哈密顿算子
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哈密顿算子
x ex y ey z ez
2 A
2 x2
2 y 2
2 z 2
Axex Ayey Azez
2 Ax x2
2 Ax y 2
2 Ax z 2
ex
2 Ay x2
2 Ay y 2
2 Ay z 2
ey
2 Az x2
2 Az y 2
2 Az z 2
ez
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
ex
y ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x ex y ey z ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex
ey
ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
y
ey
z
ez
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
2 A
2 x2
2 y 2
2 z 2
Axex Ayey Azez
2 Ax x2
2 Ax y 2
2 Ax z 2
ex
2 Ay x2
2 Ay y 2
2 Ay z 2
ey
2 Az x2
2 Az y 2
2 Az z 2
ez
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
ex
y ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x ex y ey z ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex
ey
ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
y
ey
z
ez
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
《矢量分析与场论》 哈密顿算子
gradu
梯度是一个矢量。
1.哈密顿算子
2）与矢量场 A( x, y, z) 的数性作用—散度算子
A ( i j k ) ( Ax i Ay j Az k ) x y z
Ax Ay Az x y z
能交换。
A B B A
A A
矢量的叉积可以反交换，但 算子和场的叉积
不能交换。
A B B A
A A
2.算子表示 基本运算公式的算子表示，即是用哈密顿算子 表示梯度、散度和旋度的基本运算公式。 哈密顿算子 是描述场与空间相互作用的统一 工具。 哈密顿算子 和梯度、散度和旋度共同构成物
既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。
数量场 u
矢量场 B
u u u ( A )u Ax Ay Az x y z
B B B ( A ) B Ax Ay Az x y z
1.哈密顿算子 算子的显著特点在于它的双重性，既是一个 算子，又是一个矢量，但首先是一个算子，因此 与矢量的运算法则略有不同。 矢量的点积可以交换，但 算子和场的点积不
旋度运算公式
4） div( A B) B rotA A rotB ( A B) B A A B
（13）
5） rot( gradu) 0
(u ) 0
（16）
6）
div(rotA) 0 ( A) 0
（ c 为常数） （ 2）
（ 2）
div( A B) divA divB ( A B) A B
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设 u u ( x, y, z ), 则
u
u x u i y u j z
k grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
div A
k
i
A x P
j
y
z
rot A
Q
R
E z E y Bx y z t By E x E z z x t E y E x Bz x y t
引进哈密顿算符：
i j k x y z
D B 0 D H t B E t
dp pn ds
矢量场的散度(divergence)
对矢量场，在笛卡尔坐标系下其散度定 义为：
V x V y V z V x y z
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl)
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰
• • • • Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 散度(div) 旋度(rot)
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
x i y
j z k
• 称为▽( Nabla ，奈 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
哈密顿算子
(B g) A,
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子（HamiltonianOperator）是物理系统的动能和位能的组合，通常被认为是物理系统本质由来的参数，用来描述物理系统的性质（物理量）。
2. 公式及推导
哈密顿算子可以用如下公式表示：
H=Hp+Hk
其中，Hp 为位能，Hk 为动能。
（1）位能Hp：一般地，位能公式可以写成
Hp=- 2
它表示的是物体的力学位能，具有空间变化的粒子受到的力学位能，表示为几何位能。
（2）动能Hk：动能Hk 可以用牛顿动力学的方法推导出，用来描述物体受到的动能，即速度的平方加上位移的有关量，即：
Hk=1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
其中，m 为物体的质量，x，y，z 分别为物体的X，Y，Z 轴坐标。
所以，将上面两个公式相加，得到的哈密顿算子公式可以表示为： H=- 2+1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
以上就是哈密顿算子运算公式及推导的介绍，哈密顿算子是物理系统本质由来的参数，可以用来描述物理系统的性质，是物理实验中经常用到的重要参数。
哈密顿算子
(ax i ay j az k ) 3a a 3a 2a
所以
(a r ) dl 2 a dS
l S
证毕
例4 验证 Green 第一公式
S
(u v) dS (v u vu )dV
与第二公式
S
(uv vu ) dS (uv vu )dV
u u u ( A )u Ax Ay Az x y z
数性微分算子作用于矢性函数 B(M ) 上
B B B ( A ) B Ax Ay Az x y z
注意： A 与 A 不同
常见公式（ u , v 是数性函数，A, B 是矢性函数）
1. (Cu) Cu
(ur ) r 3
解 由公式10知
(ur ) u r u r
u 3sin yzi 3xz cos yz j 3xy cos yzk 3(sin yzi xz cos yz j xy cos yzk )
(ur ) 9x sin yz 3x sin yz 3xyz cos yz 3xyz cos yz
证明：由 Gauss 公式
A dS ( A)dV
S
取 A u v ，用公式10
S
(u v) dS (u v)dV (v u uv)dV
同理
S
(v u ) dS (v u vu )dV
两式相减
和旋度可用 算子表示：
gradu u
divA A rot A A
数性微分算子
A ( Ax i Ay j Az k ) (i j k ) x y z Ax Ay Az x y z
第九讲 第三章哈密顿算子
= B (汛 A)- A (汛 B)
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
哈密顿算子的数学运算
哈密顿算子的数学运算
哈密顿算子（Hamilton operator）是量子力学中描述物理系统能量的算子，通常用符号H表示。
数学上，它可以写成：
H = T + V
其中，T是动能算子，V是势能算子。
动能算子是表示粒子运动状态（动量）的算子，它可以写成：
T = (-ħ²/2m)∇²
其中，ħ是普朗克常数的约化值，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算子（表示空间二阶偏导数），称为动量平方算子。
势能算子是描述粒子所处环境中势能的算子，可以根据粒子所处系统不同而有所不同，通常写成：
V = V(x,y,z)
其中，V(x,y,z)是势能关于位置的函数。
哈密顿算子在量子力学中有着重要的地位，它是薛定谔方程的本征值问题的算子，它的本征函数描述了量子态的能量和描述态的波函数，通过求解薛定谔方程得到的本征函数和本征值在研究物理现象和解释实验结果方面具有极其重要的作用。
哈密顿算子加速度矢量
哈密顿算子与加速度矢量一、哈密顿算子的基本性质哈密顿算子是分析力学中的重要工具，具有许多独特的性质。
首先，它是一个二阶微分算子，能够对标量场或矢量场的分量进行微分运算。
在三维空间中，哈密顿算子通常表示为▽=▽x+▽y+▽z，其中▽x、▽y、▽z分别是沿x、y、z轴的微分算子。
哈密顿算子有一些重要的性质，如▽(f+g)=▽f+▽g，▽(fg)=f▽g+g▽f等。
这些性质表明，哈密顿算子可以将标量场或矢量场的运算转化为其分量的一阶微分运算。
此外，哈密顿算子还具有反交换性，即▽ij=▽ji。
二、加速度矢量的物理意义加速度矢量是描述物体运动速度变化快慢和方向的物理量。
它等于物体速度矢量的变化率，即物体位置随时间的变化率。
在三维空间中，加速度矢量由三个分量组成：ax、ay、az，分别表示沿x、y、z轴的加速度。
加速度矢量的物理意义在于描述物体运动状态的改变。
在经典力学中，加速度矢量用于描述牛顿第二定律中的力，即F=ma。
当物体受到外力的作用时，加速度矢量会发生变化，导致物体的运动状态发生改变。
三、哈密顿算子与加速度矢量的关系哈密顿算子与加速度矢量之间存在一定的联系。
在分析力学中，拉格朗日函数L=T-V，其中T为动能函数，V为势能函数。
通过求解拉格朗日方程dL/dx=▽L·▽x=0，我们可以得到物体的运动轨迹。
在这个过程中，▽L的作用是对L中的每一个变数进行变分运算，这实际上与加速度矢量的定义有所关联。
具体来说，当一个物体在空间中运动时，它的速度矢量和位置矢量都是随时间变化的。
通过应用哈密顿算子对位置矢量进行微分运算，可以得到物体速度矢量的变化率，即加速度矢量。
因此，哈密顿算子在某种程度上可以用来描述物体的加速度。
四、结论综上所述，哈密顿算子和加速度矢量都是物理学中非常重要的概念。
哈密顿算子是分析力学中的基本工具，用于描述矢量场或标量场的一阶微分运算；而加速度矢量则是描述物体运动速度变化快慢和方向的物理量。
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特别提示：在不同坐标系中 u 、 A 、 A 的计算公式也不同。
场，则 (au1 bu2 ) au1 bu2
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
e x
y
e y
z
e z
u
u x
e x
u y
ey
u z ez
A
x
ex
y
ey
2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
直角坐标系中 柱坐标系中
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u
u
e
1 u
e
u z
ez
球坐标系中
u
u r
er
1 r
u
e
1 u
r sin
e
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式； 3. 设 a、b 为任意常数，函数u1 、u2 、u 为任意标量
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(1) 因为
R
R x
ex
R y
e y
R z
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R (y y)
y R
R (z z) z R
R (x x) e ( y y) e (z z) e R
Rx
Ry
R zR
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 RR R3ຫໍສະໝຸດ 证明：(1) 因为R
R x
ex
R y
e y
R z
y
ey
z
ez
2 A
2 x2
2 y2
2 z 2
Axex Ayey Az ez
2xxA2x2yA2 x
e2 A z2
x
2 Ay x2
2y A y2
y2 A z2
ey
2xzA2z2yA2 z ez2zA2
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
Ay
x
Ax e y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
5.拉普拉斯算子
x
ex
y
ey
z
e z
x
e x
y
ey
z
ez
2 2 2 2 x2 y2 z2
2u
2 x2
2 y2
2 z 2
u
2u x2
2u y2
2u z 2
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R ( y y) R (z z)
y
R z
R
R
(
x
R
x)
e x
(
y y) e
R
y
(z
z)e Rz
R R
R
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
e y
y
e z
z
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
gradu u
u
x
e
x
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(2) 因为
1 R
1 R2
R
1 R2
R R
R R3
1 R
1 R2
R
1 R2
R
R
R R3
1 R
本节要点
1. 哈密顿算子与不同物理量的作用关系； 2. 拉普拉斯算子与不同物理量的作用关系；
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
A
ex x
ey y
ez z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az
y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey
场，则 (au1 bu2 ) au1 bu2
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
e x
y
e y
z
e z
u
u x
e x
u y
ey
u z ez
A
x
ex
y
ey
2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
直角坐标系中 柱坐标系中
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u
u
e
1 u
e
u z
ez
球坐标系中
u
u r
er
1 r
u
e
1 u
r sin
e
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式； 3. 设 a、b 为任意常数，函数u1 、u2 、u 为任意标量
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(1) 因为
R
R x
ex
R y
e y
R z
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R (y y)
y R
R (z z) z R
R (x x) e ( y y) e (z z) e R
Rx
Ry
R zR
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 RR R3ຫໍສະໝຸດ 证明：(1) 因为R
R x
ex
R y
e y
R z
y
ey
z
ez
2 A
2 x2
2 y2
2 z 2
Axex Ayey Az ez
2xxA2x2yA2 x
e2 A z2
x
2 Ay x2
2y A y2
y2 A z2
ey
2xzA2z2yA2 z ez2zA2
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
Ay
x
Ax e y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
5.拉普拉斯算子
x
ex
y
ey
z
e z
x
e x
y
ey
z
ez
2 2 2 2 x2 y2 z2
2u
2 x2
2 y2
2 z 2
u
2u x2
2u y2
2u z 2
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R ( y y) R (z z)
y
R z
R
R
(
x
R
x)
e x
(
y y) e
R
y
(z
z)e Rz
R R
R
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
e y
y
e z
z
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
gradu u
u
x
e
x
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(2) 因为
1 R
1 R2
R
1 R2
R R
R R3
1 R
1 R2
R
1 R2
R
R
R R3
1 R
本节要点
1. 哈密顿算子与不同物理量的作用关系； 2. 拉普拉斯算子与不同物理量的作用关系；
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
A
ex x
ey y
ez z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az
y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey