集合交集的定义知阴影部分位于B的外侧.同时在集合A和C的内部.对应的阴影部分如图：【点评】：本题主要考查Venn图的表示.利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键．比较基础．3.（填空题.3分）命题“若a=1且b=2.则a+b＜5．”的否命题是___ ．【正确答案】：[1]若a≠1或b≠2.则a+b≥5【解析】：根据命题“若p.则q”的否命题是“若￢p.则￢q”.写出它的否命题即可．【解答】：解：若a=1且b=2.则a+b＜5．的否命题是：若a≠1或b≠2.则a+b≥5.故答案为：若a≠1或b≠2.则a+b≥5．【点评】：本题考查了四种命题之间的关系.解题时应熟记四种命题之间的关系是什么.是简单题．4.（填空题.3分）已知A={（x.y）|x+y-4=0}B={（x.y）|x+ay-1=0}.若A∩B=∅.则实数a的值为___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：根据A∩B=∅即可得出：直线x+y-4=0和直线x+ay-1=0平行.从而得出a=1．【解答】：解：∵A∩B=∅.∴直线x+y-4=0和直线x+ay-1=0平行.∴a=1．故答案为：1．【点评】：考查描述法的定义.以及交集的定义及运算.直线平行时.直线的斜率相等．5.（填空题.3分）设集合A={x.xy.xy-1}其中x∈Z.y∈Z且y≠0．若0∈A.则用列举法表示集合A=___ ．【正确答案】：[1]{-1.1.0}【解析】：根据题意可得出xy=1.再根据x∈Z.y∈Z即可得出x=-1.y=-1.从而可用列举法表示集合A．【解答】：解：据题意知.xy=1.又x∈Z.y∈Z.∴x=-1.y=-1.∴A={-1.1.0}．故答案为：{-1.1.0}．【点评】：考查列举法的定义.元素与集合的关系.以及集合元素的互异性．6.（填空题.3分）设集合A={x|x2+x-6=0}.B={x|mx+1=0}.则满足B⊆A的实数m的值所成集合为___ ．【正确答案】：[1]{0. 13 .- 12}【解析】：由B⊆A.可分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论.根据集合包含关系的判断和应用.分别求出满足条件的a值.并写成集合的形式即可得到答案．【解答】：解：∵A={x|x2+x-6=0}={-3.2}又∵B⊆A当m=0.mx+1=0无解.故B=∅.满足条件若B≠∅.则B={-3}.或B={2}.即m= 13 .或m=- 12故满足条件的实数m∈{0. 13 .- 12}故答案为{0. 13 .- 12}【点评】：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用.本题有两个易错点.一是忽B=∅的情况.二是忽略题目要求求满足条件的实数a的取值集合.而把答案没用集合形式表示．7.（填空题.3分）已知A.B均为集合U={1.3.5.7.9}的子集.且A∩B={3}.（∁U B）∩A={9}.则A=___ ．【正确答案】：[1]{3.9}【解析】：由韦恩图可知.集合A=（A∩B）∪（C U B∩A）.直接写出结果即可．【解答】：解：因为A∩B={3}.所以3∈A.又因为C U B∩A={9}.所以9∈A.本题也可以用Venn图的方法帮助理解．故答案为：{3.9}．【点评】：本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算.考查了同学们借助于Venn 图解决集合问题的能力．8.（填空题.3分）建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中.高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人：两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人.则此班的人数为___ ．【正确答案】：[1]40【解析】：由card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.然后根据集合的运算求解即可．【解答】：解：设U={x|x是建平中学高一某班学生}.A={x|x是该班参加大舞台的学生}.B={x|x是该班参加风情秀的学生}．设该班两个节目都参加的人数为x.只参加风情秀的人数为y．由题可知.(x+7+y+3+x+y)由图可知. x+y=38∴x+y=15.∴该班总人数为40人．故答案为：40．【点评】：本题主要考查Venn图的应用及集合的基本运算.利用图象先确定集合关系是解决本题的关键.比较基础．9.（填空题.3分）已知集合A={1.2.3}.B={E|E⊆A}.令|E|表示数集E中所有元素的和.对集合B 中所有元素均求|E|.则这些|E|的值的和为___ ．【正确答案】：[1]24【解析】：由题意可得.B={E|E⊆A}={∅.{1}.{2}.{3}.{1.2}.{1.3}.{2.3}.{1.2.3}}.即可求解．【解答】：解：由题意可得.B={E|E⊆A}={∅.{1}.{2}.{3}.{1.2}.{1.3}.{2.3}.{1.2.3}}.∴对集合B中所有元素均求|E|.可得|E|的值的和1+2+3+（1+2）+（1+3）+（2+3）+（1+2+3）=24．故答案为：24．【点评】：本题主要考查了集合包含关系的简单应用.属于基础试题．10.（单选题.3分）若“不积跬步.无以至千里”是真命题.则下面的命题一定是真命题的是（）A.积硅步一定可以至千里B.不积跬步也可能至千里C.要想至千里一定要积硅步D.不想至千里就不用积硅步【正确答案】：C【解析】：根据命题与逆否命题真假性相同.由原命题得到其逆否命题即为真命题．【解答】：解：原命题的逆否命题为：若至千里.则积硅步.故C正确.故选：C．【点评】：本题考查了四种命题及其真假性的关系.主要考查了互为逆否命题的两命题真假性相同.属于基础题．11.（单选题.3分）若U为全集.A、B为非空集合.下面四个命题：（1）A∩B=A；（2）A∪B=B；（3）A∩∁U B=∅；（4）∁U A∪B=U．其中与命题A⊆B等价的命题个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：D【解析】：利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论．【解答】：解：U为全集.A、B为非空集合.下面四个命题：（1）A∩B=A⇔A⊆B；（2）A∪B=B⇔A⊆B；（3）A∩∁U B=∅.∀x∈A.则x∉∁U B.∴x∈B.∴A∩∁U B=∅⇔A⊆B；（4）∁U A∪B=U.∀x∈A.则x∉∁U A.∴x∈B.∴∁U A∪B=U⇔A⊆B．其中与命题A⊆B等价的命题个数有4．故选：D．【点评】：本题考查了集合的运算性质、集合之间的关系、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．12.（单选题.3分）A={x|x=2k.k∈Z}.B={x|x=2k+1.k∈Z}.C={x|x=4k+1.k∈Z}.又a∈A.b∈B.则（）A.a+b∈AB.a+b∈BC.a+b∈CD.a+b∈A.B.C中的任一个【正确答案】：B【解析】：利用集合元素和集合之间的关系.表示出a.b.然后进行判断即可．【解答】：解：∵a∈A.b∈B.∴设a=2k1.k1∈Z.b=2k2+1.k2∈Z.则a+b=2k1+2k2+1=2（k1+k2）+1∈B．故选：B．【点评】：本题主要考查集合元素和集合之间的关系的判断.比较基础．13.（问答题.0分）证明：“已知a、b∈R.若a2+2ab+b2+a+b-2≠0.则a+b≠1．”为真命题．【正确答案】：【解析】：原命题不好证明.利用逆否命题的等价性进行证明即可【解答】：证明：若a+b=1.则a2+2ab+b2+a+b-2=（a+b）2+（a+b）-2=1+1-2=0成立. ∴根据逆否命题的等价性可知：若a2+2ab+b2+a+b-2≠0.则a+b≠1．【点评】：本题主要考查命题的证明.利用原命题和逆否命题的等价性转换为证明逆否命题是解决本题的关键．14.（问答题.0分）已知全集为R.集合A={x|x＜a-1}.B={x|x＞a+2}.C={x|x≤1或x＞4}．若∁R （A∪B）∪C=C.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：根据集合并集运算.以及集合关系转化为∁R（A∪B）⊆C.建立不等式关系进行求解即可．【解答】：解：∵A={x|x＜a-1}.B={x|x＞a+2}.∴A∪B={x|x＜a-1或x＞a+2}.则∁R（A∪B）={x|a-1≤x≤a+2}.∵∁R（A∪B）∪C=C.∴∁R（A∪B）⊆C.则a+2≤1或a-1＞4.得a≤-1.或a＞5.即实数a的取值范围是a≤-1.或a＞5．【点评】：本题主要考查集合的基本运算.结合集合的基本运算转化为集合关系是解决本题的关键．15.（问答题.0分）已知命题p：关于x的不等式mx-1≥0的解集为A.且2∈A；命题q：关于x 的方程x2-2x+m=0有两个不相等的正实数根．（1）若命题p为真命题.求实数m的范围；（2）若命题P和命题q中至少有一个是假命题.求实数m的范围．【正确答案】：【解析】：命题p ：关于x 的不等式mx-1≥0的解集为A.且2∈A .可得2m-1≥0.解得m 范围；命题q ：关于x 的方程x 2-2x+m=0有两个不相等的正实数根.可得 {f (0)＞0f (1)＜0.解得m 范围． （1）由命题p 为真命题.即可得出实数m 的范围．（2）由命题P 和命题q 中都是真命题.解得m 范围．进而得出当命题P 和命题q 中至少有一个是假命题时的实数m 的范围．【解答】：解：命题p ：关于x 的不等式mx-1≥0的解集为A.且2∈A .则2m-1≥0.解得m ≥12 ； 命题q ：关于x 的方程x 2-2x+m=0有两个不相等的正实数根.则 {f (0)＞0f (1)＜0 .解得0＜m ＜1． （1）由命题p 为真命题.∴实数m 的范围是 [12，+∞) ；（2）由命题P 和命题q 中都是真命题.则 {m ≥120＜m ＜1.解得 12≤ m ＜1． 可得：命题P 和命题q 中至少有一个是假命题.则m ＜12 .或m≥1．∴实数m 的范围是m ＜12 .或m≥1．【点评】：本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．16.（问答题.0分）称正整数集合 A={a 1.a 2.….a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n .n≥2）具有性质 P ：如果对任意的i.j （1≤i≤j≤n ）.a i a j 与 aj a i 两数中至少有一个属于 A ． （1）分别判断集合{1.3.6}与{1.3.4.12}是否具有性质 P ；（2）设正整数集合 A={a 1.a 2.….a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n .n≥2）具有性质 P ．证明：对任意1≤i≤n （i∈N *）.a i 都是a n 的因数；（3）求a n =30时n 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据性质P ；对任意的i.j （1≤i≤j≤n ）.a i a j 与 a ja i 两数中至少有一个属于A.验证给的集合集{1.3.6}与{1.3.4.12}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（2）运用反证法.结合A 具有性质P.即可得证；（3）运用30的质因数分解.结合性质P.即可得到n 的最大值．【解答】：解：（1）由于3×6与 63 均不属于数集{1.3.6}.∴数集{1.3.6} 不具有性质P ； 由于1×3.1×4.1×12.3×4. 123 . 124 都属于数集{1.3.4.12}.∴数集{1.3.4.12} 具有性质P ．（2）证明：设正整数集合 A={a 1.a 2.….a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n .n≥2）具有性质 P ．即有对任意的i.j （1≤i≤j≤n ）.a i a j 与 a j a i 两数中至少有一个属于A ． 运用反证法证明．假设存在一个数a i 不是a n 的因数.即有a i a n 与 a i a n 或 an a i .都不属于A.这与条件A 具有性质P 矛盾． 故假设不成立．则对任意1≤i≤n （i∈N *）.a i 都是a n 的因数；（3）由（2）可知.a i 均为a n =30的因数.由于30=2×15=3×10=5×6.且对任意的i.j （1≤i≤j≤n ）.a i a j 与 aj a i 两数中至少有一个属于 A ． 由于A 中的最大数为30.最小数为1.若有2.必须含有15；若有3.必须含有10；若有5.必须含有6；不可能同时含有10.15或6.10.或6.15.或6.10.15.若A 中的元素含有5个.则与性质P 矛盾．即有n 的最大值为4．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查推理能力.以及反证法的运用.组合知识的运用.属于中档题．。
2019年上海市建平中学高一数学期末试卷一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）1.已知集合{}1,2,3A =，{}|2B y y x x A ==∈，，则B =．【答案】{}2,4,62.写出命题“若22am bm <，则a b <”的否命题．【答案】若22am bm ≥，则a b≥3.已知关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是1(,2)(,)2∞-+∞ --，则b c +的值为．【答案】724.设函数()f x 的图象关于原点对称，且存在反函数1()f x -．若已知()4=2f ，则1(2)f --=．【答案】4-5.已知幂函数()f x 的部分对应值如下表：x112()f x 122则不等式(||)2f x 的解集是．【答案】[]4,4-6.函数2()ln 32f x x x =--的值域是．【答案】(,ln 2]-∞7.已知当0x >时，函数1()(21)(0,)2xf x a a a =->≠的值总大于1，则函数22x x y a -=的单调增区间是．【答案】(,1]-∞8.乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y （元/吨）与采购量x （吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点)C ．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为吨时，老陈在这次买卖中所获的利润W 最大．【答案】239.已知a R ∈且11a>，则关于x 的不等式2log (57)0a x x -+>的解集为．【答案】2,3（）10.已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3,4,5,6A =，值域为{}7,8,9B =，且对任意的x y <，恒有()()f x f y ，则满足条件的不同函数共有个．【答案】1011.若不等式25|6|x xt <--对于1[,2]2x ∈恒成立，则实数t 的取值范围是．【答案】57,22（）12.设,,a b c 是三个正实数，且2bc a b c a ++=，则393a b c+的最大值为．【答案】3二．选择题（共4小题，满分16分，每小题4分）13.设{}21,M x x a a N *==+∈，{}245,P y y b b b N *==-+∈，*}b N ∈，则下列关系正确的是().A ．M P =B ．M PÜC ．P M ÜD ．M 与P 没有公共元素【答案】B 14.函数()3210y x x =-≤的反函数是().A ．()3(1)1y x x =+≥-B ．()3(1)1y x x =-+≥-C ．()3(1)0y x x =+≥D ．()3(1)0y x x =-+≥【答案】B15.设函数()f x 的定义域为R ，有下列四个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若对任意R ∈x ，有()(2)20f x f x +-+=，则()f x 图像是中心对称图形，且对称中心为()1,1-；（3）若对任意R ∈x ，有(1)(3)0f x f x ---=，则()f x 图像是轴对称图形，且对称轴为1x =；（4）已知(2)y f x =-是R 上的奇函数，则()(4)0f x f x +-=.这些命题中，真命题的个数是().A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A16.已知()f x 为奇函数，当[]0,1x ∈时，1()122f x x =--，当(],1x ∈-∞-，1()1x f x e --=-，若关于x 的不等式()()f x m f x +>有解，则实数m 的取值范围为().A ．(1,0)(0,)-+∞ B ．(2,0)(0,)-+∞ C ．1(ln 2,1)(0,)2---+∞ D ．1(ln 2,0)(0,)2--+∞ 【答案】D【分析】根据函数的奇偶性求出函数()f x 的解析式，然后作出函数的图象，对m 进行分类讨论进行求解即可．【解答】解：若[1x ∈-，0]，则[0x -∈，1]，则11()12||12||22f x x x -=---=-+，()f x 是奇函数，1()12||()2f x x f x ∴-=-+=-，则1()2||12f x x =+-，[1x ∈-，0]，若[1x ∈，)+∞，则(x -∈-∞，1]-，则1()1()x f x e f x -+-=-=-，则1()1x f x e -+=-，[1x ∈，)+∞，作出函数()f x 的图象如图：当0m >时，()f x m +的图象向左平移，此时()()f x m f x +>有解，满足条件．当0m <时，()f x m +的图象向右平移，当()f x m +的图象与()f x 在1x >相切时，1()x f x e -'=，此时对应直线斜率2k =，由12x e -=，即12x ln -=，得21x ln =+．此时121111211x ln y e e -+-=-=-=-=，即切点坐标为(12,1)ln +，设直线方程为2()y x a =-此时12(12)ln a =+-，即1122ln a =+-，得122a ln =+，1022m ln <-<+，得1202ln m --<<，综上1202ln m --<<或0m >综上m 的取值范围是1(22ln --，0)(0⋃，)+∞，故选：D ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求出函数的解析式以及利用数形结三．解答题（共5小题，满分48分）17．（7分）解下列方程：（1）2122xx -=．【答案】1x =-【解析】2122.xx -= 2 1.x x ∴=- 1.x ∴=-（2）239(log )log (3)2x x +=．解：令3log .t x =∴原等式为2112.22t t ++=∴223(23)(1)0.t t t t +-=+-=32t ∴=-或 1.t =39x ∴=或 3.x =18．（8分）设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数2()11g x x =--的定义域为集合N .求：（1）集合M ，R C N ；（2）集合N M ，()R C M N 。
建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________.2.不等式211x x +<-的解集是________.3.已知,a b R ∈，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.7.函数y =________.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是________．11.关于x 的不等式2315x x a a+--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______.12.已知x 、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x +≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是________.二.选择题13.对于集合M 、N ，若M NÜ，则下面集合的运算结果一定是空集的是（）A.U M NI ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂14.已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab < D.()0ac a c -<15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B ⋂为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B ⋃的元素个数最多为（）A.62B.66C.68D.74三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.18.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.19.若()f x x=+，()()02x g x x-=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，求实数m 的值.21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________.【答案】{}5,9【分析】根据补集的定义可得出集合U A ð.【详解】 全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，由补集的定义可得{}5,9U A ð=.故答案为{}5,9.【点睛】本题考查补集的计算，考查对补集定义的理解，属于基础题.2.不等式2101x x +<-的解集是________.【答案】112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】将分式不等式等价变形为()()2110x x +-<，解此不等式即可.【详解】不等式2101x x +<-等价于()()2110x x +-<，解得112x -<<，因此，不等式2101x x +<-的解集是112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故答案为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知,a b R ∈，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．【答案】若0a =或0b =，则0ab =【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【详解】由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：若0a =或0b =，则0ab =故答案为：若0a =或0b =，则0ab =.【点睛】本题主要考查四种命题的关系，掌握逆否命题的定义是解决本题的关键．4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.【答案】4-【分析】根据分段函数()y f x =的解析式可计算出()2f 的值.【详解】()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩ ，()2224f ∴=-=-.故答案为4-.【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要根据自变量所满足的定义域选择合适的解析式来进行计算，考查计算能力，属于基础题.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________.【答案】()5,+∞【分析】根据充分非必要条件关系得出()(),5,a +∞+∞Ü，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 “x a >”是“5x >”的充分非必要条件，()(),5,a ∴+∞+∞Ü，则5a >.因此，实数a 的取值范围是()5,+∞.故答案为()5,+∞.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，一般转化为集合包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.【答案】8【分析】直接利用基本不等式可求出4x y +的最小值.【详解】由基本不等式可得48x y +≥==，当且仅当4y x =时，等号成立.因此，4x y +的最小值为8.故答案为8.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，也要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.7.函数y =________.【答案】()2,∞+【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零，列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数的定义域.【详解】由题意可得2102520x x x -≥⎧⎨-+>⎩，解得2x >.因此，函数y =的定义域是()2,∞+.故答案为()2,∞+.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列不等式组进行求解，考查计算能力，属于基础题.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.【答案】()()3,13,-+∞ 【分析】分0x ≥与0x <两种情况解不等式()3f x >，得出不等式的解集与定义域取交集，然后将两段解集取并集可得出()3f x >的解集.【详解】当0x ≥时，由()3f x >，得2463x x -+>，即2430x x -+>，解得1x <或3x >，此时，01x ≤<或3x >；当0x <时，由()3f x >，得63x +>，解得3x >-，此时，30x -<<.综上所述，不等式()3f x >的解集是()()3,13,-+∞ .故答案为()()3,13,-+∞ .【点睛】本题考查分段不等式的求解，解题时要注意对自变量的取值范围进行分类讨论，在得出不等式的解集后要注意与定义域取交集，考查运算求解能力，属于中等题.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知，对任意的x R ∈，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立，然后分0m =和0m >⎧⎨∆≤⎩两种情况分析，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】由题意可知，对任意的x R ∈，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立.①当0m =时，则有240x +≥，该不等式在R 上不恒成立；②当0m >时，由于不等式()221940mx m x m ++++≥在R 上恒成立，则()()()224149448210m m m m m ∆=+-+=⨯--+≤，即28210m m +-≥，解得12m ≤-或14m ≥，此时，14m ≥.因此，实数m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数，解题的关键就是将问题转化二次不等式在R 上恒成立问题，利用首项系数和判别式的符号来进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】4a >-【分析】根据A B ⋂=∅可知，A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根，由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论．①当A ≠∅时，A 中的元素为非正数，A B ⋂=∅，即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解，所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥；②当A =∅时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<．综上所述，实数a 的取值范围是4a >-．故答案为：4a >-【点睛】当A B ⋂=∅时，包含A ≠∅和A =∅两种情况，A =∅容易被忽略.11.关于x 的不等式2315x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______.【答案】(][),14,-∞+∞ 【分析】由题意知，存在x R ∈，使得2315x x a a +--≤-，然后利用绝对值三角不等式求出31x x +--的最小值4-，将问题转化为解不等式254a a -≥-，解出即可.【详解】由题意知，存在x R ∈，使得2315x x a a +--≤-，则()2min531a a x x -≥+--.由绝对值三角不等式得()()31314x x x x +--≤+--=，4314x x ∴-≤+--≤，()2min 5314a a x x ∴-≥+--=-，即2540a a -+≥，解得1a ≤或4a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞ .故答案为(][),14,-∞+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式成立问题，一般转化为绝对值不等式的最值问题，可利用绝对值三角不等式来得到，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.12.已知x、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x+≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是________.【答案】9+【分析】利用两个基本不等式等号成立的条件得出x 、y 的表达式，代入21x y +=可求出实数a 的值.【详解】由基本不等式得1axx +≥()10,0ax x a x =>>时，即当x =.由基本不等式得42ay y +≥，当且仅当()420,0ay y a y =>>时，即当y=时，等号成立.此时，21x y+==1=+所以，(219a =+=+.故答案为9+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件，求出对应的变量后，还应将变量代入定值条件求出参数，考查运算求解能力，属于中等题.二.选择题13.对于集合M 、N ，若M N Ü，则下面集合的运算结果一定是空集的是（）A.U M N I ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂【答案】A【分析】作出韦恩图，利用韦恩图来判断出各选项集合运算的结果是否为空集.【详解】作出韦恩图如下图所示：如上图所示，U M N =∅I ð，U M N ≠∅I ð，U UM N ≠∅I 痧，M N M =≠∅I .故选A.【点睛】本题考查集合的运算，在解题时可以充分利用韦恩图法来表示，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14.已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab <D.()0ac a c -<【答案】C【分析】由已知可得0a >，0c <，再由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，对于A ，0a >，0b c ->，所以()0ab ac a b c -=->，所以ab ac >，故A 正确；对于B ，()0c b a ->，故B 正确；对于C ，当0b =时，22cb ab =，故C 错误；对于D ，0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<，故D 正确．故选：C ．15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件【答案】A【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<.解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆ ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.故选A【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B ⋂为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B ⋃的元素个数最多为（）A.62 B.66C.68D.74【答案】B【分析】令22100n +≤，解得49n ≤，从A 中去掉形如22n +的数，此时A 中有26个元素，注意A 中还可含以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故A 中元素最多时，A 中共有33个元素，由此可得出结论.【详解】令22100n +≤，解得49n ≤，所以，集合A 是集合{}1,2,3,,49L 的一个非空子集.再由A B ⋂=∅，先从A 中去掉形如()22n n N *+∈的数，由2249n +≤，可得23n ≤，492326-=，此时，A 中有26个元素.由于集合A 中已经去掉了4、6、8、12、16、20、22这7个数，而它们对应的形如22n +的数分别为10、14、18、26、32、42、46，并且10、14、18、26、32、42、46对应的形如22n +的数都在集合B 中.故集合A 中还可有以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故集合A 中元素最多时，集合A 中共有33个元素，对应的集合B 也有33个元素，因此，A B ⋃中共有66个元素.故选B.【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.【答案】[)(]1,24,5U 【分析】分别解出两个不等式，然后将两个不等式的解集取交集即可得出不等式组的解集.【详解】解不等式31x ->，即31x -<-或31x ->，解得2x <或>4x .解不等式()()150x x --≥，即()()150x x --≤，解得15x ≤≤.因此，不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩的解集为[)(]1,24,5U .【点睛】本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.18.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.【答案】证明见解析.【分析】将不等式两边做差，变形为多个因式的积或商的形式，判断每个因式的正负即可.【详解】2233()()b a a b a b ab a b a b ab ⎛⎫+-++-+= ⎪⎝⎭()222()()()a b a ab b ab a b a b ab ab+-+-+-==.0a > ，0b >，0a b +>2()()0a b a b ab+-∴≥，22()0b a a b a b ⎛⎫∴+-+≥ ⎪⎝⎭∴原式得证.19.若()f x x=+，()()02x g x x -=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标.【答案】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()g x 的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()F x 的定义域是()()0,22,+∞U ，()F x 的值域是[)2,∞+；（3）图象见解析.【分析】（1）根据函数解析式有意义列不等式组，由此可得出函数()y f x =和()y g x =的定义域；（2）将函数()y f x =和()y g x =的定义域取交集可得出函数()y F x =的定义域，并求出函数()y F x =的解析式，利用基本不等式可得出函数()y F x =的值域；（3）根据双勾函数的图象可得出函数()y F x =在其定义域上的图象.【详解】（1）对于函数()f x x =+0x >，则函数()f x x =+的定义域为()0,∞+.对于函数()()02x g x x --=，有2000x x x -≠⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，解得0x >且2x ≠，所以，函数()()02x g x x -=的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()()()11x x F x f x g x x x x x x-=+=++=+Q ，定义域为()()0,22,+∞U .由基本不等式可得()12F x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立.因此，函数()y F x =的值域为[)2,∞+；（3）函数()1F x x x=+，()()0,22,x ∈+∞U为双勾函数图象的一部分，如下图所示：【点睛】本题考查函数的定义域与值域的求解，同时也涉及到了函数图象的画法，解题时要熟悉几种常见的函数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，求实数m 的值.【答案】（1）2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）0m =或1m =.【分析】（1）解出集合{}1,1A =-，分集合{}1B =-、{}1、{}1,1-三种情况讨论，结合韦达定理可得出实数a 、b 的值；（2）由A C ⊆可得出211m +=或21m =，并利用集合C 中的元素满足互异性得出实数m 的值.【详解】（1）{}{}2101,1A x x =-==- ，B A ⊆ ，且B ≠∅，分以下三种情况讨论：①当{}1B =-时，由韦达定理得()212211a b =-⨯=-⎧⎪⎨=-=⎪⎩；②当{}1B =时，由韦达定理得212211a b =⨯=⎧⎨==⎩；③当{}1,1B =-时，由韦达定理得()()110111a b ⎧=+-=⎪⎨=⨯-=-⎪⎩.综上所述，2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）A C ⊆ ，且{}21,21,C m m =-+，211m ∴+=或21m =，解得0m =或1m =±.当0m =时，{}1,1,0C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意；当1m =-时，211m +=-，集合C 中的元素不满足互异性，舍去；当1m =时，{}1,3,1C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意.综上所述，0m =或1m =.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要注意有限集中的元素要满足互异性，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【答案】(1)见解析（2）即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5.(3)不存在满足条件的A m 、B m 的值【详解】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分．(1)当35A B m m =时，h ==甲h ==乙,h 甲=h 乙（2）当35A B m m =时，h =甲由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，故当1120B m =即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105．（3）（方法一）由（2）知：0h=5由05h h ≥=甲得：12552A B A B m m m m ++⋅≤，令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤．同理，由得：5(1)(14)2x y ++≤另一方面，1[,1]4x y ∈、51414[2,5],11[,2],2x y x y 、、++∈++∈55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当14x y ==，即A m =B m 时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期中数学试卷一'选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.“/〈I”是“xvl”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2.若a>b,则下列不等式中正确的是()A.a2 >b2B.->|C. ac2>be2D.a3 >b3a b3.集合P=(x|y=Vx+1)»集合Q={y\y=Vx-1).则P与Q的关系是()A.P=QB.P^QC.P^QD. FCQ=04.己知集合为={0,123},B={x|x2_x=o),则集合A C\B的子集个数为()A.2B.4C.6D. 8二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5.设全集U=(-1,2.4}.集合4={一1,4},则C b4=.6.不等式刍VI的解集为.7.已知={x\x2 =1).B={x\ax=1),若B d则实数“的值为.8.用列举法表示集合M=(m|-^eN.mEZ)=:9.若关于a的不等式ax2+6x-a2<0的解集是(-cx>,l)U(rn,+co).则实数m.10.命题“若x<1,则/<1”的逆否命题为.1L集合4={(x,y)|x-y=0},B=((x,y)|2x-3y+4=0).则AnB=.12.“a=O”是“函数/•(x)=x3+ax2(x€R)为奇函数”的条件.13.已知集={x\x z=1),B=(x|ax=1),B=A,则实数a=.14.己知集^A={a+2016,fl2-2015a+2016,2015).且2016E4,则实数“的取值集合为15.已知正实数满足2x+y=l，则土+上的最小值为・16.在A上定义运算“*”：x*y=x(l—y).若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意的；v恒成立，则实数〃的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)17.已知x,yER,且|x|Vl,|y|<1.求证：土+&2亡>18.已知集合A=(x\y=1B={x\x—5<0).⑴知n B；(2)若全集u=R,求(GM)nB,(C")U(C〃B)：19.已知函数/•(x)=|2x+a|+x・(1)若q=2,解不等式/(x)V2:(2)若FER, /(%-«)</(%)+a2"是直命题，求实数“的取值范围.20.已知集合A={x|l V2x-1V7},集合5=(x|x2-2%-3<0).⑴求"B；(2)求C R(AUB).21.己知集合4={4,尸+4。
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案时量：120分钟 分值：150分 命题：陈斌 审题：陈亮一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合A={-1,0,1},B={x ︱-1≤x ＜1},则A ∩B= ( ) （A ）{0} （B ）{0，-1} （C ）{0，1} （D ）{0，1，-1}2．函数y=1212+-x x 是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数3．下列关系中正确的是（ ）（A ）7log 6＜1ln2 ＜ 3log π（B ）3log π＜1ln 2＜7log 6 （C ）1ln 2＜7log 6 ＜ 3log π （D ）1ln 2＜ 3log π＜7log 64．设lg 2a =，lg3b =，则5log 12=( ) （A ）21a b a ++ （B ）21a b a ++ （C ）21a ba+- （D ）21a ba+- 5．下列哪组中的两个函数是同一函数 （ ）A f(x)=x-1，2()1x g x x=-B 24(),()f x x g x == C2(),()f x x g x ==D 0()1,()f x g x x ==6．函数()f x =212log (32)x x -+的递减区间为（ ）A 、3(,)2-∞B 、 (1,2)C 、3(,)2+∞ D 、(2,)+∞ 7.下列函数中，不能用二分法求零点的是 （ ）A 31y x =+B 21y x =- C 2log (1)y x =- D 2(1)y x =- 8．若函数2(22)my m m x =+-为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为（ ）A 1B -3C -1D 39．设函数332,0,()1log ,0.2x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨〉⎪⎩若f(m )＞1,则m 的取值范围是（ ）A (,1)-∞-B (9,)+∞C (,1)(9,)-∞-⋃+∞D (,1)(6,)-∞-⋃+∞ 10．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线x=-2对称，则a,b 的值分别为( ) A 8,15 B 15,8 C 3,4 D -3,-4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知函数f(x)是奇函数，且当x ＞0时，f(x)= 21x x+，则f(-1)= 。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）9月月考数学试卷一、填空题1. 已知{2, 3, 5}⊆A⫋{2, 3, 5, 7, 11, 13}，那么满足条件的集合A 的个数是________．2. 将集合A ∩C ∩∁U B 在图中用阴影部分表示出来．3. 命题“若a ＝1且b ＝2，则a +b <5．”的否命题是________．4. 已知A ＝{(x, y)|x +y −4＝0}B ＝{(x, y)|x +ay −1＝0}，若A ∩B ＝⌀，则实数a 的值为________．5. 设集合A ＝{x, xy, xy −1}其中x ∈Z ，y ∈Z 且y ≠0．若0∈A ，则用列举法表示集合A ＝________．6. 设集合A ＝{x|x 2+x −6＝0}，B ＝{x|mx +1＝0}，则满足B ⊆A 的实数m 的值所成集合为________13，−12} ．7. 已知A ，B 均为集合U ＝{1, 3, 5, 7, 9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B)∩A ＝{9}，则A ＝________．8. 建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如茶准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人：两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为________．9. 已知集合A ＝{1, 2, 3}，B ＝{E|E ⊆A}，令|E|表示数集E 中所有元素的和，对集合B 中所有元素均求|E|，则这些|E|的值的和为________．二.选择题若“不积硅步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（ ）A.不积硅步也可能至千里B.积硅步一定可以至千里C.不想至千里就不用积硅步D.要想至千里一定要积硅步若U为全集，A、B为非空集合，下面四个命题：A∩B＝A；（2）A∪B＝B；（3）A∩∁U B＝⌀；(4)∁U A∪B＝U．其中与命题A⊆B等价的命题个数有（）A.2个B.1个C.4个D.3个A={x|x=2k, k∈Z}，B={x|x=2k+1, k∈Z}，C={x|x=4k+1, k∈Z}，又a∈A，b∈B，则（）A.a+b∈BB.a+b∈AC.a+b∈CD.a+b∈A，B，C中的任一个三.解答题证明：“已知a、b∈R，若a2+2ab+b2+a+b−2≠0，则a+b≠1．”为真命题．已知全集为R，集合A＝{x|x<a−1, B＝{x|x>a+2}，C＝{x|x≤1或x>4}．若∁R(A∪B)∪C＝C，求实数a的取值范围．已知命题p：关于x的不等式mx−1≥0的解集为A，且2∈A；命题q：关于x的方程x2−2x+m＝0有两个不相等的正实数根．（1）若命题p为真命题，求实数m的范围；（2）若命题P和命题q中至少有一个是假命题，求实数m的范围．称正整数集合A＝{a1, a2, ..., a n}(1≤a1<a2<...<a n, n≥2)具有性质P：如果对两数中至少有一个属于A．任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a i a j与a ja i（1）分别判断集合{1, 3, 6}与{1, 3, 4, 12}是否具有性质P；（2）设正整数集合A＝{a1, a2, ..., a n}(1≤a1<a2<...<a n, n≥2)具有性质P．证明：对任意1≤i≤n(i∈N∗)，a i都是a n的因数；（3）求a n＝30时n的最大值．参考答案与试题解析2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）9月月考数学试卷一、填空题1.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二.选择题【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三.解答题【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题一、填空题（本答题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写结果.每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____． 2.函数lg(3)y x =-的定义域为_____． 3.命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是______． 4.函数y=1x+2的单调区间是_____． 5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ³时，()(1)f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________．6.已知符号函数sgn （x ）1,00,01,0x x x ì>ïï==íï-<ïî，则函数f （x ）=sgn （x ）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．7.函数3()log (81)x f x =+的值域为_______.8.已知a ＞0，b ＞0，则224442a ab b a b++++的最小值为_____．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x ∈R ﹣1≤x ≤5}，则（A ∪B ）∩C=_____ 10.若y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f （x ）＜f （2x ﹣2），则x 的取值范围_____．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ì?ï=í-??ïî，则()5f =_____．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r ，使得集合(){x,y }A r <?，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x ，y ） x 2+y 2=1}； ②{（x ，y ） x+y+2＞0}； ③{（x ，y ） x+y ≤6}； ④()(22{,|01}x y x y <+-< ．二、选择题：（本大题共4题，满分12分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分. 13.已知实数a b 、满足0ab >，则“11a b<成立”是“a b >成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14.已知函数()y f x =的定义域为[],a b ，(){}(){},|(),,|0x y y f x a x b x y x =＃?只有一个子集，则 （ ） A. 0ab > B. 0ab ³ C. 0ab < D. 0ab £ 15.设()f x 是定义在R 上的函数. ①若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x <成立，则函数()f x 在R 上单调递增； ②若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x £成立，则函数()f x 在R 上不可能单调递减；③若存在20x >对于任意1x R Î都有()()112f x f x x <+成立，则函数()f x 在R 上单调递减. 则以上真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 316.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A. y ＝[]10x B. y ＝3[]10x + C. y ＝4[]10x + D. y ＝5[]10x + 三、解答题：（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合{}2|0,,|22,3x A x x R B x x a x R x 禳-镲=>?-Ｎ睚镲-铪，若A B R ?，求实数a 的取值范围.18.已知关于x 的不等式210x ax -+?有解，求关于x 的不等式472ax x +>-的解.19.设函数()()20a x f x a x+=>． （1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数()()20a x f x a x+=>，)x ??上的单调性，并用单调性的定义证明．20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x 骣琪+琪桫升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．21.对于函数()()()212a 0f x ax b x b =+++-?（），若存在实数0x ,使 ()00 f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任意的实数,b 函数 ()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++ 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围.2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题一、填空题（本答题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写结果.每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____． 【答案】{﹣1，﹣2，2，0} 【解析】 【分析】由2a ∈{1，4，a}，得到2a =1或2a =4，或2a =a ，由此求出实数a 的取值，根据互异性验证后可得所求集合．【详解】∵实数a 满足：2a ∈{1，4，a }， ∴2a =1或2a =4，或2a =a ，解得a=﹣2或a=2或a=﹣1或a=1或a=0，当a=1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当a=﹣1，或a=±2，或a=0时，满足题意．∴实数a的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．【点睛】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，对得到的结果要进行验证，注意集合中元素性质的合理运用．2.函数lg(3)y x=-的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0和对数的真数大于0得到关于变量x的不等式组，解不等式组后可得定义域．【详解】由题意得2030xxì+?ïí->ïî，解得23x-?．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是构造关于自变量的的不等式（组），是基础题．3.命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.4.函数y=1x+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用反比例函数的单调性可求得答案． 【详解】由题意得函数1y 2x=+的定义域为()(),00,ゥ-?，又函数1y x =在(),0¥-和()0,¥+上单调递减， 所以函数1y 2x=+的单调减区间是(),0¥-和()0,¥+．故答案为：（-∞，0）和（0，+∞）．【点睛】本题考查函数单调区间的求法，属于基础题，熟练掌握常见基本函数的单调性是解题的基础，同时还应注意函数的单调区间不能并在一起．5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ³时，()(1)f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________． 【答案】(1)x x - 【解析】 设0x <，则0x ->由已知当0x ³时，()()1f x x x =+，\当0x ->时，可得()()1f x x x -=--()()()1f x f x x x \=--=-6.已知符号函数sgn （x ）1,00,01,0x x x ì>ïï==íï-<ïî，则函数f （x ）=sgn （x ）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．【答案】11,0,22禳镲-睚镲铪 【解析】 【分析】根据x 的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合．【详解】①当x ＞0时，函数f （x ）=sgn （x ）﹣2x =1﹣2x ，令1﹣2x=0，得x=12，即当x ＞0时，函数f （x ）的零点是12；②当x=0时，函数f （x ）=0，故函数f （x ）的零点是0； ③当x ＜0时，函数f （x ）=﹣1﹣2x ，令﹣1﹣2x=0，得x=12-， 即当x ＜0时，函数f （x ）的零点是12-． 综上可得函数f （x ）=sgn （x ）﹣x 的零点的集合为：11,0,22禳镲-睚镲铪． 故答案为：11,0,22禳镲-睚镲铪． 【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思想、分类讨论思想，是基础题． 7.函数3()log (81)x f x =+的值域为_______. 【答案】(0,)+? 【解析】由指数函数的性质可知：80,811x x >\+>， 据此可知：()()3log 810x f x =+>， 函数的值域为()0,+?.8.已知a ＞0，b ＞0，则224442a ab b a b++++的最小值为_____．【答案】4 【解析】 【分析】由题意构造出基本不等式的形式，然后根据基本不等式求解即可．【详解】由题意得222444(2)44(2)222a ab b a b a b a b a b a b+++++==+++++， ∵0,0a b >>，∴20a b +>，∴4(2)42a b a b ++?+，当且仅当422a b a b+=+，即22a b +=时等号成立． ∴224442a ab b a b++++的最小值为4．故答案为：4．【点睛】应用基本不等式求最值时，需要注意使用的条件，即“一正、二定、三相等”，若不满足此条件，则要通过“拼、凑”等方法进行变形，使得满足所需条件．本题考查“构造思想”与基本不等式的运用，属于基础题．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x ∈R ﹣1≤x ≤5}，则（A ∪B ）∩C=_____ 【答案】{1，2，4} 【解析】 【分析】根据并集与交集的定义计算即可． 【详解】∵A={1，2，6}，B={2，4}， ∴A ∪B={1，2，4，6}， 又C={x ﹣1≤x ≤5，x ∈R}， ∴（A ∪B ）∩C={1，2，4}． 故答案为：{1，2，4}．【点睛】本题考查交集与并集的运算，解题时根据集合运算的定义求解即可，是基础题． 10.若y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f （x ）＜f （2x ﹣2），则x 的取值范围_____． 【答案】（﹣∞，2） 【解析】 【分析】根据y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数可由f （x ）＜f （2x ﹣2）得到x ＞2x ﹣2，解不等式可得x 的取值范围．【详解】∵f （x ）＜f （2x ﹣2），且y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数， ∴x ＞2x ﹣2，解得x ＜2．∴x 的取值范围为（﹣∞，2）． 故答案为：（﹣∞，2）．【点睛】本题考查函数单调性的应用及一元一次不等式的解法，解题时注意转化思想方法的运用，属于简单题．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ì?ï=í-??ïî，则()5f =_____．【答案】1 【解析】 【分析】根据函数的解析式可推导出f （5）=f （3）=f （1），由此可得所求结果． 【详解】由题意得()()()()()2552332111f f f f f =-==-===． 故答案为：1．【点睛】本题考查求分段函数的函数值和运算求解能力，解题的关键是分清自变量所在的范围，然后代入求值，属于基础题．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r ，使得集合(){x,y }A r <?，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x ，y ） x 2+y 2=1}； ②{（x ，y ） x+y+2＞0}； ③{（x ，y ） x+y ≤6}； ④()(22{,|01}x y x y <+-< ．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】弄清开集的定义是解决本题的关键，解答本题时根据新定义进行计算后判断，即所选的集合需要满足：存在以该集合内任意点为圆心、以正实数为半径的圆，且圆的内部均在该集合内． 【详解】对于①，集合A={（x ，y ） x 2+y 2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x 0，y 0），以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足()B {x,y |}A r =?，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y） x+y+2＞0}，对于A中的任一点（x0，y0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足()B{x,y|}Ar=?，故②是开集．对于③，集合A={（x，y） x+y ≤6}，在曲线 x+y =6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足()B{x,y|}Ar=?，故该集合不是开集．对于④，集合A=()(22{,|01}x y x y<+-<表示以点(为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足()B{x,y|}Ar=?，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为：①③．【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的定义是解决本题的关键．二、选择题：（本大题共4题，满分12分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分.13.已知实数a b、满足0ab>，则“11a b<成立”是“a b>成立”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由11b aa b ab--=，0 ab>，\若11a b<成立,则0b a-<，即a b>成立，反之若a b>，0 ab>，11b aa b ab-\-=<，即11a b<成立，\“11a b<成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q qp 揶.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.14.已知函数()y f x =的定义域为[],a b ，(){}(){},|(),,|0x y y f x a x b x y x =＃?只有一个子集，则 （ ） A. 0ab > B. 0ab ³ C. 0ab < D. 0ab £ 【答案】A 【解析】空集是任何集合的子集,只有一个子集那只能是空集,所以()(){}(){},|,,|0x y y f x a x b x y x =＃?=Φ所以f(x)的定义域不包含x=0,所以,a 、b 同号,且均不为零,所以ab ＞0 故选：A点睛：本题主要考查了函数的定义，对定义域上的每个x ，有且只有一个y 值与其对应，若x 不在定义域上，当然就不存在y 值与其对应，此时()(){}(){},|,,|0x y y f x a x b x y x =＃?=Φ.15.设()f x 是定义在R 上的函数. ①若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x <成立，则函数()f x 在R 上单调递增； ②若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x £成立，则函数()f x 在R 上不可能单调递减；③若存在20x >对于任意1x R Î都有()()112f x f x x <+成立，则函数()f x 在R 上单调递减. 则以上真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B【分析】根据增函数和减函数的定义判断，注意关键的条件：“存在” 、“任意”以及对应的自变量和函数值的关系.【详解】对于①，“任意”1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x <成立，函数()f x 在R 上单调递增，故①不对；对于②，由减函数的定义知，必须有“任意”1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x >成立，即若存在12x x <，使()()12f x f x £成立，函数()f x 在R 上不可能单调递减，故②对；对于③，存在20x >对于任意1x R Î都有()()112f x f x x <+成立，则函数()f x 不在R 上单调递减，故③不对；即真命题的个数为1，故选B.【点睛】本题主要考查阅读能力以及对增函数与减函数定义的理解与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度和灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A. y ＝[]10x B. y ＝3[]10x + C. y ＝4[]10x + D. y ＝5[]10x + 【答案】B 【解析】 【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式． 【详解】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[310x +] 也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ；【点睛】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．三、解答题：（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合{}2|0,,|22,3x A x x R B x x a x R x 禳-镲=>?-Ｎ睚镲-铪，若A B R ?，求实数a 的取值范围.【答案】1,22轾犏犏臌【解析】 【分析】利用分式不等式的解法化简集合,A 利用绝对值不等式的解法化简集合B ，再由A B R ?,根据并集的定义直接求实数a 的取值范围. 【详解】集合{20,|23x A x x Rx x x 禳-镲=?<睚-镲铪或}3x >，{}{}|22,|2222B x x a x R x a xa =-Ｎ=-＃+， 若A B R ?，则222223a a ì-?ïí+?ïî，得122a ＃，所以实数a 的取值范围1,22轾犏犏臌.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 18.已知关于x 的不等式210x ax -+?有解，求关于x 的不等式472ax x +>-的解.【答案】见解析. 【解析】 【分析】由关于x 的不等式210x ax -+?有解，可知，240a D=-?,又由()47223ax x a x +>-?>,分20a +>或20a +=或20a +<三种情况，解出不等式的解即可得到结果. 【详解】由于关于x 的不等式210x ax -+?有解， 则240a D=-?，即2a ³或2a ?， 又由 472ax x +>-等价于()23a x +> , 则当2a ³时，20a +>，所以不等式472ax x +>-的解为32x a >+， 当2a =-时，不等式无解， 当2a <-时,20a +< ,所以不等式472ax x +>-的解为32x a <+. 【点睛】分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19.设函数()()20a x f x a x+=>． （1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数()()20a x f x a x+=>，)x ??上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）奇函数；（2）单调递增，证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由函数可得函数的定义域关于原点对称，再化简得()()f x f x -=-，即可判定函数的奇偶性；（2）利用函数的单调性的定义，即可证明函数()y f x =在)+?上的单调递增．试题解析：（1）()f x 的定义域()(),00,-ト+?，()()()22a x a x f x f x xx+-+-==-=-- ()f x \为奇函数；（2）函数()y f x =在)+?上的单调递增，证明：()()20a x f x a x+=>，)x ??，任取)12,x x ??，且12x x <则()()()1212121a f x f x x x x x 骣琪-=--琪桫)12,Qx x ??，且12x x <，120x x -<，1210ax x ->，则()()120f x f x -<， 即()()12f x f x >\函数()y f x =在)+?上的单调递增．考点：函数的性质的判定与证明．【方法点晴】本题主要考查了函数的性质的判定与证明，其中解答中涉及到函数奇偶性的判定与证明，函数的单调性的判定与证明，函数单调性的定义等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中熟记函数的奇偶性和单调性的判定方法是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x 骣琪+琪桫升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【答案】（1）y ＝21201202(2)12360x x x创++?，x ∈[50,100]．（2）当x＝总费用最低，最低费用为 【解析】试题分析：（1）由行车所以时间130t x=小时，即可列出行车总费用y 关于x 的表达式；（2）由（1）知，利用基本不等式求解最值，即可求解结论． 试题解析：（1）行车所以时间130t x=小时， ∴[]()21301413023401322,50,10036018x y x x x x x 骣´琪=创++=+?琪桫；．．．．．．．．．．．6分 （2）23401318y x x =+?23401318x x =，即x =所以当x =．．．．．．．．．．．．12分 考点：函数的解析式；基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了实际问题的应用，其中解答中涉及到函数的解析式、基本不等式的求最值及其应用等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，此类问题的解答中准确审题，根据题设条件，列出关系式是解答的关键．21.对于函数()()()212a 0f x ax b x b =+++-?（），若存在实数0x ,使 ()00 f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任意的实数,b 函数 ()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++ 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围.【答案】（1）1,2-；（2）02a <<；（3）4÷ê-÷ê滕. 【解析】 【分析】(1)设x 为不动点，则有224x x x --=,变形为22240x x --=,解方程即可；(2)将()f x x =转化为220ax bx b ++-=，由已知，此方程有相异二实根，则有0x D >恒成立，可得()2420b a b -->，由0b D <可得结果；(3)由垂直平分线的定义解答，由,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点,则有1AB k = ,再由直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，得到1k =-，再由中点在直线上2121y kx a =++可得211212a b a a a=-=-++利用基本不等式求解即可.【详解】()()2120ax b x b a +++-?， （1）当2,2a b ==-时，()224f x x x =--， 设x 为其不动点，即224x x x --=, 则2122240,1,2x x x x --==-=, 即()f x 的不动点是1,2-.(2)由()f x x =得220ax bx b ++-=，由已知，此方程有相异二实根，则有0x D >恒成立即()2420b a b -->，即2480b ab a -+>对任意b R Î恒成立，20,16320b a a \D <\-<，02a \<<.(3)设()()1122,,,A x x B x x ， 直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，1k \=-，记AB 的中点()00,M x x ，由（2）知02bx a=-， M 在2121y kx a =++上，212221b b a a a \-=++，化简得2112142a b a a a=-=-?=-++（当a =时，等号成立）即0b >?4÷ê-÷ê滕. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、直线的方程以及利用基本不等式求最值与新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
建平中学高三期中数学卷2019.11一. 填空题1. 设函数()f x A ，R 为全体实数集，则A =R ð2. 若复数1z ，2z 满足112i z =+，234i z =+（i 是虚数单位），则12||z z ⋅=3. 在二项式51)x 的展开式中，展开式的系数和为4. 双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340y x -=， 那么双曲线的方程 是5. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim1n n S n →∞=+ 6. 已知函数34()log (2)f xx =+，则方程1()4f x -=的解x =7. 行列式sin 4cos 35x x 的最大值为 8. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为9. 某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为10. 已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 11. 已知a r 、b r 、2c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r ，则|4|2|32|a c a b c +++-r r r r r 的最小值是12. 已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤， 则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的 取值范围是二. 选择题13. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（ ）A. 0B. 2π C. π D. 2π 14. 设x ∈R ， 则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15. 已知椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[0,2)θπ∈，则该椭圆的焦点坐标为（ ）A. (0,B. (2,0)±C. (D. (1,0)±16. 数列{}n a 为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是41a =，51a =，62a =，74a =，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此继续，则2019a =（ ）A. 16B. 4C. 2D. 1三. 解答题17. 如图，在Rt △ABC 中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点，现将Rt △ABC以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=. （1）求该圆锥的全面积（即表面积）；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥.19. 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60150m <<，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20. 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，左顶点为(4,0)A -，经过点(2,3)，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，(3,0)Q -，证明：对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥恒成立；（3）若过点作直线的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||AD AE OM +的最小值.21. 设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将两个数列的偏差距离定义为[{},{}]n n M a b ，其中1122[{},{}]||||||n n m m M a b a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；（2）设A 为满足递推关系+11+=1n n na a a -的所有数列{}n a 的集合，{}nb 和{}nc 为A 中的两个 元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的偏差距离小于2020，求m 最大值；（3）记S 是所有8项数列{|18,0n n a n a ≤≤=或1}的集合，T S ⊆，且T 中任何两个元素的偏差距离大于或等于4，证明：T 中的元素个数小于或等于16.参考答案一. 填空题1. {|11}x x -<<2.3. 324. 221916x y -= 5. 2 6. 1 7. 5 8.439.427 10. 1 11. 12. 21(0,]2019二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）12π；（2）. 18.（1）12-；（2）[2,2]26k k ππππ-+，k ∈Z . 19.（1）(100)(2)20,00.6(1002)(2)20,0.6x m x x x m y x m x x m x m +--<≤⎧=⎨+--<≤⎩；（2）30m -.20.（1）2211612x y +=；（2）证明略；（3）21.（1）6；（2）3461；（3）证明略.。
上海建平中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学卷一、填空题1．（5分）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|x ≥0}，则A ∩B= ． 2．（5分）函数f （x ）=log 2（x ﹣1）的定义域为 ． 3．（5分）当x ＞0时，函数f （x ）=x+x ﹣1的值域为 ．4．（5分）“x ＞1”是“x ＞a ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ． 5．（5分）若函数f （x ）是奇函数，且x ＜0时，f （x ）=x ﹣2，则f ﹣1（3）= ． 6．（5分）已知集合A={x|x 2﹣3x+2≤0，x ∈Z}，B={t|at ﹣1=0}，若A ∪B=A ，则实数a 的取值集合为 ．7．（5分）已知函数f （x ）=lg （ax 2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a 的取值集合为 ． 8．（5分）已知不等式≤1的解集为A ，若1∉A ，则实数a 的取值范围是 ．9．（5分）设函数f （x ）=ln （1+|x|）﹣，若f （a ）＞f （2a ﹣1），则实数a 的取值范围是 ．10．（5分）若集合A={x|x 2+4x+a=0}，集合B={t|函数f （x ）=4x 2﹣8x+t （4﹣t ）至多有一个零点}，则A ∪B 的元素之和的函数关系式f （a ）= ． 11．（5分）当m ＞0时，方程（mx ﹣1）2﹣=m 在x ∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m 的取值范围是 ． 12．（5分）已知函数f （x ）=，记函数g （x ）=f （x ）﹣t ，若存在实数t ，使得函数g （x ）有四个零点，则实数a 的取值范围是 ．二、选择题13.关于的二元一次方程组，其中行列式为（ ）A ．B ．C ．D ． 14.“要使函数成立，只要不在区间内就可以了”等价于（ ）x y 、50234x y x y +=⎧⎨+=⎩x D 0543-102405430543-()0f x ≥x [],a bA.如果，则B.如果，则C.如果，则D.如果，则15.参数方程 （为参数）所表示的函数是（ ） A.图像关于原点对称 B.图像关于直线对称C.周期为的周期函数D.周期为的周期函数 16.已知椭圆，直线，点，直线交椭圆于两点，则的值为( ) A ．B ．C ．D ． 三、解答题17.如图，在长方体中，.（1）证明直线平行于平面； （2）求直线到平面的距离.18.的内角的对边分别为，已知的面积为.（1）求；（2）若，求的周长19. （1）请根据对数函数来指出函数的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍増”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：；（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为，而根据有()0f x ≥[],x a b ∉[],x a b ∈()0f x <()0f x <[],x a b ∈[],x a b ∉()0f x ≥()()sin 1cos x a t t y a t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩0,a t >()y f x =x π=2a π2aπ22:143x y C +=:1l y x =-()1,0P l C A B 、22PA PB+321493244932749330491111ABCD A B C D -12,1,1AB AD A A ===1BC 1D AC 1BC 1D AC ABC ∆,,A B C ,,a b c ABC ∆23sin a Asin sin B C ⋅6cos cos 1,3B C a ⋅==ABC ∆()()1a x log x a f >=((1))x g x log a a >=0,1,,0()()a a a log x y log x log a a x y y +>≠>=⋅3613M =关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是,乙认为是.现有两种定义： ①若实数满足，则称比接近；②若实数，且，满足，则称比接近；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.20.已知数列和的通项公式分别为，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列；将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列.（1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，求数列的通项公式.21.如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.（1）证明：的左焦点是“型点”；8010N =MN73109310x y 、x m y m ->-y x m x y m 、、10,10,10s t u x y m ===s u t u ->-y x m MN{}n a {}n b ()*36,27n n a n b n n N =+=+∈{}*,n x x a n N =∈⋃{}*,nx x b n N =∈123,,,,,n c c c c {}*,n x x a n N =∈⋂{}*,nx x b n N =∈123,,,,,n d d d d {}n d ()h n {}n c ()f n {}n c n n S {}n S ()g n 221:12x C y -=2:1C y x =+P P 12C C 、P 12C C-1C 12C C -（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”； （3）求证：内的点都不是“型点”.上海建平中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学卷试卷答案一、填空题1．（5分）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|x ≥0}，则A ∩B= [0，1） ． 【分析】根据交集的定义写出A ∩B ． 【解答】解：集合A={x|x ＜1}， B={x|x ≥0}，则A ∩B={x|0≤x ＜1}=[0，1）． 故答案为：[0，1）．2．（5分）函数f （x ）=log 2（x ﹣1）的定义域为 （1，+∞） ． 【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可． 【解答】解：对数函数f （x ）=log 2（x ﹣1）中， x ﹣1＞0， 解得x ＞1；∴f （x ）的定义域为（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．3．（5分）当x ＞0时，函数f （x ）=x+x ﹣1的值域为 [2，+∞） ． 【分析】直接利用基本不等式求得函数f （x ）=x+x ﹣1的最小值得答案． 【解答】解：∵x ＞0， ∴f （x ）=x+x ﹣1=x+．当且仅当x=1时，上式“=”成立． ∴函数f （x ）=x+x ﹣1的值域为[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）．4．（5分）“x ＞1”是“x ＞a ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 a ＜1 ．y kx =2C 1k >12C C -(){},1x y x y +<12C C -【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：若“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则a＜1，故答案为：a＜1．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= 1 ．【分析】由已知可得x＞0时，f（x）=x+2，若f﹣1（3）=a，则f（a）=3，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，故x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x﹣2=﹣f（x），即f（x）=x+2，若f﹣1（3）=a，则f（a）=3，当a＜0时，f（a）=a﹣2=3，即a=5（舍去）当a＞0时，f（a）=a+2=3，即a=1，故f﹣1（3）=1故答案为：16．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为{0，，1} ．【分析】求出集合A={1，2}，B={t|at﹣1=0}，A∪B=A，从而B⊆A，当a=0时，B=∅，成立；当a≠0时，B={}，由B⊆A，得=1或，由此能求出实数a的取值集合．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}={x|1≤x≤2}={1，2}，B={t|at﹣1=0}，A∪B=A，∴B⊆A，当a=0时，B=∅，成立；当a≠0时，B={}，∵B⊆A，∴=1或，解得a=1或a=，∴实数a的取值集合为{0，，1}．故答案为：{0，，1}．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为（，1] ．【分析】讨论a=0、a＞0和a＜0时，函数f（x）在（1，2）上为减函数实数a满足的条件是什么．【解答】解：a=0时，函数f（x）=lg（﹣4x+5），应满足﹣4x+5＞0，解得x＜，不满足题意；a＞0时，由题意知，解得＜a≤1；a＜0时，由题意知，此时无解；综上，函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，实数a的取值集合是（，1]．故答案为：（，1]．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A，若1∉A，则实数a的取值范围是（0，1] ．【分析】求出不等式中x的范围，根据1∉A，求出a的范围即可．【解答】解：∵≤1，∴≤0，∴或，解得：0＜x＜a，而1∉A，故a∈（0，1]，故答案为：（0，1]．9．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，若f（a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是（，1）．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，据此可以将不等式f（a）＞f（2a﹣1）转化为|a|＞|2a﹣1|，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，分析可得f（﹣x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，又由当x＞0时，y=ln（1+|x|）=ln（1+x）和y=﹣都是增函数，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，若f（a）＞f（2a﹣1），则有|a|＞|2a﹣1|，变形可得：a2＞4a2﹣4a+1，解可得＜a＜1，即a的取值范围是（，1）；故答案为：（，1）．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A∪B的元素之和的函数关系式f（a）= ．【分析】求出集合B，讨论a的取值，求出集合A，再求函数f（a）的表达式．【解答】解：集合A={x|x2+4x+A=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}={t|64﹣16t（4﹣t）≤0}={t|t=2}={2}，△=16﹣4a，a＞4时，△＜0，方程x2+4x+a=0无解，A=∅；f（a）=2；a=4时，△=0，方程x2+4x+a=0有一解﹣2，A={﹣2}；f（a）=﹣2+2=0；a=﹣12时，△=64，方程x2+4x+a=0有两解﹣6和2，A={2，﹣6}；f（a）=2﹣6=﹣4；a∈（﹣∞，﹣12）∪（﹣12，4）时，△=16﹣4a，方程x2+4x+a=0有两解﹣2﹣和﹣2+，A={﹣2﹣，﹣2+}；f（a）=（﹣2﹣）+（﹣2+）+2=2∴函数f（a）=．故答案为：．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）、f（1）的值，由函数零点判定定理可得f （0）f（1）=（1﹣m）（m2﹣3m）≤0，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，令f（x）=m2x2﹣2mx﹣+1﹣m，有f（0）=1﹣m，f（1）=m2﹣3m，若方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，即函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点，有f（0）f（1）=（1﹣m）（m2﹣3m）≤0，又由m为正实数，则（1﹣m）（m2﹣3m）≤0⇒（1﹣m）（m﹣3）≤0，解可得0＜m≤1或m≥3，即m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故答案为：（0，1]∪[3，+∞）．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（，）．【分析】若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则a≥t＞0，且a2﹣4a2+4a＞t＞0且，解得答案．【解答】解：若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则函数y=f（x）与y=t有四个交点，即|x|=t，x≤a，与x2﹣4ax+4a=t各有两个解，故a≥t＞0，且a2﹣4a2+4a＞t＞0且解得：a∈（，），故答案为：（，）二、选择题 13-16: CDCB 三、解答题17. 解：因为为长方体，故，故为平行四边形，故，显然不在平面上，于是直线平行于平面，（2）直线到平面的距离即为点到平面的距离设为考虑三棱锥的体积，以面为底面，可得而中，所以，，即直线到平面的距离为. 18．解：（1）由题意可得，化简可得，根据正弦定理化简可得：（2）由 由余弦定理 又所以故而三角形的周长为19.解:， 基本性质为：定义域：；值域：；单调减区间和 (判断奇偶性、周期性不予给分)1111ABCD A B C D -1111//,AB C D AB C D =11ABC D 11//BC AD B 1D AC 1BC 1D AC 1BC 1D AC B 1D AC h 1ABCD ABC 111121323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭1AD C ∆11AC D C AD ===132AD C S ∆=1312=3233V h h =⨯⨯⇒=1BC 1D AC 2321sin 23sin ABC a S bc A A∆==2223sin a bc A =2222sin 3sin sin sin sin sin 3A B C A B C =⇒=2sin sin 31cos cos 6B C B C ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩()1cos cos sin sin cos cos 2A B B C B C B C =-+=-=3A π⇒=()22221cos 9322b c a A b c bc bc +-==⇒+-=224sin sin sin sin 8sin a bc R B C B C A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭b c +=3+()1log log x a g x a x==()()0,11,⋃+∞()(),00,-∞⋃+∞()0,1()1,+∞(渐近线画出和原点挖去，需要都画好才能给满分）（2）证明： 设 即证明完毕（3）采用定义（Ⅰ）:而所以甲同学的近似值更接近 采用定义（Ⅱ）：甲的估值 ，乙的估值 因为， 所以乙同学的近似值更接近20．解：（1 )设，则，即 假设，等式左侧为偶数，右侧为奇数，矛盾， 所以， （2） ∴log ,log ,N M a a N x M y x a y a ==⇒==()log N M N M a x y a a a N M x y +⇒⋅==⇒+=⋅()log log log a a a x y x y ⋅=+361803lg 361lg38092.2410M M N N =⇒=⋅-≈73931010MN⇒<<()361173lg 23lg2361lg3172.54173lg10⋅=+⋅≈<=3611733611731532310231010⇒⋅<⇒⋅<+36136136193739393808080333210101010101010⇒⋅<+⇒-<-MN361803lg 361lg38092.2410M MN N=⇒=⋅-≈737310lg1073⇒=939310lg1093⇒=7393lg10lglg10lg M MN N->-MN()2132166327n k a n n b k -=-+=+==+32k n =-213n n a b --=26627n k a n b k =+==+{}2n n a b ∉()2163n h n a n -==+21323123n n n n n a b b a b ---=<<<4321423141243,,,n n n n n n n n c a c b c a c b -----====∴数列的通项公式 等价形式:，（3）令，由（2）得知：是等差数列 ∴①当时，②当时，③当时，④当时，∴ 等价形式：21．解：（1）的左焦点为， 过的直线与交于，与交于，故的左焦点为“型点”，且直线可以为；（2）直线与有交点，则， 若方程组有解，则必须；{}n c ()()()()()*63436542,6641674k n k k n k f n k N k n k k n k⎧+=-⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩()()()()*36216542,674k n k f n k n k k N k n k +=-⎧⎪=+=-∈⎨⎪+=⎩()()()()*31521231642,231442n n k n f n n k k N n n k +⎧=-⎪⎪+⎪==-∈⎨⎪+⎪=⎪⎩43424n n n n e c c c --=++{}n e ()*4n k k N =∈2241233312334n k k n nS S e e e k k +==+++=+=()*41n k k N =-∈21133324n n n n n S S c ++++=-=()*42n k k N =-∈22233324n n n n n S S c ++++=-=()*43n k k N=-∈233213334n n n n n n nS S c c c +++++=---=()()()2*2*333,4,4343332,41,424n nn k k k N g n n n n k k k N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨++⎪=--∈⎪⎩()22*221233,412277,41,122113,42121518,43k k n k k k n k g n k N k k n k k k n k ⎧+=⎪+-=-⎪=∈⎨+-=-⎪⎪+-=-⎩1C ()FF x =1C ⎛⎝⎭2C )()1±1C 12C C-x =y kx =2C ()111y kxk x y x =⎧⎪⇒-=⎨=+⎪⎩|1|k >直线与有交点，则， 若方程组有解，则必须故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点” （3）以为边界的正方形区域记为.1）若点在的边界上，则该边所在直线与相切，与有公共部分，即边界上的点都是“型点”；2）设是区域内的点，即，假设是“型点”，则存在过点的直线与都有公共点.ⅰ)若直线与有公共点，直线的方程化为，假设，则，可知直线在之间，与无公共点，这与“直线与有公共点”矛盾，所以得到：与有公共点的直线的斜率满足.ⅱ)假设与也有公共点，则方程组有实数解.从方程组得，，由，因为y kx =1C ()222212222y kxk x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩212k <y kx =1C 2C 12C C -1x y +=D P Ω1C 2C Ω12C C -()00,P x y Ω001x y +<()00,P x y 12C C -P ()00:l y y k x x -=-12C C、l 2C l 00y kx y kx =+-|1|k ≤0000001kx y kx kx y kx x y x x +-≤++≤++<+l 2:1C y x =+2C l 2C 2C l k |1|k >l 1C 002212y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨-=⎪⎩2220000()(124)0)(21k x k y kx x y kx ⎡⎤-----+=⎣⎦()222200222000082128()1y kx y k x k y kx k k ⎡⎤-+∆=-++---⎣=⎦|1|k >001x y +<()()000000011y kx y k x y k y k y k k -≤+⋅<+⋅-=+-<()2200y kx k ⇒-<所以，，即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”. 证明完毕另解：令，因为，所以|，即.于是可知的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是，因为， 所以在区间上为增函数，在上为减函数.因为，，所以对任意，都有，即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”. 证明完毕.2220008)1(y kx k k ⎡⎤--+-<⎣⎦∆=l 1C l 1C P 12C C -()222200002128y kx y k x k ++∆--=()()222000012f k x k kx y y =--+001x y +<01x <2010x -<()f k 00201x y k x =-()()()0000200011111x x x y x x x ⋅-<<--⋅+()f k (),1-∞-()1,+∞()()220000111f x y x y =--≤+-<0()()220000111f x y x y -=+-≤+-<0|1|k >()()20,810f k f k k ⎡⎤<∆=+-<⎣⎦l 1C l 1C P 12C C -。
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若U ＝{1，2，3，4}，M ＝{1，2}，N ＝{2，3}，则C U (M ∩N )＝( )A ．{1，2，3}B ．{2}C ．{1，3，4}D ．{4}2．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2},则函数()y f x =的图象可能是( )A B C D3．下列函数为偶函数的是( )A ．2y x x =+B ．3y x =C ．xy e =D ．()x xf x e e -=+4．设()338x f x x =+-,用二分法求方程3380(1,2)x x x +-=∈在内近似解的过程中,计算得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0,f f f <><则方程的根落在区间( )．A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定5．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，那么1[()]2f f 的值为( )A B ．1C ．13D ．1-6．设01a <<，且函数()log a f x x =，则下列各式成立的是( )A ．11(2)()()34f f f >>B ．11()(2)()43f f f >>C ．11()(2)()34f f f >>D ．11()()(2)43f f f >>7．定义在R 上的奇函数()f x 为减函数，设0a b +≤，给出下列不等式 ①()()0f a f a -≤, ②()()0f b f b -≥,③()()()()f a f b f a f b +≤-+-, ④()()()()f a f b f a f b +≥-+-其中正确不等式的序号为( ) A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③8．已知函数)(x f 是R 上的增函数，(0,1),(3,1)A B -是其图像上的两点，则(1)1f x +< 的解集是( ) A ．)2,1(-B ．(1，4)C ．[)+∞⋃--∞,4)1,(D ．(][)+∞⋃-∞-,21,二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是_______________． 10．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为_____________________． 11．函数1()1(1)f x x x =--的最大值是_______________．12．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(2)(),(0,2)()2,f x f x x f x x +=-∈=当时，(7)f =则_________．13．关于函数()()lg 1()f x x x R =+∈有下列命题：①函数)x (f y =的图象关于y 轴对称； ②在区间)0,(-∞上，函数)x (f y =是增函数；③函数)x (f 的最小值为0．其中正确命题序号为______________． 14．若()()()f x y f x f y +=，且(1)2f =(2)(4)(2010)(2012)(1)(3)(2009)(2011)f f f f f f f f ++++=_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤． 15．(本题两小题满分12分其中(1)6分，(2)6分)(1)已知集合A ＝{}73<≤x x ，B ＝{x |2＜x ＜10}，全集为实数集R ．求(C R A )∩B ；(2)计算：((22lg5lg ++16．(本小题满分12分)已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当20,()2x f x x x <=--，(Ⅰ)画出求出)(x f 图象； (Ⅱ)求)(x f 的解析式17．(本小题满分14分)．已知函数()2(0,)x x af x x a R x++=≠∈ (Ⅰ)当0a <时，证明：函数()x f 在区间(0,)+∞上是增函数； (Ⅱ)若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分14分)在某服装商场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈现上升趋势，设服装开始时定价为每件70元，并且每周(7天)每件涨价6元，5周后开始保持每件100元的价格平稳销售；10周后，当季节即将过去时，平均每周每件降价6元，直到16周末，该服装不再销售． (Ⅰ)试建立销售价格p (元)与周次x 之间的函数关系式； (Ⅱ)若此服装每件每周进价q (元)与周次x 之间的关系为()218902q x =--+ [0,16],x x N ∈∈，试问该服装第几周每件销售利润最大？(每件销售利润＝每件销售价格－每件进价)19．(本小题满分14分)函数()2x f x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示,设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <．(Ⅰ)请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数?(Ⅱ)若1[,1]x a a ∈+，2[,1]x b b ∈+，且a ,b {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12∈，指出a ，b 的值，并说明理由；(Ⅲ)结合函数图像的示意图，判断(6)f ，(6)g ，(2012)f ，(2012)g 的大小，并按从小到大的顺序排列．20．(本小题满分14分) [][][][][][]121220.(14),()(),()()1,()(),()(),1()log (3)()log (0,1)2,3()()()2,3a am n f x g x x m n f x g x f x g x m n f x g x m n f x x a f x a a a a x af x f x a a ∈-≤=-=>≠++-++本小题满分分对于在区间上有意义的两函数与，如对任意均有则称与在上是接近的，否则称与在区间上是非接近的。
2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一. 填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________. 【答案】{}5,9 【解析】 【分析】根据补集的定义可得出集合U A ð.【详解】Q 全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，由补集的定义可得{}5,9U A ð=. 故答案为：{}5,9.【点睛】本题考查补集的计算，考查对补集定义的理解，属于基础题. 2.不等式2101x x +<-的解集是________. 【答案】112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 分析】将分式不等式等价变形为()()2110x x +-<，解此不等式即可. 【详解】不等式2101x x +<-等价于()()2110x x +-<，解得112x -<<， 因此，不等式2101x x +<-的解集是112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故答案为：112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3.命题“若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠”的逆否命题是________ 【答案】若0x =或0y =，则0xy =. 【解析】 【分析】根据原命题与逆否命题之间的关系可得出答案.【详解】由题意可知，命题“若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠”的逆否命题是“若0x =或0y =，则0xy =”.故答案为：若0x =或0y =，则0xy =.【点睛】本题考查逆否命题的改写，解题时要充分了解原命题与逆否命题之间的关系，属于基础题.4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.【答案】4- 【解析】 【分析】根据分段函数()y f x =的解析式可计算出()2f 的值.【详解】()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩Q ，()2224f ∴=-=-.故答案为：4-.【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要根据自变量所满足的定义域选择合适的解析式来进行计算，考查计算能力，属于基础题.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________. 【答案】()5,+∞ 【解析】 【分析】根据充分非必要条件关系得出()(),5,a +∞+∞Ü，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】Q “x a >”是“5x >”的充分非必要条件，()(),5,a ∴+∞+∞Ü，则5a >. 因此，实数a 的取值范围是()5,+∞. 故答案为：()5,+∞.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，一般转化为集合包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.【答案】8 【解析】 【分析】直接利用基本不等式可求出4x y +的最小值.【详解】由基本不等式可得48x y +≥==，当且仅当4y x =时，等号成立. 因此，4x y +的最小值为8. 故答案为：8.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，也要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.7.函数y =的定义域是________.【答案】()2,+∞ 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零，列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数的定义域.【详解】由题意可得2102520x x x -≥⎧⎨-+>⎩，解得2x >.因此，函数y =的定义域是()2,+∞.故答案为：()2,+∞.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列不等式组进行求解，考查计算能力，属于基础题.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.【答案】()()3,13,-+∞U 【解析】 【分析】分0x ≥与0x <两种情况解不等式()3f x >，得出不等式的解集与定义域取交集，然后将两段解集取并集可得出()3f x >的解集.【详解】当0x ≥时，由()3f x >，得2463x x -+>，即2430x x -+>，解得1x <或3x >， 此时，01x ≤<或3x >；当0x <时，由()3f x >，得63x +>，解得3x >-，此时，30x -<<. 综上所述，不等式()3f x >的解集是()()3,13,-+∞U . 故答案为：()()3,13,-+∞U .【点睛】本题考查分段不等式的求解，解题时要注意对自变量的取值范围进行分类讨论，在得出不等式的解集后要注意与定义域取交集，考查运算求解能力，属于中等题.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意知，对任意的x ∈R ，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立，然后分0m =和m >⎧⎨∆≤⎩两种情况分析，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立.①当0m =时，则有240x +≥，该不等式在R 上不恒成立；②当0m >时，由于不等式()221940mx m x m ++++≥在R 上恒成立，则()()()224149448210m m m m m ∆=+-+=⨯--+≤，即28210m m +-≥，解得12m ≤-或14m ≥，此时，14m ≥. 因此，实数m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数，解题的关键就是将问题转化二次不等式在R 上恒成立问题，利用首项系数和判别式的符号来进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.10.若(){}2210,A x x m x x R =+++=∈，且A +=∅R I ，则m 的取值范围是________.【答案】()4,-+∞ 【解析】 【分析】由0A ∉，结合题意得出关于x 的方程()2210x m x +++=有负根或无实根，分二次方程有两个相等的负根、两根一正一负、两个负根以及无实根进行分类讨论，可求出实数m 的取值范围.【详解】由于0A ∉，且A +=∅R I ，则关于x 的方程()2210x m x +++=有负根或无实根.①若方程有两个相等的负根时，则()2240202m m ⎧∆=+-=⎪⎨+-<⎪⎩，解得0m =；②若方程的两根1x 、2x 一正一负，则120x x <，事实上1210x x =>，不合乎题意；③若方程的两根1x 、2x 不等，且两根均为负数，则()()212122402010m x x m x x ⎧∆=+->⎪+=-+<⎨⎪=>⎩，解得0m >；④若方程无实根，则()222440m m m ∆=+-=+<，解得40m -<<. 综上所述，实数m 的取值范围是()4,-+∞. 故答案为：()4,-+∞.【点睛】本题考查二次函数根的分布问题，解题时要结合判别式、两根之和与差的符号来进行分析，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.11.关于x 的不等式2315x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(][),14,-∞+∞U 【解析】 【分析】由题意知，存在x ∈R ，使得2315x x a a +--≤-，然后利用绝对值三角不等式求出31x x +--的最小值4-，将问题转化为解不等式254a a -≥-，解出即可.【详解】由题意知，存在x ∈R ，使得2315x x a a +--≤-，则()2min 531a a x x -≥+--.由绝对值三角不等式得()()31314x x x x +--≤+--=，4314x x ∴-≤+--≤，()2min 5314a a x x ∴-≥+--=-，即2540a a -+≥，解得1a ≤或4a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞U . 故答案为：(][),14,-∞+∞U .【点睛】本题考查绝对值不等式成立问题，一般转化为绝对值不等式的最值问题，可利用绝对值三角不等式来得到，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.12.已知x 、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x+≥42ay y +≥()0a >求得14x y+的最小值，则其中正数a 的值是________.【答案】9+【解析】 【分析】利用两个基本不等式等号成立的条件得出x 、y 的表达式，代入21x y +=可求出实数a 的值.【详解】由基本不等式得1ax x +≥()10,0ax x a x=>>时，即当x =等号成立.由基本不等式得42ay y +≥()420,0ay y a y=>>时，即当y =时，等号成立. 此时，21x y +=+==1=+ 所以，(219a =+=+故答案为：9+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件，求出对应的变量后，还应将变量代入定值条件求出参数，考查运算求解能力，属于中等题. 二. 选择题13.对于集合M 、N ，若M N Ü，则下面集合的运算结果一定是空集的是（ ） A. U M N I ð B. U M N I ð C. U UM N 痧ID. M N ⋂【答案】A 【解析】 【分析】作出韦恩图，利用韦恩图来判断出各选项集合运算的结果是否为空集. 【详解】作出韦恩图如下图所示：如上图所示，U M N =∅I ð，U M N ≠∅I ð，U UM N ≠∅I 痧，M N M =≠∅I .故选：A.【点睛】本题考查集合的运算，在解题时可以充分利用韦恩图法来表示，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14.如果a 、b 、c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项不恒成立的是（ ） A. ab ac > B. 22cb ab < C. ()0c b a -> D. ()0ac a c -<【答案】B 【解析】试题分析：依题意可得，．不等式两边同乘以一个正数不等号方向不变，所以选项A 正确；,,所以()0c b a ->，故选项C 正确；,所以()0ac a c -<，故选项D 正确；当时，选项B 错误．故选B ．考点：证明简单的不等式（或比大小）．15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<.解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆Q ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B I 为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B U 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66C. 68D. 74【答案】B 【解析】 【分析】令22100n +≤，解得49n ≤，从A 中去掉形如22n +数，此时A 中有26个元素，注意A中还可含以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故A 中元素最多时，A 中共有33个元素，由此可得出结论.【详解】令22100n +≤，解得49n ≤，所以，集合A 是集合{}1,2,3,,49L 的一个非空子集. 再由A B =∅I ，先从A 中去掉形如()22n n N*+∈的数，由2249n +≤，可得23n ≤，492326-=，此时，A 中有26个元素.由于集合A 中已经去掉了4、6、8、12、16、20、22这7个数，而它们对应的形如22n +的数分别为10、14、18、26、32、42、46，并且10、14、18、26、32、42、46对应的形如22n +的数都在集合B 中.故集合A 中还可有以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故集合A 中元素最多时，集合A 中共有33个元素，对应的集合B 也有33个元素，因此，A B U 中共有66个元素. 故选：B.【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 三. 解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.【答案】[)(]1,24,5U 【解析】 【分析】分别解出两个不等式，然后将两个不等式的解集取交集即可得出不等式组的解集. 【详解】解不等式31x ->，即31x -<-或31x ->，解得2x <或4x >. 解不等式()()150x x --≥，即()()150x x --≤，解得15x ≤≤.因此，不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩的解集为[)(]1,24,5U .【点睛】本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知：a 、b 是正实数，求证：22a ba b b a++≥.【答案】见解析. 【解析】 【分析】由基本不等式得出22a b a b+≥，22b a b a +≥，然后利用同向不等式的可加性可得出证明.【详解】由基本不等式得出22a b a b +≥=，22b a b a +≥=，上述两个不等式当且仅当a b =时，等号成立，由同向不等式的可加性得2222a b a b a b b a +++≥+，即22a b a b b a++≥.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于中等题.19.若()f x x x =+，()()02x x g x x--=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域； （2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标. 【答案】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()g x 的定义域为()()0,22,+∞U ； （2）()F x 的定义域是()()0,22,+∞U ，()F x 的值域是[)2,+∞； （3）图象见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式有意义列不等式组，由此可得出函数()y f x =和()y g x =的定义域； （2）将函数()y f x =和()y g x =的定义域取交集可得出函数()y F x =的定义域，并求出函数()y F x =的解析式，利用基本不等式可得出函数()y F x =的值域； （3）根据双勾函数的图象可得出函数()y F x =在其定义域上的图象. 【详解】（1）对于函数()f x x x =+0x >，则函数()f x x x=+的定义域为()0,∞+. 对于函数()()02x x g x x -=，有20x x x -≠⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，解得0x >且2x ≠，所以，函数()()02x xg x x--=的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()()()11x x F x f x g x x x x x x-=+=++=+Q ，定义域为()()0,22,+∞U . 由基本不等式可得()1122F x x x x x=+≥⋅=，当且仅当1x =时，等号成立. 因此，函数()y F x =的值域为[)2,+∞； （3）函数()1F x x x=+，()()0,22,x ∈+∞U 为双勾函数图象的一部分，如下图所示：【点睛】本题考查函数的定义域与值域的求解，同时也涉及到了函数图象的画法，解题时要熟悉几种常见的函数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅. （1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值； （2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m=-+，求实数m 的值.【答案】（1）2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）0m =或1m =. 【解析】 【分析】（1）解出集合{}1,1A =-，分集合{}1B =-、{}1、{}1,1-三种情况讨论，结合韦达定理可得出实数a 、b 的值；（2）由A C ⊆可得出211m +=或21m =，并利用集合C 中的元素满足互异性得出实数m 的值.【详解】（1）{}{}2101,1A x x =-==-Q ，B A ⊆Q ，且B ≠∅，分以下三种情况讨论：①当{}1B =-时，由韦达定理得()212211a b =-⨯=-⎧⎪⎨=-=⎪⎩； ②当{}1B =时，由韦达定理得212211a b =⨯=⎧⎨==⎩； ③当{}1,1B =-时，由韦达定理得()()110111a b ⎧=+-=⎪⎨=⨯-=-⎪⎩.综上所述，2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-； （2）A C ⊆Q ，且{}21,21,C m m=-+，211m ∴+=或21m=，解得0m =或1m =±.当0m =时，{}1,1,0C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意； 当1m =-时，211m +=-，集合C 中的元素不满足互异性，舍去； 当1m =时，{}1,3,1C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意. 综上所述，0m =或1m =.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要注意有限集中的元素要满足互异性，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +，如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+，如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元（根据经济学常识，212A m ≤≤，520B m ≤≤），甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙.（1）求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式，当35A B m m =时，求证：h h =甲乙； （2）设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立？试说明理由.【答案】（1）见解析；（2）当6A m =，10B m =时，甲、乙两人的综合满意度均最大，最大值为23；（3）不存在满足条件的A m 、B m 的值. 【解析】 【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件35A B m m =时，表示出要证明的相等的两个式子相等；（2）在上一问表示的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件； （3）先写出结论：不能由（2）知023h =，因为49h h ≤甲乙，不能取到A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立. 【详解】（1）甲：买进A 的满意度11212A A h m =+，卖出B 的满意度为15B B B m h m =+.所以，甲买进A 和卖出B的综合满意度为h ===甲乙：卖出A 的满意度为23A A A m h m =+，买进B 的满意度为22020B B h m =+.所以，乙卖出A 和买进B的综合满意度为h ===乙当35A B m m =时，h ==甲.h ==乙h h =甲乙；（2）设()0B m x x =>，当35A B m m =时，h h ====≤甲乙23==，当且仅当100x x =时，即当10x =时，等号成立，即31065A m =⨯=，10B m =时，甲、乙两人的综合满意度最大，最大综合满意度为23； （3）不能由（2）知023h =，因为49h h ⋅≤甲乙， 因此，不能取到A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，因为等号不同时取到. 【点睛】本题考查函数模型的选择和应用，解题的关键就是理解题意，在求最值时应该根据代数式的机构合理选择，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
