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t>0
其中，Y 和 Z 是相互独立的随机变量，且EY = EZ = 0，DY = DZ = σ2，求X(t)的均值函数和协方差函数。
课堂练习：
设随机过程 X(t) = Vcos4t，其中V是随机变量，其数 学期望是5，方差为6，求随机过程X(t)的均值Mx(t)、方差 Dx(t)、相关函数 RX(t1, t2) 和协方差函数Bx (t1, t2)。
Kolmogorov存在定理（柯尔莫哥洛夫）；
设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数 族F1，则必存在概率空间（Ω,F,P）及定义在其上的随机 过程 { X(t), t∈T }，它的有限维分布函数族是F1。
均值函数
设XT = { X(t), t∈T } 是随机过程，如果对任意 t∈T，EX(t)存在，则称函数：
（1）正交增量过程
定义：
设 {X(t), t∈T} 是零均值的二阶矩过程，若对任意 的t1<t2≤t3<t4 ∈T，有：
−−−−−−−−−−−−−−−
E[(X (t2 ) − X (t1))(X (t4 ) − X (t3))] = 0
则称X(t)是正交增量过程。
例题1-11：
设 {X(t),t∈T} 是正交增量过程，T=[a,b]为有限区 间，且规定 X(a)=0，当a<s<t<b时，求其协方差函数 BX(s,t)。 结论: 正交增量过程的协方差可以由它的方差确定.
def
m x (t) = EX (t), t ∈ T
为 XT 的均值函数，反映随机过程在时刻 t 的平均值。
均方值函数和方差函数
反映随机过程平均功率
反映随机过程在时刻t对均值的偏离程度
自相关函数
协方差函数
若对任意t∈T，E(X(t))2 存在，则称 XT 为二阶矩过 程，而称：
def
BX (s,t) = E[{X (s) − mX (s)}{X (t) − mX (t)}], s,t ∈T
（2）独立增量过程
定义： 设 {X(t),t∈T} 是随机过程，若对任意的正整数n和
t1<t2<…<tn ∈T，随机变量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2), …,X(tn)X(tn-1)是互相独立的，则称 {X(t),t∈T} 是独立增量过程。
特点： 独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变，不
考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换上同类型 的设备。假设设备的使用寿命是随机变量，令N(t) 为在时 间段 [0,t] 内更换设备的件数，通常可以认为{N(t)，t≥0} 是平稳独立增量过程。
在第Wi次试验中测量获得的噪声电压X(t)是一个样本函数：
定义2：随机过程
设E是随机实验， Ω ={ e }是样本空间，对于每一个 样本e，总可以以某种规则确定一个时间函数 X(t,e) (称为样本函数或者轨道），t ∈T，则对于所有的e ∈ Ω ，就得到一个函数的集合，称此集合为随机过程，简 记为 X(t)。
RZ (s,t) = E[Z sZ t ]
−−−−−−−−−−−−
B Z ( s , t ) = E [( Z s − m Z ( s )) ( Z t − m Z (t )) ]
−−−−−−
B Z (s, t) = R Z (s, t) − m Z (s) m Z (t)
两个复随机过程{Xt}，{Yt}的互相关函数定义为：
描述。 （2）另外一种过程没有确定的变化形式，不能用一个时间 t
的确定函数来描述。
例如：液面上的质点的运动。用 { x(t), y(t) } 表示 t 时刻 该质点在液面上的坐标。
随机变量
在每次随机试验的结果中，以一定的概率取某个事先未 知，但为确定的数值。
在实际应用中，我们经常要涉及到在随机试验过程中 随时间 t 而改变的随机变量。此时，这种随机现象是个“过 程”。
例题1-10：
设 X(t) 为信号过程，Y(t) 为噪声过程，令W(t) = X(t) + Y(t)，求 W(t) 的均值函数和相关函数。
解：
当两个随机过程互不相关且均值函数为零时:
1.7 复随机过程
复随机过程定义：
设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若 对任意t∈T， Z t = X t + iYt ，其中 i = −1 ，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。
R XY (s, t ) = E ( X sYt )
互协方差函数定义为：
_______________
B XY ( s, t ) = E[ X s − m X ( s )] [Yt − mY (t )]
1.8 随机过程基本类型
随机过程的几种基本类型：
（1）正交增量过程； （2）独立增量过程； （3）马尔可夫过程； （4）正态过程； （5）维纳过程； （6）平稳过程。
判断以下现象是否是一个随机过程？
（1）示波器产生的余弦波X(t)=acos(wt+B)，其中，a， w为常量，B为初始相位，并为（0，2π）上均匀分布的 随机变量。
（2）正弦波X(t)=Vcoswt,其中，V为在(0,1)均匀分布的 随机变量，并画出X(t)的一个样本函数。
通常我们可以根据随机变量 X(t) 在时间和状态上的 类型区分随机过程的类型。
复随机过程的数字特征函数：
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数 相互之间的关系
m Z (t ) = E ( Z t ) = EX t + iEY t
−−−−−−−−−−−−
DZ (t) = E[| Z t − mZ (t) |2 ] = E[(Z t − mZ (t)) (Z t − mZ (t))]
在时间和状态上都连续
连续型随机过程
在时间上连续状态上离散
离散型随机过程
在时间上离散状态上连续
连续型随机序列
在时间上离散状态上离散
离散型随机序列
联合分布函数 有限个随机变量
统计规律
随机过程
有限维分布函数族
统计规律
设XT = { X(t), t∈T } 是随机过程，对任意n≥1和 t1,t2, …,tn ∈T，随机向量 (X(t1),X(t2), …,X(tn)) 的联合分布 函数为: Ft1,",tn (x1, x2 ,", xn ) = P{X (t1 ) ≤ x1," X (tn ) ≤ xn }
为 XT 的协方差函数(混合中心矩)，反映随机过程在时 刻 t 和 s 时的状态起伏值的线性相关程度。
协方差函数和相关函数有如下关系：
B X (s,t) = R X (s,t) −m X (s)m X (t)
例题1-9：
设随机过程：
X (t ) = Y cos( θ t ) + Z sin( θ t ),
例题1-8：
联合分布函数 有限个随机变量
随机过程
有限维分布函数族
统计规律 统计规律
设XT= {X(t),t∈T} 是随机过程，对任意n≥1和 t1,t2, …,tn ∈T，随机向量(X(t1),X(t2), …,X(tn))的n维联合 分布函数为
Ft1,",tn ( x1, x2 ,", xn ) = P{X (t1 ) ≤ x1," X (tn ) ≤ xn }
天气预报问题：
每天的天气（晴，雨，阴）是随机的，对于确定的一天 （假设 t=1，代表第一天），天气状况是一个离散型的随机 变量，记为 Zt ，所以，每天的天气状况 { Zt ，t=1,2,3… } 是 一个随机过程。
对于一个固定的时刻 t , Zt 是一个随机变量。
电阻的噪声电压：
对于一个固定的时刻 t ，电阻的噪声电压 X(t) 是一 个随机变量， X(t) 是随时间变化的， 所以噪声电压 { X(t)， t ∈[0,∞) } 是一个随机过程。
随机过程也是有规律的，如何描述一个随机过程？
随机过程
电话交换台接入呼叫次数问题：
某电话交换台在一定时间段内[ 0，t ]内接到的呼叫次 数是与 t 有关的随机变量，记为 Z(t)；对于固定的时刻 t， Z(t) 是一个取非负整数的随机变量，故 {Z(t), t ∈[0,∞)}是一个随机过程。
对于一个固定的时刻 t, Z(t)是一个随机变量。
Ft1 ,",tn ( x1 , x 2 ," , x n ) = Fti1 ,",tin ( xti1 ," , xtin )
相容性
当m<n时，
Ft1,",tm (x1, x2 ,", xm ) = Ft1,",tm ,",tn (x1, x2 ,", xm , ∞,", ∞)
随机过程
有限维分布函数族 相容性 对称性
称为随机过程X(t)的n维分布函数。
这些分布函数的全体：
F = { Ft1 ," tn ( x1 , x 2 ," x n ), t1 , t 2 ," , t n ∈ T , n ≥ 1}
称为XT= {Xt,t ∈T} 的有限维分布函数族。
n维概率密度函数为：
有限维分布函数的性质：
对称性 对于 {t1,t2, …,tn} 的任意排列{ti1 , ti2 ," , tin }
w=1 X (t) w=2 X (t) w=3 X (t)
w=k X (t)
w=n X (t)
t1
t2
随机过程 { X(t,e), t ∈T } 可以认为是定义在 T× Ω 上 的一个二元函数。 ① 对固定的t，X(t,e)是一个随机变量； ② 对固定的e， X(t,e)是随机过程 { X (t,e), t ∈T } 的一个 样本函数（轨道），即定义在T上的普通函数； ① 对于固定的 t， X(t,e) 是一个标量，它表示时刻t所处的 状态，X(t )所有可能的状态构成的集合称为状态空间； ② 当t和e都是变量时， X(t,e)是一个随机变量族或者时间函 数族都称为随机过程。
