高中数学讲义 第九章 圆锥曲线(超级详细)

数学定义几何学基本概念：从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，二直线平行；有无穷多解时，二直线重合；只有一解时，二直线相交于一点.常用直线与X轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切(称直线的斜率）来表示平面上直线（对于X轴)的倾斜程度。

可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。

直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定.在空间,两个平面相交时,交线为一条直线.因此,在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

空间直线的方向空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。

直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。

在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象.在建立欧几里得几何学的公理体系时,直线与点、平面等都是不加定义的,它们之间的关系则由所给公理刻画。

关系式◆直线的斜率：k=（y2-y1）/（x2—x1)（x1≠x2)（1)一般式：适用于所有直线Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2两直线垂直时：A1A2+B1B2=0两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2两直线相交时：A1/A2≠B1/B2（2）点斜式:知道直线上一点(x0,y0）,并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k（x-x0）当k不存在时,直线可表示为x=x0（3）截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线知道直线与x轴交于（a,0),与y轴交于(0,b），则直线可表示为x/a+y/b=1（4)斜截式:Y=KX+B(K≠0）当k>0时，y随x的增大而增大；当k〈0时，y随x的增大而减小.两直线平行时K1=K2两直线垂直时K1XK2=-1（5)两点式x1不等于x2y1不等于y2(y-y1）/(y2-y1）=(x—x1）/（x2—x1)（6）法线式x·cosα+ysinα-p=0（7）点到直线方程注意：各种不同形式的直线方程的局限性：①点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线；②两点式不能表示与坐标轴平行的直线；③截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线；④直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零．（8）两平行直线间的距离IC1-C2I/根号下A的平方加上B的平方椭圆椭圆作图范例椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。

完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

第九章圆锥曲线■知识结构椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．■考试要求1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．理解椭圆的参数方程．2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．4.了解圆锥曲线的初步应用．第一节椭圆(一)◆考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解椭圆的参数方程.◆要点归纳1.椭圆的定义:第一种定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.2.椭圆的标准方程:(1))0(12222>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -.(2))0(12222>>=+b a ay b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中c=22b a -.3.椭圆的参数方程:⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a by a x 为例:①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b;④离心率:e=a c ,0<e<1;⑤准线x=±ca 2;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.◆ 再现基础1.椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到准线的距离是( ) A.558 B.554 C.358 D.334 2.如果方程x 2+ky 2=2,表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 3.一个椭圆的离心率为21,准线方程为x=4,对应的焦点F 1(2,0),则椭圆的方程为 4.若椭圆的焦距、短轴、长轴长成等差数列,则该椭圆的离心率为 .5.已知椭圆181222=+y x 上有一点P 到右焦点的距离是3,则P 到左准线的距离为 ◆ 方法点拔1.求椭圆方程的常用方法有:定义法,待定系数法.2.紧扣椭圆的定义,正确认识椭圆的几何性质.3.注意椭圆的标准方程的结构,参量,推断椭圆的几何性质,并学会讨论的方法.4.分析解决与椭圆相关的问题时,注意用数形转化,数形结合的思维方式.◆ 题型例析例1.设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F 1,右准线为l,若过F 1且垂直于x轴的弦的长等于F 1到l 的距离,则椭圆的离心率是 .解:把右焦点F 1(c,0)的横坐标代入椭圆方程得y 2=b 2(1-22a c )=24ab ,y=a b 2±,∴过F 1垂直x 轴的弦长为a b 22,又右焦点到右准线的距离为c b c c a 22=-,由题意ab 22=c b 2得e=21=a c .例2.已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为3,求该椭圆的方程.解:若椭圆的焦点在x 轴上,则可设方程为)0(12222>>=+b a by a x ,两焦点为F 1(-C,0),F 2(C,0),短轴的一个端点为B(0,b),长轴的一个端点为A(a,0), (c=22b a -).由ΔBF 1F 2为正三角形知|BF 1|=|BF 2|=|F 1F 2|,所以a=2c,又焦点到椭圆上的点的最短距离为a-c,于是a-c=3,联立⎩⎨⎧=-=32c a ca 解之,得a=23,c=3,b=3,故所求的椭圆方程为191222=+y x .同理,若椭圆的焦点在y 轴上,椭圆方程为191222=+x y . 例3已知椭圆22x +y 2=1.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程;(3)求过点P(21,21)，且被P 平分的弦所在的直线方程.解:设弦的两端点分别为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)、MN 的中点为P(x,y)，则x 21+2y 21=2，x 22+2y 22=2,两式相减并除以(x 2-x 1)得x 1+x 2+2(y 1+y 2)1212x x y y --=0,而x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y∴x+2y1212x x y y --=0 (*)(1)将1212x x y y --=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将1212x x y y --=21--x y 代入(*)式,得所求的轨迹方程为x 2+2y 2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x 1+x 2=1,y 1+y 2=1代入(*)式，得1212x x y y --=-21∴所求的直线方程为2x+4y-3=0.例4.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ,A,B 是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P(x 0,0),证明:ab a x a b a 22022-<<--. 证明:设A,B 的坐标分别为(x 1,y 1)和(x 2,y 2),因线段AB 的垂直平分线与x 轴相交,故AB 不平行于y 轴,即x 1≠x 2,又交点为P(x 0,0),故|PA|=|PB|.即(x 1-x 0)2+y 12=(x 2-x 0)2+y 22① ∵A,B 在椭圆上,∴y 12=b 2-22a b x 12; y 22=b 2-22ab x 22.将上式代入①得:2(x 2-x 1)x 0=(x 22-x 12)222ab a - ②∵x 1≠x 2,可得 x 0=221x x +·222a b a -,∵-a ≤x 1≤a,-a ≤x 2≤a 且x 1≠x 2,∴-2a<x 1+x 2<2a,故ab a x a b a 22022-<<--.◆ 应用平台一.选择题:1.F 1,F 2是定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则M 点的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆2.若椭圆13422=+y x 内有一点P(1,-1),F 为右焦点,椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|值最小,则点M 为( )A.(362,-1) B.(1,23±) C.(1,-23) D.(1,362-±)3.已知F 1,F 2是椭圆)20(14222<<=+b by x 的两个焦点,B 是知轴的一个端点,则ΔF 1BF 2的面积的最大值为( )A.1B.2C.3D.44.椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|:|PF 2|的值为( )A.7:1B.5:1C.9:2D.8:35.设F 1(-c,0),F 2(c,0)(c>0)是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点,P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点,且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则该椭圆的离心率为( ) A.36 B.23 C. 22 D. 32二.填空题:6.椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k= .7.已知椭圆1422=+y m x 的离心率e=22,则m 的值等于 . 8.以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆经过椭圆的中心且交椭圆于M,N 两点,且F 1M 是⊙F 2的切线,则该椭圆的离心率为 .三.解答题:9.已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和352,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程.10.已知椭圆14322=+y x .试问能否在x 轴的下方的椭圆弧上找一点M,使M 到下准线的距离|MN|等于M 到两焦点F 1,F 2的距离的比例中项.若能找到,求出此点坐标;若找不到,须说明理由.◆ 素质培养1.已知椭圆长轴|A 1A 2|=6,焦距|F 1F 2|=42,过焦点F 1作一直线,交椭圆于两点M,N,设∠F 2F 1M=α(0≤α<π),当α取什么值时,|MN|等于椭圆短轴的长?2.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,一条准线的方程是x=1,倾斜角为4π的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,且线段AB 的中点为(-41,21). (1)求椭圆C 的方程;(2)设P,Q 为椭圆上的两点,且满足|OP|2+|OQ|2=43,求证:直线OP 与OQ 斜率之积的绝对值为定值.第二节 椭圆（二）◆ 再现基础1.已知椭圆13422=+y x ，F 1,F 2是它的两个焦点，P 是这个椭圆上任意一点，那么当｜PF 1｜·｜PF 2｜取最大值时，P 、F 1、F 2三点( )A.共线B.组成一个正三角形C.组成一个等腰直角三角形D.组成一个锐角三角形 2.B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若｜F 1B 2｜是｜OF 1｜和｜B 1B 2｜的比例中项，则||||21OB PF 的值是( )A.2B.22C.23 D.323.已知椭圆C 的方程为)0(116222>=+m m y x ,如果直线y=22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的投影恰好是椭圆的右焦点F,则m 的值为( )A.2B.22C.8D.234.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .5.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程为 .◆ 题型例析例1 已知MN 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中垂直于长轴的动弦，AB 是椭圆长轴的两端点，求直线MA 与NB 的交点P 的轨迹方程.解：设M 、N 的坐标为M(x 0,y 0)，N(x 0,-y 0)，又A(-a,0),B(a,0),所以直线AM 的方程为y=)(00a x a x y ++ ① 直线BN 的方程为：y=)(00a x ax y --- ② ①×②得：y 2=)(222202a x a x y --- ③ ∵点M(x 0,y 0)在椭圆上，∴b 2x 20+a 2y 20=a 2b 2∴x 20-a 2=-22a b y 18,代入得③得：y 2=22a b (x 2-a 2),∴交点P 的轨迹方程为12222=-by a x .例2 已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l :y=3x-2截得弦的中点横坐标为21，求椭圆方程.解：∵C=50，∴a 2=b 2+50,∴可设椭圆方程为1502222=++bx b y ,把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b 2+5)x 2-12b 2x-b 4-46b 2=0，∴x 1+x 2=)5(101222+b b ,又∵21221=+x x ，∴12b 2=10b 2+50,解得b 2=25 a 2=75,∴所求的椭圆方程为1257522=+x y . 例3.已知P 为椭圆192522=+y x 上的一点，F 1F 2是椭圆上的两焦点，∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2的面积. 解：∵21PF F S ∆=21｜PF 1｜·｜PF 2｜sin ∠F 1PF 2,又因为有|PF 1|+|PF 2|=10,|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=4c 2=64,两式联立解得｜PF 1｜·｜PF 2｜=12, ∴21PF F S △=21×12×23=33. 例4.已知方程2(k 2-2)x 2+k 2y 2+k 2-k-6=0表示椭圆，求实数k 的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a 2y 2+b 2x 2-a 2b 2=0从而有：∴k ∈(-2，-2)∪(2，2)∪(2，3)例5．已知椭圆C 的方程为13422=+y x ，试确定m 的取值范围，使得对于直线y ＝4x+m ，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称． 解:设M(x,y)是椭圆C 的斜率为41-的平行弦中点轨迹上任一点,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)都在椭圆13422=+y x 上，即3x 12+4y 12=12 ①，3x 22+4y 22=12 ②，①－②得 3(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,即2121212143y y x x x x y y ++⨯-=--, 又∵x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y,∴412121-==--k x x y y ,∴y x ⋅-=-4341,即3x-y=0,联立方程3x-4y=0,y=4x+m,解得交点(-m,-3m).点(-m,-3m)在椭圆内，∴13)3(4)(22<-+-m m 解得1313213132<<-m . ◆ 应用平台.一.选择题:1. 已知椭圆上有三点（，）（1，2，3），它们到同一个焦点的距离分别是，，，则，，成等差数列的充要条件是（ ） A.，，成等差数列 B.，，成等差数列C. 上述A 、B 同时成立D. A 、B 以外的条件2.A 、B 分别是x 轴，y 轴正方向上的点，F 为OA 上的点，∠OFB=30°，当S △ABF =2-3，那么以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为焦点的椭圆方程是( )A.4922y x +=1 B.51022y x +=1 C.102522y x +=1 D.2822y x +=1 3.椭圆ax 2+by 2=-ab(a ＜b ＜0)的焦点坐标是( ) A.(b a -±,0) B.(a b -±,0) C.(0, b a -±) D.(0, a b -±)4.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e=23,焦点F 1,F 2对应的准线分别为l 1,l 2,点P 为此椭圆上一点,|PF 1|=b,则P 到l 2的距离为( )A.63b B.332 b C.233 b D.23b 5.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点为A,B,C,D,若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( )A.253- B.853+ C.215- D.815+ 二.填空题:6.点A(1,1),F 1是椭圆5x 2+9y 2=45的右焦点,点P 是该椭圆上的动点,则|PA|+|PF 1|的最大值为 .7.P 点在椭圆204522y x +=1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标是 .8.椭圆192522=+y x 的两个焦点为F 1,F 2,P 为椭圆上一点,且∠F 1PF 2=60°,则ΔF 1PF 2的面积为 .三.解答题:9.P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，过P 作圆x 2+y 2=b 2的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，直线AB 分别交x,y 轴于M 、N ，求△OMN 面积的最小值.10.已知椭圆C: )0(12222>>=+b a by a x ,F 是其左焦点,Q 是其右准线与x 轴的交点,点P(0,3)满足∠FPQ=90°,N 是直线PQ 与椭圆C 的一个公共点,当|PN|:|NQ|=1:8时,求椭圆的方程.◆ 素质培养1.已和椭圆C 的两个焦点F 1(-22,0),F 2(22,0).(1)当直线l 过F 1与椭圆C 交于M,N 两点且△MF 2N 的周长为12时,求椭圆C 的方程. (2)是否存在直线m 过P(0,2)点与椭圆C 交于A,B 两点且以AB 为直径的圆过原点,若存在,求出直线m 的方程;若不存在,说明理由.2.已知直线y=x+m 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A,B.AB 的中点为M,M 恒在直线y=kx 上,试问k 是否可以取(1)-2,(2)-21(3) 21?若不可以取,说明理由;若可以取,求出相应椭圆的离心率.第三节 双曲线(一)◆ 考纲要求掌握双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质.1.双曲线的定义(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(2)双曲线的第二定义:若点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1)2.双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上:)0,0(12222>>=-b a by a x ,焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0),22b a c +=.(2)焦点在y 轴上: )0,0(12222>>=-b a bx a y ,焦点坐标为F 1(0,-c),F 2(0,c).22b a c +=.3.双曲线简单几何性质:以标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x 为例.(1)范围:|x|≥a;即x ≥a,x ≤-a.(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).(3)顶点:A 1(-a,0),A 2(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A 1A 2叫双曲线的实轴,B 1B 2叫双曲线的虚轴,其中B 1(0,b),B 2(0,b).|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b. (4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=ab ±x;(5)准线:x=ca 2±;(6)离心率:e=ac,e>1. 4.等轴双曲线:x 2-y 2=±a 2,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率e=2◆ 再现基础1．点集A ＝{M||MF 1|-|MF 2|},其中F 1,F 2是两个定点,那么动点M 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条线段 D.无轨迹2.若方程1162522=++-ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线,则k 的取值范围是( ) A.-16<k<25 B.k<-16 C.k<-16或k>25 D.k>253.方程121||22=-+-my m x 表示双曲线,那么m 的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+)B.(2,+∞)C.(-1,1)∪(2,+∞)D.(-1,2) 4.若双曲线的渐近线方程为y=23±x,则其离心率为 . 5.与双曲线12422=-y x 有相同焦点且过点A(2,1)的双曲线方程为 . ◆ 方法点拨1.在求双曲线方程和研究双曲线性质时,要深刻理解确定双曲线的形状,大小的几个主要特征量,如a,b,c,e 的几何意义及它们之间的相互关系.2.求共渐近线mx ±ny=0的双曲线方程时,可设双曲线方程为m 2x 2-n 2y 2=λ(λ≠0)再利用其他条件确定λ的值,其实质是待定系数法.3.直线与双曲线的位置关系问题,常转化为一元二次方程进行研究,但应注意化归过程的等价性.4.圆锥曲线上一点与焦点所连的线段称为焦半径,过焦点弦的问题常用焦半径,要掌握求焦半径的方法.◆ 题型例析例1.以动点P 为圆心与⊙A:(x+5)2+y 2=49及⊙B:(x-5)2+y 2=1都外切,求动点P 的轨迹方程.解:设动点P(x,y),动圆半径为r,由题意知,|PA|=7+r,|PB|=1+r.可知:动点P(x,y)满足|PA|-|PB|=6,由双曲线的定义可知P 点的轨迹为双曲线的右支,且2a=6，由双曲线的定义可知P 的轨迹是双曲线的右支,∴a=3,又∵2c=10,∴c=5,b=4.P 点的轨迹方程是)0(116922>=-x y x 例2.求与椭圆192522=+y x 共焦点，且过点(32,7)的双曲线的方程. 解:由题意知所求双曲线的焦点在x 轴上,且2c=8，∴c=4,设所求双曲线方程为1162222=--λλy x 代入点(32,7)，得λ2=7，故所求双曲线方程为17922=-y x . 例3.双曲线的实半轴与虚半轴长的积为3,它的两个焦点分别为F 1,F 2,直线l 过F 2且与直线F 1F 2的夹角为α,且tan α=221,l 与线段F 1F 2的垂直平分线的交点为P,线段PF 2与双曲线的交点为Q,且|PQ|:|QF 2|=2:1,建立适当的坐标系,求双曲线的方程.解:以F 1F 2的中点为原点, F 1,F 2所在直线为x 轴建立坐标系,则可设所求双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ,F 1(-c,0),F 2(c,0),由题设知直线l 的方程为y=221(x-c),在方程中令x=0,得点P 的坐标(0,-221c),因|PQ|:|QF 2|=2:1，所以22=,由定比分点公式可得点Q 的坐标为(c c 621,23-).又点Q 在双曲线上,所以13621942222=-b c a c ①,又c 2=a 2+b 2 ②,由题设知ab=3 ③,由此三式联立方程组可解得a=1,b=3,故所求双曲线方程为1322=-y x .由对称性知1322=-x y 也适合.故双曲线方程为1322=-y x 或1322=-x y . 例4 △ABC 一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点A 的轨迹. 解:设A 的坐标为(x,y),由已知可得x y k AB 6-=,xy k AC 6+=,依题意有: 94=⋅AC AB k k ,即:⋅-x y 6946=+x y ,化简整理可得顶点A 的轨迹方程：)0(1813622≠=-x x y . ◆ 应用平台一.选择题:1.如果双曲线1366422=-y x 上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线的距离是( ) A.10 B.7732 C.72 D.5322.已知双曲线m:9x 2-16y 2=144,右椭圆n 以m 的焦点为顶点,以m 的顶点为焦点,则椭圆n 的准线方程是( ) A.516±=x B.316±=x C.425±=x D.325±=x 3.设圆C 过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点,且圆心在该双曲线上,则圆心到该双曲线的中心的距离是( ) A.34 B.3104 C.316 D.5 4.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F,右准线为l,过F 点作垂直于x 轴的直线m 交双曲线于A,B,且|AB|等于l 到m 间距离的4倍,则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.2D.35.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F,作渐近线x a b y =的垂线与双曲线左右支都相交,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.1<e<2B.1<e<2C.e>2D.e>2二.填空题:6.若双曲线1366422=-y x 上点P 到它的右焦点的距离是8,则它到其左准线的距离 是 .它到左焦点的距离是 . 7.若双曲线过点(6,3),且它的两条渐近线方程是x y 31±=,那么双曲线的方程是 .8.双曲线与椭圆9x 2+25y 2=225有相同的焦点,又过点(3,-1),则双曲线的渐近线方程是 .三.解答题:9.在双曲线9x 2-16y 2=144上求一点M,使它到左右两焦点的距离之比为3:2,并求M 点到两准线的距离.10.双曲线kx 2-y 2=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l 与右准线交于A,FA 与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B 为AC 的中点,求双曲线方程.◆ 素质培养1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率e=332,过A(a,0),B(0,-b)的直线到原点的距离是23.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=kx+5(k ≠0)交双曲线于不同的两点C,D,且C,D 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.2.过双曲线G:),0,0(12222b a b a by a x ≠>>=-的右焦点F 作直线l,使l 垂直G 的斜率为正值的渐近线,垂足为P,设l 与G 的左右支分别交于A,B 两点.(1)求证:P 点在G 的右准线上;(2)求G 的离心率e 的取值范围.第四节 双曲线(二)◆ 再现基础1.双曲线12222=-b y a x 的实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则双曲线的离心率是A.2B.3C.34 D.352.双曲线12222=-b y a x 的离心率为e 1,双曲线12222=-bx a y 离心率为e 2, 则e 1 + e 2的最小值为A.2B.2C.22D.43.设直线l 垂直于双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴所在直线,垂足为M,且与双曲线相交于P,与渐近线的一个交点为Q,则|MQ|2-|MP|2等于( )A.a 2B.b 2C.a 2+b 2D.(a 2+b 2)/24．双曲线2mx 2－y 2= 2有一条准线是y = 1 ,则m 的值为 . 5.已知双曲线12222=-b y a x )0,0(>>b a 的离心率为251+，A 、F 分别是它的左顶点和右焦点，B 点坐标为(0，b)，则∠ABF= .◆ 题型例析例 1. 已知双曲线1cot 16tan 2422=-θθy x (2π＜θ＜π)过点A(43,4).(1)求实轴、虚轴的长；(2)求离心率；(3)求顶点坐标；(4)求点A 的焦半径. 解：因为双曲线过点A(43,4),所以1cot 1616tan 24316=-⨯θθ,tan 2θ+tan θ-２＝0 ,tan θ＝-2,(tan θ=1舍去，因为2π＜θ＜π)，∴双曲线方程为-84822y x +＝1.从而a=22,b=43,c=214. (1)实轴长2a=42，虚轴长2b ＝83.(2)离心率e ＝ac＝7.(3)顶点为(0，22)，(0，-22).(4)焦点F 1(0，-214)，F 2(0，214).｜AF 1｜＝)114(22)1424()34(22+=++，｜AF 2｜＝)114(22)1424()34(22-=-+例2.过双曲线116922=-y x 的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB 的中点C 到右焦点F 的距离，并求弦AB 的长.解:∵双曲线的右焦点为F(5，0),∴直线AB 的方程为y ＝x-5 ①双曲线方程为16x 2-9y 2-144=0 ②,由①,②消去y ，并整理得7x 2+90x-369＝0 ③,此方程的两个根x 1、x 2是A 、B 两点的横坐标，设AB 的中心点C 的坐标为(x,y)，则x ＝221x x + =-745.C 点的坐标满足方程①，故y ＝-745-5＝-780.∴｜CF ｜＝7280)780()7455(22=++,又设A 点坐标为(x 1,y 1),B 点坐标为(x 2,y 2)，则y 1＝x 1-5,y 2＝x 2-5.∴y 1-y 2＝x 1-x 2，｜AB ｜＝221221)()(y y x x -+-=]4)[(2)(221221221x x x x x x -+=-,由方程③知x 1+x 2＝-790,x 1·x 2＝-7369∴｜AB ｜=2773. 例 3.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率e>1+2,左,右焦点分别为F 1,F 2,左准线为l 1,能否在双曲线的左支上找到一点P,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?解:设在左半支上存在点P,使|PF 1|2=|PF 2|d,由双曲线的第二定义知e PF PF d PF ==||||||121 ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|-|PF 1|=2a ②,由式①②解得|PF 2|=12-e a ,|PF 1|=12+e a ,又|PF 2|+|PF 1|≥2c,∴12-e a +12+e a≥2c ③利用e=ac ,从式③得e 2-2e-1≤0解得1-2≤e ≤1+2,∵e>1,∴1<e ≤1+2,与已知e>1+2相矛盾.∴符合条件的点P 不存在.例4.过点B(1,1)能否作直线l 使它与双曲线1222=-y x 交于Q 1,Q 2两点,且点B 是线段Q 1Q 2的中点?如果存在,求出方程;如果不存在,说明理由.解:方程x=1显然不合题意,故可设l 的方程为y-1=k(x-1)代入双曲线方程得(2-k 2)x 2+(2k 2-k)x-k 2+2k-3=0 ①,设Q 1(x 1,y 1),Q 2(x 2,y 2),则x 1,x 2为方程①的两根,有x 1+x 2=2,故222222=--k kk ,∴k=2,直线方程为y-1=2(x-1),但是当k=2时,方程①为-2x 2+4x-3=0,即2x 2-4x+3=0,Δ<0,因此满足条件的直线不存在.◆ 应用平台一.选择题:1.双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x －4y ＋c = 0，则准线方程为A.x=2±516 B.y=±516 C.x=2±59 D.y=2±592.与双曲线122=+ny m x (mn<0)共轭的双曲线方程是 ( ) A.122=+-n y m x B. 122=-n y m x C. 122=+nx m y D.122-=+n y m x 3.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 ( )(A)32x -y 2=1和92y -32x =1 (B) 32x -y 2=1和y 2-32x =1C.y 2-32x =1和x 2-32y =1 D. 32x -y 2=1和92y -32x =15.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率e ∈[2,2],令双曲线两条渐近线构成的角中,以实轴为角平分线的角为,则的取值范围是( )A.[6π,2π] B.[3π,2π] C.[2π,32π] D.[ππ,32]二.填空题:6.双曲线C 与双曲线92x -162y =1有共同的渐近线,且过点A(-3,23),则C 的两条准线之间的距离为 .7.双曲线92x -162y =1的两个焦点为F 1,F 2点P 在双曲线上,若PF 1⊥PF 2则点P 到x 轴的距离为 .三.解答题:8.已知不论b 取何实数，直线y=kx+b 与双曲线x 2-2y=1总有公共点，试求实数k 的取值范围.9.双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线=2x 对称的两点A 、B?若存在，试求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ,F 1、F 2是其左、右焦点.(1)设P(x 0, y 0)是双曲线上一点，求|PF 1|、|PF 2|的表达式。

解析几何——圆锥曲线 高二 10.11一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<<e e 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。

常数叫做离心率。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数方程⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x 为参数)⎩⎨⎧==θθθ(sin cos a y b x 为参数)图 形顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率)10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁） 准 线ca x 2±= ca y 2±= 二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。

高中数学讲义圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课 椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是______ 2.椭圆1422=+y x 的离心率为______3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为______ 【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。

圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0y 2a 2+x 2b2=1a >b >0范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，B 10,-b ，B 20,bA 10,-a ，A 20,a ，B 1-b ,0 ，B 2b ,0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =c a=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2cy =±a 2c切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0xb 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c (2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tan θ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于F1F2）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1a>0,b>0y2a2-x2b2=1a>0,b>0范围x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+e x0，|PF2|=-a+e x0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e>1准线方程x=±a2c y=±a2c渐近线y=±ba x y=±ab x切线方程x0xa2-y0yb2=1x0xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S△F1PF2=b2÷tanθ2=c∙y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinθsinα-sinβ=sin(α+β)sinα-sinβyxF1F2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2准线方程x =-p 2x =p2y =-p 2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ,(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2P (4)AB =2psin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ,0)则设直线：x =my +a ,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ,y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ,韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 2 3、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn,可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2,x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0,y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中,有k MN ⋅y 0=p .(椭圆)设M 、N 两两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则有x 12a 2+y 12b 2=1,⋯⋯(1)x 22a 2+y 22b 2=1.⋯⋯(2) (1)−(2)，得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0.∴y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=−b 2a2.又∵k MN =y 2−y 1x 2−x 1,y 1+y 2x 1+x 2=2y 2x =y x .∴k MN ⋅y x =−b 2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数x =f (t )y =g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※2、直线的参数方程(1)过定点P (x 0,y 0)、倾斜角为α(α≠π2)的直线的参数方程x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)(2)参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y )为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M 0M|=|t |，|t |表示直线上任一点M 到定点M 0的距离.当点M 在M 0上方时，t >0；当点M 在M 0下方时，t <0；当点M 与M 0重合时，t =0；(3)直线方程与参数方程互化：y −y o =tan α(x −x o )⇔x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)(4)直线参数方程：x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)，当a 2+b 2=1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当a 2+b 2≠1时，将参数方程化为x =x 0+aa 2+b 2t y =y 0+ba 2+b 2t 然后在进行计算.★3、圆的参数方程（1）圆心(a ,b )，半径r 的圆(x -a )2+(y -b )2=r 2参数方程x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)；特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为：x =r cos θy =r sin θ (θ是参数).(2)参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消参的方法：利用sin 2θ+cos 2θ=1，yxF 1F 2PN OMyxM 0tαO M 1αP (x ,y )rxy可得圆方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2★4、椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为x =a cos φy =b sin φ (φ为参数)；椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的参数方程为x =b cos φy =a sin φ (φ为参数)；(2)参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P 对应的离心角为θ=∠QOx (过P 作PQ ⊥x 轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q )，切不可认为是θ=∠POx .5、双曲线的参数方程（1）双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程x =a sec φy =b tan φ (φ为参数)；sec φ=1cos φ双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >b >0)的参数方程x =b cot φy =a csc φ (φ为参数)；csc φ=1sin φ（2）参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角.※6、抛物线的参数方程（1）抛物线y 2=2px 参数方程x =2pt 2y =2pt(t 为参数，t =1tan α)；（2）参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t =1k OP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.※2、椭圆的变换：椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2变换内容x =x y=a b y x =xy =b a yx =b a x y=yx =a b x y =y圆方程x 2+y 2=a 2x 2+y 2=b 2图示yxAB OCyxABOCyxAB OCyxAB OC 点坐标A (x 0,y 0)→A '(x 0,a by 0)A (x 0,y 0)→A '(b ax 0,y 0)斜率变化k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a 2k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a2弦长变化则AB =1+k 2x 1-x 2 ⇒A 'B '=1+k '2x 1-x 2 =1+(a b)2k 2x 1-x 2 yxαPOQ面积变化S△ABC=b a S△A'B'C'(水平宽不变，铅锤高缩小)S△ABC=a b S△A'B'C'(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，k OP⋅k AB=−b2a2，中垂线问题k OPk MP=b2a2，且x M=c2x0a2y N=-c2y0b2，拓展1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C'为120°的等腰三角形；△A'B'C'为等边三角形；拓展2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B' 4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且k OA⋅k OB=−b2a2,则经过仿射变换后k OA'⋅k OB'=−1，所以S△AOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：①k OA⋅k OB=−b2a2②S△AOB=ab2③OM=sinαOA+cosαOBα∈0,π2，三者等价※5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny=1③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.④在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则x M⋅x N=a2时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则y M⋅y N=b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；※2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分∠AOC则有：k1+k2=tanα+tan(π-α)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0),其中k 是待定的系数;经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0,其中A ,B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．4、圆系方程(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0,λ是待定的系数．(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,λ是待定的系数．★(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A ,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中α,β分别为MA ,MB 的倾斜角，则：①、MA ⋅MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；②、k MA ⋅k MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)⇔直线AB 恒过定点.（2）抛物线中直线过定点：A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两动点，α,β分别为OA ,OB 的倾斜角，则：OA ⊥OB ⇔k OA ⋅k OB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(2p ,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于右顶点D 的两动点，其中α,β分别为DA ,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA ⊥DB ⇔k DA ⋅k DB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(ac 2a 2+b 2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y -y 0=k (x -x 0)可求得定点坐标(x 0,y 0)2含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为h (x ,y )+λf (x ,y )=0,解方程组：h (x ,y )=0f (x ,y )=0 可得定点坐标.eg :直线方程：（2m +1）x +(m -5)y +6=0,将m 看作主元，按照降幂排列：（2x +y ）m+x -5y +6=0,解方程组：2x +y =0x -5y +6=0,解得：x =-611y =1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S △ABC =12MN ∙d ，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S △ABC =12×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1例题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O 0,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 不共线，证明：△AOB 的面积为S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .2、面积中最值的求解(1)f (x )=αx 2+βx +φx +n型：令t =x +n ⇒x =t -n 进行代换后裂项转化为：y =at +bt (2)f (x )=x +n αx 2+βx +φ型：先在分母中配出分子式f (x )=x +n α(x +n )2+λ(x +n )+υ令t =x +n ，此时：y =t αt 2+λt +υ，分子分母同时除t ，此时y =1αt +υt+λ，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f (x )=αx +βx +n型：令t =x +n ⇒x =t 2-n 进行代换后裂项，可转化为：y =at +bt五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e<14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).9.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则在点P0处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.15.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2+1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2a2A2+b2B2.17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a>0,.b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=-1+m1-m⋅b2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点三角形的面积为S△F1PF2=b2tanγ2，P±ac c2-b2tan2γ2,±b2c tanγ2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则a-ca+c=tanα2tanβ2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0)).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02≤(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=a cosϕy=b sinϕ(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2ϕ.29.设A,B为椭圆x2a2+y2b2=k(k>0,k≠1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1中，定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为m 2=1-x 2a 2+y 2b 2a 2cos 2α+b 2sin 2α ,其中tan α=-bx ay ,当y =0时,α=90∘.31.设S 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，M(x 0,y 0)是AB 中点，则当l ≥ΦS 时，有(x 0)max =a 2c -l 2e c 2=a 2-b 2,e =c a;当l <ΦS 时，有(x 0)max =a 2b4b 2-l 2,(x 0)min=0.32.椭圆x 2a 2+y 2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2.33.椭圆(x -x 0)2a 2+(y -y 0)2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C )2.34.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=α,∠PF 1F 2=β,∠F 1F 2P =γ，则有sin αsin β+sin γ=c a =e.35.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则|P 1A 1|⋅|P 2A 2|=b 2.36.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ .(1)1|OP |2+1|OQ |2=1a 2+1b2;(2)|OP |2+|OQ |2的最小值为4a 2b 2a 2+b 2;(3)S ΔOPQ 的最小值是a 2b 2a 2+b 2.37.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则|AB |2=2a |MN |.38.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP ⊥MN ，则2a |MN |+1|OP |2=1a 2+1b2.39.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M (m ,o )或(o ,m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：x =a2m(或y =b 2m)上.40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=k x上,而且kk =-b2 a2 .43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA⋅PBPC⋅PD=b2cos2β+a2sin2βb2cos2α+a2sin2α.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x±c2 a2y2+b2x±c2.45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF||MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a<x0<a2-b2 a.50.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则(1)|PF1||PF2|=2b21+cosθ.(2)SΔPF1F2=b2tanθ2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=90∘⇔a-ma+m=a2n-m2 b2(n+a)2.52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P∈L，若∠EPF=α，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈L，e是离心率，∠EPF=α，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=ab c时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤e2或α≤arcsin e2(当且仅当|PH|=b c a2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b2≤|F1A|⋅|F1B|≤(2a2-b2)2a2(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α,∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cosα|a2-c2cos2α.(2)tanαtanβ=1-e2.(3)SΔPAB=2a2b2b2-a2cotγ.57.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且x A、x B的横坐标x A⋅x B=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB=180∘.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标x A、x B满足x A⋅x B=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB=180∘,则点A、B的横坐标满足x A⋅x B=a2.59.设A,A 是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2+b2≤|AB|+|CD|≤2(a2+b2)a.61.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两焦点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x ±a )2+y 2=b 2.62.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆x ±a e 2+y 2=b e 2.63.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a -c b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆x ±a e 2 2+y 2=b e 2 2(e 为离心率).64.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个动点，A ,A 是它长轴的两个端点,且AQ ⊥AP ,A Q ⊥AP ，则Q 点的轨迹方程是x 2a 2+b 2y 2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点为A ,A ,P (x 1,y 1)是椭圆上的点过P 作斜率为-b 2x 1a 2y 1的直线l ，过A ,A 分别作垂直于长轴的直线交l 于M ,M ,则(1)|AM ||A M |=b 2.(2)四边形MAA M 面积的最小值是2ab .67.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⎳x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是椭圆(x -a )2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab 2a 2+b 2,0 .(2)以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2a 2+b 2 2+y 2=ab 2a 2+b 2 2(x ≠0).69.P (m ,n )是椭圆(x -a )2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个定点，PA 、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab 2+m (a 2-b 2)a 2+b 2,n (b 2-a 2)a 2+b 2 .(2)以PA 、PB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2+a 2m a 2+b 2 2+y -b 2n a 2+b 2 2=a 2[b 4+n 2(a 2-b 2)](a 2+b 2)2(x ≠m 且y ≠n ).70.如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么(1)d 1d 2=b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.(2)d 1d 2>b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，(3)d 1d 2<b 2，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71.AB 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y≠0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部一定点，AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|⋅|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=b a x及y=-b a x的平行线，与x 轴于M ,N ，与y 轴交于R ,Q .,O 为原点，则：(1)|OM |2+|ON |2=2a 2；(2)|OQ |2+|OR |2=2b 2.90.过平面上的P 点作直线l 1:y =b a x 及l 2:y =-b ax 的平行线，分别交x 轴于M ,N ，交y 轴于R ,Q .(1)若|OM |2+|ON |2=2a 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).(2)若|OQ |2+|OR |2=2b 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).91.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2，则：S 1+S 2=ab 2.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记△OMQ 与△ONR 的面积为S 1,S 2，已知S 1+S 2=ab 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b 2a，过焦点最长弦为长轴．94.过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .95.与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．96.与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为y 2a 2+λ+x 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．97.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1=|PF 1|，r 2=|PF 2|，∠F 1PF 2=θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中：①当r 1=r 2时，即点P 为短轴端点时，θ最大；cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=r 1+r 2 2-2r 1r 2-4c22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=2b 2r 1r 2-1≥2b 2r 1+r 222-1=2b 2-a 2a 2=b 2-c 2a 2当且仅当r 1=r 2时，等号成立.②S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|=sin θ1+cos θb 2=b 2tan θ2，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a +c )．98.AB 为过F 的焦点弦，则1FA +1FB =2ab 299.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2.椭圆Γ在点P 处的切线为l ，Q ∈l .且满足∠AQF1=θ0<θ<π2，则点Q在以C0,±cθcot为圆心，a θsin为半径的圆上.六、双曲线的二级结论1.PF1-PF2=2a2.标准方程x2a2-y2b2=13.PF1d1=e>14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上，则在点P0处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2-y0yb2=x02a2-y02 b2 .14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0xa2-y0y b2.15.若PQ是双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2-1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=1+m1-m⋅b2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S△F1PF2=b2cotγ2=b2γ2tan，P±ac c2+b2cot2γ2,±b2c cotγ2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则c-ac+a=tan α2cotβ2(或c-ac+a=tanβ2cotα2).22.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1<e≤2+1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02>(a2+b2)2 a2-b2k2k≠0且k≠±a b .26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线x=a secϕy=b tanϕ(a>0，b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=11-tan2ϕ.29.设A,B为双曲线x2a2-y2b2=k(a>0,b>0，k>0,k≠1)上两点，其直线AB与双曲线x2a2-y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在双曲线x2a2-y2b2=1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,coth t=-aybx,x=0时t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，coth t=-bxay,y=0时t=0，弦两端点在同支上31.设S为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=c a;当l<ΦS时，有(x0)min=a2b4b2+l2.32.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有sinα±(sinγ-sinβ)=c a=e.35.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|⋅|P2A2|=b2.36.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ.(1)1|OP|2+1 |OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2;(3)SΔOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥。