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随机过程第1章 概论

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(完整版)随机过程知识点汇总

(完整版)随机过程知识点汇总

第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。

若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。

1第一章 随机过程基础

1第一章 随机过程基础

3、 基本事件与样本空间 在随机试验 S E中最简单的随机事件称为基本事件，所 有基本事件的集合称为基本事件空间。例如对一个六面 体骰子，出现1,2,…, 6 点是基本事件，而所有的基本事件 1,2,…, 6 的集合称为基本事件空间，而“出现奇数点”是随机 事件，但不是基本事件。可见基本事件只是事件的一种。 例如A:掷骰子试验中，事件：“出现点数不大于3”是由 三个基本事件“出现点数1”、“出现点数2”、“出现点数3 共同组成的，是事件空间 A 的一个事件，即 A 1,2,3 ， SE。
1.1 概率论中的几个概念与公式
2、 随机试验、复合随机试验与样本空间 通常把对自然现象进行的一次观察或进行的一次试验， 统称为一个试验，而若这个试验满足下列条件： （1）在相同条件下可重复进行； （2）每次试验结果有多种可能，且所有可能的结果能 事先明确； （3）每次试验之前不能确定会出现哪一个结果。 就称其为随机试验。显然，随机试验表示的是在一组 可以重复实现的条件下观察某种现象能否出现的行动。 如投硬币，掷骰子等等。当然，随机试验可以 根据上述条件进行设计。
P A B P AB P B
（1-7）
式中 解释为
P AB
为事件A与B的联合概率。式（1-7）的频率的
nAB nAB n nB nB n
P A B
,
nAB P AB n
且
nAB nB n n
，故有
P AB P B
。
式（1-7）的含义是事件A与事件B有关，若 A B ，即 事件A与事件B互不相交，则 P A B 0 ；而条件一词的含 P 义是 P B 0，否则若 B ， B 0，则式（1-7）没有意义。 2、乘法公式 设有n个事件 A1 ,…, An ，则 A A …A 同时发生也是一个 事件，其概率记为 P A A …A ，称为事件 A1 , A2 ,…, An 的联合 概率。则 P A1 A2 …An P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 …P An A1…An 1 （1-8）

1.随机过程概论

1.随机过程概论

{ X (t ) , t (,) } 是一随机过程 . 状态空间 I (,) . 样本函数空间 X { cos πt , t } .
H 发生
x( t )
x( t ) t
x( t ,T ) x( t )
1 1 1
T 发生
o

t t x( t , H )
1
2
x( t , T ) x( t ) x( t , H )
Ft
1 , t 2 ,, t n
( x1 , x2 ,, xn ) Ft ( xk ) , t1 , t 2 ,, t n T , n 1 ,
k 1
k
n
则称 X (t ) 具有独立性 , 或称 X (t ) 是独立过程 .
随机过程的独立性是指其在不同的时刻互不影响 , 一维分布
t1 , t 2 T .
当 A～N (0,1), B～U (0,2) 且 A, B 相互独立时 ,
EA 0,
EA2 DA ( EA)2 1,
EB 1,
EB 2 DB ( EB)2 4 3 ,
E ( AB ) EA EB 0,
所以可得
m X ( t ) t EA EB 1 , RX (t1 , t 2 ) t1t 2 EA2 ( t1 t 2 ) E ( AB) EB 2 t1t 2 4 3 , t1 , t 2 T .
o

称为统计平均或集平均 . 均值函数 m X ( t ) 表示了随机过程 X ( t ) 在各个时刻的摆动中心 .
X ( t ) 的二阶原点矩和二阶中 心矩分别记为
2 ΨX ( t ) EX 2 ( t ) 2 2 2 X ( t ) E[ X ( t ) m X ( t )]2 Ψ X (t ) m X (t )

随机过程概论(经典)

随机过程概论(经典)
i 1

P( A j B)
P( A j )P( B A j )
i 1
P ( Ai ) P ( B Ai )

, j 1,2,.
§,
其中B1,B2,…互不相容，由完全可加性有
1 P ( A1 ) P Bk P Ak Ak 1 0 k 1 k 1 收敛级数的余项极限为0,(as n ),即
P An P Ak Ak 1 0,
3.尽量阐述清楚基本概念及相应的背景; 4.尝试将各类随机过程与金融问题结合 （Black, Sholes,Merton）; 5.训练数学表述能力.
加 油
第一章 概率论概要
§1.1 概率空间
§1.2 随机变量及其分布
§1.3 随机变量的函数
§1.4 随机变量的数字特征 §1.5 特征函数 §1.6 收敛性与极限定理
随机过程 （新修版）
对外经济贸易大学金融学院
在我们的新培养方案中，有一些课程看上 去是“无用”的……但是，这些课不仅会 帮助你提高品位，帮助你理解人生，而且 还可能在未来的某个时候发挥意想不到的 结果。（钱颖一）
“学术无新旧之分，无中外之分， 无有用无用之分”。（王国维）
参考文献：




严加安，测度论讲义，科学出版社，2004。 （20元） 钱敏平，龚光鲁，应用随机过程，北京大学出 版社，1998。（20元） 伍海华，杨德平，随机过程—金融资产定价之 应用，中国金融出版社，2002。（18元） C.R.Rao, Stochastic Processes,（有中译本， 中国统计出版社）（？元）
通常称 F {, A, A,Ω}是最简单代数.

随机过程第1章 概论

随机过程第1章 概论
ξ (t ) = ∑ a n F (t − nT0 − U )
n =0 ∞
数学表达式
1.4 随机过程的示例
其中
a n ∈ {−3,−1,1,3},
⎧1 0 ≤ t < T0 F (t ) = ⎨ 其他 ⎩0
1.4 随机过程的示例
{
特殊的 应用例子
例3：(离散参数连续型随机过程) 设某通信系统，它的信号为脉冲信号，脉 宽为 T ，脉冲信号的周期也假定为 T 。如 果脉冲幅度是随机的, 幅度服从参数为 λ 负指数分布（Rayleigh 衰落信道），且 不同周期内的幅度 ξ i , ξ k , (i ≠ k )是相互统计 独立的，脉冲起始时间设为t=0。
{
1.1 随机过程的基本特点
随机过程 ξ (t)的特点： ξ(t) 在时刻 t = t 0 的单个样本值是一随机 （1） 变量。 ξ (t0 ) 的数学期望 s(t 0 ) = E (ξ (t 0 ))是确定的， （ 2） 其中E( )表示统计平均运算。 s (t ) = E (ξ (t )) 是关于t 的函数，此时呈现 （3） 了函数的特性，因此 ξ (t ) 可以看作一随机 函数。
Cξη (t1 , t 2 ) = E[(ξ (t1 ) − μ ξ (t1 ))(η (t 2 ) − μη (t 2 ))].
1.5 随机过程的数字特征及基本概念
{
基 本 定 义 处理
统计无关： 如果对于任意的两个参量 t1 和 t 2 都 有 Cξη (t1 , t 2 ) = 0，则称随机过程 ξ (t ) 和 η (t ) 是 统计无关的。
1.5 随机过程的数字特征及基本概念
{
基 本 定 义 处理 {
{
复随机过程 η (t )是一对随机过程，并具有相同 设 ξ (t ) 、 η (t )具有相同的概率空间， ξ (t ) 、 的参数， ζ (t ) = ξ (t ) + jη (t ) 为复随机过程。 则称 E (ζ (t )) = E (ξ (t )) + jE (η (t )) 均值函数： 相关函数：

随机过程讲义(第一章)

随机过程讲义(第一章)

P (Ω ) = 1 ；
对任意两两不交的至多可数集 {An } ⊂ F ， P⎛ ⎜ U An ⎞ ⎟ = P ( An ) ⎝n ⎠ ∑ n
称 P(⋅) 为 F 上的概率测度， (Ω, F , P) 称为概率空间。
1
1.4 随机变量的概念 定义：设 (Ω, F , P ) 为一概率空间， X = X ( w) 为 Ω 上的一个实值函数，若对 任意实数 x ，X −1 ((−∞, x) ) ∈ F ， 则称 X 为 (Ω, F , P ) 上的一个 （实） 随机变量。 称 F ( x) = P( X < x ) = P( X ∈ (−∞, x)) = P X −1 ((−∞, x) ) 为随机变量 X 的 分布 函数。 随 机 变 量 实 质 上 是 (Ω, F ) 到 (R, B ( R ) ) 上 的 一 个 可 测 映 射 ( 函 数 ) 。 记
_______
2
α 1 , α 2 Lα m ， ∑∑ ϕ (t l − t k )α l α k ≥ 0 ；
l =1 k =1
m
m
5) ϕ ( w) 为 R n 上的连续函数。 6) 有限多个独立随机变量和的特征函数等于各自特征函数的乘积； 7) 设 X = (ξ1 , Lξ n ) 为 n 维 随 机 向 量 ， 特 征 函 数 为 ϕ ( w1 ,L wn ) , 则
n→∞
敛到随机变量 X ；
2)
若 E X n 存在， 且 lim E X n − X
n→∞
p
p
则称 X 1 , X 2 , L X n ,L p 阶收敛到 = 0，
随机变量 X ，特别当 p = 2 ，称为均方收敛。
3) 4)
若 P lim X n = X = 1 ，称 X 1 , X 2 , L X n ,L 几乎必然收敛到随机变量 X 。

中南大学随机过程第一章PPT课件

中南大学随机过程第一章PPT课件

33
1
F ( x ) k 1 p k ( x x k ) 1 ( 0 x ) 5 ( x 1 ) 1 ( 0 x 2 )
0, x 0,
3
10 9
, ,
10
1
0 x 1,
1 x 2, 2 x .
2020/12/7
胡朝明
53－12
四、连续型随机变量
若存在非负可积函数f(x)，对任意实数x，使 得R.V.X的分布函数满足：
x
F (x) f(u )du( x)
则称X为连续型随机变量，称f(x)为连续型随机变 量的概率密度函数，简称概率密度。
2020/12/7
胡朝明
53－13
概率密度函数的性质
1. f(x)≥0；
2) f(x)dx1;
＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
2020/12/7
胡朝明
53－4
六、事件的独立性
▪ 如果事件A,BF，满足
P(AB)＝P(A)P(B)，
则称事件A与B相互独立。
▪ 如果事件A1,A2,…,AnF，且对任意 s(2≤s≤n)和任意的1≤i1<i2<…<is<n，有 P(Ai1Ai2…Ais)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais)， 则称事件事件A1,A2,…,An相互独立。
上一讲内容回顾 ➢ 概率空间
• 随机试验、样本空间、随机事件体、 概率、概率空间、概率的性质
2020/12/7
胡朝明
53－1
本讲主要内容
➢ 概率空间
• 条件概率、乘法公式、事件的独立性、全 概率公式与贝叶斯公式
➢ 随机变量及其分布程
• 随机变量、分布函数 • 离散型随机变量及其分布律 • 连续型随机变量及其概率密度

随机过程-第一章

随机过程-第一章
• 或叙述为 若对每一个时刻t∈T，都有定义在E上 的随机变量X(t，e)，则称一族随机变量
• {X(t， e)，t∈T ，e∈Ω} 为一随机过程。
• 其实际意义就是： 若一物理过程，当时间t（或广义时间）固定，
过程所处的状态是随机的（不确定的），则此
过程就为随机过程。对该过程的一次记录（或
一个观察）就是一个现实，或称作随机过程的
一个样本函数或样本曲线。 • 固定t0，X（t0）是随机变量。 • 固定e0，X（t，e0）是一个现实，是t的函数，记 为 x(t)。
例4：具有随机初位相的简谐波。 X（t）=acos（ω0t+Φ），-∞<t<+∞， 其中a与ω0是正常数， Φ是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。 一方面，随机过程X（t）是一族随机变量。 对每个固定t0， X（t0）= acos(ω0t+Φ)是个 随机变量。对（-∞，+∞）上有多少个t， 就对应多少个随机变量。∴对（-∞，+∞） 所有t，X（t）看作一族随机变量。 另一方面，随机过程是一族样本函数（曲线） 对样本空间Ω中每个基本事件e对应一个样本 函数，本例，Φ在Ω=[0，2π] 上任给定一个 相 位φi=e，就对应一个样本曲线，如：书P 4。
例6： 利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程。
X（t） { sin π t，出现正面 ，记为记为 ω 0 e ，出现反面, 记 ω 1
t
(t R)
写出X（t）的所有样本函数（现实）
二、随机过程的的分布（有限维分布族） 1、对任意固定的t0∈T，随机过程X(t)的状态 X(t0)是一维随机变量， 其分布函数是P{X(t0)≤x} F(x，t0) 由于t的任意性，称F(x; t) = P{X(t) ≤x } 为随机过程X(t)的一维分布函数。 F(x，t)是与t有关的一维分布函数，在t，x平 面上是X(t)落在区间(X(t) ≤x)上的概率。

随机过程第1章

随机过程第1章
对可测空间（Ω，F ）装备概率测度 P，本质上是选择一个定义在 F 上取值于[0,1]并符 合概率三条公理的集函数 P．一般情况下，这样的集函数不会只有一个．因而，概率空间应 当根据实际的需要来构造．
由于概率测度 P 只是一种特殊的测度，因而它具有测度应有的那些性质．
概率的所有性质都是在其满足的非负性、规范性及可列可加性这三条公理的基础上演绎 出来的．
n1
(2) 与(1)的证明的前半部分类似，可得
P

n1
k n
Ak


P

lim
n
k n
Ak


lim
n
P

k n
Ak


lim
n
1

P

k n
Akc
.
再由独立性及定理条件，知
证毕．□
0

半环 C 上定义如下的集函数
P(a,b] F(b) F(a), (a,b]C .
由测度扩张定理，P 可扩张为 σ(C )上的概率测度，至此，本例的概率空间(Ω，F，P)构造完 毕．□
注 在本例中，如果认为每个样本点ω的出现机会均等，那么可取 f (·)为常值，易知， f(x) = 1，0< x < 1，而 F(x) = x，0≤ x ≤ 1．此时，
(2) 上例构造概率空间的方法可推广到 Ω ={ω1，ω2，…}为可列集的这种场合． (3) 在以后的讨论中，如无特别需要，均认为概率空间(Ω，F，P)是预先给定的．
延伸阅读
如果某试验的样本空间 Ω 为不可列集，那么通常要用测度论的方法才能构造出相应的概 率空间(Ω，F，P)．请看下面的例子．

卢正新随机过程-第一章 介绍

卢正新随机过程-第一章 介绍
连续型随机变量（X，Y）边际分布函数计算如下
F 2(y)F ,y yf(u,v)dudv
联合密度 联合密度
边际密度 边际密度
相互独立的随机变量
设X，Y是两个随机变量，若对任意实数x，y有
P ( X x , Y y ) P ( X ( x ) ( Y y ) P ( ) X x ) P ( Y y )
F ( x ) F ( x 1 , , x n ) P ( e : X 1 ( e ) x 1 , , X n ( e ) x n )
为X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数
25
边际分布
若二维联合分布函数中有一个变元趋于无穷，则其极限函数便是一维 分布函数，对于这种特殊性质，我们称其为边际分布。 对于任意两个随机变量X,Y，其联合分布函数为FXY(x,y)，则
1. 0≤P(A) ≤1， A;F
2. P(Ω)=1; 3. 若A1,A2,……..,Ak两两互斥，则
P( Ak) P(Ak)
k1
k1
称P为可测空间（Ω,F）的一个概率测度，简称概率； 称 （Ω,F,P）为一个概率空间；F为事件域，A为事件，P(A) 为事件A的概率。
12
例：U[0,1]—[0,1]区间上的均匀分布： Ω=[0,1] ， F=B[0,1]—[0,1]区间上的Borelσ域， U[0,1]的概率P定义 为： A ( a ,b ) B [ 0 ,1 ] ， P ( A ) b a 令A为 [0,1]上全体有理数，AC为[0,1]上全体无理数。 1）证明 A B [0,1 ]， A C B [0,1 ] 2）证明 P(A)=0， P(AC)=1
P(A)
事件A所包含的样本点个数 样本空间中所含样本 个点 数
几何概率

随机过程1-1

随机过程1-1

第1章 随机过程基本概念 一般， 一般，对任意固定的 t1, , t 2 ,..., t n ∈ T
第16页 16页
F(x1, x2,..., xn;t1,t2,...,tn ) = P{X(t1) ≤ x1, X(t2 ) ≤ x2,..., X(tn ) ≤ xn}
维分布函数。 称为随机过程 X ( t ) 的 n 维分布函数。描绘过程在任意 n 个 时刻状态的统计特性。 时刻状态的统计特性。 的一维分布函数，二维分布函数， ， 随机过程 X ( t ) 的一维分布函数，二维分布函数，…， n 维分布函数，等等的全体 维分布函数，
醉汉（质点）移动图象如图。醉汉在路上（直线） 醉汉（质点）移动图象如图。醉汉在路上（直线）的移动 是随机的，故称之为质点在直线上的随机游动。 是随机的，故称之为质点在直线上的随机游动。
第1章 随机过程基本概念 是一个随机变量。 易知对每个 n, X(n) 是一个随机变量。
第4页
随机过程是概率空间 定义 随机过程是概率空间 (Ω , F , P ) 上的一族随机变量 { X ( t ), t ∈ T } 其中 t 是参数，T 是参数集。 是参数， 是参数集。 随机过程具有二重性。其一， 注： 随机过程具有二重性。其一，对于固定的 t ∈ T，X(t) 是一个随机变量；其二，对试验的每一次持续观察， 是一个随机变量；其二，对试验的每一次持续观察，得 的普通函数，称为过程的样本函数 样本函数。 到的 X(t) 是 t 的普通函数，称为过程的样本函数。
二、有限维分布族
的状态是一维随机变量； 随机过程 { X ( t ), t ∈ T } 在每一时刻 t 的状态是一维随机变量； 在任意两个时刻的状态是二维随机矢量； 。 在任意两个时刻的状态是二维随机矢量；…。

随机过程第1章概论课件

随机过程第1章概论课件

随机过程讲义陈庆虎武汉大学电子信息学院参考书：1．随机信号分析基础。

王永德王军编著，电子工业出版社。

2．随机信号分析。

朱华等编著，北京理工大学出版社。

3．随机过程及其应用。

陆大絟编著，清华大学出版社。

第一章 随机信号概论1.1 确定性信号与随机信号工程中的数字信号主要指被量化的各种物理量，按特性可分为：长度、热学、力学、电磁、无线电、放射性、光学、声学、化学、生物、医学等类型。

按可预测性和可再现性原则，信号可分为确定性信号与随机信号两类。

按确定性规律变化的信号称为确定性信号。

确定性信号可以用数学解析式表达，或用确定性曲线准确地描述。

在相同的条件下，确定性信号可以重复、再现，确定性信号可用函数()s t 或(,)s t θ来表达，其中θ是待定参数或参数向量，t 是时间或空间自变量。

例1 正弦信号0()sin(2)s t A t πωφ=+A 、0ω、φ分别是信号的振幅、频率、相位，可以是确定的数值，也可以是待定参数。

不遵循任何确定性规律变化的信号称为随机信号。

随机信号具有不重复、不可预测的特点，在完全相同的条件下，不能保证信号能完全重现，对信号的未来值不能完全准确地预测。

随机信号产生的原因是信号在产生、发射、传输、接收、测量、采样、计算等处理过程中受到各种噪声的干扰。

随机信号常用随机函数()X t 表示，它与确定性信号(,)s t θ往往有如下关系：()(,)()X t s t t θε=+()(,)()X t s t t θε=∙()t ε是噪声干扰。

信号的确定性是相对的。

在理想的环境、理想的条件下，信号是确定的；或者在精度要求不高的情况下，在某些噪声和干扰忽略不计的前提下，信号是确定的。

由于噪声和干扰无处不在、无时不在，工程应用中的信号往往都具有随机性。

处理随机信号的主要方法是信号统计处理方法，其中信号估计与信号检测是信号统计处理方法的核心内容。

理论上，随机信号()X t 是时间连续的，即时间t 的取值是连续的。

第1章随机过程简介

第1章随机过程简介

5
第1章 随机过程简介
例1.3
电话交换站呼叫计数
设一个电话交换台迟
早会接到用户的呼叫，并以X(t)表示时间间隔［0，t)内交
换台接到的呼叫次数，则X(t)是一个随机变量，但是对于 不同的t∈［0，∞)，X(t)是不同的随机变量，于是{X(t)， t∈［0，∞)}是随机过程, 如图1.3所示。
6
第1章 随机过程简介
t∈T}，如果对于任意的参数t0<t1<t2<…<tn<t，在X(t0)，
X(t1)，…， X(tn)值已知的情况下， X(t)的条件分布只与 X(tn)的状态有关，即
P{X(t)≤x|X(tn)≤xn，X(tn－1)≤xn－1，…
X(t0)≤x0}=P{X(t)≤x|X(tn)≤xn}
27
第1章 随机过程简介
马尔可夫链n时刻的k步转移概率： n时刻MC处于状 态i，经过k步时间，系统处于j状态的概率，记为
28
第1章 随机过程简介
特别的， 当 k=1 时， 得到一步转移概率
29
第1章 随机过程简介
其一步转移概率矩阵P(1)为
k步转移概率矩阵记为P(k)。
30
第1章 随机过程简介
本课程研究时间齐次马尔可夫过程，简称时齐马尔
设Xn为第n (n=1，2，…，97)个时段的计算机状态，
n级的输出。
33
第1章 随机过程简介
图1.5 0-1传输系统
34
第1章 随机过程简介
分析可见： {Xn，n=1，2，…}是一个随机过程，状态
空间I={0，1}。且当Xn=i，i∈I为已知时，Xn+1所处的状态
分布只与Xn=i有关，而与时刻n之前所处的状态无关，所以 它是个马尔可夫链，并是齐次的。它的一步转移概率和一

随机过程1-5(2)

随机过程1-5(2)
m 2
0
f (u
k 1
n
k
) X ( uk )( t k t k 1 ) f (v l ) X (v l )( sl sl 1 ) 0
l 1
0
即
0
/
lim [ f ( uk ) f ( u j ) RX ( uk , u j )( t k t k 1 )( t j t j 1 )

b
X ( t )dt
/
a
例（补充）：设随机过程 X(t) 的均值函数为
m X (t ) t 1
2
试求 Y ( s )

s 0
s
X ( t )d t
0
的均值函数。
解： 由均方积分的性质知
EY (s)

E X ( t )d t

s 0
( t 1 )d t
2
s
2
s.
3
第1章 随机过程基本概念 例（补充）：设随机过程 X(t) 的协方差函数为
0 k 1
n
下面看均方积分存在的一个充分条件。
第1章 随机过程基本概念
第9页
定理4 f ( t ) X ( t ) 在区间 [a, b] 上均方可积的充分条件是二 重积分 b b f ( s ) f ( t ) RX ( s, t )dsdt
a a
存在；且有
E | f ( t ) X ( t )dt |
第7页
四、均方积分
定义 设 { X ( t ), t [ a , b ]} 是随机过程， f ( t ) 把区间 [a, b] 分成 n 个子区间，分点为
a t0 t1 ... t n b

随机过程第1章 引论

随机过程第1章 引论

12
1.1 概率
于是，我们有
因此，三人中没有人选到他自己的帽子的概率是
13
1.1 概率
独立事件
如果
那么两个事件E和F称为独立的(independent). 这蕴含了如果P(E|F)=P(E)，那么E和F是独立的(它也蕴含了P(F|E)=P(F)). 这就是，如果F已经发生这个事实并不影响E发生的概率，那么E和F就是独立 的. 也就是E的发生独立于F是否发生.
我们则称 为事件 的概率.
例1.1 在掷硬币的例子中，如果我们假定硬币出现正面与出现反面是等可 能的，那么我们有：P({正面})=P({反面})=1/2. 如果我们有一枚不均匀的硬币，它出现正面的可能是出现反面的两倍，那么 P({正面})=2/3， P({反面})=1/3.
7
1.1 概率
例1.2 在掷骰子的例子中，如果我们假定6个数的出现是等可能的，那么我
M.）著，龚光鲁 译，人民邮电出版社，2011.5
2
第1章 引论
1.1 概率 1.2 随机变量、分布函数及数字特征 1.3 条件期望和矩母函数 1.4 随机过程的概念及分类
3
1.1 概率
随机试验、样本空间与事件
概率论的一个基本概念是随机试验. 一个试验(或观察)，若它的结果预先无
法确定，则称之为随机试验，简称试验(experiment). 所有试验的可能结果组 成的集合，称为样本空间，记作 . 中的元素则称为样本点，用 表示.
P( FE ) P( F ) P( E | F )
7 6 42 . 12 11 132
例1.8 假定参加聚会的三个人都将帽子扔到房间的中央. 这些帽子先被弄混了,
随后每个人在其中随机地选取一个. 问三人中没有人选到他自己的帽子的概率 是多少？

[工学]随机过程及其应用_习题答案陆大金

[工学]随机过程及其应用_习题答案陆大金

第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。

如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则j ξ＝0，则,21}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。

（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。

解（1）：nn k n k P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η解（2）：nn n n P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}n A {1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。

脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。

也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。

图题1－2画出了它的样本函数。

试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。

解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n Tt n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d TT t n T T nT t T t n Tt n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()t A T tn T Tf x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。

中南大学随机过程第一章

中南大学随机过程第一章
上一讲内容回顾 概率空间
• 随机试验、样本空间、随机事件体、 概率、概率空间、概率的性质
2019/10/29
胡朝明
53－1
本讲主要内容
概率空间
• 条件概率、乘法公式、事件的独立性、全 概率公式与贝叶斯公式
随机变量及其分布程
• 随机变量、分布函数 • 离散型随机变量及其分布律 • 连续型随机变量及其概率密度
0,
x0
则称R.V.X服从参数为（>0）的k阶爱尔朗分布，记为X～Ek，其分布函 数为
F(x)1exki01(ix!)i, x0
0,
x0
2019/10/29
胡朝明
53－24
六、二维随机变量
如果X和Y是定义在同一概率空间(Ω,F,P)上的 两个随机变量，则称(X,Y)为二维随机变量，记 为二维R.V.(X,Y)。
2,…,n，则对任意事件Ai 1，有
1. 全概率公式：
n
P(A) P(Bi)P(A|Bi)； i1
2. 贝叶斯公式：
2019/10/29
P(Bj |A)
P(Bj)P(A|Bj)
n
，
P(Bi)P(A|Bi)
i1
j=1,2,…n。
胡朝明
53－7
§1.2 随机变量及其分布
一、随机变量
设(Ω,F,P)为概率空间，如果定义样本空间Ω上 的一个单值实函数X＝X()，Ω，满足
2) P{X1}1e－ xd x1e－ 1
12
2
2019/10/29
胡朝明
53－15
五、常见的随机变量及其分布
1. <0－1>分布(两点分布)
如果R.V.X的分布律为：
X0 1
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1.3 随机过程的分类方法（1）
{
指标集T可以分为离散和连续两类： （1）T为一有限集或可列集 (离散的情况)， 这类随机过程称为离散参数的随机过程 或随机序列。
（2）T为不可列集（连续的情况），这类 随机过程称为连续参数的随机过程。
1.3 随机过程的分类方法（1）
综合随机变量类型和指标集类型，随机过 程可以分为以下四类： 归纳处理 T 变量 (1) 离散参数 离散型 随机过程 (2) 连续参数 离散型 随机过程 (3) 离散参数 连续型 随机过程 (4) 连续参数 连续型 随机过程
观察到什么
给出你的结论
超市排队问题 ---泊松问题，Markov链
排队的顾客数统计曲线
时间轴
图形配色问题
随机分配 颜色配置
Scaling Law, time scale, or spatial scale
赌博游戏---鞅论
1.1 随机过程的基本特点
{
随机变量 ：某一变量以一定的概率取一确 定的值，通常将这种变量称为随机变量 随机过程：在随机过程的定义中引入了空 间的概念，即在空间中每个位置上它都呈 现为一个随机变量。如果空间取为时间域， 那么它在每一个时刻都呈现为一个随机变 量。如果从时间域上看，它是时间 t 的一 个函数，反映了随时间的变化过程。
1 2 n
第二章 讨论的 重点
1.6 随机过程的分类方法（2）
{
1.4 随机过程的示例
{
举例说明
例1：随机游动 (离散参数离散型随机过程) 我们假设每隔T秒，抛掷硬币一次，在每次抛掷 后，依据硬币出现的正、反面，我们在一条直线 上移动一格。具体移动规则如下：如硬币出现正 面向右移；如硬币出现反面向左移。假设在t=0 时，我们位于起始点，相应的位置记 X (0) = 0。 经时间nT秒后，我们偏离原点的距离为X (nT)。 于是，随机游动可以用一个离散参数离散型随机 过程描述。
Rζζ (t1 , t 2 ) = E ζ (t1 )ζ (t 2 ) = E{[ξ (t1 ) + jη (t1 )][ξ (t 2 ) + jη (t 2 )]}
{
}
1.6 随机过程的分类方法（2）
按照随机过程的概率特征进行分类 （1）独立增量过程：设为一随机过程 { X (t ), t ∈ T } ， 对 t1 < t 2 < L < t n , t i ∈ T , (1 ≤ i ≤ n)， 若增量 X (t1 ), X (t 2 ) − X (t1 ), X (t 3 ) − X (t 2 ), L, X (t n ) − X (t n −1 )
{
1.1 随机过程的基本特点
随机过程 ξ (t)的特点： ξ(t) 在时刻 t = t 0 的单个样本值是一随机 （1） 变量。 ξ (t0 ) 的数学期望 s(t 0 ) = E (ξ (t 0 ))是确定的， （ 2） 其中E( )表示统计平均运算。 s (t ) = E (ξ (t )) 是关于t 的函数，此时呈现 （3） 了函数的特性，因此 ξ (t ) 可以看作一随机 函数。
1.5 随机过程的数字特征及基本概念
{
基 本 定 义 处理
两个或两个以上随机过程的分布和数字特 征： η(t)为两个随机过程，对任意 假设 ξ (t)， 的 t1 , t 2 ∈ T ，则 二阶混合原点矩定义为：
Rξη (t1 , t 2 ) = E[ξ (t1 )η (t 2 )].
相应的二阶混合中心矩定义为：
因此 P ( X (nT ) = r ) = C (1 / 2) (1 / 2) 值得注意的是n和r的奇偶性是相同的。
1.4 随机过程的示例
{
特殊的 应用例子
例2：AM调制系统（连续参数离散型随机过程） 在数字通信系统中，有一种调制方式是利用信号 的幅度高低区分信号的。假定传送的信号是脉宽 为 T0 的脉冲信号，每隔 T0 送出一个脉冲，脉冲幅 度 ξ (t)为一随机变量。若以等概取值 {− 3, − 1,1,3} ， 且不同周期内脉冲幅度是相互独立的，脉冲的起 始时间相对于原点（t=0）的时间差U为均匀分 布在[ 0 , T 0 ] 内的随机变量 ξ(t) 。于是的表达式为
平时作业(14%) 两次Project(12%) 期中考试(24%) 期末考试(50%)
参考文献: 见网络学堂 主要参考书: 樊平毅 随机过程理论与应用 清华大学出版社
课程学习建议
{ { { {
努力学习基本概念 理解基本公式和内涵 拓展学习内容 适当练习理论联系实际---学以致用 提升数学修养和水平
特殊 的应 用
1.5 随机过程的数字特征及基本概念
{
基 本 定 义 处理
随机过程的数字特佂应包括： t1 ∈ T， 则 假设ξ (t)为一随机过程， 均值定义为：μ ξ (t1 ) = E (ξ (t1 )) 2 2 σ ( t ) = D ( ξ ( t )) = E ( ξ ( t ) − μ ( t )) 相应的方差定义为： ξ 1 ξ 1 1 1 二阶混合原点矩定义为：对任意的 t1 , t 2 ∈ T ，
Rξξ (t1 , t 2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t 2 )].
二阶混合中心矩定义为：对任意的 t1 , t 2 ∈ T ，
Cξξ (t1 , t 2 ) = E[(ξ (t1 ) − μ ξ (t1 ))(ξ (t 2 ) − μ ξ (t 2 ))].
要点解析: 中心矩---均值 原点矩---0点
1.6 随机过程的分类方法（2）
2) 二阶矩过程 一随机过程 { X (t ), t ∈ T }，若对存在 ∀t , D ( X (t ))， 则称为二阶矩过程 (finite second moments process )。 3）严平稳过程 一随机过程 { X (t ), t ∈ T } ，若对 ∀t1 , t 2 ,..., t n ∈ T及 h > 0, ( X t , X t ,..., X t ) 与 ( X t1 + h , X t 2 + h ,..., X t n + h ) 有相同 的联合分布，则称该过程为严平稳过程 (strictly stationary process )。严平稳过 程的一切有限维分布对时间的推移保持不变。特 别地 X (t ), X ( s)，的二维分布只依赖于 t − s 。
{
{
1.2 随机过程的研究范围
{
随机过程的数学定义：设(Ω. F. P)是一 概率空间，其中Ω是一个集合，F是由Ω的 某些子集所组成的一个代数，P是在可测 空间(Ω.F)上定义的一个概率测度。T是 一个指标集，若对每一个 t∈T , ξ (t , w) 是一随机变量，则称ξ (t , w) = ξ t ( w)为该概率 空间上的随机过程。为方便起见，通常记 为ξ (t ) 。
1.5 随机过程的数字特征及基本概念
{
基 本 定 义 处理 {
{
复随机变量 η 为同一概率空间(Ω.F.P)上的两 设ξ 、 个取实数值的随机变量，并设 ζ = ξ + jη ， 其中 j = − 1 ，则称 ζ 为该概率空间上的 一个复随机变量。 均值： Eζ = Eξ + jEη 方差为：Dζ = E ζ − Eζ 2 = E {(ξ − Eξ )2 }+ E {(η − Eη )2 }
1/2
1/2
随机过程
授课教师：樊平毅 清华大学电子工程系 2014
课程内容简介
{ { { { { { {
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
概论 平稳过程与二阶矩过程 离散鞅论 Poisson与更新过程 Brown运动 Markov链 连续参数Markov链
本课程评分标准
{ { { {
{
相互独立，则称 { X (t ), t ∈ T }为独立增量过程 (Process with independent increments). 1 泊松过程 2 布朗运动
1.6 随机过程的分类方法（2）
（2）平稳过程及二阶矩过程 1) 宽平稳过程 (或协方差平稳过程 ) 一随机过程 { X (t ), t ∈ T } ，若对 ∀t ,τ , t + τ ∈ T， D ( X (t )) 存在且 E ( X (t )) = m, 互相关函数 cov( X (t ), X (t + τ )) = R (τ ) 仅依赖 τ ，则称{ X (t ), t ∈ T } 为宽平稳过程 (wide Sense stationary process )，即它的协方差 不随时间推移而改变。 工程上的习惯性处理
Cξη (t1 , t 2 ) = E[(ξ (t1 ) − μ ξ (t1 ))(η (t 2 ) − μη (t 2 ))].
1.5 随机过程的数字特征及基本概念
{
基 本 定 义 处理
统计无关： 如果对于任意的两个参量 t1 和 t 2 都 有 Cξη (t1 , t 2 ) = 0，则称随机过程 ξ (t ) 和 η (t ) 是 统计无关的。
ξ (t ) = ∑ a n F (t − nT0 − U )
n =0 ∞
数学表达式
1.4 随机过程的示例
其中
a n ∈ {−3,−1,1,3},
⎧1 0 ≤ t < T0 F (t ) = ⎨ 其他 ⎩0
1.4 随机过程的示例
{
特殊的 应用例子
例3：(离散参数连续型随机过程) 设某通信系统，它的信号为脉冲信号，脉 宽为 T ，脉冲信号的周期也假定为 T 。如 果脉冲幅度是随机的, 幅度服从参数为 λ 负指数分布（Rayleigh 衰落信道），且 不同周期内的幅度 ξ i , ξ k , (i ≠ k )是相互统计 独立的，脉冲起始时间设为t=0。
-1