哈密顿算子的运算ppt

对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设 u u ( x, y, z ), 则
u
u x u i y u j z
k grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
div A
k
i
A x P
j
y
z
rot A
Q
R
E z E y Bx y z t By E x E z z x t E y E x Bz x y t
引进哈密顿算符：
i j k x y z

D B 0 D H t B E t
dp pn ds
矢量场的散度(divergence)
对矢量场，在笛卡尔坐标系下其散度定 义为：
V x V y V z V x y z
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl)
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰
• • • • Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 散度(div) 旋度(rot)
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
x i y
j z k
• 称为▽( Nabla ，奈 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子

(B g) A,
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y

= B (汛 A)- A (汛 B)
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)

x
y
F 0 F C
y
y
例4 捷线
T
1
b
1 y2
2g
a
dx y
F 1 y2 F 0 y x
F y F
1
1
y
y 1 y2
2C1
dy 2C1 y
dx
y
y C1 1 cos
dx
2C1 sin2
2
d
C1 1
cos
d
x C1 sin C2
y
C1
1
cos
旋轮线
C1,C2 由边界条件决定
A
F F
sin2 2 sin2
cos0 const.
d sin2 d
tan2 0 cot2
d
d cot
0
tan2 0 cot2
arccos cot0 cot 0 const.
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cos cos0 sin sin0 cot cot0 0 Rsin sin0 eq. xsin0 cos0 y sin0 sin0 z cos0 0
p,t ,t
p
q,
p,t
力学状态参量变换 q,q q, p
找到新的特征函数，通过对 q, p 的偏导生成力学方程。
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1．Legendre变换
f f x, y
df f dx f dy x y
udx vdy
d ux xdu vdy
g g u, y
u
f x
u
x,
y
b a
b
a
s 1
F y
d dx
F y
δy dx

u x
i
u y
j
u z
k
grad u
(2) A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k, 则
A
P x
Q y
R z
div A
i jk
A
x
y
z
rot A
P QR
➢对矢量场，在笛卡尔坐标系下其旋度定
义为： r i
r
r
jk
r
V
x y z
Vx Vy Vz
Vz
y
Vy
z
r i
Vx z
Vz x
r Vy
j
x
Vx
r k
y
➢对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设u u(x, y, z), 则
u
• 矢量性
• 微分算子
• 只对于算子▽ 右边的量发生 微分作用
例如 麦克斯韦方程组的微分形式为
Dx Dy Dz
x y z Bx By BZ 0 x y z
H z y
H y z
x
Dx t
H x z
H z x
y
Dy t
Ez Ey Bx y z t Ex Ez By z x t Ey Ex Bz x y t
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰
• Operator▽ • Gradient • Divergence • Curl
• 哈密顿算子 • 梯度(grad) • 散度(div) • 旋度(rot)
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
x

z v0 er
p mr2 sin2 C(常数) (10)
则根据(10)式，可得初始时刻，以
r0 e 及后面任意时刻，都有
0, C 0, p 0
O
这意味着质点将始终保持在z轴和初位 矢r0所确定的平面内运动。
z轴就是平面极坐标的极轴。
15
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
2
r
(1)代入(2)可得
H

1 2m

pr2

p2 r2

p2
r sin2



r
正则方程
例题 2
(2) (3)
p r
H r

p2 mr3

p2
mr3 sin2


r2

p

H


p2 cos mr2 sin3

p
(6)



H
p

p
mr2 sin2
(7) (8) (9)
0, p 0

p r

p2 mr3


r2
(4')
p 0
(5')
r
pr m



p mr2
(7')
(8')
16
5.5 哈密顿正则方程
分析：四、最终的运动微分方程
8
5.5.3 能量积分与循环积分
循环积分
若H不显含某个广义坐标q ，则根据正则方程
可得：
p
H q
0
p

则 d , H 0
dt t
反之，若 , H 0 则 C
t
是正则方程的一个运动积分，因为有
dt
dq1 H
dq2 H
p1 p2
dqs H
dp1 H
dp2 H
ps
q1
q2
dps H
2q3 s

q
(1)c, 0, c为常数 (2), , 0
n
n
(3)如 j ,则, , j
振动解要求 l 为纯虚数，要做到这一点势能V>0. 令 l il
s
q Aleilt Aleilt , 1, 2, , s
l 1
s
q al coslt bl sinlt , 1, 2, , s
l 1
上式中 l 叫简正频率，共有s个。
6
3.简正坐标
T
1 2
s
a q q
1
V
V0
s 1
V q
q 0
1 s 2V 2 1 q q
1
q q
0
高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
q
略去高级项
1 s 2V
1s
V
2
1 1
q
q
q q 0
2 1 c q q
1
2
在稳定约束下，动能只是速度的二次函数
T
1 2
s
a q q
1
1
也展开为泰勒级数
j 1
j 1
(4), ,
(5)
t
,
t
,
,
t
(6) ,, ,, , , 0
1,如
(7) q , p 0,如

可分、线性Hamilton体系的中点Euler公式
• H q,p Tp Vq
—— “可分、线性Hamilton体系”
H q,p 1 pT
2
qT T
0
0
V
q p
1 2
pT
Tp
1 2
qT
Vq
C
T
0
0 V
B J1C
B
J1C
0 1n
1n T
0
0
0 V
0 T
V
0
ppt课件
21
Euler中点法
0
用以下 gll x构造的差分格式都是辛格式
l,l 0,0 1,1 2, 2
3, 3
4, 4
gll x 1
1
1 x 2
1 x 2
1 x x2 2 12
1 x x2 2 12
1 x x2 x3 2 10 120
1 x x2 x3 2 10 120
1 x 3x2 x3 x4 2 28 84 1680
石钟慈：“国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的。”
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5
数学地位
线 线对 多张张 流 性 性偶 重量量 形 空 泛空 线空分 理 间 函间 性间析 论泛 函现代微分几来自 规范场理论 微分拓扑 辛几何
......
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6
外微分 辛几何
• 辛几何的基础是外微分形式。 • 外微分形式是如下概念推广到高维的产物：
实对称矩阵的本征值均为实数 实对称矩阵的不同本征值的本征向量必正交
若Hamilton矩阵的本征值为，则
也是它的本征值
Hamilton矩阵的非辛共轭本征值的本征向量必 辛正交

在场论（电厂、磁场）分析中，哈密顿算子和拉普拉斯算子成为应用较多的简化运算 符号。哈密顿算子（ Hamiltonian）， 数学符号为▽，读作 del ta或nabla。量子力学中， 哈密顿算子(Hamiltonian) 为一个可观测量（observable），对应于系统的的总能量。
哈密顿（W.R.Hamiltonian）引进了一个矢性微分算子，称之为哈密顿算子或者▽ 算子。 记号▽ 读作“那勃乐（Nzbla）”，在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质，其优点 在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而可以简化运算过程， 并且推导简明扼要，易于掌握。
=

r i

r j
ur kxFra biblioteky z运算规则 （1）梯度
标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场，该矢量场反应了标量场A的分布。
（2）散度
（2）旋度
拉普拉斯算子
引入新的矢性微分算子：
常用公式
该算子既可以作用在数性函数 u=u(M) 上，又可以作用在矢性函数B(M) 上，即
注意：
（1） 与 是完全不同的；
（2） 与
是无意义的。
公式汇总
矢量分析与场论：P64