带电粒子在有界磁场中的圆周运动

带电粒子在有界磁场中的运动1．带电粒子在有界磁场中运动的三种常见情形(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图2所示)图2(2)平行边界(存在临界条件，如图3所示)图3(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图4所示)图42．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键(1)画出运动轨迹；(2)确定圆心和半径；(3)利用洛伦兹力提供向心力列方程．[深度思考] 1.当带电粒子射入磁场时速度v大小一定，但射入方向变化时，如何确定粒子的临界条件？2．当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度大小或磁场的磁感应强度变化时，又如何确定粒子的临界条件？答案 1.当带电粒子射入磁场时的速度v大小一定，但射入方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R是确定的．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件．2．当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化．可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．例题1．判断下列说法是否正确．(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用．(×)(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直．(×)(3)洛伦兹力和安培力是性质完全不同的两种力．(×)(4)粒子在只受到洛伦兹力作用时运动的动能不变．(√)(5)带电粒子只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同．(×)2．(人教版选修3－1P98第1题改编)下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是()答案B3．(人教版选修3－1P102第3题改编)如图5所示，一束质量、速度和电荷不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为A、B两束，下列说法中正确的是()图5A ．组成A 束和B 束的离子都带负电B ．组成A 束和B 束的离子质量一定不同C ．A 束离子的比荷大于B 束离子的比荷D ．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外答案 C4．质量和电量都相等的带电粒子M 和N ，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图6中虚线所示，下列表述正确的是( )图6A ．M 带负电，N 带正电B ．M 的速率小于N 的速率C ．洛伦兹力对M 、N 做正功D ．M 的运行时间大于N 的运行时间答案 A解析 由左手定则可知，N 粒子带正电，M 粒子带负电，A 正确．又r N <r M ，由r ＝m v qB可得v N <v M ，B 错误．洛伦兹力与速度时刻垂直，不做功，C 错误．粒子在磁场中的运行时间t ＝θ2πT ＝T 2，又T ＝2πm qB，所以t M ＝t N ，D 错误.。

带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法湖北省郧西县第二中学王兴青带电粒子在有界、无界磁场中的运动类试题在高考试题中出现的几率几乎为l00％，涉及临界状态的推断、轨迹图象的描绘等。

试题综合性强、分值大、类型多，能力要求高，有较强的选拔功能，故平时学习时应注意思路和方法的总结。

解答此类问题的基本规律是“四找”：找圆心、找半径、找周期或时间、找几何关系。

一、知识点：若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，如右图所示。

1、轨道半径带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力: F=qvB粒子做匀速圆周运动的向心力:v2F向=mrv2粒子受到的洛伦兹力提供向心力: qvB=mrm v所以轨道半径公式: r=Bq带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径跟粒子的运动速率成正比．速率越大．轨道半径也越大．2、周期由r=Bqm v 和T=v r π2得：T= qB m π2 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T 跟轨道半径r 和运动速度v 无关．二、带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法1、圆心的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。

首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上。

在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有四种情况：(1)已知入射方向和出射方向，通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图l 所示，图中P 为入射点，M 为出射点)(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图2所示，P为入射点，M 为出射点)。

(3)两条弦的中垂线：如图3所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过0、A 、B 三点时，其圆心O ’在OA 、OB 的中垂线的交点上. (4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图4所示，过入射点A 做v 垂线A0．延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交A0于0点，0点即为圆心，求解临界问题常用。

专题：带电粒子在有界磁场中的运动三维目标：一、知识与技能（1）掌握求解带电粒子在有界磁场中的圆运动的基本方法：找圆心、求半径、求周期、确定圆心角，熟练运用草图描绘带电粒子运动的轨迹，应用几何知识求解问题；（2）培养学生的分析、解决问题的能力，应用数学知识求解物理问题的能力。

二、过程与方法讲解与学生练习相结合三、情感、态度与价值观进行思维方法教育训练，培养辩证唯物主义观点．【重难点】一．处理有界磁场问题的一般方法：①解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运动问题时，可以将有界磁场视为无界磁场让粒子能够做完整的圆周运动。

②根据边界条件确定粒子运动的路径，进而确定粒子圆周运动的圆心。

③作好辅助线，充分利用圆的有关特性和公式定理、 圆的对称性等几何知识表达出粒子运动的半径与偏转角度。

④根据牛顿第二定律，列出动力学方程从而解出有关的物理量。

二．确定圆心常用的方法：①圆心必在洛仑兹力所在的直线上，两个位置洛仑兹力方向的交点即为圆心位置。

②速度方向的垂线一定经过圆心，则任意两条速度垂线的交点既为圆心。

③弦的垂直平分线与速度垂线的交点。

三．粒子在磁场中运动时间的确定：①利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于2π计算出圆心角α的大小，由公式2t T απ=可求出粒子在磁场中的运动时间． ②利用弧长与线速度的关系确定时间。

【典型例题】一、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动例题1：如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面里，磁场的磁感应强度为B ；一带正电的粒子以速度V0从O 点射入磁场中，入射方向在xy 平面内，与x 轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L 。

求①该粒子的电荷量和质量比②粒子在磁场中的运动时间。

二、带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动例题2：在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为 B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示． 一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x 轴的交点 A 处以速度 v 沿－x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿+y 方向飞出．（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m ；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为 B ，该粒子仍从 A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60°角，求磁感应强度 B 多大？此次粒子在磁场中运动所用时间 t是多少？三、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动例3. 如图所示，一带正电的质子从O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d ，板长为d ，O 点是板的正中间，为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B 的大小（质子的带电量为e ，质量为m ）。

带电粒子在磁场中的运动因为洛伦兹力F始终与速度v垂直，即F只改变速度方向而不改变速度的大小，所以运动电荷非平行与磁感线进入匀强磁场且仅受洛伦兹力时，一定做匀速圆周运动，由洛伦磁力提==2/。

带电粒子在磁场中运动问题大致可分两种情况：1. 做供向心力，即F qvB mv R完整的圆周运动（在无界磁场或有界磁场中）；2. 做一段圆弧运动（一般在有界磁场中）。

无论何种情况，其关键均在圆心、半径的确定上。

1. 找圆心方法1：若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心。

方法2：若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向，则可作出此两点的连线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已知点v的垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心。

2. 求半径圆心确定下来后，半径也随之确定。

一般可运用平面几何知识来求半径的长度。

3. 画轨迹在圆心和半径确定后可根据左手定则和题意画出粒子在磁场中的轨迹图。

4. 应用对称规律带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。

临界点是粒子轨迹发生质的变化的转折点，所以只要画出临界点的轨迹就可以使问题得解。

一、由两速度的垂线定圆心例1. 电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。

当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。

为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？图1解析：如图2所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。

做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。

图2设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有=22/eU mv对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有=2/evB mv R由图可知，偏转角θ与r、R的关系为θ2=r Rtan(/)/联立以上三式解得θ122=(/)/tan(/)B r mU e二、由两条弦的垂直平分线定圆心例2. 如图3所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，方向向里。

电粒子在磁场中的圆周运动1．处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动．将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值( ) A ．与粒子电荷量成正比 B ．与粒子速率成正比 C ．与粒子质量成正比 D ．与磁感应强度成正比答案 D解析 假设带电粒子的电荷量为q ，在磁场中做圆周运动的周期为T ＝2πm qB ，则等效电流i ＝q T ＝q 2B2πm ，故答案选D.带电粒子在有界磁场中的运动2．如图377所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与x 轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为( )图377A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶ 3D ．1∶1答案 B解析 正、负电子在磁场中运动轨迹如图所示，正电子做匀速圆周运动在磁场中的部分对应圆心角为120°，负电子圆周部分所对应圆心角为60°，故时间之比为2∶1.回旋加速器问题图3783．回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D 形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D 形金属盒处于垂直于盒底面的匀强磁场中，如图378所示，要增大带电粒子射出时的动能，下列说法中正确的是( ) A ．增加交流电的电压 B ．增大磁感应强度 C ．改变磁场方向 D ．增大加速器半径答案 BD解析 当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由牛顿第二定律q v B ＝m v 2r ，得v ＝qBrm .若D 形盒的半径为R ，则R ＝r 时，带电粒子的最终动能E km ＝12m v 2＝q 2B 2R 22m .所以要提高加速粒子射出的动能，应尽可能增大磁感应强度B 和加速器的半径R .(时间：60分钟)题组一 带电粒子在磁场中的圆周运动图3791．如图379所示，ab 是一弯管，其中心线是半径为R 的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，方向垂直纸面向里．有一束粒子对准a 端射入弯管，粒子的质量、速度不同，但都是一价负粒子，则下列说法正确的是( )A ．只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管B ．只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管C ．只有质量和速度乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管D ．只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 答案 C解析 由R ＝m vqB 可知，在相同的磁场，相同的电荷量的情况下，粒子做圆周运动的半径决定于粒子的质量和速度的乘积．图37102．如图3710所示，水平导线中有电流I 通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I 的方向相同，则电子将( )A ．沿路径a 运动，轨迹是圆B ．沿路径a 运动，轨迹半径越来越大C ．沿路径a 运动，轨迹半径越来越小D ．沿路径b 运动，轨迹半径越来越小 答案 B解析 由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲．又由r ＝m vqB 知，B 减小，r 越来越大，故电子的径迹是a .故选B.3．一电子在匀强磁场中，以一正电荷为圆心在一圆轨道上运行．磁场方向垂直于它的运动平面，电场力恰好是磁场作用在电子上的磁场力的3倍，电子电荷量为e ，质量为m ，磁感应强度为B ，那么电子运动的角速度可能为( )A ．4Be mB ．3Be mC ．2Be m D.Be m答案 AC解析 向心力可能是F 电＋F B 或F 电－F B ，即4eB v 1＝m v 21R ＝mω21R 或2eB v 2＝m v 22R ＝mω22R ，所以角速度为ω1＝4Be m 或ω2＝2Be m.故A 、C 正确．4．在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度2倍的匀强磁场中做匀速圆周运动，则( ) A ．粒子的速率加倍，周期减半 B ．粒子的速率不变，轨道半径减半 C ．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的14D ．粒子的速率不变，周期减半 答案 BD解析 由R ＝m v qB 可知，磁场加倍半径减半，洛伦兹力不做功，速率不变，由T ＝2πmBq 可知，周期减半，故B 、D 选项正确．图37115．如图3711所示，一带电粒子(重力不计)在匀强磁场中沿图中轨道运动，中央是一薄绝缘板，粒子在穿过绝缘板时有动能损失，由图可知( ) A ．粒子的运动方向是abcde B ．粒子带正电C ．粒子的运动方向是edcbaD ．粒子在下半周期比上半周期所用时间长 答案 BC题组二 带电粒子在有界磁场中运动图37126．空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图3712中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O 点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是( ) A ．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B ．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C ．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D ．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大 答案 BD解析 由于粒子比荷相同，由R ＝m vqB 可知速度相同的粒子轨迹半径相同，运动轨迹也必相同，B 正确．对于入射速度不同的粒子在磁场中可能的运动轨迹如图所示，由图可知，粒子的轨迹直径不超过磁场边界一半时转过的圆心角都相同，运动时间都为半个周期，而由T ＝2πmqB 知所有粒子在磁场运动周期都相同，A 、C 皆错误．再由t ＝θ2πT ＝θmqB可知D 正确，故选BD.图37137．如图3713所示，有界匀强磁场边界线SP ∥MN ，速率不同的同种带电粒子从S 点沿SP 方向同时射入磁场．其中穿过a 点的粒子速度v 1与MN 垂直；穿过b 点的粒子速度v 2与MN 成60°角，设粒子从S 到a 、b 所需时间分别为t 1和t 2，则t 1∶t 2为(重力不计)( ) A ．1∶3 B ．4∶3 C ．1∶1 D ．3∶2答案 D解析 如图所示，可求出从a 点射出的粒子对应的圆心角为90°.从b 点射出的粒子对应的圆心角为60°.由t ＝α2πT ，可得：t 1∶t 2＝3∶2，故选D.图37148．如图3714所示，直角三角形ABC 中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB 方向射入磁场，分别从AC 边上的P 、Q 两点射出，则( ) A ．从P 射出的粒子速度大 B ．从Q 射出的粒子速度大C ．从P 射出的粒子，在磁场中运动的时间长D ．两粒子在磁场中运动的时间一样长 答案 BD解析 作出各自的轨迹如图所示，根据圆周运动特点知，分别从P 、Q 点射出时，与AC 边夹角相同，故可判定从P 、Q 点射出时，半径R 1＜R 2，所以，从Q 点射出的粒子速度大，B 正确；根据图示，可知两个圆心角相等，所以，从P 、Q 点射出时，两粒子在磁场中的运动时间相等．正确选项应是B 、D. 题组三 质谱仪和回旋加速器图37159．如图3715是质谱仪的工作原理示意图．带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B 和E .平板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶片A 1A 2.平板S 下方有磁感应强度为B 0的匀强磁场．下列表述正确的是( ) A ．质谱仪是分析同位素的重要工具 B ．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外 C ．能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于EBD ．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P ，粒子的比荷越小答案 ABC解析 质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重 要工具，故A 选项正确；速度选择器中电场力和洛伦兹力是一对平衡力，即：q v B ＝qE ，故v ＝EB ，根据左手定则可以确定，速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外，故B 、C 选项正确．粒子在匀强磁场中运动的半径r ＝m v qB 0，即粒子的比荷qm ＝v B 0r ，由此看出粒子的运动半径越小，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P ，粒子的比荷越大，故D 选项错误． 10．用回旋加速器分别加速α粒子和质子时，若磁场相同，则加在两个D 形盒间的交变电压的频率应不同，其频率之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．1∶3 答案 B图371611．(2014·高新区高二检测)一个用于加速质子的回旋加速器，其核心部分如图3716所示，D 形盒半径为R ，垂直D 形盒底面的匀强磁场的磁感应强度为B ，两盒分别与交流电源相连．下列说法正确的是( ) A ．质子被加速后的最大速度随B 、R 的增大而增大 B ．质子被加速后的最大速度随加速电压的增大而增大 C ．只要R 足够大，质子的速度可以被加速到任意值 D ．不需要改变任何量，这个装置也能用于加速α粒子 答案 A解析 由r ＝m v qB 知，当r ＝R 时，质子有最大速度v m ＝qBRm ，即B 、R 越大，v m 越大，v m 与加速电压无关，A 对、B 错．随着质子速度v 的增大、质量m 会发生变化，据T ＝2πmqB 知质子做圆周运动的周期也变化，所加交流电与其运动不再同步，即质子不可能一直被加速下去，C 错．由上面周期公式知α粒子与质子做圆周运动的周期不同，故此装置不能用于加速α粒子，D 错． 题组四 综合应用图371712．带电粒子的质量m ＝1.7×10－27kg ，电荷量q ＝1.6×10－19C ，以速度v ＝3.2×106 m/s 沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B ＝0.17 T ，磁场的宽度L ＝10 cm ，如图3717所示．(1)带电粒子离开磁场时的速度多大？ (2)带电粒子在磁场中运动多长时间？(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d 为多大？(g 取10 m/s 2) 答案 见解析解析 粒子所受的洛伦兹力F 洛＝q v B ≈8.7×10－14 N ，远大于粒子所受的重力G ＝mg ＝1.7×10－26 N ，故重力可忽略不计．(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度仍为3.2×106 m/s.(2)由q v B ＝m v 2r 得轨道半径r ＝m v qB ＝1.7×10－27×3.2×1061.6×10－19×0.17m ＝0.2 m ．由题图可知偏转角θ满足：sin θ＝Lr ＝0.1 m 0.2 m ＝0.5，所以θ＝30°＝π6，带电粒子在磁场中运动的周期T ＝2πm qB，可见带电粒子在磁场中运动的时间t ＝θ2π·T ＝112T ，所以t ＝πm 6qB ＝ 3.14×1.7×10－276×1.6×10－19×0.17 s ≈3.3×10－8 s. (3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d ＝r (1－cos θ)＝0.2×(1－32)m ≈2.7×10－2 m.图371813．如图3718所示，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的质子以速度v 0从O 点垂直射入．已知两板之间距离为d .板长为d ，O 点是NP 板的正中点，为使粒子能从两板之间射出，试求磁感应强度B 应满足的条件(已知质子带电荷量为q ，质量为m )． 答案4m v 05dq ≤B ≤4m v 0dq解析 如图所示，由于质子在O 点的速度垂直于板NP ，所以粒子在磁场中做圆周运动的圆心O ′一定位于NP 所在的直线上．如果直径小于ON ，则轨迹将是圆心位于ON 之间的一段半圆弧． (1)如果质子恰好从N 点射出，R 1＝d 4，q v 0B 1＝m v 20R 1.所以B 1＝4m v 0dq.(2)如果质子恰好从M 点射出R 22－d 2＝⎝⎛⎭⎫R 2－d 22，q v 0B 2＝m v 20R 2，得B 2＝4m v 05dq.所以B 应满足4m v 05dq ≤B ≤4m v 0dq.图371914．如图3719，一个质量为m ，电荷量为－q ，不计重力的带电粒子从x 轴上的P (a,0)点以速度v ，沿与x 轴正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B ； (2)穿过第一象限的时间． 答案 (1)3m v 2qa (2)43πa 9v解析 (1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，由图中几何关系知： R cos 30°＝a ，得：R ＝23a3Bq v ＝m v 2R 得：B ＝m v qR ＝3m v2qa .(2)运动时间：t ＝120°360°·2πm qB ＝43πa9v.。

高三物理粒子在有界磁场中运动试题答案及解析1.一个重力不计的带电粒子垂直进入匀强磁场，在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动．则下列能表示运动周期 T 与半径R之间的图像是（）【答案】D【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据，，联立可求粒子做圆周运动的周期为，周期与轨道半径r无关，所以A、B、C错误；D正确。

【考点】本题考查带电粒子在磁场中的运动2.如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外．P(－ L,0)、Q(0，－L)为坐标轴上的两个点．现有一电子从P点沿PQ方向射出，不计电子的重力，则.A．若电子从P点出发恰好经原点O第一次射出磁场分界线，则电子运动的路程一定为B．若电子从P点出发经原点O到达Q点，则电子运动的路程一定为πLC．若电子从P点出发经原点O到达Q点，则电子运动的路程可能为2πLD．若电子从P点出发经原点O到达Q点，则nπL（n为任意正整数）都有可能是电子运动的路程【答案】AC【解析】若电子从P点出发恰好经原点O第一次射出磁场分界线，则有运动轨迹如图所示，由几何关系知：半径R＝L，则微粒运动的路程为圆周的，即为，A正确；若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动轨迹可能如图所示，因此则微粒运动的路程可能为πL，也可能为2πL，BD错误C正确；【考点】本题考查带电粒子在磁场中的运动。

3.如图是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径为R 的绝缘圆柱形筒内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向平行于轴线．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔M、N，现有一束速率不同、比荷均为k的正、负离子，从M孔以α角入射，一些具有特定速度的离子未与筒壁碰撞而直接从N孔射出(不考虑离子间的作用力和重力)．则从N孔射出的离子()A．是正离子，速率为kBR/cos αB．是正离子，速率为kBR/sin αC．是负离子，速率为kBR/sin αD．是负离子，速率为kBR/cos α【答案】B【解析】因为离子向下偏，根据左手定则，离子带正电，运动轨迹如图，由几何关系可知r＝，由qvB＝m可得v＝，故B正确．4.（8分）在真空中，半径的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B="0.2" T，一个带正电的粒子以初速度从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷，不计粒子重力．（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；（2）若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时与ab的夹角及粒子的最大偏转角．【答案】（1）（2）最大偏转角【解析】（1）粒子射入磁场后，由于不计重力，所以洛伦兹力提供圆周运动需要的向心力，根据牛顿第二定律有．（2）粒子在圆形磁场区域运动轨迹为一段半径R=5cm的圆弧，半径一定要使偏转角最大，就要求这段圆弧对应的弦最长，即为图形区域的直径，粒子运动轨迹的圆心在ab弦的中垂线上，如图所示．由几何关系可知最大偏转角【考点】带电粒子在圆形匀强磁场区域的运动5.如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴平行于x轴正方向射入磁场，上的点a(0，L)。

2020年高考物理专题精准突破专题带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题【专题诠释】1.沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)粒子做圆周运动的半径r＝Rtan θ粒子在磁场中运动的时间t＝θπT＝2θmBqθ＋α＝90°2.解决带电粒子在磁场中偏转问题的常用方法(1)几何对称法：带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于中垂线上，并有φ＝α＝2θ＝ωt，如图甲所示，应用粒子运动中的这一“对称性”，不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，也可以非常便捷地求解某些临界问题．甲乙(2)动态放缩法：当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的强弱B变化时，粒子做圆周运动的轨迹半径R随之变化．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．如图乙所示，粒子进入长方形边界OABC从BC边射出的临界情景为②和④.(3)定圆旋转法：丙当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨迹半径R是确定的．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件．如图丙所示为粒子进入单边界磁场时的情景．【高考领航】【2017·高考全国卷Ⅱ】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场．若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v2∶v1为()A.3∶2B.2∶1C.3∶1 D．3∶2【答案】C【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远．则当粒子射入的速度为v1，如图，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1＝R cos 60°＝12R；同理，若粒子射入的速度为v2，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2＝R cos 30°＝32R；根据r＝mvqB∝v，则v2∶v1＝r2∶r1＝3∶1，故选C.【2016·高考全国卷Ⅱ】一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为()A.ω3BB.ω2BC.ωBD.2ωB【答案】A【解析】如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆弧所对应的圆心角由几何知识知为30°，则π2ω＝2πm qB ·30°360°，即q m ＝ω3B ，选项A 正确．【方法技巧】 1．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”2．在轨迹中寻求边角关系时，一定要关注三个角的联系：圆心角、弦切角、速度偏角；它们的大小关系为：圆心角等于速度偏角，圆心角等于2倍的弦切角．在找三角形时，一般要寻求直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解问题．3．解决带电粒子在边界磁场中运动的问题时，一般注意以下两种情况：(1)直线边界中的临界条件为与直线边界相切，并且从直线边界以多大角度射入，还以多大角度射出；(2)在圆形边界磁场中运动时，如果沿着半径射入，则一定沿着半径射出．【最新考向解码】【例1】.(2019·江西吉安一中段考)如图所示是某粒子速度选择器截面的示意图，在一半径为R ＝10 cm 的圆柱形桶内有B ＝10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴线，在圆柱桶某一截面直径的两端开有小孔，作为入射孔和出射孔，粒子束以不同角度入射，最后有不同速度的粒子束射出．现有一粒子源发射比荷为q m＝2×1011 C/kg 的正粒子，粒子束中速度分布连续，当角θ＝45°时，出射粒子速度v 的大小是 ( )A.2×106 m/sB ．22×106 m/sC ．22×108 m/sD ．42×106 m/s【答案】B【解析】离子从小孔a 射入磁场，与ab 方向的夹角为θ＝45°，则离子从小孔b 离开磁场时速度与ab 的夹角也为θ＝45°，过入射速度和出射速度方向作垂线，得到轨迹的圆心O ′，画出轨迹如图，由几何知识得到轨迹所对应的圆心角为：α＝2θ＝90°，设粒子运动的半径为r ，则：2r ＝2R ，由牛顿第二定律得：Bqv ＝m v 2r ，解得：v ＝qBr m＝22×106 m/s ，故选项B 正确． 【例2】(2019·山东潍坊检测)如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v 射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ 角．设电子质量为m ，电荷量为e ，不计电子之间的相互作用力及所受的重力．求：(1)电子在磁场中运动轨迹的半径R ；(2)电子在磁场中运动的时间t ；(3)圆形磁场区域的半径r .【答案】(1)mv eB (2)mθeB (3)mv eB tan θ2【解析】(1)电子在磁场中受到的洛伦兹力提供电子做匀速圆周运动的向心力即：evB ＝m v 2R由此可得电子做圆周运动的半径R ＝mv eB(2)如图根据几何关系，可以知道电子在磁场中做圆周运动时转过的圆心角α＝θ则电子在磁场中运动的时间：t ＝θ2πT ＝θ2π×2πR v ＝θv ×mv eB ＝mθeB(3)由题意知，由图根据几何关系知：tan θ2＝r R所以r ＝R tan θ2＝mv eB tan θ2【微专题精练】1.如图，MN 为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)．一带电粒子从紧贴铝 板上表面的P 点垂直于铝板向上射出，从Q 点穿越铝板后到达PQ 的中点O .已知粒子穿越铝板时，其动能 损失一半，速度方向和电荷量不变．不计重力．铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为 ( )A ．2 B.2 C ．1 D.22【答案】D【解析】根据题图中的几何关系及带电粒子在匀强磁场中的运动性质可知：带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨道半径r 1是其在铝板下方做匀速圆周运动的轨道半径r 2的2倍．设粒子在P 点的速度为v 1，根据牛顿第二定律可得qv 1B 1＝mv 21r 1，则B 1＝mv 1qr 1＝2mE k qr 1；同理，B 2＝mv 2qr 2＝2m ·12E k qr 2，则B 1B 2＝22，D 正确，A 、B 、C 错误．2.如图甲所示，有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅰ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M 点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅰ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角．已知磁场Ⅰ、Ⅰ的磁感应强度大小分别为B 1、 B 2，则B 1与B 2的比值为 ( )A ．2cos θB ．sin θC ．cos θD ．tan θ【答案】C【解析】设有界磁场Ⅰ宽度为d ，则粒子在磁场Ⅰ和磁场Ⅰ中的运动轨迹分别如图(a)、(b)所示，由洛伦兹力提供向心力知Bqv ＝m v 2r ，得B ＝mv rq ，由几何关系知d ＝r 1sin θ，d ＝r 2tan θ，联立得B 1B 2＝cos θ，选项C 正确．3.(2019·辽宁朝阳三校联考)如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 为B ，磁场边界上A 点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正 电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k ，速度大小为2kBr .则粒子在磁场中运动的最长时间为 ( )A.πkBB.π2kBC.π3kBD.π4kB【答案】C【解析】粒子在磁场中运动的半径为R ＝mv qB ＝2kBr Bk＝2r ；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r ，故t ＝T 6＝πm 3qB ＝π3kB，故C 正确． 4.(2019·长沙模拟)如图所示，在半径为R 的圆形区域内(圆心为O )有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直 于圆平面(未画出)．一群具有相同比荷的负离子以相同的速率由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场中，发 生偏转后又飞出磁场，若离子在磁场中运动的轨道半径大于R ，则下列说法中正确的是(不计离子的重力)( )A ．从Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长B ．沿PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大C ．所有离子飞出磁场时的动能一定相等D ．在磁场中运动时间最长的离子不可能经过圆心O 点【答案】AD【解析】由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，故应该使弦长为PQ ，由Q 点飞出的离子圆心角最大，所对应的时间最长，轨迹不可能经过圆心O 点，故A 、D 正确，B 错误；因洛伦兹力永不做功，故粒子在磁场中运动时动能保持不变，但由于不知离子的初动能，故飞出时的动能不一定相等，故C 错误．5.如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a 、b 、c ，以不同的 速率对准圆心O 沿着AO 方向射入磁场，其运动轨迹如图．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正 确的是 ( )A ．a 粒子速率最大，在磁场中运动时间最长B ．c 粒子速率最大，在磁场中运动时间最短C ．a 粒子速率最小，在磁场中运动时间最长D ．c 粒子速率最小，在磁场中运动时间最短【答案】BC【解析】由题图可知，粒子a 的运动半径最小，对应的圆心角最大，粒子c 的运动半径最大，对应的圆心角最小，由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，可得：qvB ＝m v 2r ，故半径r ＝mv qB ，周期T ＝2πr v ＝2πm qB，故在粒子质量、带电荷量、磁场的磁感应强度都相同的情况下，粒子速率越小，运动半径越小，所以粒子a 的运动速率最小，粒子c 的运动速率最大，而带电粒子在磁场中的运动时间只取决于运动轨迹所对应的圆心角，所以粒子a 的运动时间最长，粒子c 的运动时间最短，故B 、C 正确．6.(2019·广东省惠州市模拟)如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 以速度v 垂直磁场正对着圆心O 射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q 、质量为m ，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是( )A ．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长B ．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心OC ．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN 上D ．只要速度满足v ＝qBR m，入射的粒子出射后一定垂直打在MN 上 【答案】 BD【解析】 速度不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中轨道半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角θ越小，由t ＝θ2πT 知，运动时间t 越小，故A 错误；带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，故B 正确；速度不同，半径不同，轨迹对应的圆心角不同，对着圆心入射的粒子，出射后不一定垂直打在MN 上，与粒子的速度有关，故C 错误；速度满足v ＝qBR m 时，粒子的轨迹半径为r ＝mv qB＝R ，入射点、出射点、O 点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的磁场半径垂直，粒子一定垂直打在MN 板上，故D 正确．7.如图所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁 感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m 、带电量为－q (q >0)，假设粒子速度方向都和纸 面平行．(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？【答案】 (1)3Bqr 3m (2)3Bqr 4m【解析】 (1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得R 1＝3r 3 又qv 1B ＝m v 21R 1得v 1＝3Bqr 3m.(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有(2r －R 2)2＝R 22＋r 2可得R 2＝3r 4，又qv 2B ＝m v 22R 2，可得v 2＝3Bqr 4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr 4m.8.(2019·陕西咸阳模拟)如图所示，A 点距坐标原点的距离为L ，坐标平面内有边界过A 点和坐标原点O 的圆 形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里．有一电子(质量为m 、电荷量为e )从A 点以初速度v 0平行 于x 轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x 轴上的B 点射出磁场区域，此时速度方向与x 轴的正方 向之间的夹角为60°，求：(1)磁场的磁感应强度大小；(2)磁场区域的圆心O 1的坐标；(3)电子在磁场中运动的时间．【答案】(1)mv 02eL (2)(32L ，L 2) (3)2πL 3v 0【解析】(1)由题意得电子在有界圆形磁场区域内受洛伦兹力做圆周运动，设圆周运动轨迹半径为r ，磁场的磁感应强度为B ，则有ev 0B ＝m v 20r① 过A 、B 点分别作速度的垂线交于C 点，则C 点为轨迹圆的圆心，已知B 点速度与x 轴夹角为60°，由几何关系得，轨迹圆的圆心角∠C ＝60°②AC ＝BC ＝r ，已知OA ＝L ，得OC ＝r －L ③由几何知识得r ＝2L ④由①④得B ＝mv 02eL⑤(2)由于ABO 在有界圆周上，∠AOB ＝90°，得AB 为有界磁场圆的直径，故AB 的中点为磁场区域的圆心O 1，由③易得△ABC 为等边三角形，磁场区域的圆心O 1的坐标为(32L ，L 2)．(3)电子做匀速圆周运动，则圆周运动的周期为T ＝2πr v 0⑥ 由②④⑥得电子在磁场中运动的时间t ＝T 6＝2πL 3v 0.。