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圆锥曲线几何关系代数化全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念，它们是一类通过平面上一点与一个定点之间的距离与一个定直线上的定点之间的距离的比值不变的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
在这些曲线中，存在许多有趣的几何关系，而这些几何关系可以通过代数的方法来求解和证明。
首先介绍一下圆锥曲线的基本性质。
以椭圆为例，椭圆定义为平面上满足一定条件的点的集合，比如所有与给定直线的距离之和等于常数的点构成的集合。
根据定义，我们可以轻松地证明椭圆的中点具有对称性，椭圆上两点之间的连线和椭圆上切线的交点构成的线都经过椭圆的焦点等等。
这些性质虽然可以通过几何的方法证明，但是用代数方法更为方便。
为了代数化椭圆的几何关系，我们可以引入平面直角坐标系。
假设椭圆的方程为\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]，其中\(a\)和\(b\)为椭圆的半长轴和半短轴。
我们可以将椭圆上的点表示为\(P(x,y)\)，利用坐标代入椭圆方程即可得到关于\(x\)和\(y\)的方程。
利用这个方程我们可以求出椭圆上点的对称性、切线方程、焦点位置等等。
还可以用代数的方法来解决椭圆的焦点和直角坐标系之间的几何关系。
假设椭圆的焦点和直角坐标系的关系有如下式子：\[ F_1(-\sqrt{a^2 - b^2}, 0) \]\[ F_2(\sqrt{a^2 - b^2}, 0) \]将这两个点代入椭圆方程中，即可证明这两个点在椭圆上。
又由于椭圆的焦点定义为到焦点的距离与到直系质保持恒定，可以得到椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于常数，这也就是椭圆的定义。
同样道理，对于双曲线和抛物线，我们也可以借助代数方法来求解几何关系。
双曲线可以表示为\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]，我们可以通过这个方程来证明双曲线的渐近线方程、焦点位置等等。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
下面将就几种常见的解决圆锥曲线问题的方法进行探讨。
一、几何法
对于一些简单的圆锥曲线问题，可以直接利用几何关系解决。
已知一个椭圆的焦点和一个点在椭圆上，要求确定这个点在椭圆上的位置。
可以通过对称关系把问题转化为确定这个点关于焦点和对称轴的对称点在椭圆上的位置，然后再通过对称关系确定原点的位置。
二、代数法
代数法是解决圆锥曲线问题的一种常用方法，主要是通过代数方程进行推导和计算。
已知一个椭圆的方程和一个点在椭圆上，要求确定这个点在椭圆上的位置。
可以将已知点的坐标代入椭圆的方程，得到一个含有未知数的代数方程，然后通过求解这个代数方程确定未知数的值，从而确定这个点在椭圆上的位置。
解决圆锥曲线问题可以采用多种方法，包括几何法、代数法、参数法和几何与代数相结合法。
根据具体问题的特点和要求选择适当的方法，可以使解决问题更加简单、直观和高效。
对于复杂的问题，可能需要综合运用多种方法，甚至借助计算机辅助求解。
只有不断学习和实践，才能更好地掌握解决圆锥曲线问题的方法，提高解题能力。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法解决圆锥曲线问题在数学领域中是一个重要的课题，涉及到许多不同的方法和技巧。
圆锥曲线包括抛物线、椭圆、双曲线等，它们在几何学和代数学中都具有重要的地位，因此解决圆锥曲线问题的方法也显得尤为重要。
在本文中，将会介绍一些解决圆锥曲线问题的常见方法，并且深入讨论它们的一些特点和应用。
1. 解析几何方法解析几何方法是解决圆锥曲线问题的一种常见方法。
通过坐标系和代数方法来描述和分析圆锥曲线的特性和性质，这种方法在解决几何问题时非常有用。
一般情况下，利用解析几何方法可以将圆锥曲线的方程化简为一般形式，然后通过对方程的解析分析来得到曲线的性质和特点。
在解析几何方法中，常用的手段包括曲线的参数方程、焦点、准线、曲率等，通过这些参数来描述圆锥曲线的形状和性质。
解析几何方法还可以通过坐标变换，将圆锥曲线的方程转化为简单的形式，从而更加容易地进行分析和计算。
在解析几何方法中，一些常见的技巧包括拟合直线、圆的切线方程、曲线的渐近线等，这些方法都是解决圆锥曲线问题的重要手段。
2. 计算方法计算方法是解决圆锥曲线问题的另一种重要方法。
通过数值计算和求解，可以得到曲线的交点、切线、凹凸点等重要信息，从而帮助我们更好地理解和分析圆锥曲线的性质。
在计算方法中，常用的手段包括牛顿迭代法、二分法、拉格朗日乘数法等，这些方法可以帮助我们求解参数方程、方程组，从而得到圆锥曲线的一些重要特征。
几何方法在解决圆锥曲线问题中也具有重要的地位。
通过几何方法，我们可以直观地理解和分析圆锥曲线的形状和性质，这对于我们理解和应用圆锥曲线都非常有帮助。
在几何方法中，常用的手段包括图形的平移、旋转、缩放等，这些方法可以帮助我们更加直观地理解曲线的性质和特点。
几何方法还可以通过投影、相似性等方式，来研究和分析圆锥曲线的性质。
通过几何方法，我们可以得到曲线的对称性、轴对称性、中轴线等重要信息，这些信息对于我们理解和应用圆锥曲线都非常有帮助。
圆锥曲线求解技巧圆锥曲线是数学中重要的一个分支，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
它们都具有各自独特的性质和方程形式。
在求解圆锥曲线的问题时，有一些常见的技巧和方法可以帮助我们简化计算和理解问题。
下面是一些圆锥曲线求解技巧的介绍。
1. 几何特征：首先，了解每种圆锥曲线的几何特征是非常重要的。
圆是所有圆锥曲线中最简单的一种，其方程形式为x²+ y²= r²，其中r是圆的半径。
椭圆具有中心点和两个焦点，其方程形式为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)是中心点的坐标，a和b是椭圆在x轴和y轴上的半径。
抛物线则有焦点和直线的焦点形式，其方程形式为y²= 4ax或x²= 4ay，其中a是抛物线的焦距。
双曲线也有焦点和直线的形式，其方程形式为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1或者(y - k)²/b² - (x - h)²/a² = 1，其中(h, k)是中心点的坐标，a和b 是双曲线在x轴和y轴上的半径。
2. 参数化表示：参数化是一种将一个曲线表示为参数的函数的方法。
通过引入新的参数，我们可以简化对曲线的表示和求解。
例如，对于椭圆，我们可以引入参数化坐标x = a cosθ和y = b sinθ，其中a和b是椭圆的半径。
这样，我们可以将椭圆的方程简化为极坐标形式r = a(1 - e²)/(1 + e cosθ)，其中e是椭圆的离心率。
同样地，对于抛物线，我们可以引入参数化坐标x = at²和y = 2at。
通过参数化，我们可以更容易地计算和理解曲线的性质。
3. 极坐标表示：极坐标是一种将点表示为距离和角度的方式。
对于圆锥曲线，极坐标表示是很有用的，特别是当涉及到对称性和角度的问题时。
圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过直角坐标系解析法解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的重要概念之一，在几何学和代数学领域都有广泛的应用。
通过直角坐标系解析法，我们可以用简洁而准确的方式解决与圆锥曲线相关的问题。
本文将介绍圆锥曲线的基本知识，并以解析法为重点，总结圆锥曲线解题的技巧与方法。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面与圆锥相交而形成的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在直角坐标系中有各自的特点和方程。
1. 椭圆椭圆是圆锥和平面相交所形成的曲线。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆长轴的一半长度，b为椭圆短轴的一半长度。
2. 双曲线双曲线同样是由圆锥和平面相交所形成的曲线。
在直角坐标系中，双曲线的标准方程为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a为双曲线长轴的一半长度，b为双曲线短轴的一半长度。
3. 抛物线抛物线是由圆锥和平面相交所形成的曲线。
在直角坐标系中，抛物线的标准方程为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，决定了抛物线的形状和位置。
二、通过直角坐标系解析法解决圆锥曲线问题的技巧与方法通过直角坐标系解析法，我们可以通过曲线的方程和几何特征来解决与圆锥曲线相关的问题。
以下是一些解题的常用技巧与方法：1. 求解曲线的方程通过已知的几何信息，我们可以得到曲线的方程。
根据曲线的类型，选择合适的标准方程，并通过已知点或其他条件来确定方程中的参数。
2. 求解曲线的焦点和准线对于椭圆和双曲线，焦点和准线是重要的几何特征。
通过方程中的参数，我们可以计算焦点和准线的坐标。
3. 求解曲线的顶点和开口方向抛物线的顶点和开口方向也是重要的几何特征。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
解决圆锥曲线问题的方法有很多种，本文将从几何、代数和解析几何三个角度进行深入探讨，希望能够为读者提供一些启发和帮助。
一、几何方法1. 利用焦点性质椭圆和双曲线的焦点性质是非常重要的，利用焦点性质可以简化问题的求解过程。
在求解椭圆的焦点时，我们可以利用椭圆的定义式和焦距的定义式进行计算，从而求得椭圆的焦点坐标。
对于双曲线也是一样的道理，只不过其定义式和焦距定义式稍有不同而已。
2. 利用直线方程通过直线的方程式可以求解圆锥曲线的焦点、渐近线等特性。
对于椭圆和双曲线来说，它们都有两条渐近线，我们可以通过计算其中一条渐近线的方程来得到其斜率和截距，然后再进行求解另一条渐近线的方程，从而得到全部的渐近线方程。
3. 利用对称性圆锥曲线具有一定的对称性，例如抛物线具有对称轴的对称性，利用这种对称性可以简化问题的求解。
在求解抛物线的焦点时，我们可以利用抛物线的对称性进行求解，这样可以减少计算的复杂度。
二、代数方法1. 利用方程组通过建立方程组，可以求解圆锥曲线的各种特性。
在求解椭圆的焦点时，我们可以建立一个包含椭圆方程和焦距定义的方程组，然后通过对这个方程组进行求解，从而得到椭圆的焦点坐标。
2. 利用参数方程对于双曲线和抛物线来说，我们可以利用参数方程进行求解。
通过引入参数，可以将原本复杂的曲线方程化简为一组简单的函数方程，从而简化问题的求解过程。
3. 利用极坐标方程极坐标方程是一种非常有效的求解圆锥曲线问题的方法。
通过将曲线用极坐标方程表示，可以将原本复杂的曲线问题转化为极坐标函数的求解问题，这样就可以简化问题的求解过程。
三、解析几何方法1. 利用向量向量是解析几何中一个非常重要的工具，通过引入向量，可以简化圆锥曲线的求解过程。
在求解椭圆的焦点时，我们可以引入椭圆的向心度和离心率的概念，然后利用向量的性质进行求解。
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析：如图所示，双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。
二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数），而再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。
解析：的几何意义为，曲线上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为________。
解：五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆：，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解：如图，共线，设，，，则，点R在椭圆上，P点在直线上，即化简整理得点Q的轨迹方程为：（直线上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题圆锥曲线是一类重要的几何图形，它在数学与物理学等领域中都有着广泛的应用。
在实际问题中，常常需要进行圆锥曲线综合问题的求解，这时候便需要巧妙地运用数学思想来解决问题。
一、如何求解圆锥曲线的椭圆形状对于一个圆锥曲线，其椭圆形状可以通过椭圆长轴和短轴来描述。
我们可以通过将圆锥曲线投影到一个平面上，然后利用比例关系来求解长轴和短轴。
具体地，我们可以将圆锥曲线投影到它的母线上，这样投影出来的结果就是一条直线。
然后我们再将这条直线与圆锥曲线的顶点连线作为直径画一个圆，这个圆就是圆锥曲线的外接圆。
接下来我们就可以利用外接圆的性质来求解圆锥曲线的椭圆形状了。
我们可以将外接圆的直径作为椭圆的长轴，在外接圆上选择任意一点作为椭圆的中心点，然后测量圆心到外接圆任意一点的距离，这个距离就是椭圆短轴的一半。
圆锥曲线的拱形高度是指圆锥曲线沿过顶直线方向的高度，它在许多实际问题中都有着重要的应用。
我们可以利用圆锥曲线的几何性质来求解拱形高度。
对于圆锥曲线，其侧棱与过顶直线的夹角是一定的。
我们可以利用这个性质来求解拱形高度。
具体来说，我们可以在圆锥曲线的底面上，沿着过顶直线方向选择一个点，然后将这个点向上连接圆锥曲线的顶点，这样画出来的就是一个圆锥。
然后我们可以利用圆锥的相似性质来求解拱形高度。
具体来说，我们可以求出圆锥的高，然后利用圆锥的相似三角形来求解圆锥曲线的拱形高度。
这个方法虽然需要较为繁琐的计算，但是它可以较为准确地求解圆锥曲线的拱形高度。
对于一个圆锥曲线，我们可以将它分成很多小的曲面，然后对每个小的曲面进行面积计算，最后将所有小的曲面的面积相加即可得到圆锥曲线的表面积。
繁琐的计算虽然需要一定程度的耐心，但是有时候也能解决一些复杂的实际问题，计算结束后我们可以得到圆锥曲线的表面积，这对于许多实际问题的求解都有着很大的帮助。
综上所述，巧用数学思想可以帮助我们有效地解决圆锥曲线综合问题。
圆锥曲线解题技巧之焦点定理如何利用焦点到直线的距离关系解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学和物理学领域。
而在解决圆锥曲线问题中，焦点定理是一种常用的解题技巧。
本文将介绍焦点定理的定义，详细说明焦点与直线的距离关系，并用实例说明如何利用这个关系解决圆锥曲线问题。
一、焦点定理的定义焦点定理是圆锥曲线研究中的一个重要定理，用来描述焦点与直线之间的距离关系。
根据焦点定理，对于给定的焦点和一条直线，如果该直线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离比相等，那么这条直线必定是圆锥曲线的一条切线。
二、焦点与直线的距离关系在圆锥曲线问题中，焦点与直线之间的距离关系可以通过几何方法求解。
首先，我们假设给定的焦点为F，直线为l，圆锥曲线为C。
根据焦点定理的定义，我们可以得出以下结论：1. 对于焦点F和直线l上的任意一点P，如果焦点F到点P的距离PF与直线l的距离d的比等于一个常数e，即PF/d = e，那么直线l必定是圆锥曲线C的一条切线。
2. 如果e = 1，那么直线l与圆锥曲线C的交点个数为1，即直线l 与圆锥曲线C相切。
3. 如果e > 1，那么直线l与圆锥曲线C没有交点，即直线l与圆锥曲线C没有交点。
4. 如果e < 1，那么直线l与圆锥曲线C有两个交点，即直线l与圆锥曲线C相交于两个点。
三、利用焦点定理解决圆锥曲线问题的实例为了更好地理解焦点定理的应用，我们来看一个具体的例子。
假设有一个椭圆，其长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦点在椭圆的纵轴上，离中心点的距离为c。
现在我们想要求解椭圆上到直线y = mx + n的距离为d的点的坐标。
我们可以根据焦点定理来解决这个问题。
首先，我们知道椭圆的焦点到直线的距离为d，也就是PF/d = e。
根据椭圆的性质，椭圆上的任意一点与焦点之间的距离满足焦距定理，即PF = 2a - c。
将这两个条件带入PF/d = e中，我们可以得到(2a - c)/d = e。
第74炼 利用几何关系求解最值问题一、基础知识：1、利用几何关系求最值的一般思路:（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。
因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。
所以只有共线时才有可能达到最值。
要注意动点与定点相对位置关系。
一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。
（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。
2、常见的线段转移：（1）利用对称轴转移线段（详见例1）（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。
（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。
（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径 （5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上） 3、与圆相关的最值问题：（1）已知圆C 及圆外一定点P ，设圆C 的半径为r 则圆上点到P 点距离的最小值为PM PC r =-，最大值为PN PC r =+（即连结PC 并延长，M 为PC 与圆的交点，N 为PC 延长线与圆的交点 （2）已知圆C 及圆内一定点P ，则过P 点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为AB =AB 最小，则d 要取最大，在圆中CP 为定值，在弦绕P 旋转的过程中， d CP ≤，所以d CP =时，AB 最小（3）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则圆上点到直线距离的最小值为C l PM d r -=-，距离的最大值为C l PN d r -=+（过圆心C 作l 的垂线，垂足为P ，CP 与圆C 交于M ，其反向延长线交圆C 于N（4）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则过直线l 上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM解：PM =PM 最小，则只需CP 最小即可，所以P 点为过C 作l 垂线的垂足时，CP 最小∴过P 作圆的切线，则切线长PM 最短4、与圆锥曲线相关的最值关系：（1）椭圆：设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>① 焦半径：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c -② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为22b a ，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（2）双曲线：设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>① 焦半径：焦半径的最小值为a c -，无最大值② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为22b a，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（3）抛物线：设抛物线方程为22y px =① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即2p ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为2pN二、典型例题：例1：已知在平面直角坐标系中，点()()1,1,3,4A B -，P 为x 轴上一动点，则PA PB +的最小值为___________思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得：5AB =，但从图像上发现无论P 在何处，PA PB AB +>，无法取到等号。
（即使,,P A B 共线时等号也不成立），为了取到最值。
考虑利用对称转移所求线段。
作A 关于x 轴的对称点'A ，从而有'AP A P =，所以PA PB +转化为'PA PB +，可知当',,A P B 三点共线时，()''minPAPBA B +==()min PA PB +=小炼有话说：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。
同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。
（2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件例2：设抛物线24y x =上一点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A. 3 B.165 C. 185D. 4 思路：通过作图可观察到直接求12d d +的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可得1d 为P 到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为PF （其中F 是抛物线的焦点，()1,0F ），所以122d d PF d +=+，观察图像可得：2311235F l PF d d -⋅++≥==答案：A例3：已知过抛物线24y x =的焦点F 的弦与抛物线交于,A B 两点，过,A B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为,C D ，则AC BD +的最小值为__________ 思路：设抛物线的准线为l ，由抛物线24y x =可知:1l x =- ，观察图像可知1,1A l B l AC d BD d --=-=-。
而由抛物线定义可得：,A l B l d AF d BF --==，所以112A C B D A F B F A B+=-+-=-，即要求出AC BD +的最小值，只需求出AB 的最小值，即抛物线焦点弦的最小值，由抛物线性质可知当AB x ⊥轴时，AB 最小，min 24AB p ==，所以()m i n 2AC BD +=答案：2例4：已知点3,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线()2:20E x py p =>的准线上，过点P 作抛物线的切线，若切点A 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点M 在直线AF 上，点N 在圆()()22:221C x y +++=上，则MN 的最小值为（ ）A.15 B. 65C. 2D.1- 思路：由图像可知，固定M 点，则圆C 上到M 距离的最小值1CM r CM -=-，所以只需在直线上找到与圆心C 距离最小的点，即C 到直线AF 的距离。
需要确定抛物线方程和A 点坐标，由3,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得准线方程为1y =-，所以2p =，抛物线方程为22144x y y x =⇒=，焦点()0,1F 设21,4A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则'12y x =，切线斜率12k a =，从而211144322a k a a a +==⇒=-，即()4,4A，413404AF k -==-，所以直线AF方程：3440x y -+=，从而m i 4115MN =-=答案：A例5：抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A.14 B. 43 C. 85D. 3 思路一：直接利用点到直线距离公式得到距离关于x 的函数，设抛物线上的点()2,P x x -，则22220343833201455353P l x x x d -⎛⎫-+⎪--⎝⎭==≥⋅=，所以最小值为43思路二：本题也可将直线进行平移，平移至与抛物线相切，则两直线之间的距离即为所求最小值。
所以只需求与已知直线平行且与抛物线相切的直线，设切点坐标为()00,x y ，所求函数的导数'2y x =-，因为切线与4380x y +-=平行，所以0423x -=-，可得023x =，进而20049y x =-=-，故切线方程为：442933y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，整理后可得：44303x y +-=，所以两直线距离483453d ⎛⎫--- ⎪⎝⎭==，即抛物线上的点到距离的最小值 答案：B例6：已知点M 是抛物线24y x =的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆()()22:411C x y -+-=上，则MA MF +的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 思路：本题含两个动点,M A ，先固定一个点不动，寻找最小值的规律。
考虑固定M ，则圆上距离M 最近的点为MC 与圆的交点，即min 1MA MC r MC =-=-，所以只需考虑MC MF +的最小值即可，通过移动M 可知，无论M 位于何处，MC MF CF +>，所以CF 不是最小值。
考虑转移线段，抛物线的准线:1l x =-，则M l MF d -=，所以5M l C l MC MF MC d d --+=+≥=（即C到准线的距离，所以114C l MA MF MC MF d -+≥-+≥-=答案：C例7：已知动点(),P x y 在椭圆2212516x y +=上，若点A 的坐标为()3,0，1,0AM PM AM =⋅= ，则PM的最小值是（ ）A.B. C. 2 D. 3思路：由椭圆方程可知A 即为椭圆的焦点，由1AM =可知M 是以A 为圆心，半径为1的圆上的点，P 在圆外，且由0PM AM ⋅=可得PM AM ⊥，所以PM 即为圆上的切线，PM的最小值即切线长的最小值，由圆的性质可得：PM ==所以只需找到PA 的最小值即可，由椭圆性质可知：min 532PA a c =-=-=，故minPM==答案：B例8：设1F 是椭圆2212516x y +=的左焦点，P 是椭圆上的任意一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为___________ 思路：先作出椭圆图像，标出定点1,M F 的位置，若从1F M 入手，则由图发现无论P 在何处，11PM PF F M +>。
与所求最大值不符。
考虑进行线段转移，发现1PF 为左焦半径，所以考虑作出右焦点()23,0F ，利用12210PF PF a +==进行线段转移。
即1210PM PF PM PF +=+-，只需求出()2maxPMPF -，结合图像可得22PM PF F M-≤，且25F M ==，从而可得：()12max1015PM PF F M +=+=答案：15例9：设P 是椭圆22195x y +=上一点，,M N 分别是两圆()221:21C x y ++=和2:C ()2221x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（ ）A. 4,8B. 2,6C. 6,8D. 8,12 思路：本题有三个动点,,P M N ，但观察可得,PM PN 之间没有联系，所以若PM PN +达到最小，则只需,PM PN 分别达到最小即可。
